O Bài 4: Cho đường tròn ; đường kính AB 2 R ; tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F cho BF cắt đường tròn C ; tia phân giác ABF cắt đường tròn E cắt tiếp tuyến Ax D a)Chứng minh OD // BC b)Chứng minh BD.BE BC.BF c)Chứng minh : tứ giác CDEF nội tiếp d)Xác định số đo ABC để tứ giác AOCD hình thoi.Tính diện tích tứ giác AOCD theo R Lời giải : F a)Chứng minh : OD / / BC Ta có CBD; DBA góc nội tiếp chắn cung AD; DC Maf CBD DBA AD DC AD DC kết hợp với OA OC R OD AC ( OD đường trung trực AC ) Mà C đường trịn đường kính AB ACB 90 AC CB CB / / OD b)Ta có : D thuộc đường trịn đường kính AB AD DB AD BE Tam giác AEB vng A có đường cao AD AB BD.BE ( hệ thức lượng ) Tương tự ta có : tam giác ABF vng A đường cao AC AB BC.BF ( hệ thức lượng ) Vậy nên BD.BE BC.BF BD BC BD.BE BC.BF BF BE c)Do Xét tam giác BDC tam giác BFE ta có : : chung B BD BC BF BE BDC ∽ BFE (c.g.c) BDC BFE tgCDFE nt ( góc ngồi góc đỉnh đối diện ) d)Do OD / / BC ABC AOD ( đồng vị ) Do OA OC ; DA DC OADC hình thoi OA AD hay OA OD AD tam giác AOD tam giác nên AOD 60 ABC 60 AC sin ABC AC 2 R.s in60 2 R R AB Trong tam giác vuông ABC ( vuông C ): 1 S AOCD OD AC R 3R R 2 2 Bài 5: O Cho ba điểm A; B; C thẳng hàng ( B nằm A C ).Vẽ đường tròn đường kính BC ; vẽ tiếp tuyến AT Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vng góc với BC ; đường thẳng cắt BC H cắt đường tròn O T ' Đặt OB R a)Chứng minh OH OA R b)Chứng minh TB phân giác góc ATH c)Từ B kẻ đường thẳng song song TC Gọi D; E giao điểm đường thẳng vừa vẽ với TT ' TA Chứng minh TED cân HB AB d)Chứng minh HC AC Lời giải : T E A B H D T' a)Chứng minh : OH OA R O C O AT OT AOT Do AT tiếp tuyến đường trịn vng T có đường cao TH 2 OH OA OT R b)Chứng minh : TB đường phân giác góc ATH Ta có ATB OTB OTA 90 BTH OBT 90 maf OB OT OBT OTB ATB BTH Vậy TB đường phân giác góc ATH c)Chứng minh : tam giác TED cân +)Do T thuộc đường trịn đường kính BC BT TC TB ED ( DE / /TC ) Mà theo câu (a) ta có TB đường phân giác góc ETD TED cân T ( đường cao đồng thời đường phân giác ) HB AB d)Chứng minh : HC AC Ta có TB đường phân giác tam giác ATH mà TC TB TC đường phân giác tam giác ATH AB AT CA TA AB AC AB BH BH CH AC HC ( đpcm ) Vậy nên ta có : BH TH CH TH O Bài 6: Cho đường tròn ; dây cung AB ; điểm C nằm ngồi đường trịn nằm tia BA Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường trịn cắt dây AB D O Tia CP cắt đường tròn điểm thứ hai I Các dây AB QI cắt K a)Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b)Chứng minh : CI CP CK CD c)Chứng minh IC phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB O d)Giả sử ba điểm A; B; C cố định ; chứng minh đường tròn thay đổi qua A; B đường thẳng QI qua điểm cố định Lời giải Q A B K C D O I P a)Cm : Tứ giác PDKI nội tiếp O PIQ 90 PIK 90 Ta có PQ đường kính đường trịn Do PQ AB PDK 90 PDK PIK 90 90 180 tg PDKI nt ( hai góc đối bù ) b) Xét tam giác CIK tam giác CDP ta có : : chung C CI CK CIK ∽ CDP ( g g ) CI CP CD.CK CD CP CIK CDP 90 c)Ta có PQ AB; PA=PB QA=QB hay điểm Q điểm cung nhỏ AB AQ BQ Do AIQ BIQ ( hai góc nội tiếp chắn hai cung ) Hay IK đường phân giác tam giác AIB ; lại có IK IC ( PIQ 90 ) nên IC đường phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB d) Ta chứng minh K điểm cố định Ta có điểm D trung điểm AB ( OD AB) CA CI CAI CPB CAI ∽ CPB ( g g ) CA.CB CI CP CP CB Do ABPI tứ giác nội tiếp Vậy nên AB AB AB CA.CB CK CD CI CP CK CD CD DA CD DB CD CD CD AB AB AB CD CK CD CD.KD KD const 4 4CD A; B; C ; D bốn điểm cố định nên K điểm cố định Ta có đpcm