Cac chu de trac nghiem nang cao toan thcs

CÁC CHỦ ĐỀ TRẮC NGHIỆM NÂNG CAO MƠN TỐN THCS Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng năm 2020 Mục Lục CHƯƠNG I BIỂU THỨC ĐẠI SỐ CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH 32 CHƯƠNG IV HÀM SỐ 92 CHƯƠNG V: BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 121 CHƯƠNG VI TAM GIÁC VÀ TỨ GIÁC 150 CHƯƠNG VII ĐƯỜNG TRÒN 175 MỘT SỐ ĐỀ TOÁN DẠNG TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 204 CHƯƠNG I BIỂU THỨC ĐẠI SỐ A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Một số công thức thường dùng: 1 11  =  −  n( n + r ) r  n n + r   1  1 = −   n ( n + r )( n + 2r ) 2r  n ( n + r ) ( n + r )( n + 2r )  ( a1 + a2 + + an ) = a12 + a2 + + an + 2a1 ( a2 + a3 + + an ) Bình phương tổng +2a2 ( a3 + a4 + + an ) + + 2a −1a Tổng lập phương a + b3 = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) Hiệu lập phương a − b3 = ( a − b ) + 3ab ( a − b ) Tổng hiệu hai lũy thừa bậc a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + ba n − + + b n −1 ) a n + b n = ( a + b ) ( a n −1 − ba n − + + b n −1 ) Với n lẻ Với a, b ≥ Nếu b ≥ ab = a b a 2b = a b Nếu ab ≥ a b  ab ( a > ) = a − ab ( a < )  10 Nếu x = a + b ⇔ x3 = a + b + 3 ab 11 Nếu x = a − b ⇔ x3 = a − b − 3 ab Chú ý học sinh thường mắc sai lầm dạng 7,8,9 Ví dụ ( x − ) x+3 = x −9 ( − )( x + 3) Một số dạng toán thường gặp B Tìm giá trị biểu thức Biến đổi, rút gọn biểu thức Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Tìm điều kiện để biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước PHƯỚNG PHÁP GIẢI TỐN THƠNG QUA CÁC VÍ DỤ Dạng 1: Tính giá trị biểu thức a Các toán đơn giản Ví dụ Cho f ( x) = ax + bx + c Tính f (2) + f (−2) A 8a − 2c B 8a + 2c C 2a + 8c D 8b + 2c Hướng dẫn giải: f (2) + f (−2) = ( 4a + 2b + c ) + ( 4a − 2b + c ) = 8a + 2c Đáp án B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Ví dụ Tính giá trị biểu thức M = − − 31 A − 32 Hướng dẫn giải: + 32 B C 32 − ( ) − − 31 = − − 31 =3 − − 31 = −32 Đáp án A Ví dụ Tính giá trị biểu thức P = A − 11 36 ( −2 B −2 + 11 Hướng dẫn giải: P = 3−2 − a Hướng = dẫn giải : P B ( ) ( + −5 −1 −a C b b−a = a − b −a b ( 25 +2 ) C + 11 =6 3+2 − ) D − 31 ) − =2 + 11 Đáp án C (b − a ) b Ví dụ Cho a < < b , rút gọn biểu thức P = a −b A D − 31 −ab −a D −1 a −1 Đáp án B −a Ví dụ Cho a > , tính giá trị biểu thức E = a − − 2a + a A a − Hướng dẫn giải : E B a C 2a 2a + a a a D a a Đáp án D Ví dụ x = + − − nghiệm phương trình sau đây: 0 B x − 2 x = A x + 2 x = Hướng dẫn giải : x = ( 3+ ) Ví dụ Giá trị biểu thức A B − ( 3− C x − x + = ) D x − x + =0 = + − + = 2 Đáp án B 80 − 125 + 45 + 20 C D Hướng dẫn giải : 80 − 125 + 45 + 20 = − 5 + + = Vậy giá trị biểu thức Đáp án C Ví dụ Biết (2 + ) + (2 − ) =+ a b với a, b số nguyên Tính 199a + 3b B −6 A 199 (2 + ) Hướng dẫn giải : C (2 − ) + D = + − + = ⇒ a = 0, b = Đáp án D b Các tốn trung bình ab − b a − b b = Ví dụ Cho a < 0, b < Rút gọn biểu thức P A − a b C −1 B Hướng dẫn giải : P = ab − b a − = b b D −a a +1− = Đáp án D b −b Ví dụ 10 Cho a = − 17 − + Tính giá trị biểu thức P = a − 3a + 3a + 20 A 30 B 32 Hướng dẫn giải : a C 36 −4 9+4 −4 D 29 ( ) P Đáp án A Ví dụ 11 x= + 16 + A x − 3x − = Hướng dẫn giải : x= − nghiệm phương trình B x + x + = + 16 + C x − 3x + = D x − x + 15 = − = + + − =2 nên x0 nghiệm phương Đáp án C trình x − 3x + = Tính giá trị biểu thức Ví dụ 12 Cho a + b = S = a + b3 + 3ab ( a + b ) + 6a 2b ( a + b ) + A B C D Hướng dẫn giải : S = a + b3 + 3ab ( a + b ) + 6a 2b ( a + b ) + = ( a + b ) ( a − ab + b ) + 3ab ( a + b ) + 6a 2b + = ( a + b ) − 3ab + 3ab ( a + b ) − 2ab + 6a 2b + = 1− 3ab + 3ab(1− 2ab) + 6a 2b + = 10 2 ( Ví dụ 13 Rút gọn biểu thức M = + 15 15 ) ( ) − 15 ta D C )( (4 M = + 15 ( 10 − B A Hướng dẫn giải : = + 15 )( 5− = 5+ ) 15 )( )( − =2 5− ) Đáp án B = a − + b −1 + c Ví dụ 14 Nếu a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c + 11 a + b + c A 15 Hướng dẫn giải : (a Ta có B 16 C 17 ) (b b −1 4) ( c 3) ( b − ) ( c 1) a−2 ( ( a − 2)  ( a − 2) − =    b −1   c − =0 a = 11  b c =  ) c D 19 a b c 17 Đáp án C Ví dụ 15 Rút gọn biểu thức Q= A Hướng dẫn giải : Q − − 29 − 12 B ( −3 ) D C −2 ( ) −1 +1 Đáp án B 1 + + + 1+ 2+ n + n +1 M Ví dụ 16 Rút gọn biểu thức = A n + + Hướng dẫn giải : −1 = M n −1 B + D n +1 −1  n +1− n  + +   3−  n + n +1  3− (1 + )( − 1) ( + )( ( 1) ( ) ( n n +1 C n ) ) n +1 Đáp án D c Các tốn phức tạp Ví dụ 17 Cho a, b, c, x, y, z số thực thỏa mãn giá trị biểu thức Q = A a + b + c Hướng dẫn giải : x2 y z + + a b2 c2 B 2a a b c x y z + + = + + = Tính a b c x y z D C xyz  c b a  x y z  xy yz xz   + +  =1  + +  =1 ⇔ Q +  + +  =1 ⇔ Q + abc  z y x  a b c  ab bc ca  Do a b c + + = ⇒ Q =1 Đáp án C x y z Ví dụ 18 Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện a +b+c −3 Tính S =a + 2b + 3c a − + b − + c −1 = A 16 B 17 Hướng dẫn giải : Từ giả thiết ta có (a ) (b C 18 ) (c ⇔ ( a − − 1) + ( b − − 1) + ( c − − 1) = a −3 2 b−2 D 13 ) c 1 ⇒ a = 4, b = 3, c = Đáp án A Ví dụ 19 Tính giá trị biểu thức a = + 84 84 + 1− 9 A B D C  84 84 84  84  +1− + 3a 1 + −   9     Hướng dẫn giải : a = + ⇔ a = − a ⇔ ( a − 1) ( a + a + ) = ⇔ a = Đáp án A = Ví dụ 20 Rút gọn biểu thức Q A Hướng dẫn giải : Q= ( ( ) +1 )( − +1 − ) ( +1 − + +1 D C ( − +1 3 B 3 4+3 ) + 1)( −1 ) −1 = ( )−( +1 +1 )= −1 −1 Đáp án C Tính giá trị biểu Ví dụ 21 Cho a, b, c số thỏa mãn abc ≠ a + b + c = thức M= 1 + + 2 2 b + c − a c + a − b a + b2 − c2 B −1 A Hướng dẫn giải : C D Từ giả thiết ( a + b ) = −2ab ( −c ) ⇔ a + b − c = 2 Tương tự ( b + c ) = −2bc ( −a ) ⇔ b + c − a = Tương tự ( c + a ) = −2ac ( −b ) ⇔ c + a − b = Do M = 1 1 + + = c ) Đáp án C (a + b += −2bc −2ac −2ab −2abc Ví dụ 22 Tính giá trị biểu thức P = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 101.102 A 353720 Hướng dẫn giải : B 353702 353700 C 353270 3P= 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 101.102.3 = 1.2.3 + 2.3 ( − 1) + 3.4 ( − ) + 101.102.(103 − 100) = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + 3.4.5 − 2.3.4 + + 101.102.103 − 100.102.103 = 101.102.103 ⇒ P= 353702 ( Ví dụ 22 Cho a, b số thực thỏa mãn đẳng thức a + a2 )(b + b2 ) Tính giá trị biểu thức P = a + b3 + 15 A Hướng B −15 giải dẫn Từ : ) ( C 15 ) ( D 12 giả thiết (a − + a2 )( a + + a2 )(b + + b = a − + a ⇔ −b − + b = a − + a (1) (a + + a2 )(b + + b2 )(b − + b = b − + b ⇔ − a − + a = b − + b (2) ) ( ) ( ) ( ) ta ) ( có ) Cộng (1) vs (2) Ta có a = −b ⇔ a = ( −b ) ⇒⇒ P = 15 Đáp án C Ví dụ 24 Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện 2a + 2b − 4c − 4bc − 4ac + 2ab + 2b − 6a + 10 = Tính giá trị biểu thức Q = ( a − 2) 100 + ( b + 1) 200 + ( c − 1) 201 B A −1 Hướng dẫn giải : Từ giả thiết ta có C D  a + b − 2c =  ⇒ a =3, b =−1, c =1 ⇒ Q =1 Đáp án C ( a + b − 2c ) + ( a − ) + ( b + 1) =0 ⇒ a − =0 b + =  2 Dạng 2: Biến đổi rút gọn biểu thức a Các tốn đơn giản Ví dụ 25 Rút gọn biểu thức E = ( 2a + b − 4c ) − ( a + 2b − 3c ) + c ta A a − b − c B a − b C 2a − b Hướng dẫn giải : E = ( 2a + b − 4c ) − ( a + 2b − 3c ) + c = a − b Đáp án B D a − c Ví dụ 26 Phân tích đa thức a + 5a −14 thành tích ta A ( a + ) ( a − ) ) B ( a − ) ( a − ) C ( a − ) ( a + ) D ( a − 3) ( a + Hướng dẫn giải : a + 5a −14 = a + 7a − 2a −14 = a ( a + ) − ( a + ) = ( a − ) ( a + ) Đáp án C Ví dụ 27 Cho đa thức M = a − 6a +15 Khẳng định A M < với giá trị a B M ≥ với giá trị a C M ≥ với giá trị a D M ≤ 20 với giá trị a 2 Hướng dẫn giải : M = a − 6a +15 = (a − 3) + ≥ 6, M = ⇔ a = Đáp án B Ví dụ 28 Cho a ≤ , giá trị biểu thức E = a −10a + 25 − 2a + A − 3a Hướng dẫn giải : E B + 3a a 10a + 25 2a (a C − 3a 5) 2a D 3a − a 2a 3a Đáp án A Ví dụ 29 Phép biến đổi sai A a − 6a + = a − (a C += 2) a Hướng dẫn giải : (a ( + 2) )( a − 3) = ( ( a − 1) ( a − 3) có tập xác định B a ( a + 1) = a ( a + 1) D ( )( a − 3) = ( a − 1) ( a − 3) )( a − 3) có tập xác định a ≤ a ≥ a ≥ Do đáp án D làm thay đổi tập xác định đáp án D Ví dụ 30 Cho a < < b, A −3a Hướng dẫn giải : −1 81a ab b10 B 3a C 3a 2b −1 81a −1 a = = ab ab 3a Đáp án B 10 b b 3 64a10b54 Ví dụ 31 Cho a < 0, b ≠ Rút gọn biểu thức E = A D 2a 2a Hướng dẫn giải= : E −1 2a −1 = Đáp án B 4a 2a B C 256a12b 4a D thức P Ví dụ 32 Cho số thực a, b thỏa mãn a < b < Biểu = 15 b−a −1 4a 10 ( − b ) sau rút gọn A 15a Hướng dẫn giải: 15 b−a 10 ( − b) D 15 ( a − b ) C −15a B 15a 15 b−a b Các toán giá trị trung bình Ví dụ 33 Nếu a + 42 − a − 42 = A 42 B 22 Hướng dẫn giải: 15 Đáp án C a + 42 + a − 42 bao nhiêu? C 20 D 21 ( ) ( a + 42 + a − 42 = a + 42 − a − 42 )( ) ( a + 42 + a − 42 ⇒ ) a + 42 + a − 42 = 21 Đáp án D Ví dụ 34 Cho a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ Biểu thức M= 2a 2a a sau rút + + a − 3a a − a − 4a + gọn A a−2 a −3 B Hướng dẫn giải: M= −a − a −3 C a+2 a −3 D a +1 a −1 D a+2 a −1 a 2a a2 + a − a+2 Đáp án C + + = = a − a − ( a − 1)( a − 3) ( a − 1)( a − 3) a − a a +1   a a −1  − :  a   a +1 a   a −1  Ví dụ 35 Rút gọn biểu thức sau E =−  a −1 2a + C a +1 a −1 2 2 a − ( a − 1) a − ( a − 1) a + Đáp án A Hướng dẫn giải: E = : = a ( a − 1) a ( a + 1) a −1 A a +1 a −1 B a +1 a −1    Ví dụ 36 Rút gọn biểu thức P =  − − + :   a −1 a +1   a −1 a −1 a +1  A 2a − a2 B 3a − a2 ( a + 1) − ( a − 1) = Hướng dẫn giải: P C a2 −1 : a 4a − a2 D 1− a 1+ a − a ( a + 1) + a − 4a a − 4a = = Đáp án C 2 a −1 a −1 − a − a2 Ví dụ 37 Cho số thực a, b thỏa mãn a ≥ 0, b ≥ Trong khẳng định sau có khẳng định sai? I 2a ≥ a III.Nếu a ≥ b A Hướng dẫn giải: Với a = II a ≤ 3a a≥ b IV B a+b ≤ a + b C D khẳng định I sai 16 Với a = khẳng định II sai 10 Dễ dàng chứng minh khẳng định III, IV Ví dụ 38 Rút gọn biểu thức A= A −2 Hướng dẫn giải: B a − +1 − ( ) B −2 ≤ P ≤ −1 −2 a −1 +1 − ( a −1 + D a −1 + ) =−2 Đáp án A − − + Khẳng định A P < −2 Hướng dẫn giải: ( a− +9 = a −1 a −1 − C − + Ví dụ 39 Cho P = P a + a −1 − +2 ) ( ) −1 C −1 < P < ( ) +1 D P ≥ Đáp án B P a A Ví dụ 40 Cho a, b, c, A, B, C số dương thỏa mãn = b c Giá trị biểu = B C thức = P aA + bB + cC − ( )( + C ) bằng: B −1 A C D ) Đáp án C Hướng dẫn giải: Ta có a b c a+b+c = = = = k ⇒ a = kA, b = kB, c = kC A B C A+ B +C ( ) ( )( c Các dạng toán phức tạp Ví dụ 41 Các số +C) ( thực x, y , z ) thỏa ( mãn x+ y+z = x + y + z = ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) Khẳng định 2 A Trong số x, y, z tồn số khác B x= y= z= C Tồn số x, y, z số vô tỷ D x < y < z Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có : x + y + z + xy + xz + yz= ( x + y + z ) ⇔ ( x + y + z ) = ( x + y + z ) ⇒ x= y= z= 11 Đáp án B 1 Ví dụ 42 Rút gọn biểu thức P = 1+ 1+ 1+ ,n∈ N* n + 2n  A n +1 n+2 ( n + 1) n+2 B C n+2 D 2n n+2 ( k + 1) Hướng dẫn giải: Ta có + = Do ta có : k + 2k k ( k + ) ( n + 1) 2(n + 1) Đáp án B 22 32 = 1.3 2.4 n ( n + ) (n + 2) P Ví dụ Q= (a − b) A C + 43 (b − c ) a, b, c Cho + (c − a) số thực khác Biểu thức sau rút gọn 1 − + a −b b−c c −a 1 + + a −b b−c c −a B 1 − − a −b b−c c −a D 1 + + a −b b−c c −a Hướng dẫn giải: Đặt x = a − b, y = b − c, z = c − a ⇒ x + y + z = Khi 1 1 1 1 1 1 ( x + y + z ) = + + ⇒ Q = + + Đáp án C  + +  = 2+ 2+ 2+ x y z xyz x y z x y z x y z x − Tìm đoạn có giá trị lớn Ví dụ 44 Cho biểu thức S = x −1 + cho S có giá trị lớn đoạn B [1;10] A [1;5] Hướng dẫn giải: S = ( x −1 − ) + ( ) ( x −1 − = C [5;10] ) ( x −1 − + x −1 − D [8;15] ) −2 x − + 5;1 ≤ x <  = 1;5 ≤ x ≤ 10  2 x − − 5; x > 10 Do với ≤ x ≤ 10 S = khơng đổi Đáp án C Ví dụ 44 x0 + 15 3 − 15 nghiệm phương trình sau 12 Website: tailieumontoan.com C x − x + = D x + x = 0 B x − x = A x − = Hướng dẫn giải: 2 x0 = 26 + 15 + 26 − 15 = (2 + 3) 2 ( + 2− ) = + + − = Do x0 nghiệm phương trình x − x = Đáp án B Ví dụ 46 Cho M= 20a + 92 + a + 16a + 64 , N =a + 20a + 102a + 40a + 200 Có giá trị a , để M + N = A Hướng dẫn giải: B (a M = 20a + 92 + D C + ) = a + 20a + 100 = a + 10 ≥ N = ( a + 10a ) + ( a + 10 ) ≥ 2 Khi M + N = ⇔ M = N = ⇔ a = −10 Đáp án B Ví dụ 47 Cho số thực x, y, z thỏa mãn Q= 1 1 Khi biểu thức + + = x y z x+ y+z 1 + + Sau biến đổi bằng: x3 y z A x + y3 + z3 x + y3 + z3 B C x + y2 + z2 D x3 + y + z Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có xy + yz + xz = ⇔ ( x + y + z )( xy + yz + xz ) = xyz ⇔ ( x + y )( y + z )( z + x ) = xyz x+ y+z z Nếu x + y =0 ⇒ y =− x ⇒ y =− x3 ⇒ Q = Với hai trường hợp lại ta có kết tương tự Đáp án A Ví dụ 48 Cho n số nguyên dương Rút gọn biểu thức = P (1.2 ) A + ( 2.3) n2 − n ( n + 1) 2 + + 2n + [n(n+1)]2 B n − 2n ( n + 1) C n2 + n ( n + 1) D n + 2n ( n + 1) 13 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Hướng dẫn giải: Ta có 2k + = [ k (k + 1)] (k + 1) − k 1 = 2− 2 (k + 1) k (k + 1) k 2  1 1 1  n + 2n Do P=  −  +  −  + +  − Đáp án D = 2  1     n (n + 1)  ( n + 1) Dạng Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức a Các tập đơn giản Ví dụ 49 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = a − 6a + 32 B 23 A 22 C 24 Hướng dẫn giải: M = (a − 3) + 23 ≥ 23 Đáp án B Ví dụ 50 Tìm giá trị x để biểu thức sau đạt giá trị lớn P = A P Hướng dẫn giải: = B −1 C D 25 18 x − 2x + D 18 ⇒ max= P x = Đáp án A ( x − 1) + Ví dụ 51 Khi x ∈ Z giá trị nhỏ biểu thức E = 31 : 2x + A 31 B −31 C −32 D −62 Hướng dẫn giải: Biểu thức đạt giá trị nhỏ x + =−1 ⇔ x =−3 Khi MinE = −31 Đáp án C Ví dụ 52 Giá trị lớn biểu thức M = + x − x : B D A C Hướng dẫn giải: M = − ( x − x + 1) + = −( x − 1) + ≤ Do đó, max M = ⇔ x =1 Đáp án B Ví dụ 53 Giá trị nhỏ biểu thức A 42 + − 19x B Hướng dẫn giải: Ta có + − 19 x ≤ ⇒ là: C 42 + − 19 x D Đạt giá trị nhỏ x = Đáp án C Ví dụ 54 Cho M = − x + x − 19 Khẳng định sau A M ≥ với giá trị x B M ≤ −15 với giá trị x 14 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com D −20 ≤ M ≤ với giá trị x C M ≤ −16 với giá trị x Hướng dẫn giải: M = − ( x − x − ) − 15 = − ( x − ) − 15 ≤ −15 Dấu xảy x = Đáp án B b Các dạng tốn trung bình Ví dụ 55 Tìm giá trị x để biểu thức M = nhỏ A −11 C −9 B −12 Hướng dẫn giải: M= 24 x + 139 + 24 x + 139 + x + 18 x + 81 Nhận giá trị ( x + 9) = (x + 24 x + 144 ) + 4= D 11 ( x + 12 ) +4 ≥2 Vậy M =2 ⇔ x =−12 Đáp án B Ví dụ 56 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= A 10 Hướng C B 11 dẫn giải: x + x + + x − 14 x + 49 ( x + 3) P= + ( x − 7) D = x + + − x ≥ x + + − x = 10 Min P= 10 ⇔ −3 ≤ x ≤ Đáp án A Ví dụ 57 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = x − x + − A −10 Q Hướng dẫn giải: = B −9 ( ) C −8 x + − − ≥ −7 Min Q =−7 ⇔ x =0 Đáp D Ví dụ 58 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = A Hướng dẫn giải: S= D −7 C B ( x − x − −1 + x + x − + ) x − −1 + ( ) x−2 +3 = D x − −1 + x − + Nếu ≤ x ≤ S = Nếu x > S= x − + > Do S = ≤ x ≤ Đáp án B Ví dụ 59 Cho a, b, c, d số dương thay đổi x = 2a + b − cd , y = c + d − ab Khẳng định sau A x < y < C x > y > Hướng dẫn giải: B x > y > D x < y < 15 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 x + y = (a − ab + b) + (c − cd + d ) + a = ( a− b ) +( c− d ) Website: tailieumontoan.com +a >0 ⇒ x > y > Đáp án C c Các dạng tốn phức tạp Khi M = Ví dụ 60 Cho x ≥ 2, y ≥ x + y = x − + y − Đạt giá trị lớn xy A 15 Hướng dẫn giải: M = max M = ⇔ x−2 = B 14 ( x −2 + y −3 ) D 10 C 12 ≤ ( x + y − ) = ⇒ M ≤ y −3 ⇒ x = 3, y = ⇒ xy = 12 Ví dụ 61 Giá trị nhỏ S = A 1 17 x+ + x+ + B 10 Hướng dẫn giải: Đặt t = x+ C 1 ⇒ x = t2 − ⇒ S = 4 t2 + t + D 17 −1 + ≥ , S = x = 4 Đáp án A Giá trị nhỏ biểu thức Q Ví dụ 62 Cho a + b + ab = = a + b A Hướng dẫn giải: B C D ( a − ) ≥ ⇒ a + ≥ 4a(1) ( b − ) ≥ ⇒ b + ≥ 4b(2) ( a − b ) ≥ ⇒ 2a + 2b ≥ 4ab(3) Từ (1), (2), (3) ⇒ 3Q + ≥ 4(a + b + ab) = 32 ⇒ Q ≥ Vậy Q = a= b= Đáp án C Ví dụ 63 Dạng Điều kiện để biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước a Các tốn đơn giản (x Ví dụ 64 Cho P = − 16 )( x − x + ) , có giá trị x để P = x2 + C A B Hướng dẫn giải: P = ⇔ x − 16 = ⇔ x = ±2 Đáp án B D 16 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ 65 x = khơng thuộc tập xác định biểu thức 5x + 2x + 21x D C x − 2x − x −3 Hướng dẫn giải: Ta có x − x − = ⇔ ( x + 1)( x − 3) = ⇔ x = −1 x = Đáp án D A B 17 x + 2x − Ví dụ 66 Biểu thức E = x − + 12 − x + x + có nghĩa A x ≤ x ≥ 12 B x ≤ 12 C ≤ x ≤ 12 D x ≥ x − ≥ ⇔ ≤ x ≤ 12 Đáp án C 12 − x ≥ Hướng dẫn giải: E có nghĩa  Ví dụ 67 Biểu thức P = A x ≠ ±4 Hướng dẫn giải: P = x−7 có nghĩa x − 16 B x ≥ C x < D x ≠ ±16 x − ≥ x−7 ⇔ x ≥ Đáp án B có nghĩa  x − 16  x − 16 ≠ Ví dụ 68 Tìm số nguyên a nhỏ để biểu thức M = −192 có nghĩa 15 − a A 16 B 17 D 15 C 14 Hướng dẫn giải: M có nghĩa 15 − a < ⇔ a > 15 Do a ∈ Z nên a = 16 Đáp án A Ví dụ 69 Có giá trị nguyên x để biểu thức xác định 169 − x + x − 169 B A C 2 0⇔ x= ±13 Đáp án C Hướng dẫn giải: Q xác định x − 169 = D Ví dụ 70 Biểu thức sau xác định với giá trị x x −4 2 Hướng dẫn giải: Do x − x + = ( x − 1) + > với x ∈ R A x − 11 B x − 12 x + 20 C D x − 2x + b Các dạng tốn trung bình Ví dụ 71 Biểu thức Q = x − x − 12 x + 36 có nghĩa A x ≤ 12 B x ≥ C x ≥ Hướng dẫn giải: Q = x− ( x − 6) = D −3 ≤ x ≤ 12 x − x − ⇒ x ≥ Đáp án C 17 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ 72 Có giá trị nguyên x để biểu thức M = x + 11 nhận giá trị x −1 nguyên A Hướng dẫn giải: M = + B C 13 , M nguyên x −1 x − ∈ {±1; ±13} ⇒ x ∈ {0, 4,196} Đáp án C Vi dụ 73 Cho a >= 1, P A P ≥ P D 2a + a a2 + a − + , khẳng định a − a +1 a B P < P C P = P Hướng dẫn giải: Sau rút gọn ta P = a − a = a ( D P = ) P a − > a > ⇒ P =P a − 5a + Ví dụ 74 Nếu 2a − = M = a − 10a + −12 12 C D 7 2 ( a − 1) a − a − với a ≠ ±1, ±3 Do 2a − = ⇒ a = a = −3 Hướng= dẫn giải: M = a2 − a2 −1 a2 − A 12 B ( )( ( ) ) Với a = M = Kết hợp điều kiện ⇒ a =  x   12 Đáp án D x  Vi dụ 75 Cho P = − 1 +  :   −  x +1   x −1 x x + x − x −1  Có giá trị x để P = −4 A B Hướng dẫn giải: Sau rút gọn ta P = C D x+2 Với x ≥ 0, x ≠ 1, P = −4 ⇔ x + x − = 0, x −1 có giá trị x thỏa mãn điều kiện Đáp án A c Các dạng toán phức tạp Ví dụ 76 Có số tự nhiên để n , n + 20 n − 39 số phương A B C 2 Hướng dẫn giải: Giả sử n + 20 = p n − 39 = q Khi D p−q = ⇒ p = 30, q = 29 ⇒ n = 880 Đáp án B p − q = 59 ⇔ ( p − q )( p + q ) = 59 ⇒  59 p+q = 18 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ 77 Có số tự nhiên n để n + 3, n + 13, n + 17 số nguyên tố A Hướng dẫn giải: C B D Nếu n =3k + 1(k ≥ 0) n + 17 = 3k + 18 khơng số nguyên tố n 3k + n + 13 = 3k + 15 không số nguyên tố Nếu = Nếu n = 3k n + = 3k + số nguyên tố k = ⇒ n = Đáp án A Ví dụ 78 Tìm số ngun dương n thỏa mãn 1      2020 = 1 + 1 + 1 +  1 +  1.3  2.4  3.5   n(n + 2)  2021 A 2022 Hướng dẫn giải: Ta có + Ta B 2021 C 2020 D 2019 (k + 1) k +1 k +1 Cho k nhận giá trị 1, 2,3, , n = = k (k + 2) k (k + 2) k k +2 n + 2020 n 2019 Đáp án D = ⇒= n + 2021 Ví dụ 79 Cho số thực a, b, c thỏa mãn a.b.c = 17 Tính giá trị biểu thức 17 17 M= + + + b + bc 17 + a + ab 17 + 17c + ac A 17 Hướng dẫn giải: B C D a a = = + b + bc a + ab + abc a + ab + 17 17 a + ab + 17 abc ab 17 = = 17 + 17c + ac abc + 17c + ac ab + 17 + a Cộng vế ta M = Đáp án C Ví dụ 80 Cho S = A S ≤ 15 Hướng dẫn giải: 1 + + + Khẳng định 100 B < S ≤ 17 Với n ∈ N * n + − n < C 17 < S < 18 D S ≥ 18 < n − n − Áp dụng với n = 2,3, 4, ,100 ta n 19 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 101 − < S < 100 − ⇒ 17 < S < 18 Đáp án C Ví dụ 81 Cho P = + 1 1 1 + + + + + + + + Khẳng định 2 3 101 1022 A 99 < P < 100 Hướng dẫn giải: B 100 < P < 101 c Ta có a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b = C 101 < P < 102 D 102 < P < 103 1 1 1 + + = + + Khi a b c a b c 1  1  1  1  P = 1 + −  + 1 + −  + + 1 + − ⇒ 100 < P < 101 Đáp án B  = 100 + − 102  3  4  101 102  1 3  1 − Ví dụ 82 Cho a = 25 + 621 25 − 621   Tính giá trị biểu thức −  2  P = a − a + 2021 Hướng dẫn giải: − 3a = 25 + 621 25 − 621 − ⇔ (1 − 3a ) = 25 + 3(1 − 3a ) a − a =−1 ⇒ P =2020 Đáp án D 2 20 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài Tập 1.1.Cho P = ( x − 16) ( x − x + 15 ) A x2 + có giá trị x để P = B D C 1.2 Có giá trị nguyên x để biểu thức 12 nhận giá trị nguyên x −5 A B C 16 1.3 Khi a = −4 giá trị biểu thức P =a + 12a + 48a + 2084 D 12 A 2018 B 2019 C 2020 1.4 Phân tích đa thức x + 3x − 18 thành nhân tử ta D 2021 A ( x − 3)( x + ) B ( x + 3)( x − ) C ( x − 3)( x − ) D ( x − )( x + ) 1.5 Với giá a đa thức M = a + a + a − nhận giá trị dương? A a ≥ 1.6 Biểu thức S = C < a < a + + 25 − a + a − 2a + có nghĩa B a > A −5 ≤ a ≤ B a ≤ −5 a ≥ C −3 ≤ a ≤ 1.7 x = không thuộc tập xác định A 17 x −4 1.8 Cho biểu thức A m < B 25 x x − 3x − −(m + 3) ( m − m + ) 7−m C x + 5x + D a < D a > −3 D x − x + 17 có nghĩa B −7 < m < C m > D m > 1.9 x0 = 14 − + 14 + nghiệm phương trình sau đây? A x − x = B x + x = C x − x + D x − x = 1.10 Nếu 37 − 20 = a + b với a, b ∈ Z 3a + 2b A 10 B 11 C 12 1.11 Có giá trị nguyên x để biểu thức A B 1.12 Có phép biến đổi SAI? C D 13 1372 nhận giá trị nhỏ x − 5x + D a (a − a += 3) a a − a + 3( I ) ( a − 5)( a + 3) = a − a + 3( II ) 21 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com (a − 7) a+2 = (a − 7)(a + 2)( III ) a−7 (a + 1)(a − 3a + 4) = a2 + A (a − 3a + ) ( IV ) C B 1.13 Rút gọn biểu thức M = A 2 −2 −1 + B A 12 x − − x − x − −1 B 12 B C 1.17 Phép biến đổi tương đương ( x − 5) =( x − 5) C ( x + 3) D 24 C 13 1 + + + 1.2 2.3 n(n + 1) 1.16 Rút gọn biểu thức F = A D 12 C 10 1.15 Cho x > , rút gọn biểu thức E = n +1 n D a + 10a + 25 + a − 10a + 25 B A −1 C 2 1.14 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = A 2+2 D n −1 n +1 ( x − ) ( x + 17) = B x2 − = x4 − x +3 D D ( x + ) x−2 = x+4 n n +1 x − x + 17 ( x − )( x + ) 1.18 a số thực thỏa mãn < a < Đặt M = 82 + 25 + a , N = 80 + 25 − a Khẳng định A 14 < M < N B N < 14 < M 1.19 Biểu thức xác định R A ( x + 1)( x − x + 5) B x − x2 + 1.20 Rút gọn biểu thức P = A C M < 14 < N C x − 3x − x + D N < M < 14 D x − x + 15 36 83 87 + 83 + 87 − 83 B 15 C 18 D 20 C D − 1.21 Rút gọn biểu thức E = − − + A B − 1.22 Cho a = 19 + + 19 − , giá trị biểu thức a − 3a − 3a − 2020 là: A 1860 B 1862 C 1870 D 1853 22 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com = a 1.23 Cho A 18 − 35 + − 35 Tính giá trị biểu thức P = a − 3a + B 19 D 22 C 20 1.24 Cho x0 = 20 + 14 + 20 − 14 nghiệm phương trình sau đúng? A x + x = P 1.25 Cho = A P < B x − x + = B 1 C < P < 2+ 3+ 5 +1 B A D x − 12 x + 20 = 1 + + + Khẳng định đúng? 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) 1.26 Tính giá trị biểu thức A 1.27 Nếu C x − x = )( C 10 − ) C D D 10 13 + 30 + + B + C + 2 D 1.30 Rút gọn biểu thức Q = + + + + + + − + + A B 2 C D 1.31 Tìm giá trị lớn biểu thức M = a − − a − − a + − a − A B −1 1.32 Cho Q= C D x + − x − + x + − x − Tính giá trị Q ≤ x ≤ 10 C D A x − + B −2 x − + 1.33 Có giá trị nguyên x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên P= x +1 : x − x x x +x+ x A B C D 23 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  a +2 a −  a +1 với a > 0, a ≠ −  a − a + a + a   1.34 Rút gọn biểu thức M  = 2 D C a −1 a −1 a −1  a 2a   a −  1.35 Rút gọn biểu thức Q =+ −   :   với (a > 0, a ≠ 9, a ≠ 25) a   3+ a 9− a   a −3 a A A a +1 a a −5 B a a −5 B 1.36 Cho a > 0; a ≠ Rút gọn biểu thức M = A ( a − 1) a ( B 2a a −5 C ) a +1 D a a −3 D a a −3 D a a −3 a a −1 a a +1 a +1 − + a− a a+ a a ( C a ) a +1 a a a + − 11 a + + a a −3 a −3 1.37 Cho a > 0, a ≠ Rút gọn biểu thức M = A a a −3 = 1.38 Cho M A a + b 1.39 Cho M = A M < a a −3 B ( a + b ) − ab a b +b a = ,N với a, b > 0, a ≠ b Tính M N a− b ab C a − b a− b B C < M < B M = 3+ a a −2 B + B D M ≥ + 12 + 18 − 128 3− a a +2 D − C 1.41 Cho a ≥ 0, a ≠ 4, a ≠ Rút gọn biểu thức M= A D ab a + + a − − a + a − với a ≥ Khẳng định sau 1.40 Rút gọn biểu thức Q = − A − a a +3 C C a − 4a a + a +1 − + a −5 a + 3− a a −2 a a +2 D 3− a a −2 1.42 Cho a ≠ 0, a ≠ ±8 Tính giá trị biểu thức 8−a = P 2+ a A  a :2+  + a2  B −2  3 a  a2 −  +  a +   a −  a + a   C D −1 24 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 1.43 Tìm x để giá trị biểu thức P= A −1 < x < x − x + + x + x + 2 B x ≤ −1 C ≤ x ≤ D x > x y z 1.44 Cho số thực a, b, c, x, y, z thỏa mãn a + b + c = x + y + z = + + = Tính giá trị a b c biểu thức M = a x + b y + c z B −1 A D a + b + c C 1.45 Cho số a, b, c thỏa mãn 1 1 1 + + = + + = Tính E = a + b + c − abc a b c a b2 c2 A −1 B C D 2 3 4 1.46 Cho số dương x, y thỏa mãn x + y = x + y = x + y Tính x + y A B C D 2 1.47 Cho a, b, c số thực thỏa mãn: 5a + b + 2c − 4ab + 4ac − 2bc − 4a + 2c + = Tính I = ( a − 2) 100 + (b − 4) 200 + (c + 2)300 A D 1976 1 + + + Khẳng định đúng? (2n + 1) 1.48 Cho P = A P < C B 1 D P > C < P < 1.56 Cho a = 17 + 12 + 17 − 12 Tính giá trị biểu thức E = a − 3a + 16 A 47 B 48 C 49 D 50 2 1.57 Cho a, b số dương thỏa mãn a − b = − b − − a Tính giá trị biểu thức P = a + b2 A B C 1 1.58 Cho M = x + x y + y + x y Tính B −1 A C 16 3 1.60 Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn điều kiện ax = by = cz T= ax + by + cz , T bằng: A ( 1.61 x0 = ) B ( D a + a + a 3 36 a3 − − B 36 a+3b+3c M − x2 − y C 1.59 Tính giá trị biểu thức Q = A 36 D a+3b+3c ) C ( D 3 36 1 + + = Đặt x y z a−3b+3c ) D ( a−3c ) a + a + b − a + b − a nghiệm phương trình A x3 + 3bx − 3a = C x + 3bx − 2a = = 1.62 Cho a B x3 + 3bx − a = D x − 3bx + 2a = = ,b Tính a + b 3 2 −2+ 2 +2+ 26 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com D B A C Rút gọn biểu thức 1.63 Cho a, b số thực thỏa mãn b < < a a + b =   b − a  b2 2a 2b a2  : − + ab  ( a − b )2 ( a − b )2 b − a    = P A a −b ab (a − b) B C ab (a − b) D ab ab a +8 số nguyên a +1 1.64 Có số hữu tỉ a để biểu thức F = B A C 7 1.65 Cho a = + 2, b = − Khi a + b D A 476 D 481 B 478 C 472 a + 2b3 + abc 1.66 Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = 3abc Tính M = 2ab + 3a c 3 A B C 10 D 2 Tính giá trị biểu thức 1.67 Cho a, b, c số thỏa mãn a + b + c = ( 2a + 2b − c ) + ( 2b + 2c − a ) + ( 2c + 2a − b ) P= 2 A 71 B 64 A 123 1.69 B 122 C 81 D 100 1 1.68 Cho a > a + = Tính a + Tính giá trị biểu thức a a Cho ( a − b) + (b − c ) + (c − a ) E= a , b, c 2 = C 125 số thực D 132 thỏa khác mãn 2 ( a + b − 2c ) + ( b + c − 2a ) + ( a + c − 2b ) Tính giá trị biểu thức 2a + 3b + 5c 3a + b + c A B C 1.70 Cho số thực ab c = Tính giá trị biểu thức D 5b a c Q = + + 2 ab + 5b + c ac + a + b c + c + A B C D 27 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 HƯỚNG DẪN GIẢI 1.1 P = ⇔ x ∈ {−4;3; 4;5} Đáp án D 1.2 x − ∈ {±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12} Đáp án D 1.3 1.4 1.5 P = 2020 Đáp án C Đáp án A 1.6 1.7 1.8 Đáp án C Đáp án B Biểu thức có nghĩa − m < ⇔ m > Đáp án C 1.9 x0 = 1.10 Website: tailieumontoan.com M = ( a − 1) ( a + 2a + 3) > ⇔ a > Đáp án B (3 − ) + (3 + ) = Đáp án D 37 − 20 =− 3⇒a= 5, b = −2 Đáp án B 1.11 1.12 1.13 1.14 Biểu thức nhận GTNN x − x + =−1 Đáp án B Các phép biến đổi (II), (III) sai Đáp ánB M =4 ⇒ M =2 Đáp án A P = a + + − a ≥ a + + − a = 10 P = 10 −5 ≤ a ≤ Đáp án C 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 Đáp án B Đáp án D Đáp án C M > 81 + 25 = 14, N < 81 + 25 < 14 Đáp án B Đáp án A = P 1.20 36 83 = 18 Đáp án C 83 1.21 Đáp án D 1.22 Đáp án A 1.23 a = 1.24 x0 = − 35 ( + + 35 + 3a = a − 3a = 12 ⇒ P = 20 Đáp án C 2+ ) ( + 2− 1.25 Áp dụng công thức ) = Đáp án C  1 1 = −   Ta k ( k + 1)( k + )  k ( k + 1) ( k + 1)( k + )   11 P=  −  < Đáp án A  ( n + 1)( n + )  1.26 = M (2 + 3+ ( )( ) +1 = 2+ 3+ ) ( ) + Đáp án B 1.27 Đáp án D 28 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 1.28 Đáp án C 1.29 Đáp án B 1.30 Đáp án C 1.31 M= −1nÕu ≤ a ≤  a − − − a − − = 2 a − nÕu < a < Max M = a ≥ 1nÕu a ≥  1.32 Q= x − − + x − − 3= ≤ x ≤ 10 1.33 P = 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 với x >0,x ≠ Đáp án A x −1 Đáp án D Đáp án B Đáp án C Đáp án B Đáp án C Đáp án B Đáp án A Đáp án D = P 1.42 Đặt x = a , ta − x3 x+2  x2   x  x2 − + + :2+ x Đáp án A    x+2  x −1  x2 + 2x  1.43 Đáp án B 1.44 Ta có ( a + b + c )( ax + by + cz ) = ⇒ M + ab ( x + y ) + ac ( x + z ) + bc ( y + z ) = x y c ⇔ M − abz − acy − bcx =0 ⇔ M − abc  + +  =0 a b z Đáp án A 1 1  1 1  1.45  + +  = + + +  + +  Đáp án D a b c a a a  ab bc ac  2  x (1 − x )= y ( y − 1) 1.46 Ta có  3  x (1 − x)= y ( y − 1) Từ lập luận x= y= Đáp án A 1.47 Từ giả thiết ta có ( 2a − b + c ) + ( a − ) + ( c + 1) = Đáp án B 1.48 Với k ∈ N , k ≥ Ta có 2 1 1 1  cho k 3,5, , 2n + = < = −   Áp dụng k k −1  k −1 k +1  Ta P < Đáp án A = N 1.49 Đặt 1 + + + Khi M < N M + N =8 ⇒ M < 1+ 3+ 79 + 80 Đáp án D 29 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a + 3b = 297665(1) 2ab = 646 (2) 2 1.50 Từ giả thiết ta có  Từ (2) suy ab = 323 suy a b số lẻ Mâu thuẫn với (1) Đáp án A 1.51 a + = a + ab + bc + ca = ( a + b )( a + c ) ( a + b )( b + c ) , c + = ( a + c )( b + c ) a ( b + c ) + 7b ( a + c ) + 7c ( a + b= ) 14 Đáp án B Tương tự b + = E= 1.52 Ta có x + x + 1= Thì P Nếu x ≠= (x − x + 1)( x + x + 1) 1 x x a2 = a = a = x2 + x + x2 − x + 2a + x2 − x + x2 + x + +2 x x Nếu x = a = , cơng thức Đáp án C 1.53 Ta có b c  a2 b2 c2  a 1.54 a + b + c = ( a + b + c )  + + + + +a+b+c ⇒ P = = b+c a+c a+b b+c a+c a+b Đáp án B 2 1.55 Ta có x + =  2 1 1 + ⇒  x + =   +  Đáp án B 8  4 8  ( ( ) a −1 a 1.56 ; −M = M = > Đáp án B a + a +1 3 a + a +1 ) 1.57 Từ giả thiết ta có a − 3a = 34 ⇒ a − 3a + 16 = 50 Đáp án D ( 1.58 < a, b ≤ ⇒ a + − a ) = (b + − b2 ) ⇒ a (1 − a ) = b (1 − b ) 2 2 ⇒ ( a − b ) 1 − ( a + b )  = Đáp án C 1.59 Đáp án A ( ) − a + a + 36 ≠ a 3  Đáp án A 1.60 Q =  a 3 ≤ ≠  a − 1.61 Đặt ax3 = t ⇒ a = t3 t3 t3 t3 t t t ⇒ T = + + ⇒ t = + + = a + b + c Đáp án B x x y z x y z 1.62 Đáp án C 3 1.63 a = + 2, b = − Đáp án C 1.64 Đáp án D 3+ 1.65 F = ∈ Z a +1 5−n = n ( n ∈ N * ) ⇒ a= ⇒ n ∈ {1; 2;3; 4;5} Đáp án C n a +1 1.66 a + b = 2, ab = −1 ⇒ a + b = 6, a + b3 = 14, a + b = 34 30 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ⇒ a +b = 7 (a +b )( a Website: tailieumontoan.com + b ) − a b ( a + b ) = 478 Đáp án B 3 1.67 Theo bất đẳng thức cô – si: a + b3 + c3 ≥ 3abc Theo giả thiết dấu sảy a= b= c Đáp án A 1.68 Đặt x = a + b + c ⇒ 2a + 2b − c = x − 3c P = ( x − 3c ) + ( x − 3a ) + ( x − 3b ) = 12 x − 12 x ( a + b + c ) + ( a + b + c ) = 81 2 Đáp án C   1 1 1 1.69  a +  = a + + = ⇒ a + = ⇒ a + = 18; a + = 18 a a a a a       M = a +   a +  −  a +  =123 Đáp án A a  a   a   1.70 Nhân tử mẫu phân thức thứ hai với b , phân thức thứ với ab , ab c = Đáp án D a b, y =− b c, z =− c a x + y + z = 1.71 Đặt x =− Từ giả thiết x + y + z = ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ⇒ x = y = z = Đáp án A 2 31 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương ta ý đến tốn sau: Phương trình khơng chứa thức, phương trình vơ tỷ, phương trình nghiệm nguyên phương trình chứa tham số a) Phương trình khơng chứa thức Ta có nhiều cách phân loại, chẳng hạn phân loại dạng biểu thức phương trình hay phân loại theo cách giải Dưới ta nhắc lại số dạng phương trình thường gặp, cách giải loại thể qua ví dụ Phương trình bậc ax += b ( a ≠ 0) Phương trình bậc hai Phương trình bậc ba ax3 + bx + cx + d= ( a ≠ ) Đặc biệt ( x − x0 ) ( a ' x + b ' x + c ) = Phương trình bậc bốn : Loại 1: Dạng trùng phương ax + bx + c= ( a ≠ ) Loại 2: A ( ax + bx + c ) + B ( ax + bx + c ) + C = Loại 3: ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = e với a + d = b + c Loại 4: ( x + a ) + ( x + b ) = c 4 Loại 5: ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = ex với ad = bc Phương trình bậc cao Loại 1: f ( x) =0 ⇔ ( x − x0 ) g ( x ) =0 Loại 2: a [ f ( x)] + bf ( x) g ( x) + c [ g ( x)] = 2 ( x) f ( x) ± g ( x) Loại 3: [ f ( x)] + [ g ( x)] = a với bf ( x) g= 2 Phương trình dạng phân thức Loại 1: px qx + = m ax + bx + c ax + b ' x + c 2 x b x b Loại 2: p  +  + q  +  + k = a x a x Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: A= B , A= B, A + B= C Với hầu hết phương trình có dạng ta dùng phương pháp biến đổi đưa dạng phương trình tích, phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp đánh gia hai vế b Phương trình vơ tỉ Một số phương trình vơ tỉ thường gặp: 32 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com   f ( x) ≥  g ( x) ⇔   g ( x) ≥  f ( x) = g ( x)  Loại 1: = f ( x)  g ( x) ≥ f= ( x) g ( x) ⇔   f ( x) = [ g ( x) ] Loại 2: Loại 3: f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = [ g ( x)] Loại 4: f ( x) = 3 g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) Loại 5: f ( x) + g ( x) = h( x ) Loại 6: f ( x) + g ( x) = h( x ) Đối với phương trình vơ tỉ ta thường giải cách biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ phương pháp đánh giá c.Phương trình nghiệm nguyên Phương trình nghiệm ngun đề tài lí thú toán học, nhiều người quan tâm từ em học sinh nhỏ tuổi đến chuyên gia toán học Có tốn lớn phương trình nghiệm ngun định lí lớn Fermat: Phương trình x n + y n = z n khơng có nghiệm ngun với số nguyên n ≥ , tồn từ kỉ XVII đến năm 1994 nhà khoa học người Anh Andrew Wiles chứng minh hoàn chỉnh Khơng có phương pháp chung để giải phương trình nghiệm ngun Tuy nhiên có phương pháp thích hợp đê giải lớp phương trình nghiệm nguyên Đó phương pháp phân tích thành tích, phương pháp đánh giá hạn chế miền nghiệm, phương pháp sử dụng tính chất chia hết số phương pháp khác d Phương trình chứa tham số Đối với phương trình chưa tham số ta thường gặp dạng tốn: Tìm điều kiện tham số phương trình có nghiệm, vơ nghiệm, vơ số nghiệm, phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước , hai phương trình có nghiệm chung… A Phương pháp giải thơng qua ví dụ: Dạng 1: phương trình khơng chứa thức a) Các tốn đơn giản: Ví dụ Số nghiệm phương trình x + 321x − 975 = : A B C D 33 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Hướng dẫn giải: Đặt t = x ta t + 321t − 975 = (1) −975 trái dấu nên t1 < (loại), t2 > nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Đáp án B Ví dụ Tổng nghiệm phương trình ( x − 1)( x − ) ( x − 11)( x − 12 ) = A 75 Hướng dẫn giải: B 76 C 77 D 78 Phương trình cho có tập nghiệm {1; 2; ;12} Nên tổng nghiệm phương trình 78 Đáp án D Ví dụ Phương trình có tổng nghiệm lớn nhất: B x − 3x − 41 = 2 D x − x − (m + 37) = A x − x − (m + 9) = C x − x + = Hướng dẫn giải: Dễ thấy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Tổng nghiệm phương trình A, B, C, D 6;3;5;1 Đáp án A Ví dụ Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình −2 x − x + =0 Tính giá trị biểu thức= E x13 x2 + x1 x23 A B − Hướng dẫn giải: Theo định C − lí Viet ta D x1 + x2 = −2; x1.x2 = − có: E= x1 x2 ( x12 + x2 ) = x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2  = − Đáp án C   Ví dụ Trong phép biến đổi phép biến đổi đúng: x − x + 15 =−2 ⇔ x − =−2 A x −3 C ( x − 3) = ⇔ x −3 = 4 x − =  x − =−5 B x − = ⇔  D ( x + ) ( x − x + ) = x + ⇔ x − x + = Hướng dẫn giải: Phép biến đổi A sai thiếu điều kiện x ≠ Phép biến đổi C sai thiếu trường hợp x − =−4 Phép biến đổi D sai chia hai vế phương trình cho x + 34 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Đáp án B b) Các tốn trung bình: Ví dụ Phương trình có tổng nghiệm đạt giá trị lớn nhất: A x − x − 131 = 2 C x − (k + 9) x − 47 = 0 B 3x − 15 x − 916 = D ( x + 3)( x − ) ( x − 16 ) = Hướng dẫn giải: Dễ thấy tổng nghiệm phương trình A, B, C, D 7;5; k + 9; −1 Đáp án C Ví dụ Phương trình có nghiệm x1 = + 3; x2 = 4−2 A x − 3x − = C x − 3x + = Hướng dẫn giải: B x + 3x + = D x + 3x − = Từ giả thiết ta có x= 3;= x1.x2 nên x1 ; x2 nghiệm phương trình x − x + = + x2 Đáp án C Ví dụ Phương trình ( x + x + 3) + ( x + x + 3) − 10 = Có nghiệm ? A Hướng dẫn giải: B C D t = Không thỏa mãn điều kiện t = −5 Đặt t = x + x + với ( t ≥ 3) ta t + 3t − 10 =0 ⇒  Đáp án A Ví dụ Tích nghiệm phương trình sau có chữ số hàng đơn vị số nào? (x − 1)( x − ) ( x − 99 ) = Hướng dẫn giải: Dễ thấy nghiệm phương trình cho Do tích nghiệm phương trình Đáp án C Ví dụ 10 Cho phương trình x − + x + = (1) Khẳng định đúng: A (1) vơ nghiệm C (1) có hai nghiệm Hướng dẫn giải: B (1) có nghiệm D (1) vô số nghiệm 35 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ta có : x − + x + = − x + x + ≥ − x + x + = Do (1) vơ nghiệm Đáp án A Ví dụ 11 Tích nghiệm phương trình ( x + 1)( x + )( x + 3)( x + ) = 24 A −3 Hướng dẫn giải: (x C B D + x + )( x + x + ) = 24 Đặt t = x + x + ta ( t − 1)( t + 1) =24 ⇒ t =±5 ⇒ x =0; x =−5 Đáp án D c) Các toán phức tạp Ví dụ 12 Phương trình x + x + = có nghiệm? A Hướng dẫn giải: B D C x = − ( x + 3) ≤ −3 Phương trình cho: x ( x3 + 1) + = Do x ≤ −3 ⇒ x3 + ≤ −26 ⇒ x ( x3 + 1) + > Đáp án C Ví dụ 13 Phương trình x3 − 3x + A Hướng dẫn giải: Có nghiệm dương? = 4x B D C     Phương trình tương đương với ( x − 1) +  x +  − =0 4x Do ( x − 1)   ≥ 0;  x +  − ≥ x − =0 Phương trình cho có nghiệm 4x  4x  dương x = Đáp án A Ví dụ 14 Phương trình x − + x − 10 20 A Hướng dẫn giải: 37 B = có nghiệm? C D vơ số nghiệm Dễ thấy x = x = 10 nghiệm Nếu x < x > 10 x − + x − 10 20 37 >1 36 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Nếu < x < 10 x −9 20 x − 10 < x −9 =x −9 37 < x − 10 = 10 − x Do x − + x − 10 < Đáp án B 20 37 Ví dụ 15 Phương trình −11x3 − x + x = có nghiệm A B − 33 Hướng dẫn giải: −1 − 34 C 1 + 34 D 1 − 34 1 34 x3 ⇔ ( x − 1= x Phương trình x3 − 3x + 3x −= ) 34 x3 ⇔ x −=1 x 34 ⇔=  x   x  − 34 Đáp án D Ví dụ 16 Phương trình  90 (1) có nghiệm?  +  =  x +1   x −1  A Hướng dẫn giải: B C D x  x2  x (1) ⇔  + − − 90 =   x +1 x −1  x −1   x2 = 10 2 x = ±   2x  2x x −1 ⇔  − − 90 =0 ⇒  ⇒   2x  x −1  x −1  x − = −9  x = ± 11  Đáp án A Dạng 2: Phương trình vơ tỷ a) Các tốn đơn giản Ví dụ 17 Phương trình ( x − 11x + 28 ) x − = có nghiệm? A Hướng dẫn giải: B C D Điều kiện x − ≥ ⇔ x ≥ Nếu x − = ⇒ x = Nếu x − 11x + 28 ⇒ x= 4; x= Kết hợp với điều kiện đáp án C Ví dụ 18 Tìm tổng nghiệm phương trình 37 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 x ( x − 25 = ) 19 x ( 25 − x A Hướng dẫn giải: ) Website: tailieumontoan.com C −3 B 11 D Phương trình tương đương với x ( x − 25 ) = 0⇔ x= 0; x = ±5 Đáp án D x − 25 = x + − Có nghiệm? x −5 Ví dụ 19 Phương trình A Hướng dẫn giải: C B Điều kiện x > , x + 5= x + − ⇔ x= 11 Đáp án D Ví dụ 20 Nghiệm lớn phương trình A 26 Hướng dẫn giải: D B 27 x − 14 x + 49 = 20 là: C 28 D 32  x − = 20 ⇒ x = 27 x − = 20 ⇒  Đáp án B  x − =−20 ⇒ x =−13 Ví dụ 21 Phương trình A Hướng dẫn giải: x − x − = x − có nghiệm? B  x − ≥ 6 x − x − = Phương trình tương đương với  ( x − 5) ⇔x= Đáp án D Ví dụ 22 Phương trình sau có nghiệm? A Hướng dẫn giải: D C B (1) x + + x −1 = C D Cách 1: Điều kiện x ≥ (1) ⇔ x + + ( x − 1)( x + 3) =4 ⇔ Cách 2: hàm số y = f ( x ) = x + x − =1 − x ⇔ x + x − = x − x + ⇔ x =1 x + + x − đồng biến [1; +∞ ) ; f (1) = nên phương trình (1) có nghiệm x = Đáp án B Ví dụ 23 Tìm tích nghiệm phương trình 38 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com x + x + =1 + x ( x + 1) A Hướng dẫn giải: B D −1 C Điều kiện x ≥ Đặt = a x + Ta a + b =1 + ab ⇔ ( a − 1)( b − 1) =0 ⇔ a =1 x ;= b b =1 ⇒ x =0 x = Đáp án C Ví dụ 24 x= + − − nghiệm phương trình ? A x − + x = B D C x − x + = Hướng dẫn giải: x03 = + − + − 3 ( 5+2 )( Hướng dẫn giải: x + x+9 = ) − x0 ⇔ x03 + x0 − = ⇔ x0 = Đáp án A Ví dụ 25 Số nghiệm phương trình A x2 − x + + = x + 36 − ( x − 1) = là: C B D Lập phương hai vế ta x + 36 − ( x − 1) − 3 ( x + 36)( x − 1) = ⇔ ( x + 36)( x − 1) = 12 ⇔ x + 35 x − 176 = 0⇔ x= −63, x = 28 Đáp án C Ví dụ 26 Phương trình A Hướng dẫn giải: Đặt t = − x + + x + − x2 = Có nghiệm nguyên? B C 2 − x + + x (t ≥ 0) ⇒ − x = D t2 − t2 − ⇔ t =−4 (loại), t =2 ⇒ x =±2 Đáp án C Ta có t + Ví dụ 27 Số nghiệm nguyên phương trình x + = A Hướng dẫn giải: x − + x + là: C B D Phương trình tương đương với ( ) ( ) x + − x − − x + =⇔ x − − x − +1 + x +1− x +1 + = 39 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ⇔ ( ) ( x − −1 + x +1 − )  x − − =0 = 0⇔ ⇔ x = Đáp án D  x + − = b Các tốn phức tạp Ví dụ 28 Số nghiệm phương trình A Hướng dẫn giải: x + 21 + x + 10 = là: C B D Đặt a =3 x + 21; b =3 x + 10 a + b = x = a − 21 = b − 10 Ta  ⇒ a = 3; b = ⇒ x = 2 a b 11 + =  Chú ý: Ta có y = f ( x) = x + 21 + x + 10 đồng biến [ −10; +∞ ) f (6) = nên phương trình có nghiệm x = Đáp án D Ví dụ 29 Phương trình sau có nghiệm ngun? x − x + 13 + x − x + = − x2 − x A Hướng dẫn giải: Vế trái ( x − 2) +9 + C B ( x − 2) D +1 ≥ Vế phải − ( x + ) + ≤ Vế trái đạt GTNN x = , vế phải đạt GTLN x = −2 Do phương trình vơ nghiệm Đáp án A Ví dụ 30 Biết x, y, z số thực thỏa mãn đẳng thức: x − + y − + z − 4= ( x + y + z) − 2 Tính P = 3x + y + z ? A 16 Hướng dẫn giải: Đặt a = thành : a + b + c= B 17 x − 2; b = y − 1; c = C 18 D 20 z − ⇒ x = a + 2; y = b + 1; z = c + Phương trình trở 2 2 a + b + c + ) − ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) = ( 40 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ⇒ a =b =c =1 ⇒ x =3, y =2, z =5 Đáp án C Ví dụ 31 Tìm tích nghiệm phương trình : x + x + = A Hướng dẫn giải: B C D −1 Đặt t = x ta có f (t ) =t + t + hàm số đồng biến [ 0; +∞ ) Mặt khác f (1) = nên t = nghiệm phương trình f (t ) = Do phương trình có nghiệm x = ±1 Đáp án D Ví dụ 32 Gọi x0 nghiệm phương trình 4x2 −1 + = x x − x + x + Khẳng định đúng: A −1 < x0 < Hướng dẫn giải: Điều kiện x ≥ B ≤ x0 < , đặt a = C < x0 < x;b = x − 1; c = D x0 ≥ x + Ta bc + a = ab + c ⇔ ( b − 1)( a − c ) = Nếu b − = ⇒ x − = ⇒ x = Nếu a − c = ⇒ x = x + ( vơ nghiệm) Đáp án B Dạng 3: Phương trình nghiệm ngun a) Các tốn đơn giản Ví dụ 33 Có giá trị nguyên a cho biểu thức P = 10a + 16 nhận giá trị 2a − nguyên? A Hướng dẫn giải: P =5 + B C D 12 21 ∈ Z ⇔ 21 chia hết cho 2a − ⇔ 2a − ∈ {±1; ±3; ±7; ±21} Đáp án C 2a − Ví dụ 34 Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn đẳng thức x + y − x + y + 10 = P x − y bằng: Giá trị biểu thức = A Hướng dẫn giải: B C D 10 x − = ⇒ x =3; y =−1 ⇒ P =9 Đáp án A  y + =0 Từ giả thiết ta có ( x − 3) + ( y + 1) =0 ⇒  2 41 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ 35 Số nghiệm nguyên phương trình xy − x − y = là: A Hướng dẫn giải: B C D Phương trình tương đương với ( x − 1)( y − 1) = Do có nghiệm nguyên ( x; y ) ∈ {( 0; −2 ) ; ( 2; ) ; ( −2;0 ) ; ( 4; )} Đáp án B Ví dụ 36 Phương trình x + y = x + y + 217 có nghiệm nguyên? A Hướng dẫn giải: B C D Vơ số Phương trình cho tương đương với x ( x − 1) + y ( y − 1) = 217 Khi x, y ∈ Z vế trái chia hết cho , vế phải không chia hết phương trình cho khơng có nghiệm nguyên Đáp án C b) Các tóa trung bình Ví dụ 37 Có cặp số ngun x; y thỏa mãn đẳng thức: x + x + =y A Hướng dẫn giải: B C D x + x + = y ⇔ ( x + ) − y = ⇔ ( x + − y )( x + y + ) = 2  x + − y =  x + − y =−3 Mặt khác x + − y < x + y + nên ta có   2  x + y + =−1  x + y + = 2 ( x; y ) ∈ {( −4;1) ; ( −4; −1) ; ( 0;1) ; ( 0; −1)} Đáp án B Ví dụ 38 Phương trình x + y + z = 165 có nghiệm nguyên số nguyên lẻ A Hướng dẫn giải: B C D Giả sử a số nguyên lẻ a = 2k + ⇒ a = 4k ( k + 1) + chia dư x, y, z số nguyên lẻ nên x + y + z chia dư Mặt khác 165 chia dư Đáp án A Ví dụ 39 Số nghiệm ngun dương phương trình x − xy + y = 169 là: A Hướng dẫn giải: B C D Phương trình tương đương với ( x − y ) + x = 02 + 132 = 52 + 122 42 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ta có x − y = 0; x = 13 ⇒ y = 26 x − y = 5, x = 12 ⇒ y = 19 y = 29 x − y =12, x = ⇒ y = 22 x − y= 13, x= (loại) Đáp án D Ví dụ 40 Phương trình sau có nghiệm nguyên x + y =17 + xy (1) A Hướng dẫn giải: B D C (1) ⇔ x + ( x − y ) = 17 ⇒ ≤ x ≤ 17 ⇒ x ∈ {0;1; 4} Phương trình có nghiệm nguyên ( x; y ) ∈ {( 2;1) ; ( 2;3) ; ( −2; −3) ; ( −2; −1)} Đáp án D Ví dụ 41 Phương trình sau có nghiệm nguyên y = ( x + 1)( x + )( x + 3)( x + ) A Hướng dẫn giải: B D C y = ( x + 1)( x + )( x + 3)( x + ) = ( x + x + )( x + x + ) Đặt t = (x + 5x + 5) Ta y =( t − 1)( t + 1) ⇔ ( t − y )( t + y ) =1 ⇒ y =0; t =1 y = 0; t = −1 ⇒ ( x; y ) ∈ {( −1;0 ) ; ( −2;0 ) ; ( −3;0 ) ; ( −4;0 )} Đáp án D c) Các tốn phức tạp Ví dụ 42 Tìm số nghiệm nguyên phương trình x + y = ( y + 1) A Hướng dẫn giải: B 2 D C Đặt y = t ta t + t + =⇔ x2 −3 ⇔ ( 2t + x + 1)( 2t − x + 1) = −3 ( 2t + 1) − x = ⇒ t =0; x =±1 Đáp án B Ví dụ 43 Phương trình sau có nghiệm ngun dương? x ( x + 1)= y ( y + ) A Hướng dẫn giải: Ta có x + x + = B 2 ( y + 1) , C x2 < x2 + x + 1= ( y + 1) D < ( x + 1) Vô lý phương trình khơng có nghiệm ngun dương Đáp án D 43 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ 44 Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn đẳng thức x − x3 y + y = 64 A Hướng dẫn giải: B C D y − x3 y + x − 64 = phương trình bậc hai ẩn y ∆ '= x − 64 ≥ ⇒ x ∈ {0; ±1; ±2} Phương trình có nghiệm ngun là: ( x; y ) ∈ {( 0;8 ) ; ( 0; −8 ) ; ( 2;8 ) ; ( −2; −8 )} Đáp án C Ví dụ 45 Giả sử x; y; z số nguyên thỏa mãn đẳng thức xy zx yz + + = Tính giá z y x trị biểu thức : T =x + y + 3z A Hướng dẫn giải: Ta có B C 10 D 18 xy zx yz xy zx yz ; ; dấu có tổng ⇒ ; ; dương Áp dụng bất z y x z y x đẳng thức Cô – si : = xy zx yz + + ≥ 3 xyz ⇒ xyz ≤ z y x ⇒ ( x; y; z ) ∈ {(1;1;1) , (1; −1; −1) , ( −1;1; −1) , ( −1; −1;1)} Đáp án A Ví dụ 46 Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn đẳng thức x − y + xy − x − 10 y + = (1) Tìm GTNN x y A −27 Hướng dẫn giải: C −21 B −18 D 12 (1) ⇔ f ( x) = x + ( y − 1) x − y − 10 y + a = a − ∆ ' =4 y + y + − − a =4 ( y + 1) + ( −3 − a ) ⇒ a =−3 Do f ( x) có nghiệm x =−3 y − 1; x =y + ⇒ (1) ⇔ ( x − y − 3)( x + y + 1) =−7 ⇒ ( x; y ) ∈ {(1; −3) ; ( −3;1) ; ( 3;1) ; ( 7; −3)} Đáp án C Dạng 4: Phương trình chưa tham số a) Các tốn đơn giản Nghiệm Ví dụ 47 Biết x = nghiệm phương trình x − x + m − = cịn lại phương trình là: A Hướng dẫn giải: B C −3 D 44 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Theo đinh lí Viet ta có: + x2 =5 ⇒ x2 =4 Đáp án B Chú ý: Ta thay x = vào phương trình tìm m sau giải phương trình bậc hai tìm nghiệm cịn lại vơ nghiệm Ví dụ 48 Có giá trị m để phương trình x − 2mx − 5m + = B A Hướng dẫn giải: ∆=' m + 5m − 6= C D ( m − 1)( m + ) < ⇔ −6 < m < Đáp án D Ví dụ 49 Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình x − (m − 2m + 17) x − ( m + ) = Giá trị nhỏ x1 + x2 bằng: A 17 Hướng dẫn giải: B 16 D 14 C 15 Do −(m + 5) trái dấu nên phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 ; x2 x1 + x2 = ( m − 1) + 16 ≥ 16 Đáp án B Ví dụ 50 Có giá trị tham số m để hai phương trình sau có nghiệm chung: (1) ( x − ) ( x − x + 41) = x − mx + m − 5m + = (2) A Hướng dẫn giải: Dễ thấy C B (1) có nghiệm m − m + 12 = ⇒ m ∈ {3; 4} Đáp án C D x = 2, thay vào (2) ta Ví dụ 51 Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình x − 23x − ( m + 14 ) = Tìm GTLN P = x1 + x2 + x1 x2 A Hướng dẫn giải: B 10 C 11 D 12 Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 ; x2 P =x1 + x2 + x1 x2 =23 − m − 14 =9 − m ≤ max P = Khi m = Đáp án A Ví dụ 52 Phương trình có nghiệm m − 45 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com B x − ( m + 3) x + ( m − 1) = A x + ( m + 3) x + ( m − 1) = 2 C x − ( m + 3) x + ( m + 1) = Hướng dẫn giải: D x + ( m − 3) x + 4m = x1 + x2 = m + ; x1= x2 4(m − 1) nên x1 ; x2 nghiệm phương trình x − ( m + 3) x + ( m − 1) = Đáp án B b) Các tốn trung bình Ví dụ 53 Có giá trị tham số a để hai phương trình sau có nghiệm chung: x2 + 2x + a + = (1) x + ( a − 1) x + = (2) A Hướng dẫn giải: B C D Giả sử x0 nghiệm chung (1) (2) (1)  x0 + x0 + a + = ⇒ ( a − 3)(1 − x0 ) =  (2)  x0 + ( a − 1) x0 + = Nếu a − = ⇔ a = không thỏa mãn (1) Nếu − x0 =0 ⇒ a =−2 Đáp án D Ví dụ 54 Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình x + ( − 2a ) x + 4a − 14 = Tìm hệ thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào a A x1 + x2 − x1 x2 = B ( x1 + x2 ) + x1 x2 = −4 C ( x1 + x2 ) − x1 x2 = Hướng dẫn giải: D ( x1 + x2 ) − x1 x2 = Dễ thấy phương trình cho có nghiệm với a Theo định lí Viet ta có: 2 ( x1 + x2 ) =4a − 10 ⇒ ( x1 + x2 ) − x1.x2 = Đáp án C  4a − 14  x1.x= Ví dụ 55 Cho phương trình x − ( a + b + c ) x + ab + bc + ca = (1) với (a, b, c) độ dài ba cạnh tam giác Khẳng định đúng: 46 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A (1) vơ nghiệm C (1) có hai nghiệm trái dấu Hướng dẫn giải: B (1) Có nghiệm kép D (1) có hai nghiệm dương Ta có ∆= a + b + c − ( ab + bc + ca ) Do a < b + c ⇒ a < ab + ac Tương tự b < ab + bc, c < ac + bc Từ suy ∆ < Đáp án A Ví dụ 56 Cho phương trình x − ax= + b (1); x − 2bx= + a (2) Với a, b số thỏa mãn điều kiện a + b ≥ Khẳng định đúng: A.(1) ln có nghiệm C.(1) (2) vô nghiệm Hướng dẫn giải: B (2) có nghiệm D Ít hai phương trình có nghiệm ∆1 '+ ∆ ' = a + b − a − b = ( a − 1) + ( b − 1) + ( a + b − ) ≥ Do ∆1 ' ≥ ∆ ' ≥ 2 Đáp án D Ví dụ 57 Tìm giá trị tham số k để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt x − ( k − ) x + k − = A k > C k ≤ k > k ≠ B  Hướng dẫn giải: D k ≠ k − > Đáp án B k − ≠ Dễ thấy phương trình có hai nghiệm x1= 1; x2= k − Do ta có  Ví dụ 58 Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình x − 2(m + 1) x + 4m − m = GTNN P= x1 − x2 là: B A 2 Hướng dẫn giải: C D 2 1  = ∆ '  m −  + > với m nên phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 2  P2 = ( x1 + x2 ) Ví dụ A Hướng dẫn giải: Có ( 2m + ) − 4(4m − m ) ⇒ P ≥ Đáp án C nhiêu giá trị x m ( m − 5m + ) có vơ số nghiệm ( m − 2) ( m + m) = 59 − x1 x2 = bao tham số m để phương trình B C D 47 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ( m − ) ( m + m ) = m =  Đáp án B ⇒ = m − + = m m m  )  ( Phương trình vơ số nghiệm  c) Các dạng tốn phức tạp Ví dụ 60 Cho m ≠ , gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình x + mx − = 2m GTNN = S x14 + x2 là: A − Hướng dẫn giải: C + B 2 D + trái dấu nên phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn 2m −1 x1 + x2 = −m; x1.x2 = 2m Do − 2   S= ( x1 + x2 ) − x1 x2  − x12 x2 2=  m +  − ≥ + Dấu sảy   m  2m  m= ± Đáp án C Ví dụ 61 Cho phương trình 3x + ax − = (1) −5 x + ax + = (2) Gọi α β nghiệm lớn (1) (2) GTNN α + β là: A Hướng dẫn giải: B D C Do (1) (2) có hai nghiệm trái dấu nên 3α + aα − = ⇔ −5 α + a α +3= 0⇒ α nghiệm (2) ⇒ α + β = α + α > 0; β > Ta có α ≥ Đáp án B Ví dụ 62 Cho phương trình a x + ( a + b − c ) x + b = (1) với a, b, c độ dài cạnh tam giác Khẳng định đúng: A (1) vô nghiệm C (1) có hai nghiệm trái dấu Hướng dẫn giải: ∆= (a B (1) có nghiệm kép D (1) có hai nghiệm dương + b − c ) − 4a 2b 2= ( a − b ) − c  ( a + b + c )( a + b − c ) < Do phương trình vơ   nghiệm Đáp án A Ví dụ 63 Có giá trị tham số m để hai phương trình sau có nghiệm chung: x − (3m − 1) x= + 12 (1); x − (9m − 11) x= + 36 (2) 48 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 A Hướng dẫn giải: B Website: tailieumontoan.com D C Giả sử x0 nghiệm chung (1) (2) 6 x0 − (9m − 3) x0 + 36 = ⇒ ⇒ x0 − x0 = − − + = x m x (9 11) 36  0 x0 = không thỏa mãn x0 = thay vào (1) ta m = Khi tập nghiệm (1) 3 2  9  4   (2)  ;  ,  ;  Đáp án A Ví dụ 64 Cho phương trình ( m + 1) x + ( m + 1) x − m = (1) Gọi x1 ; x1 nghiệm của(1) GTLN x12 + x2 bằng: A Hướng dẫn giải: B C D Ta có ∆ ' = ( m + 1)( m + m + 1) > 0, ∀m; x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = + Đặt= y 2m m2 + 2m ⇔ ym − 2m += y phải có nghiệm với m m +1 Nếu y =0 ⇒ m =0 Nếu y ≠ 0, ∆ ' = − y ≥ ⇒ −1 ≤ y ≤ Do x12 + x2 đạt GTLN m = Đáp án B Ví dụ 65 Gọi m, M nghiệm nhỏ lớn phương trình x + x + ( k + 1) x + k + 4k + = với tham số k Khi m + M bằng: A Hướng dẫn giải: B C D Giả sử x0 nghiệm phương trình x0 + x0 + ( k + 1) x0 + k + 4k + = phải có nghiệm k ⇔ ∆=' (x − x0 )( x0 + x0 + ) ≥ ⇔ ≤ x0 ≤ x0 = k = −2 ; x0 = k = −3 Đáp án A 49 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com BÀI TẬP 2.1 Phương trình ( x − 12 x + 20 ) x − = có nghiệm? A B D C 2 2.2 Gọi x1 ; x1 nghiệm phương trình x − (m + 1) x − (m − 12m + 48) = Tìm GTLN x1.x2 A 12 C −12 D −11 B −6 2.3 x = nghiệm phương trình đây? A x − x + = B x − x − = 0 2 C x − mx + 3m − = D x − 3x + m − 2m + = 0 2.4 Biết x1 ; x1 nghiệm phương trình x − 4321x − ( m + 3) = Tính = S ( x1 + x2 ) A 4321 B −8642 C 8642 D 8644 2.5 Gọi S P tổng tích nghiệm phương trình x − (m + 2) x − A 15 15 Tính S P = m2 + C 14 B −15 2.6 Phương trình x + 10 x + 25 =x − có số ngiệm là: D −30 A B D C 2.7 Tìm giá trị m để phương trình x + (m − 19) x + m − 16 = có hai nghiệm trái dấu A m ≥ B m ≤ −2 C −2 < m < D < m < 4 2.8 Tổng nghiệm phương trình ( x − 1)( x − ) ( x − 100 ) = bằng: A (m B −1 C D 2.9 Có giá trị tham số m để phương trình sau vô nghiệm + m − ) x = m3 − m + 2m − A B C có nghiệm? 2.10 Phương trình 3x + 10 − x + = A B C D 2.11 Tích nghiệm phương trình x + + x + = + x + 3x + bằng: A B −1 C D 2.12 Phương trình sau có nghiệm nguyên xy + x − y − = D 50 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 A Website: tailieumontoan.com C D B 2.13 Biết phương trình ( m − 3) x − 2(m + 1) x − m − = có nghiệm −1 Nghiệm cịn lại phương trình là: A B C −3 D −5 2 2.14 Gọi k0 số nguyên nhỏ để phương trình ( k − k ) x + 2kx + =0 có nghiệm A k0 ∈ ( −3; ) B k0 ∈ ( −2;1) 2.15 Số nghiệm phương trình A A C k0 ∈ ( 0;3) D k0 > x −5 + 3− x = là: B 2.16 Tìm số nghiệm phương trình C D vô số x + + x + 23 + x + = 11 C D B 37 Khẳng định Sai ? 2.17 Cho phương trình x − 13 y = A Phương trình có vơ số nghiệm nguyên B Nếu ( x; y ) nghiệm ngun phương trình x, y khơng lẻ C x 50, y nghiệm nguyên phương trình = = D Phương trình có hữu hạn nghiệm nguyên 2.18 Phương trình x3 + y = x + y + 45 có nghiệm nguyên B C D 2.19 Có giá trị tham số m để phương trình x − 473x − m + 4m − 10 = có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1.x2 = −6 A B C D 2 2.20 Cho phương trình x − 2mx = + (1); x − x= + 2m (2) Khẳng định ln với giá trị tham số m : A A (1) có nghiệm B (2) có nghiệm C (1) (2) vơ nghiệm D Ít hai phương trình có nghiệm 2.21 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC Biết phương trình : có nghiệm kép Khẳng định ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = A ∆ABC B ∆ABC vuông 51 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com C ∆ABC góc tù D ∆ABC có góc nhỏ 600 2.22 Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình x − 2(m + 1) x + 4m − m = Tìm GTNN biểu thức P= x1 − x2 A C B D 2 2.23 Biết phương trình x − 2(k − 1) x + k − = có hai nghiệm x1 ; x2 GTNN biểu thức M = x12 + x2 A 15 B 15 D 2.24 Cho phương trình x + ax = + b (1); x + bx = + a (2) với a, b số thỏa C mãn đẳng thức ( a + b ) − ab = Khẳng định đúng: A (1) ln có nghiệm B (2) ln có nghiệm C (1) (2) vơ nghiệm D Ít hai phương trình có nghiệm 2.25 Có giá trị tham số k để hai phương trình sau có nghiệm chung: k2 ) ( x − ) ( x − x + += A 0 (1); x + x + k − 8k= + (2) B C D 2.26 Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình x − x + =0 Lập phương trình bậc hai có nghiệm 1 ; x12 x2 A x + 27 x + =0 B x − 27 x + =0 C x − 27 x − =0 D x − 27 x − = 2.27 Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn đẳng thức x + y − x + y − 37 = A B C D 2.28 Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình x + ( − 2m ) x − 12m − = tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m A 6( x1 + x2 ) + x1 x2 + 36 = C 6( x1 + x2 ) − x1 x2 + 30 = 2.29 Có cặp số nguyên A B B x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 36 = D 5( x1 + x2 ) + x1 x2 − 30 = ( x; y ) thỏa mãn đẳng thức x + y − 10 x + y + 42 = C D 52 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 2.30 Tìm giá trị m để phương trình x − (397m + 23) x + m − 13m + 30 = có hai nghiệm trái dấu A −10 < m < −3 B < m < 10 m < C   m > 10 D −10 < m < 2.31 x0 = + + − không nghiệm phương trình đây? A ( x − x + 3) ( x − ) = 0 C x − x + 15 = B x − x + = D ( x − ) ( x − x ) = 2.32 Phương trình sau có nghiệm x + 24 + x + 13 = 15 A B C D 4 2.34 Tìm tích nghiệm phương trình ( x − 11) + ( x − 13) = 16 A 110 B 132 C 143 D 164 2 2.35 Phương trình x + y − xy − =0 có nghiệm nguyên? A B D C 2.36 Phương trình xy − y + x − y − =0 có nghiệm nguyên? A B D C 2 2.37 Gọi ( x0 ; y0 ) nghiệm nguyên phương trình x + y − xy − y + = Khẳng định đúng: A x0 = y0 B x0 = y0 C 2x0 = y0 2.38 Phương trình có nghiệm 2a − D x0 + y0 = A x − (2a + 3) x + 8a − = B x + (2a + 3) x + 8a − = 0 C x + (2a − 3) x + 8a + = D x + (2a − 3) x + = 0 2.39 Phương trình x + = x − x + 14 có nghiệm? A C D B 3 2.40 Phương trình x + + x − x + = + x + có nghiệm? A B C D 20 32 2.41 Tìm tổng nghiệm phương trình x − 13 + x − 14 = 1? A 25 B 26 C 27 D 32 2.42 Có giá trị tham số m để phương trình x − (m + 5) x − m + = có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 13 A B C D 53 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com     13 2.43 Phương trình  có nghiệm?  +  =  x −   x −  36 A C D B 2.44 Tìm tích nghiệm phương trình x − 21x + 74 x − 105 x + 50 = A 10 B 15 2.45 Phương trình ( x − )( x + 1) + 5( x − 5) C 20 D 25 x +1 = −4 có nghiệm ? x −5 A B D C 2.46 Tìm tổng nghiệm phương trình x − x ( x − 1) − 12 ( x − 1) = A B −4 D C + 30 2 2.47 Gọi ( x0 ; y0 ) nghiệm nguyên phương trình x + xy + y =x + y Khẳng định đúng? A x0 + y0 = B x0 + y0 = C x0 + y0 ≤ D x0 + y0 ≥ 2.48 x, y số thực thỏa mãn đẳng thức ( x − x + ) + y = 2( x − 1) y Tính x y A B C 2.49 Có cặp số nguyên ( a, b ) thỏa mãn đẳng thức D 12 3a + 12b + 6ab = 28 ( a + b ) A B D C 2.50 Có giá trị tham số a để phương trình sau có hai nghiệm ngun x − ax + a + = A C D B 2.51 Có cặp số nguyên ( a, b ) thỏa mãn đẳng thức a =+ − 4b + b B C D 2.52 Tìm giá trị tham số m để phương trình x − (m + 2)( x + 2) + = có ba nghiệm phân biệt A A m < B m > C m > 1; m ≠ 10 D −2 < m < 2.53 Biết tồn giá trị tham số a để phương trình ( x + ) ( x − x − a + ) = Có nghiệm x1 ; x2 ; x3 Tính giá trị biểu thức P = x13 + x23 + x33 − 3x1 x2 x3 + 12 A C 11 D 12 B 10 2.54 Cho a > Biết phương trình ax + ( b − ) x + − a − b = có nghiệm lớn Khẳng định 54 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 A 3a + b < 4 B 3a + b = C 3a + b > 2.55 Gọi x0 nghiệm phương trình Website: tailieumontoan.com D a = 2b − x2 + 8x − x − 16 x + 41 + x − 24 x + 64 = Khẳng định A x0 ∈ ( −2; ) B x0 ∈ (1; ) C x0 ∈ ( 2;3) 2.56 Tìm tích nghiệm phương trình D x0 > 54 − x + x + 43 = A 1026 B −1024 C −1026 D −1062 2.57 a, b số thực thay đổi cho phương trình ax + x + b = có hai nghiệm có hai nghiệm dương x3 ; x4 GTNN biểu dương x1 ; x2 phương trình bx + x + a = thức P = x1 + x2 + x3 + x4 B A 2.58 Phương trình A C D x − + 13 − x =− x + 18 x − 79 có nghiệm? C D B 2 2.59 Phương trình x − x y + y = 16 có nghiệm nguyên? A B C 2.60 a; b; c số nguyên dương phân biệt thỏa mãn A 42 D 1 1 Tính P = abc + + = a b c B 36 C 18 D 15 2.61 Có cặp số nguyên dương ( a; b ) thỏa mãn đẳng thức a + b(b + b − 3a ) = A D B C 2.62 Phương trình sau có nghiệm nguyên dương? x + y − 13( x − y ) = A B C D 2.63 Có giá trị tham số k để hai phương trình sau có tập nghiệm x − (k − 6k + 5) x + k= − 6k + (1); A k −3 x − 3(k= − 1) x + (2) k −1 B C D 2 2.64 Phương trình x + y + z = 1309 có nghiệm nguyên cho x, y, z lẻ A B C 2.65 Phương trình x + x + = có nghiệm A B C D 2.66 Giá trị nghiệm phương trình 22 x − x + 12 x − = D 55 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 A + 21 B −2 C + 21 − 21 có nghiệm 2.67 Phương trình x − 3x − = Website: tailieumontoan.com D − 21 A B D C 2.68 Phương trình x ( x + 1) + x ( x + 2= ) x ( x − 3) có nghiệm? A B C 3 + 2 x − có nghiệm vơ tỷ? 2.69 Phương trình x = A B D C 2.70 Phương trình sau có nghiệm y − x + x − − x += y2 + x −1 A B C D D 56 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 HƯỚNG DẪN GIẢI Website: tailieumontoan.com 2.1 Đáp án B 2.2 x1 x2 = − ( m − ) − 12 ≤ −12 Đáp án C 2.3 Đáp án D 2.4 Do − ( m6 + 3) trái dấu nên phương trình cho có hai nghiệm trái dấu Đáp án C 2.5 Đáp án B 2.6 Đáp án D 2.7 m − 16 < ⇔ −2 < m < Đáp án C 2.8 Đáp án D 2.9 Đáp án A 2.10 Đáp án B 2.11 Đáp án A 2.12 Đáp án C 2.13 Đáp án D 2.14 Đáp án C 2.15 Đáp án A 2.16 Hàm số y = f ( x) =   x + + x + 23 + x + đồng biến  − ; +∞  ; f (2) = 11   nên x = nghiệm Đáp án C 2.17 Đáp án D 2.18 Phương trình tương đương với ( x − 1) x ( x + 1) + ( y − 1) y ( y + 1) = 45 Vế trái chia hết cho Vế phải không chia hết cho Đáp án A 2.19 Đáp án C 2.20 ∆1 '= m − 1; ∆ '= − 2m; ∆1 '+ ∆ '= m − 2m + > ⇒ ∆1 ' > ∆ ' > Đáp án D 57 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 2.21 3x − 2(a + b + c) x + ab + bc + ca = có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( a − c ) = ⇔ a = b = c Đáp án A 2 2 1  2.22 = ∆ '  m −  + > 0; P = 2(2m − 1) + ≥ Đáp án B 2   2.2.3 Đáp án C 2.24 ∆1 + ∆ 2= a + b − 4(a + b= ) (a − b) ≥ Đáp án D 2.25 x = nghiệm chung khi= k 5;= k Đáp án C 2.26 Đáp án B 2.27 Phương trình tương đương với x ( x − 1) + y ( y + 1) = 37 Đáp án D  x1 + x2 = 2m − Đáp án A ⇒ 6( x1 + x2 ) + x1 x2 + 36 = 12 x x m = − −  2.28  2.29 Cách 1: ( x − ) + ( y + ) + =0 2 Cách 2: Ta viết phương trình cho phương trình bậc hai ẩn x ∆ x =− ( y + ) − < Đáp án D 2.30 Đáp án B 2.31 Đáp án C 2.32 f ( x) = x + 24 + x + 13 hàm số đồng biến [ −13; +∞ ) ; f (3) = 15 nên x = nghiệm Đáp án A 2.33 Đáp án B 2.34 Đáp án C 2.35 ( x − y ) =1 − y ≥ ⇒ y ∈ {0; ±1} Đáp án C 2.36 Phương trình tương đương với ( y + 1)( x − y ) = Đáp án B 2.37 ( x − y ) + ( y − ) = Đáp án B 2 2.38 Đáp án A 2.39 ( x − 3) + ( ) x + − =0 Đáp án D 58 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 2.40 Đặt a = x − x + ta a + 3b =3 + ab ⇔ ( a − 3)( b − 1) =0 x + 1; b = Đáp án B 2.41 Phương trình có nghiệm= x 13; = x 14 Đáp án C  x1 + x2 = m + m =  Đáp án B 2.42 ∆= m + 14m + ≥ (1) Khi :  x1.x2 =− m ⇒ m = 2 x + 3x = 13  x =  13  2.43  Đáp án C − − =0 ⇔   +2 ( x − 5)( x − ) 16  x−5 x−4 x = 2.44 ( x − 1)( x − ) ( x − x + 10 ) = Đáp án D t 2.45 Điều kiện x ≤ −1; x > = x +1 Đáp án B ta t + 5t + = x −5 ( x − 5) 2.46 Đặt = a x ;= b x − ta được: { } a − 4ab − 12b = ⇔ ( a + 2b )( a − 6b ) = ⇔ x ∈ −2 ± 6;6 ± 30 Đáp án A 2.47 x + ( y − 1) x + y − y = ; ∆ ' =−3 y + y + ≥ ⇔ − ≤ y ≤ ( x; y ) ∈ {( 0;0 ) ; (1;0 ) ; ( 0;1)} Đáp án C 2.48 y − ( x − 1) y + y − y =0; ∆ ' =− ( x − 3) Đáp án B 2.49 ( a + b ) − 28 ( a + b ) + 9b = 0; ∆ ' = 196 − 27b ≥ ⇒ b ∈ {0;1; 4} Đáp án C 2.50 Giả sử x1 ; x2 nghiệm nguyên a  x1 + x2 = ⇒ x1 x2 − x1 − x2 = ⇒ ( x1 − 1)( x2 − 1) = ⇒ a ∈ {−2;6} Đáp án C   x1 x2= a + 2.51 a =1 + 13 − ( b + ) ⇒ a ∈ {1; 4} Đáp án B có hai 2.52 ( x + ) ( x − x − m + ) = có ba nghiệm phân biệt x − x − m + = nghiệm phân biệt khác -2 Đáp án C 59 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 2.53 Giả sử x3 = −2; x1 , x2 nghiệm phương trình Website: tailieumontoan.com x − x − a + =0 ⇒ x1 + x2 =2; x1 x2 =5 − a ⇒ ( x1 + x2 ) =− x33 ⇒ x13 + x23 + x33 + x1 x2 ( x1 + x2 ) =0 ⇒ P =12 Đáp án D 2.54 Phương trình có ghiệm= x1 1;= x2 4−a −b > Đáp án A a 2.55 Đáp án C a + b = = b  a 2;= ⇒ Đáp án C b 97 =  a 3;= a + b = 2.56 Đặt a = 54 − x ; b = x + 43 ta  2.57 Nếu x1 nghiệm ax5 + x + b = nghiệm bx5 + x + a = Do x1  1  1 x1 + x2 + x3 + x4 =  x1 +  +  x2 +  ≥ Đáp án B x1   x2   2.58 Chứng minh x = nghiệm Đáp án D 2.59 y − x y + x − 16 = ⇒ ∆ ' = 16 − x ≥ ⇒ x ∈ {0;1; 4} Đáp án A 2.60 a, b, c số khác thuộc {2;3;6} Đáp án B 2.61 a − 3ab + b3 + b = 0; ∆= b ( − 4b ) ≥ ⇒ y= Đáp án C 2.62 x − 13x + y + 13 y= 0; ∆= 169 − ( y + 13 y ) ≥ ⇒ y= Đáp án C 2.63 (1) có nghiệm x = 1; x = k − 6k + x = nghiệm (2) k = k = Chỉ có k = thỏa mãn yêu cầu tốn Đáp án B 2.64 Bình phương số lẻ chia dư nên vế trái chia dư Đáp án D 2.65 Đáp án C 2.66 Phương trình tương đương với ( x − ) = −21x3 Đáp án A ( ) ( ) 2.67 ( x + x + 1) − x + 3x + = ⇔ ( x + 1) −  x +  = Đáp án B   2.68 Điều kiện x ≤ −2;= x 0; x ≥ Xét trường hợp x ∈ 0; −  28   Đáp án C  60 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 2.69 Đặt t = x − ⇒ t = x − ta 3  −1 ±  t= x − ⇒ ( x − t ) ( x + xt + t + ) = ⇒ x ∈ 1;   Đáp án B    x= 2t − 2.70 ( x + 1) ( y + x − 1) + x + ( y − 1) = ⇒ x = 0; y = Đáp án A 61 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH Website: tailieumontoan.com A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Hệ phương trình vấn đề trọng tâm chương trình đại số THCS Các tốn giải hệ phương trình thường gặp kì thi HSG THCS thi vào lớp 10 THPT Các tốn hệ phương trình phong phú đa dạng Tuy nhiên toán trắc nghiệm chúng tơi đưa tốn có lời giải ngắn gọn khơng q khó Có nhiều cách phân loại hệ phương trình : +) Phân loại theo số ẩn hệ, theo hệ số phương trình hay theo bậc hệ phương trình +) Phân loại theo cấu trúc, đặc tính phương trinh +) Phân loại theo phương pháp giải hệ phương trình Một số dạng hệ phương trình thường gặp c ax + by = c' a ' x + b ' y = Hệ bậc hai ẩn:  Ta dùng phương pháp cộng đại số để giải biện luận hệ phương trình Hệ đối xứng loại I hai ẩn: hệ ta thay đổi vai trị x y mối phương trình không đổi Để giải hệ thông thường ta đặt S = x + y, P = xy với S ≥ P Hệ đối xứng loại II hai ẩn: hệ ta thay đổi vai trị x, y hệ khơng đổi Hệ phương trình đẳng cấp:là hệ mà số hạng phương trình có bậc Ta thường gặp hệ đẳng cấp bậc hai bậc ba Thông thường ta kiểm tra y ≠ , đặt y = kx Hệ phương trình mà có phương trình vơ nghiệm hệ có vế phải 0, vế trái phân tích thành tích, ta xét nhân tử tích Hệ phương trình khơng mẫu mực, để giải hệ phương trình này, ta thường sử dungjtinhs chất đơn điệu hàm số bất đẳng thức để đánh giá hai vế Một số dạng câu hỏi trắc nghiệm thường gặp là: Hệ phương trình có nghiệm là: Hệ phương trình có nghiệm Cho biết ( x; y ) nghiệm hệ phương trình Tìm mối liên hệ x y hặc tính giá trị biểu thức x y Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn tính chất Trong hệ phương trình cho, hệ có nghiệm 62 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com B PHƯƠNG PHÁP GIẢI THƠNG QUA VÍ DỤ Dạng 1: Hệ phương trình bậc Trong phần này, ta xét hệ phương trình bậc khơng chứa tham số a) Các tốn đơn giản 23 5 x + y = 17 x − y = Ví dụ Biết ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ phương trình  Tính x0 + y0 B C A D Hướng dẫn giải: Giải hệ phương trình ta x0 =5; y0 =−2 ⇒ x0 + y0 =3 Đáp án A x + 3y = có nghiệm là: −23 2 x − y = Ví dụ Hệ phương trình  A x = 1; y = −3 B x = −1; y = D x = 3; y = −1 C x = −3 −1; y = Đáp án B Hướng dẫn giải: Giải hệ phương trình ta x = Chú ý: Ở ví dụ ngồi cách giải thơng thường ta cịn thay giá trị x; y đáp án vào hệ phương trình Tuy nhiên cách tối ưu giải hệ gặp khó khăn 3a + 3b = Tính P = 19ab 11a + 6b = Ví dụ a, b số thực thỏa mãn điều kiện  B −2 D Hướng dẫn giải: Giải hệ phương trình ta a = −1; b = ⇒ P = Đáp án C A C 21 Tính a − b Ví dụ Cho a, b số thực thỏa mãn a : = b : a + b = A −10 B −8 C a b a+b Hướng dẫn giải: = = =3 ⇒ a =6; b = 15 ⇒ a − b =−9 Đáp án D D −9  1 11 x + y = 30  khẳng định Ví dụ Cho biết x, y nghiệm hệ phương trình  3 + =  x y 10 đúng: A x < y B x = y C x + y = 15 x 6,= y Đáp án D Hướng dẫn giải: Giải hệ ta được= D x > y 63 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ An mua bút hết 13000 đồng, Bình mua bút hết 21000 đồng Giá tiền đồng A 5000 B 3000 C 4000 D 6000 Hướng dẫn giải: Gọi x, y giá tiền bút đó: 13000 2 x + y = x 5000, y 3000 Đáp án A ⇒ = =  21000 3 x + y = b Các tốn trung bình a + 9b + 16c b c Tính M = = 10a + b − 3c c a a b Ví dụ a, b, c số thỏa mãn điều kiện = A C D B a b c a+b+c Hướng dẫn giải: Ta có = = = =1 ⇒ a =b =c ⇒ M =4 Đáp án B b c a b+c+a Ví dụ Gọi ( x0 , y0 , z0 ) z x + y =  nghiệm hệ phương trình:  y + z = x + z + x = y +  Tính P = 3x0 + y0 + z0 C 26 D 27 A 22 B 24 Hướng dẫn giải: Cộng vế ( x + y + z ) = x + y + z ⇒ x + y + z = ⇒ x = 1, y = 2, z = Đáp án C  x + y = 18 4 x − y = Ví dụ Hệ phương trình sau có nghiệm:  A B Hướng dẫn giải: Dễ thấy= x 3,= y Đáp án A C D Ví dụ 10 Hai tổ theo kế hoạch may 80 áo Do cải tiến kĩ thuật nên tổ vượt mức 10% , tổ II vượt mức 20% so với kế hoạch hai tổ may 91 áo Tính số áo tổ I dự định may? A 52 B 50 C 40 Hướng dẫn giải: Gọi x; y số áo mà tổ I, tổ II làm theo kế hoạch Ta có D 35 80 x + y =  x 50, = y 30 Đáp án B ⇒= 12  11 x y 91 + = 10 10 64 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com c.Các tốn phức tạp a − 15 Ví dụ 11 Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện = 10 abc = 350 = b − 30 c − 21 Tính 2a + b + c A 25 B 26 C 27 D 32 a − 15 b − 30 c − 21 a b c a b c Hướng dẫn giải: = = ⇒ −3 = −3 = −3⇒ = = 10 10 10 Từ dễ dàng tính a = 5, b = 10, c = ⇒ 2a + b + c = 27 Đáp án C a b c 12 + − = Ví dụ 12 Cho a, b, c số thực thỏa mãn  a + b + c =  10 Tính giá trị biểu thức M = a + b + c + A Hướng dẫn giải: B 10 C 12 D 15  a b A−a −b = 12 + − Đặt A = a + b + c ⇒ c = A − a − b ⇒  a + b − A − a − b =  10 b − A 36 b − A 12 12a + 21= 4a + 7= ⇒ ⇒ ⇒ A = 42 ⇒ A = Đáp án B A 60 −4a − 7b + 10= A 30 −8a − 14b + 20= a + b + c =  Ví dụ 13 Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện:  1 1  a + b + c = Tính P = ( a − )( b − )( c − ) A Hướng dẫn giải: B C D −7 1 1 + + = ⇒ abc − 7(ab + bc + ca ) + 73 − 73 = a b c abc − 7(ab + bc + ca ) + a + b + c − 73 = ⇒ ( a − )( b − )( c − ) = Đáp án A Dạng 2: Hệ phương trình bậc hai bậc cao 65 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Hệ phương trình bậc hai bậc cao phong phú, đa dạng Trong gồm hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ phương trình đẳng cấp, hệ phương trình mà có phương trình vơ nghiệm, hệ phương trình khơng mẫu mực… a) Các tốn đơn giản Ví dụ 14 Hệ phương trình có nghiệm −17 6 x − y = 23 x + 5y = 2 x + y + =0 B  A  x − y =  x − x + 12 = C  3 x − y =  x + y = −3 D  2 3 x + y = Hướng dẫn giải: Dễ thấy hệ phương trình A, C, D vơ nghiệm Hệ phương trình B có nghiệm x = −2; y = Đáp án B Ví dụ 15 Hệ phương trình sau có nghiệm?  y + y = (1)  (2)  x y + x y + x − x + − y = A B C D 2 Hướng dẫn giải: Từ (1) ta có y = thay vào (2) ta x − x + = ⇒ x = Đáp án B (1) 3 x − y = Ví dụ 16 Hệ phương trình sau có nghiệm   x + y + =0 (2) A B C Hướng dẫn giải: Dễ thấy phương trình (2) vơ nghiệm Đáp án A D x 3,= y nghiệm hệ đây? Ví dụ 17.=  x − xy + y + = A  x − 3y = 2 x + y = C  x + y = 2  x + y + = B   x + y = x + y = D  2 13 x + y = Hướng dẫn giải: Các hệ A, B vơ nghiệm, hệ C khơng có nghiệm= x 3,= y Đáp án D  xy + x + y = Ví dụ 18 Hệ phương trình  2 x + y = có tập nghiệm là: x 1;= y hoặc= x 2;= y x 2;= y A = B = x 1;= y x= y= C = D x= y= y a, x= y b ta hệ Hướng dẫn giải: Đây hệ đối xứng loại Đặt x += 66 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a − 2b = ⇒ a = 3, b = ⇒ x = 2, y = hoặc= x 1,= y Đáp án B  a + b = 2 a − b =a − Ví dụ 19 Biết a, b thỏa mãn điều kiện  2 Tính E = 3a + 2b + b − a =b + A B C D Hướng dẫn giải: Cộng vế ta a + b − = ⇒ b = − a thay vào ta a − (1 − a ) = a −3⇒ a = −2, b = 3⇒ E = Đáp án C b) Các toán trung bình  x2 − x + =  Ví dụ 20 Biế x, y, z nghiệm hệ phương trình  y − z + = z2 − 4z + =  Tính M = 3x + y + z + 12 A 25 B 24 C 28 D -24 2 Hướng dẫn giải: Cộng vế ta ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) =0 ⇒ x =y =z =2 ⇒M = 24 Đáp án B  x= y + 18 Ví dụ 21 x, y số thực thỏa mãn điều kiện  khẳng định  y= x + 18 A x < y < B x ≥ y > C x + y = D x ≤ y ≤ Hướng dẫn giải: Đây hệ đối xứng loại II, ta dùng máy tính tìm nghiệm trừ vế rút gọn ta ( x − y ) ( x + xy + y + 3) = ⇒ x = y Thay vào phương trình đầu ta x= y= 2 (1) a + b + 4a − 2b + = Ví dụ 22 a, b số thực thỏa mãn điều kiện  2 (2) 2a + b − = Tính P= 5ab + a + b D −10 A −11 B −12 C −14 2 −11 Đáp án A Hướng dẫn giải: (1) ⇔ ( a + ) + ( b − 1) =0 ⇒ a =−2, b = thỏa mãn (2) ⇒ P =  x( y + 1) =  Ví dụ 23 Hệ phương trình sau có nghiệm  xz = 12  z ( y + 1) =  67 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com B A C D Hướng dẫn giải: Nhân vế ta  xz ( y + 1)  = 756 ⇒ xz ( y + 1) = ±24 Nếu xz ( y + 1) = 24 ⇒ x = 3, y = 1, z = Nếu xz ( y + 1) =−24 ⇒ x =y =−3, z =−4 Đáp án C Ví dụ 24 Hệ phương trình sau có nghiệm? ( x − 1)( x − ) ( x − 2020 ) = (1)  2 50 (2)  x + y = Hướng dẫn giải: Nếu x − =0 ⇒ x =±1 ⇒ y =±7 Nếu x − =0 ⇒ x =± 2, y =± 48 … Nếu x − 49 =0 ⇒ x =±7, y =±1 Nếu x − 50 =0 ⇒ x =±5 2, y =0 Nếu x ∈ {51;52; ; 2002} không thỏa mãn (2) Đáp án B c.Các tốn phức tạp Ví dụ 25 Hệ phương trình sau có nghiệm dương x + y = z (1)  x (2) y + z =  y (3) z + x = A B C D 2 Hướng dẫn giải: Do x, y, z > x > y ⇒ x > y ⇒ y + z > z + x ⇒ y > x vô lý Tương tự x < y vô lý nên x = y Tương tự y = z , thay vào hệ cho ta x= y= z= Đáp án A x +1 = y + z Ví dụ 26 Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện   xy + z − z + 10 = Tìm GTLN M= x + y A 16 Hướng dẫn giải: B 17 C 18 D 22 68 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ( x − y ) = z − z + ⇒  − z + 14 z − 20 2 xy = −2 z + z − 20 2 xy = x − y = z −1 2 Ta có  Cộng vế M = x2 + y = − ( z − ) + 17 ≤ 17 Max M = 17 z = Đáp án B a + b + c = 27 ab + bc + a = Ví dụ 27 a, b, c số thực thỏa mãn:  Tính giá trị biểu thức P = 3a + 2b + c A 15 HướnHướng dẫn giải: B 16 C 17 D 18 g dẫn giải: (a + b + c) = 81 ⇔ ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) = 81 ⇔ a + b + c = 27 = ab + bc + ca ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = ⇒ a = b = c = Đáp án D 2 2 a + b =  Tính giá trị = Q 2a + 7b9 4 a + b + ab = Ví dụ 28 a, b số dương thỏa mãn  A B 10 C 11 D 12 2 2 2 Hướng dẫn giải: Ta có = (1.a + 1.b) ≤ ( a + b ) ⇒ ≤ a + b ⇒ ≤ ( a + b ) ⇒ a + b ≥ Mặt khác ab ≤ a+b 5 = ⇒ ab ≤ ⇔ ≥ ⇒ a + b4 + ≥7 ab ab Dấu sảy a= b= Đáp án A  x + y = (1) Ví dụ 29 Hệ phương trình sau có nghiệm  8 1(2)  x + y = A B Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có : C D x8 ≤ 1, y ≤ ⇒ −1 ≤ x, y ≤ ⇒ x ≤ ⇒ y ≥ ⇒ y ≥ , tương tự x ≥  x (1 − x ) = Do ≤ x, y ≤ Ta có x − x + y − y =0 ⇒ x (1 − x ) + y (1 − y ) =0 ⇒   y (1 − y ) = 8 7 ⇒ ( x; y ) ∈ {(1;0 ) , ( 0;1)} Đáp án C 69 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ 30 Hệ phương trình sau có nghiệm 2 (1) 2 x + y − xy + y + =  2 (2) 2 x + y − xy + = A B C D 2 Hướng dẫn giải: (1) ⇔ y + 2(1 − x) y + x + = , ta có ∆ ' =−( x + 1) − < Do (1) vơ nghiệm nên hệ vơ nghiệm Đáp án D  y 12  y + x + x = Ví dụ 31 Biết ( x; y ) nghiệm hệ phương trình  y + + y =  x x Khẳng định sau A x = y B x = −2 y x C x + y = a − b = 12 y x Hướng dẫn giải: Đặt a =+ y , b = , ta  Hệ có nghiệm= x a + b = D y = x ⇒a= −5, b = 13 a= b= , y Đáp án D = ( x − )2 + ( y + 1)2 = (1) Ví dụ 33 Hệ phương trình  (2)  x + y + + y + 10 = A B C D Hướng dẫn giải: Từ (1) ta có x − =y + =0 ⇒ x =5, y =−1 giá trị thỏa mãn (2) Đáp án B Ví dụ 34 Hệ phương trình sau có nghiệm  x + y − x + y + 13 + y + = (1)  2 (2)  x + y + xy + = A Hướng dẫn giải: Từ (1) B D ( x − 3) + ( y + 2) + y + = 0⇒ x = 3, y = −2 giá trị không C thỏa mãn (2) Đáp án D −3, y = Ví dụ 35 Hệ phương trình có nghiệm x =  x + 12 + y + = 11 3 x + y = A   x + + y + = −11 3 x − y = B  70 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ( x − 3) + ( y − 1) =  x − + y =  x + y = D  C  13 4 x + y = −3, y = vào hệ cho Đáp án B Hướng dẫn giải: Thay giá trị x = Ví dụ 36 Hệ phương trình vô nghiệm ( x − 1)2 + ( y + )2 = A   x + + y + 11 =  x − + y − = C  ( x + ) + y − =  x − + y − = B  2 13  x + y = 2 x + y = 20 4 x + 16 y = D  Hướng dẫn giải: Đáp án C b Các tốn trung bình Ví dụ 37 Gọi ( x0 , y0 ) nghiệm hệ phương trình  x − 13 y − 14 = (1) 3  x − y= y − x (2) ( ) Tính S= 3x + y A 140 C 148 D 132 B 142 Hướng dẫn giải: Điều kiện x, y ≥ Từ (2) ta chứng minh x = y thay vào phương trình 140 Đáp án A (1) ta x = −1 (loại), x = 14 ⇒ S =  x + − y =2 Ví dụ 38 Hệ phương trình sau có nghiệm:   y + − x =2 A B Hướng dẫn giải: Điều kiện ≤ x; y ≤ Ta có x + 2− y = C D y + 2− x Từ suy x = y ⇒ x + − x = ⇒ x = y = x= y= Đáp án B Ví dụ 39 Hệ phương trình sau có nghiệm ngun?  x y + y x = 12  28  x x + y y = A Hướng dẫn giải: Đặt = a B = x,b C y (a, b ≥ 0) ta D 71 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ab ( a + b ) = 12 a + b = ⇒ ⇒ ( x; y ) ∈ {(1;9 ) , ( 9;1)} Đáp án A  3 28 ab = a + b =  x + y = 13 Ví dụ 40 Tìm số nghiệm hệ phương trình   x + y = A B C D a + b = 13 ⇒ a= 2, b= hoặc= a 3,= b a + b = Hướng dẫn giải: Đặt= x a= , y b ta  2 ⇒ ( x; y ) ∈ {(16;81) , ( 81;16 )} Đáp án C  x − + y − = Ví dụ 41 Gọi ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ phương trình   x + y − ( x − 1)( y − ) = Tính= S ( x0 + y0 ) A 40 B 45 C 60 Hướng dẫn giải: Đặt a = x − 1, b = y − (a, b ≥ 0) ta D 50 a + b = ⇒ a = 1, b = hoặc= a 2,= b  2 a + b − ab = ⇒ ( x0 , y0 ) ∈ {( 2;8 ) , ( 5;5 )} ⇒ S = 50 Đáp án D  x + y − = 3(1) Ví dụ 42 Hệ phương trình sau có nghiệm:  3(2)  y + x − = A B Hướng dẫn giải: Điều kiện x, y ≥ C D Nếu x > không thỏa mãn (1), Nếu y > không thỏa mãn (2) Vậy x= y= nghiệm hệ phương trình Đáp án D c.Các tốn phức tạp Ví dụ 43 Gọi ( x0 ; y0 ) nghiệm dương hệ phương trình  x( y + 3) + y ( x + 3) =   x + y = Khẳng định đúng: 72 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 A x0 < < y0 Hướng dẫn giải: Ta có ( Website: tailieumontoan.com C x0 < y0 < D < y0 < x0 B ≤ x0 ≤ y0 x( y + 3) + y ( x + 3) ) ≤ ( x + y )( x + y + ) = 16 ⇒ x( x + 3) + y ( y + 3) ≤ Dấu “=” xảy x= y= Đáp án B  x + y=  Ví dụ 44 Hệ phương trình sau có nghiệm:  y + z=  z  x + = A B C 5z −1 5x −1 y −1 D Hướng dẫn giải: Điều kiện x, y, z ≥ Trước hết ta chứng minh x= y= z , thay vào ta x= x − ⇒ x= 1; x= Đáp án C Ví dụ 45 a, b, c số thỏa mãn điều kiện  a − + b + 22 =   b − + c + 22 =   c − + a + 22 = Khẳng định ? A ≤ a ≤ b ≤ c B < a < b < c C a= b= c < D b < < a < c Hướng dẫn giải: Điều kiện a, b, c ≥ Nếu ba số a, b, c lớn chẳng hạn a > c − + a + 22 > (vơ lý) Hệ có nghiệm a= b= c= Đáp án A Ví dụ 46 a, b số thỏa mãn điều kiện  − a + a − = b − 6b + 11(1)  2 117 (2) 3a + b = Khẳng định ? A b = 2a Hướng dẫn giải: (1) Ta có B a = 2b ( 7−a + a −5 ) C a = b 12 D a + b = ≤ ( − a + a − 5) = ⇒ − a + a − ≤ Mặt khác b − 6b + 11 = ( b − 3) + ≥ 2 a 6,= b Đáp án B Dấu “=” xẩy khi= 73 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ 47 Có giá trị tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm  y + x2 + = a  nhất:  x2 + + − a  y + + x= A B C D Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ ( − x0 ; − y0 ) nghiệm Do x= y= , Thay 0 vào ta a = Thay a = vào hệ ta  y + x2 + =  có nghiệm x= Đáp án D y=  0 x2 +  y + + x= Dạng Hệ phương trình chứa tham số a) Các tốn đơn giản Ví dụ 48 Tìm giá trị tham số m để hai phương trình sau tương đương: = x − y (I ) = 4 x + y A 14 Hướng dẫn giải: = 2 x − y m ( II )  = 4 x + y B -14 C D -7 14 2 x − y = (I ) ⇔  , ( I ) ⇔ ( II ) 14 = −m ⇔ m =−14 Đáp án B 4 x + y = Chú ý: ngồi cách giải ta cịn tìm ( x; y ) hệ (I) sau thay vào hệ (II) tìm m Ví dụ 49 Tìm giá trị tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm ax + y = = x 2;= y 3:  −1 4 x + ay = A B -3 C Hướng dẫn giải: Thay= x 2;= y vào hệ ta a = Đáp án D D kx − y = có nghiệm 3 x + y = Ví dụ 50 Tìm tất giá trị tham số k để hệ phương trình  A k ≠ −6 C k ≠ B k = −6 D Khôn tồn k k Hướng dẫn giải: Hệ có nghiệm ≠ −2 ⇔ k ≠ −6 Đáp án A Ví dụ 51 Có giá trị tham số m để hệ phương trình sau vơ nghiệm 74 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  x + my =  −1 mx + y = A B C D 1 m Hướng dẫn giải: Hệ vô nghiệm = ≠ ⇔ m ≠ ±2 Đáp án B m −1 Ví dụ 52 Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau vơ số nghiệm (1) x − 3y =  2 (2) m x − y = B C -2 A ±1 Hướng dẫn giải: Trừ vế ta (1 − m ) x = (3) D Hệ có nghiệm (3) có nghiệm ⇔ − m =0 ⇔ m =±1 Đáp án A Ví dụ 53.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho M ( x; y ) với x; y thỏa mãn điều kiện  x + y =3 − m   x − y = 3m − Tìm giá trị m để điểm M ∈ d : y = x A -1 B C D Hướng dẫn giải: Từ điều kiện cho ta có x= m, y= − 2m M ∈ d ⇔ − 2m = m ⇔ m = Đáp án D Ví dụ 54 Có giá trị k để hệ phương trình sau có nghiệm ( x − 3) ( y + k − 16 ) = (1)  (2) ( x − k )( y − ) = A B C D Hướng dẫn giải: (1) ⇔ x = 3, y = 16 − k , (2) ⇔ x = k , y = Hệ có nghiệm khi: k = 3 ⇒k =  16 k = −  Đáp án A b) Các toán trung bình Ví dụ 55 Hệ phương trình sau có nghiệm m số thực 75 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com x + y =  4 xy = m − 4m + 14 A B C D 2 Hướng dẫn giải: Ta có xy =( m − ) + 10 ≥ 10 ⇒ ( x + y ) =9 < 10 ≤ xy ⇒ ( x − y ) < Hệ phương trình vơ nghiệm với m số thực Đáp án D Ví dụ 56 Có giá trị ngun tham số m để hệ phương trình sau vơ x + y = m + nghiệm  2  x + y = 2m + 4m A B C D 2 Hướng dẫn giải: Hệ có nghiệm ( x + y ) ≥ xy ⇔ m + 4m + ≥ −2m + ⇔ 3m + 4m − ≥ 2 ⇔ m ≤ −2 m ≥ Vậy −2 ≤ m ≤ hệ vơ nghiệm Đáp án B 3 3a ( 2a − b ) x + ( a + b ) y = 4b ( a + 3b ) x − ( a − b ) y = Ví dụ 57 Cho hệ phương trình  Khẳng định A Không tồn a b để hệ có nghiệm B Tồn cặp ( a; b ) để hệ có nghiệm C Tồn hai cặp ( a; b ) để hệ có nghiệm D Với a, b hai số thực hệ có nghiệm Hướng dẫn giải: Dễ thấy x= y= nghiệm hệ với a, b số thực Đáp án D Ví dụ 58 Có giá trị tham số k để hệ phương trình sau có nghiệm: 2 (1)  x + y + x − y + 10 =  2 (2)  x + y + xy + k − 16k + = A B C 2 Hướng dẫn giải: (1) ⇔ ( x + 3) + ( y − 1) =0 ⇒ x =−3, y = D Thay vào (2) ta k − 16k + 15 = ⇒ k = 1, k = 15 Đáp án B a − b = m + Ví dụ 59 Cho a, b thỏa mãn điều kiện:  ab + m + 4m − =0 Tính giá trị lớn biểu thức P = a + b2 A 12 B 13 C 15 D 76 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a + b − 2ab = m + 2m + −2m − 8m + 2ab = Hướng dẫn giải:  2 P =−m − 6m + =−(m + 3) + 12 ≤ 12 Đáp án A −1 mx + y = −m x + y = Ví dụ 60 Có giá trị tham số m để hệ phương trình  Có nghiệm thỏa mãn x = y A B C D Hướng dẫn giải: Ta có ( m − 1) x =m − Hệ có nghiệm m ≠ , x= 1, y =−m − Để x = y =− ( m − 1) ⇔ m =0; m =−2 Đáp án B c) Các tốn phức tạp Ví dụ 61 Có giá trị tham sơ k để hệ phương trình sau có nghiệm: (1)  x + y + xy =  2 −k + 6k − (2) x + y = A Hướng dẫn giải: Ta có B C D ( x − 2) ≥ ⇒ x2 ≥ x − ( y − 2) ≥ ⇒ y2 ≥ y − 2( x − y ) ≥ ⇒ x + y ≥ xy Cộng vế ta ( x + y ) ≥ ( x + y + xy ) − = 24 ⇔ x + y ≥ Từ (2) ta có ( x + y ) =− ( k − 3) + ≤ Đo x + y = k = Đáp án A Ví dụ 62 Tìm giá trị tham số k để hệ phương trình sau có nghiệm:  x + + y − =4   x + y = k + A k ≥ B k ≤ 17 C ≤ k ≤ 17 D −17 < k < Từ giả thiết ta tính Hướng dẫn giải: Đặt a = x + 1, b = y − với a, b ≥ a + b = ab = 17 − k , a, b nghiệm khơng âm phương trình 2t − 8t + 17 − k = ⇒ ≤ k ≤ 17 Đáp án C Ví dụ 63 Giả sử tồn a, b, c, x, y, z thỏa mãn hệ thức 77 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com c ax + by =  a bx + cy = cx + ay = b  Tính giá trị biểu thức S = a + b3 + c3 − 3abc A −1 Hướng dẫn giải: B C D a + b3 + c= a ( bx + cy ) + b ( cx + ay ) + c ( ax + by ) = a 2bx + a cy + b cx + ab y + ac x + bc y = ab ( ax + by ) + bc ( bx + cy ) + ac ( cx + ay= ) 3abc Đáp án B Ví dụ 64 Giả sử a b thỏa mãn hệ thức 3a + 12 − 3a = −b + 4b − 10 (1)  2 13 (2) a + 2b = S 5a + 3b Tính = A -3 B -5 Hướng dẫn giải: Điều kiện −2 ≤ a ≤ Đặt M = 3a + 12 − 3a ≥ ⇒ M − 3a = C -4 D 12 − 3a ≥ ⇒ M ≥ 3a ≥ −6 −b + 4b − 10 = − ( b − ) − ≤ −6 Từ (1) suy VT=VP=-6 a = −2, b =⇒ S= −4 Đáp án C Ví dụ 65 Giả sử ( x, y ) nghiệm hệ phương trình x + y = k −1 Tìm GTLN E = xy + 8( x + y ) − 25  2  x + y =5 + 2k − k A -7 B -8 C -6 a= k − Hướng dẫn giải: Đặt a =+ x y, b = xy Ta  2 a − 2b =5 + 2k − k D -9 Hệ có nghiệm a ≥ 4b ⇔ k − 2k + ≥ 4k − 8k − ⇔ −1 ≤ k ≤ E = ( k − 2k − ) + ( k − 1) − 25 = ( k + 3) − 44 Vậy max E = −8 k = Đáp án B 78 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ 66 Có giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 (1)  x − 2(m + 2m) x + 13(m + 2m) =  2 (2)  x − x + (m + 2) = A B C 2 Hướng dẫn giải: ∆1 ' =−12(m + 2m) ≥ ⇔ m =0 m = −2 D Nếu m = (2) trở thành x − x + = (vơ nghiệm) Nếu m = −2 (2) trở thành x − x = hệ có nghiệm x = Đáp án A 79 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com BÀI TẬP 2a + b =−1 Tính P = ab −40 3a − 4b = 3.1.Cho a, b số thực thỏa mãn điều kiện:  B −28 D −32 x − y = − 16  3.2.Cho ( x, y ) nghiệm hệ phương trình:  Khẳng định 3 x + y = A −21 C 28 đúng? A y = 3x B x = y C y = −3x 3.3.Hệ phương trình có hai nghiệm  x2 − x + = D x = −3 y  x2 + y = −1 x + y = A  B  x − y =  y2 − y + = C  2 x + y = ( x − 1)( y + ) =  x + y = D  x − y = có nghiệm −5 3 x + y = 3.4.Hệ phương trình  A x = 1, y = −4 C x = −1, y = −1 B.= x 1,= y D x= y= −20 5 x + y = Tính S= x + y x − y = − 11  3.5 Biết ( x; y ) nghiệm hệ phương trình  A 61 B 64 C 50 D 74 3.6 Tìm giá trị tham số k để x = nghiệm hệ phương trình −3, y = −13 ( k + 1) x + y =  −30 2 x − ky = A B C D  y + y = 3.7 Hệ phương trình sau có nghiệm:  2  x y + x + y + xy − x + 15 = A B C D −5  x − y =  x + ( k − 6k + ) y = 3.8 Có giá trị tham số  B C A 3.9 Tìm giá trị tham số k để hệ phương trình sau vô nghiệm D −3 2 x − y =  −2 2 x + ky = 80 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 A k = −7 B k = C −7 < k < ( x − 1)( y + 3) = 2 200  x + y = Website: tailieumontoan.com D k > 3.10 Hệ phương trình sau có nghiệm:  A B C 3.11 Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có vơ số nghiệm: D 3 x − y =  10 ( m − m + ) x − y = C m = D không tồn m A m ∈ {0;7} B m ∈ {0; −7} 3.12 Tìm giá trị tham số k để hai phương trình sau có tập nghiệm: 2 x − y = 3 x + y = (I )  ( II )  25 ( k + ) x − y = x + y = A B C D −6  x + y =  x y = −2 3.13 Hệ phương trình sau có mây nghiệm:  A B D C 3.14 Tìm giá trị a, b để= nghiệm hệ phương trình x 1,= y −2 2 x + ( a − 3) y =  13 ( b − ) x + y = A.= B a = C a = 2, b = −3 D a = 3, b = −2 −2, b = a 2,= b 3.15 Chị hòa mua kg thịt lợn va 2kg thịt bị hết 320000 đồng Chị Bình mua kg thịt lợn kg thịt bò hết 1080000 đồng Giá tiền kg thịt lợn là: A 85000 đồng B 82000 đồng C 78000 đồng 3.16 Giả sử ( x, y ) nghiệm hệ phương trình D 80000 đồng  x + y + x − y + =  2  x + y + xy − = Tính M= x + y A −3 B -2 C D a + b − 4a + 6b + 13 = 3.17 a, b số thỏa mãn điều kiện  khẳng định 17 2a + b = : 81 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 0 A 3a − 2b = B a = 3b C 3a + 2b = D b = 3a 3.18 Có 19 xe bao gồm xe máy hai bánh mô tô ba bánh, tổng số bánh xe 45 Hỏi có xe máy? A 14 B 13 C 12 a 3.19 Cho a, b số thực thỏa mãn = A 14 D 11 b c 50 Tính S = 2a + 3b − c 2a + 3b − c = = C 12 B 13 D 11  x − x + + y + = 3.20 Hệ phương trình sau có nghiệm:  5  x + y + xy + xy = A B D C 11  x + y + xy = 3.21 Tìm số nghiệm hệ phương trình:  2 13 x + y = A B D C 3.22 Tìm tất giá trị tham số k để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: 8 x − k y = 12  2 x − y =1 − k A k ≠ −2 B k ≠ C k ≠ ±3 D k ≠ ±3 a + 2b = −1  3.23 a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện b − 4c = −7 khẳng định đúng? c − a =  A b < a < c B a < b < c C c < a < b D b < c < a x + y =  xy= k − 3.24 Tìm GTLN tham số k để hệ phương trình sau có nghiệm:  A 18 B 15 C 19 D 17  x + y =  x + y = 3.25 Hệ phương trình sau có nghệm  2 B C A 3.26 Tìm điều kiện tham số k để hệ phương trình sau có nghiệm D x + y =5 − k  2  x + y =9 − k A −1 ≤ k ≤ B −7 ≤ k ≤1 C ≤ k ≤ 3.27 Hệ phương trình sau có nghiệm D k ≥ −7 82 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ( x − 1)( x − ) ( x − 50 ) =  2 64  x + y = Website: tailieumontoan.com C 14 A 15 B 100 D 16 3.28 Trên mặt phẳng Oxy, cho điểm M ( x, y ) với x, y thỏa mãn điều kiện  x + y = 3k −  3 x − y = k + Tìm giá trị k để điểm M thuộc đường thẳng = y 3x − A C −6 B 3.29 Cho a, b, c số thực thỏa mãn D a b b c ; a + 2b + 3c = 111 = ; = Tính 3a + 2b + c A 112 B 113 C 115 D 110  x + x y = 20 8 y + 12 xy = 3.30 Hệ phương trình sau có nghiệm:  A B D C  x + + y − = 3.31 Gọi ( x, y ) số thực thỏa mãn:  Tính M= x + y  x − + y + = A 100 B 102 C 104  x + y − = 3.32 Gọi ( x, y ) nghiệm hệ phương trình  D 105 Khẳng định  x + y − x ( y − 1) = A x < y B y < x C x = y D x + y =  x x + y2 + y =  3.33 Hệ phương trình sau có nghiệm:  x + + x =  y y A B C D  x + y + =0  3.34 Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện  y − z + =0  z − x + =0  A B C D 83 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a + b + c = 27 Tính giá trị biểu thức: 27 ab + bc + ca = 3.35 Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện  2 M = 3a − 4b + 5c A 12 B 11 C 15 D 18 3 x= y + 20 3.36 Hệ phương trình sau có nghiệm  3 y= x + 20 A B C 3.37 Có cặp số ( a, b ) để hệ phương trình sau có nghiệm: D 2a ( a − b ) x + ( a + b ) y =  2 2 2b ( a + b ) x − ( a − b ) y = A B D vô số C  x+2 + y−6 =  3.38 Biết ( x, y, z ) nghiệm hệ  y + + z − = 3  z + + x − = Khẳng định đúng: A x < y < z B x < z ≤ y C x= y= z z D x + y =  x − y = x − y − 2  x + y = 3.39 Hệ phương trình sau có nghiệm  A B 2 D C a − 3ab + 2b = (1) Tính P = a + b2 (2) 2a − 3ab + = 3.40 a, b số thực thỏa mãn điều kiện:  2 C 11 A B 10 3.42 Với a số thực bất kì, hệ phương trình sau có nghiệm: D 12 x + y =  4 xy = a − 2a + 15  x + y = 3.43 Hệ phương trình sau có nghiệm  4  x + y = A B C 3.44 Giả sử ( x; y ) nghiệm hệ phương trình : D 84 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  x − y + =  y − x  x − y = ( A )( x − xy + y + 1) Tính P = x + y + z B C D  x + xy + xz =  2 3.45 Hệ phương trình sau có nghiệm:  x + y + yz = 12  xz + yz + z = 18  A B C A B C D ( a + 1) b = 2a   2b Tính S =a + 2b + 3c3 3.46 a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện: ( b + 1) c =  2c ( c + 1) a = D ( x − 1) + ( y − 1) =  2  3.47 Hệ phương trình sau có nghiệm: ( y − 1) + ( z − 1) =  2 ( z − 1) + ( x − 1) = A B C x + y + z = 3.48 a, b số thực thỏa mãn điều kiện  4 xyz x + y + z = D Tính giá trị biểu thức S = 3x3 + y + z B 12 A 10 C 15 D 20 3.49 Có giá trị nguyên tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm: a x + y =  2  x + y =6 − a A B C x + y + z = 3.50 x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện  4 xyz x + y + z = D Tính giá trị biểu thức S = 3x3 + y + z B 12 A 10 C 15 3.51 Có cặp số nguyên ( a, b ) dương thỏa mãn điều kiện: D 20 85 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a + b =  2 2 a b ( a + b ) = A B C D  x + xy = Tính giá trị biểu thức= P 25 x − y 2  y + x y = 3.52 Giả sử ( x, y ) thỏa mãn điều kiện:  A 20 B 21 C 22 D 28  x + y = 4  x + y = x + y 3.53 Hệ phương trình sau có nghiệm  A.1 B.2 3 C D  x +1 2 x = y  3.54 Hệ phương trình sau có nghiệm:  2 y = y +  x2 A C B D  a +1 = b − 2b +  2 3.55 Cho a, b số thỏa mãn điều kiện  ( a + 1) Tính giá trị biểu thức  3 a + b = P = a 3b A −1 B C D C D 12 ( a + b )( a + c ) =  3.56 Có số ( a, b, c ) thỏa mãn điều kiện ( b + c )( b + a ) = 15  20 ( a + c )( b + c ) = A B 3.57 Hệ phương trình sau có nghiệm: (1)  x + y =  2 (2)  x + y + xy − x − y + = A B C D ( y + 1)2 ( y − 1) = x +   3.58 Hệ phương trình sau có nghiệm ( x − 3) ( x + 1) = z −  ( z + ) ( z − 1) =1 − y 86 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com D A C B 3.59 Có giá trị k để hệ phương trình sau có nghiệm: ( x − k + )( x − k + ) = (1)  (2)  x − x + = A B C D 3  x + y = 3 2  x + y = ( x + y ) 3.60 Hệ phương trình sau có nghiệm:  A.1 B.2 C D (1)  x + y + xy = Tính giá trị biểu thức 3  x + y = x + y (2) 3.61 x, y số thực thỏa mãn điều kiện  2 M= a + b A B C D 16  y + y + x =  3.62 x, y số thỏa mãn điều kiện  khẳng định  y +   +  =     y  x y   A x > y B x < y C x = y D x + y = a + ( b − 1)2 = 3.63 a, b số thực thỏa mãn điều kiện:  Tính= S 12 ( a + b ) 3 a + ( b − 1) = A 12 C 24 B 18 D 36 3.64 Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm ( x, y ) thỏa mãn: xy <  x + xy + y = m +  2  x y + xy =m + A m > B m < −2 C m ≥ −2 D −1 < m < 3.65 Có giá trị tham số k để hệ phương trình sau có nghiệm nhất:  x + xy = ( k + )( y − 1)   y + xy = ( k + )( x − 1) A.1 B.2 C D 87 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 HƯỚNG DẪN GIẢI Website: tailieumontoan.com 3.1 Đáp án B 3.2 Đáp án C 3.3 Đáp án D 3.4 Đáp án A 3.5 Đáp án A 3.6 Đáp án C 3.7 Đáp án B 3.8 Đáp án C 3.9 Đáp án A 3.10 Đáp án D 3.11 Đáp án A 3.12 Đáp án C 3.13 Đáp án B 3.14 Đáp án A 3.15 Đáp án D 3.16 Đáp án A 3.17 Đáp án C 3.18 Đáp án C 3.19 Đáp án B 3.20 Đáp án A 3.21 Đặt S = x + y, P = xy ( S ≥ P) ⇒ S = 5, P = Đáp án B 8 x − k y = 12 ⇒ ( − k ) y =8 + 4k (1) Có nghiệm − k ≠ ⇔ k ≠ ±2 8 x − y =4 − 4k 3.22  Đáp án D 3.23 Ta có ( a − 1) + ( b + 1) + ( c − ) = Đáp án A 2 88 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 3.24 Đáp án D 3.25 Ta có −1 ≤ x; y ≤ ⇒ x5 + y ≤ Đáp án A 3.26 Hệ có nghiệm ( x + y ) ≥ xy ⇔ k − 10k + 25 ≥ 4k − 20k + 32 ⇔ ≤ k ≤ Đáp án C 3.27 Đáp án A 3.28 M (k ; 2k − 1), k = Đáp án D 3.29 Đáp án B 3.30 Cộng vê ta ( x + y ) = 27 ⇒ x + y = Thay vào ta có ( y − 1) 3.31 (4 y − y − 5) = Đáp án C x + + y −5= y + + x − Từ ta chứng minh x = y Thay vào ta x= y= 21 Đáp án D a + b = ⇒ a = b = ⇒ x = 1, y = Đáp án A 2 a b ab + − =  3.32 a = x , b = y − ⇒  y x y  a =2, b =1 ⇒ x = y =1 Đáp án C −3, b = a = x + , b =⇒  3.33 Đặt a = 3.34 Đáp án B 3.35 a + b + c − ab − bc − ac =0 ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) =0 Đáp án A 2 3.36 Đáp án A 3.37 Đáp án D 3.38 Đáp án C 3.39 Đáp án C  a= b= 3.40 (1) ⇔ ( a − b )( a − 2b ) =0 ⇔   a = b = − Đáp án B 3.41 Đáp án D 3.42 Đáp án A 3.43 Đáp án D 89 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 3.44 Chứng minh x= y= x= y= Đáp án C 3.45 Cộng vế ta ( x + y + z ) = 36 ⇒ ( x, y, z ) ∈ {(1; 2;3) , ( −1; −2; −3)} Đáp án D 3.46 Nhân vế rút gọn ta ( a + 1)( b + 1)( c + 1) = 8abc Dấu xảy a= b= c= Đáp án C 3.47 ( x − 1) =( y − 1) =( z − 1) =1 Đáp án D 2 3.48 Trừ vế ta ( a − b ) ( a − ab + b ) = ⇒ a = b = Đáp án C 3.49 Hệ phương trình có nghiệm ( x + y ) ≥ xy ⇔ −2 ≤ a ≤ Đáp án A 3.50 Áp dụng bất đẳng thức: a + b + c ≥ ab + bc + ca , ta có x + y + z ≥ x y + y z + z x ≥ x yz + xy z + xyz = xyz ( x + y + z ) = xyz ⇒ x = y = z = Đáp án B 3.51 Hãy chứng minh ab < ⇒ a 2b ≤ ab Do đó:   2ab ( − ab ) ≤  ab + − ab = = a 2b ( a + b ) ≤ ab ( a + b ) − 2ab=  Đáp án D     3.52 Trừ vế ta ( a − b ) ( a + b ) = ⇒ a = b = Đáp án C 3.53 Nhân vế ta ( x3 + y ) ( x + y ) = x + y ⇔ xy ( x + y ) = Đáp án B y y2 +1 2 x = 3.54 Từ giả thiết ta có x, y >  Trừ vế ta 2 xy= x + ( x − y )( xy + x + y ) = ⇒ x = y = Đáp án D 3.55 Ta có a4 + ( a + 1) 2a = 1− ≤ , b − 2b + = 2 ( a + 1) ( b − 1) + ≥ Từ đó= a 0,= b Đáp án B 3.56 ( a, b, c ) ∈ {(1; 2;3) , ( −1; −2; −3)} Đáp án C 3.57 (1) ⇔ x + ( y − 3) x + y − y + = ⇒ ∆ ≥ ⇔ −1 ≤ y ≤ ( ) ⇔ y + ( x − 1) y + x − 3x + 2= 0; ∆ ≥ ⇔ ≤ x ≤ Khi x3 + y < Đáp án A 90 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 3.58 Đáp án D 3.59 Đáp án A 3.60 Đáp án B 3.61 Thay (1) vào (2) ta x ( x + y ) + y  = ⇒ x = 0, y = Đáp án B   3.62 Đáp án C 2 a + c = ⇒ a (1 − a ) + c (1 − c ) = Dễ thấy 3 a + c = 3.63 Đặt c= b − ta  −1 ≤ a; c ≤ ⇒ a= 1, c= ⇒ a =0, c =1 ⇒ a =b =1 hoặc= a 0,= b Đáp án C a + b = m + ⇒ a = 1, b = m + ⇒ x, y nghiệm phương ab= m + 3.64 Đặt a =+ x y, b = xy , ta  trình t − t + m + = ⇒ m + < ⇒ m < −2 a =m + 2, b =1 (loại) Đáp án B 3.65 Nếu ( x, y ) nghiệm ( y, x ) nghiệm hệ, đó, x = y ⇒ x − (k + 2) x + k + = có nghiệm ⇒ k = −2, k = Đáp án B 91 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 CHƯƠNG IV HÀM SỐ Website: tailieumontoan.com A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN - Hàm số y = f ( x ) từ tập hợp số X đến tập số thực  quy tắc tương ứng giá trị x ∈ X f ( x )= - giá trị y ∈  X gọi tập xác định, { y ∈  / ∃x ∈ X , f ( x )= y} gọi tập giá trị hàm số Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến tập xác định ∀x1 , x2 ∈ X , x1 < x2 f ( x1 ) < f ( x2 ) y = f ( x ) gọi nghịch biến tập xác định ∀x1 , x2 ∈ X , x1 < x2 f ( x1 ) > f ( x2 ) - y ax + b đồng biến a > 0, nghịch biến a < , không đổi a = Hàm số = - Hàm số y = ax + b ( a ≠ ) Nếu a > đồng biến ( 0; +∞ ) , nghịch biến ( −∞;0 ) Nếu a < đồng biến ( −∞;0 ) , nghịch biến ( 0; +∞ ) - ax + b, d ' : y =+ a'x b' Cho đường thẳng d : y = d vng góc với d ' ⇔ a.a ' = −1 d song song d ' ⇔ a= a ', b= b ' - Cho điểm A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) ,  x + x y + y2  I 2;  , độ dài đoạn AB =   - tọa độ trung điểm đoạn AB ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 Cho tam giác ABC với A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) ; C ( x3 ; y3 ) Tọa độ trọng tâm  ABC  x + x + x y + y2 + y3  G ;  3   - Cho hàm số y f= = ( x ) , y g ( x ) có đồ tương ứng ( C ) ( C ') , ( C ) ( C ') cắt ⇔ phương trình f ( x ) = g ( x ) có nghiệm, nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) ( C ') Một số tốn trọng âm - Tìm tập xác định, tập giá trị hàm số - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số - Tính đồng biến, nghịch biến hàm số Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 92 Website: tailieumontoan.com - y ax + b = Đồ thị hàm số = y ax ( a ≠ ) - Lập phương trình đường thẳng hay parabol thỏa mãn điều kiện cho trước - Xét tương giao đồ thị hàm số - Tìm điểm đặc biệt: Điểm mà đồ thị không qua, điểm mà đồ thị ln qua với giá trị tham số - Dựa vào đồ thị, tìm số nghiệm phương trình B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN QUA CÁC VÍ DỤ Dạng 1: Tập xác định, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số a) Các tốn đơn giản Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số y = x − x + 53 A 49 B 48 C 50 D 47 Hướng dẫn giải: y = ( x − ) + 49 ≥ 49, y = 49 x = 2 Đáp án A Ví dụ 2: Tập xác định hàm số = y A x < −2 B x > 4− x + x − x + là: C −2 < x < D −2 ≤ x ≤  x − x + ≥ Hướng dẫn giải: Hàm số xác định  ⇔ −2 < x < 2 4 − x > Đáp án C Ví dụ 3: Giá trị nhỏ hàm số y = x − x + 17 x ≥ là: A 14 B 15 C 16 D 17 Hướng dẫn giải: y = ( x − 1) + 16, x ≥ x − ≥ Do đó, y = 17 x = 2 Đáp án D Ví dụ 4: Giá trị lớn hàm số y = − x + x − 27 là: A -22 B -23 C -24 D -21 Hướng dẫn giải: y = − ( x − x + ) − 23 = − ( x − ) − 23 ≤ −23 ⇒ max y = −23 x = Đáp án B Ví dụ 5: Hàm số xác định với giá trị x? 93 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com B.= y A y = x − 6x + Hướng dẫn giải: Ta có y = 2x −1 x − x + 21 = C y = ( x − 3) D y= x + x2 − x + x + 12 Đáp án C b) Các tốn trung bình Ví dụ 6: Tìm tập xác định hàm số y = x+ + x ( x − 3x − ) A x ≤ −1 x ≥ B x = x ≥ C x ≥ D −1 ≤ x ≤ Hướng dẫn giải: Hàm số xác định  x ≥ −    x + ≥ x =  ⇔  x = ⇔    x ( x − 3x − ) ≥   x ≤ −1  x ≥     x ≥ Đáp án B Chú ý: Học sinh thường bỏ sót giá trị x = Ví dụ 7: Cho x > , tìm giá trị nhỏ hàm số y= x + A B Hướng dẫn giải: y = x − + +1 ≥ x −1 C ( x − 1) x −1 D +1 = x −1 ⇒ y = x = Đáp án B  x , x ≤ −3 Ví dụ 8: Tìm giá trị hàm số y =   x + 12, x > −3 A B C D 12 Hướng dẫn giải: Với x ≤ −3 y ≥ Với x > −3 y > Do y = x = −3 Đáp án C 94 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ 9: P điểm di động đường thẳng y= x − Độ dài đoạn thẳng OP đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A C B 2 D Hướng dẫn giải: Đường thẳng d : y= x − cắt trục Ox, Oy A ( 4;0 ) , B ( 0; −4 ) Tam giác AOB vuông cân O AB 4= = 2, OP 2 P trung điểm AB Đáp án B ( x + 6) Ví dụ 10: Giá trị nhỏ hàm số y = A 11 B 12 + ( x − 7) C 13 D 15 Hướng dẫn giải: Ta có y = x + + − x ≥ x + + − x = 13 ⇒ y = 13 −6 ≤ x ≤ Đáp án C c) Các tốn phức tạp Ví dụ 11: Khoảng cách từ điểm O ( 0;0 ) đến đường thẳng d : y = ( 2k − 1) x − 4k + đạt giá trị lớn bao nhiêu? A B C D Hướng dẫn giải: d qua điểm cố định M ( x0 ; y0 ) ⇔ y0 = ( 2k − 1) x0 − 4k + 3∀k ⇔ ( x0 − ) k + − x0 − y0 = 0∀k 2 x0 − = ⇔ ⇔ M ( 2;1) x y − − = 0  Hạ OH ⊥ d , OH ≤ OM , OH đạt giá trị lớn OM = Đáp án B Ví dụ 12: Giá trị nhỏ hàm số y = A 3x + (x + 1) là: C B D Hướng dẫn giải: Nếu x = ⇒ y = Nếu x ≠ ⇒ y = ( x + x + 1) − x (x + 1) =3− x2 + + x 95 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ta có x + 1 + ≥ x + = ⇒ y = x = ±1 Đáp án C x x Ví dụ 13: Gọi m, M tương ứng giá trị nhỏ lớn hàm số y = 4x Tính x +1 m.M B −4 A C D −2 4x ⇔ yx − x += y phương trình ẩn x, phương trình x +1 Hướng dẫn giải: Ta có= y phải có nghiệm Nếu y = ⇒ x = Nếu y ≠ 0, ∆ ' = − y ≥ ⇒ −2 ≤ y ≤ Khi m = −2, M = Đáp án B Ví dụ 14: Gọi P giá trị lớn hàm số y = x + − x Khẳng định đúng? A P ∈ ( 0;2 ) Hướng dẫn giải: y = B P ∈ ( 2;3) ( x = ⇒ max y = 2 x + − x C P ∈ ( 3;4 ) ) D P ∈ ( 4;10 ) ≤ ( x + − x ) = 12 ⇒ y ≤ Đáp án C 8x  2x  Ví dụ 15: Giá trị lớn hàm số = y  + 25 là:  −  x +1 x +1 A 25 Hướng dẫn giải: Đặt t = B 30 C 32 D 36 2x ta −1 ≤ x ≤ Khi y = t − 4t + 25 = ( t − ) + 21 Do x +1 −1 ≤ x ≤ nên −3 ≤ t − ≤ −1 ⇒ max y =30 t = −1 Đáp án B Dạng 2: Điểm thuộc đồ thị biến thiên hàm số a Các tốn đơn giản Ví dụ 16: Tìm giá trị tham số m để điểm I ( 3; −24 ) thuộc đường thẳng y = x + m − 25 A −7 B −6 C −5 D m − 25 ⇔ m = −5 Hướng dẫn giải: Đường thẳng qua I −24 =+ Đáp án C Ví dụ 17: Hàm số đồng biến  96 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A y = x B y = −3 x + m − ( C y = ( 3m − ) x + Hướng dẫn giải: ) D y = m − 2m + 15 x − m − 2m + 15= Do ( m − 1) + 14 > 0∀m nên đường thẳng y = ( m − 2m + 15 ) x − đồng biến  Đáp án D Ví dụ 18: Điểm có tọa độ khơng thuộc đồ thị hàm số= y x + 13 A ( −2; 21) B ( 5;63) C ( −1;15 ) D ( −3;31) Hướng dẫn giải: Khi x = ⇒ y = 63 Đáp án B Ví dụ 19: Biết E ( 2; −1) thuộc ( P ) : y = ax Tìm giá trị k để F ( −2; k − ) thuộc (P) A B D C −1 Hướng dẫn giải: E ∈ ( P ) ⇔ −1 = 4a ⇒ a = , F ∈ ( P ) ⇔ k − = − ( −2 ) ⇒ k = 4 Đáp án C Ví dụ d:y= (m 20: Có giá trị tham − m + ) x + m − 12m + 18 qua điểm = E A B số m để đường thẳng ( 0; −2 ) C D m = Hướng dẫn giải: d qua E ⇔ −= m − 12m + 18 ⇔   m = 10 Đáp án B b Các tốn trung bình 1, x ∈  Ví dụ 21: Cho hàm số D ( x ) =  Khẳng định đúng? 0, x ∉  A Hàm số đồng biến  B Hàm số nghịch biến  C Hàm số không đổi  D Các khẳng định A, B, C sai Hướng dẫn giải: Ta có < mà D (1) > D < mà D ( ) Hàm số không biến ( ) < D ( 2) Hàm số không nghịch biến 97 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 D (1) ≠ D Website: tailieumontoan.com ( ) Hàm số thay đổi Đáp án D Ví dụ 22: Có số ngun m để hàm số sau nghịch biến  : y= (m − m − ) x + m3 − A Hướng B dẫn giải: C 10 Hàm số nghịch D biến  m − m − < ⇔ ( m + 1)( m − ) < ⇔ −1 < m < Đáp án A Ví dụ 23: Cho hàm số y f= = ( x ) , y g ( x ) nghịch biến  Trong khẳng định sau có khẳng định đúng? I = y f ( x ) − g ( x ) nghịch biến  II = y f ( x ) + g ( x ) nghịch biến  III y = f ( x ) nghịch biến  IV y= − ( k + 1) f ( x ) đồng biến  A B C D Hướng dẫn giải: Các khẳng địng II, III, IV Đáp án C Ví dụ 24: Kí hiệu [ x] số nguyên lớn khơng vượt q x Ví dụ 4; [17 ] = 17; [ −9,3] = −10 [ 4,7] = Cho hàm số f ( x ) = [ x ] Khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến  B Hàm số nghịch biến  C Hàm số không đổi  D Nếu x1 < x2 f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) Hướng dẫn giải: Các khẳng định A, B, C sai Chẳng hạn < 3,5 nhiên f ( x ) = f ( 3,5 ) Đáp án D Ví dụ 25: Tìm giá trị b để điểm M ( 0; b ) không thuộc đồ thị hàm số y =( x − 3) ( x − 31x + m − 8m + 25 ) với giá trị m A b > −27 B −26 ≤ b ≤ 26 C b ≤ −27 D b ≤ 27 98 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Hướng dẫn M ( 0; b ) Điểm giải: Website: tailieumontoan.com thuộc đồ thị b = −3 ( m − 8m + 25 ) = −3 ( m − ) +  ≤ −27 Do với b > −27 M ( 0; b ) không thuộc   đồ thị hàm số c Các toán phức tạp x + − x − + x + − x − có giá trị khơng đổi đoạn nào? Ví dụ 26: Hàm số y= A [1;5] B [5;10] Hướng dẫn giải: y= ( x −1 − ) + C ( ) [10;12] x −1 − = x −1 − + D [5;13] x −1 − −2 x − + 5;1 ≤ x <  = 1;5 ≤ x ≤ 10  2 x − − 5; x > 10 Đáp án B Ví dụ 27: Cho hàm số y = x3 + x + x + 5m − Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến  B Hàm số đồng biến  C Hàm số đồng biến ( −2;0 ) , nghịch biến ( 0;2 ) D Hàm số nghịch biến ( −2;0 ) , đồng biến ( 0;2 ) Hướng dẫn giải: Với x1 , x2 cho x1 < x2 y2 − y1 = = (x − x13 ) + ( x22 − x12 ) + ( x2 − x1 ) = ( x2 − x1 ) ( x22 + x1 x2 + x12 + x1 + x2 + 1) ( x2 − x1 ) ( x1 + x2 + 1) + x12 + x22 + 1 > ⇒ y1 < y2 Đáp án B Ví dụ 28: Có giá trị b để điểm M ( b;1) thuộc đồ thị hàm số y = x + x + A B C D Hướng dẫn giải: Giả sử M thuộc đồ thị hàm số, ta có = b + 2b + ⇒ 2b = − ( b + ) ≤ −4 ⇒ b ≤ −2 ⇒ b3 + ≤ −6 ⇒ b + 2b + = b ( b3 + ) + ≤ 17 (Vơ lí) 99 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Vậy khơng có giá trị b để M thuộc đồ thị hàm số Đáp án D Ví dụ 29: Cho đường thẳng d1 : y =− x + 1, d : y =x − 1, d3 : y =− ax + a − a − Tìm giá trị tham số a để đường thẳng d3 qua giao điểm d1 d A +1 B −1 C −1 D − −1 Hướng dẫn giải: M (1;0 ) giao điểm d1 d M thuộc d3 − a + a − a − ⇔ 4a = ( a + 1) ⇔ a = = Đáp án B −1 M ( a;6 ) Ví dụ 30: Có giá trị a để thuộc đồ thị hàm số 16  4   y =  x +  +  x +  + 15 x  x   A B C D 16  4   Hướng dẫn giải: Với x = a y =  a +  +  a +  + 15 a  a   Đặt t = a + t ≤ −4 16 16 ⇒ ⇒ t = a2 + + ⇒ a2 + = t − a a a t ≥ t ≥ ⇒ y = t + 4t + = ( t + ) + ≥ với  t ≤ −4 Đáp án A Dạng 3: Phương trình đường thẳng, phương trình parabol tương giao đồ thị a) Các tốn đơn giản Ví dụ 31: Cho đường thẳng d : ( m − ) x + 1, d ' : y = x − 5m + 32 Tìm giá trị m để d vng góc với d ' A B C D Hướng dẫn giải: d vng góc với d ' ( m − ) =−1 ⇔ m =5 Đáp án B Ví dụ 32: Viết phương trình đường thẳng qua I ( 2; −8 ) cắt trục tung điểm có tung độ −16 100 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 A = y x + 16 B = y x − 16 C = y x − 16 D y= x − 16 Website: tailieumontoan.com Hướng dẫn giải: Đường thẳng có dạng = y ax − 16 qua I ( 2; −8 ) −8= 2a − 16 ⇔ a = ⇒d:y= x − 16 Đáp án C ( ) Ví dụ 33: Cho đường thẳng d : y = m3 + 15m x − 96, d ' : y =8m x + 32m − Có giá trị tham số m để d song song với d ' A B C D m3 + 15m = 8m Hướng dẫn giải: d song song với d ' ⇔  ⇔ m ∈ {0;3;5} 96 32 m − ≠ −  Đáp án C Ví dụ 34: Hàm số có đồ thị hình bên A y = x − x − B y = −2 x + C = y 2x − D y = −2 x − y ax + b Do I ( 2;0 ) thuộc đường thẳng nên Hướng dẫn giải: Đường thẳng có dạng = a = ⇒ y = 2x − Hoặc ta giải phương pháp loại trừ: Đồ thị A parabol, B C hàm số nghịch biến Đáp án C Ví dụ 35: Đường thẳng d : y= x + cắt trục Ox, Oy M N Diện tích tam giác MON bằng? A 64 B 16 C 34 D 32 101 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Hướng dẫn giải: d cắt trục Ox, Oy M ( 8;0 ) , N ( 0;8 ) diện tích tam giác MON bằng: 8.8 = 32 (đơn vị diện tích) Đáp án D y ax + b qua I ( 4; −6 ) vng góc với đường thẳng Ví dụ 36: Đường thẳng d có dạng = d ' : y= x + 421 Tính P = 5ab A 10 B 18 D −10 C 15 Hướng dẫn giải: Do d vng góc với d ' nên d có dạng y =− x + b Do I ∈ d nên b =−2 ⇒ d : y =− x − ⇒ P =5 ( −1) ( −2 ) =10 Đáp án A b) Các tốn trung bình Ví dụ 37: Cho  ABC có A ( 3;2 ) , B ( −7;5 ) , C (1; −7 ) Đường trung tuyến AM  ABC có phương trình là: A = y 2x + C = y B = y 1 x− 2 1 x+ 2 D = y 2x − Hướng dẫn giải: M ( −3; −1) trung điểm BC Phương trình AM có dạng 3a + b = 1 y = ax + b ⇒  ⇒a = b= ⇒ y = x+ 2 −1 =−3a + b Đáp án B Ví dụ 38: Có giá trị tham số m để hai đường thẳng y = 13 x + m + 16m + y = x + 8m + m + cắt điểm trục tung A B C D Hướng dẫn giải: Hai đường thẳng cắt điểm trục tung m3 + 16m + 9= 8m + m + ⇔ m3 − 8m + 15m = ⇔ m ∈ {0;3;5} Đáp án C Ví dụ 39: Hàm số có đồ thị hình bên? 102 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A y =− x − + x + B y = x − + x + C y = x − − x + D y = x + + x − Hướng dẫn giải: Bằng phương pháp điểm đặc biệt ta có: Với= x 0,= y 4, ta loại khẳng định A C Với= x 3,= y ta loại khẳng định D Đáp án B y 3x + Đường thẳng d ' đối xứng với d qua trục Ox có Ví dụ 40: Cho đường thẳng d : = phương trình A y = −3 x − B x − C x + D y = −3 x + Hướng dẫn giải: d qua điểm M ( −3;0 ) , N ( 0;9 ) , d ' qua điểm M ( −3;0 ) , P ( 0; −9 ) −3 x − Phương trình d ' : y = Đáp án A Ví dụ 41: Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y= 27 x − 42 x + m − 17 m − 18 cắt trục Ox hai điểm có hồnh độ trái dấu A 16 B 17 C 18 D 20 có hai nghiệm trái dấu Hướng dẫn giải: Phương trình 27 x − 43 x + m − 17 m − 18 = 27 ( m − 17 m − 18 ) < ⇔ ( m + 1)( m − 18 ) < ⇔ −1 < m < 18 Đáp án C Ví dụ 42: Cho  ABC có A ( −5; −1) , B ( 3;2 ) , C ( −1;4 ) Đường cao AH  ABC có phương trình là: 103 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 A y = −2 x + B = y x − 19 C = y 2x − D = y 2x + Website: tailieumontoan.com Hướng dẫn giải: Phương trình cạnh BC y = − x + Đường cao AH qua A vng góc 2 với BC nên AH có phương trình = y 2x + Đáp án D Ví dụ 43: Tìm giá trị tham số m để đường cong có phương trình y =( x − 1) ( x + 2mx + 2m − 8m + 15 ) cắt trục Ox điểm phân biệt A −5 < m < −3 B < m < C m < D m > ( ) có nghiệm Hướng dẫn giải: Ta cần có phương trình ( x − 1) x + 2mx + 2m − 8m + 15 = có hai nghiệm phân biệt ≠ phân biệt ⇔ x + 2mx + 2m − 8m + 15 = m − 8m + 15 < ⇔ ⇔ 3< m nên đường thẳng d không cắt đồ x   thị hàm số điểm có hồnh độ dương Đáp án A Ví dụ 46: Đồ thị hàm số y = x8 − x5 + x − x + cắt trục Ox điểm? A B C D  3 2  Hướng dẫn giải: y =  x − x  +  x −  + > Đồ thị hàm số không cắt trục Ox  4 3  Đáp án D y ax + với parabol ( P ) : y = x Độ dài đoạn Ví dụ 47: Gọi M, N giao điểm d : = MN đạt giá trị nhỏ bằng: A B C D 2 Hướng dẫn giải: Xét phương trình x 2= ax + ⇔ x − ax − 1= (1) , ∆= a + > nên (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1 + x2 = a, x1 x2 = −1, 2 2 MN =( x2 − x1 ) + ( ax1 − ax2 ) =( a + 1) ( x2 − x1 ) =( a + 1) ( x2 + x1 ) − x1 x2    = (a + 1)( a + ) ≥ MN = a = Đáp án A Ví dụ 48: Đường thẳng d : y = 16 cắt đồ thị hàm số y = ( x + 23) + ( x + 25 ) điểm 4 E ( a;16 ) , F ( b;16 ) Tính= P 3( a + b ) C −147 B −144 A 144 D −151 Hướng dẫn giải: Xét phương trình ( x + 23) + ( x + 25 ) = 16 Đặt t= x + 24, ta ( t − 1) 4 + ( t + 1) =16 ⇔ ( t − 2t + 1) + ( t + 2t + 1) =16 ⇒ t =1 ⇒ t =±1 2 ⇒ x ∈ {−23; −25} ⇒ P =3 ( −23) ( −25 ) =−144 Đáp án B Dạng 4: Các toán hàm số a) Các toán đơn giản 105 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ 49: Cho hàm số f ( x ) = A a +1 a B   Tính f   1− x 1− a  a a −1 C a −1 a D a−2 a a −1 1− a   Hướng dẫn giải: f = = =  a 1− a −1 1− a  a − 1− a Đáp án C Ví dụ 50: Biết điểm O ( 0;0 ) trung điểm đoạn thẳng MN Nếu M ( 7;2 ) tọa độ điểm N là: A ( 7; −2 ) B ( 2; −7 ) C ( −7; −2 ) D ( −2;7 ) Hướng dẫn giải: Nếu M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) trung điểm MN có tọa độ  x1 + x2 y1 + y2  ;     Do N ( 7; −2 ) Đáp án A Ví dụ 51: Cho P ( 3;7 ) , điểm Q đối xứng với P qua trục Oy tọa độ Q là: A ( 7;3) B ( −3; −7 ) C ( −3;7 ) D ( 3; −7 ) Hướng dẫn giải: Nếu P ( a; b ) , Q đối xứng với P qua trục Oy tọa độ Q ( − a; b ) Đáp án C Ví dụ 52: Đường thẳng tạo với trục Ox góc 60° A y= x + B.= y C.= y D y =3 x − 9m + x − 17 2x − y ax + b tạo với trục Ox góc α thỏa mãn a = tan α Đáp án Hướng dẫn giải: Đường thẳng = C Ví dụ 53: Đường thẳng d qua điểm P ( −3; −16 ) , Q (1; −4 ) có hệ số góc là: A B C D −3 y ax + b , Hướng dẫn giải: d có dạng = 106 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com −3a + b =−16 a =3 ⇒ ⇒ y = 3x −  a b b + = − = −   Đáp án A −2 x + cắt trục Ox, Oy P, Q Diện tích tam giác Ví dụ 54: Đường thẳng d : y = OPQ là: A B C D 12 Hướng dẫn giải: Dễ thấy P ( 2;0 ) , Q ( 0; ) , diện tích OPQ Đáp án A b) Các tốn trung bình Ví dụ 55: Cho A ( −1;1) , B (15;1) , C điểm thay đổi đường thẳng y = −2, diện tích  ABC là: A 48 B 36 C 24 D 18 Hướng dẫn giải: AB = 16, độ dài đường cao CH Diện tích  ABC 24 Đáp án C Ví dụ 56: Đường thẳng d : y = ( 2k + 3) x − 6k − 21 qua điểm cố định M ( x0 ; y0 ) Tính S= x02 + y02 A 151 B 153 C 164 D 170 Hướng dẫn giải: d qua M ( x0 ; y0 ) với k ⇔ y0 = ( 2k + 3) x0 − 6k − 21∀k ⇔ ( x0 − ) k + x0 − y0 − 21 = 0∀k 2 x0 − = ⇔ ⇒ M ( 3; −12 ) 21 3 x0 − y0 = Đáp án B y ax + cắt parabol Ví dụ 57: Đường thẳng d : = ( P ) : y = x2 M, N Khẳng định đúng? A OMN B OMN có góc tù C OMN có ba góc nhọn D OMN vng O Hướng dẫn giải: Phương trình x = ax + ⇔ x − ax − = ln có hai nghiệm phân biệt Do ( ) ( ) d ln cắt ( P ) điểm phân biệt M x1 ; x12 , N x2 ; x22 x1 x2 = −1 Đường thẳng OM, ON có phương trình y = x1 x y = x2 x Do x1 x2 = −1 nên OM ⊥ ON Đáp án D 107 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ 58: Tìm hàm số f ( x ) biết f ( a + 1) = a + 5a − 25 A f ( x ) = x + x − 29 B f ( x ) = x − x − 29 C f ( x ) = x + x − 28 D f ( x ) = x − x + 29 Hướng dẫn giải: f ( a + 1) = ( a + 2a + 1) + ( 3a + 3) − 29 = ( a + 1) + ( a + 1) − 29 ⇒ f ( x ) = x + x − 29 Đáp án A x3 − x + x − Ví dụ 59: Có điểm thuộc đồ thị hàm số y = có tọa độ nguyên? x −1 A B C Hướng dẫn giải: y= x − x + + D x −1 Để x, y ∈  x − ước 3, x ∈ {−2;0;2;4} Đáp án A Ví dụ 60: Gọi G trọng tâm  ABC với A ( −3;2 ) , B ( 6;4 ) , C ( 9; −12 ) Độ dài đoạn OG A B C D + Hướng dẫn giải: G ( 4; −2 ) độ dài đoạn OG Đáp án C c) Các tốn phức tạp Ví dụ 61: Cho điểm P (1;1) , Q ( 4; ) , M điểm di động trục Ox, MP + MQ đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A B 2 C + D Hướng dẫn giải: Lấy E (1; −1) đối xứng với P qua Ox Phương trình đường EQ y= x − EQ cắt Ox M ( 2;0 ) Khi M điểm cần tìm MP + MQ = Đáp án D Ví dụ 62: Cho hàm số f ( x ) = Xét dãy hàm số f1 ( x ) = f ( x ) , f ( x ) = f  f1 ( x )  , 1− x f3 ( x ) = f  f ( x )  , Tính f 2022 ( x ) A 1− x B x −1 x C x D x +1 x   x −1 Hướng dẫn giải: f1 ( x )= f ( x ) , f ( x )= f  f1 ( x ) = f  = x 1− x  108 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  x −1  f3 ( x )= f  f ( x ) = f  = x, f ( x )= f1 ( x )= 1− x  x   n 3k +  x − ,=  x −1 Do ta có f n ( x= ,= n 3k + )  x   x, n = 3k   Đáp án C 4 16 20  Ví dụ 63: Tìm hàm số f ( x ) biết f  a −  − = a + + 5a − − 11 a a a  A f ( x ) = x − x + B f ( x ) = x + x − C f ( x ) = x − x + D f ( x ) = x − x − 4  16   4 4 4    Hướng dẫn giải: f  a −  =  a − +  +  a −  − =  a −  +  a −  − a  a   a a a    Do f ( x ) = x + x − Đáp án B Ví dụ 64: Cho điểm M ( −1; −1) , N ( 2; −4 ) thuộc ( P ) : y = − x , I ( x0 ; y0 ) điểm thuộc cung MN cho MIN có diện tích lớn Tính= S x0 + 12 y0 A −2 B −1 C D Hướng dẫn giải: Phương trình đường thẳng MN y =− x − 2, đường thẳng d  MN có dạng y =− x + b, d tiếp xúc với ( P ) nên phương trình − x =− x + b có nghiệm kép ⇒ b = 1 1 Khi I  ; −  tiếp điểm d ( P ) 2 4 Đáp án B − x + ( 2m − 1) x − 2m + 8m + Với giá trị m, hàm số có Ví dụ 65: Cho hàm số y = giá trị lớn Khi m thay đổi, tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số A 12 B 13 C 14 D 15 Hướng dẫn giải: y = −  x − ( 2m − 1)  + 2m + 4m + 17 109 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Với m, giá trị lớn hàm số 2m + 4m + 17 Mặt khác 2m + 4m + 17= ( m + 1) + 15 ≥ 15 Đáp án D 110 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com BÀI TẬP 4.1 Cho  ABC với A ( −3; ) , B ( 2;1) , C ( 7; −20 ) Tọa độ trọng tâm  ABC là: A ( 2; −5 ) 4.2 B ( 5; −2 ) C ( −2;5) D ( 2;5 ) Cho điểm E ( 7; −21) , F ( −1;9 ) , G ( 0;5 ) , H ( 2;3) Trong điểm trên, có điểm thuộc đồ thị hàm số y = x − x + A 4.3 B C D Hàm số nghịch biến  A y = x B y = x + − m C.= y − m − 3m + x + 15 D y = 4.4 ) Điểm N đối xứng với M ( −3;5 ) qua O ( 0;0 ) Tọa độ N là: A ( −3; −5 ) 4.5 ( 2x + B ( 5; −3) C ( 3;5 ) D ( 3; −5 ) Lập phương trình đường thẳng d qua M ( −2; −15 ) song song với d ':= y x + 123 A = y 3x + 4.6 B = y 3x − C −3 x + D = y 3x + Tìm giá trị tham số m để ba đường thẳng d1 : y = x − 3, d : y = x − 1, d3 : y =( m − ) x + 23 đồng quy A −4 4.7 B D −6 Đường thẳng cắt parabol ( P ) : y = x hai điểm phân biệt A = y 2x − 4.8 C −5 B x − 16 C = y x − 35 D = y x − 15 :y y x − cắt ( P ) = Tìm giá trị tham số k để đường thẳng d : = ( 2k + 1) x điểm có hồnh độ A −1 4.9 B C D −3 −7 x − 143 cắt trục Oy Đường thẳng d song song với đường thẳng d ' : y = điểm có tung độ 23 có phương trình A y = −7 x + 23 B y = −7 x − 23 C = y x − 23 D = y x + 23 4.10 Giá trị nhỏ hàm số y = x − x + 41 A 23 B 24 C 25 D 26 111 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com y x + qua trục Oy có phương trình 4.11 Đường thẳng d đối xứng với d ' : = A y = −2 x − B y = −2 x + D = y 2x − C = y 6x + 4.12 Giá trị nhỏ hàm số = y x + 30 với ≤ x ≤ 200 A 29 B 30 C 31 D 32 ( ) 4.13 Cho đường thẳng d1 : y =− x + 1, d : y =x − 1, d3 : y = k − 5k + x + Có giá trị tham số k để ba đường thẳng đồng quy A B C D 4.14 Đường thẳng d qua điểm M ( −5;3) vng góc với đường thẳng y = − x có phương trình A y= x + B y= x − ( C = y 2x + D y =− x + ) 4.15 Hàm số y = m − 9m − 10 x + nghịch biến A −3 < m < 10 C m > 10 B −1 < m < 10 D m ≤ 4.16 Hàm số có đồ thị hình bên? A y= x − B y =− x − C y= x + D y= x + 4.17 Gọi M, N giao điểm đường thẳng y = −8 ( P ) : y = −2 x Diện tích OMN A 32 B 16 C 12 D −5, x <  = y = 0, x 4.18 Cho hàm số 2, x >  Khẳng định sau SAI? A Tập giá trị hàm số {−5;0;2} B Hàm số đồng biến  C Nếu x1 < x2 y ( x1 ) ≤ y ( x2 ) D Nếu y ≤ 2∀x ∈  4.19 Cho M ( −1; −1) , N ( 3;1) , đường trung trực MN 112 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A y = −2 x + x+2 C = y B = y 2x + D y = −2 x − 4.20 Đường thẳng d qua điểm M ( 2;7 ) tạo với trục Ox góc 45°, d cắt trục Ox, Oy P Q Tính diện tích OPQ A 10 4.21 B 15 D C 25 25 Tìm tổng giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số y = x − mx + A −1 B C D 3x + x + 4.22 Có điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số y = x +1 A 12 B C D 4.23 Biết đường thẳng d : y =( − m ) x − 3m + 17 qua điểm cố định E Độ dài đoạn OE bằng? A B C 4.24 Với x > giá trị nhỏ hàm số y= x + A B D x−3 C D 4.25 Biết hai đường thẳng y = mx + n − 2, y = ( − m ) x + − n trùng Tính = S 6m + n A 18 B 19 C 20 4.26 Giá trị nhỏ hàm số y = A ( x − 10 ) B 4.27 M điểm di động + ( x − 15) C ( P ) : y = 2x2 D 17 là: D Tập hợp trung điểm I đoạn OM parabol có phương trình A y = x B y = x C y = x D y = x 4.28 Đường thẳng d : y =− x + cắt parabol y = x M, N Hạ MH, NK vng góc với trục Ox Diện tích tứ giác MNKH A 15 B 13 C D 113 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 4.29 Biết a giá trị nhỏ hàm số y = x với −5 ≤ x ≤ −1 b giá trị lớn hàm số y = − x + với ≤ x ≤ Tính a + 2b A B C D ? 4.30 Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx + cx + d Nếu f ( 0= ) 5; f ( −1=) a + c = A − b B C D b + 4.31 Cho đường thẳng d : y = 13 x + k − 8k + 35 Gọi E ( −1; b ) điểm đường thẳng d qua Khẳng định đúng? C −6 < x < 12 B b ≥ A b < 4.32 Gọi Q giá trị nhỏ hàm số y= x + A Q ∈ [ 0;3] B Q ∈ [3;4] D b > với x ≥ Khẳng định đúng? x C Q ∈ [ 4;5] D Q > 4.33 Gọi m, M giá trị nhỏ nhất giá trị lớn hàm số y= x2 + 8x + Tính m + M x2 + A B 4.34 Cho = hàm số y C D 12 −2 x + x + , x ∈ (1; +∞ ) Khẳng định với x −1 x ∈ (1; +∞ ) A Hàm số nghịch biến B Hàm số đồng biến C Hàm số không đổi D Các phương án A, B, C sai 4.35 Giá trị nhỏ hàm số y = A 110 B 113 (x − x + )( x − x + ) + 105 C 111 D 112 4.36 Cho hàm số y = x + ( 2k − 1) x + 3k − Với giá trị k, gọi y0 giá trị nhỏ hàm số Khi k thay đổi tìm giá trị lớn y0 A −2 B −3 C −1 D −5 x F ( a; b ) điểm thuộc ( P ) : EIF vuông 4.37 Cho điểm E ( −1;1) , I ( 0;2 ) ; ( P ) : y = cân I Khẳng định đúng? A a < b B b < a C a = b D 2a + 3b = 4.38 Cho hàm số f ( x ) biết f ( x − 1) = x − x + 30 Tính f ( x + 3) 114 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A f ( x + 3) = x + x + 22 B f ( x + 3) = x − x + 24 C f ( x + 3) = x + 22 D f ( x + 3) = x − x + 22 4.39 Kí hiệu [ x] số nguyên lớn nhỏ x, ví dụ [0;8] =0;[ −4,7] =−5;[ −7] =−7 Cho hàm số f ( x )= x − [ x ] Khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến  B Hàm số nghịch biến  C Hàm số không đổi  D ∀x ∈ ,0 ≤ f ( x ) < 4.40 Biết đường thẳng d : y = ( 2m − 1) x − 4m + qua E cố định với giá trị m Đường thẳng d ' qua E vng góc với OE có phương trình là: A = y 2x − 4.41 Cho hàm B y = −2 x + số y= ( m − 1) x + − m C = y 5x − Tìm giá trị D y = −2 x − tham số m để f ( x ) ≥ 0∀x ∈ [ −1;2] A −4 ≤ m ≤ B m < −3 m > C −3 ≤ m ≤ D −5 ≤ m ≤ 4.42 Cho đường thẳng d : y =(1 − k ) x + 6k + với k tham số thay đổi Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d đạt giá trị lớn bao nhiêu? A 13 B 12 4.43 Cho hàm số y = A ≤ y ≤1 C 11 x4 + ( x + 1) D 10 Khẳng định đúng? B y > C < y ≤ 4.44 Gọi M giá trị lớn hàm số y= D y ≥ x − + 10 − x Khẳng định đúng? A M ∈ (1;2 ) B M ∈ ( 2;3) C M ∈ ( 3; ) D M ∈ ( 4;5 ) 4.45 M điểm di động ( P ) : y = − x , khoảng cách từ I ( 0; −2 ) đến M đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A B C 2 D 115 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 4.46 Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = 15 x − x + 12 x − với trục Ox là: A B + 14 C − 14 4.47 Cho đường thẳng d : y= ( 2a 2 D + 14 2 − 14 + 1) x + 2a − 1, d ' : y= a x + a − cắt M ( a; b ) Khẳng định đúng? A a + b = B a + b = C a + b =−2 D a + b =−3 4.48 Cho hàm số y = x3 + x + x − 13 + m Khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến  B Hàm số nghịch biến  C Hàm số nghịch biến ( −3;3) D Tồn x1 , x2 ∈ , x1 < x2 cho f ( x1 ) > f ( x2 ) y x + cắt ( P ) : y = x điểm M N Diện tích OMN 4.49 Đường thẳng d : = bằng: A B C D 4.50 Tìm giá trị k để đường thẳng d : y = kx − k + cắt ( P ) : y = x hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y1 ) cho x1 + x2 = A k = −2 k = B k = −4 k = C k = D k = k = y kx + với 4.51 Gọi E ( x1 ; y1 ) , F ( x2 ; y2 ) giao điểm đường thẳng d : = ( P ) : y = x Giá trị lớn biểu thức Q =( y1 − 1)( y2 − 1) là: A −2 B −1 4.52 Gọi m, M y= A 13 20 + 2x − x2 + C D giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số Khi m + M B 14 C 15 4.53 Biết A ( −2;4 ) , B ( x0 ; y0 ) điểm thuộc D 16 ( P ) : y = x2 thỏa mãn OAB vuông A Khi x0 + y0 A 35 B 31 C D 116 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 4.54 Biết đường thẳng d : y =( m + ) x − cắt ( P ) : y = − x hai điểm phân biệt A, B Khẳng định đúng? A OAB B OAB vuông O C OAB có góc tù D OAB cân A 4.55 Đồ thị hàm số y = A x − 22 + x + 13 − cắt Ox điểm: B C D 4.56 Biết đường thẳng d : y = cắt đồ thị hàm số y = − x + + x + − x điểm M, N Diện tích OMN A C B 4.57 Hàm f ( x) số xác định B x≠0 với thỏa mãn 5 f ( x1 ) + f ( x2 ) Tính f   7 1 f (= x ) 1, f  = f ( x ) , f ( x1 + x= 2)   x x A − D D C 4.58 Gọi M giao điểm đường thẳng d : y = 11 với đồ thị hàm số y = x + x + + − x Độ dài đoạn OM A B 11 122 4.59 Có giá C trị nguyên D 5 123 m để đồ thị hàm số 2x  2x  = y  − + m có điểm chung với trục Ox  − x +1  x +1 A B C D 10 x + 10 x + 16 4.60 Gọi P giá trị lớn hàm số y = Khẳng định x + 2x + đúng? A P ∈ ( 0;3) B P ∈ ( 3;6 ) C P ∈ ( 6;10 ) D P > 10 117 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 HƯỚNG DẪN GIẢI Website: tailieumontoan.com 4.1 Đáp án A 4.2 Đáp án C ( ) ( ) − m − 3m + x + 15 nghịch biến  Đáp án D 4.3 Do − m − 3m + < 0∀m nên y = 4.4 Đáp án D 4.5 Đáp án B 4.6 Đáp án A 4.7 Đáp án D 4.8 Đáp án B 4.9 Đáp án A 4.10 Đáp án C 4.11 Đáp án B 4.12 Đáp án C 4.13 Đáp án C 4.14 Đáp án A 4.15 Hàm số nghịch biến m − 9m − 10 < ⇔ −1 < m < 10 Đáp án B 4.16 Đáp án D 4.17 Đáp án B 4.18 Đáp án B 4.19 Đáp án A 4.20 d : y= x + Đáp án D m m m  4.21 y =  x −  + − ≥ 2− Đáp án C 2 4  4.22 y = x − + 2 ⇒ x + ước Đáp án D x +1 4.23 E ( −3; −4 ) Đáp án C 4.24 y = x = Đáp án C 4.25 m = , n =3 ⇒ S =18 Đáp án A 4.26 y = x − 10 + 15 − x ≥ x − 10 + 15 − x = Đáp án B 118 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a  4.27 M a;2a , I  ; a  Đáp án C 2  ( ) 4.28 Đáp án A −1, b = x = Đáp án D 4.29 a = x = 4.30 Đáp án D 4.31 Đáp án A 4.32 Hàm số đồng biến [3;+∞ ) Đáp án B phải có nghiệm x ⇒ −1 ≤ y ≤ Đáp án 4.33 Phương trình ( y − 1) x − x + y − = C 4.34 y =−2 x − + chứng minh hàm số nghịch biến (1; +∞ ) Đáp án A x −1 4.35 Đặt t = x − x + = ( x − ) + ≥ ⇒ y = t + 104 Đáp án B 2k −   21  21  −5   4.36 y = −  k − 4k +  ≤ Đáp án D x+  −  k − k +  , y0 =   4 4   4.37 F (1;1) Đáp án C 4.38 f ( x ) = x − x + 25 ⇒ f ( x + 3) = x + x + 22 Đáp án A 4.39 Đáp án D 4.40 E ( 2;1) Đáp án B  f ( −1) ≥ Đáp án 4.41 Đồ thị y = f ( x ) đường thẳng Để f ( x ) ≥ với −1 ≤ x ≤   f ( ) ≥ C 4.42 d qua điểm P ( 6;8 ) Đáp án D 4.43 Chứng minh ≤ y ≤ Đáp án A 4.44 10 ≤ x ≤ ;6= y ⇒ y≤ Đáp án B 6 x − 15 + 20 − x ⇒ y ≤ ( + 3)( x − 16 + 20 −= x ) 25 4.45 Đáp án A 4.46 Đáp án C 119 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  −1 − a −3a + a −  4.47 M  ;  ⇒ a + b =−3 Đáp án D a + a a +   4.48 Đáp án A 4.49 Đáp án D 4.50 Đáp án A 4.51 d ( P ) ∀k ∈  cắt Ta có x1 + x2 =k , x1 x2 =−1 ⇒ Q =( x12 − 1)( x22 − 1) = x12 x22 + x1 x2 − ( x1 + x2 ) + − k ≤ Đáp án C 4.52 y= 20 + − ( x − 1) + ⇒ m= 4; M= 10 Đáp án B  25  4.53 B  ;  Đáp án A 2  4.54 Đáp án B 4.55 Cắt M ( 23;0 ) Đáp án B 4.56 M ( −2;2 ) , N ( 2;2 ) Đáp án C 4.57 Đáp án D 4.58 M (1;11) Đáp án D 4.59 Đặt t= 2x ⇒ −1 ≤ t ≤ ⇒ y= t − 4t − + m= x +1 (t − 2) + m−9 Với −1 ≤ t ≤ ≤ ( t − ) ≤ ⇒ m − ≤ y ≤ m ⇒ ≤ m ≤ Đáp án C 4.60 P = Đáp án C 120 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com CHƯƠNG V: BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức tốn khó chương trình tốn THCS Nhiều tốn chứng minh bất đẳng thức khơng có lời giải chuẩn mực mà chúng có lời giải đặc biệt Chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức toán thường gặp kì thi học sinh giỏi thi vào trường chuyên THPT Định nghĩa: Ta nói: A ≥ B A − B ≥ 0, A ≤ B A − B ≤ Các tính chất • Nếu a ≥ b, b ≥ c a ≥ c • Nếu a ≥ b với c ta có a + c ≥ b + c ac ≥ bc, c >  • Nếu a ≥ b ac ≤ bc, c < ac = 0,= c  = bc • Nếu a ≥ b > 0, c ≥ d > ac ≥ bd • Nếu a ≥ b ≥ a n ≥ b n với n số tự nhiên • − a ≤ a ≤ a với a ∈  • Với a > 0, b ≤ a ⇔ − a ≤ b ≤ a b ≤ − a • Với a > 0, b ≥ a ⇔  b ≥ a • a + b ≤ a + b ≤ a + b với a, b ∈  • a + b + c ≥ ab + bc + ca với a, b, c ∈  Bất đẳng thức Cơ-si bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski • Bất đẳng thức Cô-si: Cho a, b ≥ 0, a + b ≥ ab Dấu “=” xảy a = b Tổng quát: Cho n số không âm a1 , a2 , , an ; a1 + a2 + + an ≥ n n a1.a2 an Dấu “=” xảy a1= a2= = an • Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: Cho số thực a, b, x, y ta có: 121 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ( ax + by ) ≤ (a + b Dấu “=” xảy )( x +y Website: tailieumontoan.com ) x y = a b Tổng quát: Cho số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn ta có ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) Dấu “=” xảy ≤ ( a12 + a22 + + an2 )( b12 + b22 + + bn2 ) a a1 a2 = = = n b1 b2 bn Một số hệ thường dùng a Cho a, b số không âm Nếu a + b = S không đổi ab đạt giá trị lớn a = b Nếu ab = P khơng đổi a + b đạt giá trị nhỏ a = b 1 1 1 b Nếu a, b >  +  ( a + b ) ≥ hay + ≥ a b a+b a b 1 1 1 c Nếu a, b, c >  + +  ( a + b + c ) ≥ hay + + ≥ a b c a+b+c a b c Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Cho biểu thức A ( x ) Số m gọi giá trị nhỏ biểu thức A ( x ) m ≤ A ( x ) tồn x0 cho m = A ( x0 ) Số M gọi giá trị lớn biểu thức A ( x ) M ≥ A ( x ) tồn x0 cho M = A ( x0 ) Chú ý: Nếu ta có m ≤ A ( x ) ≤ M chưa thể kết luận giá trị nhỏ A ( x ) m, giá trị lớn A ( x ) M Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đa thức nhiều biến định nghĩa tương tự đa thức biến B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN QUA CÁC VÍ DỤ Dạng 1: Các tốn bất đẳng thức a Các toán đơn giản 122 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ 1: Trong khẳng định sau, có khẳng định với a, b, c, d số thực thỏa mãn a > b, c > d I a+c >b+d II a−c >b−d III ac > bd IV a−d >b−c A B C D Hướng dẫn giải: I IV tương đương với ( a − b ) + ( c − d ) > đúng, II sai chọn = a 1,= b 0,= c 5,= d 2, III sai chọn = −1.b = −2, c = −3, d = −4 Đáp án B Ví dụ 2: Cho a ∈ ( 0;1) , đặt M = A < M < N B < N < M Hướng dẫn giải: N= 24 + 16 − a Khẳng định đúng? 26 + 16 + a , N = C N < < M 24 + 16 − a < 25 + 16= , M= D M < N < 26 + 16 + a > 25 + 16= Do N < < M Đáp án C Ví dụ 3: Cho x ≤ −7, y ≤ −3 , có khẳng định đúng: I xy ≤ 21 A x + y ≤ −10 II B III x − y ≤ −4 IV C x ≤ y D Hướng dẫn giải: Khẳng định II đúng, khẳng định I, III, IV sai Đáp án A Ví dụ 4: Có số nguyên n thỏa mãn điều kiện sau n − n − ≤ A B 12 C 11 D 10 Hướng dẫn giải: n − n − ≤ ⇔ ( n + 1)( n − ) ≤ ⇔ −1 ≤ n ≤ Đáp án D Ví dụ 5: Cho x số thực bất kì, khẳng định đúng? A x ≥ x B 2x > x Hướng dẫn giải: x − x + 17 = Ví dụ 6: Cho M = A < M < ( x − 3) C x − x + 17 > D x ≥ − x + > 0∀x ∈  Đáp án C 1 + + + Khẳng định đúng? 1.2 2.3 99.100 B M = C < M < D M >  99  1 1 1  Hướng dẫn giải: M = 1 −  +  −  + +  − =  2  3  99 100  100 Đáp án A 123 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ 7: Cho a, b số thực bất kì, có khẳng định I 2 Nếu 2a > b 4a > b II 3 Nếu 2a > b 8a > b III Nếu 3a > 2b 3a + b > 3b IV Nếu 3a > b 3a > ab A B C D Hướng dẫn giải: Khẳng định I sai ta bình phương hai vế bất đẳng thức Khẳng định IV sai ta nhân hai vế bất đẳng thức với số thực Đáp án B Ví dụ 8: Cho Q = a + b + c − ab − bc − ca Khẳng định với a, b, c số thực A Q < = Hướng dẫn giải: Q C −1 < Q < B Q ≥ D Q ≥ 1 2 a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  ≥ Dấu “=” xảy a= b= c (  2 Đáp án B b Các tốn trung bình Ví dụ 9: Có số nguyên n thỏa mãn điều kiện ( n − 3) − 10 ( n − 3) − 11 ≤ A 13 B 12 C 11 D 10 Hướng dẫn giải: Đặt t= n − ta t − 10t − 11 ≤ ⇔ −1 ≤ t ≤ ⇔ ≤ n ≤ 14 Đáp án A Ví dụ 10: Cho biểu thức: E = a − 6a + 10 F = a − 3a + G = a − 5a + H =+ a2 −1 a +1 Có biểu thức không âm với a ∈  A B C D  19 19  Hướng dẫn giải: E = ( a − 3) + ≥ ; F =  a −  + ≥ 2 4  124 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com G = ( a − 1)( a − ) ≥ ⇔ a ≤ 1; a ≥ ; H = a + + −2≥ a +1 (a + 1) − 2= a +1 Đáp án B a + b4 , Q = a 3b + ab3 Khẳng định a, b số Ví dụ 11: Cho P = thực B P < Q A P ≥ Q D P + Q = C 2P = Q Hướng dẫn giải: P − Q = a ( a − b ) − b3 ( a − b ) = ( a − b ) ( a + ab + b ) ≥ Đáp án A Ví dụ 12: Cho M = 1 + + + Khẳng định đúng? 2 n A < M < B ≤ M ≤ C < M < D M > Hướng dẫn giải: M< 1 1 1   1   + + + <  −  +  −  + +  −  =1 − < 1.2 2.3 n ( n − 1) n      n −1 n  Đáp án A Ví dụ 13: Tìm số ngun dương n lớn cho bất đẳng thức 1 n + ≥ a b a+b với a, b số dương A B C D Hướng dẫn giải: Bất đẳng thức tương đương với a + ( − n ) ab + b ≥ (1) Dễ thấy (1) với n ∈ {1; 2;3; 4} , với n ≥ (1) khơng với a, b số dương chẳng hạn a= b= Đáp án B Ví dụ 14: Có số lẻ, nguyên dương n thỏa mãn điều kiện 2 2020 + + + < 1.3 3.5 n ( n + ) 2021 A 2018 B 1010 C 1009 D 1008  2020 1   1  1 ⇔ 1− ⇒ n ≤ 2018 Hướng dẫn giải: Ta có  −  +  −  + +  − < n+2 1     n n +  2021 Do n lẻ nên n ∈ {1;3; ;2017} Đáp án C 125 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a − b, N = b − a Khẳng định với a, b số thực Ví dụ 15: Cho M = 2 thỏa mãn điều kiện a + b ≥ A M > 0, N < B M < 0, N > C M < 0, N < D M ≥ N ≥ Hướng dẫn giải: M + N = a + b − a − b = ( a − 1) + ( b − 1) + a + b − 2 Do ( a − 1) + ( b − 1) ≥ 0, a + b − ≥ nên M + N ≥ Đáp án D 2 c Các tốn phức tạp Ví dụ 16: Cho x, y, z số thực thuộc khoảng (1;2 ) S = x y z + + y+z z+x x+ y Khẳng định đúng? A S ≤ B < S < Hướng dẫn giải: Dễ thấy S > x Mặt khác = y+z Tương tự C S = D S > x y z + + = x+ y+z x+ y+z x+ y+z 2x 2x < ( y + z) + ( y + z) x + y + z y 2y z 2z < , < z+x x+ y+z x+ y x+ y+z Cộng vế ta S ≤ 2( x + y + z) = x+ y+z Vậy < S < Đáp án B 1 + + + Khẳng định đúng? 2+ 4+ 80 + 81 = M Ví dụ 17: Cho B < M < A M < = N Hướng dẫn giải: Đặt C M = D M > 1 + + + 1+ 3+ 79 + 80 Khi M < N Và = M= +N 1 + + + = 1+ 2+ 80 + 81 2− 3− 81 − 80 + + + −1 3− 81 − 80 81 − = Từ suy M < 126 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Đáp án A Ví dụ 18: Cho S = A S < 48 15 2499 + + + + Khẳng định đúng? 16 2500 B 48 < S < 49 C 49 ≤ S ≤ 50 D S > 50   1      1 Hướng dẫn giải: S = 1 −  + 1 −  + + 1 −  = 49 −  + + +  50       50  2 Dễ dàng chứng minhh < 1 + + + < ⇒ 48 < S < 49 Đáp án B 2 50 Ví dụ 19: Có số tự nhiên b thỏa mãn đẳng thức: a − 9ab + b3 + b = A 17 B 18 C 19 D 20 ∆ 77b − 4b3 ⇔ b ( 77 − 4b ) ≥ Hướng dẫn giải: Phương trình có nghiệm a khi= ⇒0≤b≤ 77 ⇒ b ∈ {0;1;2; ;19} Đáp án D abc >  Ví dụ 20: Cho số thực a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca > a + b + c >  Khẳng định đúng? A Cả ba số a, b, c âm B Tồn số âm số a, b, c C Có số dương ba số a, b, c D Cả ba số a, b, c đề dương a <  Hướng dẫn giải: Giả sử a < ⇒ bc < ⇒ ab + bc + ca= a ( b + c ) + bc < (vơ lí) b + c >  Mặt khác abc < ⇒ a ≠ Vậy a > Tương tự ta có b > 0, c > Đáp án D Ví dụ 21: Cho biểu thức E = A < E < 1 + + + Khẳng định đúng? n B , giá trị nhỏ biểu thức Q =x + A 12 B 13 16 + là: x C 14 D 15 Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: Q ≥ x 16 + = 13 ⇒ Q = 13 x x=4 Đáp án B Giá trị nhỏ biểu Ví dụ 28: Cho a, b số dương thay đổi thỏa mãn a + b = thức V = 60 là: ab A 15 B 16 Hướng dẫn giải: Ta có ab ≤ C 17 D 12 a+b = ⇒ ab ≤ ⇒ V = 15 a= b= 2 Đáp án A Ví dụ 29: Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P = a − 4a + 13 với ≤ a ≤ Tính m + M A 27 Hướng B 28 dẫn C 29 D 32 P =( a − ) + 9, giải: ≤ a ≤ ⇒ ≤ a − ≤ ⇒ m = 10, M = 18 ⇒ m + M = 28 Đáp án B Ví dụ 30: Cho E ≥ 5, F ≥ 6, G ≤ 7, H ≤ 8, ta tìm giá trị lớn biểu thức A E + F − G − H B − E − F + G + H C E + F + G + H D E − F + G − H Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có − E ≤ −5, − F ≤ −6, G ≤ 7, H ≤ ⇒ − E − F + G + H ≤ E 5,= F 6,= G 7,= H Đáp án B Dấu “=” xảy khi= 129 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com b Các tốn trung bình Ví dụ 31: Có giá trị nguyên x để biểu thức S = x − + x + đạt giá trị nhỏ A B C D Hướng dẫn giải: S = x − + x + ≥ − x + x + = ⇒ S = 6 − x ≥ 6 − x ≤ ⇒ −1 ≤ x ≤ Đáp án D   x + ≥ x + ≤   Ví dụ 32: Tìm giá trị nhỏ của= biểu thức M A B a + 5a + ( a ≠ 0) a2 C D 10 1 + ≥ a + = ⇒ M = a = ±1 Đáp án A a a Hướng dẫn giải: M = a + Ví dụ 33: Cho a ∈  , gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức Q= 10a + Tính m + M 2a − A B 10 Hướng dẫn giải: Q= + C 11 D 12 , từ suy m = −2 2a − =−1 ⇔ a =0, M =12 2a − 2a − = ⇔a= Đáp án B Ví dụ 34: Gọi M giá trị nhỏ biểu thức Q = ( a − 1)( a − 3)( a − 5)( a − ) Khẳng định đúng? A M = −15 Hướng dẫn ⇒ Q= ( t − )( t + )= B M = −14 Q= giải: (a C M = −13 − 8a + )( a − 8a + 15 ) , D M = −16 t = a − 8a + 11 đặt t − 16 ≥ −16 Từ suy M = −16 a − 8a + 11 = Đáp án D 2a + Ví dụ 35: Giá trị lớn biểu thức E = là: a + 2a + A B C D 130 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ( a + 2a + 3) − 4a Hướng dẫn giải: E = a + 2a + Website: tailieumontoan.com =2− 4a ≤ ⇒ max E = a = a + 2a + Đáp án C 4a + Ví dụ 36: Cho a > 3, tìm giá trị nhỏ biểu thức P = A 30 B 28 +6 a −3 C 32 D 34 9 + 18 ≥ ( a − 3) + 18 ⇒ P = 30 a = a −3 a −3 Hướng dẫn giải: P = ( a − 3) + Đáp án A Ví dụ 37: Cho a, b số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a + b ≤ Giá trị lớn biểu thức P = a ( b + 3) + b ( a + 3) là: A P2 Hướng dẫn giải: Ta có= B C ( ) a b+3+ b a+3 D ≤ ( a + b )( a + b + ) ≤ 16 ⇒ P ≤ max P = a= b= Đáp án A Tìm giá trị lớn Ví dụ 38: Cho a, b, c số không âm thay đổi thỏa mãn a + b + c = 2 biểu thức E = a + b + c A 25 Hướng B 26 dẫn C 27 D 28 25 = ( a + b + c ) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) ≥ a + b + c 2 giải: ⇒ max E = 25 ba số a, b, c 5, hai số lại Đáp án A Ví dụ 39: Cho a, b số thay đổi thỏa mãn ( a + 1) + ( b − ) = Gọi m, M 2 giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức a + b Tính M − m A B C D 10 2 Hướng dẫn giải: Ta có 1( a + 1) + 1( b − )  ≤ ( a + 1) + ( b − ) = 16 ⇒ −4 ≤ a + b − ≤   ⇒ −3 ≤ a + b ≤ ⇒ m = −3, M = Đáp án C  a b2   a b  Ví dụ 40: Cho M =  +  −  +  + 10 Giá trị n hỏ M là: a  b a b 131 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A B C D Hướng dẫn giải: a b a b2 Đặt t = + ⇒ t ≥ ⇒ t = + + ⇒ M = t − 3t + = b a b a   23 ≥ ⇒ M = t −  +  2 t = ⇔ a = b ≠ Đáp án D c Các toán phức tạp Giá trị nhỏ biểu Ví dụ 41: Các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = = x + y là: thức E A 16 B Hướng dẫn giải: 12 = Từ ta có (1.x + y ) C ≤ ( x2 + y ) ⇒ D ≤ x2 + y 2 1 1 ≤ (1.x + y ) ≤ ( x + y ) ⇒ E ≥ ⇒ E = x= y= 8 Đáp án B Tìm giá trị nhỏ Ví dụ 42: a, b, c số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a + b + c = biểu thức M = A 1 + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab B Hướng dẫn giải: Ta biết x, y, z > Do a= b= c= M≥ C D 1 + + ≥ x y z x+ y+z 9 ⇒ M = = = ( a + 2bc ) + ( b + 2ac ) + ( c + 2ab ) ( a + b + c )2 2 Đáp án D Ví dụ 43: Cho x > , giá trị nhỏ biểu thức Q = x − x + A 16 B 17 C 18 + 17 2x D 20 132 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Hướng dẫn giải:     Q = ( x − x + 1) +  x +  + 16 = ( x − 1) +  x +  + 16 ≥ 18 2x  2x    ⇒ Q = 18 x = Đáp án C Tìm giá trị Ví dụ 44: a, b, c, d , e số không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c + d + e = lớn biểu thức F = ab + bc + cd + de A B Hướng dẫn giải: Đặt ⇒ MN ≤ C M = a + c + e, N = b + d D Khi M,N ≥ M +N = 1 M +N ⇒ MN ≤ = 2 F ≤ ( a + c + e )( b + d ) ≤ 1 , c= d= e= ⇒ max F = a= b= 4 Đáp án A Ví dụ E= 45: Cho a , b, c dương số thay đổi Đặt E 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ + + ,F = + + F a b c a + 2b b + 2c c + 2a A B Hướng dẫn giải: Ta có C D 1 1 1 , + + ≥ + + ≥ , tương tự + + ≥ b c c b + 2c c a a c + 2a a b b a + 2b E 1  1 1  + + Cộng vế ta  + +  ≥   ⇒ ≥ F a b c  a + 2b b + 2c c + 2a  Đáp án C Ví dụ 46: Cho a, b, c số dương thay đổi thỏa mẫn biểu thức P = A 1 1 + + ≤ 12 Tìm giá trị lớn a b c 1 + + 2a + b + c 2b + a + c 2c + a + b B Hướng dẫn giải: Với x, y > ta có C D 11  ≤  +  Do x+ y 4 x y   1  1  1 1  ≤  +  ≤  +  +   , tương tự ta có 2a + b + c  2a b + c   2a  b c   133 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  1  1   1  1  1 ≤  +  +  , ≤  +  +   Cộng vế ta 2b + a + c  2b  a c   2c + a + b  2c  a b   11 1 P≤  + + ≤3 4 a b c Vậy max P = a= b= c= Đáp án D 12 x  2x  =  + 20 Ví dụ 47: Tìm giá trị lớn biểu thức Q  −  x +1 x +1 A 29 B 27 Hướng dẫn t= Đặt giải: C 22 D 25 2x ⇒ −1 ≤ t ≤ ⇒ Q= t − 6t + 20= x +1 ( t − 3) + 11 ≤ 27 ⇒ max Q = 27 t =−1 ⇔ x =−1 Đáp án B Ví dụ 48: Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 5a + 10b − 12ab − 4a − 12b + 50 A 22 Hướng B 23 dẫn S= giải: C 24 ( 2a − 3b + 1) + ( a − ) + ( b − 3) 2 D 25 + 24 ≥ 24 ⇒ S = 24 = a 4,= b Đáp án C Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b2 Ví dụ 49: Cho a, b ≥ a + b3 = A Hướng B dẫn giải: Ta C có D a + a + ≥ 3= a 3a , b3 + b3 + ≥ 3= b 3b 2 a= b= ⇒ ( a + b3 + 1) ≥ ( a + b ) ⇒ P = a + b ≤ ⇒ max P = Đáp án B Ví dụ 50: a, b số nguyên thỏa mãn a + b = 43 Giá trị lớn = P ab + 12 A 474 B 478 (a + b) − (a − b) = ab Hướng dẫn giải: C 496 D 480 1849 − a 21, = b 22 474 khi= ≤ = 462 ⇒ max P = = a 22, = b 21 Đáp án A 134 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com BÀI TẬP 5.1 Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện −7 ≤ x ≤ 3, −5 ≤ y ≤ Trong khẳng định sau có khẳng định SAI I xy ≤ A 5.2 B x + y ≥ −318 IV C B D C Cho a ∈ , giá trị lớn biểu thức M = A 19 5.4 x + y ≤ 13 III n Có số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện ≤ 2189 A 5.3 x + y ≥ −12 II B 20 D a + 33 a+3 C 21 D 22 Gọi M giá trị lớn biểu thức − a − b − 2a + 6b + 30 Khẳng định đúng? A M ∈ ( 36;37 ) 5.5 C M ∈ [39;40] B M ∈ [37;39] Có bất đẳng thức với a, b số thực I a3 ≥ a II a + b ≥ 3ab III 3a ≥ a IV b2 − b + > A 5.6 B C D Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y − x + y + 27 A 15 5.7 D M > 40 B 16 C 17 D 18 Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức x − 13 với x−4 x ∈  Khi m.M A −20 5.8 Có số nguyên dương thỏa mãn A 51 5.9 B −21 B 52 C −24 D 30 1 50 + + + ≤ 1.2 2.3 ( n − 1) n 51 C 49 Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn b, d > D 55 a c > Khẳng định b d đúng? 135 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 A ad = bc B ad > bc C ad < bc a+ 5.10 Cho a > 1, tìm giá trị nhỏ biểu thức E = A 17 B 18 Website: tailieumontoan.com D ad > bc + 1 + 16 a −1 C 19 D 20 5.11 Cho a ≥ 3, tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = a − 2a + 49 A 51 B 52 C 50 D 55 Giá trị nhỏ biểu thức 5.12 x, y số dương thay đổi thỏa mãn x + y = M= 24 xy A 22 B 20 C 32 D 24 ( ) 5.13 Có giá trị nguyên x thỏa mãn điều kiện x x − 31x + 30 ≤ A 29 B 30 C 31 D 32 5.14 Biểu thức có giá trị nhỏ 18 A x − x + 22 B x − x + 20 C − x − x + 19 D x − x + 18 5.15 Gọi M giá trị nhỏ biểu thức ( x + 3) + ( x − ) + 13 Khẳng định 2 A M < 43 B M < 45 C 45 ≤ M < 50 D M > 50 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = x3 + y + xy + 10 5.16 Cho x + y = A 13 B 14 5.17 Tìm giá trị lớn biểu thức Q = A B C 15 D 16 a − 2a + 36 a − 2a + C D 5.18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức E = x − x + x + 32 A 26 B 28 C 30 D 31 5.19 Cho số M , N , P, Q thỏa mãn M ≥ 4, N ≥ 5,0 < P ≤ 6,0 < Q ≤ 12 Ta tìm giá trị lớn biểu thức A M N B P Q C N Q D Q M 5.20 Giá trị nhỏ biểu thức K = a − a + + a − a − 136 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A B C D 5.21 Cho a, b > thỏa mãn a + b = Giá trị nhỏ a8 + b8 A 64 B 32 C 128 D 132 5.22 Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện ( x − 1) + ( y + ) = Giá trị nhỏ 2 x + y A −3 B D −2 C ( ) 5.23 Cho a, b số thực thỏa mãn đẳng thức a= ab + b − b Giá trị lớn b A B C D 5.24 Gọi E , F giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức 5n + với n −1 n ∈ , E.F B −119 A 119 C −121 D −118 5.25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = a − 6a − a − + 34 A 22 B 23 C 20 D 21 5.26 a, b, c số dương thay đổi, tìm giá trị nhỏ biểu thức E= a +b−c b+c−a c+ a −b + + c a b A B C 5.27 Cho < x < 1, giá trị nhỏ biểu thức P= A 23 5.28 Cho M = A < M < B 24 D x + + 10 1− x x C 25 D 27 1 Khẳng định đúng? + + + 2 20202 B M = C < M < D M ≥ 5.29 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + ) A −16 B −14 C −18 D −20 x4 + 8x2 + 5.30 Giá trị nhỏ biểu thức Q = x2 137 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A 10 B 11 C 12 5.31 Giá trị nhỏ biểu thức M= A 11 D 15 x − x + + x − 10 x + 25 + 10 B 12 C 13 D 15     =  a +  −  a + + 10  5.32 Cho a ≠ 0, giá trị nhỏ biểu thức Q a   a   A B 5.33 a, b, c, d , e C số thực bất D kì, giá trị nhỏ H = a + b + c + d + e − a ( b + c + d + e ) là: A −2 B −1 C D Tìm giá trị nhỏ biểu 5.34 a, b, c số không âm thỏa mãn a + b + c = thức S = a + b + c A 10 B 12 C 15 M = 5.35 Cho a, b > a + b ≤ Giá trị nhỏ biểu thức A 10 B C D 18 + là: a +b ab D 5.36 Cho − ≤ a ≤ Giá trị nhỏ biểu thức Q = 2a + − 2a là: B − A − C −3 D −2 5.37 a, b số không âm thỏa mãn a + b ≤ Giá trị lớn biểu thức = S a 3b ( a + 2b ) + b 3a ( b + 2a ) là: A B 5.38 Cho Q= a , b, c C D số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( a + b )( b + c )( a + c ) A abc B C D 12 5.39 a, b,c số dương thay đổi thỏa mãn a + b + c ≤ Giá trị nhỏ biểu thức E = A 1 + + là: + ab + bc + ac B C D 138 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ( Website: tailieumontoan.com )( ) 2, giá trị nhỏ biểu thức F =x + y + 5.40 Cho x + y = A B 5.41 Cho biểu thức M= C D 1 Khẳng định + + + n ( n + 1)( n + ) 1.2.3 2.3.4 A M < B 5.42 Cho P =1 + 1 ≤M < C < M P ≥ 37 Giá trị lớn ab là: 5.43 a, b số tự nhiên thỏa mãn a + b = A 348 B 342 C 380 D 324 15 Giá trị nhỏ 5.44 a, b số thực thay đổi thỏa mãn ab + a + b = S= a + b A 15 B 16 C 18 5.45 Cho a, b, c số thực dương thay đổi M = trị nhỏ A D 21 a b3 c + + , N = a + b + c Giá b c a M là: N B C D 5.46 a, b số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a + b ≥ Giá trị nhỏ biểu thức P = 3a + 2b + A 18 + là: a b B 19 C 20 D 22 Gọi x1 , x2 nghiệm nhỏ 5.47 Cho phương trình x + x + 2ax + ( a + 1) = nhất, lớn mà phương trình đạt a thay đổi Tính x1 + x2 A C −1 B 5.48 Tìm giá trị tham số m để D nghiệm phương trình x + x − 2mx + (1 − m ) = đạt giá trị lớn 139 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A B C D 5.49 Tìm giá trị lớn biểu thức M= x − + − x2 A C B 5.50 Cho a , b, c > a+b+c = D Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 b2 c2 S= + + b+c c+a a+b A B C D 5.51 a, b số không âm thỏa mãn a + b ≤ 2, gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức = E A a ( b + 1) + b ( a + 1) Tính m + M B 2 C 5.52 a, b, c số dương, xét biểu thức M = D a b c + + Khẳng định b+c c+a a+b đúng? A M < B M = C < M < D M ≥ 5.53 a, b số dương thỏa mãn a + b = Giá trị nhỏ biểu thức  1  E= 1 − 1 −  là:  a  b  A B C D 10 5.54 Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức E= A 3a − 2a + Tính M − m a2 + B C D 5.55 Trong khẳng định sau, có khẳng định đúng? I a + b ≥ 2ab∀a, b ∈  II a + b + c ≥ ab + bc + ca∀a, b, c ∈  III 1 + ≥ ∀a, b > a b a+b IV 1 + ≥ ∀a, b > a b a+b 140 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A B C D 2a + với < a < Khẳng định đúng? a 5.56 Cho biểu thức Q = A Q có gá trị lớn B Q có giá trị nhỏ C Q khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ D Q > 5∀a ∈ (1;3) 5.57 Cho m ≥ −1, tìm nghiệm lớn mà phương trình sau đạt x + mx + m − = A B C D 5.58 a, b số thực thỏa mãn điều kiện ( a − ) + ( b + 3) = Giá trị nhỏ 2 biểu thức Q= a + 2b là: A −10 B −9 5.59 Cho n số nguyên dương, T= C −11 D −12 1 Khẳng định ( n + 1) n + + + đúng? A T < 5.60 Cho C < T < B T = số a , b, c thỏa mãn D T ≥ < a , b, c < Đặt M =a ( − b ) , N =b ( − c ) , P =c ( − a ) Khẳng định đúng? A M , N , P lớn B Tồn ba số M , N , P nhỏ C MNP > D M + N + P ≥ 2 5.61 a, b số dương thỏa mãn a + b ≤ 18 Giá trị nhỏ P =ab + ( a + b ) bằng: A 18 B 19 C 20 D 21 a + b + c = Giá trị lớn a bằng: 5.62 a, b, c số thực thỏa mãn  2 a + b + c = A B C D 141 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 5.63 Gọi P, Q giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức E = x4 + (x + 1) Khi 2P + Q A B C D 5.64 a, b, c số không âm đôi khác thỏa mãn ( a + c )( b + c ) = Giá trị nhỏ biểu thức P = A (a − b) + (a + c) B + (b + c ) C D Giá trị nhỏ biểu thức 5.65 a, b số dương thỏa mãn a + b = 2 1  1  Q =  a +  +  b +  bằng: a  b  A 25 C B 12 5.66 a, b, c số dương thỏa mãn 27 D 13 ab + bc + ca = Giá trị nhỏ biểu a2 b2 c2 thức S = + + a+b b+c c+a A 5.67 B C D Gọi a, b, c, p độ dài ba cạnh nửa chu vi tam giác Đặt M= A M = N 1 1 1 + + , N = + + Khẳng định đúng? p −a p −b p −c a b c B M ≤ N C M ≥ N D M ≥ N 5.68 a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ca = Gọi M giá trị nhỏ 2 biểu thức a + b + c Khi đó: A M < B < M < C ≤ M < D M ≥ a + b + c = a , b , c 5.69 số dương thỏa mãn  Giá trị lớn a ab + bc + ca = A B C D 142 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Giá trị nhỏ 5.70 x, y, z số dương thay đổi thỏa mãn x + y + z + xy + yz + zx = biểu thức S = A x3 y x3 + + là: y z x B C D 5.71 a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Giá trị nhỏ biểu thức Q= A a2 b2 c2 là: + + b+c a+c a+b B C 5.72 a, b, c số dương, giá trị nhỏ biểu thức M = A B C D a b c + + b+c a+c a+b D 143 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 HƯỚNG DẪN GIẢI Website: tailieumontoan.com 5.1 Đáp án C 37 2187 < 2189 Đáp án B 5.2.= 5.3 Đáp án A −1, b = Đáp án C 5.4 M = 40 a = 5.5 Đáp án A 5.6 Đáp án C = x 3,= M 12 x = Đáp án C 5.7 m = −2 5.8 Đáp án A 5.9 Đáp án B 5.10 Đáp án C 5.11 Q = ( a − 1) + 48 ⇒ Q = 52 a = Đáp án B 5.12 Đáp án D 5.13 x = x − 31x + 30 ≤ Đáp án C 5.14 Đáp án A 5.15 M = 45 x = Đáp án C 5.16 Đáp án B 5.17 max Q = a = Đáp án C ( ) ( ) 5.18 E = x − x − x − x + 32 Đáp án B 5.19 Ta tìm max Q 12 = Đáp án D M 5.20 K = a − a + + − a + a + ≥ a − a + − a + a + = ( )( ) Dấu “=” xảy a − a + − a + a + ≥ ⇔ −1 ≤ a ≤ Đáp án B 5.21 Đáp án C 5.22 ( x + y ) = −3 x = 0, y = −3 Đáp án A có nghiệm a ⇒ ∆ ≥ ⇔ ≤ b ≤ Đáp án 5.23 Phương trình a − 3ba − 3b + 3b = C −7, F = 17 Đáp án B 5.24 E = 5.25 M = ( a − 3) − a − + 25 ⇒ M = 21 a − = Đáp án D 144 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a b a c b c 5.26 E =  +  +  +  +  +  − ≥ Dấu “=” xảy a= b= c > Đáp án B b a c a c b (1 − x ) x x (1 − x ) + + 19 ≥ + 19 ⇒ P ≥ 25 Đáp án C 1− x 1− x x x 5.27 P= 5.28 M < 1 1 + + + =1 − < Đáp án A 1.2 2.3 2019.2020 2020 ( )( ) ( ) 5.29 Q = x + x + x + x + 15 =( t − )( t + ) =t − 16 t = x + x + 11 Đáp án A 5.30 Q = x + 4 + ≥ x + = 12 Đáp án C x x 5.31 M = x − + − x + 10 ≥ x − + − x + 10 = 13 ⇒ M = 13 ≤ x ≤ Đáp án C 5.32 Đặt t = a + ⇒ t ≥ ⇒ Q = 3t − 8t + = ( 3t − )( t − ) a Nếu t ≤ −2 ⇒ Q > Nếu t ≥ ⇒ Q ≥ Q = t = ⇔ a = Đáp án A 5.33 H= 1 2 2 a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e )  ≥ (  4 ⇒ H = = a 2= b 2= c 2= d 2e Đáp án C 5.34 S = 12 khii a= b= c= Đáp án B 1   a = b = Đáp 10 =  + + ≥ + ≥ ⇒ M = 10 5.35 M  2 2ab  2ab ( a + b ) 2ab a +b án A a 5.36 Q − 2= − 2a ≥ ⇒ Q ≥ 2a ≥ −2 Đáp án D 2  3b + a + 2b  a + 5ab  3a + b + 2a  b + 5ab , b 3a ( b + 2a ) ≤ b  5.37 a 3b ( a + 2b ) ≤ a  = = 2 2     a + b + 10ab ≤ ( a + b ) ≤ Đáp án B Do S ≤ 5.38 Q = a= b= c > Đáp án C 5.39 E= 1 9 + + ≥ ≥ + ab + bc + ca + ab + bc + ca + a + b + c ⇒ E + a= b= c= 145 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Đáp án A 5.40 4= (1 y + x.1) 5.41 M= ≤ ( x + 1)( y + 1)= F , F= x= y= Đáp án D    1   1  1 − + − + + −       n ( n + 1) ( n + 1)( n + )   Đáp án A  1.2 2.3   2.3 3.4     5.42 Đáp án C (a + b) − (a − b) = ab 5.43 1369 − a 18, = b 19 Đáp án B ≤ = 342 Dấu “=” xảy khi= 4 Chú ý: Bài áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ab ≤ a + b 37 = Dấu không 2 xảy 5.44 Ta có ( a − 3) + ( b − 3) + ( a − b ) ≥ ⇔ S ≥ ( a + b − ab ) − 18 = 72 ⇒ S ≥ 18 2 Dấu “=” xảy a= b= Đáp án C  a2   b2   c2  5.45 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có  + ab  +  + bc  +  + ac  ≥ ( a + b + c )  b   c  a  Hay M + ( ab + bc + ca ) ≥ N (1) Mặt khác ta có N = a + b + c ≥ ab + bc + ca ( ) Từ (1)( ) suy M ≥ N > ⇒ M ≥ Đáp án B N 12   16   a 2,= b Đáp án 5.46 P= ( a + b ) +  3a +  +  b +  ≥ 18 + 12 + ⇒ P= 19 khi= a  b  B ( ) có nghiệm ∆ '= 5.47 a + ( x + 1) a + x + = ( x − x )( x 2 + x + 2) ≥ ⇒ ≤ x ≤ ⇒ x0 = với a = với a = −2 Đáp án A −1, x1 = 5.48 Nghiệm phương trình đạt giá trị lớn m = Đáp án B ≤ x ≤ 2 5.49 ( x + − x2 ) Ta có x= −1 1( x − 1) ≤ + 2x −1 = x, ≤ ( x2 + − x2 ) = ⇒ x + − x ≤ ⇒ max M = x = Đáp án A 5.50 S = a= b= c= Đáp án B 5.51 m = với a= b= 146 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com E =2a ( b + 1) + 2b ( a + 1) ≤ E2 Hoặc= ( a b + + b a + 2a + b + 2b + a + + ≤4⇒ E ≤2 2 ) ≤ ( a + b )( a + b + ) ≤ ⇒ E ≤ 2 Dấu “=” xảy a= b= Đáp án B a = 5.52 Ta có b+c Tương tự a a (b + c ) ≥ 2a a+b+c b c 2b 2c ≥ ≥ , Đáp án D a+c a+b+c a+b a+b+c ( a + b ) − 2ab = a + b2 5.53 E = 1+ 2 − 2 = 1+ 2 − 1+ ≥ Đáp án C 2 ab ab ab ab ab a 1,= M a = −1 Đáp án A 5.54 m = khi= 5.55 Các khẳng định I, II, IV Khẳng định III sai chọn a= b= Đáp án C 5.56 Q= + nghịch biến (1;3) Đáp án C a − m + m − 4m + 20 = m − 4m + 20 > 0∀m Nghiệm lớn phương trình x0 = 5.57 ∆ 2 x0 đạt giá trị lớn m = 01 Đáp án B 5.58 Q = −9 a = 1, b = −5 Đáp án B 5.59 Ta có = ( k + 1) k  1     k + − < −     k +  k k +1  k +1   k  k k = ( k + 1) k Áp dụng cho k = 1, 2, , n Đáp án A 5.60 a (2 − a) ≤ a+2−a =1 ⇒ ≤ a ( − a ) ≤ Tương tự ≤ b ( − b ) ≤ 1,0 ≤ c ( − c ) ≤ ⇒ ≤ MNP ≤ Đáp án B 6.61 ab ≤ a + b2 ≤ 9, ( a + b ) ≤ ( a + b ) ≤ 36 ⇒ ( a + b ) ≤ 12 ⇒ max P = 21 a= b= Đáp án D 5.62 b + c = − a ⇒ ( b + c ) = ( − a ) 2 147 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 2 Ta có ( b + c ) ≥ ( b + c ) ⇔ ( − a ) ≥ ( − a ) ⇔ ≤ a ≤ Đáp án D 2x2 2x2 Q = x = = ≤ , 1− ≤ 1, 5.63 E = Mặt khác 2 x + 2x + x2 + + 2 x + 2x + x2 P = x = ±1 Đáp án C a c, y =+ b c x, y > 0, x ≠ y, xy = 5.64 Đặt x =+ = P ( x − y) 1 + 2= + x y ( x − y) x2 + y + = x2 y + ( x − y) + ≥ ( x − y) ( x − y ) = ⇒ P = Đáp án B 5.65 Q = a + b + (a 1 + +4= a b2  25  + b ) 1 + 2  + ⇒ Q =  ab  a= b= 5.66 Đáp án A 5.67 Dễ dàng chứng minh S ≥ a+b+c Mặt khác a + b + c ≥ ab + bc + ca = ⇒ S = a= b= c= Đáp án B 5.67 Dễ dàng chứng minh M ≥ N Dấu “=” xảy a= b= c Đáp án D 5.68 Ta có ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) + ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) ≥ 2 2 2 ⇔ ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca + a + b + c ) − ⇒ M = a= b= c= Đáp án C 5.69 ( a + b + c ) = ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) = ⇒ a + b + c = ⇒ b + c = − a Mặt khác bc =1 − a ( b + c ) =1 − a ( − a ) =( a − 1) Do ( b + c ) ≥ 4bc ⇔ ( − a ) ≥ ( a − 1) ⇔ < a ≤ 2 148 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Đáp án D 5.70 Hãy chứng minh S ≥ x + y + z ≥ Dấu “=” xảy x= y= z= Đáp án B 5.71 Hãy chứng minh Q ≥ a+b+c Dấu “=” xảy a= b= c= = Đáp án C  a   b   c  + 1 +  + 1 +  + 1  )  5.72 ( M +=  b + c   c + a   a + c   1   = ( b + c ) + ( c + a ) + ( a + b )   + + ≥9 b+c c+a a+b Đáp án D 149 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com CHƯƠNG VI TAM GIÁC VÀ TỨ GIÁC A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này, đề cập đến toán tam giác tứ giác: mối liên hệ cạnh tam giác, đường thẳng đồng quy tam giác, hệ thức lượng tam giác, tam giác đồng dạng, tính chất hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi hình vng Một số tính chất bản: - Trong tam giác độ dài cạnh nhỏ tổng độ dài hai cạnh lớn hiệu chúng - Trong tam giác ba đường trung tuyến đồng quy, ba đường cao đồng quy, ba đường phaan giác đồng quy ba đường trung trục ba cạnh đồng quy - = 90° đường cao AH , Cho  ABC , BAC AB + AC = BC ; AH = BH CH ; AB = BH BC ; 1 = + 2 AH AB AC - Cho  ABC , trung tuyên AM , AB + AC = AM + BC 2 - Cho  ABC nhọn, S ABC = - Một tứ giác hình bình hành có cặp cạnh đối song song cặp cạnh AB AC.sin A song song cặp cạnh đối đường chéo cắt trung điểm đường -  nhọn, đó: S = ABCD.sin A Cho hình bình hàng ABCD, BAC B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN QUA CÁC VÍ DỤ Dạng 1: Các toán tam giác a Các toán đơn giản = 44° , H trung điểm MP Góc MNH Ví dụ 1: Cho MNP cân N, NMP A 47° B 46° C 48° D 52° = 180° − 88°= 92° ⇒ MNH = 46° Đáp án B HD giải: MNP Ví dụ 2: Ba số không độ dài ba cạnh tam giác A 12;16; 20 B 13;14; 28 C 14;17;19 D 20; 21; 22 HD giải: Do 13 + 14 < 28 nên 13;14; 28 không độ dài ba cạnh tam giác Đáp án B 150 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  =90°, AB =36cm, AC =48cm Độ dài trung tuyến AM tam Ví dụ 3: Cho  ABC , BAC giác ABC A 60cm B 32cm C 30cm 2 HD giải: BC = AB + AC = 3600 ⇒ BC = 60cm Do AM = D 36cm BC ⇒ AM = 30cm Đáp án C Ví dụ 4: Cho MNP, khẳng định sau có khẳng định đúng? I Ba đường trung tuyến đồng quy II Ba đường cao đồng quy III Ba đường phân giác đồng quy IV Ba đường trung trực ba cạnh đồng quy A B C D HD giải: Cả khẳng định Đáp án A Ví dụ 5: Cho  ABC , BC < AB < AC Khẳng định  22 D < R < 15 7.6 Từ điểm P ngồi đường trịn ( O ) kẻ tiếp tuyến PM, PN với đường tròn Biết = 25°, tam giác MPN MPN A Tam giác vuông B Tam giác C Tam giác cân D Có góc tù 7.7 M điểm thuộc đường trịn đường kính AB ( M ≠ A, M ≠ B ) Hạ MK vng góc với AB, có khẳng định khẳng định sau: MK = AK BK (1) MB = BK BA ( ) 1 = + ( 3) MK MA2 MB 1 = + ( 4) MK MA MB A B C D 7.8 Cho hai đường tròn ( O; R ) , ( O ';20 ) tiếp xúc Khẳng định sau đúng, biết OO ' = A R = 17 B R = 23 192 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com C 17 < R < 23 D R = 17 R = 23 7.9 Tam giác ABC vng C nội tiếp đường trịn ( O ) , D điểm cung nhỏ BC, OD cắt BC I, tỉ số A B OI AC C D  = 72°, P  = 49° nội tiếp đường tròn ( O ) Gọi H, K, I hình 7.10 Tam giác MNP có M chiếu vng góc điểm O lên cạnh MN, NP, PM, khẳng định sau đúng? A OK < OI < OH B OK < OH < OI C OH < OI < OK D OI < OK < OH 7.11 Cho điểm M, P, Q thuộc đường tròn ( O ) Biết tiếp tuyến ( O ) M song song với PQ Tính tỉ số A MP MQ B C D 7.12 Tam giác nhọn ABC nội tiếp ( O; R ) Các tia phân giác ngồi góc B cắt ( O ) P Q Độ dài PQ A R B R C R D 2R 7.13 Một đường trịn cắt cạnh hình bình hành nhiều điểm? A B C D 10 7.14 M điểm thuộc nửa đường tròn đường kính AB = R ( M ≠ A, M ≠ B ) d tiếp tuyến nửa đường trịn M, P Q chân đường vng góc hạ từ A B xuống d Tính AP + BQ A 2R B R C R D 3R 7.15 Lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn ( O; R ) Khoảng cách từ O đến cạnh lục giác A R B R C 2R D R 193 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 7.16 Tam giác MNP nội tiếp đường tròn ( O; R ) PO cắt MN ( O ) E F ( F ≠ P ) Tính tỉ số A C B D 7.17 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) E tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, AE cắt ( O ) K Tính tỉ số A B KC KE C D  Khi tứ giác ABD = BDC 7.18 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) thỏa mãn  ABCD A Hình bình B Hình thoi C Hình chữ nhật hành D Hình thang cân 7.19 Đường trịn tâm O đường kính 30cm Độ dài dây AB 18cm khoảng cách từ O đến đường thẳng AB A 12cm B 11cm C 9cm D 13cm 7.20 Từ điểm A ngồi đường trịn ( O ) kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn, đoạn AO cắt đường tròn I Gọi x, y, z khoảng cách từ I đến cạnh AB, BC, CA Khẳng định z A x < y = z B y < x = C z < x < y D x= y= z 7.21 Cho đường trịn ( O ) bán kính 50cm Các dây cung AB, CD song song với = cm, CD 96cm khoảng cách hai dây điểm O nằm tứ giác ABDC = Nếu AB 80 AB CD A 40cm B 42cm C 44cm D 46cm cm, MP 12 = cm, NP 20cm Tính bán kính đường trịn 7.22 Cho tam giác MNP= có MN 16= nội tiếp tam giác MNP A 3cm B 4cm C 5cm D 6cm 7.23 Cho tam giác ABC vng A, BC = 40cm, bán kính đường trịn nội tiếp 6cm Tính chu vi tam giác ABC A 92cm B 94cm C 95cm D 90cm 194 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 7.24 Cho điểm I nằm đường trịn ( O ) bán kính 10cm, OI = 6cm Dây AB qua I có độ dài nhỏ A 16cm B 14cm C 15cm D 18cm 7.25 Cho điểm I nằm đường tròn ( O;14 ) ; OI = Dây AB qua I tích IA.IB A 169 B 172 7.26 M điểm di động đường tròn (M C 156 ( O;36cm ) PQ D 160 đường kính cố định ≠ P, M ≠ Q ) Trọng tâm G tam giác MPQ chạy đường tròn cố định có bán kính A 12cm B 15cm C 11cm D 13cm 7.27 Từ điểm M đường tròn ( O ) kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Biết cung lớn AB gấp lần cung nhỏ AB Số đo góc AMB A 110° B 115° C 120° D 140° 7.28 Cho đường tròn tâm O bán kính R Khi bán kính đường trịn tăng gấp k lần diện tích hình trịn tăng lần? A k B 2k C k D k 7.29 N điểm di động nửa đường trịn đường kính AB = 24cm GTLN NA + NB A 24 3cm B 24 2cm C 36cm D 30cm 7.30 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 18cm Dây MN = 9cm song song với AB (M thuộc cung AN) Tính khoảng cách từ O đến dây AN A 4,5cm B 4cm C 5cm D 3,5cm 7.31 Cho tam giác ABC vuông A, hạ đường cao AH Đường trịn đường kính AH cắt cạnh AB, AC E, F Khẳng định sau đúng? A BCFE hình thang B BCFE hình bình hành C BCFE hình thoi D BCFE nội tiếp đường trònn 7.32 Cho tam giác ABC, đường cao AH Đường tròn tâm A bán kính HA cắt AB, AC D, E Biết  ACB= 41°, tính số đo góc ADE A 49° B 42° C 41° D 39° 195 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 7.33 Cho đường tròn ( O ) , dây AB không qua O C D điểm phaann biệt nằm A B, E điểm cung nhỏ AB, EC ED cắt ( O ) M, N Tứ giác CDMN là: A Tứ giác nội B Hình tiếp bình C Hình thang D Hình thoi hành 7.34 Tam giác ABC vuông A nội tiếp đường trịn tâm O M, N điểm cung nhỏ AB, AC MN cắt AB, AC P, Q Tỉ số A B C AP AQ D 7.35 Từ điểm M ngồi đường trịn ( O; R ) kẻ tiếp tuyến MA, MB với ( O ) Gọi I tâm dduowffng tròn nội tiếp tam giác AMB, tính khoảng cách từ I đến đường thẳng AB biết  AOB = 120° A 2R B 2R C R D R 7.36 Cho đường trịn ( O ) có hai đường kính AB, CD vng góc với Từ điểm M thuộc cung nhỏ AC kẻ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến cắt CD K Khẳng định sau đúng?   = MAB A MKD  = MAB  B MKD  = MAB  C MKD  = MAB  D MKD 7.37 Từ điểm K ngồi đường trịn ( O ) kẻ tiếp tuyến KA với cát tuyến KBC Tia phân giác góc BAC cắt BC E Biết  AKB= 50°, tính số đo góc KEA A 65° B 67° C 63° D 70° 7.38 Cho đường trịn ( O ) , hai đường kính AB, CD vng góc với M điểm thuộc cung BD, tiếp tuyến M cắt AB E, CM cắt AB F Khẳng định sau đúng? A MEF vuông B MEF cân C MEF  > 90° D FME 7.39 Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp ( O; R ) Khẳng định sau đúng? A BC = R.sin A B BC = R.cos A C BC = R sin A cos A D BC = R sin A 196 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 7.40 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn ( O ) , tia phân giác góc B, C cắt I cắt ( O ) D, E Biết AE = 9cm chu vi tứ giác ADIE A 27cm B 36cm C 32cm D 38cm 7.41 M điểm thay đổi ( O; R ) , kẻ tiếp tuyến MA, MB với ( O ) , H trực tâm tâm giác MAB Diện tích tứ giác AOBH đạt giá trị lớn A R B R 2 3R C 3R D 7.42 I điểm thuộc ( O; R ) , đường tròn tâm I bán kính R cắt ( O; R ) M N Diện tích tứ giác OMIN A R B R 2 C R2 D R2 7.43 Cho C, D điểm thuộc nửa đường trịn tâm O đường kính AB M, N hình chiếu vng góc A, B lên đường thẳng CD Tính tỉ số A B C CM DN D 7.44 A điểm thuộc đường tròn tâm O đường kính BA, hạ AH vng góc với BC, đường trịn đường kính AH cắt AB, AC M, N I giao điểm AO, MN Số đo góc AIM A 85° B 90° C 95° D 100° 7.45 I điểm đường tròn ( O; R ) , kẻ tiếp tuyến IP, IQ với đường trịn Biết = 60° , tính khoảng cách từ O đến đường thẳng PQ PIQ A 2R B R C R D 2R 7.46 AB, CD đường kính đường tròn tâm O AC, AD cắt tiếp tuyến B đường tròn ( O ) P, Q Khẳng định sau đúng? A CPQD nội tiếp đường trịn B CPQD hình thang C CPQD hình thoi D CPQD có góc đối 7.47 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn ( O ) M điểm thuộc cung AC, tia AM cắt đường thẳng BC D Khẳng định sau đúng? 197 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ABM =  ACM <  ADC A  ABM =  ACM >  ADC B   ABM <  ACM = ADC C  ABM =  ACM =  ADC D  7.48 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao AM, BN cắt ( O ) P, Q Tỉ số A CP CQ B C D 7.49 Cho đoạn thẳng AB = 2a O trung điểm AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax, By vng góc với AB Đường thẳng d thay đổi cắt Ax, By P, Q cho AP.BQ = a Khoảng cách từ O đến đường thẳng d A a B 3a C 2a D 4a 7.50 Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính 18cm M điểm di động cung nhỏ AC Giá trị lớn MA + MC là: A 38cm B 40cm C 36cm D 37cm 7.51 Cho tam giác ABC nội tiếp ( O; R ) I điểm di động cung nhỏ AB, P Q hình chiếu vng góc I lên tiếp tuyến A, B Tìm giá trị lớn tích IP.IQ A R2 B R2 C R2 D 2R2 7.52 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( O ) bán kính 32cm, E điểm di động cung nhỏ BC, AE cắt BC F Tìm giá trị lớn độ dài đoạn EF A 15cm B 16cm C 17cm D 18cm  7.53 Cho hình thoi MNPQ có NMQ = 120°, E , F thuộc cạnh PN, PQ cho = 30° Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MEF, số đo góc MOP EMF A 160° B 170° C 175° D 180° 7.54 Cho điểm M nằm góc xOy, H, K hình chiếu vng góc M lên cạnh = Ox, Oy Biết xOy 45°, OM = 26cm độ dài đoạn HK A 13 3cm B 18cm C 13 2cm D 15cm 198 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 7.55 Cho tam giác ABC đều, O tâm đường tròn ngoại tiếp M, N điểm di động cạnh AB, AC cho AM = CN Tính tỉ số AM để đường trịn ngoại tiếp tam AB giác OMN có chu vi nhỏ A B C D 7.56 Cho tam giác ABC cạnh a, P, Q, K điểm chuyển động cạnh = BQ = CK Tính tỉ số AB, BC, CA cho AP AP cho bán kính đường trịn ngoại tiếp AB tam giác APK nhỏ A B C D 7.57 E, F điểm thuộc cạnh PQ, PN hình vng MNPQ cho = 45°.ME , MF cắt NQ tương ứng J, I Khi tứ giác EFIJ EMF A Hình thang B Hình bình C Hình chữ nhật hành D Tứ giác nội tiếp 7.58 Cho tam giác MNP vng M, đường trịn đường kính MN cắt NP K ( K ≠ N ) Gọi r1 , r2 , r3 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác MNP, MNK, MPK Khẳng định sau đúng? A r1= r2 + r3 B r1= r22 + r32 C r1= r23 + r33 D r12 > r22 + r32 7.59 Cho tam giác MNP vuông M, = MN a= 3, MP 2a.I điểm chuyển động đường trịn đường kính MN Từ trung điểm E PI kẻ đường song song với MI, cắt NI F Khi F chuyển động đường trịn cố định có bán kính A a B a C 2a D a 7.60 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R = 13cm D điểm thuộc cung nhỏ BC Hạ DM, DN vng góc với AB, AC Độ dài AD để MN đạt GTLN A 24cm B 25cm C 26cm D 28cm 199 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 7.61 Cho tam giác ABC cạnh a, M, N, P điểm di động cạnh = BN = CP Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP đạt AB, BC, CA cho AM GTNN A a B a C a D 2a 7.62 Cho tam giác MNP vng M có I tâm đường tròn nội tiếp Đường thẳng d thay đổi qua I cắt cạnh MN, MP tương ứng E, F Để diện tích đạt giá trị nhỏ A B C D ME MF 7.63 Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 12cm Kẻ đường kính AB, CD AC, AD cắt tiếp tuyến đường tròn kẻ từ B P, Q Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CPQ, khoảng cách từ I đến tiếp tuyến kẻ từ B A 12cm B 15cm C 10cm D 9cm 7.64 Gọi E điểm di động nửa đường trịn đường kính MN H điểm thuộc đoạn MN, đường thẳng d vng góc với MN H, EM EN cắt d P Q Gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MPQ, I thuộc B Đường thẳng cố định ⊥ MN A Đường thẳng cố định  MN C Đường tròn cố định bán kính MN D Đường trịn cố định bán kính MN 7.65 M điểm di động nửa đường trịn ( O; R ) đường kính AB Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A B E F Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác EOF, khẳng định sau đúng? A r < R B r = R C r < < R D r ≥ R 7.66 Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, M trung điểm BC, K điểm đối xứng với I qua M Biết tam giác BIK vng cân I, tính số đo góc BAC A 80° B 85° C 90° D 100° 200 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 HƯỚNG DẪN GIẢI Website: tailieumontoan.com 7.1 Đáp án A 7.2 Đáp án D 7.3 Đáp án D 7.4 Đáp án C 7.5 Đáp án B 7.6 Đáp án C 7.7 Đáp án C: Khẳng định (4) sai 7.8 Đáp án D 7.9 Đáp án C 7.10 Đáp án A 7.11 Đáp án B = 90° ⇒ PQ đường kính ( O ) 7.12 Đáp án D: PBQ 7.13 Đáp án C 7.14 Đáp án A 7.15 Đáp án B: Tam giác OAB đền cạnh R 7.16 Đáp án B 7.17 Đáp án C: Tam giác EKC cân K 7.18 Đáp án D 7.19 Đáp án A 7.20 Đáp án D: I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 7.21 Đáp án C 7.22 Đáp án B: Tam giác MNP vuông M nên 2r = MN + MP − NP = 8cm 7.23 Đáp án A 7.24 Đáp án A: Dây AB có độ dài nhỏ AB ⊥ OI = R − OI 7.25 Đáp án D: IA.IB 7.26 Đáp án A 7.27 Đáp án C 7.28 Đáp án D AB 7.29 Đáp án B: ( NA + NB ) ≤ ( NA2 + NB ) = 7.30 Đáp án A: AOMN hình thoi 201 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 7.31 Đáp án D =  ADE= BAH ACB= 41° 7.32 Đáp án C:  7.33 Đáp án A 7.34 Đáp án B: Tam giác PAQ vuông cân A = 7.35 Đáp án C: OM cắt cung AB I, có OAIB hình thoi nên d ( I , AB ) OI R = 2 7.36 Đáp án C 7.37 Đáp án A: AE cắt ( O ) F, có tam giác AKE cân K 7.38 Đáp án B: Tam giác MEF cân E 7.39 Đáp án D 7.40 Đáp án B: ADIE hình thoi AOB= 90° 7.41 Đáp án A: AOBH hình thoi, max S AOBH = R  7.42 Đáp án C 7.43 Đáp án D: Hạ OH ⊥ CD HC = HD, HM = HN ⇒ CM = DN + +  ABO  ACB= 90° ⇒ BAO AMN= 90° 7.44 Đáp án B: BAO = = , AMN  ACB mà ABO 7.45 Đáp án C 7.46 Đáp án A 7.47 Đáp án D = CH = CQ 7.48 Đáp án B: Gọi H trực tâm tam giác ABC CP 7.49 Đáp án A: Các tam giác AOP, BQO, OQP đồng dạng nên PO phân giác góc APQ = MA ⇒ AMN ⇒ MA = NA 7.50 Đáp án C: Lấy N thuộc đoan BM cho MN ⇒ ABN =  ACM ( c.g c ) ⇒ NB = MC ⇒ MA + MC = MB ≤ 36cm 7.51 Đáp án A: Hạ IH vng góc với AB Có AHIP BHIQ nội tiếp ⇒ IPH  IHQ ⇒ IP.IQ =IH ≤ R2 7.52 Đáp án B: Kẻ đường kính AK cắt BC H Có AE ≤ AK ⇔ AF + EF ≤ AH + HK 16cm Mà AH ≤ AF ⇒ EF ≤ HK = 7.53 Đáp án D: Tam giác EOF suy ta OEPF nội tiếp, mà  =FPO  ⇒ M , O, P thẳng hàng OE =OF ⇒ EPO 202 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 7.54 Đáp án A: Gọi I trung điểm OM, I tâm đường trịn ngoại tiếp OHMK Có tam giác IHK vng cân I 7.55 Đáp án A 7.56 Đáp án A: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, APOK nội tiếp đường trịn bán kính R ⇒ OA ≤ R Do R đạt giá trị nhỏ OA đường kính = IQE = 45° nên MIEQ nội tiếp ⇒ MIE = MQE = 90° ⇒ EIF = 90° 7.57 Đáp án D: IME = 90° nên nội tiếp Tương tự, EJF r3 r1 r2 = 7.58 Đáp án B: Các tam giác vuông MNP, KNM, KNP đồng dạng nên = NP MN MP r32 r2 + r32 r22 + r32 r12 r2 ⇒ = = = = NP MN MP MN + MP NP 7.59 Đáp án A: EF cắt MP K cố định nên Fi thuộc đường tròn đường kính NK 7.60 Đáp án C: AMDN nội tiếp đường trịn đường kính AD nên tâm I trung điểm AD Các tam giác MIN tạo thành đồng dạng với nên MN lớn AM lớn 7.61 Đáp án A 7.62 Đáp án C: Hạ IH ⊥ MN , IK ⊥ MP S MEF = Mặt khác 1 ( IH ME + IK MF ) = r ( ME + MF ) 2 S Do S ≥ 2r , dấu “=” xảy ME = MF ( ME + MF ) ≥ ME.MF = 7.63 Đáp án A 7.64 Đáp án B: Gọi F đối xứng với N qua H suy FMPQ nội tiếp nên I thuộc trung trực MF 7.65 Đáp án C ( )  +C = BCI ⇒1 B  = 45° ⇒  A= 90° 7.66 Đáp áp C: BICK hình bình hành ⇒ CBK 203 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com MỘT SỐ ĐỀ TOÁN DẠNG TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ĐỀ SỐ Câu 1.1 Cho P = A x4 − , có giá trị x để P = x2 + B C D Câu 1.2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x − x + 21 A 15 B 16 C 17 Câu 1.3 Cho a < 3, giá trị biểu thức P = A − a a − 6a + là: B a − C a + (x Câu 1.4 Phương trình sau có nghiệm A D 19 D − a − − 12 x + 20 ) x + 12 ( x − )( x + 1) B C =0 D Câu 1.5 Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y = x + m − qua điểm M ( 2; −5 ) A −4 B −3 D −2 C Câu 1.6 Có giá trị tham số m để hai phương trình sau có nghiệm chung (1) ( x − ) ( x − x + 31) = x − mx + m − 5m + = ( 2) A B C Câu 1.7 Tìm giá trị x cho A x ≤ B x ≥ ( x − 5) D =− 2x C x ≥ − D x ≤ 2 Tính E= x1 − x2 Câu 1.8 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x + x − = A B C D Câu 1.9 Biết phương trình x − ( m + 1) x − 2m − = có nghiệm −2 Tìm nghiệm cịn lại phương trình A −1 B Câu 1.10 Rút gọn biểu thức M = C D 54 83 87 + 83 + 87 − 83 204 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A 27 B C 18 D 21 Câu 1.11 Rút gọn biểu thức P = − − + A B C − 3 D − ( ) Tính Câu 1.12 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x − 12 x − m8 + 31 = S= x1 + x2 A −12 B 12 C D 15 Câu 1.13 Có giá trị nguyên tham số m để hệ phương trình sau có vơ số nghiệm? mx + y =  3 x + my = A B C D  x + y + = Câu 1.14 Hệ phương trình sau có nghiệm?   x − xy + y − = A B C D ax + y = −1; y = Câu 1.15 Tìm giá trị a, b để hệ phương trình  có nghiệm x = x + by = −  a 2;= b A = C a = 2; b = − −2; b = B a = −2; b = − D a = 2 ( ) m3 − 12m + 19m x − 5m + 7; d ' : y = − mx + m − 31 Câu 1.16 Cho đường thẳng d : y = Có giá trị tham số m để d song song với d ' A B C D Câu 1.17 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số sau nghịch biến  y = ( m − 4m − ) x + m + A B C D Câu 1.18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y − x + y + 15 A B C D 205 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 1.19 Cho P = 1 + + + với n ∈ , n ≥ Khẳng định sau đúng? 2 n A < P < B P = C < P < D P ≥ Câu 1.20 Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = Tính giá trị biểu thức P= A a bc + + ab + a + bc + b + ca + c + 1 B C D Câu 1.21 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Khi phương trình x + ( a + b + c ) x + ab + bc + ca = A Vơ nghiệm B Có nghiệm C Có hai nghiệm trái dấu D Có hai nghiệm dương Câu 1.22 Cho a, b, c số thực khác thỏa mãn a + b + c = Biểu thức 1 + + sau rút gọn a b c P= A 1 − + a b c B 1 + − a b c C 1 + − b c a D 1 + + a b c Câu 1.23 Có cặp số nguyên a, b để biểu thức 93 + 62 viết dạng ( a+b ) với a, b ∈  A B C D Câu 1.24 Cho số thực a b thỏa mãn a + b + ab = Tìm giá trị nhỏ P = a + b2 A B C D 10 C D Câu 1.25 Hình vng có trục đối xứng A B Câu 1.26 Cho tứ giác ABCD M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình vng B Hình thoi C Hình chữ nhật D Hình bình hành 206 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 1.27 Cho điểm I nằm đường tròn tâm O, bán kính 5cm Đường thẳng d thay đổi qua I, cắt đường tròn M N Độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ biết OI = 3cm A 7cm B 8,5cm C 8cm D 9cm Câu 1.28 Từ điểm M đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn Biết tam giác MPQ PQ = 15 3cm Đường kính đường trịn cm? A 30 B 30 C 45 D 25 = P sin α + cos α sau biến đổi Câu 1.29 Biểu thức 2 A − 3sin α cos α 2 B − 2sin α cos α 2 C − sin α cos α 2 D − 2sin α cos α AB AC = = , BH 3cm Tính Câu 1.30 Cho tam giác ABC,  A= 90°, kẻ đường cao AH Biết độ dài BC A 10cm B 11cm C 12cm D 15cm Câu 1.31 M điểm di động nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = R Hạ MH vng góc với AB Diện tích tam giác MOH đạt giá trị lớn bao nhiêu? A R2 B R2 C R2 D R2 Câu 1.32 C điểm nửa đường trịn đường kính AB M điểm thuộc cung  BC, hạ CH vng góc với AM Tính OHM A 125° B 135° C 145° D 160° Câu 1.33 Cho tam giác ABC cạnh 2a M, N, P điểm di động cạnh AB, BC, CA Tính giá trị nhỏ S = MA2 + MB + NB + NC + PC + PA2 A 4a B 5a C 6a D 8a 207 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ĐỀ SỐ Câu 2.1 Có giá trị nguyên x để P = A nhận giá trị nguyên x−2 B Câu 2.2 Biểu thức P = C D x − + 12 − x + x + có nghĩa A x ≥ B x ≤ 12 C x ≥ x ≤ −12 D ≤ x ≤ 12 ( Câu 2.3 Rút gọn biểu thức M= A ) +1 + B ( 1− ) C 3 D có nghiệm x = 1, nghiệm cịn lại Câu 2.4 Phương trình x − x + m = A −3 B −2 C D − m Câu 2.5 Có giá trị tham số m để đường thẳng d : y = 13 x + m − 8m + 20 qua điểm M ( 0;5 ) A B C D Câu 2.6 Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx + cx + d Nếu= f ( ) 3,= f ( ) 2a + b có giá trị A C B Câu 2.7 Cho x < 11, rút gọn biểu thức = P A ( x − 11) 3−c D 1− c 121 − 22 x + x + x − 11 B (11 − x ) C 22 D 0 Câu 2.8 Phương trình sau có nghiệm? x + 321x − 322 = A B C D Câu 2.9 Tìm giá trị tham số m để phương trình x − x + 3m − =0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 + 22 = 10 A − B − C D 11  x + my = Câu 2.10 Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm  5 x − y =m + 208 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A m ≠ B m ≠ − C m ≠ − D m ≠ −  x = y Câu 2.11 Hệ phương trình sau có nghiệm   y = x A B C D  x + y + = Câu 2.12 Hệ phương trình sau có nghiệm  2  x y + xy − x = A B Câu 2.13 Cho hàm số 𝐷 (𝑥) = � A Hàm số đồng biến  C Hàm số không đổi  C D 𝑛ế𝑢 𝑥 ℎữ𝑢 𝑡ỷ Khẳng định sau đúng? 𝑛ế𝑢 𝑥 𝑣ô 𝑡ỷ B Hàm số nghịch biến  D Các khẳng định A, B, C sai Câu 2.14 Phương trình đường thẳng qua điểm M ( 4;0 ) , N ( 0; −3) x+4 y B = x−3 C y =− − y D = x−3 y A =  x + 7, x ≤ Câu 2.15 Tìm giá trị nhỏ hàm số y =  3 x + 8, x > A B Câu 2.16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = A B Câu 2.17 Tìm giá trị lớn biểu thức M = A B C ( x − 2) D + C ( x − 3) D 16 x − x + 17 C D Câu 2.18 Kí hiệu x ∴ y tổng số tự nhiên nằm khoảng ( x; y ) Ví dụ ∴ = + + Tính ( ∴ 2171) − ( ∴ 2169 ) A 4346 B 4347 C 4348 D 4350 Câu 2.19 x0 = 20 + 14 + 20 − 14 nghiệm phương trình đây? 209 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A x − x = B x − x + = C x − x = D x + x = 2 Câu 2.20 Gọi P giá trị lớn biểu thức 2x Khẳng định đúng? x +1 A ≤ P < B −1 ≤ P < C < P ≤ 15 D P < Câu 2.21 Cho a, b, c số 4a + 2b + 2c − 4ab + 2bc − 4ac − 2b +2c + = P = ( a + 1) + ( b − ) 30 100 + ( c + 1) A thực Tính mãn thỏa giá điểu trị biểu kiện thức 30 B C 30 D 64 Câu 2.22 Phương trình x3 + y = x + y + 16 có nghiệm nguyên? A B C D 2  x + y = Câu 2.23 Hệ phương trình sau có nghiệm  x+3= y y− x  ( A B )( x C + + y2 ) D có nghiệm Câu 2.24 Phương trình x + x + = A B C D Câu 2.25 Tổng góc ngũ giác lồi độ? A 380° B 420° C 524° D 540° Câu 2.26 M điểm thuộc cạnh CD hình bình hành ABCD Tính tỉ số diện tích tam giác MAB hình bình hành ABCD A B C D P sin 2° + sin 4° + + sin 88° Câu 2.27 Tính= A 16 B 18 C 20 D 22 Câu 2.28 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, gọi S diện tích tam giác ABC, A S = AB AC.sin A C S = AB AC.sin A B S = AB AC.cos A = S D ( AB + AC ) sin A 210 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 2.29 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, hạ OH, OK, OM vng góc với cạnh CA, BC, AB Biết OH < OK < OM Khẳng định đúng?  b, c > d a + c > b + d B Nếu a > b, c > d a − c > b − d C Nếu a > b, c > d a.c > b.d D Nếu a > b ac > bc Câu 4.17 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x − x + 17 với x ≥ A 16 B 18 C 20 D 21 Câu 4.18 Cho a,b số thực thay đổi thỏa mãn a + b = Giá trị nhỏ a + b A B C D 12, ab đạt giá trị lớn bao Câu 4.19 Cho a,b số không âm thỏa mãn a + b = nhiêu? A 18 B 30 C 36 Câu 4.20 a,b,c độ dài ba cạnh tam giác P = D 60 a b c Khẳng định + + b+c c+a a+b đúng? A < P < B < P < C P = ( Câu 4.21 a b số thực thỏa mãn a + + a A −1 C B ( Câu 4.22 Rút gọn biểu thức M =3 − + A B )(b + )( D P > ) + b2 = Tính S= a + b 10 − D ) C D  x + y + z = (1) Câu 4.23 Hệ phương trình sau có nghiệm  3( 2)  xy + yz + xz = A B Câu 4.24 Phương trình x − x + A B C D − =0 có nghiệm dương? 2x C D Câu 4.25 Một ngũ giác lồi có đường chéo A B C D 219 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 4.26 Nếu độ dài cạnh có tam giác tăng lên gấp lần diện tích tam giác tăng lên lần? A B C 16 D 32 Câu 4.27 Rút gọn biểu thức S = sin α + 4cos α + cos α + 4sin α A B C D Câu 4.28 Cho tam giác ABC nhọn, kẻ đường cao AD, BE, CF Tính tỉ số P= A AB AC.BC.sin A.sin B.sin C AD.BE.CF B C D Câu 4.29 Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 24, C điểm thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến C cắt tiếp tuyến A B E F Tính AE.BF A 136 B 142 C 145 D 144 Câu 4.30 Hai đường tròn ( O ) , ( O ') cắt A B (hình vẽ) Tính độ dài OO ' biết OA = 13cm, O ' A = 15cm, AB = 24cm A 12cm B 14cm C 15cm D 16cm Câu 4.31 Cho đường trịn tâm O bán kính R Đường thẳng d thay đổi cắt ( O; R ) A B Diện tích tam giác AOB đạt giá trị lớn bao nhiêu? A R2 B R2 C R2 D R2 Câu 4.32 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AK, BM, CN cắt H E, F trung điểm AH BC Khẳng định đúng? A Tứ giác MENF nội tiếp đường tròn B Tứ giác MENF hình bình hành C Tứ giác MENF hình thoi 220 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com D Tứ giác MENF hình chữ nhật Câu 4.33 M điểm dị động nửa đường trịn đường kính AB = R Tìm GTLN MA + MB A 3R B R C 3R D 2R 221 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ĐỀ SỐ Câu 5.1 x = không thuộc tập xác định biểu thức đây? 4x − A B x2 − 2x + C 5x x + x−6 B ( a − 1) x2 + x+2 D Câu 5.2 Khẳng định đúng? A ( a − 1) a +1 = a −1 ( a − 1)( a + 1) D ( x + 1) a + b = a+b C Câu 5.3 Có giá trị nguyên x để P = A 2 B =a − x2 − = x4 − x +1 6x + nhận giá trị nguyên? 2x −1 C D Câu 5.4 Giá trị nhỏ biểu thức x + y − x + y + 10 bao nhiêu? A B C D Câu 5.5 Hàm số đồng biến  ? A y = x B y − x + C y =( m + 3) x + D y = m − 2m + x − 21 ( ) Câu 5.6 Biểu thức sau xác định với giá trị x A C x2 − 5x + B x − 5x + Câu 5.7 Cho biểu thức P = A < P < D ( x − 1) ( x + 3) x −1 1 Khẳng định đúng? + + + 2 1002 B P = Câu 5.8 Tìm tất giá trị x thỏa mãn A x > x2 − 4x + B x ≥ C < P < D P ≥ x2 − 6x + = − x C x = D x ≤ Câu 5.9 Với n số nguyên dương, kí hiệu n ! = 1.2.3 n Rút gọn biểu thức ( n!) ( n + 1)! 222 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A n +1 C n + 3n + 3n + B n + 2n + D n n +1 Câu 5.10 Phân tích P = x5 + x + thành nhân tử ta A P= (x − x + 1)( x3 + x + 1) B P= (x − x + 1)( x3 − x + 1) C P= (x + x + 1)( x3 − x + 1) D P= (x + x + 1)( x3 + x + 1) Câu 5.11 Rút gọn biểu thức M = 17 − 33 17 + 33 A 16 B 17 C 18 ( D 19 ) (1) Khẳng định đúng? Câu 5.12 Cho phương trình x + x − m + 217 = A (1) vơ nghiệm B (1) có hai nghiệm trái dấu C (1) có hai nghiệm dương D (1) có hai nghiệm âm ( ) ( ) Tìm giá Câu 5.13 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − m + x − m + 341 = trị nhỏ S= x1 + x2 A B C D Câu 5.14 Cho phương trình ax + bx + c= ( a ≠ ) Khẳng định SAI? A Nếu a + b + c = x = nghiệm phương trình B Nếu 4a + 2b + c = x = nghiệm phương trình C Nếu − a + b − c = x = −1 nghiệm phương trình D Nếu 4a − 2b − c = x = −2 nghiệm phương trình + b (1) ; x + bx= + a ( ) Khẳng định sau Câu 5.15 Cho phương trình x + ax= ln với số thực a,b thỏa mãn điều kiện 1 + = a b A (1) (2) vơ nghiệm B Ít hai phương trình có nghiệm C (1) có nghiệm, (2) vơ nghiệm D (1) vơ nghiệm, (2) có nghiệm Câu 5.16 Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có tập nghiệm 223 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 11 3 x + y = x − y = ( II )  x + y = 2 x + my = (I ) A m = B m = −2 C m = −3 D m = Câu 5.17 Hàm số có đồ thị hình vẽ? A y = − x + x+2 B y = x + x − C y = x − x − D y = x + x + Câu 5.18 Có giá trị tham số m để hai đường thẳng d , d ' song song d : y= (m ( 7m − 1) x + m − 3; d ' : y= A + ) x − m4 + B C D Câu 5.19 Cho a,b,c,d số dương thay đổi Đặt x = 2a + b − cd , y = 2c + d − ab Khẳng định sau đúng? A x < 0; y < B x > 0; y > C x y có số dương D x < < y = P Câu 5.20 Cho biểu thức A P < 1 + + + Khẳng định đúng? 1+ 3+ 439 + 440 B P = 10 C P > 10 D ≤ P ≤ 10 Câu 5.21 m tham số thay đổi, nghiệm lớn phương trình sau đạt bao nhiêu? x + x + ( m + 1) x + m + 4m + = A B C D 224 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com x + y = z2  Câu 5.22 Hệ phương trình sau có nghiệm dương?  y + z = x2 x + z = y2  A B Câu 5.23 Cho đường thẳng d : y = C ( 3m + ) x + m2 − 6m + 15 D Gọi M ( 0; b ) điểm trục Oy mà đường thẳng d khơng thể qua Khi A b < B b ≥ C −6 < b < D b ≥ −6 Câu 5.24 Cho a b số tự nhiên thay đổi thỏa mãn a + b = 21 Tìm giá trị lớn P = ab A 108 B 110 C 121 D 132 Câu 5.25 Một hình chữ nhật có chu vi 76m, chiều dài chiều rộng 2m diện tích hình chữ nhật bao nhiêu? A 357m B 366m C 360m D 372m Câu 5.26 Từ trọng tâm G tam giác ABC, kẻ đường song song với AB cắt BC D Tính tỉ số BD BC A B C D Câu 5.27 Cho tam giác ABC,  A= 90° , kẻ đường cao AH Tính độ dài đoạn CH biết AB = AH 6= cm, AC A 12cm B 14cm C 16cm D 20cm Câu 5.28 Tìm giá trị lớn biểu thức = M 3sin α + 4cos α A B C D Câu 5.29 Khẳng định đúng? A Hình thang nội tiếp đường trịn B Hình thang cân nội tiếp đường trịn C Hình bình hành nội tiếp đường trịn D Hình thoi nội tiếp đường tròn 225 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com = 60°.M , N Câu 5.30 Cho AB, AC hai dây đường tròn tâm O cho BAC điểm cung nhỏ AB, AC Đường thẳng MN cắt AB, AC E F Khẳng định đúng? A  AEF B  AEF vuông cân C  AEF có góc 30° D  AEF có góc lớn 60° Câu 5.31 Tam giác ABC ngoại tiếp đường trịn bán kính 1cm Diện tích tam giác ABC cm ? A B C D 3 Câu 5.32 Cho ba hình vng xếp cạnh (hình vẽ) Tính  ANB +  AQB A 40° B 45° C 50° D 60° Câu 5.33 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O N,M,P điểm di động cạnh AB,BC,CA cho = BM BN = , CM CP Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ONP Tỉ số A OA đạt giá trị lớn bao nhiêu? R B C D 226 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ Câu 1.1 P = x − =0 ⇔ x =±1 Đáp án C Câu 1.2 M = ( x − x + ) + 17 = ( x − ) + 17 ≥ 17 ⇒ M = 17 x = Đáp án C Câu 1.3 P = ( a − 3) =a − a < nên P= − a Đáp án A  x − 12 x + 20 = ⇒x= 10 Đáp án B Câu 1.4 Phương trình tương đương với  ( x − )( x + 1) ≠ Câu 1.5 Đường thẳng d qua điểm M −5 =4 + m − ⇔ m =−2 Đáp án D x = , thay Câu 1.6 Phương trình (1) có nghiệm x=2 vào (2) ta m − m + 12 =0 ⇒ m =3; m =4 Đáp án B Câu 1.7 Từ giả thiết ta có x − = − x ⇒ x − ≤ ⇒ x ≤ Đáp án D Câu 1.8 • Cách 1: ∆ ' =6 nên phương trình có nghiệm x =−1 ± ⇒ E =2 • Cách 2: E =( x1 + x2 ) − x1 x2 =4 + 20 =24 ⇒ E =2 với x1 + x2 = −1, x1 x2 = −5 Câu 1.9 • Cách 1: Thay x = −2 vào phương trình cho ta m = −2 Khi phương trình x = trở thành x + x =0 ⇒  Đáp án B = − x  • Cách 2: Gọi a nghiệm lại phương trình cho Theo định lí Vi-ét ta có a ( −2 ) = −2m − Giải hệ phương trình ta a = 0, m = −2  a − 2= ( m + 1) Câu 1.10 M = 54 83 ( 83 + ) + ( = 83 − ) 54 83 54 83 = = 27 Đáp án A 83 + + 83 − 2 83 Câu 1.11 • Cách 1: 227 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 2P = − − + = ( ) −1 − ( ) +1 = − − − =−2 ⇒P= − Đáp án D • Cách 2: P = − + + − ( − )( + ) = Mặt khác, P < ⇒ P =− ( ) Câu 1.12 Do − m8 + 31 trái dấu nên phương trình có hai nghiệm trái dấu S = x1 + x2 =12 Đáp án B Câu 1.13 m = hệ có vơ số nghiệm Đáp án A Câu 1.14 Do x + y + = vơ lí nên hệ cho vô nghiệm Đáp án D − a + =4 Câu 1.15 Thay x = 2, b = ⇒a= − −1, y = vào hệ phương trình ta  −1 + 2b =−2 Đáp án C −m −5m + ≠ m − 31 ⇒ m ∈ {0;2;10} Đáp án C Câu 1.16 Ta cần có m3 − 12m + 19m = Câu 1.17 Hàm số nghịch biến  m − 4m − < ⇔ −1 < m < ⇒ m ∈ {0;1;2;3;4} Đáp án D Câu 1.18 P = (x − x + ) + ( y + y + 1) + = ( x − 3) + ( y + 1) + ⇒ P = x = 3, y = − Đáp án B Câu 1.19 P< 1 1 1   1   + + + =  −  +  −  + +  −  ⇒ o < P < − < 1.2 2.3 n ( n − 1) n      n −1 n  Đáp án A a a  =  ab + a + ab + a +  abc  bc Câu 1.20.= Cộng vế ta P = Đáp án B =  bc + b + abc + ab + a + ab + a  ab ab  = = 1 + ac + c ab + ac.ab + abc ab + a +  228 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 1.21 ∆= a + b + c − ( ab + bc + ca ) Ta có a < b + c ⇒ a < ab + ac, tương tự 2 b < ab + bc, c < ac + bc Do ∆ < Đáp án A 1 1  1 1 1  Câu 1.22  + +  = + + +  + +  = + + + (a + b + c) a b c b c abc a b c  ab bc ca  a = 1 1 1 + + ⇒ P = + + Đáp án D a b c a b c ( Câu 1.23 Giả sử 93 + 62 = a + b ) a + 3b = 93 =a + 3b + 3ab ⇒  2ab = 62 = 31 ⇒ a, b lẻ, a + 3b số chẵn, trái với Từ phương trình thứ hai ta có ab phương trình thứ Vậy khơng tồn số nguyên a,b thỏa mãn đề Đáp án A Câu 1.24 ( a − )2 ≥  a + ≥ 4a   2  ⇒ 3P ≥ ( a + b + ab ) − = 24 ⇒ P = ( b − ) ≥ ⇒ b + ≥ 4b   2 2 ( a − b ) ≥ 2a + 2b ≥ 4ab a= b= Đáp án C Câu 1.25 Đáp án D Câu 1.26 Dễ dàng chứng minh MNPQ hình bình hành Tứ giác ABCD khơng có thêm điều kiện khác MNPQ khơng thể hình chữ nhật, hình thoi hình vng Đáp án D Câu 1.27 Hạ OH ⊥ d ⇒ OH ≤ OI , OH đạt giá trị lớn OI d ⊥ OI Khi IN = 4cm nên MN = 8cm Đáp án C Câu 1.28 Xét tam giác OPM = , OP MP= tan 30° 15 ( cm ) Do đường kính đường tròn 30cm Đáp án A Câu 1.29 P = ( sin α + 2sin α cos α + cos α ) − 2sin α cos α = ( sin α + cos α ) − 2sin α cos α = − 2sin α cos α Đáp án B Câu 1.30 Ta có  AB  BH BC BH AB = BH BC , AC = CH BC ⇒ =  = = =  AC  CH BC CH CH 2 ⇒ CH = 9cm, BC = 12cm Đáp án C Câu 1.31 Đặt OH= x ( < x < R ) , MH= R2 − x2 229 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com = Ta có SOMH 1 2 x +R −x R x R −= x2 x ( R − x2 ) ≤ = 2 4 2 2 R2 Diện tích tam giác MOH đạt giá trị lớn MOH tam giác vuông cân Đáp án A Câu 1.32 Dễ dàng chứng minh tam giác CHM vuông cân H, HM = HC 360° − 90°   Suy OHM =OHC ( c.c.c ) Vậy OHM = OHC = = 135° Đáp án B Câu 1.33 Ta có 4a =AB =( MA + MB ) ≤ ( MA2 + MB ) ( ) ( ) 6a M,N,P Tương tự, 4a ≤ NB + NC , 4a ≤ PA2 + PB ⇒ S ≥ 6a ⇒ S = trung điểm cạnh AB,BC,CA Đáp án C 230 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ĐỀ SỐ Website: tailieumontoan.com Câu 2.1 P nhận giá trị nguyên chia hết cho x − ⇒ ( x − ) ∈ {±1; ±5} Đáp án D x − ≥ Câu 2.2 P xác định  ⇔ ≤ x ≤ 12 Đáp án D − ≥ x 12  Câu 2.3 M = +1 + 1− = + − + = Đáp án B Câu 2.4 Theo định lí Vi-ét ta có x1 + x2 = 3, x1 =1 ⇒ x2 =2 Đáp án C m = Đáp án B Câu 2.5 d qua M = m − 8m + 20 ⇔  m = Câu 2.6 Do f ( ) = ⇒ d = 3; f ( ) = 8a + 4b + 2c + = ⇒ 2a + b = Câu 2.7 P = ( x − 11) 1− c Đáp án D + x − 11 = x − 11 + x − 11 = 11 − x + x − 11 = Đáp án D t = −322 ( L ) Câu 2.8 Đặt t = x ta t + 321t − 322 = 0⇔ ⇒x= ±1 Đáp án B t =  Câu 2.9 Nếu phương trình có nghiệm x1 , x2 x1 + x2 = 2, x1 x2 = 3m − 2 Ta có ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 10 ⇔ − ( 3m − 1) = 10 ⇔ m = − Đáp án B 55 5 x + 5my = Câu 2.10  ⇒ ( 5m + 3) y =54 − m Hệ có nghiệm m ≠ − Đáp án C 5 x − y =m +  x= y= Câu 2.11 Trừ vế ta x − y = y − x ⇒ ( x − y )( x + y + 3) = ⇒   x= y= Đáp án C Câu 2.12 Dễ dàng thấy không tồn x,y thỏa mãn phương trình Do hệ vơ nghiệm Đáp án A Câu 2.13 Các khẳng định A, B, C sai Đáp án D Câu 2.14 Do d qua N ( 0; −3) nên d có dạng = y ax − Khi 0= a.4 − ⇒ a= ⇒ d : y = x − 231 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Đáp án B Câu 2.15 Hàm số nghịch biến ( −∞;0] , đồng biến ( 0; +∞ ) ⇒ y = x = Đáp án B Câu 2.16 P = x − + − x ≥ x − + − x =1 ⇒ P =1 ≤ P ≤ Đáp án C Câu 2.17 Ta có x − x + 17 = ( x − 3) + ≥ ⇒ max P = x = Đáp án B Câu 2.18 ( ∴ 2171) − ( ∴ 2169 ) = + + 2169 + 2179 = 4348 Đáp án C Câu 2.19 x0 = (2 + ) ( + 2− ) = + + − = Đáp án A 2x ⇔ yx − x += y có nghiệm x x +1 Câu 2.20 Đặt= y • y =0 ⇔ x =0 • y ≠ : ∆ ' = − y ≥ ⇒ −1 ≤ y ≤ Vậy max y= P= x = Đáp án A Câu 2.21 Từ giả thiết ta có ( 2a − b − c ) + ( b − 1) 22 −c = 2a − b= a   + ( c + 1) = ⇒ b − = ⇒ b = c + =0 c =−1   Do P = + + = Đáp án B Câu 2.22 Phương trình tương đương với ( x − 1) x ( x + 1) + ( y − 1) y ( y + 1) = 16 Khi x, y ∈  vế trái chia hết cho 3, vế phải không chia hết phương trình khơng có nghiệm ngun Đáp án A Câu 2.23 Điều kiện x ≥ 0, y ≥ Từ phương trình thứ hai ta chứng minh x = y Thay vào phương trình thứ ta x= y= Đáp án A ( ) ( ) x x3 + + ≥ ( −2 )( −7 ) + > Phương Câu 2.24 x = − x + ≤ −2, x + x + = trình vơ nghiệm Đáp án A Câu 2.25 Đa giác lồi n cạnh có tổng góc ( n − )180° Đáp án D Câu 2.26 Hạ MH vng góc AB Tam giác MAB hình bình hành ABCD có đường cao MH cạnh đáy AB, tỉ số diện tích 2P Câu 2.27.= ( sin Đáp án C 2° + sin 88° ) + ( sin 4° + sin 86° ) + + ( sin 88° + sin 2° ) 232 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ( sin = Website: tailieumontoan.com 2° + cos 2° ) + ( sin 4° + cos 4° ) + + ( sin 88° + cos 88° ) = + + + = 44 2 2 Vậy P = 22 Đáp án D Câu 2.28 Kẻ BH vng góc AC.= Ta có S 1 = AC.BH AB AC.sin A Đáp án A 2  BC > AB ⇒ C A< B   ,  Câu 2.30 Dễ thấy  AMO = OMB = BMC AMC= 3. AMO= 93° Đáp án D Câu 2.31 Đặt AM= x ( < x < a ) Các tam giác AMP, BNM, CPN có diện tích x ( a − x ) sin = 60° Mặt khác, x ( a − x ) x (a − x) ≤ x+a−x a 3 = ⇒ x (a − x) ≤ a Từ suy diện tích tam giác 2 16 MNP đạt giá trị nhỏ a M,N,P trung điểm cạnh AB, BC, CA Đáp án 16 D Câu 2.32 Ta chứng minh 2r1 = MA + MB − AB Tương tự ta có 2r2 = MH + AH − AM 2r3 = MH + BH − MB ⇒ ( r1 + r2 + r3 ) = MH ≤ R ⇒ max ( r1 + r2 + r3 ) = R = 18cm Đáp án B Câu 2.33 Tam giác AIB cân nên IA = IB ⇒ AID = BIC ( c.g c ) ⇒ ID = IC = Dựng điểm E ngồi hình vng cho tam giác ABE ⇒ AIE = 30°  BIE ⇒ BEI = BEI = 30° ⇒ DCI = 60° nên tam giác CDI  IBE=  IBC ( c.g c ) ⇒ BCI 2a Đáp án A Suy IC + ID = 233 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ĐỀ SỐ Website: tailieumontoan.com Câu 3.1 f ( x ) = x + x − x − 15 = x ( x + ) − ( x + ) = ( x − 3)( x + ) Đáp án B Câu 3.2 ( x − 3)( x − ) = ⇒ x = (loại) ( x − 3) ( x + ) Câu 3.3 P = (x x = Đáp án B − 1) + 11 ≥ 11 ⇒ P = 11 x = ±1 Đáp án C Câu 3.4 Giá trị nhỏ Q = −13 x − =−1 ⇔ x =6 Đáp án B Câu 3.5 M = ( ) − − 1= − − 1= − = − Đáp án A  m = −4 Câu 3.6 d qua I (1; −1) −1 =+ m − 3m − 30 ⇔ m − 3m − 28 = 0⇔ m = Đáp án C Câu 3.7 P = a− ( a − 2) = a − a − P có nghĩa a ≥ ⇔ a ≥ a ≥ a−2 ⇔  2 ≥ − + a a a 4  Đáp án D Câu 3.8 Phương trình tương đương với ( x − 1) =− x ⇔ x − =− x ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ Đáp án D Câu 3.9 Ta có M= Câu 3.10 P = + 17 + a + > += 5, N= số nguyên x +1 25 − a < ⇒ N < < M Đáp án A  x +1 = ⇔ x = Đáp án B   x + = ⇔ x = 16 x − 16 = ⇒ x ∈ {3;4} Đáp án B Câu 3.11 Điều kiện x ≥ Khi x − = Câu 3.12 ∆ ' = m + 6m − < ⇔ ( m − 1)( m − ) < ⇔ −7 < m < Đáp án D Câu 3.13 (1) có nghiệm x = x = ; (2) có nghiệm x = k x= k − Hệ có nghiệm k = k = k − = ⇔ k = k − = ⇔ k = Đáp án D Câu 3.14 Trừ vế ta ( m − ) x = 1(1) Hệ vô nghiệm (1) vô nghiệm m = Đáp án B 234 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 3.15 Đường thẳng d qqua M ( 0;6 ) , N ( 3;0 ) Do đường thẳng d ' qua −2 x + Đáp án A M ' ( 0;6 ) , N ' ( 3;0 ) ⇒ d ' : y = Câu 3.16 Dễ thấy tọa độ giao điểm d parabol M ( −2;4 ) , N ( 2;4 ) Diện tích tam giác OMN (đơn vị diện tích) Đáp án B Câu 3.17 Khẳng định D sai < mà y= ( 3) y= ( 5) Đáp án D 2500 =   Câu 3.18 3300=  5200 =  ) ( 32 ) (= ( ) = ( 27 ) ) ( 25) (= 100 100 100 100 100 100 ⇒ 5200 < 3300 < 2500 Đáp án C Câu 3.19 Phép biến đổi D sai chia sẻ hai vế bất phương trình cho x ≥ làm nghiệm x = Đáp án D Câu 3.20 Đặt f ( x ) = x + 22 + x − 1, hàm số y = f ( x ) đồng biến [1;+∞ ) f ( ) = ⇒ x = nghiệm phương trình cho Đáp án C Chú ý: Ta giải phương trình cho cách đặt a= x + 22; b= x − ≥ 0, a + b = Khi đó,  ⇒ a = 3, b = ⇒ x = a 22 b − = +  Câu 3.21 P = ab + bc + cd ≤ ( a + c )( b + d ) Mặt khác ( a + c )( b + d ) ≤ ( a + c ) + (b + d ) = a= b= 1, c= d= Đáp án B ⇒ ( a + c )( b + d ) ≤ ⇒ max P = Câu 3.22 P3 = +  368 368 368  368  +3− + 33  +  −  P ⇔ ( P − 1) ( P + P + ) = 27 27 27  27   ⇔P= Đáp án A Câu 3.23 Điều kiện x, y, z ≥ Khi đó, tồn ba số x,y,z lớn hệ vô nghiệm x= y= z= nghiệm hệ phương trình Đáp án A Câu 3.24 Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà d m ln qua Ta có x + = y0 = ( m − 1) x0 + 3m + 1∀m ⇔ ( x0 + 3) m + − x0 − y0 = 0∀m ⇔  ⇒ M ( −3;4 ) 1 − x0 − y0 = 235 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Hạ OH ⊥ d m ⇒ OH ≤ OM = Đáp án B Website: tailieumontoan.com Câu 3.25 Đáp án C: Hình bình hành hình thang có hai cạnh bên khơng hình thang cân Câu 3.26 2= sin α + cos α + 2sin α cos α = + 2sin α cos α ⇒ sin α cos α = ( sin α + cos α ) = Đáp án C Câu 3.27 Ta có tan α − sin α = sin α sin α − sin α cos α sin α − = = α sin − cos α ) ( 2 cos α cos α cos α = tan α sin= α ⇒Q Đáp án A Câu 3.28 Khẳng định D sai Vì AB CD hai đường kính khơng vng góc với nhau, đường kính AB qua trung điểm dây CD không vng góc với CD Câu 3.29 Ta có OAMB hình vng cạnh OA = 5cm ⇒ MO = 2cm.M thuộc đường trịn tâm O bán kính 2cm Đáp án B Câu 3.30 OO ' = OE + O ' F − EF = 13 + 10 − = 20 Đáp án D Câu 3.31 Gọi I trung điểm BH suy CIMK hình bình hành ⇒ CI  MK Mặt khác, I trực tâm tam giác BCM Từ suy BM ⊥ MK ⇒ BM + MK = BK = BC + CK = 64 + 25 = 89 Đáp án C 2      a + = Câu 3.32 Đặt = a tan α ⇒ P =  a +  −  − a +  − = a  a  a    2    1    =   a +  −  −  −= 1154 a     Đáp án B Câu 3.33  MA2 + MB ≤ ( MA + MB )2 = a2   2  NB + NC ≤ ( NB + NC ) =a ⇒ max S =3a M ≡ A, N ≡ B, P ≡ C Đáp án C  2 a2  PA + PB ≤ ( PA + PC ) = 236 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ĐỀ SỐ x + ≥  x ≥ −2 Câu 4.1 Biểu thức có nghĩa  Đáp án C ⇔ x −1 ≠ x ≠ Câu 4.2 M = 3+ ⇒ max M = x − = ⇔ x = Đáp án C x−3 Câu 4.3 Tập xác định Tập xác định ( a − 1)( a − ) a ≤  a ≥ a − a − a ≥ Do biến đổi làm thay đổi tập xác định Đáp án B 26 + + a > + = 8, 63 < Đáp án D Câu 4.4 M= Câu 4.5 Hàm số nghịch biến m − 8m − < ⇔ ( m + 1)( m − ) < ⇔ −1 < m < Đáp án A Câu 4.6 Phương trình tương đương với x − = x − có nghiệm x ≥ Đáp án C Câu 4.7 P = −1 3− n − n −1 + + + = −1 3− n − ( n − 1) n − Đáp án B Câu 4.8 Do + m + = m + 3;2 ( m + 1) = 2m + ⇒ m + nghiệm phương Đáp án D trình x − ( m + 3) x + 2m + = ( ) Câu 4.9 Do − m − < nên phương trình có hai nghiệm trái dấu S = x1 + x2 = m − 2m + = ( m − 1) + ≥ Đáp án B    −1   Câu 4.10 Tập nghiệm hệ phương trình  ;  ;  ;   Đáp án B  2   4   Câu 4.11 Hệ có nghiệm x = −1, y = Đáp án A m = Câu 4.12 d qua M −5 =m − 8m + 10 ⇔ m − 8m + 15 =0 ⇔  Đáp án B m = Câu 4.13 Đồ thị hàm số A cắt trục Ox ( −2;0 ) Đồ thị hàm số C, D nằm phía trục Ox Đáp án B Câu 4.14 Các khẳng định I III đúng, II IV sai Đáp án B 237 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 4.15 d qua M ( 0; −1) , N (1;1) , d ' qua M ( 0; −1) , N ' ( −1;1) nên có phương trình y = −2 x − Đáp án C Câu 4.16 Các khẳng định B, C, D sai A khẳng định Đáp án A Câu 4.17 y = ( x − 1) + 16 Do x ≥ ⇒ x − ≥ ⇒ y =20 x = Đáp án C Câu 4.18 22 ≤ (1.a + 1.b ) ≤ ( a + b ) ⇒ a + b ≥ ⇒ ( a + b ) = a= b= Đáp án B Câu 4.19 Câu 4.20 a b+c ab ≤ a+b =6 ⇒ ab ≤ 36 Dấu “=” xảy a= b= Đáp án C a a b b c c < , tương tự < , < ⇒1< P a+b+c b+c a+b+c c+a a+b+c a+b 2a 2a 2b 2c b c , < < ⇒P mà x > y ⇒ x > y hay y + z > x + z ⇒ y > x (vô lý) Chứng minh tương tự ta x= y= z > Thay vào ta x= y= z= Đáp án A Câu 5.23 Thay tọa độ M vào d ta b = m − 6m + 15 = ( m − 3) + ≥ Vậy điểm thuộc Oy mà d qua b < Đáp án A (a + b) − (a − b) ab = Câu 5.24 441 − = = 110 ⇒ max P = 110 hai số tự nhiên 10 11.Đáp án B Câu 5.25 Dễ dang tìm chiều dài chiều rộng hình chữ nhật 20m 18m Diện tích hình chữ nhật 360cm Đáp án C Câu 5.26 Gọi M trung điểm BC Ta có BD BD =⇒ = Đáp án D BM BC 3 AB AH Câu 5.27  AHB CHA ⇒ = = ⇒ CH= 16 ( cm ) Đáp án C AC CH Câu 5.28 M = ( 3sin α + 4cos α ) ≤ ( 32 + 42 )( sin α + cos α ) ⇒ M ≤ 25.1 = 25 ⇒ M ≤ sin α cos α ⇒ max M = = Câu 5.29 Đáp án B hình thang cân có tổng hai góc đối đỉnh 180° Câu 5.30 Dễ dàng chứng minh tam giác AEF Đáp án A Câu 5.31 Xét  AOM , AM= OM cot 30= ° = ⇒ S ABC= ⇒ AC ° 3 ( cm ) AB AC.sin 60= Đáp án D Câu 5.32 Lấy K cho A trung điểm BK  BCK=  PQC ⇒ CK= QC  = PCD  BKC  + PCQ = 90° ⇒ KCQ vuông cân ⇒  + ⇒ BCK ANB +  AQB = CQD AQK =° 45 Đáp án B 242 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 5.33 Dễ dàng chứng minh  BON = BOM  + CPO  COM =COP ⇒ BNO  + CMO   = BMO = 180° ⇒  ANO + APO = 180° ⇒ ◊ANOP nội tiếp đường trịn bán kính R ⇒ OA ≤ R ⇔ OA ≤2 R Dấu “=” xảy N,M,P chân đường vng góc hạ từ O xuống AB, BC, AC Đáp án C 243 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038