Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 26 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Trường THCS Huỳnh Văn Nghệ GV soạn: Thầy Lê Doãn Cường CHỦ ĐỀ: Phương trình chứa tham số I.Các dạng tốn thường gặp liên quan phương trình bậc hai Dạng 1.tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai có nghiệm chung bài tốn Cho hai phương trình bậc hai a1 x b1 x c1 0 * a2 x b2 x c2 0 ** Trong hệ số a1 ,b1 ,c1 ,a2 ,b2 ,c2 biểu thức chứa tham số Hãy xác định giá trị tham số để hai phương trình có nghiệm chung Ví dụ Tìm giá trị tham số m để hai phương trình sau có nghiệm chung x m x m 0 x m x m 0 1 2 x=2 nghiệm chung Hướng dẫn: Giả sử hai phương trình 1 có nghiệm chung x0 , x02 m x0 m 0 x0 m x0 m 0 Ví dụ Cho hai phương trình tham số m để: x mx 0 3 x x m 0 a) Hai phương trình có nghiệm chung; b) Hai phương trình tương đương Hướng dẫn: a)Giả sử hai phương trình 3 có nghiệm chung x0 mx0 0 x0 x0 m 0 ĐS: m x0 ta có Tìm giá trị b)Xét hai trường hợp Trường hợp 1.hai phương trình 3 vô nghiệm Trường hợp 2.hai phương trình 3 có nghiệm chung thí dụ Cho a b hai tham số khác hai phương trình sau x ax 2b 0 x bx 2a 0 Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung nghiệm cịn lại hai phương trình nghiệm phương trình x x ab 0 Hướng dẫn: + Tìm nghiệm chung hai phương trình 5 6 + Vận dụng định lí vi -et Ví dụ Giả sử hai phương trình nghiệm chung Chứng minh Lời giải a1 x b1 x c1 0 a2c1 a1c2 a2 x b2 x c2 0 a2b1 a1b2 c1b2 c2b1 Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình cho, ta có a1 x0 b1 x0 c1 0 a2 x0 b2 x0 c2 0 Suy a2 a1 x02 b1 x0 c1 a1 a2 x02 b2 x0 c2 0 a2b1 a1b2 x0 a2 c1 a1c2 0 7 Và b2 a1 x02 b1 x0 c1 b1 a2 x02 b2 x0 c2 0 a1b2 a2b1 x02 b2 c1 b1c2 0 8 suy a2c1 a1c2 0 + a2b1 a1b2 0 từ 8 suy + a2b1 a1b2 0 từ có x0 a1c2 a2c1 b1c2 b2c1 ; x0 a2b1 a1b2 a1b2 a2b1 b1c2 b2 c1 a1c2 a2 c1 a1b2 a2b1 a2b1 a1b2 Do 2 a2 c1 a1c2 a2b1 a1b2 c1b2 c2b1 (đpcm) Nhận xét: hai phương trình bậc hai có nghiệm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt chúng khơng có nghiệm chung 2 Ví dụ Tìm tất giá trị m để phương trình x 2mx x m m 0 có bốn nghiệm phân biệt Hướng dẫn Phương trình cho tương đương với x x m 0 x x 1 m x x m 0 x2 x m 0 2 9 10 10 Phương trình cho có bốn nghiệm hai phương trình phương trình phải có hai nghiệm phân biệt chúng khơng có nghiệm chung Dạng Chứng minh hệ phương trình bậc hai có phương trình có nghiệm Phương pháp: để giải dạng toán chứng minh tổng biệt thức số không âm Ví dụ Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2b 3c 1 Chứng minh có hai phương trình sau có nghiệm: x 2a 1 x 4a 192abc 1 0 x 2b 1 x 4b 96abc 0 Lời giải Hai phương trình có biệt thức '1 , '2 ' ' Chứng tỏ : 1 0 Ví dụ Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 6 Chứng minh ba phương trình sau có nghiệm: x ax 0 x bx 0 x cx 0 Hướng dẫn: 2 Ba phương trình cho có 1 a 4; b 4; c 2 Chứng tỏ: 1 a b c 12 Dạng Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai có nghiệm xen kẽ Hướng dẫn: 2 Ví dụ Tìm điều kiện a để hai phương trình x x a 0 x x 6a 0 có hai nghiệm xen kẽ Hướng dẫn: Điều kiện để hai phương trình đồng thời có hai nghiệm phân biệt x ,x x x x ,x x x Gọi 2 hai nghiệm phương trình thứ nhất, gọi 4 hai nghiệm phương trình thứ hai x ;x x ;x Điều kiện để hai nghiệm x3 , x4 nằm nghiệm nằm Bài tập x 2a 1 x 2a 0 a Bài Tìm tất giá trị để hai phương trình x 2ax 3a 1 0 có nghiệm chung x 3k 1 x 0 x 2k x 0 Bài Cho hai phương trình k A) định để hai phương trình có nghiệm chung B) định k để hai phương trình tương đương Bài Với giá trị tham số a b , phương trình bậc hai sau có nghiệm chung 2a 1 x2 3a 1 x 0 b x 2b 1 x 0 Bài Cho phương trình bậc hai x ax bc 0 1 x bx ac 0 ( a, b, c đôi khác khác ) cho biết (1) (2) có nghiệm chung Chứng minh hai nghiệm lại phương trình (10 (2) nghiệm phương trình x cx ab 0 a ,a ,b ,b Bài Cho số 2 thỏa mãn điều kiện hai phương trình sau có nghiệm x a1 x b1 0 ; a1a2 2(b1 b2 ) Chứng minh có x a2 x b2 0 2 Bài Tìm điều kiện a để hai phương trình x 3x 2a 0 x x 5a 0 có nghiệm xen kẽ II.Bài tốn số nghiệm số loại phương trình Phương trình trựng phng 2 Ô Vớ d 1: Tỡm m để phương trình x - 2mx + m - = biệt ( 2) Có ba nghiệm phân Hướng dẫn: Đặt t = x ( t ³ 0) 2* chuyển pt ( ) trở thành bậc hai ( ) theo ẩn t, tham số m 2* Phương trình ( ) có ba nghiệm phân biệt phương trình ( ) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn = t1 < t2 2* Nhận xét: để pt (2) cos ba nghiệm phân biệt phương trình ( ) có nghiệm mt nghim dng Ô Vớ d Tỡm m để phương trình x - mx + 3m - = ( 3) Có bốn nghiệm phân biệt Hướng dẫn: Đặt t = x ( t ³ 0) 3* chuyển pt ( ) trở thành bậc hai ( ) theo ẩn t, tham số m 3* Phương trình ( ) có ba nghiệm phân biệt phương trình ( ) có hai nghiệm dương t1 , t2 phân biệt 3* Nhận xét: để pt (3) có bốn nghiệm phân biệt phương trình ( ) có hai nghiệm dương phân biệt Bài Xét phương trình tham số m : x mx x mx 0 A) chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m B) giải phương trình với m 2 Bài Xét phương trình tham số m : x mx 37 x 5mx 25 0 A) với giá trị m phương trình có nghiệm? B) giải phương trình với m 13 2 Phương trình dạng Đặt ẩn phụ a ( x - a) + b x - a + c = t = x - a ( t ³ 0) ( 4) 1* phương trình ( ) trở thành phương trình ( ) Ta có mối 1* 1* liên hệ nghiệm ( ) ( ) giống mối liên h ca ( ) v ( ) Ô Vớ dụ Tìm m để phương trình ( 5) x2 - 2x - x - + m = Có hai nghiệm phân biệt Hướng dẫn: Û x - 1) - x - + m - = Ta có pt ( ) ( Đặt t = x - ( t ³ 0) pt ( ) trở thành t - t + m - = ( *) 5* Pt ( ) có hai nghiệm phân biệt pt ( ) có hai nghiệm thỏa mãn t1 < < t2 t1 = t2 > a kx + n) + b kx + n + c = ( abk ¹ 0) Phương trình dạng ( Đặt ẩn phụ t = kn + n ( t ³ 0) ( 6) 1* pt ( ) trở thành ( ) Với giá trị nghiệm t ³ pt ( 1*) cho ta nghiệm x = k ( t - n) pt ( 6) Do số nghiệm pt ( 6) 1* số nghiệm không âm pt ( ) Ô Vớ d Tỡm m cho phương trình x - m x - + 2m - = ( 7) Có hai nghiệm phân biệt Hướng dẫn: Đặt t = x - ( t ³ 0) phương trình ( ) trở thành ( *) t - mt + 2m - = 7* Phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t2 > t1 ³ Ví dụ 3: Cho phương trình : ( x 3)( x 1) 4( x 3) x 1 m (1) x a) Giải phương trình với m = -3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Giải: Đặt X ( x 3) x 1 X ( x 3)( x 1) x nên pt (1) đưa :X2+4X-m=0 (2) a) m = -3 b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm 0 m 0 m Giả sử nghiệm X0 ( x 3) x 1 X x Xét trường hợp ,X0 = , X0 > , X0 < Bài tập Tìm m để phương trình x + 2m x - - x + m + = Chứng minh phương trình có nghiệm mx - 3( m - 2) x + m - = ln có nghiệm với m Biện luận theo m số nghiệm phương trình x - m x - + m - = CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN: -PHƯƠNG PHÁP 1: Phương pháp đưa dạng tổng Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình có biểu thức chứa ẩn viết dạng tổng bình phương - Biến đổi phương trình dạng vế tổng bình phương biểu thức chứa ẩn; vế lại tổng bình phương số nguyên (số số hạng hai vế nhau) A x, y, B x, y 2 2 C x, y, m n p Với (m; n; p, Z ) - Giải hệ tương ứng: m2 A x, y, B x, y, n p2 C x, y, A x, y, n m B x, y, p2 C x, y, A x, y, p m B x, y, n C x, y, ……… Các ví dụ minh hoạ: 2 - Ví dụ 1: Tìm x;y Z thoả mãn: 5x 4xy y 169 (1) Nhận xét : Tìm hướng Giải: Ta thấy hai vế phương trình biểu diễn tổng hai bình phương Giải: x y x 144 25 (1) 2 2 x y x 169 (2) 4x 4xy y x 144 25 169 (1) Từ (I) ta có: x y 122 x 5 ; x 52 y 2 x y 52 x 12 ; x 122 y 19 x 5 y 22 x 12 y 29 Tương tự từ (II) ta có: 2 x 0 x y 13 y 13 x 0 x 13 x y 0 2 y 26 x 13 5; ; 5; 22 ; 5; ; 5; 22 ; 12; 19 ; 12; 29 x, y 12; 19 ; 12; 29 ; 0; 13 ; 0; 13 ; 13; 26 ; 13; 26 Vậy 2 - Ví dụ 2: Tìm x;y Z thoả mãn: x + y - x - y = (2) Nhận xét : Tìm hướng Giải: Ta thấy hai vế phương trình biểu diễn tổng hai bình phương Giải: x2 + y2 - x - y = x x y y 32 x x 1 y y 1 34 2 x 1 y 1 52 32 x 1 32 y 1 52 x 1 52 y 1 32 x 2; x y 3; y x 3; x y 2; y x; y 2;3 ; 2; ; 1;3 ; 1; ; 3;2 ; 3; 1 ; 2;2 ; 2; 1 Vậy Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên; 2 a/ x y 115 x 2 b/ x y z xy 3x z PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp đưa dạng tích Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình có biểu thức chứa ẩn phân tích thành nhân tử - Biến đổi phương trình dạng vế tích đa thức chứa ẩn; vế cịn lại tích số nguyên (số nhân tử hai vế nhau) A B C m.n p x, y, x, y x, y, Với (m; n; p, Z ) - Giải hệ tương ứng: A m x , y , A x , y , n A p x , y , A n x , y , B x , y , m C p x , y , A p x , y , B x , y , m C n x , y , Các ví dụ minh hoạ: - Ví dụ 1: Tìm x;y Z thoả mãn: x y 91 (1) Nhận xét – Tìm hướng Giải: Ta thấy vế trái phương trình dễ dàng phân tích thành nhân tử Giải: (1) x y x xy y 91.1 13.7 (Vì Ta có: x xy y ) …………… x y x xy y x y 1 x 6 x ; x xy y 91 y 5 y x y 91 91.1 7.13 VN x xy y 1 x y 7 x 3 x 4 ; 2 x xy y 13 y y x y 13 VN 2 x xy y 2 - Ví dụ 2: Tìm x;y Z thoả mãn: x x y 0 (2) Nhận xét: Tìm hướng Giải: Ta thấy vế trái phương trình hiệu hai đa thức bậc hai độc lập x y, nên ta phân tích thành nhân tử Giải: x x y 0 x x y 0 2 x 1 y 1 x y 1 x xy 1 1 x y 1 1 x 0 x y y 0 x y 1 x x y 1 y 0 x; y 0;0 ; 1;0 Vậy: Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên; a/ x xy 25 b/ 3x xy 5 c/ x y x y - PHƯƠNG PHÁP 3: Phương pháp cực hạn Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình đối xứng - Vì phương trình đối xứng nên x; y; z có vai trị bình đẳng Do đó; ta giả thiết x y z ; tìm điều kiện nghiệm; loại trừ dần ẩn để có phương trình đơn giản Giải phương trình; dùng phép hốn vị để suy nghiệm Ta thường giả thiết x y z Các ví dụ minh hoạ: - Ví dụ 1: Tìm x; y; z Z thoả mãn: x y z x y.z (1) 10 A x2 x x x 1 - Ví dụ 1: Tìm x; y Z để: nhận giá trị nguyên Nhận xét – Tìm hướng Giải: Ta thấy A phân thức có tử mẫu số nguyên Do ta biến đổi A thành tổng đa thức phân thức có tử số nguyên Giải: x2 x x x 1 1 A 1 x x 1 x x 1 x x 1 Khi đó: Ta có: Để A nhận giá trị nguyên x x 1 nhận giá trị nguyên 1 x x 1 x x 1 U 1 1;1 x x 0 x 1 0; x x x 1 1 x Vì V: Vậy để A nhận giá trị nguyên thì: x = x = - 2 - Ví dụ 2: Tìm x; y Z thoả mãn: y x x y 1 x y x y (2) (Đề thi Tuyển sinh vào 10 chuyên Toán đại học KHTN Hà Nội) Nhận xét – Tìm hướng Giải: Ta nhận thấy hạng tử chứa biến đơi có chứa nhân tử chung nên nhóm hạng tử hợp lí cho ta đa thức có nhân từ chung (x – 1), nên chia hai vế phương trình cho (x – 1) ta có vế ln nhận giá trị nguyên Giải: Ta có: y x 1 x. x 1 y. x 1 0 * (2) Với: Nên: x 1; * 0 x 1 nghiệm phương trình y2 x y 0 ** x Phương trình có nghiệm nguyên x 0 x 1 U 1 1; 1 x x 1 - Ví dụ 3: Tìm x; y Z thoả mãn: 3x + = (y + 1)2 (3) Nhận xét : Tìm hướng Giải: Vì 3x số lẻ; suy (y + 1)2 chia hết cho Sử dụng tính chất ta xét điều kiên nghiệm phương trình GIảI: Ta có: 3x y 1 y y 3x số lẻ y; y hai số lẻ liên tiếp y; y 1 y; y (3) luỹ thừa 3, nên: 12 y 3m * m n x 3m 3n m n n y 3 ** Với: m 0; n 1 y 1; x 1 Với: m 1; n Từ * ; ** y 3 y; y 1 y ( vơ lí) x 1 y 1 Phương trình có nghiệm ngun: Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 2 a/ x y 5 2 b/ 19 x 28 y 729 c/ xy x y 3 3 d/ Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm: x y z x y z 2000 - PHƯƠNG PHÁP 5: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình mà hai vế đa thức có tính biến thiên khác - áp dụng bất đẳng thức thường gặp: Bất đẳng thức Cô – si: Cho n số không âm: a1; a2 ; a3 ; ; an Khi đó: a1 a2 a3 an n a1.a2 a3 .an n Dấu “=” xảy a1 a2 a3 an Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho 2n số thực: a1; a2 ; a3 ; ; an b1; b2 ; b3 ; ; bn Khi đó: a1.b1 a2 b2 a3.b3 an bn a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn a kbi i 1; n i Dấu “=” xảy Bất đẳng thức giá trị tuyết đối: a b a.b 0 a b a b a.b Các ví dụ minh hoạ: x y y z z.x 3 x ; y Z z x y - Ví dụ 1: Tìm thoả: (1) Nhận xét – Tìm hướng Giải: 13 Ta thấy phương trình đối xứng, nên dùng phương pháp (phương pháp cực hạn) Tuy nhiên, hạng tử tổng có giá trị dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cô – si để xác định điều kiện tích ẩn GIảI: 3 áp dụng BĐT Cơ – si Ta có: x y y.z z.x x y y.z z.x 3 3 x y.z z x y z x y x y.z 1 x y.z 1 x y z 1 Vậy nghiệm phương trình là: x y z 1 x y 1 - Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình: 3 x y 1 (2) (Toán Tuổi thơ 2) Nhận xét – Tìm hướng Giải: Ta nhận thấy hai vế phương trình có dạng: bình phương tổng tổng bình phương; nên ta vận dụng BĐT Bunhiacôpxki GIảI: Theo Bunhiacôpxki, ta cự: x y 1 12 12 12 x y 1 3 x y 1 x y x y 1 1 Dấu “ =” xảy Vậy nghiệm phương trình là: x y 1 - Ví dụ 3: Tìm tất số nguyên x thoả mãn: x x 10 x 101 x 990 x 1000 2004 (3) Nhận xét – Tìm hướng Giải: Ta nhận thấy: 2104 = + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 Giải: Ta có: (3) a a x 10 x x 101 x 990 x 1000 2004 Mà x 3 x 10 x 10 x a a x 101 x 101 2004 x 101 2003 x 101 1 x 990 x 990 x 1000 x 1000 x 101 1 x 101 1;0;1 x 102; 101; 100 Do đó: Với x 101 2004 2003 (vơ lí) x 102; 100 Vậy nghiệm phương trình là: Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 14 2 a/ x xy y 3 2 b/ x y z xy yz z 4 PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp lựa chọn Phương pháp: Phương pháp sử dụng với phương trình mà ta nhẩm (phát dể dàng) vài giá trị nghiệm - Trên sở giá trị nghiệm biết áp dụng tính chất chia hết; số dư; số phương; chữ số tận … ta chứng tỏ với giá trị khác phương trình vơ nghiệm Các ví dụ minh hoạ: - Ví dụ 1: Tìm x; y Z thoả: x x y Nhận xét – Tìm hướng Giải: Ta thấy với x 0; y 1 phương trình nghiệm Ta cần chứng minh phương trình vơ nghiệm với x 0 Giải: + Với x 0; y 1 phương trình nghiệm + Với x Khi đó: x x x x3 x x x 1 y x Vì x 1 ; x (*) hai số nguyên liên tiếp nên khơng có giá trị y thoả mãn (*) Vậy x 0; y 1 nghiệm phương trình 2 y 1 - Ví dụ 2: Tìm x; y Z thoả: x x 3 (2) ( Toán học tuổi trẻ) Nhận xét – Tìm hướng Giải: Ta nhận thấy vế phải luỹ thừa bậc lẽ nên có tận Ta cần xét chữ số tận vế trái Giải: x x 1 b 0;1;2; ;9 Gọi b chữ số tận x Vì Khi đó: có chữ số tận là: 1, (*) y 1 Mặt khác: luỹ thừa bậc lẻ nên có tận Từ (*)và v (**)suy phương trình vơ nghiệm.s 2 (**) - Ví dụ 3: Tìm x; y Z thoả mãn: x xy 13 y 100 (3) Nhận xét – Tìm hướng Giải: Với trường hợp ta sử dụng phương pháp (Phương pháp đưa dạng tổng) Tuy nhiên vế phải số phương nên ta sử dụng tính khơng âm luỹ thừa bậc chẳn để giới hạn tập giá trị, sau sử dụng lựa chọn Giải: y 5 x 3 4 25 y 25 y n n (3) 2 15 y 5; 4; 3;0;3;4;5 x 3;9;11;13 Do : Phương trình có nghiệm nguyên: x; y 5;3 ; 4;9 ; 3;11 ; 0;13 ; 3;11 ; 4;9 ; 5;3 Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: a/ x. x 1 x 1 x 1 y 2 b/ x y 74 7.- PHƯƠNG PHÁP 7: Phương pháp lùi vô hạn (xuống thang) Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình có (n – 1) ẩn mà hệ số có ước chung khác - Dựa vào tính chất chia hết ta biểu diễn ẩn theo ẩn phụ nhằm “hạ” (giảm bớt) số tự do, để có phương trình đơn giản - Sử dụng linh hoạt phương pháp để Giải phương trình Các ví dụ minh hoạ: 3 - Ví dụ 1: Giải phương trình: x y z 0 (1) Nhận xét – Tìm hướng Giải: Ta thấy Giải: x3 y z 0 x3 y z 3 Ta có: (1) 3y mà z 3 nên x 3 x y z 3 x 3 x 3 x 3x1 Khi đó: (1) 27 x13 y z 3 x13 y z 3 y 3 y 3 y 3 y1 x 27 y z 3 z 3 z 3 y 3 z1 3 3 3U x0 ; y0 ; z0 * Tiếp tục biểu diễn gọi x0 ; y0 ; z0 nghiệm (1) và x0 ; y0 ; z0 9 Thực thử chọn ta được: x0 y0 z0 0 Vậy nghiệm phương trình là: x0 y0 z0 0 Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3 a/ x y 4 z 3 b/ x y z 0 2 c/ x y 0 - PHƯƠNG PHÁP 8: Phương pháp sử dụng điều kiện nghiệm phương trình bậc hai f 0 Phương pháp: Phương pháp sử dụng với phương trình có dạng: x; y f Trong đó: x; y đa thức bậc hai - Biến đổi phương trình đưa dạng phương trình bậc hai (một ẩn ẩn phương trình bậc hai; ẩn tham số) Biện luận nghiệm theo điều kiện nghiệm phương trình bậc hai 16 * Chú ý: Nên chọn ẩn có hệ số Các ví dụ minh hoạ: 2 - Ví dụ 1: Tìm x; y Z thoả: 3x y xy x y 0 (1) Nhận xét – Tìm hướng Giải: Ta thấy phương trình xem phương trình bậc hai ẩn y tham số x Giải: 2 y 2 x y x x 0 (1) x 4; 0 y1,2 x 1 Ta có: Do đó: y nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x x n n x 2 + Với x y nhận giá trị nguyên (áp dụng phương pháp 2: Đưa dạng tích) + Với x 2 y 3 x 2; y 5 ; x 2; y 3 2 12 x xy y 28 x y (2) thoả: Vậy nghiệm phương trình là: - Ví dụ 2: Tìm x; y Z Nhận xét – Tìm hướng Giải: Ta thấy phương trình xem phương trình bậc hai ẩn y tham số x Giải: y x 14 y 12 x 28 x 0 Ta có: y nhận giá trị nguyên với giá trị 27 x 196 k 0 x 7 x 0; 1; 2 nguyên x (2) + Với x 0 y 0 + Với x 1 y 8 + Với x y 10 + Với x y Vậy nghiệm phương trình là: x 0; y 0 ; x 1; y 8 ; x 1; y 10 2 - Ví dụ 3: Tìm x; y Z thoả mãn: x xy 13 y 100 (3) Nhận xét – Tìm hướng Giải: Với trường hợp ta sử dụng phương pháp (Phương pháp đưa dạng tổng) Giải phương pháp (phương pháp lựa chọn) Tuy nhiên, ta đưa phương trình bậc hai ẩn x tham số y Giải: (3) y 25 y 5 y 5; 4; 3;0;3;4;5 x 3;9;11;13 Do : Phương trình có nghiệm ngun: x; y 5;3 ; 4;9 ; 3;11 ; 0;13 ; 3;11 ; 4;9 ; 5;3 17 Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 2 x y xy x y 10 0 a/ b/ x xy y x 0 II.Bài tập 31/ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3x + 4y = 29 2/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y = xy 3/Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: xy- 4x= 35-5y 2 4/ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x xy 13 y 100 2 5/ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3x y 345 2 6/ Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y 74 7/Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 5x-3y = 2xy-11 8/ Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 2 a/ x 25 y ( y 6) b/ x 91 y c/ 11 + 14xyz + 7x = -22yz - 7z 9/ Tìm nghiệm nguyên phương trình sau 2 a/ x y 1987 b/ x(x+1).(x+7).(x+8) = y 10/ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x+ y + z = x.y.z 11/ Tìm nghiệm nguyên tố phương trình 2 a/ x y 0 12/ Giải phương trình nghiệm nguyên y b/ x 1 z 2y a/ x x y 3x y 0 b/ x x y y 15 0 13/ Tìm tất số nguyên m , n, p thoả mãn hai đẳng thức sau: m + n =3 , (1) mn – 2p m n (2) 2 14/ Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun : x y 5 15/ Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: x y 9 x x 16/Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: y 2 17/ Tìm số có hai chữ số xy cho : xy yx k 4 18/ Giải phương trình nghiệm nguyên : ( x 2) x y3 19/ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2 b/ x y 1999 a/ xy – 2x – 3y + =0 1 x y p , (p số nguyên tố cho trước) c/ 20/ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 1 z x y b/ a/ x y 50 21/ Giải phương trình nghiệm nguyên dương 18 1 1 x y z a/ 2 b/ x y z xyz 20 22/ Tìm số nguyên x , y , z , t cho : x y y z z t t x 2003 2 24/ Tìm cặp số nguyên không âm x,y thoả mãn: y ( x 1) 1576 x ; (p2) 2 25/ Tìm tất cặp số ngun khơng âm x , y cho : x-y= x xy y 26/ Tìm số nguyên x , y cho : y x x III Gợi ý giải 2 2 y 5 4/ x xy y 100 y ( x y ) 4(25 y ) 0 Vậy 25- y số phương Với y=0 suy x=0, y=1 y=2 không thoả mãn , y=3 y=4 , y=5 thoả mãn suy nghiệm phương trình 5/ 345 vừa chia hết cho vừa chia hết x x phải chia hết cho y phải chia hết cho suy x=5a, 2 2 y=3b Khi 3.25a 5.9b 345 5a 3b 23 , từ tìm nghiệm phương trình 2 2 6/ suy 6( x 4) 5(10 y ) x 5u 10 y 6v suy u = v u ; v 2 x u ; y 10 v Vì nên 2 Hoặc u = v =0 10= y , vơ nghiệm , u = v = x 9, y suy nghiệm nguyên phương trình (x,y)= (3,2);(3 ,-2);(-3, 2);(-3, -2) 2y 2(5 x 11) 5 2x x Vì x,y số tự nhiên khác o 7/ Ta có 11+5x = y(2x + 3) nên 2x + phải ước Từ suy x tìm nghiệm phương trình 2 2 8/a/ x y y 16 x ( y 3) 16 (x-y-3)(x+y+z) = 16 Nhưng x+y+3 x-y-3 có tổng 2x nên tính chẳn lẻ tích chúng viết thành: 2.8 = (-2).(-8) = 4 = (-4).(-4) suy nghiệm phương trình b/ Tương tự câu 2 xyz x z 11 z 1 x x 1 yz yz 2y 2 z suy x=c/ Ta có 2,y=1,z=3 2 9a/ Vì 1987 số ngun tố nên ta có trường hợp sau: x y =(x-y).(x+y)=1 1987=1987 19 =(-1).(-1987)= (1987).(-1) Xét trường hợp ta có nghiệm phương trình 2 2 b/ Ta có ( x x).( x x 7) y Đặt z= x +8x , z(z+7) = y x ( x 1).( x 1) 2 11a/ Vì y nguyên tố nên xảy trường hợp x 1 y, x y + suy x,y y2 Ba trường hợp lại khơng thoả mãn Từ suy nghiệm y y y b/ Vì x 2, y nên x 4, z 5 x +1 số nguyên tố nên x số chẳn tức x=2 k 1 2k 2k Nếu y=2k+1 z= (2 1).( 1) tức chia hết cho Nếu z>5 lại chia hết cho số nguyên tố Vởy x=2 , y=2 , z=5 12a/ Ta có x x y 3x y 0 y x x x Vì x,y Z x 5x ( x 5)( x 5)x 2 2 suy 27 chia hết cho x x số nguyên x >1 nên x nhận giá trị ước 27 ,9 ,27 Kiểm tra điều kiện ta nghiệm (x,y)=(-1;-3);(5,5) b/ 4( x x y ) ( y y 4) 11 4( x y ) ( y 2) 11 ( x y 2)( x y 2) 11 Ta tìm nghiệm phương trình (x,y)=(0,3);(-2,-7);(2,-7) 2a; a a Z a a 0; a 22/ Nếu a a Do số chẳn Phương trình tương đương với ( x y x y ) ( y z y z ) ( z t z t ) ( t x t x) 2003 Do vế trái số tự nhiên chẳn nên phương trình khơng có nghiệm 2 2 24/ y ( x 1) 1576 x 1577 x ( y x 1)( x 1) 1577 19.83 2 2 25/ x y x xy y Do x,y không âm nên x x y x xy y 3xy - Nếu x=0 ta có y=0 - Nếu x khác suy y=0, x=1 Suy ngiệm phương trình 2 26/ x x ( x 2) 0, x , nên y xác định với x y>0 y 0 y ( x 2) Do phương trình 20 y 0 ( y x 2)( y x 2) 1