đây là file ôn tập chương 4 nội suy và sấp xỉ hàm của khoa công nghệ ô tô. ile bài học này cung cấp kiến thức bao gồm tất cả những lưu ý cần ôn tập khi học bộ môn sấp xỉ hàm cũng như củng cố kiến thức chương số 4.
Chương NỘI SUY VÀ SẤP XỈ HÀM 4.1 Đặt vấn đề Trong thực hành, thường gặp hàm số y = f (x) mà biểu thức giải tích cụ thể f chúng Thơng thường, ta biết giá trị 𝑦0 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 hàm số điểm khác 𝑥𝟎 , 𝑥𝟏 , … , 𝑥𝑛 [a, b] Khi sử dụng hàm trên, nhiều ta cần biết giá trị chúng điểm không trùng với 𝑥𝑖 , (𝑖 = 1,2, … , 𝑚) Để làm điều đó, ta phải xây dựng đa thức 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 Thoả mãn 𝑃𝑛 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 , (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) 4.2 Đa thức nội suy Xét hàm 𝑦 = 𝑓 𝑥 cho dạng bảng số 𝑥 𝑥𝟎 𝑥𝟏 𝑥𝟐 … 𝑥𝑛 𝑦 𝑦0 𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑛 • Các giá trị 𝑥𝑖 , 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 xắp xếp theo thứ tự tăng dần gọi điểm nút nội suy • Các giá trị 𝑦𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 giá trị cho trước hàm 𝑥𝑖 ▪ Bài toán: Xây dựng đa thức 𝑃𝑛 𝑥 bậc ≤ 𝑛 thoả điều kiện 𝑃 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 , 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 Đa thức gọi đa thức nội suy hàm 𝒇 𝒙 ▪ Về mặt hình học: Tìm đường cong 𝑦 = 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 qua điểm 𝑀𝑖 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 biết trước đường cong 𝑦 = 𝑓 𝑥 4.3 Đa thức nội suy Lagrange Giả sử có bảng nội suy hàm 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 … 𝑥𝑛 … 𝑦𝑛 Ta xây dựng đa thức nội suy hàm 𝑓 𝑥 đoạn 𝑥0 , 𝑥𝑛 sau: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange • Đặt 𝑝𝑛𝑘 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 … 𝑥 − 𝑥𝑘−1 𝑥 − 𝑥𝑘+1 … 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 = 𝑥𝑘 − 𝑥0 𝑥𝑘 − 𝑥1 … 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘+1 … 𝑥𝑘 − 𝑥𝑛 Chú ý: 𝑝𝑛𝑘 𝑥𝑘 = 1; 𝑝𝑛𝑘 𝑥i = 0, (𝑖 ≠ 𝑘) • Đa thức: 𝑛 𝐿𝑛 𝑥 = 𝑝𝑛𝑘 𝑥 𝑦𝑘 𝑘=0 gọi đa thức nội suy Lagrange hàm 𝑓 Ví dụ 4.1 Cho hàm f bảng số 𝑥 𝑦 1 −1 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange tính gần f (2) Giải Ta có n = 2, tính: 𝑝𝑛0 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 𝑥−1 𝑥−3 𝑥 = = = 𝑥−1 𝑥−3 𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 − 𝑥2 0−1 0−3 𝑝𝑛1 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥2 𝑥−0 𝑥−3 −1 𝑥 = = = 𝑥 𝑥−3 𝑥1 − 𝑥0 𝑥1 − 𝑥2 1−0 1−3 𝑝𝑛2 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥−0 𝑥−1 𝑥 = = = 𝑥 𝑥−1 𝑥2 − 𝑥0 𝑥2 − 𝑥1 3−0 3−1 • Do đó, đa thức nội suy Lagrange là: 𝐿𝑛 𝑥 = 𝑝𝑛0 𝑥 𝑦0 + 𝑝𝑛1 𝑥 𝑦1 + 𝑝𝑛2 𝑥 𝑦2 −1 = 𝑥 − 𝑥 − + 𝑥 𝑥 − −1 + 𝑥 𝑥 − 1 = 𝑥−1 𝑥−3 + 𝑥 𝑥−3 + 𝑥 𝑥−1 3 19 = 𝑥 − 𝑥+1 6 • Đa thức nội suy Lagrange parabol: 19 𝑦 = 𝑥 − 𝑥+1 6 Đi qua điểm 0,1 ; 1, −1 ; 3,2 • Tính gần đúng: 𝑓 : 𝑓 ≈ 𝐿𝑛 = −2 ▪ Lập bảng nội suy Ayken để tìm đa thức nội suy Lagrange • Từ bảng nội suy 𝑥 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 … … 𝑥𝑛 𝑦𝑛 • Lập bảng tính 𝑥 𝑥0 𝑥1 … 𝑥𝑛 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 𝑥1 − 𝑥0 … 𝑥𝑛 − 𝑥0 𝑥1 𝑥0 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥1 … 𝑥𝑛 − 𝑥1 • Đa thức Lagrange: … … … … … 𝑥𝑛 𝑥0 − 𝑥𝑛 𝐷0 = 𝑥 − 𝑥0 𝑥0 − 𝑥1 … 𝑥0 − 𝑥𝑛 𝑥1 − 𝑥𝑛 𝐷1 = 𝑥1 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 … 𝑥1 − 𝑥𝑛 … 𝑥 − 𝑥𝑛 𝐷𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑥0 𝑥𝑛 − 𝑥1 … 𝑥 − 𝑥𝑛 𝜔 𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 … 𝑥 − 𝑥𝑛 𝐿𝑛 𝑥 = 𝜔 𝑥 𝑦0 𝑦1 𝑦𝑛 + +⋯+ 𝐷0 𝐷1 𝐷𝑛 Ví dụ 4.3 Cho bảng nội suy hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑦 1 −1 Tính gần 𝑓 ? Giải Lập bảng tính: 𝑥=2 2−0=2 −1 2−1=1 3 −3 −4 −2 −3 2−3 = −1 −1 − = −2 1 −1 Vậy 𝑓 ≈ 𝐿3 = + + + =2 −24 6 −24 𝐷0 = −24 𝐷1 = 𝐷2 = 𝐷3 = −24 𝜔 =4