DỰ ÁN WORD VÀ GIẢI CHI TIẾT BÀI 22 -24 CỦA THẦY VĂN MAI PHƯƠNG Người thực hiện: Võ Quốc Huy ( O) Bài 22: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC) nội tiếp đường tròn đường kính BC = 2R, điểm D trung điểm OC Đường vng góc với OC D cắt AC AB theo thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp tích CE.CA khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A · · b) Chứng minh CAD = CFD c) Gọi M trung điểm EF Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn ( O) ( O) d) Gọi P giao điểm FC đường tròn hàng Giải: Chứng minh B,E,P thẳng F M A E B a) Vì A nằm ( O) ( O) · nên BAC = 90° O D P C · BC đường kính suy BAC chắn nửa đường tròn · · Xét tứ giác ABDE có BAE + BDE = 180° Suy ABDE nội tiếp Xét D ABC D DEC có: · · BAC = EDC = 90° ·ACB = DCE · ( góc chung ) Suy D ABC D DEC ( g.g) CE CD = BC AC Û CE AC = BC.CD 2R R = Mặt khác BC = R DC = R CE.CA = BC.CD = R = R = co nst Suy Vậy CE.CA không phụ thuộc vào vị trí điểm A · · b) Xét tứ giác CFAD có FAC = FDC = 90° , mà góc nhìn đoạn CF nên suy tứ giác CFAD nội tiếp · · Từ suy CAD = CFD ( nhìn cung CD) c) Nhận thấy AM trung tuyến tam giác FAD vuông A Suy · · AM = MF = ME Từ suy MAF = MFA (1) · · Mặt khác OB= OA = R suy D AOB cân O nên OBA = OAB (2) · · Ta lại có D FDB vuông D nên DBF + DFB = 90° (3) · · · Từ (1), (2) (3) ta suy OAB + MAF = 90° Þ OAM = 90° Vậy AM tiếp tuyến đường trịn d) Vì P thuộc ( O) ( O) · nên BPC = 90° Þ BP FC (4) Mặt khác E giao CA FD nên suy E trực tâm tam giác FBC Từ suy BE đường cao tam giác FBC hay BE FC (5) Từ (4) (5) suy B, E, P thẳng hàng ( O; R) đường kính AB Các điểm C D Bài 23: Cho nửa đường trịn » thuộc cung AB cho sđ CD = 90° ( C thuộc cung AD ) Gọi E giao điểm AC BD, K giao điểm AD BC a) Tính số đo góc CED b) Chứng minh tứ giác ECKD nội tiếp xác định tâm I đường trịn c) Chứng minh OD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECKD d) Chứng minh tổng AK.AD + BK.BC không phụ thuộc vào vị trí hai điểm C D Giải: E I J C D K A O R B · » - sñCD » = 180°- 90° = 45° CEA = sñ AB ( ) 2 a) Ta có: · · b) Vì C D nằm nửa đường tròn tâm O nên BEC = ADE = 90° Xét tứ giác ECKD có tổng hai góc đối diện 180° nên ECKD nội tiếp Gọi I trung điểm EK , dễ dàng chứng minh IE = IC = ID = IK , suy tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECKD trung điểm EK c) Đầu tiên ta có nhận xét K trực tâm D EAB , suy EK AB Gọi R giao điểm AB EK · · Vì D ERB vng R nên REB + RBE = 90° (1) · · Mặt khác D IED cân I D ODB cân O nên ta có IDE = IED · · ODB = OBD (2) · · · Từ (1) (2) ta suy IDE + ODB = 90° Þ IDO = 90° Vậy OD tiếp tuyến đường tròn tâm I ngoại tiếp tứ giác ECOD ( O) d) Gọi J giao điểm EK với Dễ dàng chứng minh tứ giác ACKR nội tiếp suy BK BC = BR.BA Tương tự chứn minh tứ giác BDKR nội tiếp suy AK AD = AR AB Áp dụng hệ thức liên hệ cạnh tam giác vào tam giác AJB vuông J đường cao JR suy : BK BC = BR.BA = BJ ( ) AK AD = AR AB = AJ AK AD + BK BC = AJ + BJ = AB = ( R) = const Từ suy Vậy AK.AD + BK.BC không phụ thuộc vào hai điểm C D ( O) đường kính AB Lấy điểm C thuộc nửa đường Bài 24: Cho nửa đường tròn tròn ( C khác A B, CA < CB) Lấy điểm M thuộc đoạn OB ( M khác O B), đường thẳng qua M vng góc với AB cắt hai đường thẳng AC BC hai điểm D H a) Chứng minh bốn điểm A,C,H,M thuộc đường tròn b) Chứng minh MA.MB = MD.MH ( O) , ( E khác B ) c) Gọi E giao điểm đường thẳng BD với đường tròn Chứng minh ba điểm A,H,E thẳng hàng d) Trên tia đối tia BA lấy điểm N cho MN = AB Gọi P Q tương ứng hình chiếu vng góc điểm M BD N AD Chứng minh bốn điểm D,Q,H,P thuộc đường tròn Giải: D Q C H E R T A O M P B N · · a) Vì tứ giác ACHM có ACH + AMH = 180° góc vị trí đối diện nên tứ giác ACHM nội tiếp, suy điểm A,C,H,M thuộc đường tròn b) Xét D AMD D HMB có : · · AMD = HMB = 90° · · · ADM = MBH ( phụ với CAM ) Nên D AMD D HMB (gg) AM MD = Suy : HM MB Þ AM MB = HM MD (đpcm) c) Vì E nằm ( O) · nên AEB = 90° Þ AE BD (1) Mặt khác H giao AM BC đường cao tam giác ADB Suy H trực tâm tam giác ADB , nên AH đường cao tam giác ADB Þ AH BD (2) Từ (1) (2) suy A, H, E, thẳng hàng d) Gọi giao điểm AE NQ R, giao điểm MP NQ T hình · · vẽ Xét tứ giác DQPT có DQT = TPD = 90° , mà hai góc nhìn đoạn TD nên tứ giác DQPT nội tiếp (1) NT NM AH AB = = NA NR // BH Þ AR AN ( Đl Trong D ARN có MT // AR Þ NR Thales) AB NM = AN NA ( AB = MN ) Mà AH NT = Suy AR NR Þ HT // AN ( Hệ định lí Thales ) · · Suy HTQ = ANQ ( So le ) · · · Mà ANQ = ADM ( phụ với DQN ) · · Suy QDH = QTH · · Xét tứ giác DQHT có QDH = QTH ( cmt) mà hai góc nhìn QH nên suy tứ giác DQHT nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy D,Q,H,P,T nằm đường tròn, hay điểm D, Q, H, P nằm đường tròn (dpcm)