Skkn hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa

UBND QUẬN THANH XUÂN TRƯỜNG THCS THANH XUÂN NAM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP ÔN LUYỆN CÁC BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA Lĩnh vực/ Môn: Toán Cấp học: Trung học sở Tên tác giả: Phạm Thị Nhung Đơn vị công tác: Trường THCS Thanh Xuân Nam Chức vụ: Giáo viên “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” STT I II IV V MỤC LỤC Nội dung PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Cơ sở lí luận Cơ sở thực tiễn Các biện pháp nghiên cứu KẾT QUẢ VÀ ỨNG DỤNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trang 2 3 3 3 32 33 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chúng ta biết toán học sở ngành khoa học.Vì mơn tốn đóng vai trò quan trọng nhà trường Học sinh nắm vững kiến thức toán học, dễ dàng học tập mơn khác Thơng qua việc học mơn tốn em rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận, cách tính tốn khoa học, cách đặt vấn đề giải vấn đề Từ giúp em phát triển trí thơng minh, óc sáng tạo Đồng thời việc học tốn cịn góp phần hình thành cho em phẩm chất đạo đức tốt như: cần cù, chịu khó, kiên trì, cẩn thận, làm việc có kế hoạch, khoa học Đó yếu tố thiết yếu mà học sinh cần có để từ làm chìa khóa chiếm lĩnh khám phá kiến thức môn học khác Để giúp học sinh học tốt mơn tốn địi hỏi người thầy phải có lao động sáng tạo nghiêm túc, giáo viên giảng dạy mơn tốn, thân tơi ln trăn trở nhiều q trình học tốn, làm tốn em học sinh gặp nhiều khó khăn dạng toán phong phú, mà thời gian có hạn Chính mà dạy học để học sinh nắm vững kiến thức cách có hệ thống có chiều sâu mà em cịn hứng thú say mê học tốn Vấn đề đặt giải toán phải biết nhận dạng lựa chọn phương pháp giải thích hợp Dạng toán lũy thừa đề cập sách giáo khoa từ đầu năm lớp vấn đề khiến em có nhiều bỡ ngỡ Để giải tập nâng cao tốn lũy thừa, ngồi việc nắm bắt kiến thức có chương trình, học sinh cịn phải tìm hiểu số kiến thức bổ sung mở rộng Những kiến thức không phân phối trong tiết học nên học sinh vận dụng rèn luyện Vì gặp tập khó học sinh cảm thấy bế tắc, chán nản từ khơng cịn thích thú học mơn tốn Là giáo viên dạy tốn, tơi mong em chinh phục khơng chút ngần ngại gặp số dạng tốn Tơi thấy cần phải giúp em nắm kiến thức bản, dạng toán, phương pháp giải nên đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” xin đưa hệ thống kiến thức, dạng tập xếp theo nội dung, chủ đề, dạng Cụ thể là: Phần I: Lý thuyết Phần II: Các dạng tập kỹ năng: Dạng 1: Tìm số chưa biết Dạng 2: Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa Dạng 3: So sánh hai luỹ thừa Dạng 4: Tính tốn lũy thừa Dạng 5: Tốn đố với luỹ thừa Tơi chọn đề tài với mong muốn giúp học sinh học tốt phần tốn luỹ thừa, giúp em khơng cịn thấy sợ gặp toán luỹ thừa hay khó Hy vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp học đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dạng tập Mục đích nghiên cứu “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” Tìm giải pháp để giúp học sinh giải tập lũy thừa dễ dàng Nhiệm vụ nghiên cứu Để đáp ứng yêu cầu trên, người giáo viên cần: Tổ chức hoạt động nhận thức giúp phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển lực học sinh học Tốn Tích cực nghiên cứu nội dung sách giáo khoa, sách tham khảo để phân chia dạng Toán Thực cho em tự kiểm tra đánh giá thân, đánh giá kết học tập lẫn đồng thời kết hợp với đánh giá giáo viên Từ rút kiến thức để em lĩnh hội kiến thức Thay đổi hình thức đánh giá học sinh phong phú Kết hợp hài hòa việc kiểm tra kiến thức cũ với việc tiếp cận hình thành kiến thức cho học sinh Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài áp dụng cho tất đối tượng học sinh lớp Đề tài dùng tiết dạy khóa, ơn tập củng cố nâng cao kiến thức cho học sinh lớp Phương pháp nghiên cứu Phương pháp quan sát Phương pháp trắc nghiệm khách quan Nghiên cứu sách giáo khoa sách tham khảo Tham khảo ý kiến đồng nghiệp II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Cơ sở lí luận Nghị số 40/2000/QH X ngày 9/12/2000 Quốc Hội khóa X đổi chương trình giáo dục phổ thông đã khẳng định mục tiêu việc đổi chương trình giáo dục phổ thơng là: “ Xây dựng nội dung chương trình, phương pháp giáo dục toàn diện cho hệ trẻ, đáp ứng yêu cầu phát triển nguồn nhân lực phục vụ cho công nghiệp hóa - đại hóa nước, phù hợp thực tiễn truyền thống Việt Nam, tiếp cận trình độ giáo dục phổ thông nước phát triển khu vực giới.” Công văn số 720/GDTrH tháng 08/2004 Bộ Giáo Dục Đào Tạo đưa yêu cầu phương pháp dạy học môn, cụ thể: Giáo viên cần thể rõ vai trò người tổ chức, điều khiển cho học sinh hoạt động cách chủ động, sáng tạo Giáo viên ý định lượng tổ chức hoạt động học tập, giúp học sinh tự lực khám phá kiến thức mới, tạo điều kiện cho học sinh lĩnh hội nội dung kiến thức mà nắm phương pháp đến kiến thức Nghị TW - khoá VIII (12-1996) khẳng định : “Phải đổi phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư duy, sáng tạo người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương pháp đại vào trình dạy học, bảo đảm thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh” “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” Luật Giáo dục 2005, điều 28.2 đã ghi “ Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Với tình hình tiến độ phát triển đất nước giai đoạn giáo dục quốc sách hàng đầu đào tạo người đảm nhận vai trò quan trọng việc “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, nhà nước đã đề Cơ sở thực tiễn Một số học sinh trung bình, yếu chưa mạnh dạn phát biểu, chưa chủ động q trình giải tốn vận dụng kiến thức vào giải tốn Tình trạng chung học sinh chưa chủ động tìm hiểu kiến thức từ sách giáo khoa sách tham khảo Không biết cách áp dụng lý thuyết sách giáo khoa theo hướng phát giải vấn đề để rút cách giải Chưa tích cực nghiên cứu nên chưa thật mang lại hiệu cao chất lượng giáo dục Vì để hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa, trước hết học sinh phải cung cấp nắm vững kiến thức lũy thừa công thức tổng quát bước thực phép tính, trình bày hồn chỉnh tốn nào? Cụ thể vấn đề giải Kiến thức Kiến thức bổ sung Các dạng tập phương pháp chung 3.Các biện pháp nghiên cứu Đưa dạng cụ thể, dạng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Từ học sinh nhận dạng dạng biết cách làm trình bày cụ thể dạng Dạng 1:Tìm số chưa biết Loại 1: Tìm số, thành phần số luỹ thừa Loại 2: Tìm số mũ, thành phần số mũ lũy thừa Loại 3: Một số trường hợp khác Dạng 2: Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa Loại 1: Tìm chữ số tận Loại 2:Tìm hai chữ số tận Loại 3:Tìm ba chữ số tận trở lên Dạng 3: So sánh hai lũy thừa Dạng 4: Tính tốn lũy thừa Dạng 5: Toán đố lũy thừa a Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên + Lũy thừa bậc n a tích n thừa số , thừa số a an = n thừa số a (n Ỵ N*) “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” + Quy ước : a1 = a a0 = (a ≠ 0) b Một số tính chất *) Với a, b, m, n Ỵ N + Nhân hai lũy thừa số : am an = am+n, am an ap = am+n+p (p Ỵ N) + Chia hai lũy thừa số : am : an = am-n (a ≠ 0, m > n) + Lũy thừa tích : (a.b)m = am bm (m ≠ 0) + Lũy thừa thương (a : b)m = am : bm (b ≠ ) + Lũy thừa lũy thừa (am)n = am.n (m,n ≠ 0) c Kiến thức bổ sung * Với x,y,zỴ Z x +z < y+z x0 x y.z Với z < x b > am > bm (m ≠ 0) am > an + Nếu m > n > , a > + Nếu 0< a < 1, m >n >0 am < an * Lũy thừa tầng : Các dạng tập Dạng 1: Tìm số chưa biết Loại Tìm số, thành phần số luỹ thừa *Phương pháp: Đưa hai luỹ thừa số mũ Bài 1: Tìm x Z biết rằng: a, x = -64 b, (2x - 1)3 = c, (x - 2)2 = 16 d, (2x - 3)2 = Đối với toán này, học sinh cần nắm vững kiến thức dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp a, x3 = -64 x3 = (-4)3 x = -4 b, (2x - 1)3 = (2x -1)3 = 23 2x - = “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” Vậy x = - 2x = + 2x = x= Vậy x = c, (2x - 3)2 = 2x -3 = 2x -3 = -3 2x = 2x = x=3 x=0 Vậy x = x = d, (x - 2)2 = 16 x - = -4 x-2=4 x = -2 x=6 Vậy x = -2 x = Bài Tìm x Z biết : x2 = x Nếu học sinh giải cách dễ dàng đến không tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa số “ chưa biết”, số mũ đã biết lại khác Vậy phải làm cách đây? Nhiều học sinh tìm mị tìm x = x = 1, cách không thuyết phục cịn số x thỏa mãn đề sao? Giáo viên gợi ý: x = x5 x5 - x = x2.(x3 - 1) = => Đến giáo viên cho học sinh làm tập sau : Bài Tìm y Z biết : (y - 1)10 = (y - 1)20 (*) 10 Hướng dẫn : Đặt y - = x Khi (*) trở thành : x = x20 Giải tương tự ta : Rất học sinh dừng lại đây, đã tìm x Nhưng đề yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y +) Với x = ta có: y -1 = y=1 y=2 +) Với x = ta có: y -1 = +) Với x = -1 ta có: y - = -1 y=0 Vậy y Z biết : (x - 5)2 = (1 - 3x)2 Bài : Tìm x Bài ngược với trên, hai lũy thừa có số mũ đã biết giống số chưa biết lại khác Lúc ta cần sử dụng tính chất: bình phương hai lũy thừa hai số đối Ta có : (x + 5)2 = (1 -3x)2 x + = -3x x+ = 3x - 4x = - 2x = x = -1 x=3 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” x (3x - 6)100 + (2y + 8)200 (*) Bài : Tìm x y biết: Với toán này, số số mũ hai lũy thừa không giống nhau, lại phải tìm hai số x y bên cạnh dấu ‘ ’’, thật khó! Lúc cần gợi ý nhỏ giáo viên em giải vấn đề hãy so sánh (3x - 6)100 (2y +8)200 với x Z Ta thấy : (3x - 6)100 200 x Z (2y +8) Biểu thức (*) 0, nhỏ Vậy : (3x - 6)100 + (2y + 8)200 = (3x - 6)100 = (2y + 8)200 = 3x - =0 2y + 8=0 x=2 y = -4 Bài :Tìm số nguyên x y cho : (x + 2)2 + 2(y - 3)2 < Theo , học sinh nhận : (x + 2)2 x Z (1) (2) 2(y -3)2 x Z Nhưng nảy sinh vấn đề “ < ”, học sinh khơng biết làm Giáo viên gợi ý : Từ (1) (2) suy ra: (x + 2) + 2(y -3)2 < xảy trường hợp sau : +) Trường hợp : (x + 2)2 = (y -3)2 = x = -2 y=3 +) Trường hợp : (x + 2) = (y-3)2 = x = -2 +) Trường hợp : (x + 2)2 = (y - 3)2 = y=3 +) Trường hợp : (x + 2)2 = (y - 3)2 = Vậy ta có bảng giá trị tương ứng x y thỏa mãn đề : x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1 y 3 4 Thật tốn phức tạp! Nếu khơng cẩn thận xét thiếu trường hợp, bỏ sót cặp giá trị x y thỏa mãn điều kiện đề Tìm x biết : a, (2x - 1)4 = 81 b, (x -2)2 = c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125 Tìm y biết : a, y200 = y b, y2008 = y2010 c, (2y - 1)50 = 2y - d, (y-5 )2000 = (y-5 )2008 Tìm a , b ,c biết : “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 Loại 2: Tìm số mũ, thành phần số mũ lũy thừa Phương pháp: Đưa hai lũy thừa có số Bài 1: Tìm n N biết : n a, 2008 = c, 32-n 16n = 1024 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề học sinh dễ dàng làm câu a, 2008n = 20080 n=0 a, 2008n = Nhưng đến câu b, em vấp phải khó khăn: tổng hai lũy thừa có số không số mũ Lúc cần có gợi ý giáo viên b, 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n.(1 + 25) = 650 5n = 650 : 26 5n = 25 = 52 n=2 Theo hướng làm câu b, học sinh có cách làm câu c, d, c, 32-n 16n = 1024 (25)-n (24)n = 1024 2-5n 24n = 210 2-n = 210 n = -10 -1 n d, 3 + 5.3n-1 = 162 3n-1 + 3n-1 = 162 3n-1 = 162 3n-1 = 27 = 33 n-1=3 n=4 Bài : Tìm hai số tự nhiên m, n biết : 2m + 2n = 2m+n Học sinh thực thấy khó gặp này, phải làm để tìm hai số mũ m n Giáo viên gợi ý: Theo đề : 2m + 2n = 2m+n 2m+n - 2m - 2n = 2m.2n -2m -2n + = 2m(2n - 1) - (2n - 1) = (2m - 1)( 2n - 1) = (*) n m 1, m,n N Vì nên từ (*) Vậy: m = n = Bài 3: Tìm số tự nhiên n cho : a, < 3n 234 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” b, 8.16 2n Đây dạng tốn tìm số mũ lũy thừa điều kiện kép Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa số lũy thừa có số a, < 3n 234 31 < 3n 35 n b, 8.16 2n 23.24 2n 22 27 2n 22 n Bài : Tìm số tự nhiên n biết : 415 915 < 2n 3n < 1816 216 Với này, giáo viên gợi ý học sinh quan sát, nhận xét số mũ lũy thừa tích học sinh nghĩ hướng giải toán: 415 915 < 2n 3n < 1816 216 (4 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 3615 < 6n < 3616 630 < 6n < 632 n = 31 Bây giờ, học sinh khơng biết làm tốn tương tự mà tự tốn dạng tương tự Tìm số nguyên n cho a 27n = 35 b (23 : 4) 2n = c 3-2 34 3n = 37 d 2-1 2n + 2n = 25 Tìm tất số tự nhiên n cho : b (n54)2 = n a 125.5 5n 5.25 c 243 3n 9.27 d 2n+3 2n =144 Tìm tất số tự nhiên x, y biết a 2x+1 3y = 12x b 10x : 5y = 20y Tìm số tự nhiên n biết a 411 2511 2n 5n 2012.512 b Hướng dẫn: a 2x+1 3y = 12x 2x+1 3y = 22x.3x 3y-x = 2x+1 y-x = x-1 = Hay x = y = b 10x : 5y = 20y 10x = 20y 5y 10x = 100y 10x = 1002y 18 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” 7300 = (73)100 = 343100 243100 < 343100 nên 3500 < 7300 85 < 3.47 c, Ta có: 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 d, Ta có: 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 (992)10 < 999910 e, Ta thấy: 992 < 99.101 = 9999 hay 9920 < 999910 (1) 1979 1980 f, ta có: 11 < 11 = (113)660 = 1331660 (2) 1320 660 660 37 = 37 ) = 1369 Từ (1) (2) suy : 111979 < 371320 g, Ta có: 1010 = 210 510 = 29 510 (*) 5 10 48 50 = (3 ) (2 ) = 510 (**) 10 10 < 48 50 Từ (*) (**) 10 h, Có: 1990 + 1990 = 19909 (1990+1) = 1991 19909 199110 = 1991 19919 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 < 199110 Bài Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 Với này, học sinh lớp khơng định hướng cách làm, giáo viên gợi ý: Hãy chứng tỏ 263> 527 263 < 528 Ta có: 263 = (27)9 = 1289 263 > 527 (1) 527 =(53)9 = 1259 63 7 Lại có: = (2 ) = 512 528 = (54)7 = 6257 263 < 528 (2) 27 63 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 2518 291 > 3218 > 2518 > 535 Vậy 291 > 535 Bài So sánh : a, (-32)9 (-16)13 b, (-5)30 (-3)50 c, (-32)9 (-18)13 d, (-16)100 (-2)500 Hướng dẫn : Đưa so sánh hai lũy thừa tự nhiên a, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 19 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 52 Vỡ 245 < 252 nên -245 > - 252 Vậy (-32)9 > (-16)13 b, (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 Vỡ 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50 c, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 mà 245 < 252 = 1613 < 1813 - 245 > - 1813 = (-18)13 Vậy (-32)9 > (-18)13 Bài So sánh A B biết : ; A= B= Trước tìm lời giải giáo viên cung cấp cho học sinh tính chất sau : * Với số tự nhiên a , b , c khác , ta chứng minh : +) Nếu > +) Nếu < Ap dụng tính chất vào , ta có : 2008 2008  Vì A = < nên 2008 2009  2008 2008  A= < 2008 2009  = = = =B Vậy A < B Giáo viên hướng dẫn học sinh giảỉ toán theo cách sau : Cách 1: Ta có : 2008.A = =1+ 2008.B = =1+ Vì 20082009+1 >20082008+1 nên < 2008.A < 2008 B A 20082007 +1 nờn 2008 Vậy > < > 2008 - A 0) Bài So sánh M N biết: M= ; = = N= Hướng dẫn : >1 Cách : N = N= > = = M Vậy M < N = Cách : M = N= = = = 100 - = Vì 10099 + < 100100 + nên = 100 > 100 - < 100 Vậy M < N Bây giáo viên cho học sinh làm số tập tương tự sau : So sánh : a, 528 2614 b, 521 12410 c, 3111 1714 d, 421 647 e, 291 535 g, 544 2112 h, 230 + 330 + 430 2410 So sánh : a, c, b, d, So sánh : a, A = B = và 21 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” b, A = c, A = B = B = Gợi ý : c, A = B = Bài không giống Học sinh lúng túng bắt tay làm bài, giáo viên cần hướng dẫn: Quy đồng mẫu A B, ta có : A = B = Để so sánh A B lúc ta so sánh tử số A tử số B Xét hiệu tử số A trừ tử số B: (100100 + 1) (10068 + 1) - (10069 + 1) (10099 + 1) = 10068 + 100100 + 10068 + - 100168 – 10099 – 10069 – = 100100 – 10099 – 10069 + 10068 = 100 10099 – 10099 – 100.10068 + 10068 = 99.10099 - 99.10068 = 99 (10099 - 10068) > 10099 > 10068 Vậy A > B Dạng 4: Tính tốn lũy thừa *Phương pháp: Vận dụng linh hoạt cơng thức, phép tính lũy thừa để tính cho hợp lí nhanh Biết kết hợp hài hịa số phương pháp tính tốn biến đổi Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau: a, A= b, M = với x = Hướng dẫn : Với này, học sinh không nên tính giá trị lũy thừa thực phép tính khác theo thứ tự thực phép tính, mà làm khó đưa đáp án Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm thừa số chung đưa ngoặc tử mẫu số, sau thực việc rút gọn việc tìm kết toán nhanh đến bất ngờ a, A = = = 23 = b, M = Học sinh dễ phát hoảng nhìn thấy câu b số mũ lũy thừa cao dần mà số lại chưa cụ thể Nhưng thay giá trị x vào M lại tìm cách dễ dàng = M= M= = = 32 = Bài 2: Chứng tỏ rằng: 22 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” a, A = 102008 + 125 chia hết cho 45 b, B = 52008 + 52007 + 52006 chia hết cho 31 c, M = 88 + 220 chia hết cho 17 d, H = 3135 299 - 3136 36 chia hết cho Với toán này, học sinh phải huy động kiến thức dấu hiệu chia hết, kĩ phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: Nếu a chia hết cho m, a chia hết cho N*) n, (m;n) = a chia hết cho m.n (a, m, n a, A = 102008 + 125 chia hết cho 45 + 125 = Ta có: 102008 + 125 = 2008 số 2005 số A chia hết cho A có tận Tổng cỏc chữ số A : 1+1+2+5 = => A chia hết cho Mà (5;9) = A chia hết cho 5.9 hay A chia hết cho 45 2008 2007 b, B = + + 52006 chia hết cho 31 Ta tính giá trị cụ thể lũy thừa thực phép chia Giáo viên gợi ý đặt thừa số chung B = 52008 + 52007 + 52006 B = 52006 ( 52 + 51 + 1) B = 52006 31 chia hết cho 31 c, M = 88 + 220 chia hết cho 17 Cách làm tương tự câu b, trước tiên phải đưa hai lũy thừa có số: M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220 M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220 17 chia hết cho 17 d, H = 3135 299 – 3136 36 chia hết cho Với câu này, học sinh phải nhận cần đặt thừa số chung, đặt thừa số chung lại vấn đề Nếu đặt 3135 làm thừa số chung buộc phải tính kết ngoặc, lâu dễ nhầm Khi đó, giáo viên hướng dẫn H = 3135 299 -3136 36 H = 3135 299 - 3136 - 35 3136 H = 3135 (299 - 313) - 35 3136 H = 3135 14 - 35 3136 H = (3135 - 3136 ) chia hết cho Bài Cho A = 2+ 22 + 23 +…+ 260 Chứng tỏ rằng: A chia hết cho 3, A chia hết cho 7, A chia hết cho Với này, giáo viên hãy hướng dẫn em nhóm lũy thừa thành nhóm / / / ….lũy thừa cho sau đặt thừa số chung nhóm xuất số cần chứng tỏ A chia hết cho Ví dụ : A = 2+ 22 + 23 + + 260 = (2+22)+(23+24)+(25+26)+ +(257+258)+(259+260) = 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+ +257.(1+2)+259.(1+2) = (1+2).(2+23+25+ +257+259) = 3.( 2+23+25+ +257+259) A chia hết cho 23 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” A =(2+ 22 + 23)+(24+25+26)+ +(258+259+ 260 ) = 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+ +258.(1+2+22) = (1+2+22).(2+24+27+….+258) = 7.(2+24+27+….+258) A chia hết cho A = (2+ )+(22+24)+…+(257+259)+(258+ 260 ) A = 2(1+22)+22(1+22)+…+257(1+22)+258(1+22) = (1+22).(2+22+25+26+….+257+258) = (2+22+25+26+….+257+258 A chia hết cho Bài 4: Chứng tỏ : a, D = + 32 + 33 + 34 + + 32007 chia hết cho 13 b, E = 71 + 72 + 73 + 74 + + 74n-1 + 74n chia hết cho 400 Hướng dẫn : a, Ta thấy : 13 = + + 32 nên ta nhóm số hạng liên tiếp tổng thành nhóm sau : D = (3 + 32 + 33) + (34 +35 + 36) + + (32005 + 32006.+ 32007) =3.(1 + + 32) +34.(1 + + 32) + + 32005.(1 + + 32) = 13 + 34 13 + + 32005 13 = (3 + 34 + + 32005) 13 D chia hết cho 13 b, Tương tự câu a, có : 400 = + + 72 + 73 nờn : E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74 (71 + 72 + 73 + 74) + + 74n-4 (71 + 72 + 73 + 74 ) = (71 + 72 + 73 + 74) (1+74 + 78 + +74n-4) = 7.(1 + 71 + 72 + 73 ) (1+74 + 78 + +74n-4) = 7.(1 + + 49 + 343 ) (1+74 + 78 + +74n-4) = 7.400 (1+74 + 78 + +74n-4) chia hết cho 400 E chia hết cho 400 Bài 5: a, Tính tổng : Sn = + a + a2 + + an b, Áp dụng tính tổng sau: A = + + 32+ … + 32008 B = + + 22 + 23 + …+ 21982 C = 71 + 72 + 73 + 74 + + 7n-1 + 7n a, Đây tốn tổng qt, giáo viên gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm Để thu gọn tổng lũy thừa này, ta nhân hai vế biểu thức với số lũy thừa * Xét a = ta có: Sn = + + 12 + + 1n =( n +1).1 = n +1 Sn = + a + a2 + + an * Xét a ta có : a Sn = a + a2 + + an+1 a Sn - Sn = an+1 - Tương tự ,ta có : Sn = b, Học sinh dễ dàng tính tổng A, B , C nhờ công thức Sn 24 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” A = + + 32+ … + 32008 = B = + + 22 + 23 + …+ 21982 = 21983 - C = 71 + 72 + 73 + 74 + + 7n-1 + 7n = Bài : Thu gọn tổng sau : M = - + 22- 23 + … + 22008 Mặc dù có thức tính tổng lũy thừa viết theo quy luật tính tổng M học sinh khơng tránh khỏi lúng túng với dấu ‘+’ , ‘-‘ xen kẽ Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B câu b, 4: lấy 2M M không thu gọn tổng M Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu : câu b 4, ta tính hiệu hai biểu thức hai biểu thức có số hạng giống ; hai tổng 2M M lại có số hạng đối nên ta xét hiệu chúng : M = - + 22- 23 + … + 22008 2M= - 22 + 23 - 24 + … + 22009 2M + M = 22009 + M= Bài Tính : a, A = b, B = 1+ Hướng dẫn: làm tương tự a, A= 2A = 1+ 2A -A =(1+ )-( ) A = 1+ A=1b, B = 1+ 5B = 5+1+ 5B - B = (5+1+ ) - (1+ = 5+1-1+ 4B = B = (5 Bài Tính : ):4 B = 1002 - 992 + 982 - 972 + …+22 - ) 25 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” Với học sinh nghĩ tới việc nhóm số 100 , 982 , …,22 thành nhóm số cịn lại thành nhóm Nhưng nhóm khơng tính nhanh Để làm giáo viên cho học sinh chứng tỏ đẳng thức sau: Với số tự nhiên a b, ta có: (a - b).(a+b) = a2 - b2 Thật vậy, ta có: (a - b).(a+b) =(a-b).a +(a-b).b = a2- ab+ab-b2 = a2- b2 Vậy: (a - b).(a+b) = a2 - b2 Ap dụng đẳng thức vào ta : B = 1002 - 992 + 982 - 972 + …+22 - = (100-99).(100+99)+(98-97).(98+97)+- +(2-1).(2+1) = 100+99+98+97+….+2+1 = 100.(100+1) : = 5050 Bài 9: Chứng tỏ a, H = b, K = Để làm câu a, học sinh phải nắm kiến thức liên quan Những toán dạng thực khó với học sinh Để học sinh hiểu phụ thuộc hoàn toàn vào dẫn dắt, gợi mở giáo viên N*) (n Lưu ý: Ta có: , , , , H= (*) Mà Nên, từ (*) H B với: 27 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” A= B= Dạng 5: Toán đố với lũy thừa Dạng toán đố với lũy thừa có số chủ yếu liên quan đến số phương Số phương bình phương số tự nhiên *Phương pháp: Cần nắm số kiến thức sau +) Số phương tận 0, , 4, 5, 6, tận 2, 3, 7, +) Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ +) Số lượng ước số phương số lẻ Ngược lại số có số lượng ước số lẻ số số phương Bài 1: Đố bạn: số phương có chữ số viết chữ số: 3, 6, 8, Với toán này, ta phải sử dụng phương pháp loại trừ để tìm đáp án: Gọi số phương phải tìm n2 Số phương khơng tận 3, nên n2 có tận Số tận 86 chia hết cho 2, không chia hết số phương Vậy n2 có tận 36 Do số phương cần tìm 8836 Bài 2.Tìm số phương có chữ cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống x2 = = 11 Gợi ý: Gọi số cần tìm x = 11k2 (k ) Ta có 100 11k 909 k Thì giá trị k có số 704 có chữ số hàng chục Vậy k = số cần tìm 7744 III KẾT QUẢ VÀ ỨNG DỤNG Nhiều năm qua tơi phân cơng dạy tốn lớp Với biện pháp tiến hành phần thấy em học sinh tự giác, u thích mơn Tốn, nhớ kiến thức lâu, ham tìm tịi có trách nhiệm học tập, chuẩn bị cũ Khơng khí lớp học sơi nổi, học sinh tích cực học tập động hoạt động Qua khảo sát mức độ nắm vững kiến thức toán lớp 6A4 năm học 2019 -2020 6A4 năm học 2020-2021 sau áp dụng sáng kiến thu kết sau: Tỉ lệ % Thời gian Giỏi Khá Trung bình Yếu Năm học 2019 -2020 Trước áp dụng đề tài 10 % 35 % 40 % 15 % Sau áp dụng đề tài 23 % 46 % 22 % 9% Năm học 2020 Trước áp dụng đề tài 10 % 35 % 45 % 10 % 28 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” -2021 Sau áp dụng đề tài 28 % 55 % 17 % 0% Bản thân tơi có thành cơng trước hết có đạo đắn Sở giáo dục, Phòng giáo dục, quan tâm sát chuyên môn Ban giám hiệu, tổ chuyên môn, giúp đỡ đồng nghiệp Bên cạnh nỗ lực thân ủng hộ nhiệt tình em học sinh đặc biệt đầu tư sở vật chất nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi cho thầy trò IV KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Để thực đề tài : Giáo viên cần soạn chu đáo, chọn lọc kiến thức, tập phù hợp với mức độ tiếp thu đối tượng học sinh, để gây hứng thú cho học sinh với chuyên đề này.Giáo viên cần hướng dần học sinh khai thác kiến thức từ kiến thức bản, đơn giản mà em học lớp em dễ dàng tiếp thu kiến thức nâng cao Học sinh cần nắm vững kiến thức lũy thừa nắm số kiến thức mở rộng lũy thừa, đặc biệt cần thuộc bảng tính lũy thừa thuộc lịng bảng cửu chương ln có ý thức tìm tịi học hỏi Như đã giới thiệu “Toán lũy thừa Z” lớp mảng kiến thức rộng, chứa đựng nhiều tốn hay lí thú Để chiếm lĩnh khơng phải việc dễ làm Với hệ thống tập từ dễ đến khó dạng tốn, tơi muốn cung cấp số phương pháp làm tập có liên quan đến lũy thừa, giúp em u thích tốn đào sâu kiến thức mảng lũy thừa dạng tập Tùy theo khả mức độ nhận thức học sinh mà giáo viên truyền thụ kiến thức, phương pháp làm tập cho phù hợp với đối tượng Tuy cố gắng việc nghiên cứu vấn đề thời gian, kinh nghiệm hạn chế nên chuyên đề khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận tham gia đóng góp ý kiến từ đồng nghiệp hội đồng khoa học nhà trường cấp lãnh đạo góp ý để đề tài hồn thiện tốt hơn, vận dụng có hiệu cao giúp cho việc giảng dạy ngày đạt kết cao Tôi xin trân trọng cảm ơn Hà Nội, ngày tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác 29 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” Tài liệu tham khảo 01 Sách giáo khoa Toán 02 Sách tập Toán 03 Sách giáo viên Toán 04 Phương pháp dạy học THCS tác giả: Nguyễn Ngọc Đạm - NXB Đại học Sư phạm 30 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” 31 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa” NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ I Hội đồng xét duyệt SKKN cấp trường II Hội đồng xét duyệt SKKN phòng GD & ĐT III Hội đồng xét duyệt SKKN 32 “Hướng dẫn học sinh lớp ôn luyện tập lũy thừa”