Cđ4 các bài toán chia hết 3

CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bài 1: Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 36 chữ số tỉ lệ với 1; 2;3 Lời giải a b c   a , b , c Gọi ba chữ số số phải tìm ta có: a b c a b c    (*) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta Do số phải tìm chia hết cho 36 nên số chia hết cho suy a  b  c chia hết cho Mà a, b, c chữ số có chữ số khác nên a  b  c nhận ba giá trị 9;18; 27 Nếu a  b  c 9   *  a b c a b c     a  (ktm) 6 Nếu a  b  c 18   *  a 3, b 6, c 9 , số phải tìm chia hết cho 36 nên chữ số hàng đơn vị chẵn, ta có số 396 936 Nếu a  b  c 27,  *  a  Vậy số phải tìm 27 (ktm ) 936;396 Bài 2: n 2 CMR: với n nguyên dương 2 n 2  3n  2n chia hết cho 10 Lời giải: Ta có: 3n 2  2n 2  3n  2n  3n 2  3n    2n 2  2n  3n  32  1  2n  22  1 3n.10  2n.5 10  3n  2n   Vì 10  3n  2n  chia hết cho 10 với n nguyên dương nên ta có dfcm Bài 3: x 1 x 2 x 3 x 100 Chứng minh rằng:     chia hết cho 120  x   Lời giải: 3x 1  3x 2  3x 3   x 100  3x 1  3x 2  3x 3  3x 4    3x 5  3x 6  3x 7  3x 8     3x 97  3x 98  3x 99  3x 100  3x   32  33  34   x 4   32  33  34   x 96   32  33  34  3x.120  3x 4.120   x 96.120 120  3x  3x 4   x 96  120( dfcm) Bài 4: f  x  ax  bx  c Cho , với a, b, c   Biết f   1 ; f (0); f (1) chia hết cho Chứng minh a, b, c chia hết cho Lời giải: Ta có: f   c; f  1 a  b  c; f   1 a  b  c f   3  c 3 f (1)3  a  b  c 3  a  b 3 f ( 1)3  a  b  c 3  a  b 3 (1) (2) Từ (1) (2) suy  a  b    a  b  3  2a 3  a 3  2;3 1  b3 Vậy a, b, c chia hết cho Bài 4: n 2 Chứng minh rằng: Số A 11  12 n 1 chia hết cho 133, với n   Lời giải: Ta có: n A 11n 2  122 n 1 112.11n 12  122  121.11n  12.144 n  133  12  11n  12.144 n 133.11n  12.11n 12.144 n 133.11n  12  144 n  11n  Ta thấy : 133.11n 133  144 n  11n   144  11 133  12  144n  11n  133 Do suy 133.11n  12  144n  11n  chia hết cho 133 n 2 n 1 Vậy: số A 11  12 chia hết cho 133, với n   Bài 4: Chứng minh với n nguyên dương ta có: 4n 3  4n 2  4n 1  4n chia hết cho 300 Lời giải: Với n nguyên dương, ta có: 4n 3  4n 2  4n 1  4n 4n  43  42   1 4n.75 4n  1.4.75 300.4n  n Mà 300.4 chia hết cho 300 (với n nguyên dương) n 3 n 2 n 1 n Nên    chia hết cho 300 Bài 4: n2 Tìm chữ số tận A biết: A 3  2n 2  3n  n Lời giải: Chứng minh A chia hết cho 10 suy chữ số tận A chữ số Bài 4: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết tăng chữ số hàng trăm thêm n đơn vị đồng thời giảm chữ số hàng chục giảm chữ số hàng đơn vị đơn vị số có chữ số gấp n lần số có chữ số ban đầu Lời giải Gọi số có chữ số cần tìm abc(a, b, c số tự nhiên có chữ số a 0) theo ta có:  a  n   b  n   c  n  n.abc  100  a  n   10  b  n    c  n  n  100a  10b  c   100a  100n  10b  10n  c  n 100an  10bn  cn  100  n  1 a  10  n  1 b   n  1 c 89n   n  1  100a  10b  c  89n  89n  n  1 mà  89; n  1 1 nên n n  1 , tìm n 2 Vậy số cần tìm 178 Bài 4: Chứng minh rằng: 3a  2b17  10a  b 17  a, b   Lời giải *3a  2b17  10a  b 17 Ta có: 3a  2b17   3a  2b  17  27 a  18b 17   17a  17b    10a  b  17   10a  b  17 *10a  b 17  3a  2b17 Ta có: 10a  b17   10a  b  17 20a  2b 17  17 a  3a  2b 17  3a  2b 17 Bài 4: Tìm số chia số dư biết số bị chia 112 thương Lời giải Gọi số chia a số dư r  a, r  *; a  r  Ta có: 112 5a  r  5a  112  a 22 (1) Lại có: a  r  5a  r  5a  a  112  6a  a 19 (2) Từ (1) (2)  a 19; 20; 21; 22 a r 112  5a Lập bảng số 19 17 20 12 21 Bài 4: Chứng minh số có dạng abcabc chia hết cho 11 Lời giải abcabc abc.1001 91.11.abc 11 Vậy abcabc11 Chứng tỏ rằng: M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 chia hết cho 102 Lời giải M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.(4- 1)(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.[4(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)- (42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)] + 25 = 25.(42018+ 42017+ + 42 +4) - 25(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.42018 – 25 + 25 = 25.42018 =25.4.42017 = 100.42017  100 Vậy M  102 Bài 4: 22 Cho tích a.b số phương (a,b) = Chứng minh a b số phương Lời giải Đặt a.b = c2 (1) Gọi (a,c) = d nên a  d, c  d Hay a = m.d c = n.d với (m,n) = Thay vào (1) ta m.d.b = n2 d2 => m.b = n2 d => b  n2 (a,b) = 1= (b,d) Và n2  b => b = n2 Thay vào (1) ta có a = d2 => đpcm Bài 4: 99 100 Chứng minh rằng:        chia hết cho 31 Lời giải 99 100 Đặt D 2        (có 100 số hạng)   22  23  24  25     27  28  29  210     296  297  298  299  2100  (có 20 nhóm) D 2    22  23  24   26    22  23  24    296    22  23  24  D 2.31  26.31   296.31 D 31   26   296  chia hết cho 31 99 100 Vậy D 2        chia hết cho 31 Chứng minh rằng: x+1 +3 x+2 +3 x+3 Bài 4: +……+ 3x+100 chia hết cho 120 (với x  N) Lời giải 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +…… + 3x+100 = (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)+…+ (3x+97 + 3x+98 + 3x+99 + 3x+100) = 3x(3+32+33+34) + 3x+4(3+32+33+34) +…+3x+96(3+32+33+34) = 3x.120 + 3x+4.120 +…+3x+96.120 = 120(3x + 3x+4 +…+3x+96) 120 (đpcm) Bài 4: Chứng minh 10 số vô tỉ Lời giải Giả sử 10 số hữu tỷ a  10  (a, b b số tự nhiên, b khác 0;  a, b  1) a2 10  a 10b b2  a 2  a 4  10b2 4  b 2  b2 Vậy  a, b  1 nên 10 số vô tỷ Bài 4: 2011 Tìm số dư chia cho 31 Lời giải Ta có: 25 32 1 mod 31   25   22011 2  mod 31 402 1 mod 31 2011 Vậy số dư chia cho 31 Bài 4: Với a, b số nguyên dương cho a  b  2007 chia hết cho a Chứng minh rằng:  a  b chia hết cho Lời giải a a Vì a nguyên dương nên ta có 1 mod 3   0  mod  a a Mà  0  mod    6 a a Khi ta có  a  b 4   a 1  b  2007  20106 a Vậy với a, b số nguyên dương cho a  b  2007 chia hết cho  a  b chia hết cho Bài 4: Tìm n  sao cho 2n  3n  Lời giải 2n  3n   5n   n   U (5)  1; 5 `  n    6;  2;0; 4 Bài 4: n 2 n 2 n n Chứng minh rằng: Với moi số nguyên dương n thì:    chia hết cho 10 Lời giải Với số nguyên dương n ta có: 3n 2  2n 2  3n  2n 3n 2  3n  2n 2  2n 3n  32  1  2n   23   10  3n  2n   10 n 2 n 2 n n Vậy    10 với n số nguyên dương Bài 4: Chứng minh   chia hết cho 55 Lời giải    1 7 4.5555( dfcm) Bài 4: Cho hàm số f  x  ax  bx  c với a, b, c   Biết f  1 3, f (0)3, f ( 1)3 Chứng minh a, b, c chia hết cho Lời giải Ta có: f   c; f (1 a  b  c; f ( 1) a  b  c ) f   3  c 3 ) f  1 3  a  b  c 3  a  b 3(1) ) f ( 1)3  a  b  c 3  a  b 3   Từ (1) (2) suy  a  b    a  b  3  2a 3  a 3  b 3 Vậy a, b, c chia hết cho Bài 4: Chứng minh với số ngun dương n ta ln có: 5n 2  3n2  3n  5n chia hết cho 25 Lời giải Ta có: 5n 2  3n 2  3n  5n  5n 2  5n    3n 2  3n  5n.24  3n.8 n n Vì n nguyên dương nên 24 chia hết cho 24; chia hết cho 24 n 2 n 2 n n Vậy    chia hết cho 24 với số nguyên dương n Bài 4: p Tìm số nguyên tố p thỏa mãn  p số nguyên tố Lời giải p Với p 2  p 4  8 khơng số nguyên tố p Với p 3  p 8  17 số nguyên tố p k 1 Vơi p  p số nguyên tố nên p lẻ nên 2 2 (mod 3) p Và p 1(mod 3) nên  p 3 p p Mà  p  nên  p hợp số p Vậy với p 3  p hợp số p Vậy với p 3  p số nguyên tố Bài 4: Tìm tất số phương có chữ số chia hết cho 153 Lời giải Gọi số cần tìm a  a  *,1000 a 9999   a 5  x 3 a 153      a 512  a 2601 a    y 5 Ta có:  a 512.k  k 1  a 2601 Bài 4: 41 a) Tìm số dư chia cho 11 b) Cho  a, b  1 Chứng minh  a 2007 , b 2006  1 Lời giải Theo định lý Fermat 310 1 mod11  341 3  310  3.14 3(mod11) 41 Suy chia cho 11 dư 2007 2006 b) Giả sử a b chia hết cho số nguyên tố d  a d bd Mà  a, b  1  d 1 (vô lý ) Vậy a 2007 , b 2006  1 Bài 4: Chứng minh rằng: Trong 45 số tự nhiên liên tiếp tồn số có tổng chia hết cho 45 Lời giải Ta có 45 số tự nhiên liên tiếp chia cho 45 ta số dư 0,1, 2,3, , 44 Do     45 Suy số chia cho 45 theo thứ tự dư: 1, 2,3, ,9 tổng số chia hết cho 45 Bài 4: n 2 n 2 n n Chứng minh với n nguyên dương thì:    chia hết cho 10 Lời giải 3n 2  n 2  3n  2n  3n 2  3n    2n 2  n  10.3n  5.2 n n n n Vì n nguyên dương nên 2  5.2 10 10.3 10 n 2 n 2 n n Vậy    10 Bài 4: Cho đa thức Q(x) = ax  bx  cx + d với a, b, c ,d 0 Biết Q(x) chia hết cho với x   Chứng tỏ hệ số a, b, c, d chia hết cho Lời giải Cho đa thức Q(x) = ax  bx  cx + d Vì Q(x)  với x   , nên Với x = 0, ta có Q   d  Với x = 1, ta có Q(1) = a  b  c  d 3 mà d 3 => a + b +c 3 (1) Với x = -1, ta có Q   1  a + b  c + d 3 mà d 3 =>  a + b – c 3 (2) Q  1  Q   1 2b  mà (2 ; 3) =1 nên b 3 Q  1  Q   1 2  a  c  3 Với x = , ta có mà (2 ; 3) =1 nên a+c 3 (3) Q   = 8a+ 4b+ 2c +d 3 hay 7a + (a + c) + 2b + d 3 Mà d 3, a + c 3, b 3 nên 7a 3 mà (7; 3) = => a 3 Từ (3) suy c 3=> đpcm Bài 4: n 2 n 2 n n CMR: với n nguyên dương    chia hết cho 10 Lời giải Ta có: 3n 2  2n 2  3n  2n  3n 2  3n    2n 2  2n  3n  32  1  2n  22  1 3n.10  2n.5 10  3n  2n   Vì 10  3n  2n  chia hết cho 10 với n nguyên dương nên ta có dfcm Bài 4: Chứng minh với số nguyên dương n ta ln có: 5n 2  3n2  3n  5n chia hết cho 25 Lời giải Ta có: 5n 2  3n 2  3n  5n  5n 2  5n    3n 2  3n  5n.24  3n.8 n n Vì n nguyên dương nên 24 chia hết cho 24; chia hết cho 24 n 2 n 2 n n Vậy    chia hết cho 24 với số nguyên dương n Bài 4: a) Chứng minh: 52014 - 52013 + 52012 chia hết cho 105 b) Tìm số nguyên tố p cho p + p + số nguyên tố Lời giải A) 52014 - 52013 + 52012 = 52011(53 – 52 +5) 10 n 2 n2 n n Chứng minh :    chia hết cho 10 với số nguyên dương n Lời giải n 2 n 2 n n n n n n Ta có:    3    3n.10  2n.5 3n.10  2n  1.10 10  3n  2n   10 n 2 n 2 n n Vậy    chia hết cho 10 với số nguyên dương n Bài 4: Cho a, b số tự nhiên thỏa mãn: a  4b chia hết cho 13 Chứng minh 10a  b chia hết cho 13 Lời giải  a  4b  13  10(a  4b)13 10  a  4b   (10a  b) 10a  40b  10a  b 39b 13 Do 10  a  4b  13  (10a  b) 13 Bài 4: a  b 2  c  8d  Cho a, b, c, d   thỏa mãn Chứng minh a  b  c  d chia hết cho 3 3 Lời giải Ta có: a  b3 2  c  8d   a  b3  c3  d 3c3  15d 3 3 3 Mà 3c  15d 3 nên a  b  c  d 3 (1) Dư phép chia a cho  0; 1 suy dư phép chia a cho  0; 1 hay a a  mod 3 3 Tương tự ta có: b b  mod 3 , c c (mod 3), d d (mod 3)  a  b  c  d a  b3  c  d (mod 3) (2) Từ (1) (2) suy a  b  c  d chia hết cho Bài 4: Tìm số tự nhiên n Biết gạch bỏ chữ số n số nhỏ số n 2012 đơn vị Lời giải 15 Gọi chữ số bị gạch x, số m Nếu x chữ số tận n số m n có chữ số tận Do n  m tận  n  m chia hết cho 10 mà 2012 không chia hết cho 10 Vậy x chữ số tận n Ta có: n  Ax  Ax  A 2012  A  x 2012  2012  10  A 2012 Mà A số tự nhiên nên A 223  x 5 Vậy n 2235 Bài 4: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết tăng chữ số hàng trăm thêm n đơn vị đồng thời giảm chữ số hàng chục giảm chữ số hàng đơn vị n đơn vị số có chữ số gấp n lần số có chữ số ban đầu Lời giải Gọi số có chữ số cần tìm abc ( a, b, c  , a 0) Theo ta có:  a  n   b  n   c  n  n.abc  100  a  n   10  b  n    c  n  n  100a  10b  c   100a  100n  10b  10n  c  n 100an  10bn  cn  100  n  1 a  10  n  1 b   n  1 c 89n  89n n  Mà  89; n  1 1 nên nn   n 2 Số có chữ số cần tìm 178 Bài 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số Biết số chia hết cho tổng chữ số 14 Lời giải Ta có: abc 7  (100a  10b  c)7   98a  7b  2a  3b  c  7   2a  3b  c  7 Mặt khác theo ra: a  b  c 14   a  b  c  7   2a  2b  2c  7(2) Từ (1) (2) suy  b  c  7   b  c     7;0;7 c 0  b 7, a 7  )b  c 7  c 1  b 8, a 5 c 2  b 9, a 3  16 (1) b c 6; a 2 b c 5  a 4  )b  c 0   b c 4  a 6 b c 3  a 8 b 0  c 7, a 7  )b  c   c b   b 1  c 8, a 5 b 2  c 9, a 3  Vậy có 10 số thỏa mãn Bài 4: Tìm hai số nguyên biết : Tổng, hiệu (số lớn trừ số bé), thương (số lớn chia số bé) hai số cộng lại 38 Lời giải Gọi hai số càn tìm a b ( a,b thuộc Z b khác 0) Giả sử a > b, có: (a+b) + (a-b) + a:b = 38 => 2a + a: b = 38 => 2ab + a = 38b => a = 38 b : (2b + 1) = (38b +19 -19) : (2b +1) = 19- (19/(2b+1)) Để a thuộc Z 2b + phải ước 19 => 2b+1 = => b = (loại) 2b+1 = - => b = -1 => a = -38 (loại) 2b+1 = 19 => b = => a = 18 2b+1 = - 19 => b = -10 => a = 20 Vậy có cặp số thỏa mãn: (18:9) (20; -10) Bài 4: Chứng minh rằng: chia hết cho Lời giải: Đặt (có (có 20 nhóm) 17 số hạng) chia hết cho 31 Chứng tỏ rằng: M = 75.(4 2017 +4 2016 Bài 4: + + +4 + 1) + 25 chia hết cho 102 Lời giải: M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.(4- 1)(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.[4(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)- (42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)] + 25 = 25.(42018+ 42017+ + 42 +4) - 25(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.42018 – 25 + 25 = 25.42018 =25.4.42017 = 100.42017 100 Vậy M 102 Bài 4: Cho Chứng tỏ S chia hết cho 307 Lời giải: Vậy Bài 4: Cho tích a.b số phương (a,b) = Chứng minh a b số phương Lời giải: Đặt a.b = c2 (1) Gọi (a,c) = d nên a d, c d Hay a = m.d c = n.d với (m,n) = Thay vào (1) ta m.d.b = n2 d2 => m.b = n2 d => b n2 (a,b) = 1= (b,d) 18 Và n2 b => b = n2 Thay vào (1) ta có a = d2 => đpcm Bài 4: Cho lẻ Chứng minh khơng số phương Lời giải: Giả sử số phương với số lẻ ta có: điều vơ lý Vậy khơng số phương với với n số lẻ số lẻ Bài 4: Tìm số tự nhiên cho Lời giải: Ta có: số phương nên Đặt số phương , suy Vậy Bài 4: 15 n 1     n Chứng tỏ S = 16 không số tự nhiên với nN,n>2 Ta có: 15 n2  22  32  42  n2          n 32 42 n2 S = 16 = 19 = 1 1 1        2 n 1  1 (1  1   1)        n  2 =   1 (n  1)        n  2 =  S < n – (1) 1 1 1 1 2 2 Nhận xét: < 1.2 ; < 2.3 ; < 3.4 ; …; n < (n  1).n 1 1 1 1     2 2  n < 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n  1).n = 1– n < 1 1  1 1 1        (n  1)        n  >-1  n  > (n–1)–1= n – 2  2  S > n – (2) Từ (1) (2) suy n – < S < n – hay S không số nguyên Chứng minh rằng: Số A = 11 n+2 + 12 2n+1 Bài 4: chia hết cho 133, với n  N Lời giải Ta có: A = 11n+2 + 122n+1 = 112.11n + 12.(122)n = 121.11n + 12.144n = (133 – 12).11n + 12.144n = 133.11n – 12.11n + 12.144n = 133.11n + 12.(144n – 11n) Ta thấy: 133.11n  133 (144n – 11n)  (144 – 11) = 133  12.(144n – 11n)  133 Do suy ra: 133.11n + 12.(144n – 11n) chia hết cho 133 Vậy: số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với n  N Bài 4: Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a, b, c, d hệ số nguyên Biết rằng, p(x) 5 với x nguyên Chứng minh a, b, c, d chia hết cho Lời giải + Vì p(x) 5 với x nguyên nên p (0) = d  p (1) = a + b + c + d 5 (1) 20