Cđ11 tam giác cân, đều

TAM GIÁC CÂN A Các kiến thức cần nhớ A Tam giác cân tam giác có hai cạnh Các hệ a ABC cân A  AB  AC    B C b Nếu ABC cân A đường cao, đường trung tuyến, đường H B C phân giác, đường trung trực hạ từ đỉnh A trùng *) Ngược lại: Nếu hai bốn đường trung tuyến, đường cao, đường trung trực, đường phân giác trùng tam giác tam giác cân B Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh A AB lấy điểm M , tia đối tia CA lấy điểm N cho AM  AN 2 AB Gọi I trung điểm đoạn thẳng MN Chứng M minh ba điểm B, I , C thẳng hàng C I' P B N Lời giải Từ đề AM  AN 2 AB  AB  AC  BM CN Gọi I ' giao điểm BC , MN Ta chứng minh I trùng I ' - Qua M kẻ MP / / AC  P  BC  MPB cân M  BM MP  MP  NC  ; PMI  CNI '  NCI '; MPI ' : CN PM  CNI ' MPI '  NI ' I ' M  I '   C1 P1 - Xét trung điểm MN  I I ' (đpcm) Bài 2: Cho ABC  AB  AC  Qua trung điểm M A cạnh BC kẻ đường vng góc với phân giác góc A , cắt cạnh AB , E AC D E , biết AC b , B AB c Tính độ dài đoạn AD, CE theo b N F D c C M Lời giải Gọi N giao điểm DE phân giác góc A  AN phân giác đường cao ADE  ADE cân A  AD  AE Qua B kẻ đường thẳng BF / / AC  F  DE   BFD cân B  BD BF ; BFM CEM ( gcg )  BF CE  BD CE Ta có: AD  CE  AD  BD  AB c; AD  CE  AE  EC ac b  AD  b c b c ; CE  2 Bài 3: Cho ABC , AB  AC , AB  BC , H trung N A M điểm BC a) Chứng minh ABH ACH Từ suy AH vng góc với BC F E I b) Tính độ dài AH BC 4cm , AB 6cm c) Tia phân giác góc B cắt AH I B Chứng minh tam giác BIC cân d) Đường thẳng qua A song song với BC cắt BI , CI M , N Chứng minh A trung điểm đoạn MN e Kẻ IE vng góc với AB E , IF , vng góc với AC với F Chứng minh H C IH IE IF f Chứng minh IC vng góc với MC Lời giải   Vì ABC cân A  AB  AC  ABH ACH (ccc )  AHB  AHC 0     Có: AHB  AHC 180  AHB  AHC 90  AH  BC b) Ta có: Áp HB HC  dụng BC 2(cm) định lý pytago tam giác vng ABH , ta có: AB  AH  HB  AH  32(cm )   c Từ a, b  BH CH ; IH chung ; BIH CIH 90  BIH CIH  IB IC  BIC cân I     d) Cách 1: BIH CIH  BIH CIH  AIM  AIN   mà NM / / BC  IH  BC  IA  NM  IAN IAM 90 Có NAI MAI (cgc)  AN  AM , mà A, M , N thẳng hàng nên A trung điểm MN       Cách 2: Ta có MN / / BC  AMB MBC mà MBC  ABM  AMB  ABM  ABM cân A  AB  AM (1)   Chứng minh ACN BCN , ACN cân A  AN  AC (2) Hơn AB  AC (3)  AM  AN Mà A, M , N thẳng hàng A trung điểm MN e Chứng minh cặp tam giác vuông IBE IBH ; ICF ICH  IE IH IF   f Cách 1: Ta có MN / / BC  AMC  HCM 180         mà AMC  ACM ; HCM HCI  ICF 2.ICF  ACM  2.ICF 180 1800    ACM  ICF   ICM 900  IC  MC   Cách 2: Theo câu d có: AM  AB  AC  AN  NAM cân A  N  ACN   AMC  ACN  ACM NCM   MCN vuông C MAC cân A  AMC  ACM  N Bài 4:    Cho ABC , B  90 ; B 2C Từ A kẻ AH  BC A Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho D BE BH Đường thẳng EH cắt đường thẳng AC D B H B' a Chứng minh: DA DH DC b So sánh góc hai tam giác E ADE , ABC c Lấy điểm B ' BC cho H trung điểm BB ' Chứng minh tam giác AB ' C cân d Chứng minh AE CH Lời giải   a) Gọi ACB   ABC 2   B  BEH BHE  ABC  - BHE cân - HDC : DHC DCH   HDC cân D  DH DC (1)   - DHA : DHA DAH 90    DA DH (2)  DA DH DC    DAE BAC  ADE , ABC : AED  ACB   ADE  ABC 2   b) c) AB ' B AHB '(cgc)  AB  AB '  ABB ' cân A    d) ABB ' cân A  AB ' B  ABB ' 2  B ' AC 2    (3)  B ' AC cân B ' nên B ' C B ' A Ta có: BE HB '; BA B ' C (B ' A)  BE  BA HB ' B ' C  AE HC C Bài 5:  Cho ABC , BA BC , ABC 80 Lấy điểm I bên B   tam giác cho IAC 10 , ICA 30 Đường K  phân giác góc BAI cắt đường thẳng CI K a Chứng minh tam giác ACK cân K b Chứng minh: ABK CBK Suy BK phân A 10° I 30° C  giác góc ABC c Chứng minh: AKB AKI d Tính số đo AIB Lời giải 0    a) ABC cân B , mà B 80  BAC BCA 50  0     IAB 40 ; IAK BAK 20  KAC KCA 30  AKC cân K b)     ABK CBK (cgc)( KAB KCB 200 ; AK CK ; AB BC )  ABK CBK  K ABC 3600  1200 AKI 1200  AKB CKB   1200 c) Ta tính được: 0     - AKB AKI ( gcg )( AKB  AKI 120 ; AK : chung ; KAB KAI 20 ) 1800  400   ˆ ABI , AB  AI , BAI 60  AIB  ABI  700  AIB 700 d) Bài 6: phân giác Cho A ABC , AB  AC 10cm, BC 12cm AH  BC H trung điểm BC K D a Chứng minh ABH ACH Từ suy H trung điểm BC I b Tính độ dài đoạn thẳng AH B H C c Kẻ HI  AB I ; HK  AC K Vẽ điểm D E cho I , K trung điểm HD HE Chứng minh AE  AH d Tam giác ADE tam giác gì? Vì sao? Chứng minh DE / / BC e Tìm điều kiện tam giác ABC để A trung điểm DE Lời giải a ABH ACH (ch  cgv)  HB HC b HB HC  BC 12  6(cm)  AH 8(cm) 2   c Vì HK  AC K  AKH  AKE 90  AKH AKE (cgc )  AH  AE d Chứng minh tương tự câu c ta có AH  AD , AD  AE nên tam giác ADE cân A Gọi giao điểm AH DE F , chứng minh DAF EAF  AH  DE F  DE / / BC e Ta có AD  AE nên để A trung điểm DE phải có D, A, E thẳng hàng hay  DAE 1800          Chú ý rằng: DAB BAH CAH CAE ; DAB  BAH  CAH  CAE DAE 0      Do DAB BAH CAH CAE 180 : 45  BAC 90  ABC vuông cân A Bài 7:  Cho ABC , AB  AC , BAC 20 Trên cạnh A  500 Trên AB lấy điểm E cho BCE  cạnh AC lấy điểm D cho CBD 60 D F Qua D kẻ đường thẳng song song với BC , E đường thẳng cắt AB F Gọi O O giao điểm BD CF a Chứng minh: AFC ADB 60° b Chứng minh tam giác OFD, OBC B 50° C tam giác  c Tính số đo góc EOB d Chứng minh: EFD EOD  e Tính số đo BDE Lời giải       a Ta tính được: ABC  ACB 80 ; ACF  ABD 20 ; ACE 30 ; BEC 50  200 , ACF  ABD 200  AFC ADB( gcg ) AFC , ADB : AC  AB, A     b Ta chứng minh được: ODF OBC 60 ; OFD OCB 60  OFD, OBC tam giác c BEC cân B nên BC BE , mà BO BC suy BE BO 0   mà EBO 20  EOB 80 0 0  0    d EOF 180  80  60 40 ; BFO 180  FBC  FCB 40  EO EF  EFD EOD(ccc) 1     BDE EDF  ODE 300  BDE 300 e Bài 8: Cho ABC , AB  AC Trên tia đối tia BA A CA lấy hai điểm D E cho BD CE a Chứng minh DE / / BC H K N M b Từ D kẻ DM vng góc với BC , từ E C B kẻ EN  BC Chứng minh DM EN E D c Chứng minh tam giác AMN tam giác cân d Từ B C kẻ đường vng góc với AM I AN chúng cắt I Chứng minh AI tia phân giác chung hai góc BAC MAC Lời giải a) Ta có AB  AC , BD CE  AD  AE  ADE cân A - Hai tam giác cân ABC ADE có chung góc đỉnh A nên góc đáy nhau: ABC  ADE  DE / / BC   b ABC cân A  ABC  ACB       mà MBD  ABC ; NCE  ACB  MBD NCE - MBD NCE (ch  gn)  MD NE   c MBD NCE  MDB NEC ; AMD ANE (cgc )  AM  AN  AMN cân A   d AMB ANE  HAB KAC ; HAB KAC (ch  gn )  AH  AK  AHI AKI (ch  cgv )   ; BAH      IAH IAK CAK  IAB IAC  AI tia phân giác chung hai góc Bài 9: Cho tam giác cân ABC  AB  AC  A Trên tia đối tia BC , CB lấy theo thứ tự hai điểm D E cho BD CE a) Chứng minh tam giác ADE tam giác cân b) Gọi M H M trung điểm BC D  Chứng minh AM tia phân giác DAE c) K O Từ B C vẽ BH , CK theo thứ tự vng góc với C B E AD, AE Chứng minh BH , CK d) Chứng minh đường thẳng AM , BH , CK gặp điểm Lời giải     a) ABC cân nên ABC  ACB  ABD  ACE  AB  AC  gt  ; ABD  ACE  cmt  ; DB CE  gt  Xét ABD ACE có    AMD AME  ccc   MAD MAE  Vậy AM tia phân giác DAE b) Vì ADE cân A nên ADE AED Xét BHD CKE có     BDH CEK ADE  AED ; DB CE  gt   BHD CKE  ch  gn   BH CK c) Gọi giao điểm BH CK O AH  AK  AD  AE , DH KE  BHD CKE   Xét AHO AKO có: OA cạnh chung,  AHO AKO  ch  cgv      Do OAH OAK nên AO tia phân giác KAH hay AO tia phân giác DAE  Mặt khác theo câu b) ta có AM tia phân giác DAE Do AO  AM , suy ba đường AM , BH , CK cắt O Bài 10: Cho tam giác ABC cân A  B C 40  A E Kẻ phân giác BD  D  AC  Trên tia AB lấy D F B điểm M cho AM BC M a) Chứng minh BD  AD BC  b) Tính AMC N Lời giải a) Từ D kẻ DE / / BC , BC lấy điểm F cho BD BF  1 Chứng minh DE BE ( BED cân) Do tam giác AED cân nên AD  AE  BE CD  ED CD 0    Tam giác BDF cân có DBF 20  BFD 80  DFC 100    DFC EAD 1000  Vậy DFC có FDC 40 Chứng minh ADE FCD  gcg   AD CF   Từ (1) (2) suy đpcm b) Dựng tam giác AMN cho N C phía so với AB  BC  AN   AM  ; ACB CAN 400 AC Vì chung;  BAC NCA  AC CN  AB AMC  AMN 300 Vậy MC trung trực AN nên Bài 11: 10 C OIM OIN  cgc   OM ON (cặp ạnh tương ứng)   OBM OCN  ccc   OBM OCN (góc tương ứng) (2)   Từ (1)(2) suy OCA OCN 90  OC  AC Vậy điểm O cố định Bài 20: Cho tam giác ABC cân A có ba góc I nhọn a) Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân B Gọi H trung điểm A BC , tia đối tia AH lấy điểm I cho AI BC Chứng minh hia tam giác D E ABI BEC BI  CE B b) Phân giác góc ABC , BDC cắt AC , BC D, M Phân giác góc BDA cắt BC N Chứng minh BD  MN Lời giải a) Xét AIB BCE có AI BC ; BE BA      IAB góc ngồi ABH nên IAB  ABH  AHB  ABH  90       Ta có EBC EBA  ABC  ABC  90  IAB EBC   Do ABI BEC  cgc   AIB BCE   Trong tam giác vng BHI vng H có AIB  IBH 90 20 H M C F N