Cđ4 các bài toán chia hết 2

Dạng 2: Chữ số tận số Phương pháp giải: *) Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận 0, 1, 5, nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi b) Các số có chữ số tận 4, nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận khơng thay đổi c) Các số có chữ số tận 3, 7, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận d) Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận m Chú ý: Muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x a , trước hết ta xác định chữ số tận a - Nếu chữ số tận a 0, 1, 5, x có chữ số tận 0, 1, 5, - Nếu chữ số tận a 3, 7, 9: m n r a n a r với r 0,1, 2, Phân tích: a a r Từ tính chất 1c  chữ số tận x chữ số tận a - Nếu chữ số tận a 2, 4, 8, trường hợp r Từ tính chất 1d  chữ số tận x chữ số tận a * Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận không thay đổi Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng * Tính chất 3: a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n + không thay đổi chữ số tận k * Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận số A n với n, k  N - Nếu A 10a  b ab  b chữ số cuối A k Ta viết: A nk  10q  r  10t  r k với r  N ;0 r 9 k Chữ số cuối A chữ số cuối số r - Nếu A 100a  bc abc bc hai chữ số cuối A - Nếu A 100a  bcd abcd bcd ba chữ số cuối A m - Nếu A 10 am  am 1a0 am a1.a0 am a0 m chữ số cuối A Bài 1: Tìm chữ số tận số sau 99 a) 1414 567 c) b) 14 Lời giải a) Xét 99 4k   k 24   99 7 k 3 7 k.73 4k Theo tính chất 1c  có chữ số tận  799 có chữ số tận chữ số tận 73 Mà 73 = 343 có chữ số tận  799 có chữ số tận b) Dễ thấy 1414 4k   k 353  141414 14 k 2 14 k.14 4k Theo tính chất 1d  14 có chữ số tận 141414 có chữ số tận chữ số tận 6.142 Mà 6.142 = 1176 có chữ số tận  141414 có chữ số tận c) Ta có 567 4k   k 141  4567 44 k 3 4 k.43 4k Theo tính chất 1d  có chữ số tận  4567 có chữ số tận chữ số tận 6.43 Mà 6.43 = 384 có chữ số tận  4567 có chữ số tận Bài 2: 8009 Tìm chữ số tận S 2     2004 Lời giải Nhận thấy: lũy thừa S có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n 4 k   1 , k   2,3, , 2004 Theo tính chất  Mọi lũy thừa S có chữ số tận chữ số tận số tương ứng:  Chữ số tận tổng S chữ số tận tổng: (2 + + … + 9) + 199.(0 + + + … + 9) + + + + = 200(1 + + … + 9) + = 9009 Vậy chữ số tận tổng S Bài 3: 11 8011 Tìm chữ số tận T 2     2004 Lời giải Nhận thấy: Mọi lũy thừa T có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n 4 n    , n   2,3, , 2004 Theo tính chất 23 có chữ số tận 8; 37 có chữ số tận 7; 411 có chữ số tận 4; … Như vậy, tổng T có chữ số tận chữ số tận tổng: (8 + + + + + + + 9) + 199.(1 + + + + + + + + 9) + + + + = 200(1 + + + + + + + + 9) + + + = 9019 Vậy chữ số tận tổng T Bài 4: Tìm chữ số tận 187 324 Lời giải Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa bậc số có tận Các số có tận nâng lên luỹ thừa (khác ) tận Do 187324 = (1874)81 = (….1)81 =(…1) Vậy chữ số tận 187324 Bài 5: 20 Cho A 2     Tìm chữ số tận A Lời giải Cách 1: Chứng minh A5 cách nhóm A thành nhóm số Ta lại có A2 nên A10 A tận 11 Cách 2: Hãy chứng minh A 2  A=2 21 -2=    165.2   6.2  , tận Bài 6: 9 Tìm chữ số tận A 9 Lời giải Xem số M 9k  k  N  - Nếu k chẵn  k 2m ta có: m m M 92 m 81m  80  1  10q  1 10t  1 m, q, t  N  Vậy M có chữ số cuối k chẵn - Nếu k lẻ  k 2m  M = 92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9 = 10q + ( với m, t, q  N) Vậy: M có chữ số cuối k lẻ, ta có 99 số lẻ 9 Do A = có chữ số cuối Bài 7: Tìm chữ số cuối số: B = Lời giải 34 B = = 281 = (25)16 = 3216.2 = (30+2)16.2 = 10q +217 = 10q + (25)3.22 = 10q + (10q + 2)3 22 = 10t + 25 = 10t + Vậy B có chữ số cuối Bài 8: 2002 2001 Tìm chữ số cuối số C 6 , D 2 Lời giải Ta có: 61 tận 62 tận 63 tận Vậy 6n tận suy 62002 tận Ta có: 24 = 16 tận Suy 22002 = (24)500.22 = (a 6).4 k với a, k  N  22002 tận Bài 9: 1999 177 Tìm chữ số cuối số M 7 , G 18 Lời giải * Ta có 74 = 2401 tận M = 71999 = (74) = ( n1 ).343 = c3  tận Vậy M = 71999 tận *Ta có 184 = n6 tận Suy ra: G = 18177 = (184 )44 181 = t 18 = k Vậy G = 18177 tận Bài 10: Tìm chữ số tận tổng: T = 23 + 37 + 411 + .+ 20048011 Lời giải Nhận xét số mũ số hạng tổng có dạng 4(n - 2) + với n 2 Vậy nên ta tìm quy luật chữ số tận số a4k+3 với a = {0, 9} Ta có : số có tận : 0; 1; 5; ak có tận 0; 1; 5; xét 24k+3 = 8.24k = 8.16k có tận 34k+3 = 27.81k có tận 44k+3 = 64.28k =64.162k có tận 74k+3 = 343.2401k có tận 84k+3 = 512.162k có tận Vậy chữ số tận T chữ số tận T’ = (8+7+4+5+6+3+2+9)+199(1+8+7+4+5+6+3+2+9) +1+8+7+4 = 9019 Vậy chữ số tận T B TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG Nếu x Є N x = 100k + y, k ; y Є N hai chữ số tận x hai chữ số tận y Suy phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x = am sau: Trường hợp 1: Nếu a chẵn x = am  2m Gọi n số tự nhiên cho an -  25 Viết m = pn + q (p ; q Є N), q số nhỏ để aq  ta có: x = am = aq(apn - 1) + aq Vì an -  25 => apn -  25 Mặt khác, (4, 25) = nên aq(apn - 1)  100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận aq Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận aq Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an -  100 Viết m = un + v (u ; v Є N, ≤ v < n) ta có: x = am = av(aun - 1) + av Vì an -  100 => aun -  100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận av Tìm hai chữ số tận av Trong hai trường hợp để giải toán chúng ta phải tìm số tự nhiên n Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dễ dàng tìm hai chữ số tận aq av MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ VỀ CHỮ SỐ TẬN CÙNG - Các số có tận 01 ,25 ,76 nâng lên luỹ thừa (khác 0)cũng tận 01 ,25 ,76 - Các số 320 ( 815) ,74 ,512 ,992 có tận 01 - Các số 220 , 65 ,184 ,242 ,684 ,742 có tận 76 - Số 26n (n > 1) có tận 76 Bài 1: Tìm hai chữ số tận số 71991 Lời giải Ta thấy: 74 = 2401, số có tận 01 nâng lên luỹ thừa tận 01 Do đó: 71991 = 71988.73 = (74)497.343 =(…01)497.343 = (….01).343 =….43 Vậy 71991 có hai chữ số tân 43 Bài 2: Tìm hai chữ số tận 2100 Lời giải Chú ý : 210 = 1024 ,bình phương số có tận 24 tận 76,số có tận 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 76 Do ( 2)100=(210)10 =(1024)10 =(10242)5 =(….76)5 =….76 Vậy hai chữ số tận 2100 76 Bài 3: 99 99 51 666 101 101 Tìm hai chữ số tận của: 51 ; 99 ; ; 14 16 Lời giải 25 a) 15  51  = 51    51  01 51  51   k   9999 992 k 1  992  99  01 99  01 99  99 133 c) d) 25 k 99 b)  51  01 666 6  =  76  14101.16101  14.16  101 133    76  56 50  224101  2242  224  76  50   224  76 224  24 Bài 4: 2003 99 Tìm hai chữ số tận của: a Lời giải a) Do 22003 số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ cho 2n -  25 Ta có 210 = 1024 => 210 + = 1025  25 => 220 - = (210 + 1)(210 - 1)  25 => 23(220 - 1)  100 Mặt khác: 22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + (k Є N) Vậy hai chữ số tận 22003 08 b) Do 799 số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé cho 7n -  100 Ta có 74 = 2401 => 74 -  100 Mặt khác: 99 -  => 99 = 4k + (k Є N) Vậy 799 = 74k + = 7(74k - 1) + = 100q + (q Є N) tận hai chữ số 07 Bài 5: Tìm hai chữ số tận số: C=2999, D=3999 Lời giải * Ta có: 220 có chữ số tận 76 Suy ra: C=2999 = (220)49.219 = ( y 76 ) n88 (với y, n, q  N) Vậy C=2999 có chữ số tận 88 *Ta có: 3D = 31000 =(320)50 =( k 01 )50 = z 01 Nên 3D tận 01, mà 3.3999   chữ số hàng trăm 31000  31000 tận 201 Vậy 3999 có hai chữ số tận 67 Bài 6: 8966 7561 6251 Tìm hai chữ số tận số: ; 24 ;81 Lời giải a) Ta có 74 có hai chữ số tận 01 Suy M = 78966 = (74)2241.72 = ( a01 )2241.49 = c01 49 = n49 (với a,c,n N) Suy M = 78966 có hai chữ số tận 49 b) Ta có 242 tận 76 Suy N = 247561 = (242)3765.24 = ( m76 )3765.24 = k 76 24 = n24 (với m, k, n  N) Vậy N = 247561 có hai chữ số tận 24 c) Ta có 815 có hai chữ số tận 01 Nên Q = 816251 = (815)1250.81 = ( k 01 )1250.81 = m81 (Với k, t, m  N) Vậy Q = 816251 có hai chữ số tận 81 Bài 7: 854 194 Tìm hai chữ số tận số: Z 26 ; C 68 Lời giải a) Ta có 264 có hai chữ số tận 76  Z = 26854 = (264)213.262 = ( n76 )213 676 = k 76 676 = c76 (Với n, k, t  N) Vậy Z = 26854 có hai chữ số tận 76 b) Ta có 684 có hai chữ số tận 76 Suy C = 68194 = (684)48.682= ( n76 )48.4624 = k 76 4624 = t 24 (với n, k, t  N) Vậy C=68194 có hai chữ số tận 24 Bài 7: 999 Tìm hai chữ số tận số: C 2 Lời giải Ta có: 210 + =1024 + = 1025 : 25 suy 210 –  25 Ta lại có 21000 – = (220)50 –  220 – suy 21000 –  25 Do 21000 chữ số tận 26 ; 51 ; 76 21000  Suy 21000 tận 76  2999 tận 38 88 2999   2999 tận 88 Vậy C=2999 có hai chữ số tận 88 Bài 8: 999 Tìm hai chữ số tận số: D 3 Lời giải Ta có: 92m tận ; 92m+1 tận Ta tìm số dư phép chia 95 +1 cho 100 Ta có: 95 + =10(94 – 93 + 92 – + 1) Số: 94 + 92 +1 tận 93 + tận Suy (94 – 93 + 92 – + 1) tận  94 – 93 – 92 – + = 10q +  95 + = 100q + 50  910 – = (95 + 1)(95 – 1) = 100t Ta lại có: 31000 - = 9500 – = (910)50 – suy 31000 –  100  31000 tận 01 Mặt khác 31000  Suy chữ số hàng trăm 31000 phải (để 201 chia hết cho 3)  31000 chữ số tận 201 Do 3999 tận 67 Bài 9: 9 Tìm hai chữ số tận số: A 9 Lời giải 9 A = = (10 -1)9 có dạng: (10 – 1)n với n=99 ta lại có n n A = C n 10n - C n 10n-1 + ……+ C n 10 - C n Suy A có hai chữ số cuối n n Với a = C n 10 - C n = 10n -1 Số n = 99 tận Suy 10n tận 90  a =10n -1 tận 89 9 Vậy số A = có hai chữ số cuối 89 Bài 10: Tìm hai chữ số tận tổng sau a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002 b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003 Lời giải a) Dễ thấy, a chẵn a2 chia hết cho ; a lẻ a 100 - chia hết cho ; a chia hết cho a2 chia hết cho 25 Mặt khác, từ tính chất ta suy với a Є N (a, 5) = ta có a 100 - ⋮ 25 Vậy với a Є N ta có a2(a100 - 1) ⋮ 100 Do S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + + 20042 => Hai chữ số tận tổng S1 hai chữ số tận tổng 12 + 22 + 32 + + 20042 Ta có: 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 =>12 + 22 + + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận 30 Vậy hai chữ số tận tổng S1 30 b) Hoàn toàn tương tự câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + + 20043(20042000 - 1) + 23 + 33 + 20043 => Hai chữ số tận tổng S2 hai chữ số tận tổng 13 + 23 + 33 + + 20043 3    n     n  Áp dụng công thức:  n  n  1      => 13 + 23 + + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận 00 Vậy hai chữ số tận tổng S2 00 C TÌM BA CHỮ SỐ TẬN CÙNG TRỞ LÊN 10 Vậy bốn chữ số tận 51992 0625 Bài 2: Tìm ba chữ số tận số T = 5946 Lời giải Ta có 53 có ba chữ số tận 125 Suy T = 5946 = (53)315.5=( n125 )315.5= m125 5= t 625 (Với n, m, t  N) Vậy T = 5946 có ba chữ số tận 125 Bài 3: Tìm chữ số tận số: P = 51994 Lời giải Ta có: 54 = 0625 tận 0625 55 tận 3125 56 tận 5625 57 tận 8125 58 tận 0625 59 tận 3125 510 tận 5625 511 tận 8125 512 tận 0625 Chu kỳ lặp Suy ra: 54m tận 0625 54m+1 tận 3125 54m+2 tận 5625 54m+3 tận 8125 Mà 1994 có dạng 4m+2 Do M=51994 có chữ số tận 5625 Bài 4: Tìm ba chữ số tận 123101 Lời giải Theo tính chất 6, (123, 5) = => 123100 - chia hết cho 125 (1) Mặt khác: 123100 - = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - chia hết cho (2) 12 Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy ra: 123100 - chi hết cho 1000 => 123101 = 123(123100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N) Vậy 123101 có ba chữ số tận 123 Bài 5: Tìm ba chữ số tận 3399 98 Lời giải Theo tính chất 6, (9, 5) = => 9100 - chi hết cho 125 (1) Tương tự 11, ta có 9100 - chia hết cho (2) Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy ra: 9100 - chia hết cho 1000 => 3399 98 = 9199 = 9100p + 99 = 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q Є N) Vậy ba chữ số tận 3399 98 ba chữ số tận 999 Lại 9100 - chia hết cho 1000 => ba chữ số tận 9100 001 mà 999 = 9100: => ba chữ số tận 999 889 (dễ kiểm tra chữ số tận 99 9, sau dựa vào phép nhân ??9x9 = 001 để xác định ??9 = 889) Vậy ba chữ số tận 3399 98 889 Trường hợp 3: Nếu số cho chia hết cho ta tìm ba chữ số tận cách gián bước: B1: Tìm dư phép chia số cho 125 B2: Suy khả ba chữ số tận B3: Kiểm tra điều kiện chia hết cho để chọn giá trị đúng Bài 6: Tìm ba chữ số tận 2004200 Lời giải Do (2004, 5) = (tính chất 6) => 2004100 chia cho 125 dư => 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư => 2004200 tận 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004200 chia hết tận 376 Bài 7: Tìm bốn chữ số tận 51992 Lời giải Ta có: 51992 =(54)498 =625498 =0625498 =( 0625) 13 Vậy bốn chữ số tận 51992 0625 Dạng 3: Vận dụng tìm chữ số tận để chứng minh toán chia hết Bài 1: Chứng minh 8102 - 2102 chia hêt cho 10 Lời giải Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa số có tân 6.Một số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận Do ta biến đổi sau: 8102 =(84)25.82 = (….6)25.64=(….6).64 = …4 2102 =( 24)25.22 =1625.4 =(…6).4 = …4 Vậy 8102 -2102 tận nên chia hết cho 10 Bài 2: Tồn hay không số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000 Lời giải Theo tính chất 1a => 19952000 tận chữ số nên chia hết cho Vì vậy, ta đặt vấn đề liệu n2 + n + có chia hết cho khơng ? Ta có n2 + n = n(n + 1), tích hai số tự nhiên liên tiếp => Chữ số tận n2 + n ; ; => n2 + n + tận ; ; => n2 + n + không chia hết cho Vậy không tồn số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000 Bài 3: 14 Chứng minh 261570 chia hết cho Lời giải Ta thấy :265= 11881376 ,số có tận 376 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) có tận 376.Do đó: 261570 = (265)314 = (…376)314 = (…376) Mà 376 chia hết cho Một số có ba chữ số tận chia hết cho chia hết cho Vậy 261570 chia hết cho Bài 4: 21 Chứng tỏ 17  24  13 chia hết cho 10 Lời giải 21 Tìm chữ số tận 175 ; 244 – 1321 => Chữ số tận 17  24  13 21 => 17  24  13 ⋮ 10 Bài 5: Chứng minh với số tự nhiên n ta có 4n a)  chia hết cho 5; n1 b)  chia hết cho 5; n1 c)  chia hết cho 5; n d)  chia hết cho 5; n1 e)  chia hết cho 10 Lời giải 4n n n a)  (7 )  2401     , tận 4n Vậy  15 n 1 n n n b)  (3 )  81   1.3  , tận n1 Vậy  25 n 1 n n c)  (2 )  16   6.2  , tận n1 Vậy  35 n d)  tận nên chia hết cho n 1 n n e)  (9 ) 1 81 1  1.9  , tận n1 Vậy 1 chia hết cho 10 Bài 6: 15 Chứng minh 261570 chia hết cho Lời giải Ta thấy :265 = 11881376, số có tận 376 nâng lên lũy thừa Nào (khác 0) có tận 376 Do đó: 261570 = (265)314 = (…376)314 = (…376) Mà 376 chia hết cho Một số có ba chữ số tận chia hết cho chia hết cho Vậy 261570 chia hết cho Bài 7: Chứng minh 19911997-19971996 10 Lời giải Là chứng minh số có chữ số tận cùng: Ta có 19911997 19971996 có chữ số tận Suy 19911997-19971996 10 Bài 8: Tồn hay không số tự nhiên n cho số n2 + n + chia hết cho 20052005 Lời giải Số 20052005 có tận nên chia hết cho Ta có n2 + n + = n(n + 1) + có chữ số tận 1, 3, nên khơng chia hết cho Vậy không tồn n Bài 9: Cho P số nguyên tố lớn chứng minh ( P8n + 3p4n - )⋮5 Lời giải Vì P số nguyên tố lớn nên tận p chữ số: 1; 3; 7; Nếu P có tận P8n + 3p4n – có tận nên chia hết cho Nếu P có tận p 4n = 10k+ 34n = 10k + 81n có tận p 8n có tận nên: P8n + 3p4n – có tận nên chia hết cho Nếu p có tận tương tự tận p 4n p8n có tận nên tổng chia hết cho 4n Nếu p có tận thì:p 4n = 10k + 94n = 10k + 812n có tận 1và p8n = ( p ) có tận 16 Nên tổng chia hết cho Tóm lại với p ngun tố lớn tổng ln chia hết cho Nhận xét chung phương pháp: Tách an dạng (10k + a1)n với a1 = {0, 1, .9} Viết n dạng n = 4q + r ( r = 0, 1, 2, 3) Sử dụng nhận xét 1, 2, chứng minh Bài 10: Chứng minh n5 n có chữ số tận cung giống Lời giải Để chứng minh n5 n có chữ số tận chứng minh n5 – n  10 Ta có: A = n5 – n = n(n4 - 1).(n2 + 1) = (n - 1).n(n + 1).(n2 + 1) Ta có 10 = 2.5 (2.5) = (n - 1), n, n + số tự nhiên liên tiếp Suy A  Chứng minh A  n  Ạ  Nếu n  dư suy n-1   A 5 n: dư suy n2+1 = (5k+2)2+1 = (5k)2+20k+4+1 5  A 5 n: dư suy n2 +1 =(5k+3)2+1 = (5k)2+30k+9+1 5  A 5 n: dư suy n+1   A 5 Vậy A 2 A 5  A  10 Vậy n5 n có chữ số tận Bài 11: 517 Tìm số dư phép chia cho 25 Lời giải 517 Trước hết ta tìm hai chữ số tận Do số lẻ  ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ cho  n Ta có  1 100 310 95 59049   310  1 50  320   310  1  310  1 100 5 16 Mặt khác  1 4   516  1 20  517 5  516  1  20k  17  3517 320 k 5 35  320 k  1  35 35  320 k  1  243 có hai chữ số tận 43 517 Vậy số dư phép chia cho 25 18 * Chú ý: Trong trường hợp số cho chia hết cho ta tìm theo cách gián tiếp: B1: Tìm số dư phép chia số cho 25, từ suy khả hai chữ số tận B2: Dựa vào giả thiết chia hết cho để chọn giá trị đúng Dạng 4: Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để chứng minh toán chia hết Bài 1: Chứng minh rằng: n n1 a) 8.2  10 n 3 n 3 n 1 n 2 b)    6 Lời giải a) Ta có: 8.2n  2n 1 8.2n  n.2 2n    10.2n 10 n n n n n n b) Ta có: VT 3 27  3   3 30  126 Bài 2: n 1 n 2 Chứng minh rằng:  7 Lời giải n Ta có: A 3.32 n  4.22 n 3     4.2 n 7.M  7.2 n 7 Bài 3: Chứng minh rằng: n a) 10  18n  127 n b) D 10  72n  181 Lời giải a) Ta có: VT  10n  1  18n 999  18n (có n chữ số 9) VT 9.1111  9.2n 9  111  2n  9 mặt khác: 111  2n ( có n chữ số 1) =  1111  n   3n Xét: 111  n có tổng chữ số      n 0 nên chia hết cho 111  2n chia hết cho suy VT chia hết cho 27 b) Ta có: D 10n   72n 9.111  n  81n 9(111  n)  81n 18 Xét 11  n chia hết cho  D chia hết cho 81 Bài 4: n 1 n 2 n 3 Chứng minh rằng:   chia hết cho 13 với n Lời giải Ta có: 3n 1  3n 2  3n 3 3n.3  3n.9  3n.27 3n.3     3n 1.1313 Bài 5: Chứng minh rằng: a)   7 b)   11 c) 10  10  10 222 555 d) 10  59 Lời giải a) Ta có: 53  52   1 52.217 b) Ta có: 7    1 7 4.5511 c) Ta có: 107  102  10  1 107.111222 d) Ta có:  2.5  57 56  26  1 56.5959 555 Bài 6: 13 Chứng minh rằng: 81  27  45 Lời giải Ta có: 13  34    33    32  328  327  326 326  32   1 326.59.5 45 Bài 7: Cho 10k  119  k  1 2k Chứng minh rằng: 10  119 Lời giải Ta có: 102 k  102 k  10k  10k  10k  10k  1   10k  1 k Nhận thấy: 10  119 Bài 8: 4 Chứng minh rằng: n  n  1 Lời giải 19 Ta có: n  n  n  n  1  , mà n  n  1 tích số tự nhiên liên tiếp nên chẵn Mà VP  nên số lẻ không chia hết cho Bài 9: 5 Chứng minh rằng: n  N , n  n   Lời giải Vì n  n  n  n  1  Vì n  n  1 Khi đó: tích số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận 0;2;6 n  n  1  có tận 6,8, nên không chia hết cho Bài 10: x 1 x 2 x 3 x 100 120  x   Chứng minh rằng:     chia hết cho Lời giải Ta có: 3x 1  3x 2  3x 3   x 100  3x 1  3x 2  3x 3  3x 4    3x 5  3x 6  3x 7  3x 8     3x 97  3x 98  3x 99  3x 100  3x   32  33  34   x 4   32  33  34   x 96   32  33  34  3x.120  3x 4.120   x 96.120 120  3x  3x 4   x 96  120 Bài 11: Chứng minh rằng: 60 a)     15 119 b)      13 Lời giải a) Ta có: C 2  22  23   260   22  23     25   28     257   60  C 2       25        257      b) Ta có: => D    32    33  34  35     317  318  319  D 13  33.13   317.13 13   33   317  13 Bài 12: Chứng minh rằng: 20 C 15   25   257 