Tài liệu bồi dưỡng HSG toán THCS

Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS båi dìng hsg toán thcs Chuyên đề 1: Phần I: Số phơng I- Định nghĩa: Số phơng số bình phơng số nguyên II- tính chất: 1- Số phơng có chữ số tËn cïng b»ng 0, 1, 4, 5, 6, 9; kh«ng thĨ cã ch÷ tËn cïng b»ng 2, 3, 7, 2- Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phơng chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 3- Số phơng có hai dạng 4n 4n+1 Không có số phơng có dạng 4n + 4n + (n ∈ N) 4- Sè chÝnh ph¬ng có hai dạng 3n 3n +1 Không có số phơng có dạng 3n + ( n ∈ N ) 5- Sè phơng tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phơng tận chữ số hàng chục Số phơng tận chữ số hàng chục chữ số lẻ 6- Số phơng chia hết cho chia hết cho Số phơng chia hết cho chia hÕt cho Sè chÝnh ph¬ng chia hÕt cho chia hết cho 25 Số phơng chia hết cho th× chia hÕt cho 16 III- Mét sè dạng tập số phơng A- Dạng 1: chứng minh số số phơng Bài 1: Chứng minh số nguyên x, y thì: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y số phơng Giải : Ta cã A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 2 2 = ( x + xy + y )( x + xy + y ) + y 2 Đặt x + xy + y = t (t ∈ Z ) th× 2 4 2 2 A = ( t − y )(t + y ) + y = t − y + y = t = ( x + xy + y ) V× x, y, z ∈ Z nªn x ∈ Z , xy ∈ Z , y ∈ Z ⇒ x + xy + y ∈ Z VËy A lµ sè phơng Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng số phơng Giải : Gọi số tự nhiên, liên tiếp ®ã lµ n, n+1, n+2, n+3 (n ∈ Z) Ta cã: 2 2 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 2 = ( n + 3n)( n + 3n + 2) + (*) Đặt n + 3n = t (t ∈ N ) th× (*) = t(t + 2) + = t2 + 2t + = (t + 1)2 = (n + 3n + 1)2 V× n ∈ N nªn n2 + 3n + ∈ N VËy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + lµ số phơng Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) Chứng minh 4S + số phơng 1 Gi¶i : Ta cã: k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2) 4= k(k + 1)(k + 2) [ (k + 3) − ( k − 1) ] 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + Theo kÕt qu¶ bµi => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + số phơng Bài 4: Cho dÃy sè 49; 4489; 444889; 44448889; - D·y số đợc xây dựng cách thêm số 48 vào chữ số đứng trớc đứng sau Chứng minh tất số dÃy số phơng Ta có 44 488 89 = 44 488 + = 44 10n + 11 + n ch÷ sè n - ch÷ sè n ch÷ sè n ch÷ sè n ch÷ sè n ch÷ sè 10n −1 n 10n −1 10 + +1 = 4.102 n − 4.10n + 8.10n − + 4.102 n + 4.10 n + = 9 =  2.10n +   ÷   = Ta thÊy 2.10n + = 200 01 có tổng chữ số chia hết nã chia hÕt cho n - ch÷ sè 2 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS  2.10n +   ÷ Z hay số có dạng 44 488 89 số ph=> ơng Các tơng tự: Chứng minh số sau sè chÝnh ph¬ng A = 11 + 44 + 2n ch÷ sè n ch÷ sè B = 11 + 11 + 66 + 2n ch÷ sè n+1 ch÷ sè n ch÷ sè C= 44 + 22 + 88 + 2n ch÷ sè n+1 ch÷ sè n ch÷ sè D = 22499 9100 09 n-2 ch÷ sè n ch÷ sè E = 11 155 56 n ch÷ sè n-1 ch÷ sè  10n +   ÷;   KÕt qu¶: A=  10 n +  B= ÷;    2.10n +  C = ÷    10 n +     E=  D = (15.10n - 3)2 Bµi 5: Chøng minh tổng bình phơng số tự nhiên liên tiếp số phơng Gọi số tự nhiên liên tiếp n - 2, n - 1, n +1, n + ( n ∈ N, n >2) Ta cã (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = (n2 + 2) Vì n2 tận n + chia hết cho => (n2 + 2) không số phơng hay A không số phơng Bài 6: Chứng minh số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 ®ã n ∈ N n >1 số phơng n6 - n + 2n3 + 2n2 = n2 (n4 - n2 + 2n +2) = n2 [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] = n 2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 1)] = n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) Víi n ∈ N, n > th× n2 - 2n + = ( n -1)2 + > ( n - 1)2 Vµ n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 3 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS VËy (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 => n2 - 2n + số phơng Bài 7: Cho số phơng có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phơng số phơng Ta biết số phơng có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phơng ®ã lµ 1,3,5,7,9 ®ã tỉng cđa chóng b»ng + + + + = 25 = 52 số phơng Bài 8: Chứng minh tổng bình phơng số lẻ số phơng a b lẻ nªn a = 2k + 1, b= 2m + (Víi k, m ∈ N) => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = (k2 + k + m2 + m) + => a2 + b2 số phơng Bài 9: Chứng minh p tích n (với n > 1) số nguyên tố p - p + số phơng Vì p tích n số nguyên tố nên p M2 p chia hết cho (1) a- Giả sử p + số phơng Đặt p + = m2 ( m ∈ N) V× p chẵn nên p + lẻ => m2 lẻ => m lẻ Đặt m = 2k + (k ∈ N) Ta cã m2 = 4k2 + 4k + => p + = 4k2 + 4k +1 => p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) M m©u thn víi (1) => p + số phơng b- p = 2.3.5 lµ sè chia hÕt cho => p - cã d¹ng 3k + => p - không số phơng Vậy p tích n (n >1) số nguyên tố p - p + không số phơng Bài 10: Giả sử N = 1.3.5.7 2007 2011 Chøng minh r»ng sè nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N 2N + số số phơng a- 2N - = 2.1.3.5.7 2011 - Cã 2N M => 2N - = 3k + (k ∈ N) => 2N - không số phơng b- 2N = 2.1.3.5.7 2011 => 2N chẵn => N lẻ => N không chia hết cho 2N M nhng 2N kh«ng chia hÕt cho 4 Thaygiaongheo.com Chia s kin thc Toỏn THCS 2N chẵn nên 2N không chia cho d d => 2N không số phơng c- 2N + = 2.1.3.5.7 2011 + 2N + lẻ nên 2N + không chia hết cho 2N không chia hết 2N + kh«ng chia cho d => 2N + không số phơng Bài 11: Cho a = 11 ; b = 100 05 2010 ch÷ sè Chøng minh Giải: ab + 2009 chữ số sè tù nhiªn b = 100 05 = 100 - + = 99 + = 9a + 2009 ch÷ sè 2010 ch÷ sè 2010 ch÷ sè ⇒ ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 ⇒ ab + = (3a + 1) = 3a + ∈ N B dạng 2: tìm giá trị biến để biểu thức số phơng Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phơng a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) c) 13n + d) n2 + n + 1589 Giải: a) Vì n2 + 2n + 12 số phơng nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k ∈ N) ⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n + 1)2 = 11 ⇔ (k + n + 1)(k – n - 1) = 11 NhËn xÐt thÊy k + n + > k - n - vµ chóng số nguyên dơng, nên ta viÕt (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1 ⇔ k + n + = 11 k=6 k-n1=1 n=4 2 2 b) đặt n(n + 3) = a (n ∈ N) ⇒ n + 3n = a ⇔ 4n + 12n = 4a2 ⇔ (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 ⇔ (2n + 3)2 – 4a2 = ⇔ (2n + + 2a)(2n + – 2a) = NhËn xÐt thÊy 2n + + 2a > 2n + 2a chúng số nguyên d ơng, nên ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 2n + + ⇔ 2a = n=1 2n + – 2a = a=2 2 ⇒ 13(n - 1) = y 16 c) Đặt 13n + = y (y ∈ N) ⇔ 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4) ⇒ (y + 4)(y – 4) 13 mà 13 số nguyên tố nên y +  13 hc y –  13 ⇒ y = 13k ± (víi k ∈ N) ⇒ 13(n - 1) = (13k ± 4)2 – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ 13k2 ± 8k + VËy n = 13k2 ± 8k + (víi k N) 13n + số phơng d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m ∈ N) ⇒ (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 5 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS ⇔ (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355 NhËn xÐt thÊy 2m + 2n + > 2m – 2n – > chúng số lẻ, nên ta viÕt (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n có giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28 Bài tơng tự : Tìm a để số sau số chÝnh ph¬ng a) a2 + a + 43 b) a2 + 81 c) a2 + 31a + 1984 KÕt qu¶: a) 2; 42; 13 b) 0; 12; 40 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728 Bài : Tìm số tự nhiªn n ≥ cho tỉng 1! + 2! + 3! + … + n! lµ mét sè chÝnh phơng Với n = 1! = = 12 số phơng Với n = 1! + 2! = không số phơng Víi n = th× 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 33 số phơng Với n ta có 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 cßn 5!; 6!; …; n! ®Ịu tËn cïng bëi ®ã 1! + 2! + 3! + … n! cã tËn cïng chữ số nên số phơng Vậy có số tự nhiên n thoả mÃn đề n = 1; n = Bài 3: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 số phơng Giả sử 2010 + n2 số phơng 2010 + n2 = m2 (m∈ N ) Tõ ®ã suy m2 - n2 = 2010 ⇔ (m + n) (m – n) = 2010 Nh vËy sè m vµ n phải có số chẵn (1) Mặt kh¸c m + n + m – n = 2m ⇒ sè m + n vµ m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) m + n vµ m – n lµ sè ch½n ⇒ (m + n) (m – n)  nhng 2006 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phơng Bài 4: Biết x N x > Tìm x cho x( x − 1).x( x − 1) = ( x 2) xx( x 1) Đẳng thức đà cho đợc viết lại nh sau: x( x 1) = ( x − 2) xx( x − 1) Do vế trái số phơng nên vế phải số phơng Một số phơng tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ sè 1; 2; 5; 6; 7; (1) 6 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS Do x chữ số nên x 9, kết hợp với ®iỊu kiƯn ®Ị bµi ta cã x ∈ N vµ < x ≤ (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ x chØ cã thĨ nhËn mét c¸c gi¸ trÞ 5; 6; B»ng phÐp thư ta thÊy chØ có x = thoả mÃn đề bài, 76 = 5776 Bài 5: Tìm số tự nhiên n cã ch÷ sè biÕt r»ng 2n + 3n + số phơng Ta cã 10 ≤ n ≤ 99 nªn 21 ≤ 2n + 199 Tìm số phơng lẻ khoảng ta đợc 2n + 25; 49; 81; 121; 169 t¬ng øng víi sè n b»ng 12; 24; 40; 60; 84 Sè 3n + b»ng 37; 73; 121; 181; 253 ChØ cã 121 lµ sè phơng Vậy n = 40 Bài 6: Chứng minh n số tự nhiên cho n + 2n + số phơng n bội số 24 Vì n + 2n + số phơng nên đặt n + = k2, 2n + = m2 (k, m ∈ N ) Ta có m số lẻ m = 2a + ⇒ m2 = 4a(a + 1) + n= m − 4a( a + 1) = = 2a (a + 1) 2 Mà n chẵn n + lẻ k lẻ đặt k = 2b + (víi b ∈ N ) ⇒ k2 = 4b(b+1) + ⇒ n = 4b(b+1) ⇒ n  (1) Ta cã: k2 + m2 = 3n + (mod3) Mặt khác k2 chia cho d hc 1, m2 chia cho d Nên để k2 + m2 ≡ (mod3) th× k2 ≡ (mod3) m2 ≡ (mod3) ⇒ m2 – k2  hay (2n + 1) – (n + 1)  ⇒ n  Mµ (8; 3) = (2) (3) Tõ (1), (2), (3) n 24 Bài 7: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phơng Giả sö 28 + 211 + 2n = a2 (a ∈ N) th× 2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) 2p 2q = (a + 48) (a – 48) víi p, q ∈ N ; p + q = n vµ p > q ⇒ a + 48 = 2p ⇒ 2p 2q = 96 ⇔ 2q (2p-q – 1) = 25.3 a – 48 = 2q ⇒ q = vµ p – q = ⇒ p = ⇒ n = + = 12 7 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS Thư l¹i ta cã: 28 + 211 + 2n = 802 C.dạng : Tìm số phơng Bài : Cho A số phơng gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta đợc số phơng B HÃy tìm số A B Gäi A = abcd = k NÕu thªm vào chữ số A đơn vị ta cã sè B = (a + 1)(b + 1)(c + 1)( d + 1) = m víi k, m ∈ N vµ 32 < k < m < 100 a, b, c, d = 1; ⇒ Ta cã: A = abcd = k B = abcd + 1111 = m Đúng cộng nhí ⇒ m2 – k2 = 1111 ⇔ (m - k)(m + k) = 1111 (*) NhËn xÐt thÊy tÝch (m – k)(m + k) > nªn m – k m + k số nguyên dơng Vµ m – k < m + k < 200 nªn (*) cã thĨ viÕt (m – k) (m + k) = 11.101 ⇔ ⇔ Do ®ã: m – k = 11 m = 56 A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bµi 2: Tìm số phơng gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị 2 Đặt abcd = k ta có ab cd = vµ k ∈ N, 32 ≤ k < 100 Suy : 101 cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) ⇒ k + 10 101 k 10 101 Mà (k – 10; 101) = ⇒ k + 10  101 Vì 32 k < 100 nên 42 k + 10 < 110 ⇒ k + 10 = 101 ⇒ k = 91 ⇒ abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tìm số phơng có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Gọi số phơng phải tìm là: aabb = n2 với a, b N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ Ta cã: n2 = aabb = 11 a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1) NhËn xÐt thÊy aabb  11 ⇒ a + b  11 Mµ ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ nªn ≤ a + b ≤ 18 ⇒ a + b = 11 Thay a + b = 11 vào (1) đợc n2 = 112(9a + 1) 9a + số phơng Bằng phÐp thư víi a = 1; 2;…; ta thÊy chØ cã a = tho¶ m·n ⇒ b = Số cần tìm là: 7744 8 Thaygiaongheo.com Chia s kin thc Toỏn THCS Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phơng vừa lập phơng Gọi số phơng abcd Vì abcd vừa số phơng vừa lập phơng nên đặt abcd = x2 = y3 víi x, y ∈ N V× y3 = x2 nên y số phơng Ta cã : 1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 10 ≤ y 21 y phơng y = 16 abcd = 4096 Bài : Tìm số phơng gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phơng Gọi số phải tìm abcd với a, b, c, d nguyên a 9; ≤ b, c, d ≤ abcd chÝnh ph¬ng ⇒ d ∈ { 0,1, 4, 5, 6, 9} d nguyên tố d = Đặt abcd = k2 < 10000 ⇒ 32 ≤ k < 100 k lµ số có hai chữ số mà k2 có tận cïng b»ng ⇒ k tËn cïng b»ng Tæng chữ số k số phơng ⇒ k = 45 ⇒ abcd = 2025 VËy sè phải tìm là: 2025 Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phơng số viết số bở hai chữ số số nhng theo thứ tự ngợc lại số phơng Gọi số tự nhiên có hai chữ sốphải tìm ab (a, b N, ≤ a, b ≤ 9) Sè viÕt theo thø tù ngợc lại ba Ta có ab - ba = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2)  11 ⇒ a2 – b2  11 Hay (a - b) (a + b)  11 V× < a – b ≤ 8, ≤ a + b ≤ 18 nªn a + b  11 ⇒ a + b = 11 Khi ®ã: ab - ba 2= 32 112 (a – b) Để ab - ba số phơng a b phải số phơng a b = a b = NÕu a – b = kÕt hỵp víi a + b = 11 ⇒ a = 6, b = , ab = 65 Khi ®ã 652 – 562 = 1089 = 332 NÕu a – b = kÕt hỵp víi a + b = 11 a = 7,5 loại Vậy số phải tìm lµ 65 9 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toỏn THCS Bài 7: Cho số phơng có chữ số Nếu thêm vào chữ số ta đợc số phơng Tìm số phơng ban đầu (Kết quả: 1156) Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phơng số lập phơng tổng chữ số Gọi số phải tìm ab với a, b ∈ N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ Theo gi¶ thiÕt ta cã: ab = (a + b)3 ⇔ (10a +b)2 = (a + b)3 ⇒ ab lập phơng a + b số phơng Đặt ab = t3 (t N), a + b = 12 (1 ∈ N) V× 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 hc ab = 64 NÕu ab = 27 ⇒ a + b = số phơng Nếu ab = 64 a + b = 10 không số phơng loại Vậy số cần tìm ab = 27 Bài : Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phơng số có chữ số giống Gọi số lẻ liên tiếp ®ã lµ 2n - ; 2n + ; 2n + (n ∈ N) Ta cã : A = (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n +3)2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111 a với a lẻ a ≤ ⇒ 12n(n + 1) = 11(101a – 1) ⇒ 101a –  ⇒ 2a – Vì a nên ≤ 2a – ≤ 17 vµ 2a – lẻ nên 2a { 3; 9;15} a { 2; 5; 8} Vì a lẻ a = ⇒ n = 21 sè cÇn tìm là: 41; 43; 45 Bài 10 : Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phơng chữ số số ab (a + b) = a3 + b3 ⇔ 10a + b = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab ⇔ 3a (3 + b) = (a + b) (a + b – 1) a + b vµ a + b nguyên tố a + b = 3a hc a + b – = 3a a+b–1=3+b a+b=3+b 10 10 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS DƠ thÊy tam gi¸c IMB = tam gi¸c INC (c-c-c) vËy gãc MBI = gãc NCI XÐt tø gi¸c ABCI cã gãc MBI = gãc NCI vËy tø gi¸c ABCI néi tiÕp hay I thuéc đờng tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố định, mà Trung trực BC cố định Vậy I cố định hay trung trực MN qua I cố định Bài 5: Cho đờng tròn (O; R) dây cung AB = R Điểm P khác A B Gọi (C; R1) đờng tròn qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) A.Gọi (D; R2) đờng tròn qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) B Các đờng tròn (C; R1) (D; R2) cắt M khác P Chứng minh P di động AB đờng thẳng PM qua điểm cố định Tìm hiểu đề bài: O M * Yếu tố cố định: (O; R), dây AB * Yếu tố không đổi: DPCO hình bình B C D A P hành S® cung BP cđa (D), s® cung AP cđa (C), Góc BMA không đổi Dự đoán Khi P A PM tiếp tuyến (O; R) I => điểm cố định nằm tiếp tuyến (O; R) A Khi P B PM tiếp tuyến (O; R)=> điểm cố định nằm tiếp tuyến (O; R) B Do tính chất đối xứng hình => Điểm cố định nằm đờng thẳng qua O vuông góc với AB => Điểm cố định nằm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB Lời giải: Vẽ đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB cắt PM I 62 62 Thaygiaongheo.com Chia sẻ kiến thức Tốn THCS v× AB = R => s® cung AB cđa (O) b»ng 1200 tam giác BDP cân góc OBA = góc DPB tam giác OAB cân góc OBA = góc OAB => gãc BDP = gãc BOA => s®cung BP cđa (D) = s® cung BA cđa (O) = 1200 tơng tự sđ cung PA (C) = 1200 ta cã gãc BMP = s® cung BP cña (D) = 600 ta cã gãc AMP = s® cung AP cđa (C) = 600 VËy gãc BMA = gãc BMP + gãc AMP = 1200 = gãc BOA xÐt tø gi¸c BMOA cã gãc BMA = góc BOA tứ giác BMOA nội tiếp hay M thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác BOA VËy s® cung IA = gãc IMA = gãc PMA = s® cung PA cđa (C) = 1200 Vậy I thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác AOB sđ cung IA = 1200 => I cố định hay MP qua I cố định Bài 6: Cho đoạn AB cố định, M di động AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vuông MADE MBHG Hai đờng tròn ngoại tiếp hai hình vuông cắt N Chứng minh đờng thẳng MN qua điểm cố định M di chuyển AB Hớng dẫn: Tơng tự G Giải: Giả sử MN cắt đờng tròn ®êng kÝnh AB t¹i I E H N D Ta cã Gãc ANM = Gãc ADM = 45 0( gãc nội tiếp chắn cung AM đờng tròn ngoại tiếp hình vuông AMDE) A B M I 63 63 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS Ta cã Gãc BNM = Gãc BGM = 450( gãc néi tiÕp chắn cung BM đờng tròn ngoại tiếp hình vu«ng MBGH) => gãcANB = Gãc ANM + Gãc BNM = 90 => N thuộc đờng tròn đờng đờng kÝnh AB vËy s® cung AI = 2s®Gãc ANI =2s®Gãc ANM = 900 Vậy I thuộc đờng tròn đờng kính AB số đo cung AI 900=> I cố định hay MN qua I cố địn Vài định hớng khai thác toán hình học cú c luyện tập tốt cần lưu ý số vấn đề sau - Chọn hệ thống tập cho luyện tập; - Phải xếp hệ thống câu hỏi từ dễ đến khó (có gợi mở); - Phải tổ chức tốt thể vai trò chủ đạo người thày; - Sau cần tập dượt cho học sinh nghiên cứu sâu lời giải (nếu có) Nội dung viết tơi số tốn đơn giản chương trình lớp bậc THCS phát triển rộng mức độ tương đương, phức tạp cao phù hợp với tư lơgíc em để tạo cho em niềm say mê học tập mơn tốn đặc biệt mơn hình học 64 64 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS Từ tập số trang 134 (SGK hình học lớp 9-NXB Giáo dục 2005), sau học sinh làm, thay đổi thành tốn có nội dung sau: Bài tốn 1: Cho ∆ABC cạnh a, gọi O trung điểm BC Trên cạnh AB, AC theo thứ tự lấy M, N cho góc MON = 600 a) Chứng minh BM CN = a2 ; b) Gọi I giao điểm BN OM Chứng minh BM.IN = BI.MN; c) Chứng minh MN tiếp xúc với đường trịn cố định Phân tích tốn: a) Ở phần a dạng toán chứng minh hệ thức, việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải toán quan trọng nhằm Chúng ta dùng phương pháp phân tích lên để tìm lời giải tốn Với sơ đồ sau: M B BM CN = a2 ⇑ BM CN = a a 2 ⇑ BM CN = BO.CO ⇑ BM CO = BO CN ⇑ ∆BMO đồng dạng ∆CON ⇑ Bˆ = Cˆ = 600 Căn vào sơ đồ ta có lời giải sau: Ta có ∆BMO: gócB+gócM+gócO = 1800 gócBMO+gócMON+gócNOC = 1800 (gócBOC = 1800) ⇒ gócBMO = gócCON; lại có Bˆ = Cˆ = 600 (vì∆ABCđều) ⇒ BM CO = ∆BMO đồng dạng ∆CON (g.g), từ suy BO CN hay BM CN = BO.CO ; mà 65 a BO = CO = BC a = 2 65 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS gócBMO = gócCON ⇑ gócB+gócBMO+gócBOM = gócBMO+gócMON+gócNOC (= 1800) b) Cũng tương tự phần b) thày giáo giúp học sinh phát triển tư lôgic, thao tác tư phân tích, tổng hợp, đặc biệt tư phân tích lên- thao tác tư đặc trưng mơn hình học Với phân tích học sinh thấy sử dụng tính chất đường phân giác tam giác BMN Nghĩa học sinh cần MI tia phân giác gócBMN Từ ta có lời giải sau: Theo phần a) BM MO BM MO = hay = BO ON lại có gócB = ∆BMO đồng dạng ∆CON suy CO ON gócMON (=600) ⇒ ∆BMO đồng dạng ∆OMN (c.g.c) Từ suy gócBMO = gócOMN MO tia phân giác góc BMN hay MI tia phân giác gócBMN Xét ∆BMN có MI tia phân giác gócBMN, áp dụng tính chất đường phân giác MB IB = tam giác ta có MN IN hay BM IN = BI MN (đpcm) c) Đây dạng tốn liên quan tính bất biến (cố định) tính thay đổi: Ứng với điểm M, N ta có vị trí đoạn thẳng MN thay đổi theo (chuyển động) lại ln tiếp xúc với đường trịn cố định (bất biến) Vậy trước tìm lời giải tốn giáo viên cần cho học sinh yếu tố cố định, yếu tố thay đổi A M H B N K I O C Ta có lời giải sau: Từ O kẻ OH, OK theo tứ tự vuông góc với AB MN Do O, AB cố định nên OH cố định Vậy đường tròn (O;OH) đường tròn cố định 66 66 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS Vì MO tia phân giác góc BMN nên OK = OH (t/c đường phân giác) → K∈ (O;OH) (1) lại có OK ⊥ MN ( cách dựng) (2) từ (1) (2) suy MN tiếp tuyến đường trịn (O;OH) Vậy MN ln tiếp xúc với đường tròn (O;OH) cố định Khai thác toán: Ở phần a) toán ta thấy tích BM.CN khơng đổi, sử dụng BĐT Cơsi ta có thêm câu hỏi sau: 1.1: Tìm vị trí M, N AB, AC để BM + CN đạt giá trị nhỏ Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm BM, CN ta có BM + CN ≥ BM CN dấu "=" xảy ⇔ BM = CN Theo phần a) BM CN = a2 a2 BM + CN ≥ =a (khơng đổi) a Vậy GTNN BM+CN = a ⇔ BM = CN = ⇔ M, N theo thứ tự trung điểm AB AC 1.2: Ta thử suy nghĩ tam giác ABC tam giác cân tốn cịn khơng? giả thiết nào? từ ta có tốn sau: Bài tốn 1.2: Cho tam giác ABC cân A, O trung điểm BC Trên cạnh AB, AC A theo thứ tự lấy điểm M, N cho gócBMO = gócCON Chứng minh rằng: BC BM CN = ; a) b) BN ∩ MO = { I } , Chứng minh M BI.MN = IN.BM; c) Khi M, N thay đổi AB, AC MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định N Với cách chứng minh hồn tồn tương tự, ta chứng minh gócB = gócMON I B O C Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC cân A, O thuộc cạnh BC đường tròn tâm O tiếp xúc với cạnh AB, AC tam giác Trên AB, AC theo thứ tự lấy hai điểm M, N Chứng minh MN tiếp tuyến đ ường tròn (O) ⇔ 67 BM CN = BC 67 ⇒ Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS A M B N P O C góc MON = gócB; gócBOM = gócONC; gócNOC = gócBMO; từ suy ∆BMO đồng dạng ∆CON (g.g) ( ⇐ ) Giả sử có ⇒ BM BO BC = ⇒ BM CN = CO CN (đpcm) BM CN = BC cần phải chứng minh MN tiếp tuyến (O) Cách 1: Chứng minh tương tự toán 1; Cách 2: Từ M dựng tiếp tuyến với (O) cắt AC N' Ta chứng minh N' ≡ N Theo phần thuận ta có BM CN ' = BC kết hợp với giả thiết ta suy BM.CN' = BM.CN ⇔ CN' = CN Mà N', N thuộc cạnh AC N' ≡ N (đpcm) Chú ý: - Nếu M nằm đoạn AB N nằm đoạn AC - Nếu M nằm ngồi đoạn AB N nằm ngồi đoạn AC Bài toán 1.4: Cho tam giác ABC cân B có gócB = 40 0, O trung điểm cạch AC, K chân đường vng góc kẻ từ O xuống AB, (O) đường tròn tâm O bán kính OK 1) Chứng minh (O) tiếp xúc với BC; HD Giải: 2) Giả sử E điểm thay đổi cạnh AC cho 1) Kẻ OH vuông góc với BC tam giác 200 ( n - 1)2 Vµ n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 3 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS VËy (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 => n2 - 2n + số phơng Bài 7: Cho số phơng có chữ số hàng chục