Luận Văn Thạc Sĩ Đặc Trưng Của Các Biến Ngẫu Nhiên Có Cấu Trúc Tuyến Tính .Pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đặng Văn Trọng ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ CẤU TRÚC TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đặng Văn Trọng ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ CẤU TRÚC TUYẾN TÍNH Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đào Hữu Hồ Hà Nội - 2012 z MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ĐẶT BÀI TOÁN 01 CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC PHỤ TRỢ 04 1.1 Hàm đặc trƣng 04 1.1.1 Định nghĩa 04 1.2 Một số khái niệm kết cần dùng 06 Chƣơng ĐẶC TRƢNG CỦA VECTƠ NGẪU NHIÊN CÓ CẤU 24 TRÚC TUYẾN TÍNH 2.1 Các định lý đặc trƣng 24 2.2 Mơ hình phân tích nhân tố 34 2.3 Bài toán hồi quy biến cấu trúc 39 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 z Lời nói đầu Khi nghiên cứu biến ngẫu nhiên, ta biết phân phối biến ngẫu nhiên gần ta nắm bắt tất thơng tin biến ngẫu nhiên Tuy nhiên việc tìm phân phối biến ngẫu nhiên lại tốn khó Luận văn phương pháp để nhận biết phân phối biến ngẫu nhiên thông qua cấu trúc tuyến tính vectơ ngẫu nhiên p chiều X Dựa mục đích đặt ra, luận văn trình bày sau gồm có chương Chương I chương gồm kiến thức phụ trợ, chủ yếu trình bày lại kiến thức biết để phục vụ cho việc chứng minh định lý chương sau Bao gồm: kiến thức hàm đặc trưng, số bổ đề tồn moment, khái niệm hàm giải tích, hàm quy, bổ đề có liên quan đến nghiệm phương trình hàm Chương II tập trung trình bày định lý đặc trưng phân phối biến ngẫu nhiên, mơ hình phân tích nhân tố tốn hồi quy biến cấu trúc Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Đào Hữu Hồ Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, người cung cấp tài liệu khoa học tận tình hướng dẫn tác giả suốt thời gian làm luận văn Do trình độ tác giả cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tác giả xin nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hồn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! i z Đặt tốn Ta nói vectơ p- chiều X có cấu trúc tuyến tính biểu diễn dạng: X = µ + AY (1) đó, µ vectơ hằng, Y vectơ ngẫu nhiên với thành phần độc lập, không suy biến, A ma trận cột tỷ lệ với Nếu Y vectơ q - chiều A ma trận p × q Các thành phần Y gọi biến cấu trúc Giả sử X = ν + BZ dạng biểu diễn khác tương tự (1) X Hai biểu diễn X = µ + AY X = ν + BZ gọi tương đương cấu trúc cột A tỷ lệ với cột B ngược lại Trái lại, hai biểu diễn gọi khơng tương đương Nếu tất biểu diễn cấu trúc vectơ ngẫu nhiên tương đương với ta nói vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc Cũng X có cấu trúc lại tồn hai dạng biểu diễn X cho biến cấu trúc Y Z có phân bố khác Ta nói dạng tuyến tính biểu diễn (1) X có cấu trúc phân bố biến cấu trúc với độ xác đến tham số tịnh tiến tỷ lệ Xét ví dụ X = µ + AY (2) đó, Y vectơ với thành phần độc lập, thành phần có phân bố chuẩn N(0; 1) Hàm đặc trưng X có dạng: E exp(it T X) = eit Tµ E exp(it T AY ) = exp(it T µ − t T AAT t) (3) Do đó, phân bố X phụ thuộc vào µ ma trận xác định khơng âm Λ = A.AT Vì X có phân bố chuẩn p - chiều N p (µ, Λ) (xem tài liệu [9]) Nhưng với ma trận Λ cho trước, phân tích Λ = A.AT khơng z Nếu Λ = B.BT phân tích khác, B ma trận cấp p × r (cấp B khác với A hạng chúng thiết phải nhau), đó, X có biểu diễn X = µ + BZ (4) đó, Z vectơ r - chiều với thành phần độc lập có phân phối chuẩn N(0; 1) Ví dụ: Với ma trận Λ cho sau:    Λ= 10 30 Ta xét ma trận:    √ 2 √ A =  √ ;B =  √5 + √5 5 2 √  √  ;C √ − √5 2  = 1 1   Khi ta có AAT = BBT = CCT = Λ Do vậy, ba biểu diễn    X1 = 2Y1 √   X2 = 5Y1 + 5Y2  √ √   X1 = 2U1 + 2U2 √ √   X2 = ( √5 + √5 )U1 + ( √5 − √5 )U2 2 2    X1 = W1 +W2 +W3 +W4 (5)   X2 = W1 + 2W2 + 3W3 + 4W4 tương ứng với phân phối chuẩn hai chiều biến cấu trúc độc lập có phân phối chuẩn N(0; 1) Vậy cấu trúc vectơ chuẩn không nhất, số biến cấu trúc cho mối liên hệ biến Trong luận văn này, ta nghiên cứu chất vectơ ngẫu nhiên thừa nhận biểu diễn cấu trúc không tương đương Đặc biệt, ta z vectơ ngẫu nhiên chuẩn hoàn toàn đặc trưng tính khơng cấu trúc tuyến tính Mọi vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính phân tích thành tổng hai vectơ độc lập, vectơ có cấu trúc nhất, khơng vectơ chuẩn vectơ cịn lại vectơ ngẫu nhiên chuẩn Những kết trình bày cho ta cách giải hoàn chỉnh tốn tính khơng đồng tham số cấu trúc tuyến tính Tương tự, ta xét cấu trúc tuyến tính mơ hình phân tích nhân tố Bài toán nghiên cứu luận văn xem tốn tính phân phối vectơ thống kê Khi µ + AY ν + BZ có phân phối? z Chương Một số kiến thức phụ trợ 1.1 Hàm đặc trưng 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Hàm số ϕX (t) = EeitX = E costX + iE sintX, t ∈R gọi hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên X Dễ thấy rằng, FX (x) hàm phân phối biến ngẫu nhiên X Z ϕX (t) = R eitx dFX (x), t ∈ R Nếu X có mật độ f (x) Z ϕX (t) = eitx f (x)dx R Giả sử x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , tích vơ hướng x y cho (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn Định nghĩa 1.2 Giả sử X = (X1 , X2 , , Xn ) vectơ ngẫu nhiên nhận giá trị Rn Hàm đặc trưng X hàm số ϕX (t) = Ee i(t,X) Z = Rn ei(t,x) dFX (x), z t ∈ Rn Chương Một số kiến thức phụ trợ Ví dụ Giả sử X có phân phối chuẩn N(0, 1) Khi itX ϕ(t) = Ee =√ 2π Z +∞ eitx− x dx −∞ Lấy đạo hàm theo t +∞ ϕ (t) = √ ixeitx− x dx 2π −∞ Z +∞ Z +∞ −i t itx− 21 x2 =√ dx − √ (it − x)e eitx− x dx 2π −∞ 2π −∞ Z +∞ −x i t itx− 12 x2 √ = − √ eitx e |+∞ − dx e −∞ 2π 2π −∞ Z = −tϕ(t) Như vậy, ϕ (t) = −tϕ(t) Từ t2 ϕ(t) = Ce− Nhưng ϕ(0) = nên C = t2 ϕ(t) = e− Nếu X có phân phối N(a, σ ) X =σ X −a + a = σY + a với Y ∼ N(0, 1) σ Vậy ϕX (t) = EeitX = EeitσY +ita = eita ϕY (σt) = eita− 1.1.2 σ 2t 2 Một số tính chất hàm đặc trưng Giả sử X có hàm phân phối F ϕ(t) hàm đặc trưng X Khi p |ϕ(t)| ≤ ϕ(0) = 1, |ϕ(t + h) − ϕ(t)| ≤ − Reϕ(h) Rez phần thực z ϕ(t) liên tục R ϕ(−t) = ϕ(t) z Chương Một số kiến thức phụ trợ ϕ(t) hàm thực X có phân phối đối xứng, nghĩa X −X phân phối hay tương đương PX (B) = PX (−B), ∀B ∈ ß(R) Nếu X Y độc lập ϕX+Y (t) = ϕX (t).ϕY (t), t ∈ R, đó, X1 , X2 , , Xn độc lập n ϕX1 + +Xn (t) = ∏ ϕXk (t), t ∈ R k=1 Nếu E|X|n < ∞ với n ≥ ϕ(t) có đạo hàm đến cấp n điểm ϕ (k) Z (ix)k eitx dF(x) = ik E(X k eitX ), (t) = EX k = R (k) ϕ (0) , ik n (it)n (it)k k ϕ(t) = ∑ EX + αn (t) k! n! k=0 đó, |αn (t)| ≤ 2E|X n |, αn (t) → t → Đảo lại, ϕ 2n (0) tồn hữu hạn EX 2m < ∞, m số nguyên dương 1.2 Một số khái niệm kết cần dùng Định nghĩa 1.3 Hàm đặc trưng f gọi chia vô hạn với số tự nhiên n tồn hàm đặc trưng fn cho: f (t) = [ fn (t)]n ∀t ∈ R Định nghĩa 1.4 Biểu diễn Levy L(β , σ , M, N) cho hàm đặc trưng chia vô hạn f biểu diễn dạng: log f (t) = iβt − σ 2t + Z +∞ Z h(t, u)dN(u) + h(t, u)dM(u) (1.1) −∞ đó, β số thực, σ ≤ 0, h(t, u) = eitu − − thỏa mãn điều kiện sau z itu hàm M, N + u2 ... thừa nhận biểu diễn cấu trúc không tương đương Đặc biệt, ta z vectơ ngẫu nhiên chuẩn hoàn toàn đặc trưng tính khơng cấu trúc tuyến tính Mọi vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc tuyến tính phân tích thành... diễn cấu trúc vectơ ngẫu nhiên tương đương với ta nói vectơ ngẫu nhiên có cấu trúc Cũng X có cấu trúc lại tồn hai dạng biểu diễn X cho biến cấu trúc Y Z có phân bố khác Ta nói dạng tuyến tính. .. ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đặng Văn Trọng ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ CẤU TRÚC TUYẾN TÍNH Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người