I HÅC QC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN KHOA TON - CÌ - TIN HÅC Nguyạn Hỗng Sỡn Copula v ựng dửng ti chẵnh LUN VN THC S KHOA HC Chuyản ngnh: Lỵ thuyát XĂc suĐt v Thống kả toĂn hồc M số : 60 46 15 Ngữới hữợng dăn khoa hồc: TS TrƯn Trång Nguy¶n H Nëi - 2011 z Mưc lưc Kián thực chuân b 1.1 1.2 1.3 Copula cho phƠn phèi nhi·u chi·u v sü phö thuëc 1.1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 1.1.2 Giỵi thi»u v· copula 1.1.3 Mởt vi nh nghắa v tẵnh chĐt cừa copula 1.1.4 CĂc hm phƠn phối ỗng thới Frchet-Hoeffding 1.1.5 Copula v bián ngău nhiản C¡c kh¡i ni»m sü phö thuëc 1.2.1 Tữỡng quan tuyán tẵnh 1.2.2 ở o sỹ tữỡng thẵch 1.2.3 ë o sü phö thuëc 1.2.4 Nhúng kh¡i ni»m phö thuëc kh¡c Sì l÷đc v· c¡c h m copula 1.3.1 Ph¥n phèi elliptic 1.3.2 Copula liản quan án phƠn phối elliptic 1.3.3 Copula Archimedean 1.3.4 Gi¡ trà cüc trà c¡c copula C¡c k¸t luên thống kả và copula 2.1 2.2 2.3 K thuêt mæ phäng ìợc lữủng khæng tham sè 2.2.1 Copula thüc nghi»m 2.2.2 Php ỗng nhĐt cừa copula Archimedean ìợc lữủng tham sè 2.3.1 ìợc lữủng hủp lỵ cỹc Ôi (Maximum likelihood estimation: 2.3.2 Phữỡng phĂp moment Ùng dưng copula o l÷íng rõi ro ti chẵnh 3.1 3.2 Tờn thĐt tờng hủp v phƠn tẵch giĂ tr rừi ro 3.1.1 Trữớng hủp rới rÔc 3.1.2 Trữớng hủp liản tửc Gi¡ trà cüc trà nhi·u chi·u v rõi ro tr÷íng 3.2.1 Lỵ thuyát giĂ tr cỹc tr 3.2.2 CĂc phữỡng phĂp ữợc lữủng z ML) 1 10 12 12 12 16 17 20 20 21 25 26 28 28 29 29 31 31 31 35 37 37 37 38 43 43 48 3.3 3.2.3 Ùng dưng vỵi dú li»u LME TƯn số tữỡng quan v tẵnh toĂn rừi ro T i li»u tham kh£o z 50 55 59 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Ch÷ìng Kián thực chuân b 1.1 Copula cho phƠn phối nhi·u chi·u v sü phö thuëc 1.1.1 C¡c kh¡i ni»m cỡ bÊn 1.1.1.1 Ôi lữủng ngău nhiản Mởt Ôi lữủng (hay mởt bián) nhên cĂc giĂ tr cừa nõ vợi xĂc suĐt tữỡng ựng no Đy gồi l Ôi lữủng ngău nhiản hay bián ngău nhiản Chúng ta thữớng kỵ hiằu cĂc bián ngău nhiản bi cĂc chỳ in hoa X, Y, Z, ho°c ξ, η, ζ, CĂc giĂ tr m bián ngău nhiản nhên thữớng viát bơng chỳ in thữớng: x, y, z, 1.1.1.2 Hm phƠn phối Cho bián ngău nhiản ξ , ta x¡c ành h m ph¥n phèi cõa ξ nh÷ sau: Fξ (x) = P {ξ < x} (1.1) Trong nh nghắa trản x l bián cừa hm F , x nhªn gi¡ trà thüc, x thuëc (−∞, +∞) TÔi mởt im x bĐt ký hm F (x) chẵnh l xĂc suĐt bián ngău nhiản nhên giĂ tr nhọ hỡn x hoc bián ngău nhiản nhên giĂ trà b¶n tr¡i x Ch¿ sè cõa h m Fξ (x) ch hm phƠn phối cừa bián ngău nhiản Trữớng hủp khổng cƯn thiát cõ th bọ qua khổng cƯn viát ch số õ 1.1.1.3 PhƠn phối ỗng thíi Gi£ sû ξ = (ξ1 , ξ2, , ξn ) â ξi , i = 1, 2, , n l c¡c bi¸n ngău nhiản mởt chiÃu, ữủc gồi l vc tỡ ngău nhiản n chiÃu Hm phƠn phối cừa vctỡ ngău nhiản ữủc nh nghắa nhữ sau: F (x1 , x2 , , xn ) = P {ξ1 < x1 , ξ2 < x2 , , ξn < xn }, xi ∈ R, i = 1, , n 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Náu cĂc thnh phƯn i , i = 1, , n cừa vctỡ ngău nhiản ởc lêp vợi thẳ: F (x1 , x2 , , xn ) = P {ξ1 < x1 }.P {ξ2 < x2 } P {ξn < xn } = Fξ1 (x1 )Fξ2 (x2 ) Fξn (xn ) Trong tr÷íng hđp n y, náu i cõ hm mêt ở thẳ: f (x1 , x2 , , xn ) = ∂ n F (x1 , x2 , xn ) = fξ1 (x1 ).fξ2 (x2 ) fξn (xn ) ∂x1 ∂x2 ∂xn õ f, fi l kỵ hiằu hm mêt ở cừa vctỡ v thnh phƯn i 1.1.1.4 PhƠn phối thỹc nghiằm GiÊ sỷ ta cõ mău ngău nhiản (x1 , x2 , , xn ) Xu§t phĂt tứ n giĂ tr cử th m bián ngău nhiản nhên ta xƠy dỹng hm số Fn (x) = f {xi < x} n â f {xi < x} l số cĂc giĂ tr mău xi m nhọ hỡn x Khi x thay ời, ta nhên ữủc hm Fn (x) theo bi¸n sè thüc x H m sè n y ữủc gồi l hm phƠn phối thỹc nghiằm XuĐt phĂt tứ cĂc mău cử th khĂc ta nhên ữủc cĂc hm phƠn phối thỹc nghiằm khĂc ỗ th cừa chúng Ãu l cĂc ữớng bêc thang CĂc ữớng bêc thang khĂc Ãu cõ chung mởt tẵnh chĐt l: Khi cù mău tông vổ hÔn cĂc hm phƠn phối thỹc nghiằm tián án hm phƠn phối lỵ thuyát cƯn tẳm 1.1.2 Giợi thiằu và copula nh nghắa 1.1.1 Gi£ sû S , , S l cĂc têp khổng rộng cừa R, Ơy R ữủc kỵ hiằu l ữớng thng thỹc m rởng [, +∞] Gi£ sû H l mët h m thüc vỵi n bián trản miÃn xĂc nh DomH = S1 ì à · · × Sn v cho a ≤ b (trong â a = (a1 , , an ), b = (b1 , , bn ) v ak ≤ bk vỵi måi k = 1, n), gi£ sû B = [a, b] = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] l mët n-hëp câ c¡c ¿nh DomH Ta nh nghắa th tẵch-H cừa B l: X VH (B) = sgn(c)H(c) n õ c chÔy trản cĂc nh cừa B, v sgn(c) l dữỡng náu c¡c tåa ë cõa nâ câ mët sè ch®n c¡c ck = ak vợi mồi k , v l Ơm trữớng hủp ngữủc lÔi Nõi cĂch khĂc, th tẵch-H cõa mët n-hëp B = [a, b] l : VH (B) = ∆ba H(t) = ∆bann ∆ba11 H(t) â ∆bakk H(t) = H(t1 , , tk−1, bk , tk+1 , , tn ) − H(t1 , , tk−1 , ak , tk+1, , tn ) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chng hÔn, náu H(x1 , , xn ) = P (X1 ≤ x1 , , Xn ≤ xn ) l hm phƠn phối xĂc suĐt ỗng thới cừa mởt bở n bián ngău nhiản X1 , , Xn th¼ ta câ: VH (B) = P (a1 ≤ X1 ≤ b1 , , an ≤ Xn ≤ bn ) ành ngh¾a 1.1.2 H m thüc H cừa n bián ữủc gồi l n-tông náu V cho måi n-hëp B câ c¡c ¿nh n¬m mi·n x¡c ành DomH hay câ thº nâi thº t½ch cừa nõ trản hởp bĐt ký l khổng Ơm H (B) Gi£ sû mi·n x¡c ành cõa mët h m thüc H vợi n bián xĂc nh bi DomH = S1 × · · · × Sn , ð â méi Sk cõ mởt phƯn tỷ nhọ nhĐt ak Chúng ta nõi rơng H cõ Ăy (ground) náu H(t) = vỵi måi t DomH cho tk = ak tÔi số k b nhĐt Náu mội Sk khĂc rộng v cõ phƯn tỷ lợn nhĐt bk , thẳ H cõ phƠn phối biản duyản v phƠn phối biản duyản mởt chiÃu cừa H l hm Hk vợi DomHk = Sk v vỵi Hk (x) = H(b1 , , bk−1 , x, bk+1 , , bn ) vợi x Sk , phƠn phối biản duyản mởt-chiÃu gồi l phƠn phối biản duyản nh lỵ 1.1.1 GiÊ sỷ S , , S l c¡c tªp kh¡c réng cõa R, v giÊ sỷ hm H cõ Ăy n-tông vợi miÃn xĂc nh S1 ì à à à ì Sn Thẳ H l tông theo mội ối số, tực l náu (t1 , , tk−1 , x, tk+1 , , tn ) v (t1 , , tk−1, y, tk+1, , tn ) n¬m mi·n x¡c ành DomH v x ≤ y , th¼ H(t1 , , tk−1 , x, tk+1 , , tn ) ≤ H(t1 , , tk−1 , y, tk+1, , tn ) k nh lỵ 1.1.2 GiÊ sỷ S , , S k l c¡c tªp kh¡c réng cõa R, v gi£ sû h m H câ ¡y n-t«ng vợi phƠn phối biản duyản v miÃn xĂc nh S1 × · · · × Sn Khi â, n¸u b§t ký iºm x = (x1 , , xn ) v y = (y1 , , yn ) S1 × × Sn th¼: |H(x) − H(y)| ≤ n X k=1 |Hk (xk ) − Hk (yk )| ành ngh¾a 1.1.3 Mởt hm phƠn phối n-chiÃu l mởt hm H vợi mi·n x¡c ành n R cho H câ ¡y, n-t«ng v H(+∞, , +∞) = Tứ nh lỵ 1.1.1 v nh nghắa 1.1.3 thẳ biản duyản cừa mởt hm phƠn phối n-chiÃu l mởt hm phƠn phối, m kỵ hiằu F1 , , Fn 1.1.3 Mët v i ành ngh¾a v tẵnh chĐt cừa copula CĂc copula N chiÃu l c¡c h m N bi¸n tø [0, 1]N v o [0, 1], v h m copula l mët h m ph¥n phèi nhi·u chi·u (multivariate distribution function) xĂc nh trản hẳnh lêp phữỡng ỡn IN = [0, 1]N , nâ thº hi»n sü phử thuởc vo cừa mởt bở N bián ngău nhiản CĂc copula l cĂc hm c biằt vợi nhiÃu tẵnh chĐt thú v, v ta biát copula thẳ cụng cõ th tẵnh toĂn ữủc sỹ phử thuởc cừa cĂc bián ngău nhiản trản hiằp phữỡng sai (covariance) v sỹ tữỡng quan (correlation) nh nghắa 1.1.4 (Nelsen (1998), trang 39) Mët Copula N -chi·u l mët h m C vỵi nhỳng tẵnh chĐt sau: MiÃn xĂc nh (domain) cừa h m C : DomC = IN = [0, 1]N ; 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 H m C câ ¡y (ground) v hm N -tông; Hm C cõ cĂc biản duyản Cn , thọa mÂn Cn (u) = C(1, , 1, u, 1, , 1) = u, u I Chú ỵ rơng bĐt ký N -copula C , N ≥ 3, méi ph¥n phèi bi¶n duy¶n k -chi·u cõa C l k -copula Nâi mët c¡ch kh¡c, mët N -copula l mët h m C tứ [0, 1]N vo [0, 1] vợi nhỳng tẵnh ch§t sau: Méi u ∈ [0, 1]N , C(u) = náu mởt tồa ở nhọ nhĐt cừa u l v C(u) = uk náu tĐt cÊ cĂc tåa ë cõa u b¬ng trø uk Méi a v b [0, 1]N cho ≤ bi vỵi måi i, VC ([a, b]) ≥ Mởt copula tữỡng ựng cụng l mởt hm vợi nhỳng tẵnh chĐt riảng Trong trữớng hủp riảng, tẵnh ch§t 2, v 3, ImC = I, v C cơng l phƠn phối Ãu nhiÃu chiÃu Náu F1 , , FN l c¡c h m ph¥n phèi mët chi·u th¼ C(F1 (x1 ), , Fn (xn ), , FN (xN )) l hm phƠn phối nhiÃu chiÃu vợi phƠn phối biản duyản F1 , , FN , bði v¼ un = Fn (xn ) l mởt bián ngău nhiản vợi phƠn phối Ãu Hm copula l mởt cổng cử thẵch hủp xƠy dỹng phƠn phối nhiÃu chiÃu nh lỵ 1.1.3 GiÊ sỷ C l mởt N -copula Khi â vỵi méi u v v [0, 1] N |C(v) − C(u)| ≤ N X k=1 : |vk − uk | hìn núa C l li¶n tưc ·u tr¶n [0, 1]N nh lỵ 1.1.4 ( nh lỵ Sklar [1959]) Cho F l mởt hm phƠn phối N -chiÃu vợi phƠn phối biản duyản liản tửc F1 , , FN Khi â F câ mët biºu diạn copula nhĐt: F (x1 , , xn , , xN ) = C(F1 (x1 ), , Fn (xn ), , FN (xN )) (1.2) ị tững cừa nh lỵ Sklar l ối vợi mởt vctỡ ngău nhiản N -chiÃu, thẳ phƯn phử thuởc giỳa cĂc bián ngău nhiản õ ữủc xĂc nh bi copula v cõ th ữủc tĂch rới nõ khọi phƯn cĂc phƠn phối biản duyản (hai phƯn ny kát hủp vợi thẳ cho phƠn phối chung N -chiÃu) Do vêy nh lỵ Sklar rĐt l quan trồng, bi vẳ nõ cung cĐp cĂch phƠn tẵch cĐu trúc phử thuởc cừa phƠn phối nhiÃu chiÃu m khổng nghiản cựu phƠn phối biản duyản GiÊ sỷ F l hm phƠn phối mởt chiÃu, nh nghắa hm ngữủc cừa F l −1 F (t) = inf{x ∈ R|F (x) ≥ t} vợi t [0, 1], quy ữợc inf = nh lỵ 1.1.5 GiÊ sỷ H l hm phƠn phối n-chiÃu vợi phƠn phối biản duyản liản tửc F1 , , Fn v copula C , ( Ơy C thọa mÂn iÃu kiằn (1.2) ) Khi â b§t ký u [0, 1]n C(u1 , , un ) = H(F1−1 (u1 ), , Fn−1 (un )) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Vẵ dử 1.1.1 Chúng ta xt hm phƠn phối Gumbel logistic hai chi·u F (x , x ) = (1+ 2 e−x1 +e−x2 )−1 Chóng ta câ th thĐy R , ữủc xĂc nh trản Rx R rơng phƠn phối biản duyản l F1 (x1 ) = R F (x1 , x2 )dx2 = (1+e )−1 v F2 (x2 ) = R F (x1 , x2 )dx1 = (1+e−x2 )−1 H m copula t÷ìng ùng: C(u1 , u2 ) = F (F1−1 (u1), F2−1 (u2 )) = u1 u2 u1 + u2 − u1 u2 (1.3) Tuy nhi¶n, khỉng ph£i lóc n o ta cơng ln dng nhên mởt copula Thỹc vêy, nhiÃu bi toĂn ti chẵnh, khổng sỷ dửng cho phƠn phối nhiÃu chiÃu bao gỗm cĂc kát luên mởt phƠn phèi th½ch hđp º mỉ t£ mët sü vi»c, ch¯ng hÔn liản hằ giỳa lủi suĐt cừa cĂc ti sÊn khĂc Trong nhiÃu ựng dửng, phƠn phối ữủc giÊ ành l ph¥n phèi gauss nhi·u chi·u ho°c mët ph¥n phối loga-chuân tẵnh toĂn, cÊ náu giÊ nh gauss thữớng khổng thẵch hủp Trong trữớng hủp õ ngữới ta dũng copula l mởt cổng cử Mổ hẳnh bi toĂn cõ th ữủc chia thnh hai bữợc: *Bữợc thự nhĐt: ỗng nhĐt cừa cĂc phƠn phối biản duyản (marginal distribution) *Bữợc thự hai: Sỷ dửng nhỳng nh nghắa thẵch hủp cừa copula biu diạn cĐu trúc sỹ phư thc cỉng thùc º minh håa iºm n y, xt vẵ dử cừa th trữớng trao ời kim loÔi London (dỳ liằu lĐy trản web site http://www.Ime.co.uk) V½ dư 1.1.2 Chóng ta sû dưng dú li»u cõa th trữớng trao ời kim loÔi London: LME (London Metal Exchange) v chóng ta x²t gi¡ hi»n câ cõa h ng hõa hủp kim nhổm (Al); ỗng (Cu); ni-ken (Ni); chẳ (Pb) v giĂ cừa hủp kim nhổm 15 thĂng trữợc (Al - 15), v o th¡ng n«m 1988 Chóng ta giÊ thiát rơng phƠn phối lủi suĐt cừa cĂc ti sÊn l phƠn phối gauss Trong trữớng hủp ny, ma tữỡng quan ữủc cho bi bÊng 1.1 Al Al-15 Cu Ni Pb Al 1.00 Al-15 Cu 0.82 0.44 1.00 0.39 1.00 Ni 0.36 0.34 0.37 1.00 Pb 0.33 0.30 0.31 0.31 1.00 BÊng 1.1: Ma tữỡng quan cừa dỳ liằu LME Hẳnh 1.1 biu diạn biu ỗ tĂn xÔ lủi suĐt cừa Al v Cu, tữỡng ựng cho gauss 2-chiÃu, covariance ellipse ối vợi ở tin cêy 95% v 99% v xĂc suĐt hm mêt ở Hẳnh 1.2 chựa hẳnh chiáu cừa siảu ellipse 5-chiÃu cho lủi suĐt ti sÊn Vợi giÊ thiát phƠn phối gauss nõi chung l cựng nhưc bi vẳ bián cố thữớng hiám xÊy siảu phng (ta thĐy phẵa ngoi ữớng covariance ellipse cho mực tin cêy 99.99% trản hm mêt ở cừa hẳnh 1.1) Hẳnh 1.3 l mởt biu ỗ QQ cừa lỵ thuyát mực tin cêy trĂi ngữủc mùc tin cªy theo thüc nghi»m cõa sai sè ellipse iÃu õ cho thĐy giÊ thiát gauss chữa ừ Trong nhỳng phƯn sau, ta s trẳnh by sỹ phử thuởc v mối liản hằ vợi copula 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 BƠy giớ, ta trẳnh by mởt vi tẵnh chĐt cƯn thiát hiu và copula nhữ thá no v tÔi chúng l mởt cổng cử hay án nhữ vêy Mởt nhỳng tẵnh chĐt cỡ bÊn l sưp xáp thự tỹ phũ hủp Hẳnh 1.1: GiÊ thiát gauss (I) Hẳnh 1.2: GiÊ thiát gauss (II) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 c, Tr÷íng hđp hai chi·u Trong tr÷íng hđp hai chi·u, lỵ thuyát cỹc tr thẳ dng tẵnh toĂn bi vẳ tẵnh lỗi v tẵnh chĐt (3.25) tr nản cƯn thi¸t v l i·u ki»n õ cho (3.23) Chóng ta câ: C(u1, u2 ) = D(˜ u1 , u˜2) h u˜ u˜2 i = exp − (˜ u1 + u˜2 )B , u˜1 + u˜2 u˜1 + u˜2 h ln u ln u2 i , = exp ln(u1 u2 )B ln(u1 u2 ) ln(u1 u2 ) h ln u i = exp ln(u1 u2 )A ln(u1 u2 ) (3.29) vỵi A(w) = B(w, w), nhiản A l lỗi vợi A(0) = A(1) = v thỷ lÔi max(w, w) ≤ A(w) ≤ Chóng ta x²t copula Gumbel ành nghắa phƯn trữợc, cõ ln D( u) = 1 α α 21 α α α 21 α α α u1 + u˜2 ) = (w1 +w2 ) v A(w) = [w +(1−w) α ] (˜ u1 + u˜2 ) , B(w1 , w2 ) = u˜1 + u˜2 ) /(˜ º ch¿ cüc trà copula, ta sû dưng phư thc ë o A(w) ìn gi£n: Z τ = (1 − w)d ln A(w) I Z % = 12 dw − (3.30) I [A(w) + 1] Khi c¡c cüc trà ëc lªp, chóng ta câ A(w) = 1, (α = cho copula Gumbel), v τ = % = Tr÷íng hủp phử thuởc Ưy ừ tữỡng ựng A(w)= max(w, w) h i dăn án copula Frchet trản hay C(u1 , u2 ) = exp ln(u1 u2 ) max ln u1 , ln u2 ln(u1 u2 ) ln(u1 u2 ) = min(u1 , u2 ) Phữỡng trẳnh (3.28) ữủc sû dưng º kiºm tra ëc lªp cõa cüc trà V½ dư chóng ta x²t −α −α copula Kimeldorf - Sampson C(u1 , u2) = (u−α vỵi α ≥ 0, chóng ta câ + u2 − 1) − α1 −α 1− (1−u)−αw +(1−u)−α(1−w) −1 1−C (1−u)w ,(1−u)1−w = lim = lim 1−(1+αu+0(u)) = lim u u u u→0 u→0 u+0(u) u u→0 lim u→0 A(u) s dƯn án 1, v copula Kimeldorf - Sampson thuởc v· mi·n C ⊥ d, Hå tham sè copula cüc trà C¡c tham sè copula âng mët vai trá ch½nh, bÊng sau bao gỗm nhiÃu cỹc tr copula v cĂc h m phö thuëc: C¡c hå C⊥ α Gumbel Gumbel II [1, ∞) [0, 1] Galambos H usler-Reiss [0, ∞) [0, ∞) Marshall-Olkin C+ [0, 1]2 C(u1 , u2 ) u1 u2 1 exp − u ˜ α1 + u ˜α2 α u ˜2 u1 u2 exp α u˜u˜11+˜ u −α −α − α u1 u2 exp u ˜1 + u ˜2 exp[−˜ u1 ϑ(u1 , u2 ; α) − u ˜2 ϑ(u2 , u1 ; α)] 1−α2 u1−α u2 min(uα1 , uα2 ) min(u1 , u2 ) A(u) α 1 w + (1 − w)α α αw2 − αw + − 1 − w−α + (1 − w)−α α wξ(w; α) + (1 − w)ξ(1 − w; α) max(1 − α1 w, − α2 (1 − w)) max(w, − w) 46 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 u1 ln w vỵi ϑ(u1 , u2 ; α) = Φ α1 + 21 α ln ln v ξ(w, α) = Φ α1 + 21 α ln ln(1w) Hm phử ln u2 thuởc cõ ỗ th hẳnh 3.2 Chúng ta ỵ rơng copula cõ tẵnh chĐt ối xựng, v bián ngău nhiản l t giĂ ối hoĂi m giÊ nh nhữ vêy Chúng ta dịng kÿ thuªt khỉng èi xùng Gi£ sû A1 v A2 l hai h m phö thuëc v (p1 , p2 ) ∈ [0, 1]2 Ta x¡c ành h m phö thuëc A: p1 w + A(w) = (p1 w + p2 (1 − w))A1 p1 w + p2 (1 − w) (1 − p1 )w ((1 − p1 )w + (1 − p2 )(1 − w))A2 (3.31) (1 − p1 )w + (1 − p2 )(1 − w) n¸u p1 = p2 = p, chóng ta thu ÷đc A(w) = pA1 (w) + (1 p)A2 (w) Trữớng hủp Hẳnh 3.2: Hm phử thuởc A(w) n y, copula x¡c ành èi xùng Vỵi c¡c h m phư thc A1 v A2 cõa Gumbel v t½ch copula, chóng ta thu ÷đc: α α 1 p1 w + pα2 (1 − w)α α A(w) = (p1 w + p2 (1 − w)) (p1 w + p2 (1 − w)) + ((1 − p1 )w + (1 − p2 )(1 − w)) 1 = pα1 w α + pα2 (1 − w)α α + (p2 − p1 )w + (1 p2 ) Dăn án copula tữỡng ùng cho bði: C(u1 , u2) = exp − (pα1 u˜α1 + pα2 u˜α2 ) α − (1 − p1 )˜ u1 − (1 − p2 )˜ u2 = C G (up11 , up22 )C ⊥ (u1−p , u1−p ) 47 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z (3.32) (3.33) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 H» thùc (3.33) câ thº têng qu¡t v thu ữủc copula liản kát vợi (3.31): C(u1 , u2 ) = C1 (up11 , up22 )C2 (u1p , u1p ) (3.34) Chng hÔn, copula Marshall-Olkin l tê hđp cõa t½ch copula v copula Fr²chet tr¶n: C(u1 , u2) = C ⊥ (u1−α , u1−α )C + (uα1 , uα2 ) (3.35) Chóng ta thu ÷đc h m phư thc l : α2 (1 − w) α1 w , (α1 w + α2 (1 − w)) (α1 w + α2 (1 − w)) + ((1 − α1 )w + (1 − α2 )(1 − w)) = max(1 − α1 w, − α2 (1 − w)) (3.36) A(w) = (α1 w + α2 (1 − w)) max v chóng ta ỵ rơng giợi hÔn tián án l copula logistic khỉng èi xùng B¥y gií chóng ta xt trữớng hủp nhiÃu chiÃu, ta bưt Ưu vợi copula Gumbel, mởt cĂch tờng quĂt tỹ nhiản vợi N x¡c ành bði: 1 C(u1 , , un , , uN ) = exp − (˜ uα1 + u˜αn + u˜αN ) α (3.37) PN 1 α α H m phư thc t÷ìng ùng cơng l B(w) = Ưu tiản tờng quĂt hõa n=1 wn dăn án cĂc copula archimedean, nhiản nõ khổng liản quan gẳ, bi vẳ m rởng phƠn phối nhiÃu chiÃu ny l tham số hõa ỡn PhƯn N (N21) l giống nhữ tĐt cÊ biản duyản hai hchiÃu Câ thº mð rëng mët ph÷ìng ph¡p a hđp, ch¯ng hÔn, 1i 2 21 1 C(u1 , u2, u3 ) = exp − (˜ u1 + u˜2 ) + u˜3 l mët cüc trà copula n¸u α2 > α1 ≥ α1 1 H m phö thuëc B(w) = (w1α2 + w2α2 ) α2 + w3α1 α1 Tuy nhi¶n, tham sè n y khâ thüc hi»n têng quĂt thự hai 3.2.2 CĂc phữỡng phĂp ữợc lữủng a, Php xĐp x khổng tham số U1 thọa mÂn F(z) = z + (1 − z)A−1 (z)∂z A(z), ð X²t mët ph¥n phèi Z = ln Uln1 +ln U2 ¥y hai phƠn phối ỗng thới cừa U1 v U2 xĂc ành bði cüc trà copula C? (u1 , u2 ) = h i Rw F(z)−z ln u1 exp ln(u1u2 )A ln(u dz Bði v¼ A(0) = A(1) = , nâ trð th nh A(w) = exp 1−z u2 ) ho°c A(w) = exp R1 w F(z)−z 1−z dz Chúng ta cụng thu ữủc hai ữợc lữủng khổng tham số lỵ thuyát phƠn phối F Sû dưng h» cõa A(w) bði ph¥n phèi thüc nghi»m F thực (3.28), xt cĂc ữợc lữủng khĂc dỹa trản cỡ s mău cừa bián ban Ưu (X1 , X2 ), khổng trản mău cừa bián cỹc Ôi (X1+ , X2+ ) 48 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 b, Ph²p x§p x¿ tham số Trong cĂc dÔng toĂn cỹc Ôi theo tứng im, phƠn phối G ữủc ựng dửng bi phữỡng phĂp ML + + + + + G(χ+ (3.38) , , χn , , χN ) = C? G1 (χ1 ), , Gn (χn ), , GN (χN ) ð ¥y C? l mët copula cüc trà v Gn l GEV phƠn phối GEV(à, , ) xĂc ành bði: ) ( h x − µ i ξ1 G(x) = exp − + ξ (3.39) σ x¡c ành tr¶n gi¡ ∆ = {x : + ( xà )} Ba kiu phƠn phối mởt chiÃu khổng tham σ sè l tê hñp c¡c hå gi¡ trà cüc trà têng qu¡t v chóng ta câ t÷ìng ùng ξ = α−1 > 0, ξ = −α−1 < v cho cĂc phƠn phối liản quan Fr²chet, Weibull, Gumbel Ph÷ìng ph¡p IFM ho°c CML câ thº ữủc sỷ dửng ữợc lữủng tham số (3.28) rút gồn thới gian tẵnh toĂn Trong trữớng hủp ny, hủp lỵ - log cừa biản duyản mởt chiÃu l: 1 + ξ χ+ − µ h χ+ − µ i− 1ξ n n l(χ+ ; θ) = − ln σ − (3.40) ln + ξ − + ξ n ξ σ σ Mởt im rĐt quan trồng liản quan án giĂ tr ban Ưu cừa ữợc lữủng copula Ta thu ữủc bi nghch Êo sỹ phử thuởc tiằm cên uổi trản hoc sỹ tữỡng thẵch ở o nhữ cừa Kendall c, Php xĐp x quĂ trẳnh im Thay vẳ sỷ dửng cỹc Ôi theo tứng im, php xĐp x theo tứng im cõ Ênh hững tợi dỳ liằu tƯn suĐt lợn QuĂ trẳnh im cụng l mởt cĂch tỹ nhiản thỹc hiằn ữợc lữủng GiÊ sỷ {(X1,t , , Xn,t , , XN,t ), t = 1, , T } l mởt mău cừa thới im T vợi phƠn phối biản duyản Fn , bián ời Frchet Yn,t cừa bián Xn,t v Yt t÷ìng N ùng v²ctì (Yn,t )N Chóng ta x²t qu¡ tr¼nh iºm Nt = (Y1 , , YT ) trản R+ Dữợi mởt vi giÊ thiát, NT hởi tử tợi mởt quĂ trẳnh Poisson thuƯn nhĐt N vợi ở o , m thọa mÂn tẵnh chĐt thuƯn nhĐt ([0, y]c) = t([0, ty]c) vỵi [0, y]c = RN + \[0, y] Chóng c c ta công câ P { T Yt ∈ / [0, y] } −→ exp(−Λ([0, y] )) H m log-hủp lỵ l: l() = ([0, y]c) + T X t=1 1 T yt ∈[0,y]c λ yt T (3.41) vợi hm liản kát cữớng ở x¡c ành bði λ(y) = (−1)N ∂yN(1) , ,y(N) Λ([0, y]c) vỵi y = (y(1) , , y(N ) ), v yt , t = 1, , T l mởt mău quan sĂt dỳ liằu cừa quĂ trẳnh Yt Bơng giÊ thiát uổi trản cừa Xn l Pareto GP(n , n ), bián ời dỳ liằu Frchet tứ dÔng: t náu xn,t ≤ xn n (xn,t ) = − ln(Fn (xn,t )) −1 yn,t = − x −x n n,t ξ t+ n¸u xn,t > xn n (xn,t ) = − ln − (1 − Fn (xn )) + ξn σn + 49 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Thêt vêy hm log-hủp lỵ tr thnh: c l(θ) = −Λ([0, y] ) + T X t=1 h i λ yt ςt y ∈[0,y]c T T t (3.42) 1 − c vỵi [0, y]c = ([0, t− (x1 )] × × [0, tN (xN )] ) v N 1+ξn Y exp (1 − Fn (xn,t ))−ξn yn,t − exp − ςt = T n=1 σn yn,t yn,t Lüa chån Λ º l m th nh mët lỵp c¡c cüc trà copula vỵi , , exp − , , exp − Λ([0, y]c ) = − ln C exp − y(1) y(n) y(N ) (3.43) (3.44) 3.2.3 Ùng dưng vỵi dú li»u LME Chóng ta ữợc lữủng phƠn phối GEV cho cÊ cỹc Ôi v cỹc tiu ối ngữủc vợi cỹc tiu , thu ữủc mởt ữợc lữủng tham số sau: Tham sè µ σ ξ Al 0.022 0.007 0.344 Al-15 0.018 0.006 0.275(?) Cu 0.028 0.013 0.095(???) Ni 0.031 0.012 0.363 Pb 0.033 0.012 0.424 PhƠn phối tữỡng ựng l biu ỗ hẳnh 3.3, sỷ dửng giĂ tr ữợc lữủng cõ th xƠy dỹng chữỡng trẳnh kim tra ựng xuĐt mởt chiÃu bơng cĂch lỹa chồn trữớng hủp xĐu t÷ìng lai cho mët chu ký cõa chi thíi gian (Legras [1999]) Thíi gian chí (trong n«m) 10 25 50 75 100 Al -6.74 -8.57 -11.75 -11.91 -17.14 -18.92 Al-15 -4.82 -5.90 -7.68 -9.36 -10.49 11.38 Cu -8.03 -9.35 -11.23 -12.76 -13.70 -14.39 Ni -11.01 -14.27 -20.02 -25.83 -29.97 -33.29 Pb -12.25 -16.35 -23.96 -32.03 -37.97 -42.85 B£ng 3.5: Mực bián thiản cho v trẵ di Trong trữớng hủp cỹc Ôi + thu ữủc kát quÊ sau: Tham sè µ σ ξ Al 0.024 0.010 0.188(???) Al-15 0.018 0.008 0.239(?) Cu 0.029 0.011 0.142(???) Ni 0.034 0.015 0.026(???) Pb 0.032 0.011 0.405 50 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Thíi gian chí( n«m) 10 25 50 75 100 Al 6.96 8.35 10.46 12.32 13.52 14.43 Al-15 5.79 7.10 9.20 11.12 12.39 13.38 Cu 7.53 8.82 10.73 12.34 13.36 14.12 Ni 8.46 9.59 11.10 12.26 12.95 13.45 Pb 11.13 14.65 21.07 27.76 32.64 36.63 BÊng 3.6: Mực bián thiản cho v trẵ ngưn Chúng ta xt trữớng hủp hai chi·u, gi£ ành h m phư thc ÷đc cho bði copula Gumbel Sỷ dửng phữỡng phĂp IFM, giĂ tr ữợc lữủng cõa tham sè α v t÷ìng ùng τ cõa Kendall ÷đc x¡c ành bði b£ng 3.7 Hìn núa chóng ta cõ bĂo cĂo t lằ hủp lỵ khổng chựa giÊ thiát l tẵch cĂc copula Vợi mực tin cêy l 99%, chóng ta khỉng b¡c bä sü phư thc giỳa cĂc copula cỹc Ôi (Al,Cu), (Al,Pb), (Al-15,Cu), (Al-15,Ni), (Al-15,Pb), (Cu,Ni), (Cu,Pb) v (Ni,Pb) èi vỵi cüc tiºu, sü phư thuëc khæng b¡c bä cho (Al,Al-15), (Al,Ni), (Al,Pb), (Al-15,Ni) v (Ni,Pb) Hẳnh 3.3: Mêt ở GEV cho cỹc tiu 51 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Hẳnh 3.4: Mêt ở GEV cho cỹc Ôi Kát quÊ cho ( , ) α ˆM L Al Al-15 Cu Ni Al-15 2.397 Cu 1.159 1.092 Ni 1.462 1.356 1.212 Pb 1.425 1.191 1.004 1.500 τ Al Al-15 Cu Ni Al-15 0.583 LR Al Al-15 Cu Ni Al-15 62.09 Cu Ni 0.137 0.316 0.084 0.263 0.175 Cu 3.003 1.011 Ni 18.583 13.080 4.290 Pb 15.19 4.432 0.002 19.49 Pb 0.298 0.160 0.004 0.333 + K¸t qu£ cho (χ+ , χ2 ) α ˆM L Al Al-15 Cu Ni Al-15 3.015 Cu 1.065 1.040 Ni 1.291 1.175 1.107 Pb 1.116 1.033 1.116 1.194 LR Al Al-15 Cu Ni Al-15 86.39 Cu 0.485 0.160 Ni 7.755 3.105 1.260 Chú ỵ 3.2.1 Pb 1.893 0.163 1.423 5.126 Chúng ta quan sĂt trữớng hủp ối lêp giỳa cỹc Ôi v cỹc tiu, cỹc tiu xuĐt hiằn nhiÃu hỡn cỹc Ôi Quan im và kinh tá, phữỡng phĂp tr÷íng bear kh£ quan hìn tr÷íng bull 52 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 τ Al Al-15 Cu Ni Al-15 0.668 Cu Ni 0.061 0.226 0.039 0.149 0.097 Pb 0.104 0.032 0.104 0.162 BÊng 3.7: ìợc lữủng hai chiÃu Trữớng hủp hai chiÃu cõ th l dÔng nhữ mởt diằn tẵch häng , tùc x¡c su§t s³ l + + + + + P {χ+ > χ1 , χ2 > χ2 } = − P {χ1 ≤ χ1 } − P {χ2 ≤ χ2 } + P {χ1 ≤ χ1 , χ2 ≤ χ2 } = − F1 (χ1 ) − F2 (χ2 ) + C(F1 (χ1 ), F2 (χ2 )) = C(F1 (χ1 ), F2 (χ2 )) vợi C l hm sống sõt ỗng thới, giÊ sỷ t l thới gian Diằn tẵch họng ữủc xĂc ành bði {(χ1 , χ2 ) ∈ R2 |u1 = F1 (χ1 ), u2 = F2 (χ2 ), C(F1 (χ1 ), F2 (χ2 )) < 1t } Chóng ta câ biu diạn hẳnh 3.5 v hẳnh 3.6, diằn tẵch họng cừa (Al,Al-15) v (Al, Cu) cỹc Ôi, õ l trữớng hủp hai chiÃu cho danh mửc Ưu tữ ngưn hai lủi suĐt ti sÊn Chúng ta thĐy hai hẳnh cho kát quÊ khĂc bi vẳ giĂ tr cừa tham số Chú ỵ rơng phữỡng phĂp luên cõ th bao gỗm cĂc danh mửc Ưu tữ khĂc nhau, chng hÔn danh mửc ngưn cho lủi suĐt thự nhĐt v danh mửc di cho lủi suĐt thự hai Bơng tẵnh toĂn diằn tẵch họng cho bốn gõc phƯn tữ, thu ữủc hẳnh 3.7 cho cp (Al,Al-15), giÊ nh chu ký lủi suĐt ti sÊn l nôm, diằn tẵch họng ữủc so sĂnh cĂc trữớng hủp ởc lêp Hẳnh 3.5: Diằn tẵch họng cừa (Al,Al-15) cỹc Ôi 53 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Hẳnh 3.6: Diằn tẵch họng cừa (Al,Cu) cỹc Ôi Hẳnh 3.7: Diằn tẵch họng cừa cp (Al,Al-15) v thíi gian chí n«m Chóng ta chó ỵ rơng mổ hẳnh giĂ tr cỹc tr nhiÃu chiÃu, Ưu tiản, copula Gumbel khổng phÊi l sỹ lỹa chon tèt nh§t ỉi xu§t hi»n copula khỉng èi xựng thẵch hủp, chng hÔn copula khổng ối xựng logistic tèt hìn cho c°p cüc tiºu 54 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 (Al,Al-15) (h¼nh 3.8) Mð rëng copula nhi·u chi·u l têng quĂt viằc gởp lÔi cĂc Hẳnh 3.8: ìợc lữủng ML cõa copula logistic khæng èi xùng cho c°p cüc tiºu (Al,Al-15) phữỡng phĂp, nõ bao gỗm mởt vi hÔn chá trản cĐu trúc phử thuởc Chúng ta xt mổ hẳnh cừa cp cỹc Ôi, bi vẳ vợi kát quÊh hai chi·u chóng ta gi£ ành copulainhi·u α1 1 uα1 + u˜α2 ) α2 + u˜α4 α1 u3 u5 ìợc chiÃu cõ dÔng C N (u1 , u2 , u3, u4 , u5 ) = exp − (˜ l÷đng ML l α ˆ = 1.049 v α ˆ = 3.043 v kiºm nh giÊ thiát LR cừa tẵch copula l bĂc bọ Tuy nhiản, copula ny bao gỗm phƠn phối biản duyản i hai chi·u cõa (Al,Ni) h v (Al-15,Ni) l C N (u1 , 1, 1, u4, 1) = exp − (˜ uα1 + u˜α4 ) α1 v C N (1, u2, 1, u4 , 1) = i h exp − (˜ uα2 + u˜α4 ) α1 , v c§u tróc phư thc cõa (Al,Ni) v (Al-15,Ni) ph£i nh÷ i·u n y k²o theo trüc tiáp phữỡng phĂp luên cừa copula a hủp 3.3 TƯn số tữỡng quan v tẵnh toĂn rừi ro Phữỡng phĂp luên tẵnh toĂn rừi ro xĂc nh dỳ kiằn sau: ã GiÊ sỷ l bián ngău nhiản mổ tÊ tờn thĐt Chúng ta cụng nh nghắa k (t) l quĂ trẳnh ngău nhiản cừa cho méi t½nh to¡n rõi ro k (k = 1, K) • Méi rõi ro, chóng ta gi£ thiát số cĂc bián cố tÔi thới gian t l mởt bián ngău nhiản Nk (t) 55 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 ã QuĂ trẳnh tờn thĐt %(t) ữủc nh nghắa nhữ sau: K X %(t) = %k (t) k=1 K N k (t) X X = (3.45) ζjk (t) k=1 j=1 ã Vốn ti chẵnh vợi mực tin cêy thữớng ÷đc x¡c ành nh÷ sau: (3.46) EC = F−1 (α) Náu phữỡng phĂp luên l ỡn giÊn, thẳ nhiÃu vĐn à s nÊy sinh thỹc tiạn Mởt vĐn à khĂc nỳa cừa tẵnh toĂn rừi ro: tữỡng quan cĂc t¦n sè cõa c¡c kiºu rõi ro l kh¡c E[Nk1 (t)Nk2 (t)] 6= E[Nk1 (t)] × E[Nk2 (t)] (3.47) Nk (t) l giÊ thiát chung tứ bián ngău nhiản Poisson P vợi giĂ tr trung bẳnh k ị tững cụng l m rởng phƠn phối Poisson nhiÃu chiÃu (Johnson, Kotz v Balakrishnan [1997]) Gi£ sû N11 , N12 v N22 l ba bián ngău nhiản Poisson ởc lêp vợi giĂ tr trung bẳnh 11 , 12 v 22 Trong trữớng hủp hai chiÃu, phƠn phối ỗng thới dỹa trản bián N1 = N11 + N12 v N2 = N22 + N12 Chóng ta câ N1 ∼ P(λ1 = λ11 + λ12 ) v N2 ∼ P(λ2 = 22 + 12 ) Tuy nhiản xĂc suĐt ỗng thíi s³ l : min(n1 ,n2 ) P (N1 = n1 , N2 = n2 ) = X n=0 λn111 −n λn122 −n λn12 e−(λ11 +λ22 +λ12 ) (n1 − n)!(n2 − n)!n! (3.48) T÷ìng quan Pearson giúa N1 v N2 l ρ = λ12 [(λ11 + λ12 )(λ22 + λ12 )]− v nâ trð th nh # " r λ + λ r λ + λ 11 12 22 12 , ρ = 0, (3.49) 22 + 12 11 + 12 Vợi cĐu trúc ny ch cõ mởt phử thuởc dữỡng Trong hoÔt ởng rừi ro, nõ tữỡng ữỡng vợi hai rừi ro lm Ênh hững tợi c trững v hằ thống rừi ro.Tuy nhiản, phẵ tờn rừi ro ngƠn hng cõ ½t kinh nghi»m ph²p x§p x¿ n y v thỉng thữớng nhĐt l khĂi niằm tữỡng quan Sỷ dửng php x§p x¿ n y, ta câ thº l m nghàch £o h» thực trữợc Trong trữớng hủp ny, cõ: p λ12 = ρ λ1 λ2 p λ11 = λ1 − ρ λ1 λ2 p λ22 = λ2 − ρ λ1 λ2 (3.50) Trong tr÷íng hđp K -chi·u, câ mët sỹ tờng quĂt hõa cừa trữớng hủp 2-chiÃu bơng cĂch xt K bián ngău nhiản ởc lêp phƠn phối Poisson Tuy nhiản, tữỡng ựng vợi 56 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 phƠn phối Poisson nhiÃu chiÃu thẳ khổng dng tẵnh toĂn bi vẳ hằ số tữỡng quan phực tÔp Mởt khÊ n«ng l chóng ta sû dưng mët copula C , trữớng hủp ny hm khối lữủng xĂc suĐt ữủc cho bi mêt ở Radon-Nikodym cừa hm phƠn phối: P {N1 = n1 , , Nk = nk , , NK = nK } = nK 2 n1 X −λ1 K −λK X X X λn+1−i e λn+1−i e K ··· (−1)i1 +···+iK C (3.51) , , n! n! n=0 n=0 i =1 i =1 K Gi£ ành l mởt copula gauss, ỵ phƠn phối P(, ) Poisson nhiÃu chiÃu tÔo thnh bi copula gauss vợi tham sè ρ v ph¥n phèi Poisson mët chi·u P(λk ) Chúng ta ỵ rơng tham số cừa copula gauss khổng bơng ma tữỡng quan Pearson, nõi chung nõ rĐt kẵn (hẳnh 3.9) Vốn kinh tá vợi mực tin cêy cho hoÔt ởng rừi ro cõ th ữủc tẵnh toĂn bi giÊ thiát N = {N1 , , Nk , , NK } ph¥n phèi Poisson nhi·u chi·u P(λ, ρ) Hìn núa, nâ t½nh to¡n khỉng khâ, bði vẳ ữợc lữủng cừa tham số v l khổng phực tÔp v phƠn phối dng thu ữủc vợi phữỡng phĂp Monte Carlo Hẳnh 3.9: Hằ thực giỳa tham sè copula v t÷ìng quan Pearson 57 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 KT LUN Trong luên vôn ny em  trẳnh by nhỳng khĂi niằm, nh nghắa, nh lỵ và copula v mởt vi kát quÊ chẵnh và ựng dửng cừa copula ti chẵnh Copula thêt l mổ hẳnh phư thc c§u tróc Copula bëc lë l mët cỉng cử rĐt mÔnh ti chẵnh, c biằt cĂc mổ hẳnh lủi suĐt v quÊn lỵ rừi ro Nhỳng õng gõp chẵnh cừa luên vôn bao gỗm: Nhỳng kián thực chung và xĂc suĐt, thống kả v copula CĂc kát luên chẵnh cừa thống kả và copula ng dửng ti chẵnh và php o lữớng rõi ro Tuy nhi¶n thíi gian khỉng nhi·u, n¶n luên vôn cỏn cõ nhỳng chộ thiáu sõt v hÔn chá Em rĐt mong nhên ữủc sỹ õng gõp, phÊn biằn cừa quỵ thƯy cổ bÔn ồc luên vôn ÷đc ho n thi»n tèt hìn 58 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 T i li»u tham kh£o [1] Abramowitz, M v I.A Stegun tion, Dover [1997] Handbook of Mathematical Function, ninth edi- [2] Davidson, R v J Mackinnon Estimation University Press, Oxford [1993] and inference in Econometrics [3] Genest, C v J Mackay The joy of copulas: Bivariate distributions marginals, American Statistician,40, 280-283 [1986] Oxford with uniform [4] Genz, A v F Bretz Numerical computation of multivariate t-probabilities, Departement of Mathematics, Washington State University, Working Paper [1999a, 1999b] [5] Joe, H Multivariate Models and Dependence Concepts, Monographs on Statistics and Applied Probability [6] Jorgensen, B [1997] , 73, Chapmann and Hall, London [1997] The theory of dispersion models , Chapman and Hall, London [7] Jorgensen, B.v S.L Lauritzen Multivariate dispersion models, Departement Statistics and Demography, Odense University, Research Report [1998] [8] Legras, J The 1998 financial crisis: France, Working Paper [1999] how serious was it? of Cr²dit Commercial de [9] Marceau, E., H Cossette, P Gaillardetz v J Rioux Dependence in the individual risk model Universit² de Laval, cole d'Atuariat, Rapport Technique, 99-01 [1999] [10] Nelsen, R.B An Introduction to Copula, Lectures Notes in Statistics, 139 Springer Verlag, New York [1998] [11] Schweitzer,B v Wolff On nonparametric measures variables Annals of Statistics, 9, 879-885 [1981] of dependence for radom [12] Sklar, A Fonction de repartition n dimension et leurs marges, Publications de l'Institut de Statistique de l'Universit² de Paris, 8, 229-231 [1959] 59 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99