Luận Văn Thạc Sĩ Đặc Trưng Của Các Biến Ngẫu Nhiên Có Cấu Trúc Tuyến Tính Pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đặng Văn Trọng ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ CẤU TRÚC TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đặng Văn Trọng ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ CẤU TRÚC TUYẾN TÍNH Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đào Hữu Hồ Hà Nội - 2012 z MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ĐẶT BÀI TOÁN 01 CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC PHỤ TRỢ 04 1.1 Hàm đặc trƣng 04 1.1.1 Định nghĩa 04 1.2 Một số khái niệm kết cần dùng 06 Chƣơng ĐẶC TRƢNG CỦA VECTƠ NGẪU NHIÊN CÓ CẤU 24 TRÚC TUYẾN TÍNH 2.1 Các định lý đặc trƣng 24 2.2 Mơ hình phân tích nhân tố 34 2.3 Bài toán hồi quy biến cấu trúc 39 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 z Lời nói đầu Khi nghiên cứu biến ngẫu nhiên, ta biết phân phối biến ngẫu nhiên gần ta nắm bắt tất thơng tin biến ngẫu nhiên Tuy nhiên việc tìm phân phối biến ngẫu nhiên lại tốn khó Luận văn phương pháp để nhận biết phân phối biến ngẫu nhiên thông qua cấu trúc tuyến tính vectơ ngẫu nhiên p chiều X Dựa mục đích đặt ra, luận văn trình bày sau gồm có chương Chương I chương gồm kiến thức phụ trợ, chủ yếu trình bày lại kiến thức biết để phục vụ cho việc chứng minh định lý chương sau Bao gồm: kiến thức hàm đặc trưng, số bổ đề tồn moment, khái niệm hàm giải tích, hàm quy, bổ đề có liên quan đến nghiệm phương trình hàm Chương II tập trung trình bày định lý đặc trưng phân phối biến ngẫu nhiên, mơ hình phân tích nhân tố tốn hồi quy biến cấu trúc Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Đào Hữu Hồ Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, người cung cấp tài liệu khoa học tận tình hướng dẫn tác giả suốt thời gian làm luận văn Do trình độ tác giả cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tác giả xin nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hồn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! i z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Đặt tốn Ta nói vectơ p- chiều X có cấu trúc tuyến tính biểu diễn dạng: X = µ + AY (1) đó, µ vectơ hằng, Y vectơ ngẫu nhiên với thành phần độc lập, không suy biến, A ma trận khơng có cột tỷ lệ với Nếu Y vectơ q - chiều A ma trận p × q Các thành phần Y gọi biến cấu trúc Giả sử X = ν + BZ dạng biểu diễn khác tương tự (1) X Hai biểu diễn X = µ + AY X = ν + BZ gọi tương đương cấu trúc cột A tỷ lệ với cột B ngược lại Trái lại, hai biểu diễn gọi khơng tương đương Nếu tất biểu diễn cấu trúc vectơ ngẫu nhiên tương đương với ta nói vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc Cũng X có cấu trúc lại tồn hai dạng biểu diễn X cho biến cấu trúc Y Z có phân bố khác Ta nói dạng tuyến tính biểu diễn (1) X có cấu trúc phân bố biến cấu trúc với độ xác đến tham số tịnh tiến tỷ lệ Xét ví dụ X = µ + AY (2) đó, Y vectơ với thành phần độc lập, thành phần có phân bố chuẩn N(0; 1) Hàm đặc trưng X có dạng: E exp(it T X) = eit Tµ E exp(it T AY ) = exp(it T µ − t T AAT t) (3) Do đó, phân bố X phụ thuộc vào µ ma trận xác định khơng âm Λ = A.AT Vì X có phân bố chuẩn p - chiều N p (µ, Λ) (xem tài liệu [9]) Nhưng với ma trận Λ cho trước, phân tích Λ = A.AT khơng 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Nếu Λ = B.BT phân tích khác, B ma trận cấp p × r (cấp B khác với A hạng chúng thiết phải nhau), đó, X có biểu diễn X = µ + BZ (4) đó, Z vectơ r - chiều với thành phần độc lập có phân phối chuẩn N(0; 1) Ví dụ: Với ma trận Λ cho sau:    Λ= 10 30 Ta xét ma trận:    √ 2 √ A =  √ ;B =  √5 + √5 5 2 √  √  ;C √ − √5 2  = 1 1   Khi ta có AAT = BBT = CCT = Λ Do vậy, ba biểu diễn    X1 = 2Y1 √   X2 = 5Y1 + 5Y2  √ √   X1 = 2U1 + 2U2 √ √   X2 = ( √5 + √5 )U1 + ( √5 − √5 )U2 2 2    X1 = W1 +W2 +W3 +W4 (5)   X2 = W1 + 2W2 + 3W3 + 4W4 tương ứng với phân phối chuẩn hai chiều biến cấu trúc độc lập có phân phối chuẩn N(0; 1) Vậy cấu trúc vectơ chuẩn không nhất, số biến cấu trúc cho mối liên hệ biến Trong luận văn này, ta nghiên cứu chất vectơ ngẫu nhiên thừa nhận biểu diễn cấu trúc không tương đương Đặc biệt, ta 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 vectơ ngẫu nhiên chuẩn hoàn tồn đặc trưng tính khơng cấu trúc tuyến tính Mọi vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính phân tích thành tổng hai vectơ độc lập, vectơ có cấu trúc nhất, khơng vectơ chuẩn vectơ lại vectơ ngẫu nhiên chuẩn Những kết trình bày cho ta cách giải hồn chỉnh tốn tính khơng đồng tham số cấu trúc tuyến tính Tương tự, ta xét cấu trúc tuyến tính mơ hình phân tích nhân tố Bài tốn nghiên cứu luận văn xem tốn tính phân phối vectơ thống kê Khi µ + AY ν + BZ có phân phối? 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Một số kiến thức phụ trợ 1.1 Hàm đặc trưng 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Hàm số ϕX (t) = EeitX = E costX + iE sintX, t ∈R gọi hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên X Dễ thấy rằng, FX (x) hàm phân phối biến ngẫu nhiên X Z ϕX (t) = R eitx dFX (x), t ∈ R Nếu X có mật độ f (x) Z ϕX (t) = eitx f (x)dx R Giả sử x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , tích vơ hướng x y cho (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn Định nghĩa 1.2 Giả sử X = (X1 , X2 , , Xn ) vectơ ngẫu nhiên nhận giá trị Rn Hàm đặc trưng X hàm số ϕX (t) = Ee i(t,X) Z = Rn ei(t,x) dFX (x), t ∈ Rn 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Một số kiến thức phụ trợ Ví dụ Giả sử X có phân phối chuẩn N(0, 1) Khi itX ϕ(t) = Ee =√ 2π Z +∞ eitx− x dx −∞ Lấy đạo hàm theo t +∞ ϕ (t) = √ ixeitx− x dx 2π −∞ Z +∞ Z +∞ −i t itx− 21 x2 =√ dx − √ (it − x)e eitx− x dx 2π −∞ 2π −∞ Z +∞ −x i t itx− 12 x2 √ = − √ eitx e |+∞ − dx e −∞ 2π 2π −∞ Z = −tϕ(t) Như vậy, ϕ (t) = −tϕ(t) Từ t2 ϕ(t) = Ce− Nhưng ϕ(0) = nên C = t2 ϕ(t) = e− Nếu X có phân phối N(a, σ ) X =σ X −a + a = σY + a với Y ∼ N(0, 1) σ Vậy ϕX (t) = EeitX = EeitσY +ita = eita ϕY (σt) = eita− σ 2t 2 1.1.2 Một số tính chất hàm đặc trưng Giả sử X có hàm phân phối F ϕ(t) hàm đặc trưng X Khi p |ϕ(t)| ≤ ϕ(0) = 1, |ϕ(t + h) − ϕ(t)| ≤ − Reϕ(h) Rez phần thực z ϕ(t) liên tục R ϕ(−t) = ϕ(t) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Một số kiến thức phụ trợ ϕ(t) hàm thực X có phân phối đối xứng, nghĩa X −X phân phối hay tương đương PX (B) = PX (−B), ∀B ∈ ß(R) Nếu X Y độc lập ϕX+Y (t) = ϕX (t).ϕY (t), t ∈ R, đó, X1 , X2 , , Xn độc lập n ϕX1 + +Xn (t) = ∏ ϕXk (t), t ∈ R k=1 Nếu E|X|n < ∞ với n ≥ ϕ(t) có đạo hàm đến cấp n điểm ϕ (k) Z (ix)k eitx dF(x) = ik E(X k eitX ), (t) = EX k = R (k) ϕ (0) , ik n (it)n (it)k ϕ(t) = ∑ EX k + αn (t) k! n! k=0 đó, |αn (t)| ≤ 2E|X n |, αn (t) → t → Đảo lại, ϕ 2n (0) tồn hữu hạn EX 2m < ∞, m số nguyên dương 1.2 Một số khái niệm kết cần dùng Định nghĩa 1.3 Hàm đặc trưng f gọi chia vô hạn với số tự nhiên n tồn hàm đặc trưng fn cho: f (t) = [ fn (t)]n ∀t ∈ R Định nghĩa 1.4 Biểu diễn Levy L(β , σ , M, N) cho hàm đặc trưng chia vô hạn f biểu diễn dạng: log f (t) = iβt − σ 2t + Z +∞ Z h(t, u)dN(u) + h(t, u)dM(u) (1.1) −∞ đó, β số thực, σ ≤ 0, h(t, u) = eitu − − itu hàm M, N + u2 thỏa mãn điều kiện sau 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Theo ý trên, tồn biểu diễn khác có số biến lớn vài biến số phải có phân phối chuẩn Gọi U tập biến có phân phối chuẩn theo định lý 2.3 cấu trúc X phải có dạng: X = AZ + BU (2.5) B = A · K với K Vì cột A độc lập tuyến tính nên (AT A) không kỳ dị Đối với biểu diễn X = AY (AT A)−1 AT X = (AT A)−1 AT AY = Y (2.6) Đối với biểu diễn X = AZ + BU (AT A)−1 AT X = (AT A)−1 AT AZ + (AT A)−1 AT BU = Z + (AT A)−1 AT BU (2.7) T −1 T Do đó, từ (2.6) (2.7) Y Z + (A A) A BU có phân bố, thành phần (AT A)−1 AT BU chuẩn chiều Khi phần tử Y có thành phần chuẩn trừ (AT A)−1 AT B = Thay B A.K vào phương trình (AT A)−1 AT B = 0, ta có K = điều kéo theo B = AK = (2.5) rút gọn thành X = AZ, điều cấu trúc X Mặt khác B = nên từ (2.6) (2.7) suy Y Z có phân bố Vậy biểu diễn Hệ quả: Kết định lý 2.6 số biến cấu trúc có thành phần chuẩn, biến khác khơng Định lý 2.7 Giả sử X = A ·Y biểu diễn cấu trúc X, khơng tổ hợp tuyến tính biến cấu trúc có thành phần chuẩn Khi đó, X có cấu trúc Chứng minh Chứng minh tương tự định lý 2.6 Ở định lý 2.7 ta bỏ qua điều kiện độc lập tuyến tính cột A, sử dụng điều kiện mạnh vắng mặt thành phần chuẩn tổ hợp tuyến tính biến cấu trúc Ví dụ, ta xét vectơ 2-chiều (X1 , X2 ) với cấu trúc tuyến tính:   X1 = Y1 +Y2 +Y3 +Y4  X2 = Y1 + 2Y2 + 3Y3 + 4Y4 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 28 z (2.8) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính đó, biến ngẫu nhiên Y j có phân bố gamma Theo định lý 2.4 2.5 khơng có biểu diễn khác với số biến Vì vậy, biến ngẫu nhiên X1 X2 xây dựng tổ hợp tuyến tính số lớn biến khơng chuẩn không tồn cách biểu diễn tiết kiệm với số lượng biến cấu trúc nhỏ Trong ví dụ trên, cấu trúc nhất, khơng tồn biểu diễn khác với số lượng biến cấu trúc lớn Ví dụ biểu diễn phần cho bởi:   X1 = Y1  X2 (2.9) = Y1 +Y2 đó, biến cấu trúc Y1 Y2 , biến tích chập biến chuẩn biến gamma, tức là, Y1 = U1 +V1 Y2 = U2 +V2 U1 , U2 có phân bố gamma V1 ,V2 có phân bố chuẩn, (U1 ,U2 ) độc lập với (V1 ,V2 ) Do đó, (2.9) viết dạng:   X1 = U1 +V1 (2.10) = U1 +U2 +V1 +V2  X2 Đặt X = (X1 , X2 )T ,U = (U1 ,U2 )T ,V = (V1 ,V2 )T ta có X = AU + BV Ta xét riêng biểu diễn BV Vì V vectơ ngẫu nhiên chuẩn chiều nên BV biểu diễn cấu trúc vectơ ngẫu nhiên chuẩn Theo nhận xét phần đặt tốn cấu trúc vectơ chuẩn phụ thuộc vào ma trận   1  Λ = BBT =  Nhưng với ma trận Λ ta lại phân tích khác sau Λ = B1 BT1 đó,   B1 √1 = √1  √ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 29 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Với phân tích biểu diễn B1 Z (trong đó, Z = (Z1 , Z2 )T vectơ ngẫu nhiên chuẩn) biểu diễn cấu trúc cho vectơ chuẩn Do ta viết (2.10) thành:  Z Z   X1 = U1 + √1 + √2 2 (2.11) √   X = U +U + 2Z 2 Cấu trúc không tương đương với (2.10) cột ma trận biểu diễn (2.10) không tỷ lệ với cột ma trận biểu diễn (2.11) Định lý 2.8 Giả sử X = A ·Y biểu diễn với số biến cấu trúc cho trước Nếu biến cấu trúc không chuẩn cột A độc lập tuyến tính, biểu diễn X = AY với số biến cấu trúc xác định Chứng minh Để chứng minh biểu diễn X = AY ta cần chứng minh X có cấu trúc phân phối biến cấu trúc Từ điều kiện định lý, áp dụng định lý 2.6 2.7 X có cấu trúc với số biến cấu trúc cho trước Bây ta cần chứng minh phân phối biến cấu trúc Giả sử X = AY X = AZ hai biểu diễn X, ta cần chứng minh Y Z có phân phối Vì cột A độc lập tuyến tính nên ma trận (AT A) khơng kỳ dị, tức tồn (AT A)−1 , Y = (AT A)−1 AT X Z = (AT A)−1 AT X Từ đó, Y Z có phân phối Vậy biểu diễn X = AY Định lý 2.8 chứng minh Định lý 2.9 (Định lý tính khai triển) Giả sử X = A ·Y biểu diễn cấu trúc X giả sử cột A độc lập tuyến tính Khi X biểu diễn thành tổng X = X1 + X2 , X1 , X2 độc lập, X1 có cấu trúc X2 có phân bố chuẩn nhiều chiều với cấu trúc không Hơn nữa, khai triển nhất, nghĩa là: Nếu X = Z1 + Z2 khai triển khác, Z2 vectơ chuẩn nhiều chiều Z1 có cấu trúc nhất, Z1 , Z2 độc lập, Z1 X1 có phân bố tương tự Z2 X2 phân bố Nếu X = U1 +U2 khai triển bất kỳ, U2 vectơ chuẩn nhiều chiều D(X2 ) − D(U2 ) ma trận xác định không âm (ở ta ký hiệu D(Y ) ma trận phân tán Y ) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 30 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Chứng minh Ta lưu ý biến ngẫu nhiên X chiều cho trước ta ln biểu diễn dạng X = X1 + X2 , X1 , X2 độc lập, X2 biến ngẫu nhiên chuẩn X1 không biến ngẫu nhiên chuẩn Để chứng minh khẳng định này, ta giả sử f hàm đặc trưng X xét tập tất a cho f (t)e at 2 hàm đặc trưng Theo tính chất hàm đặc trưng at 2 | f (t)e | ≤ Do đó, tập có cận thực a∗ Theo định lý tính liên tục Levy-Cramer f (t)e a∗ t 2 hàm đặc trưng Giả sử hàm ∗2 − a 2t đặc trưng X1 giả sử e hàm đặc trưng X2 Vì hàm đặc trưng X tích hai hàm đặc trưng X1 X2 nên X khai triển thành X = X1 + X2 khai triển cần tìm Biến X2 gọi thành phần chuẩn lớn X Bây giờ, xét biểu diễn vectơ ngẫu nhiên X = AY đặt Y = Y1 +Y2 Y2 vectơ với thành phần chuẩn lớn phần tử Y Khi X = AY1 + AY2 (2.12) Một số phần tử Y1 Y2 0, trường hợp (2.12) viết dạng: X = A1 Z1 + A2 Z2 , phần tử khơng suy biến Y1 ,Y2 cột A tương ứng với chúng giữ lại Theo xây dựng A2 Z2 vectơ chuẩn nhiều chiều A1 Z1 có cấu trúc Việc chọn X1 = A1 Z1 X2 = A2 Z2 khẳng định ta Theo định lý 2.8 X1 Z1 có phân bố Theo bổ đề 1.13 D(X2 ) − D(U2 ) ma trận xác định không âm Định lý chứng minh Chứng minh định lý hợp lý thay điều kiện độc lập tuyến tính cột A định lý điều kiện độc lập tuyến tính cột A mà liên quan tới thành phần không chuẩn Y Nhận xét: Giả sử X = A · Y biểu diễn cấu trúc cho cột A tương ứng với thành phần không chuẩn Y độc lập tuyến tính Khi X có khai triển X = B · U + ε, ε có phân bố chuẩn p-chiều, U vectơ biến độc lập với thành phần không chuẩn, U ε độc lập tuyến tính Khai triển nhất, tức là, X = B1 ·U1 + ε1 khai triển khác ma trận B B1 tương đương, U U1 có phân bố trừ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 31 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính trường hợp thay đổi tỷ lệ vị trí, ε ε1 có phân bố chuẩn p-chiều Bây giờ, ta xét trường hợp cột ma trận A tương ứng với thành phần khơng chuẩn biểu diễn X = A ·Y phụ thuộc tuyến tính Ta có định lý tổng quát Định lý 2.10 (Định lý khai triển) Cho X vectơ ngẫu nhiên p-chiều với cấu trúc tuyến tính X = AY Khi X có khai triển X = X1 + X2 (2.13) X1 , X2 độc lập, X1 có cấu trúc X2 vectơ chuẩn p-chiều Nhận xét: Sự khác biệt kết định lý 2.9 2.10 chỗ, định lý 2.9 ta đảm bảo khơng tính cấu trúc X1 mà cịn có tính phân bố, ta suy tính chất lớn ma trận phân tán thành phần chuẩn X2 Trong trường hợp tổng quát, ta địi hỏi tính phân bố X1 hay tính lớn ma trận phân tán X2 Chứng minh Xét biểu diễn X = A ·Y khai triển X = A1Y1 + A2Y2 = U1 +U2 , (2.14) Y1 vectơ với thành phần không chuẩn, Y2 vectơ với thành phần chuẩn, U1 U2 độc lập U2 vectơ chuẩn p-chiều Nhưng U1 = A1 · Y1 có cấu trúc khơng Nếu U1 có cấu trúc khác, theo định lý 2.3 U1 = A1 ·Y1α + Bα Zα = X1α + X2α (2.15) Zα vectơ biến chuẩn tiêu chuẩn Xét tập S ma trận xác định không âm Dα = Bα BTα cho khai triển (2.15) tồn Khi đó, theo chứng minh bổ đề 1.13 tồn ma trận G = H · H T giới hạn dãy {Bn BTn } cho khơng có phần tử S "lớn hơn" G Dãy tương ứng vectơ ngẫu nhiên {Xn } hội tụ theo luật tới vectơ X1 , theo bổ đề 1.14, X1 có cấu trúc tuyến tính X1 = A1V1 Khi A1Y1 = U1 = A1V1 + HV2 Nếu ta đặt X1 = A1V1 X1 có cấu trúc Thực vây, trường hợp ngược lại ta đặt X1 = A1W1 + FW2 , W2 vectơ biến 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 32 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính ngẫu nhiên chuẩn tiêu chuẩn Trong trường hợp này, U1 = A1W1 + FW2 + HV2 , ma trận phân tán thành phần chuẩn FW2 + HV2 FF T + HH T ≥ HH T = G Điều mâu thuẫn cho ta tính cấu trúc X1 Từ (2.14), ta có: X = A1Y1 + A2Y2 = (A1V1 + HV2 ) + A2Y2 = (A1V1 ) + (HV2 + A2Y2 ) = X1 + X2 , X1 X2 độc lập, X1 có cấu trúc X2 chuẩn nhiều chiều Định lý chứng minh Ta dẫn ví dụ hai khai triển có tính chất nói đến định lý 2.10 Giả sử biến ngẫu nhiên V1 , V2 có phân bố gamma U1 ,U2 ,U3 ,U4 1 có phân bố chuẩn với trung bình phương sai 1; ; 1; tương 2 ứng Ta đặt Y1 = V1 , Y2 = V2 +U1 , Z1 = V1 +U2 , Z2 = V2 Khi biểu diễn     X1 = Z1 +U4 X1 = Y1 +U3 ,   X2 = Z2 + 2U4 X2 = Y2 +U3 rút gọn thành khai triển:     Y1 U3 X =  + , Y2 U3     Z1 U4  X =  + Z2 2U4 đó, thấy (Y1 ,Y2 )T (Z1 , Z2 )T có cấu trúc nhất, (U3 ,U3 )T (U4 , 2U4 )T vectơ chuẩn chiều mà ma trận phân tán chúng thỏa mãn lớn Định lý 2.11 Giả sử Y vectơ hệ n biến ngẫu nhiên độc lập Z1 = AY , Z2 = BY , Z3 = CY ba tập hàm tuyến tính cho phân bố có điều kiện Z1 với điều kiện Z3 cho trùng với phân phối có điều kiện Z2 với điều kiện Z3 cho Hơn nữa, giả sử αi , βi νi vectơ cột thứ i A, B C tương 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 33 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính   αi ứng Khi Yi -thành phần thứ i Y chuẩn   không tỷ lệ với bất νi       βj βi αj kỳ   nào,   không tỷ lệ với   νj νi νj Chứng minh Phát biểu dựa phân bố có điều kiện tương đương với việc nói (Z1 , Z3 ) (Z2 , Z3 ) có phân bố Khi kết thu cách cho hàm đặc trưng sau áp dụng bổ đề 1.5 2.2 Mơ hình phân tích nhân tố Trong phần này, ta xét mơ hình với ràng buộc hệ số cấu trúc Ta nói vectơ ngẫu nhiên p-chiều X có cấu trúc mơ hình phân tích nhân tố nếu: X = A·F +ε (2.16) A ma trận cỡ p × r khơng có cột tỷ lệ với cột lại A hay với cột ma trận đồng I p cấp p, thành phần f1 , , fr F ε1 , , ε p ε độc lập với nhau, fi gọi "nhân tố chung" εk gọi "nhân tố riêng" Định lý 2.12 Mơ hình phân tích nhân tố (2.16) có cấu trúc nhân tố chung không chuẩn Nếu số nhân tố chung lớn điều kiện "tính khơng chuẩn (r − 1) nhân tố chung" điều kiện cần cho tính cấu trúc Chứng minh Định lý suy từ kết định lý 2.1 Thật vậy, giả sử (2.16) khơng có cấu trúc Khi tồn mơ hình phân tích X = BG + ε1 cho tồn cột ma trận A không tỷ lệ với cột ma trận B Khi biến fi tương ứng với cột ma trận A biến chuẩn, điều trái với giả thiết fi khơng chuẩn Tính cấu trúc khơng có nghĩa phân phối nhân tố chung phân phối nhân tố riêng nhất, nghĩa tồn hai biểu diễn: X = AF1 + ε1 X = AF2 + ε2 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 34 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính đó, F1 F2 ε1 ε2 không thiết phân phối Chúng ta nghiên cứu điều kiện để mơ hình Định lý 2.13 Xét mơ hình phân tích nhân tố X = AF + ε Giả sử thành phần F không chuẩn hạng A# r (ma trận A] xác định bổ đề 1.7) Khi lân cận điểm gốc hàm đặc trưng vectơ ngẫu nhiên F ε xác định với sai khác thừa số dạng mũ Chứng minh Xét hai biểu diễn: X = AF1 + ε1 X = AF2 + ε2 (2.17) Fi có thành phần fi1 , , fir εi1 , , εip với i = 1, Hàm đặc trưng T X (Eeit X ) biểu diễn hai cách với hai biểu diễn (2.17) sau E exp{it T AF1 + it T ε1 } = E exp{it T AF2 + it T ε2 } (2.18) Gọi ϕi j φi j tương ứng hàm đặc trưng fi j εi j với i = 1, Từ phương trình (2.18) ta có p p r T T t j ε2 j }, t j ε1 j } = E exp{i (α j t) f2 j + i E exp{i (α j t) f1 j + i j=1 j=1 j=1 j=1 r ∑ ∑ ∑ ∑ α j cột thứ j A t1 , ,t p thành phần t Phương trình tương đương với p r ∏ j=1 ϕ1 j (α Tj t) r ∏ φ1 j (t j ) = ∏ p ϕ2 j (α Tj t) j=1 j=1 ∏ φ2 j (t j ) (2.19) j=1 Lấy logarit hai vế phương trình (2.19) đặt ψ j = log ϕ1 j − log ϕ2 j , B j = log φ2 j − log φ1 j , ta nhận phương trình hàm sau với t lân cận điểm gốc r ∑ ψ j (α Tj t) = B1(t1) + · · · + B p(t p), |ti | < δ , ≤ i ≤ p j=1 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 35 z (2.20) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Điều kiện hạng A# r với bổ đề 1.7 đảm bảo tính tuyến tính hàm ψ j Bk (1 ≤ j ≤ r, ≤ k ≤ p) Từ hàm đặc trưng f j1 f j2 sai khác thừa số dạng exp ic jt, khẳng định tương tự cho hàm đặc trưng ε j1 ε j2 Chú ý: Nếu hàm đặc trưng thành phần F ε không triệt tiêu đường thẳng thực Khi khẳng định cuối định lý 2.13 cho tồn đường thẳng thực Định lý 2.14 Xét mơ hình phân tích nhân tố X = AF + ε Giả sử tất thành phần F không chuẩn tất thành phần ε chuẩn rank A = rank A# = r Khi phân phối vectơ ngẫu nhiên F ε xác định với sai khác tham số tịnh tiến Chứng minh Xét hai biểu diễn X X = AF1 + ε1 X = AF2 + ε2 Giả sử φ j1 φ j2 hàm đặc trưng f j1 f j2 tương ứng Cân hai biểu thức hàm đặc trưng X ta được: r ∏ φ j1 (α Tj t) = r ∏ φ j2(α Tj t) exp Q(t) j=1 j=1 Q đa thức bậc t1 ,t2 , ,t p , thành phần ε1 ε2 chuẩn Ký hiệu α Tj t τ j , biểu thức viết lại: r r ∏ φ j1(τ j ) = ∏ φ j2(τ j ) exp Q(τ1, τ2, , τr ) j=1 (2.21) j=1 phương trình xác định với τ1 , τ2 , , τr rank A = r Mặt khác, theo định lý 2.13 lân cận điểm gốc φ j1 φ j2 sai khác thừa số dạng exp(ic jt), từ kéo theo Q(τ1 , , τr ) chứa số hạng tuyến tính Bây ta chọn τ2 = τ3 = = τr = 0, biểu thức (2.21) trở thành: φ11 (τ1 ) = φ12 (τ1 ) exp(λ1 τ1 ) tức phân bố f11 f12 xác định nhất, sai khác tham số tịnh tiến Tương tự, ta nhận kết cho cặp f j1 , f j2 ε j1 , ε j2 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 36 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Định lý 2.4 chứng minh Trường hợp có nhân tố chung phân phối chuẩn đòi hỏi nghiên cứu riêng Định lý 2.15 Xét mơ hình Xi = f + εi i = 1, 2, , p (2.22) f có phân phối chuẩn Khi đó, cấu trúc mơ hình có ba số hệ số a1 , a2 , , a p khác Chứng minh Giả sử có hai mơ hình khác với hệ số (a1 , a2 , , a p ) (b1 , b2 , , b p ) khác biệt Giả sử nhân tố riêng tương ứng với mơ hình có hệ số b1 , b2 , , b p (ε1∗ , , ε p∗ ) Ký hiệu X = (X1 , X2 , , X p )T , Xi có biểu diễn (2.22) Ký hiệu hàm đặc trưng εi εi∗ φi φi∗ Hàm đặc trưng vectơ X tương ứng với mơ hình có hệ số (a1 , a2 , , a p )   E exp it T X = E exp i(a1t1 + a2t2 + + a pt p ) f + iε1 + + iε p Do f biến ngẫu nhiên chuẩn nên   E exp i(a1t1 +a2t2 + .+a pt p ) f = exp − σ12 (a1t1 +a2t2 + .+a pt p )2 Do n o  T 2 E exp it X = φ1 (t1 ) · · · φ p (t p ) exp − σ1 (a1t1 + · · · + a pt p ) (2.23) Tương tự, ta có hàm đặc trưng vectơ X tương ứng với mơ hình có hệ số (b1 , b2 , , b p ) n o  T ∗ 2 ∗ (2.24) E exp it X = φ1 (t1 ) · · · φ p (t p ) exp − σ2 (b1t1 + · · · + b pt p ) Từ (2.23) (2.24) ta đẳng thức o n 2 φ1 (t1 ) · · · φ p (t p ) exp − σ1 (a1t1 + · · · + a pt p ) o (2.25) n ∗ ∗ 2 = φ1 (t1 ) · · · φ p (t p ) exp − σ2 (b1t1 + · · · + b pt p ) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 37 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Bởi (2.25) đồng t j nên: + Chọn ti 6= 0,t j = 0, ∀ j 6= i ta n o n o 2 ∗ 2 φi (ti ) exp − σ1 ti = φi (ti ) exp − σ2 bi ti 2 + Chọn t j 6= 0,ti = 0, ∀i 6= j ta n o o n 2 2 2 ∗ φ j (t j ) exp − σ1 a j t j = φ j (t j ) exp − σ2 b j t j 2 + Chọn ti ,t j 6= 0,tk = 0, ∀k 6= i, j ta o n 2 φi (ti )φ j (t j ) exp − σ1 (aiti + a jt j ) = φi∗ (ti )φ ∗j (t j ) exp n o 2 − σ2 (biti + b jt j ) (2.26) (2.27) (2.28) Sử dụng (2.26) (2.27) phương trình (2.28) rút gọn thành σ12 a j = σ22 bi b j ∀ i 6= j (2.29) Với điều kiện có ba hệ số số hệ số a j khác , khơng tính tổng qt ta giả sử , a j , ak 6= Từ phương trình (2.29) ta có σ12 a j = σ22 bi b j ∀ i 6= j σ12 ak = σ22 bi bk ∀ i 6= k Nhân vế với vế hai phương trình sử dụng đẳng thức (2.29) ta σ12 a2i = σ22 b2i (2.30) tức là, σ1 = ±σ2 bi Từ đó, thay vào phương trình (2.26) ta φi = φi∗ Định lý chứng minh Ta phải ý định lý không cần giả thiết liên quan đến phân phối εi Hai kết sau đưa Reiersol (xem tài liệu [10]) Định lý 2.16 Xét mơ hình X1 = a1 f + ε1 , X2 = a2 f + ε2 (2.31) f biến ngẫu nhiên chuẩn Khi điều kiện cần đủ để cấu trúc (và mơ hình nhất) ε1 ε2 khơng có thành phần chuẩn 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 38 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Chứng minh Chứng minh dựa phân tích đồng thức (2.25) mà viết mơ hình (2.31) Định lý 2.17 Xét mơ hình X1 = Y +U, X2 = βY +V β số, (U,V ) có phân phối chuẩn hai chiều Y biến ngẫu nhiên không chuẩn, độc lập với (U,V ) Khi đó, cấu trúc (X1 , X2 ) nhất, mơ hình điều kiện sau thỏa mãn: (i) Y khơng có thành phần chuẩn (ii) U = V = (không 0) Chứng minh Chúng ta cần viết hàm đặc trưng (X1 , X2 ) hai cách tương ứng với hai biểu diễn khác so sánh biểu thức nhận 2.3 Bài toán hồi quy biến cấu trúc Xét mơ hình phân tích nhân tố mục 2.2 cho vectơ ngẫu nhiên p-chiều X: X = A·F +ε (2.32) đây, A ma trận cấp p × r với tất cột chứa hai phần tử khác khơng hàng chứa tồn phần tử 0, F vectơ ngẫu nhiên r-chiều với thành phần Fi độc lập ε vectơ ngẫu nhiên p-chiều với thành phần εi độc lập, đồng thời F ε độc lập Xét biến ngẫu nhiên thứ (p + 1) xác định bởi: Y = aT F + ε0 (2.33) a vectơ cố định, ε0 biến ngẫu nhiên độc lập với F Chúng ta nghiên cứu điều kiện để hồi quy Y X tuyến tính Khơng tính tổng quát, ta giả sử rằng: E(F) = 0, E(ε) = 0, E(ε0 ) = Giả sử tính hồi quy Y X tuyến tính E(Y |X) = β T X Từ (2.32) ta có β T X = β T AF + β T ε 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 39 z (2.34) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Định lý 2.18 Giả sử p ≥ hồi quy ε0 ε tuyến tính: E(ε0 |ε) = δ T ε Khi E(Y |X) = β T X điều kiện sau thỏa mãn: (i) Giả sử γ j thành phần thứ j vectơ a − AT β Nếu γ j khác Fj chuẩn (ii) Giả sử ξ j thành phần thứ j vectơ β − δ Nếu ξ j khác ε j biến ngẫu nhiên chuẩn (iii) Nếu Fj ε j biến ngẫu nhiên chuẩn Var Fj = σ 2j , Var ε j = η 2j , vectơ β số σ j , η j phải có mối liên hệ với theo đồng thức (2.39) đòi hỏi thêm điều kiện β cho số thành phần vectơ a − AT β β − δ phải triệt tiêu Chứng minh Áp dụng bổ đề 1.4 ta được:   E (Y − β T X) exp(it T X) = (2.35) Biểu diễn Y β T X qua biến cấu trúc F, ε0 ε Phương trình (2.35) tương đương với   E (aT F + ε0 − β T AF − β T ε) exp it T (AF + ε) = (2.36) Do E(ε0 /ε) = δ T ε nên (2.36) viết lại
E[ (aT − β T A)F + (δ T − β T )ε exp it T (AF + ε)] = Gọi γ j , ξ j tương ứng phần tử thứ j vectơ aT − β T A δ T − β T , gọi α j cột thứ j ma trận A, ta p h r i i(∑ α Tj tFj +∑ t j ε j ) E ( ∑ γ j Fj + ∑ ξ j ε j )e = j=1 (2.37) j=1 Ký hiệu hàm đặc trưng Fj f j , ε j g j đặt φ j = f j0 fj , hj = g0j gj lân cận điểm gốc Phương trình (2.37) rút gọn thành: r n ∑ γ j φ j (α Tj t) + ∑ ξ j h j (t j ) = 0, j=1 |t| < δ j=1 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 40 z (2.38) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Nếu γ j 6= 0, áp dụng bổ đề 1.6 φ j đa thức Khi sử dụng lập luận quen thuộc, ta nhận bậc φ j cao biến ngẫu nhiên tương ứng chuẩn (có thể suy biến) Tương tự ξ j khác ε j chuẩn (có thể suy biến) Nếu trường hợp Fj ε j chuẩn ta đặt Var Fj = σ 2j , Var ε j = η 2j ký hiệu ∑∗ tổng lấy theo j mà γ j 6= 0, ξ j 6= 0, đó, thu được: ∗ ∗ ∑ γ j σ 2j (α Tj t) + ∑ ξ j η 2j t j = (2.39) Ta ý γ j = Fj biến ngẫu nhiên tương tự ε j ξ j = Như vậy, chứng minh xong điều kiện cần định lý Điều kiện đủ thiết lập việc lập luận ngược lại lưu ý (2.38) với t Fj ε j chuẩn Định lý 2.19 Giả sử X = AF + ε mơ hình phân tích nhân tố, rank A số cột A Xét biến ngẫu nhiên Y = aT F + ε0 giả sử tất biến ngẫu nhiên khơng suy biến có kỳ vọng 0, biến ngẫu nhiên ε0 độc lập với F E(ε0 |ε) = δ T ε Để hồi quy Y X tuyến tính với a điều kiện cần đủ tất thành phần vectơ ngẫu nhiên F ε chuẩn Chứng minh Giả sử A ma trận p × r, rank A = r, E(Y |X) = β T X, β phụ thuộc vào a Phương trình (2.38) viết: p r ∑ (a j − β T α j )φ j (α Tj t) + j=1 ∑ (δk − βk )hk (tk ) = (2.40) k=1 α1 , , αr cột A, ak , δk , βk thành phần thứ k vectơ a, δ , β tương ứng Giả sử với a: a j = β T α j, j = 1, 2, , s < r δk = βk , k = 1, 2, , m < p (2.41) (2.42) Chúng ta giả sử s 6= r m 6= p Khi dễ dàng suy từ bổ đề 1.6 ngẫu nhiên Fs+1 , , Fr εm+1 , , ε p chuẩn 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 41 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Đặc trưng vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính Khơng tính tổng qt, trường hợp Fi , ε j có phân phối chuẩn ta giả sử Var Fi = σi2 , Var ε j = Lưu ý trường hợp φi (u) = −σi2 u h j (u) = −u, giản ước (2.40) dựa điều kiện (2.41) (2.42) ta được: r ∑ p σ 2j (a j − β T α j )(α Tj t) + j=s+1 ∑ (δk − βk )tk = (2.43) k=m+1 Ký hiệu C ma trận với cột αs+1 , , αr D ma trận chéo với phần , , σ vectơ ξ có thành phần a tử đường chéo σs+1 s+1 , , ar r Với ký hiệu (2.43) viết dạng ma trận sau: β T (CDCT + I)t = ξ T DCT t + δ T t ⇔ (CDCT + I)β = CDξ + δ (2.44) Do hạng (CDCT + I) p nên β xác định (2.44) ξ cho Nhưng β phải thỏa mãn (2.41) với a j , j = 1, , s Điều không thể, nên s = Do (2.40) hệ số φ j (α Tj t) khác với giá trị a Từ đó, suy tất thành phần F chuẩn Nếu ta bỏ điều kiện (2.41) (2.44) viết (ADAT + I)β = ADξ + δ (2.45) đây, ma trận đường chéo D xây dựng phương sai r thành phần F ξ = a Từ (2.45) β = δ + Aγ (2.46) với γ thích hợp Vậy (2.45) có dạng: (ADAT + I)Aγ = AD(ξ − AT δ ) (2.47) Khi ξi nhận giá trị khơng gian p-chiều γ Với γ, ta nhận β theo (2.46) Nếu βi = δi với γ dịng thứ i A phải vectơ Do điều kiện định lý 2.19 biểu thức (2.42) khơng thể thỏa mãn với a Do đó, hệ số h j (t j ) (2.40) khác với j với giá trị a Bởi tất ε j chuẩn Định lý 2.20 Giả sử r = 1, F có thành phần F1 giả sử F1 , ε1 , , ε p ε0 biến ngẫu nhiên độc lập khơng suy biến (ε0 suy biến) Để hồi quy Y X tuyến tính (và khơng số) tức E(Y |X) = α + β T X = α + β1 X1 + · · · + β p X p 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 42 z