Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS båi dìng hsg toán thcs Chuyên đề 1: Phần I: Số phơng I- Định nghĩa: Số phơng số bình phơng số nguyên II- tính chất: 1- Số phơng có chữ số tËn cïng b»ng 0, 1, 4, 5, 6, 9; kh«ng thĨ cã ch÷ tËn cïng b»ng 2, 3, 7, 2- Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phơng chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 3- Số phơng có hai dạng 4n 4n+1 Không có số phơng có dạng 4n + 4n + (n � N) 4- Sè chÝnh ph¬ng có hai dạng 3n 3n +1 Không có số phơng có dạng 3n + ( n � N ) 5- Sè phơng tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phơng tận chữ số hàng chục Số phơng tận chữ số hàng chục chữ số lẻ 6- Số phơng chia hết cho chia hết cho Số phơng chia hết cho chia hÕt cho Sè chÝnh ph¬ng chia hÕt cho chia hết cho 25 Số phơng chia hết cho th× chia hÕt cho 16 III- Mét sè dạng tập số phơng A- Dạng 1: chứng minh số số phơng Bài 1: Chứng minh số nguyên x, y thì: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y số phơng Giải : Ta cã A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 2 2 = ( x xy y )( x xy y ) y 2 Đặt x xy y t (t �Z ) th× 2 4 2 2 A = ( t y )(t y ) y t y y t ( x xy y ) V× x, y, z � Z nªn x �Z , xy �Z , y �Z � x xy y Z Vậy A số phơng Bài 2: Chứng minh tÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp céng số phơng Giải : Gọi số tự nhiên, liên tiếp n, n+1, n+2, n+3 (n � Z) Ta cã: 2 2 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 2 = ( n 3n)( n 3n 2) (*) Đặt n 3n t (t �N ) th× (*) = t(t + 2) + = t2 + 2t + = (t + 1)2 = (n + 3n + 1)2 Vì n N nên n2 + 3n + � N VËy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + số phơng Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) Chøng minh r»ng 4S + lµ số phơng 1 Giải : Ta có: k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2) 4= k(k + 1)(k + 2) (k 3) ( k 1) 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + Theo kết => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + số phơng Bài 4: Cho d·y sè 49; 4489; 444889; 44448889; - DÃy số đợc xây dựng cách thêm số 48 vào chữ số đứng trớc đứng sau Chứng minh tất số dÃy số phơng Ta cã 44 488 89 = 44 488 + = 44 10n + 11 + n ch÷ sè n - ch÷ sè n ch÷ sè n ch÷ sè n ch÷ sè n ch÷ sè 10n 1 n 10n 1 10 1 = 4.102 n 4.10n 8.10n 4.102 n 4.10 n 9 = �2.10n � � � � � = Ta thÊy 2.10n + = 200 01 có tổng chữ số chia hết cho nªn nã chia hÕt cho n - ch÷ sè Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS �2.10n � � � � => Z hay số có dạng 44 488 89 số phơng Các tơng tự: Chứng minh số sau số chÝnh ph¬ng A = 11 + 44 + 2n ch÷ sè n ch÷ sè B = 11 + 11 + 66 + 2n ch÷ sè n+1 ch÷ sè n ch÷ sè C= 44 + 22 + 88 + 2n ch÷ sè n+1 ch÷ sè n ch÷ sè D = 22499 9100 09 n-2 ch÷ sè n ch÷ sè E = 11 155 56 n ch÷ sè n-1 ch÷ sè � 10n � � �; � � KÕt qu¶: A= � 10 n � B� �; � � �2.10n � C � � � � D = (15.10n - 3)2 E= Bài 5: Chứng minh tổng bình phơng số tự nhiên liên tiếp số phơng Gọi số tự nhiên liên tiếp n - 2, n - 1, n +1, n + ( n � N, n >2) Ta cã (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = (n2 + 2) Vì n2 tận n + kh«ng thĨ chia hÕt cho => (n2 + 2) không số phơng hay A không số phơng Bài 6: Chứng minh r»ng sè cã d¹ng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 n N n >1 số phơng n6 - n + 2n3 + 2n2 = n2 (n4 - n2 + 2n +2) = n2 [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] = n 2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 1)] = n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) Víi n �N, n > th× n2 - 2n + = ( n -1)2 + > ( n - 1)2 Vµ n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 VËy (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 => n2 - 2n + số phơng Thaygiaongheo.com Chia s kiến thức Tốn THCS Bµi 7: Cho sè chÝnh phơng có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phơng số phơng Ta biết số phơng có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phơng 1,3,5,7,9 tổng cđa chóng b»ng + + + + = 25 = 52 số phơng Bài 8: Chứng minh tổng bình phơng số lẻ số phơng a b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + (Víi k, m � N) => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = (k2 + k + m2 + m) + => a2 + b2 kh«ng thể số phơng Bài 9: Chứng minh nÕu p lµ tÝch cđa n (víi n > 1) số nguyên tố p - p + số phơng Vì p tích n số nguyên tố nên p M2 p chia hết cho (1) a- Giả sử p + số phơng Đặt p + = m2 ( m N) Vì p chẵn nên p + lẻ => m2 lẻ => m lẻ Đặt m = 2k + (k � N) Ta cã m2 = 4k2 + 4k + => p + = 4k2 + 4k +1 => p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) M m©u thn víi (1) => p + số phơng b- p = 2.3.5 số chia hết cho => p - cã d¹ng 3k + => p - không số phơng Vậy p tích n (n >1) số nguyên tố p - p + không số phơng Bài 10: Giả sử N = 1.3.5.7 2007 2011 Chøng minh r»ng sè nguyªn liªn tiÕp 2N - 1, 2N 2N + số sè chÝnh ph¬ng a- 2N - = 2.1.3.5.7 2011 - Cã 2N M => 2N - = 3k + (k � N) => 2N - không số phơng b- 2N = 2.1.3.5.7 2011 => 2N ch½n => N lẻ => N không chia hết cho 2N M nhng 2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia cho d d => 2N không số ph¬ng Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS c- 2N + = 2.1.3.5.7 2011 + 2N + lẻ nên 2N + kh«ng chia hÕt cho 2N kh«ng chia hÕt 2N + không chia cho d => 2N + không số phơng Bµi 11: Cho a = 11 ; b = 100 05 2010 ch÷ số Chứng minh Giải: 2009 chữ số ab số tự nhiên b = 100 05 = 100 - + = 99 + = 9a + 2009 ch÷ sè 2010 ch÷ sè 2010 ch÷ sè ab + = a(9a + 6) + = 9a + 6a + = (3a + 1)2 B d¹ng 2: tìm giá trị biến để biểu thức số phơng Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phơng a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) c) 13n + d) n2 + n + 1589 Gi¶i: a) Vì n2 + 2n + 12 số phơng nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k � N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n + 1)2 = 11 (k + n + 1)(k – n - 1) = 11 NhËn xÐt thÊy k + n + > k - n - chúng số nguyên dơng, nªn ta cã thĨ viÕt (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1 k + n + = 11 k=6 k-n–1=1 n=4 2 2 b) đặt n(n + 3) = a (n N) n + 3n = a 4n + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 (2n + 3)2 – 4a2 = (2n + + 2a)(2n + – 2a) = NhËn xÐt thÊy 2n + + 2a > 2n + 2a chúng số nguyên dơng, nên ta cã thÓ viÕt (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 2n + + 2a = n=1 2n + – 2a = a=2 c) Đặt 13n + = y2 (y N) 13(n - 1) = y2 – 16 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4) (y + 4)(y 4) 13 mà 13 số nguyên tố nên y + 13 hc y – 13 y = 13k (víi k � N) 13(n - 1) = (13k 4)2 – 16 = 13k.(13k 8) 13k2 8k + VËy n = 13k2 8k + (víi k N) 13n + số phơng d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m � N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS NhËn xÐt thÊy 2m + 2n + > 2m – 2n – > vµ chóng lµ số lẻ, nên ta viết (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n cã thể có giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28 Bài tơng tự : Tìm a để số sau số phơng a) a2 + a + 43 b) a2 + 81 c) a2 + 31a + 1984 KÕt qu¶: a) 2; 42; 13 b) 0; 12; 40 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728 Bài : Tìm số tự nhiên n cho tæng 1! + 2! + 3! + … + n! số phơng Với n = 1! = = 12 số phơng Với n = 1! + 2! = không số phơng Với n = th× 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 33 số phơng Víi n ta cã 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 5!; 6!; ; n! tận bëi ®ã 1! + 2! + 3! + n! có tận chữ số nên số phơng Vậy có số tự nhiên n thoả mÃn đề n = 1; n = Bài 3: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 số phơng Giả sử 2010 + n2 số phơng 2010 + n2 = m2 (m) Từ suy m2 - n2 = 2010 (m + n) (m – n) = 2010 Nh vËy sè m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m n = 2m sè m + n vµ m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) m + n vµ m – n lµ sè ch½n (m + n) (m – n) nhng 2006 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phơng Bài 4: Biết x x > Tìm x cho Đẳng thức đà cho đợc viết lại nh sau: Do vế trái số phơng nên vế phải sè chÝnh ph¬ng Mét sè chÝnh ph¬ng chØ cã thĨ tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nªn x chØ cã thĨ tËn chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x chữ số nên x 9, kết hợp với điều kiện đề ta cã x vµ < x (2) Tõ (1) (2) x nhận giá trị 5; 6; Thaygiaongheo.com Chia s kiến thức Tốn THCS B»ng phÐp thư ta thÊy chØ có x = thoả mÃn đề bài, 76 = 5776 Bài 5: Tìm số tự nhiên n cã ch÷ sè biÕt r»ng 2n + 3n + số phơng Ta cã 10 n 99 nªn 21 2n + 199 Tìm số phơng lẻ khoảng ta ®ỵc 2n + b»ng 25; 49; 81; 121; 169 t¬ng øng víi sè n b»ng 12; 24; 40; 60; 84 Sè 3n + b»ng 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phơng Vậy n = 40 Bµi 6: Chøng minh r»ng nÕu n lµ số tự nhiên cho n + 2n + số phơng n bội số 24 Vì n + 2n + số phơng nên đặt n + = k2, 2n + = m2 (k, m ) Ta có m số lẻ m = 2a + m2 = 4a(a + 1) + Mà n chẵn n + lẻ k lẻ ®Ỉt k = 2b + (víi b) k2 = 4b(b+1) + n = 4b(b+1) n (1) Ta cã: k2 + m2 = 3n + 2 (mod3) Mặt khác k2 chia cho d 1, m2 chia cho d Nên để k2 + m2 (mod3) th× k2 (mod3) m2 (mod3) m2 – k2 hay (2n + 1) – (n + 1) n (2) Mµ (8; 3) = (3) Tõ (1), (2), (3) n 24 Bài 7: Tìm tất số tự nhiên n cho sè 28 + 211 + 2n lµ sè phơng Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) th× 2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) 2p 2q = (a + 48) (a – 48) víi p, q N ; p + q = n vµ p > q a + 48 = 2p 2p 2q = 96 2q (2p-q – 1) = 25.3 a – 48 = 2q q = vµ p – q = p = n = + = 12 Thư l¹i ta cã: 28 + 211 + 2n = 802 C.d¹ng : Tìm số phơng Bài : Cho A số phơng gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta đợc số phơng B HÃy tìm số A B Gọi A = Nếu thêm vào chữ số A đơn vị th× ta cã sè Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS B = víi k, m N vµ 32 < k < m < 100 a, b, c, d = Ta cã: A= B = §óng céng kh«ng cã nhí 2 m – k = 1111 (m - k)(m + k) = 1111 (*) NhËn xÐt thÊy tÝch (m – k)(m + k) > nên m k m + k số nguyên dơng Và m k < m + k < 200 nªn (*) cã thĨ viÕt (m – k) (m + k) = 11.101 Do ®ã: m – k = 11 m = 56 A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bài 2: Tìm số phơng gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị Đặt ta có k N, 32 k < 100 Suy : 101 = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) k + 10 101 hc k – 10 101 Mµ (k – 10; 101) = k + 10 101 Vì 32 k < 100 nên 42 k + 10 < 110 k + 10 = 101 k = 91 = 912 = 8281 Bµi 3: Tìm số phơng có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Gọi số phơng phải tìm là: = n2 víi a, b N, a 9; b Ta cã: n2 = = 11 = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1) NhËn xÐt thÊy 11 a + b 11 Mµ a 9; b nªn a + b 18 a + b = 11 Thay a + b = 11 vào (1) đợc n2 = 112(9a + 1) 9a + số phơng Bằng phép thử víi a = 1; 2;…; ta thÊy chØ cã a = thoả mÃn b = Số cần tìm là: 7744 Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phơng vừa lập phơng Gọi số phơng Vì abcd vừa số phơng vừa lập phơng nên đặt = x2 = y3 với x, y N Vì y3 = x2 nên y sè chÝnh ph¬ng Ta cã : 1000 9999 10 y 21 y phơng y = 16 = 4096 Bài : Tìm số phơng gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phơng Gọi số phải tìm với a, b, c, d nguyên a 9; b, c, d chÝnh ph¬ng d Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS d nguyên tố d = Đặt = k2 < 10000 32 k < 100 k lµ mét sè cã hai chữ số mà k2 có tận k tận Tổng chữ số k số phơng k = 45 = 2025 Vậy số phải tìm là: 2025 Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phơng số viết số bở hai chữ số số nhng theo thứ tự ngợc lại số phơng Gọi số tự nhiên có hai chữ sốphải tìm (a, b N, a, b 9) Số viết theo thứ tự ngợc lại Ta cã - = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2) 11 a2 – b2 11 Hay (a - b) (a + b) 11 V× < a – b 8, a + b 18 nªn a + b 11 a + b = 11 Khi ®ã: - 2= 32 112 (a b) Để - số phơng a b phải số phơng a b = a – b = NÕu a – b = kÕt hỵp víi a + b = 11 a = 6, b = , = 65 Khi ®ã 652 – 562 = 1089 = 332 NÕu a – b = kÕt hỵp víi a + b = 11 a = 7,5 loại Vậy số phải tìm 65 Bài 7: Cho số phơng có chữ số Nếu thêm vào chữ số ta đợc số phơng Tìm số phơng ban đầu (Kết quả: 1156) Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phơng số lập phơng tổng chữ số Gọi số phải tìm với a, b N, a 9; b Theo gi¶ thiÕt ta cã: = (a + b)3 (10a +b)2 = (a + b)3 lập phơng a + b số phơng Đặt = t3 (t N), a + b = 12 (1 N) V× 10 ab 99 = 27 hc = 64 NÕu = 27 a + b = số phơng Nếu = 64 a + b = 10 không số phơng loại Vậy số cần tìm ab = 27 Bài : Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phơng số có chữ số giống Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS Gäi số lẻ liên tiếp 2n - ; 2n + ; 2n + (n N) Ta cã : A = (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n +3)2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề ta đặt 12n2 + 12n + 11 = = 1111 a với a lẻ a 12n(n + 1) = 11(101a – 1) 101a – 2a – V× a nên 2a 17 2a lẻ nên 2a a Vì a lẻ a = n = 21 số cần tìm là: 41; 43; 45 Bài 10 : Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phơng chữ số số (a + b) = a3 + b3 10a + b = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab 3a (3 + b) = (a + b) (a + b – 1) a + b vµ a + b – nguyên tố a + b = 3a hc a + b – = 3a a+b–1=3+b a+b=3+b a = 4, b = hc a = 3, b = VËy = 48 hc = 37 Chuyên đề 2: phơng trình nghiệm nguyên Tìm nghiệm nguyên Phơng trình hệ phơng trình bậc nhÊt hai Èn T tõng bµi thĨ mµ lµm cách khác VD1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x + 3y = 11 (1) Cách 1: Phơng ph¸p tỉng qu¸t: Ta cã: 2x + 3y = 11 Để phơng trình có nghiệm nguyên nguyên Đặt y = 2t + x = -3t + C¸ch : Dùng tính chất chia hết Vì 11 lẻ 2x + 3y số lẻ mà 2x số chẵn 3y lẻ y lẻ Do : y = 2t + víi x = -3t + Cách : Ta nhân thấy phơng trình có cặp nghiệm nguyên đặc biệt 10 Thaygiaongheo.com Chia s kin thc Toỏn THCS Giải: Vẽ đờng kính BD => D cố định C Giả sử đờng thẳng qua M vuông góc với BC d cắt BC cắt AD t¹i I M DƠ thÊy gãc BCD = 900 hay MI // CD O XÐt tam gi¸c ACD cã MC = MA; MI // CD I => I lµ trung điểm DA cố định hay đờng thẳng qua M vuông góc với BC B A qua I cố định Bài 4: Cho tam giác ABC hai ®iĨm M, N thø tù chun ®éng trªn hai tia BA, CA cho BM= CN Chøng minh r»ng ®êng trung trực MN qua điểm I cố định A Hớng dẫn: M Khi M B N C ®ã ®êng trung trùc N cđa MN trung trực BC Vậy điểm cố định nằm đờng trung trực BC C B Giải: Giả sư trung trùc cđa BC c¾t trung trùc cđa MN I Dễ thấy tam giác IMB = tam giác INC (c-cc) vËy gãc MBI = gãc NCI XÐt tø gi¸c ABCI cã gãc MBI = gãc NCI vËy tø giác ABCI nội tiếp hay I thuộc đờng tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố định, mà Trung trực BC cố định Vậy I cố định hay trung trực MN qua I cố định 56 Thaygiaongheo.com Chia s kin thc Toỏn THCS Bài 5: Cho đờng tròn (O; R) dây cung AB = R Điểm P khác A B Gọi (C; R1) đờng tròn qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) A.Gọi (D; R2) đờng tròn qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) B Các đờng tròn (C; R1) (D; R2) cắt M khác P Chứng minh P di động AB đờng thẳng PM qua điểm cố định Tìm hiểu đề bài: * Yếu tố cố định: (O; R), dây AB O * Yếu tố không đổi: DPCO hình bình hành Sđ cung BP cđa (D), s® cung AP cđa M B C D A P (C), Góc BMA không đổi Dự đoán Khi P A PM tiếp tuyến (O; R) => điểm cố định nằm tiếp tuyến (O; I R) A Khi P B PM tiếp tuyến (O; R)=> điểm cố định nằm tiếp tuyến (O; R) B Do tính chất đối xứng hình => Điểm cố định nằm đờng thẳng qua O vuông góc với AB => Điểm cố định nằm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB Lời giải: Vẽ đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB cắt PM I AB = R => s® cung AB cđa (O) b»ng 1200 tam giác BDP cân góc OBA = góc DPB tam giác OAB cân góc OBA = gãc OAB => gãc BDP = gãc BOA => s®cung BP cđa (D) = s® cung BA cđa (O) = 1200 tơng tự sđ cung PA (C) = 1200 ta cã gãc BMP = s® cung BP cđa (D) = 600 ta cã gãc AMP = s® cung AP cña (C) = 600 57 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS VËy gãc BMA = gãc BMP + gãc AMP = 1200= gãc BOA xÐt tø giác BMOA có góc BMA = góc BOA tứ giác BMOA nội tiếp hay M thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác BOA Vậy sđ cung IA = gãc IMA = gãc PMA = s® cung PA cđa (C) = 120 Vậy I thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác AOB sđ cung IA = 120 => I cố định hay MP qua I cố định Bài 6: Cho đoạn AB cố định, M di động AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vuông MADE MBHG Hai đờng tròn ngoại tiếp hai hình vuông cắt N Chứng minh đờng thẳng MN qua điểm cố định M di chuyển AB Hớng dẫn: Tơng tự Giải: G Giả sử MN cắt đờng tròn đờng kính AB I Ta cã Gãc ANM = Gãc ADM = 45 ( gãc néi tiÕp E H N D cïng ch¾n cung AM đờng tròn ngoại tiếp hình vuông AMDE) A Ta cã Gãc BNM = Gãc BGM = 45 ( gãc néi tiÕp B M cïng ch¾n cung BM cđa đờng tròn ngoại tiếp hình vuông MBGH) I => gãcANB = Gãc ANM + Gãc BNM = 90 => N thuộc đờng tròn đờng đờng kính AB sđ cung AI = 2s®Gãc ANI =2s®Gãc ANM = 900 VËy I thuộc đờng tròn đờng kính AB số đo cung AI 900=> I cố định hay MN qua I cố địn 58 Thaygiaongheo.com Chia s kin thc Toỏn THCS Vài định hớng khai thác toán h×nh häc Để có luyện tập tốt cần lưu ý số vấn đề sau - Chọn hệ thống tập cho luyện tập; - Phải xếp hệ thống câu hỏi từ dễ đến khó (có gợi mở); - Phải tổ chức tốt thể vai trò chủ đạo người thày; - Sau cần tập dượt cho học sinh nghiên cứu sâu lời giải (nếu có) Nội dung viết tơi số tốn đơn giản chương trình lớp bậc THCS phát triển rộng mức độ tương đương, phức tạp cao phù hợp với tư lơgíc em để tạo cho em niềm say mê học tập mơn tốn đặc biệt mơn hình học Từ tập số trang 134 (SGK hình học lớp 9-NXB Giáo dục 2005), sau học sinh làm, tơi thay đổi thành tốn có nội dung sau: Bài toán 1: Cho ∆ABC cạnh a, gọi O trung điểm BC Trên cạnh AB, AC theo thứ tự lấy M, N cho góc MON = 600 a) Chứng minh ; b) Gọi I giao điểm BN OM Chứng minh BM.IN = BI.MN; c) Chứng minh MN tiếp xúc với đường trịn cố định Phân tích tốn: 59 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS a) Ở phần a dạng toán chứng minh hệ thức, việc hướng dẫn học sinh tìm l Chúng ta dùng phương pháp phân tích lên để tìm lời giải tốn Với sơ đồ sau Căn vào sơ đồ ta có lời giải sau: Ta có ∆BMO: gócB+gócM+gócO = 1800 gócBMO+gócMON+gócNOC = 1800 (gócBOC = 1800) ∆BMO đồng dạng ∆CON gócBMO = gócCON; lại có (vì∆ABCđều) ∆BMO đồng dạng ∆CON (g.g), từ suy hay ; mà (đpcm) gócBMO = gócCON gócB+gócBMO+gócBOM = gócBMO+gócMON+gócNOC (= 1800) b) Cũng tương tự phần b) thày giáo giúp học sinh phát triển tư lôgic, thao tác tư phân tích, tổng hợp, đặc biệt tư phân tích lên- thao tác tư đặc trưng mơn hình học Với phân tích học sinh thấy sử dụng tính chất đường phân giác tam giác BMN Nghĩa học sinh cần MI tia phân giác gócBMN Từ ta có lời giải sau: 60 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS Theo phần a) ∆BMO đồng dạng ∆CON suy lại có gócB = gócMON (=60 0) ∆BMO đồng dạng ∆OMN (c.g.c) Từ suy gócBMO = gócOMN MO tia phân giác góc BMN hay MI tia phân giác gócBMN Xét ∆BMN có MI tia phân giác gócBMN, áp dụng tính chất đường phân giác tam giác ta có hay (đpcm) c) Đây dạng tốn liên quan tính bất biến (cố định) tính thay đổi: Ứng với điểm M, N ta có vị trí đoạn thẳng MN thay đổi theo (chuyển động) lại tiếp xúc với đường tròn cố định (bất biến) Vậy trước tìm lời giải tốn giáo viên cần cho học sinh yếu tố cố định, yếu tố thay đổi A M H N K I B O C Ta có lời giải sau: Từ O kẻ OH, OK theo tứ tự vng góc với AB MN Do O, AB cố định nên OH cố định Vậy đường tròn (O;OH) đường tròn cố định Vì MO tia phân giác góc BMN nên OK = OH (t/c đường phân giác) → K(O;OH) (1) lại có OKMN ( cách dựng) (2) từ (1) (2) suy MN tiếp tuyến đường trịn (O;OH) Vậy MN ln tiếp xúc với đường trịn (O;OH) cố định Khai thác tốn: Ở phần a) tốn ta thấy tích BM.CN khơng đổi, sử dụng BĐT Cơsi ta có thêm câu hỏi sau: 1.1: Tìm vị trí M, N AB, AC để BM + CN đạt giá trị nhỏ Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm BM, CN ta có dấu "=" xảy BM = CN Theo phần a) (khơng đổi) Vậy GTNN BM+CN = a BM = CN = M, N theo thứ tự trung điểm AB AC 61 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS 1.2: Ta thử suy nghĩ tam giác ABC tam giác cân tốn cịn khơng? giả thiết nào? từ ta có toán sau: Bài toán 1.2: Cho tam giác ABC cân A, O trung điểm BC Trên cạnh AB, AC A theo thứ tự lấy điểm M, N cho gócBMO = gócCON Chứng minh rằng: a) ; b) BNMO = , Chứng minh BI.MN = IN.BM; c) Khi M, N thay đổi AB, AC MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định N Vớ i M cá ch I ch ứn g C B O mi Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC cân A, O thuộc cạnh BC đường trònnh tâm O tiếp hoN xúc với cạnh AB, AC tam giác Trên AB, AC theo thứ tự lấy hai điểm M, àn Chứng minh MN tiếp tuyến đ ường trịn (O) tồ n A tư ơn N P g M tự, ta ch O B Cứn g mi nh đư ợc gó góc MON = gócB; gócBOM = gócONC; gócNOC = gócBMO; từ suy ∆BMO đồng cB dạng ∆CON (g.g) (đpcm) = gó () Giả sử có cần phải chứng minh MN tiếp tuyến (O) c Cách 1: Chứng minh tương tự toán 1; M Cách 2: Từ M dựng tiếp tuyến với (O) cắt AC N' Ta chứng minh N'N O N Theo phần thuận ta có kết hợp với giả thiết ta suy BM.CN' = BM.CN CN' = CN Mà N', N thuộc cạnh AC N' N (đpcm) Chú ý: - Nếu M nằm đoạn AB N nằm đoạn AC 62 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS - Nếu M nằm ngồi đoạn AB N nằm ngồi đoạn AC Bài tốn 1.4: Cho tam giác ABC cân B có gócB = 40 0, O trung điểm cạch AC, K chân đường vng góc kẻ từ O xuống AB, (O) đường trịn tâm O bán kính OK 1) Chứng minh (O) tiếp xúc với BC; 2) Giả sử E điểm thay đổi cạnh AC cho góc AOE = , kẻ tiếp tuyến EF với đường tròn (O) tiếp súc với (O) P a) Tính theo góc tứ giác AEFC; b) AEO đồng dạng với COF; c) Tính để AE + CF nhỏ (Đề thi chuyên toán ĐHSP H N năm 2005) HD Giải: B 1) Kẻ OH vng góc với BC tam giác ABC cân B nên OH = OK H nằm F P (O), lại có OH BC H nên BC tiếp E tuyến (O) 2) a) Ta có , tương tự tốn ta suy O A C góc AEF = 2(1100-), góc CFE = b) AEO đồng dạng với COF (c.g.c) c) Tương tự lời giải ý 1.1 ta suy E, F trung điểm BA, BC Bài tốn 1.5: Cho đường trịn (I) tiếp xúc với hai cạnh góc xOy A B Từ C cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn (I) cắt Ox, Oy theo thứ tự M, N Xác định vị trí C cung nhỏ AB để MN có độ dài nhỏ O M N C B A P I Q Ta có MN = AM + BN = MP + NQ - AP - BQ = MP + NQ - 2AP 63 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS Do MN nhỏ MP + NQ nhỏ (Áp dụng kết tốn 1.1) ta có C điểm cung nhỏ AB Nếu tiếp tục khai thác tốn ban đầu ta đưa số toán cho học sinh tự làm, coi tập nhà để học sinh tự giải Bài toán 1.6: Cho ABC cân A Lấy M, N cạnh AB, AC cho Tìm vị trí M, N cho AMN có diện tích lớn Bài tốn 1.7: Cho M, M' tia AB tia đối tia BA; N, N' thuộc tia CA tia đối tia CA Chứng minh rằng: 1) Nếu MB.NC = M'B.N'C = tứ giác MM'N'N ngoại tiếp đường tròn; 2)Phân giác tạo MN MM' qua điểm cố định Bài toán 1.8: 1) Cho ABC Dựng hai điểm P, Q thứ tự AB AC cho AP = AQ BP.CQ =; 2) Cho hình vng ABCD, lấy điểm F thuộc CD, G thuộc BC cho EG//AF (với E trung điểm AB) Chứng minh FG tiếp tuyến đường trịn nội tiếp hình vng Bài tốn 1.9: Cho tam giác ABC cân A Đường trịn có tâm O trung điểm BC tiếp xúc với AB, AC thứ tự H K Lấy P thuộc đoạn AB, Q thuộc đoạn AC cho PQ tiếp tuyến (O) Tìm quĩ tích tâm O' đường tròn ngoại tiếp tam giác OPQ Với cách làm tương tự trên, phương pháp đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự thao tác tư thuận đảo ta hình thành cho học sinh tư lơgíc, tư sáng tạo, tính độc đáo tốn học Chẳng hạn ta có tốn sau: Bài tốn 2: Cho đường trịn (O) đường kính CD Từ C D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy với đường tròn Từ điểm E nằm đường tròn, kẻ tiếp tuyến với đường trịn cắt Cx A Dy B Chứng minh góc AOB = 900 Phân tích tốn: y x B E A K C J O D 64 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS Để chứng minh góc AOB = 900, ta làm nhiều cách khác Chẳng hạn: - Ta chứng minh OA, OB hai tia phân giác cặp góc kề bù; - Ta chứng minh góc AOB = góc CED, mà góc CED = 900 gócAOB = 900 nên Do +) đồng dạng với (g.g) nên góc AOB = góc CED, mà góc CED = 900 góc AOB = 900 +) Tứ giác OKEJ hình chữ nhật ( có ba góc vng) nên góc AOB = 900 Tiếp tục tư cịn tìm thêm vài cách giải khác Sau ta xét cách giải đó: Ta có góc ACO = gócAEO = 900 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) suy gócACO + góc AEO = 1800 suy tứ giác ACOE nội tiếp Do ta có gócEAO = gócECO (hai góc chắn cung OE) Tương tự ta có gócEBO = gócEDO, mà gócECO + gócEDO = 90 (vì gócCEO = 900góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Nên gócEAO + gócEBO = 90 Từ suy gócAOB = 900 (Đpcm) Khai thác tốn: - Nếu ta thay đổi vài điều kiện tốn, chẳng hạn vị trí điểm O thay điểm M CD Khi đường thẳng vng góc với ME E khơng cịn tiếp tuyến mà trở thành cát tuyến với (O) Thế u cầu tốn chứng minh gócAMB = 900 cịn hay khơng? Điều cịn đúng, từ ta có tốn khác sau: Bài tốn 2.1: Cho đường trịn (O) đường kính CD Từ C, D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy Một điểm E nằm đường tròn, điểm M nằm CD (M không trùng với C, D, O) Qua E kẻ đường thẳng vng góc với ME cắt Cx, Dy theo thứ tự A B Chứng minh gócAMB = 900 x -)Tại ta lại đặt vấn đề M khác C, D, O y A E 65 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS - Vì M O trở lại tốn - Cịn M C đường thẳng ME cắt Cx A, cắt Dy B D Khi ta có góc AMB = 900 O Nếu M D tương tự DB MC y x A E B C M D O Ta trở lại toán: Như tương tự toán ta có: gócMAB = gócECM (do tứ giác ACME nội tiếp) gócEBM = gócEDM (do tứ giác BDME nội tiếp) mà gócECM + góc EDM = 900 (do gócCED = 900) Nên gócAMB = 900 -) Ta tiếp tục khai thác mở rộng toán, chẳng hạn điểm M không nằm đoạn CD mà nằm đường thẳng CD giữ nguyên điều kiện tốn 2.1 sao? từ ta có tốn sau: Bài tốn 2.2: Cho đường trịn (O) đường kính CD Từ C, D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy Một điểm E nằm đường tròn, điểm M nằm đường thẳng CD (M không trùng với C, D, O) Qua E kẻ đường thẳng vng góc với ME cắt Cx, Dy theo thứ y tự A B Chứng minh gócAMB =x 900 A E C M O D B 66 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS - Muốn chứng minh góc AMB = 900 ta dựa vào cách chứng minh tốn Ta chứng minh gócMAB + gócMBA = 900 Muống chứng minh gócMAB + góc MBA = 900 ta chứng minh gócMAB + gócMBA = gócCDE + gócDCE = 900 Để chứng minh điều ta cần chứng minh gócMAB = gócECD, gócMBA = gócMDE Như ta cần phải chứng minh tứ giác AMCE, MEDB nội tiếp Từ ta có lời giải sau: Chứng minh: Ta có gócACM = gócAEM = 900, tứ giác AMCE nội tiếp gócMAB = góc ECD (cùng bù gócMCE) Tương tự tứ giác MEDB nội tiếp gócMAB = gócMDE (cùng chắn cung) Mà gócECD + gócEDC = 900 Do gócMBA + gócMAB = 900 Suy gócAMB = 900 Như nhìn lại tốn ta đưa thành tốn tổng qt sau: Bài toán 2.3: (Bài toán tổng quát) Cho đường trịn (O) đường kính CD Một điểm E thuộc đường trịn (O) M điểm thuộc đường thẳng CD Kẻ đường thẳng vng góc với ME E cắt tiếp tuyến Cx, Dy đường trịn A B Chứng minh góc AMB = 900 Vẫn tiếp tục toán ta khai thác theo khía cạnh khác, ta có tốn sau: Bài tốn 2.4: Cho đường trịn (O;), qua A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By đường tròn Một điểm M thuộc đường tròn, qua M kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By theo thứ tự C D 1) Chứng minh CD = AC + BD; y 2) Đường trịn ngoại tiếp tam giác COD ln tiếp xúc với đường thẳng cố định M thay đổi đường tròn x 3) AD cắt BC H chứng minh MH // AC D M C H A K O B 67 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS Phân tích tốn: 1) Với phần phù hợp với học sinh trung bình học xong tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, Ta thấy CM = CA; DM = DB từ suy CM + DM = CA + DB mà M nằm C D nên CD = CA + DB 2) Cũng tương tự toán ta có COD vng O Mặt khác gọi I trung điểm CD O (1) Lại có tứ giác ABDC hình thang, OI đường trung bình nên OI // CA, mà CA AB IO AB (2) Từ (1) (2) suy AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác COD Mà AB đường thẳng cố định nên đường tròn ngoại tiếp tam giác COD tiếp xúc với đường thẳng AB cố định M thay đổi đường trịn 3) Với phần tốn hay địi hỏi học sinh phải dùng phương pháp phân tích lên để tìm lời giải tốn Hơn để tìm lời giải học sinh cịn phải huy động kiến thức định lí Talét đảo Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm lời giải tốn sơ đồ phân tích lên, sau: MH //AC Từ yêu cầu học sinh lên bảng vào sơ đồ trình bày lời giải tốn: Ta có AC, BD hai tiếp tuyến (O) đường kính AB nên ACAB, BDAB AC // BD (vì DM=DB; Xét ACH có AC // BD áp dụng hệ định lí Talét, MC=CA) ta có mà DB = DM; AC = MC nên ta có áp dụng định lí Talét đảo tam giác DAC suy MH // AC // DB (AB) AC 68 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS Khai thác toán: -) Giáo viên đặt vấn đề cho học sinh suy nghĩ Gọi giao điểm MH AB K, có nhận xét vị trí H MK? Từ ta có tốn: Bài tốn 5: Với giả thiết toán Chứng minh H trung điểm MK -) Nếu gọi P giao điểm BM Ax Thì ta có kết C trung điểm AP -) Nếu giáo viên cho thêm điều kiện AC = R (AB = 2R) lại có tốn liên quan đến tính tốn Từ ta có tốn sau: Bài toán 2.6: Cho , từ A, B kẻ tiếp tuyến Ax, By đường tròn Một điểm C tia Ax cho AC = R Từ C kẻ tiếp tuyến CM tới đường tròn cắt By D AD cắt BC H 1) Tính số đo gócAOM; 2) Chứng minh trực tâm tam giác ACM nằm (O); 3) Tính MH theo R -) Bây lại xét tốn khơng tĩnh nữa, mà cho điểm C thay đổi tia Ax cho AC trực tâm ACM thay đổi theo Từ ta có tốn sau: Bài toán 2.7: Cho , từ A, B kẻ tiếp tuyến Ax, By đường tròn Một điểm C tia Ax cho AC R Từ C kẻ tiếp tuyến CM tới đường tròn cắt By D.Gọi H trực tâm tam giác ACM Tìm quĩ tích điểm H -) Lại nhìn tốn góc độ tốn cực trị hình học, ta có toán sau: Bài toán 2.8: Cho từ A, B kẻ tiếp tuyến Ax, By đường tròn Một điểm M đường tròn, từ M kẻ tiếp tuyến (O) cắt Ax, By thứ tự C D Tìm vị trí điểm M để: 1) CD có độ dài nhỏ nhất; 2) Diện tích tam giác COD nhỏ Như xuất phát từ toán SGK, thao tác tư lật ngược vấn đề, tương tự, khái quát hoá, tương tự hoá,… sáng tạo nhiều toán xuất phát từ tốn gốc q trình tìm lời giải, nghiên cứu sâu lời giải: toán tính tốn, tốn quĩ tích, tốn cực trị,… Việc làm người thày 69 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS lặp đi, lặp lại thường xuyên trình lên lớp hình thành cho học sinh có phương pháp, thói quen đào sâu suy nghĩ, khai thác tốn nhiều góc độ khác Đặc biệt rèn cho học sinh có phương pháp tìm lời giải tốn phương pháp phân tích lên-một phương pháp tư đặc trưng hiệu học mơn hình học Thơng qua học sinh phát triển lực sáng tạo toán học, học sinh giỏi Qua dạy người thày cần giúp học sinh làm quen sau tạo hội cho học sinh luyện tập, thể cách thường xuyên thông qua hệ thống câu hỏi gợi mở, hệ thống tập từ dễ đến khó Trên vài ý tưởng tơi đưa trình lên lớp luyện tập hình học Theo tơi có tác dụng: - Giúp em củng cố kiến thức học; - Giúp em biết vận dụng kiến thức học vào tập; - Rèn kĩ trình bày cho học sinh; - Phát triển tư toán học thơng qua thao tác tư khái qt hố, đặc biệt hoá, tương tự hoá, tư thuận đảo,… - Dần dần hình thành phương pháp tìm lời giải tốn hình học, tư linh hoạt, phương pháp học toán, học sáng tạo toán học 70 ... thoả mÃn toán Bài toán có nghiệm Ta tìm đợc hình chữ nhật thoả mÃn đề bài: (a = 13, b = 1); (a = 26, b = 2); (a = 39, b = 3); (a = 52, b = 4) 14 Thaygiaongheo.com Chia s kin thc Toỏn THCS Chuyên... 200 01 có tổng chữ số chia hết chia hết cho n - chữ sè Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS �2.10n � � � � => Z hay số có dạng 44 488 89 số phơng Các tơng tự: Chứng minh số sau... 2N chẵn nên 2N không chia cho d d => 2N không số phơng Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS c- 2N + = 2.1.3.5.7 2011 + 2N + lẻ nên 2N + không chia hÕt cho 2N kh«ng chia hÕt 2N +