TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA Câu (5 điểm) a) a c c b a c c b ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Năm học: 2013-2014 a c Cho c b chứng minh : b) a2 c2 a b2 c b c) b2 a b a a2 c2 a 1 3y 1 5y 1 y 5x 4x Câu (2 điểm) Tìm x, y, z biết 12 Câu (4 điểm) 1 1 1 100 a) Chứng minh rằng: 6 2a 5a 17 3a a a số nguyên b) Tìm số nguyên a để: a Câu (2 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức A x 1996 1997 Câu (7 điểm) Cho tam giác ABC vng A, có góc C 30 , đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho HD HB Từ C kẻ CE vng góc với AD Chứng minh: a) Tam giác ABD tam giác b) AH CE c) EH song song với AC ĐÁP ÁN HSG TOÁN BÍCH HỊA 2013-2014 Câu a c a c a c a c c b a) Từ c b c b c b a c c b a c a ab a (a b) a a c c a.b 2 b c b ab b ( a b ) b c b b) Từ đó: a2 c2 a b2 c2 b 2 2 c) Theo câu b, ta có: b c b a b a b2 c b b2 c2 b b2 c a c b a hay 2 2 a a2 c2 a Từ a c a a c b2 a b a 2 a Vậy a c Câu Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 1 3y 1 y 1 y 1 y 1 5y y 1 5y 1 3y 2y 12 5x 4x x 5x x x 12 x 12 2y 2y x 5 x 12 x 2 x x 12 1 3y y 1 y y 2 15 Thay x 2 vào ta 12 x 2 ; y Vậy Câu A a) Đặt Ta có : * * 1 15 1 1 1002 A 1 1 1 1 1 1 1 4.5 5.6 6.7 99.100 5 6 99 100 100 A 1 1 1 5.6 6.7 99.100 100.101 101 1 1 1 100 Vậy 6 2a 5a 17 3a 4a 26 4a 12 14 4.( a 3) 14 14 a a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a số nguyên b) Ta có : a Khi (a 3) ước 14 mà Ư 14 1; 2; 7; 14 Ta có a 2; 4; 1; 5;10; 4;11; 17 Câu A với giá trị x nên A đạt giá trị lớn A đạt giá trị nhỏ A x 1996 1997 x 0 x x 1996 1997 nên x 1996 1996 1996 Vậy A nhỏ 1997 x = 1996 1996 Suy GTLN A 1997 1997 x 0 Câu A B D C H E a) Tam giác ABD có AH vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên tam giác ABD cân A 0 Lại có B 90 30 60 nên tam giác ABD tam giác 0 b) EAC BAC BAD 90 60 30 ACH AHC CEA (cạnh huyền – góc nhọn) Do đó: AH = CE c) AHC CEA (cmt ) nên HC = EA ADC cân D có ADC DCA 30 nên DA = DC Suy DE = DH Tam giác DEH cân D Hai tam giác cân ADC DEH có : ADC EDH (hai góc đối đỉnh ) ACD DHE vị trí so le , suy EH / / AC