De thi hoc sinh gioi lop 8 cap tinh nam 2022 2023

8 Dùng b i d ng h c sinh gi i l p NGUYỄN QUỐC BẢO TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023 ✓Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp ✓Giúp giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi NHÀ XUẤT BẢN TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 ( 03 ) GD - 23 86 / 68 - QB ĐHSG CT 22-23 Lêi giíi thiƯu Bạn đọc thân mến! Những năm gần đây, đề thi học sinh giỏi mơn tốn lớp có nhiều thay đổi dạng tập tốn cách thức đề Vì cấu trúc đề thi, nội dung thi học sinh giỏi lớp môn Tốn khó đa dạng Để đáp ứng nhu cầu cho đối tượng học sinh ôn luyện kiến thức rèn kĩ giải đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp tỉnh, tác giả tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh phạm vi toàn quốc năm học 2022-2023 tập hợp thành cuốn: Tuyển tập đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2022-2023 Bố cục sách chia làm hai phần: Phần Tuyển chọn đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Phần tác giả giới thiệu đến thầy/cô giáo ôn luyện đội tuyển tất em học sinh u thích mơn Tốn đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh phạm vi toàn quốc năm học 2022-2023 Hi vọng qua phong phú đa dạng đề thi địa phương khác nhau, em học sinh tìm thấy điểm thú vị niềm đam mê mơn Tốn Phần Đáp án hướng dẫn giải chi tiết Mục đích phần nhằm giúp em có so sánh đối chiếu kết sau tư bấm thời gian giải đề thi Một số toán tác giả đưa thêm hai cách giải để em học sinh tham khảo, cách giải hay nhất, ngắn gọn Mong muốn qua toán em tìm cho lời giải khác hay hơn, sáng tạo Trong trình biên soạn, tác giả cố gắng, song sách khó tránh khỏi sai sót, chúng tơi mong tiếp nhận ý kiến đóng góp chân thành bạn đọc để lần tái sau chất lượng sách tốt Mọi đóng góp xin gửi về: Điện thoại: 039.373.2038 Zalo: 039.373.2038 Gmail: tailieumontoan.com@gmai.com Website: tailieumontoan.com Xin trân trọng cảm ơn! TÁC GIẢ PHẦN TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ (Đề học sinh giỏi mơn tốn lớp trường Trần Mai Ninh- Thanh Hóa 2022-2023) Thời gian làm : 120 phút Câu (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức P = Cho a2 b2 a b2 − (a + b)(1 − b) (a + b)(1 + a) (1 + a)(1 − b) x2 y2 z2 x y z + + = Chứng minh rằng: + + =0 y+z z+x x+ y y+z z+x x+ y Câu (4,0 điểm) Tìm x biết: x + x x x + + + = 4043 1+ 1+ + + + + + 4043 Cho số thực x khác thỏa mãn x + x số hữu tỉ Chứng minh x số hữu tỉ x Câu (4,0 điểm) Tìm tất số nguyên x y cho x4 + y3 = xy3 + Cho S tập hợp số nguyên dương n có dạng n = x2 + y , x, y số nguyên Chứng minh A  S A số chẵn A chia hết cho A S Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M, N trung điểm AB AC Vẽ NH vng góc với CM H, HE vng góc với AB E Trên tia NH lấy điểm K cho NK = CM a) Chứng minh tứ giác ABKC hình vng b) Chứng minh HM tia phân giác góc BHE c) Giả sử AHC = 1350 Chứng minh AH = HB2 − HC Câu (2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn abc =1 Tìm GTNN P= a + b3 b3 + c c3 + a3 + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a ĐỀ SỐ (Đề học sinh giỏi mơn tốn lớp huyện Thường Tín- Hà Nội 2022-2023) Thời gian làm : 120 phút Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức A = 2x − x + 2x −1 − − (với x  x  ) x − 5x + x − − x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x − = x2 − x + A nhận giá trị nguyên c) Tìm giá trị nguyên x để P = x −1 x x+2 Câu 2: (2,5 điểm) Giải phương trình sau: d) Tìm giá trị x để A = a) −5 + = x − x + x +6 ( ) ( ) ( )( b) x + x + x + = x + x + x ) Câu 3: (4,0 điểm) Một người xe đạp từ A đến B dự định Sau 10km đầu 12 phút, tính tiếp tục với vận tốc đến sớm dự định 24 phút Còn giảm vận tốc 5km/h đến B sớm 10 phút so với dự định Hãy tính khoảng cách AB x + m x −3 + = (1) ( x ẩn) Cho phương trình x+3 x−m a) Giải phương trình (1) với m = b) Tìm điều kiện m để phương trình (1) có nghiệm số âm Câu 4: (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a điểm N cạnh AB Cho biết tia CN cắt tia DA E , tia CX vng góc với tia CE cắt tia AB F Gọi M trung điểm đoạn thẳng EF a) Chứng minh CE = CF b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng c) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC d) Xác định vị trí điểm N cạnh AB cho tứ giác AEFC có diện tích gấp ba lần diện tích hình vng ABCD Câu 5: (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn y + z +1 z + x + x + y − = = = Tính giá x y z x+ y+z trị biểu thức A = 2022 x + y 2023 + z 2023 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 3x − y3 = ĐỀ SỐ (Đề học sinh giỏi mơn tốn lớp tỉnh Nam Định 2022-2023) Thời gian làm : 120 phút Câu (4,0 điểm) 1) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu  1     x − 3x − − + + : −1 thức: A =        x − x − 10 x  x − 3x + 3x −  x  x − x +  x 1 1 2) Cho số thực x, y, z thoả mãn + + = x + y + z = Tính giá trị biểu thức: x y z P = ( x2023 + y 2023 ).( y 2023 + z 2023 ).( z 2023 + x 2023 ) Câu (4,0 điểm) 1) Biết đa thức f ( x) chia cho x − dư 11, chia cho x + dư ( −1) , chia cho x2 − thương 3x dư Tính f (2023) + f (−2023) 2) Tìm tất giá trị số tự nhiên n để biểu thức B = n6 − n4 − 2n3 + 2n2 có giá trị số phương Câu (3,0 điểm) 1) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: x ( x + x + ) = y −  x+3  x −  63 − x 2) Giải phương trình:  =0  + 6  + x −4  x−2  x+2 Câu (7,0 điểm) 2 Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) Các đường cao AD, BM , CN tam giác ABC cắt H Gọi O trung điểm đoạn thẳng BC, E điểm đối xứng H qua O Kẻ CF vng góc với đường thẳng BE F 1) Tính số đo FMN 2) Gọi K , L, R chân đường vng góc kẻ từ N đến đường thẳng AC, AD, BC Gọi giao điểm DM CN S Chứng minh rằng: a) Ba điểm K , L, R thẳng hàng b) HN CS = NC SH 3) Tia phân giác BAC cắt BC I , kẻ đường thẳng qua C vng góc với đường thẳng AI P, đường thẳng CP cắt đường thẳng AO Q Gọi G trung điểm đoạn thẳng IQ Chứng minh đường thẳng PG qua trung điểm đoạn thẳng AC Câu (2,0 điểm) 1) Xét x, y hai số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện x y = Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x ( x3 + y ) + y )( x + y ) 2) Một hộp đựng 99 thẻ màu vàng, 100 thẻ màu đỏ 101 thẻ màu xanh Người ta tiến hành trò chơi rút thẻ sau: lần rút thẻ người ta lấy hai thẻ khác màu thay vào hai thẻ có màu cịn lại, q trình diễn liên tục Hỏi đến lúc người ta nhận hộp tất thẻ có màu hay khơng? Hãy giải thích sao? ĐỀ SỐ (Đề học sinh giỏi mơn tốn lớp Hoằng Hóa- Thanh Hóa 2022-2023) Thời gian làm : 120 phút Câu (4,0 điểm) x3 − x  1  x2 + x +  + Cho biểu thức: A = , với x  1 − x +  x2 − x + 1 − x2  x3 − Rút gọn biểu thức A Tính giá trị biểu thức A x thỏa mãn: x3 − 2x − 5x + = Cho a, b, c ba số đôi không đối thỏa mãn: ab + bc + ca = (a + b) (b + c) (c + a) Tính giá trị biểu thức: P = (5 + a )(5 + b )(5 + c ) Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: ( x − 1)( x + x + 3) = 192 Tìm a, b cho đa thức f ( x ) = ax + bx + 10x − chia hết cho đa thức g ( x ) = x + x − Câu (4,0 điểm) Tìm cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn: x2 + xy = 2022x + 2023 y + 2024 Cho x, y số nguyên cho x2 − 2xy − y xy − y − x chia hết cho Chứng minh 2x + y + 2x + y chia hết cho Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi E, K trung điểm AB CD; O giao điểm AK DE Hạ DM ⊥ CE Chứng minh tứ giác ADKE hình chữ nhật, từ suy AM ⊥ KM Gọi N giao điểm AK BM Chứng minh ADM cân tính số đo góc ANB Phân giác góc DCE cắt cạnh AD F Chứng minh CF  2EF Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương: ab + bc + ca = Chứng minh rằng: + 3a + 3b + 3c + +  + b2 + c + a ĐỀ SỐ (Đề học sinh giỏi mơn tốn lớp Thọ Xn – Thanh Hóa 2022-2023) Thời gian làm : 120 phút Câu (4,0 điểm)   ( x − 1)( x − 3) x2 x2 + Cho biểu thức P =    x − x + x − 3x +  x + x + Rút gọn P tìm giá trị lớn P a) Phân tích đa thức x3 + y3 + z − 3xyz thành nhân tử b) Cho hai số thực phân biệt a b khác thỏa mãn điều kiện 2023 1 + 3+ = Tính giá trị biểu thức T = ( a − 1)( b − 1)  ab a b Câu (4,0 điểm) 1 = + Giải phương trình : 2 48 x + x − ( x + 1) Lúc giờ, An rời nhà để đến nhà Bích với vận tốc 4km/h Lúc 20 phút, Bích rời nhà để đến nhà An với vận tốc km/h An gặp Bích đường, hai nhà Bích An nhà Bích chơi thời gian Về đến nhà An tính qng đường dài gấp bốn lần qng đường Bích Tính quãng đường từ nhà An đến nhà Bích (với giả thiết An Bích quãng đường) Câu (4,0 điểm) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 − xy + y − 16 = Giả sử p, q số nguyên tố thỏa mãn đồng thời điều kiện p  q  3, p − q = Chứng minh p + q chia hết cho 36 Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD điểm H thuộc cạnh BC (H không trùng với B C ) Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa hình vng ABCD dựng hình vng CHIK Gọi M giao điểm DH BK ; N giao điểm KH BD Chứng minh DH vng góc với BK DN.DB = DC.DK BH S BHD + S BHK BH DH KH + +  = Chứng minh HC HM HN HC S DHK Gọi P giao điểm CN DH Qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, BK E, Q Chứng minh E trung điểm PQ Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = + + 2b + 2c + 2a + ĐỀ SỐ (Đề học sinh giỏi mơn tốn lớp trường Lê Q Đôn – Bắc Giang 2022-2023) Thời gian làm : 120 phút Câu 1: (5,0 điểm)  ( a − 1)2 − 2a + 4a  a + 4a − + 1) Cho biểu thức M =  , với a  0; a  : a −  4a a3 −  3a + ( a − 1)  a) Rút gọn M b) Tìm giá trị a để M đạt giá trị lớn 2) Cho số thực a, b thỏa mãn: a2 + b2 + ab − a + b + = Tính giá trị biểu thức M = 3a3 − 2b4 + 2022 Câu 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x −3x5 + x4 − x3 + x2 − 3x + = 2) Tìm đa thức f ( x ) biết f ( x ) chia cho ( x − 3) dư 2; f ( x ) chia cho ( x + ) dư f ( x ) chia cho ( x + x − 12 ) thương ( x + 3) dư Câu 3: (4,0 điểm) 1) Tìm cặp số tự nhiên ( x, y ) thỏa mãn : x2 + 3y = 3026 2) Cho a b số tự nhiên thoả mãn 2a2 + a = 3b2 + b Chứng minh rằng: a − b 2a + 2b + số phương Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE,CF Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh: 1) ABC đồng dạng với AEF 2) 3) HD HE HF + + = AD BE CF ( AB + BC + CA) AD + BE + CF  Câu 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện y + yz + z = 1011 − 3x Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Q = x + y + z ĐỀ SỐ (Đề học sinh giỏi mơn tốn lớp huyện Lương Tài 2022-2023) Thời gian làm : 150 phút Bài (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2023x2 + 2022x + 2023  ( x − 1)2   x3 − x3 +  2) Rút gọn Q =  +1−  :  −  (với x  0, x  1 ) x   x − x x2 + x   x + x  3) Cho a, b, c  a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca Tính giá trị biểu thức: T= a 2022 + b2022 + c 2022 (a + b + c) 2022 Bài (4,0 điểm) 1) Tìm tất số x, y nguyên dương, p nguyên tố thỏa mãn: x2 − 3xy + p y = 12 p 2) Giải phương trình: (x − ) = 12 x + Bài (3,0 điểm) 1) Cho đa thức f (x ) ax bx c với a,b, c số hữu tỉ Biết f (0), f (1), f (2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên 2) Cho a, b hai số nguyên phân biệt lớn thỏa mãn a + 2b2 − lũy thừa số nguyên tố khác 13 b + 2a2 − chia hết cho a + 2b2 − Chứng minh 2a + số phương Bài (7,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có B = 2C ; tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BC Qua A kẻ đường thẳng vng góc với CD cắt BC CD M N Đường vng góc với BC C cắt AM K Chứng minh rằng: a) ABM tam giác cân ABC = 2AKC ; b) MA.KN = MN.KA; c) Tính độ dài ba cạnh tam giác ABC biết độ dài ba cạnh ba số tự nhiên liên tiếp 2) Cho tứ giác ABCD có BCD = BDC = 500 ; ACD = ADB = 300 Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh tam giác ABI cân Bài (2,0 điểm) 1   25  1) Cho x, y > thỏa mãn: x + y = Chứng minh:  x +  +  y +   x  y  2) Cho đa giác gồm 2019 đỉnh Người ta tô đỉnh đa giác màu xanh màu đỏ Chứng minh ln tìm ba đỉnh đa giác đỉnh tam giác cân đánh dấu màu