Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh đưa một bài toán về bài toán đã chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS

Hướng dẫn HS đưa toán toán chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Tốn học mơn học phát triển trí tuệ, địi hỏi tìm tịi sáng tạo khơng ngừng Trong q trình giảng dạy mơn tốn hướng dẫn học sinh giải toán, đặc biệt hướng dẫn học sinh giỏi giải tốn khó tơi thường thấy thực trạng học sinh tìm tịi lời giải theo thói quen là: Tìm cách phân tích để đưa tốn tính chất tốn học học định nghĩa, định lý hệ Việc giải phương pháp suy luận mà giáo viên thường hướng dẫn học sinh suy luận theo lối mịn định, tơi thiết nghĩ để học sinh tìm tịi lời giải theo phương pháp thơng thường theo lối mịn làm học sinh tính sáng tạo em Theo tơi ngồi định nghĩa, định lý hệ cịn vơ số tốn xem tốn mẫu q trình suy luận, tìm tịi phương pháp giải Trên thực tế định lý hay hệ toán chứng minh trọn vẹn áp dụng trình suy luận, phân tích tìm tịi lời giải Vậy ta khơng thử đặt câu hỏi với tốn mà chứng minh ta xem định lý hay hệ thân trình suy luận tìm tịi lời giải, thành riêng thân mà sử dụng cần thiết Việc phân tích tốn để đưa tốn quen thuộc đơi dể dàng cố gắng đưa toán sử dụng định lý hay hệ mà ta biết Ngồi việc sử dụng tốn giải khơng giải nhanh vấn đề mà cịn tìm lời giải hay ngắn gọn Bên cạnh hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải theo hướng thầy lại hình thành cho hoc sinh thói quen việc tìm tịi lời giải khơng xuất phát từ định lý hay hệ mà cách phân tích tìm tịi lời giải toán quen thuộc mà em giải, hình thành cho học sinh thói quen tự tìm tịi sáng tạo lời giải Với lý tơi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh đưa toán tốn chứng minh- Phần quỹ tích hình học cấp THCS” nhằm giới thiệu cách tận dụng toán giải để đưa vào vận dụng giải số tốn khó để có lời giải hay ngắn gọn Trong đề tài tơi trình bày cách phân tích tìm tịi lời giải tốn thơng qua tốn giải mà khơng có ý giải hay trình bày lời giải toán cụ thể Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021-2022 Trang Hướng dẫn HS đưa toán toán chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS Mục tiêu đề tài Mục tiêu chủ yếu hướng dẫn học sinh phương pháp phân tích đưa toán toán gốc chứng minh Từ tập cho học sinh có thói quen xâu chuỗi, hệ thống dạng tập học, biến tập đọc tưởng chừng lạ thành tập quen thuộc Tìm hiểu hạn chế khó khăn học sinh q trình giải tốn lớn, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp 8,9 để có biện pháp giúp đỡ học sinh khắc phục dần khó khăn mà học sinh thường mắc phải Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng học sinh khá, giỏi lớp 8, trường; - Phạm vi nghiên cứu: + Chương trình tốn 8,9; + Sách giáo khoa toán 8,9; + Sách giáo viên toán 8,9; + Sách tham khảo, nâng cao toán 8,9; + Tuyển tập luyện thi vào lớp 10-THPT Giả thuyết khoa học Thực tốt phương pháp cách hướng dẫn sáng kiến kinh nghiệm chắn góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn, nâng cao điểm tuyển sinh vào trường THPT đơn vị học sinh u thích học mơn Tốn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp giải cách định hướng cho học sinh giải tốn quỹ tích hình học Tổng kết thực tiễn việc thực trình giảng dạy chuyên đề Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra, khảo sát; - Phương pháp thể nghiệm; - Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái qt hóa, đặc biệt hóa Phạm vi nghiên cứu Một số cách giải tốn quỹ tích chương trình THCS Dự báo đóng góp đề tài Đề tài tác động đến việc tạo hứng thú tính tích cực cho học sinh gặp dạng tốn Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021-2022 Trang Hướng dẫn HS đưa toán tốn chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí luận Trong thực tế tốn lớn xây dựng tảng toán mà học sinh học, làm lớp làm sách giáo khoa Bài tốn tốn hồn tồn mới, mở rộng, đào sâu toán biết Thực chất khó tạo tốn hồn tồn khơng có quan hệ nội dung phương pháp với tốn có Vì để tạo Toán từ tốn ban đầu phải tn theo đường sau: Lập toán tương tự Lập toán đảo Thêm số yếu tố đặc biệt hóa Bớt số yếu tố khái quát hóa Thay đổi số yếu tố kết hợp kiến thức liên quan II Cơ sở thực tiễn Thông thường đứng trước tốn lớn học sinh thường hay lúng túng khơng biết đâu, vận dụng kiến thức học kết toán nào; học sinh khó tìm cách giải tốn Vì để có tập phù hợp với yêu cầu tiết dạy, phù hợp với đối tượng học sinh mình, phù hợp với hồn cảnh thực tế địa phương mình, ngồi việc khai thác triệt để tập SGK, SBT giáo viên phải tự biên soạn thêm câu hỏi tập khai thác từ toán quen thuộc III Giải pháp thực Trong trình dạy học giải tập giáo viên cần phải hướng dẫn học sinh phân tích tốn để học sinh định hướng cách tìm lời giải Trong trình dạy học giải tập giáo viên cần phải xâu chuỗi tập, mở rộng tập chia nhỏ toán, tổng hợp toán nhỏ thành toán lớn Một vấn đề quan trọng hướng dẫn học sinh biết cách đưa toán tốn gặp IV Ví dụ áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021-2022 Trang Hướng dẫn HS đưa toán toán chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS Trong sáng kiến kinh nghiệm xin trình bài tốn mở đầu (gọi tốn gốc) cách cụ thể Để tránh tình trạng lặp lặp lại nhiều lần cách giải, tốn khác đưa tốn gốc xin khơng giải tiếp Kiến thức cần nhớ: - Các kiến thức tốn qũy tích - Các kiến thức hình bình hành - Các kiến thức tam giác đồng dạng Bài toán mở đầu (bài toán gốc) Cho tam giác ABC, M điểm di động BC Tìm qũy tích trung điểm I AM A 2.1 Phân tích tốn Khi M trùng với B I trùng với trung điểm AB Khi M trùng I Q P với C I trùng với trung điểm AC Khi ta dự đốn qũy tích trung điểm I AM C B M đường trung bình tam giác ABC M 2.2 Giải a Phần thuận Gọi P,Q trung điểm AB AC Ta có: PI // BC (T/c đường trung bình)  P,I,Q thẳng hàng QI // BC (T/c đường trung bình) Khi M  B thi I P; M C I Q b.Giới hạn qũy tích Qũy tích trung điểm I AM đường trung bình PQ tam giác ABC c.Phần đảo: Với I thuộc vào PQ ta cần chứng minh I trung điểm AM Do PI//BC ( I   AI = IM PQ) PA = PB (gt) Vậy I trung điểm AM d Kết luận: Vây Qũy tích trung điểm I AM đường trung bình tam giác ABC (PQ//BC) 2.3 Nhận xét Bài toán gốc toán tương đối dễ cần học sinh nắm kiến thức đường trung bình ta phân tích tìm tòi lời giải cách dễ dàng Mặc dù toán tương đối dễ ta biết vận dụng q trình suy luận để tìm tịi lời giải thật thú vị Dưới số toán giải nhờ vận dung tốn nói Những toán vận dụng Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021-2022 Trang Hướng dẫn HS đưa toán toán chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS Bài tốn 1: “Trích toán 164, trang 77, sách tập Toán 8” Cho đoạn thẩng AB = a Trên AB lấy điểm M Vẽ phía AB hình vng AMNP; BMLK có tâm theo thứ tự C D gọi I trung điểm CD Khi điểm M di chuyển đoạn thẳng AB điểm I chuyển động đường thẳng nào? Giải: L K - Phân tích tìm tịi lời giải: E Làm để đưa toán giải toán gốc? Làm để I N P D lại trung điểm đoạn thẳng nối I Q P từ đỉnh tới điểm cạnh đối điện tam giác C Kéo dài AN cắt BL E, B A M tam giác AEB tam giác vng cân E có AB khơng đổi Ta có: ECM = CED = EDM = 90o => tư giác CEDM hình chữ nhật vây trung điểm CD trung điểm EM Vậy tốn đưa toán gốc ta tiếp tục giải toán gốc - Kết luận: Qũy tích trung điểm I CD đường trung bình PQ tam giác AEB Bài tốn 2: Cho đoạn thẳng AB = a Trên AB lấy điểm M, Vẽ tam giác ACM tam giác BDM nửa mặt phẳng bờ AB cho tam giác ACM đồng dạng với tam giác MBD CAM =  ; DBM =  khơng đổi Tìm qũy tích trung điểm CD M di chuyển AB Giải - Phân tícht tìm tịi lời giải E Với cách đặt vấn đề toán D ta thấy điểm M toán có vai P trị điểm M tốn gốc ta Q I C có lời giải sau Kéo dài AC BD cắt E A B Do CAM =  ; DBM =  M =>  AEB cố định Mặt khác ta có:  ACM  MDB => CAM = DMC = => CM // ED (1)  Mà CAM = DMC vị trí đồng vị Chứng minh tương tự ta có: EC // DM Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021-2022 (2) Trang Hướng dẫn HS đưa toán toán chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS Từ (1) (2) => CEDM hình bình hành => I trung điểm CD đồng thời trung điểm EM Vậy toán đưa toán gốc - Kết luận: Quỹ tích trung điểm I CD đường trung bình PQ tam giác EAB Bài toán 3: Cho đoạn thẳng AB AB lấy điểm M Trên mặt phẳng có bờ AB vẽ đường trịn đường kính AM BM Trên đường trịn đường kính AM BM lấy điểm C D cho sđ CM = sđ DB ln khơng đổi Tìm qũy tích trung điểm I CD M di chuyển AB Giải: K - Phân tích tìm tịi lời giải Với cách đặt vấn đề toán Trong toán D I P cách phát biểu có khác Q C ta nối CM DM ta nhận  MDB Qua là:  ACM cách phân tích ta thấy tốn A B M toán phát biểu dạng khác Ta dễ dàng đưa toán toán gốc Ta có cách giải sau: Kéo dài AC BD cắt K dễ dàng chứng minh CKDM hình chữ nhật I trung điểm CD đồng thời trung điểm KM Bài tốn trở tồn gốc Tiếp tục giải tốn gốc - Kết luận: Qũy tích trung điểm I CD đường trung bình PQ tam giác AKB Bài tốn 4: “Trích 177 trang 57 sách số vấn đề phát triển hình học tác giả Vũ Hữu Bình” Cho tam giác ABC vuông cân cố định Điểm M chuyển động cạnh huyền BC, đường thẳng qua M vng góc với BC căt đường thẳng AB AC D E Gọi I trung điểm CE, K trung điểm BD Tìm qũy tích trung điểm IK D Giải: - Phân tích tìm tịi lời giải: A Do tam giác ABC vuông cân A => B = C + 45o (1) K E Từ (1) =>  BMD  O Q P I Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021-2022 B Trang C M Hướng dẫn HS đưa toán toán chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS CME vng cân M I, K trung điểm CE BD nên dễ dàng suy AKM = AIM = BAC = 90o => AKMI hình chữ nhật O trung điểm IK đồng thời trung điểm AM ta đưa toán toán gốc Tiếp tục giải tốn gốc - Kết luận: Quỹ tích trung điểm O IK đường trung bình PQ tam giác ABC Bài tốn 5: “ Trích trang 23 sách 100 quỹ tích dựng hình tác giả Bùi Văn Thơng” Cho đường trịn (O) với AB CD hai đường kính vng góc Gọi M di động cung nhỏ AC, BM căt CD N Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác AMNO Giải: - Phân tích tìm tịi lời giải: C Ta thấy: AMN = 90 o (góc nội tiếp chắn đường tròn) P M o AON = 90 (gt) N I Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác A B Q O AMNO trung điểm đoạn thẳng AN Khi M di chuyển cung AC N di chuyển đoạn thẳng OC Vậy toán đưa toán D gốc N di chuyển đoạn thẳng OC tìm quỹ tích trung điểm AN Ta tiếp tục giải tốn gốc - Kết luận: Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANMO đường trung bình PQ tam giác AOC Bài tốn 6: “ Trích 97 trang 176 sách 100 tốn quỹ tích dựng hình tác giả Bùi Văn Thơng” (để bạn đọc tiện theo dỏi tơi xin trích ngun tốn giải phần quỹ tích) Bái toán: Trên cạnh BC, CA AB tam giác ABC lấy điểm M, N, P cho BM = CN = AP Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021-2022 Trang Hướng dẫn HS đưa toán toán chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác MNP có chung tâm O Tìm tập hợp trung điểm I MN M di động BC Giải: - Phân tích tìm tịi lời giải: Để đưa toán tốn gốc ta cần tìm hai điểm A có vai trò hai điểm A M toán gốc P Ở toán qua M vễ đường thẳng song song với BC cắt AB H K.ta dễ dàng chứng minh  AKN  KBM hai tam giác K N ta thấy M,N có vai trị giống I với C,D toán Ta cần chứng minh C,K có vai trị giống với B C M Q A,M tốn gốc Ta có: NK // CM (vẽ) (1)  KBM  AKN tam giác => NCM = KMB = 60 o => CN // KM (2) Từ (1) (2) => CMKN hình bình hành, => I trung điêm MN đồng thời trung điểm CK Bài toán đưa toán gốc, ta tiếp tục giải tốn gốc - Kết luận: Quỹ tích trung điểm I MN đường trung bình QH tam giác ABC Bài tốn 7: “Trích 30 trang 270 luyện thi vào lớp 10 tác giả Lương Xuân Tiến” Bài tốn: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M, N, E, F điểm di động cạnh AB, BC, CD, DA cho AM = BN = CE = DF Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng MN Giải: - Phân tích tìm tịi lời giải; Để đưa toán toán gốc ta cần tạo tam giác toán gốc Do điểm M N nằm hai cạnh AB BC D E C nên ta nghỉ đến việc kẻ đường chéo AC Từ N kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC K nối KM K N Ta dễ dàng chứng minh Q BNKM hình chữ nhật F I Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021-2022 A P M Trang B Hướng dẫn HS đưa toán toán chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS Khi I trung điểm MN đồng thời trung điểm BK Khi M,N dịch chuyển AB BC K dịch chuyển AC Bài tốn đả đưa toán gốc, ta tiếp tục giải theo tốn gốc - Kết luận: Quỹ tích trung điểm I MN đường trung bình PQ tam giác ABC Bài tốn 8: “ Tích tốn 10 trang 229 luyện thi vào lớp 10 mơn toán tác giả Lương Xuân Tiến; đề thi vào trường Amsterdam Chu Văn An – Hà Nội năm học 1996 - 1997” (Để tiện theo giỏi tơi xin trích nguyên văn toán) Bài toán: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường phân giác góc A cắt đường trịn O điểm D đường tròn (L) căt hai đường thẳng AB AC M N(có thể trùng A) a) Chứng minh rằn BM = CN b) Tìm tập hợp trung điểm I MN c) Xác định vị trí đường trịng (L) cho đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ A Giải: - Phân tích tìm tịi lời giải Theo câu a ta có BM = CN N đến A M tới E ( E  tia đối tia BA BE = CA) N đến A N đến F (F thuộc tia đối tia CA CF = AB) Từ cách phân tích cho ta thấy tam giác AEF cân A cố định Để đưa toán toán gốc ta cần có điểm H có vai trị điểm M toán gốc N B P I Q C D F M E H Qua phân tích ta giải toán sau Từ M kẻ MH // AC cho H  EF (*) Do  AEF cân A =>  MEH cân M => ME = MH (1) Ta lại có BE = AC =>ME = AN (2) MB = NC (cm câu a) Từ (1) (2) => MH = AN (**) Từ (*) (**) => tứ giác AMHN hình bình hành Vậy I trung điểm MN củng trung điểm AH Như toán đưa toán gốc.Ta tiếp tục giải toán gốc Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021-2022 Trang Hướng dẫn HS đưa toán tốn chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS - Kết luận: Vậy quỹ tích trung điểm I MN đường trung bình PQ tam giác AEF Bài tốn 9: Cho đường trịn (O) dây cung BC cố định.Gọi A điểm di động cung lớn BC đường tròn (O), (A khác B, C) Tia phân giác góc ACB cắt đường tròn (O) điểm D khác C, lấy điểm I thuộc đoạn CD cho DI = DB Đường thẳng BI cắt đường (O) điểm K khác điểm B CMR: Tam giác KAC cân CMR: Đường thẳng AI qua điểm cố định J.Từ tìm vị trí A cho AI có độ dài lớn Trên tia đối AB lấy điểm M cho AM = AC.Tìm tập hợp điểm M A di động cung lớn BC (O) Giải: 1.Ta có:  DBI cân D nên:  DBI=  DIB Mà:  DIB =  IBC +  ICB (1) A K Và:  DBI =  KCI =  KCA +  ACD =  KBA +  ICB (2) D O Từ (1) (2) suy  ABI =  CBI Suy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC  BI phân giác góc B tam giác ABC  K trung điểm cung AC I C J B  Tam giác KAC cân Vì I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC nên AI qua trung điểm J cung nhỏ BC Ta dễ dàng chứng minh tam giác BIJ cân J  JI = JB = const Suy AI = AJ - IJ = AJ - const lớn AJ lớn tức AJ đường kính (O)  A phải nằm trung điểm cung lớn BC 3.Ta dễ dàng tính được:  BMC = 1  BAC = số đo cung nhỏ BC = const Suy quĩ tích điểm M cung chứa góc nhìn BC góc số đo cung nhỏ BC Bài toán 10: Cho đường tròn tâm O cố định Một đường thẳng d cố định cắt (O) A, B; M điểm chuyển động d (ở đoạn AB) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP MN với đường tròn Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021-2022 Trang 10 Hướng dẫn HS đưa toán tốn chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS CMR: Đường tròn qua ba điểm M, N, P qua điểm cố định khác O Tìm tập hợp tâm I đường trịn qua M, N, P Tìm d điểm M cho tam giác MNP tam giác Giải: Gọi K trung điểm AB Dễ thấy M, N, P, O, K nằm đường trịn đường kính OM Vậy K điểm cố định cần tìm Tâm I đường tròn qua M,N, P trung điểm OM P O I A Từ I hạ IJ vng góc với AB Dễ thấy IJ = (1/2).OK=const Y X M B K J N Vậy phán đốn quĩ tích I đường thẳng song song với AB cách AB khoảng nửa đoạn OK trừ đoạn XY với X,Y trung điểm OA OB 3.Giả sử tam giác MNP thì: OM = 2.OP = 2R: MK2 = MO2 - OK2 = 4R2 - OK2 = const Từ có hai điểm M thảo mãn Chú ý: Trong kinh nghiệm để tiện theo dõi có số tốn tơi trích giải phần quỹ tích cơng nhận kết câu trước Bài tập tham khảo Với tốn nói ta vận dụng để giải nhiếu toán qũy tich trung điểm đoạn thẳng Sau xin nêu thêm số ví vụ để bạn đồng nghiệp tham khảo Bài tập 1: cho đoạn thẳng AB = a M điểm di động AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng tam giác ACM BDM Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng CD “ trích 178 trang 57 – Một số vấn đề phát triển hình học – tác giả Vũ Hữu Bình” Bài tập 2: Cho tam giác ABC cố định Hai điểm D E thứ tự chuyển động hai cạnh AB AC cho AD CE  Tìm tập hợp quỹ tích trung điểm M DB EA DE Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021-2022 Trang 11 Hướng dẫn HS đưa toán toán chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS Bài tập 3: Cho đoạn thẳng AB = a M, N hai điểm di động AB cho MN = m không đổi Trên nửa mặt phẳng bờ AB vễ đường trịn đường kính AM BN Trên nửa đường trịn đường kính AM lấy điểm D nửa đường trịn đường kính BN lấy điểm E cho sd DM = sd EB không đổi Tìm quỹ tích trung điểm I DE C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm tơi trình bày cách vận dụng toán gốc để giải số tốn phức tạp cách đưa tốn toán gốc Cũng để bạn đồng nghiệp thấy ưu điểm ta sử dụng phương pháp Với ưu điểm tơi trình bày kinh nghiệm này, thấy bạn đồng nghiệp biết vận dụng toán làm toán gốc định lý hay hệ riêng việc phân tích tìm tịi lời giải hay hướng dẩn học sinh suy luận dễ tìm tịi lời giải cơng việc sẻ bớt khó khăn Hơn biết cách vận dụng toán tìm tịi lời giải làm phong phú phương pháp suy luận có nhiều định hướng trình giải tốn phương pháp lời giải ngắn gọn Kiến nghị Chúng ta biết hệ thống câu hỏi tập sách giáo khoa sách tập biên soạn chọn lọc, xếp cách công phu có dụng ý sư phạm, phù hợp với trình độ kiến thức lực học sinh, phản ảnh phần thực tiễn đời sống xã hội học tập gần gũi với học sinh, phù hợp với tâm lý lứa tuổi học sinh Tuy nhiên, SGK SBT tài liệu dành cho tất học sinh thành thị nông thôn, miền núi miền xuôi, vùng kinh tế phát triển vùng gặp khó khăn, với đặc trưng khác Trên kinh nghiệm mà vận dụng giãi hướng dẩn học sinh giải số tốn quỹ tích nhanh ngắn gọn q trình giảng dạy Tơi xin trình bày để bạn đông nghiệp tham khảo sử dụng đóng góp ý kiến Tơi xin chân thành cảm ơn! Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021-2022 Trang 12 Hướng dẫn HS đưa toán tốn chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS MỤC LỤC Mục A ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Mục tiêu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phương pháp nghiên cứu B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận II Cơ sở thực tiễn III Giải pháp thực IV Ví dụ áp dụng Kiến thức cần nhớ Bài toán mở đầu Những toán vận dụng Bài tập tham khảo III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị MỤC LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021-2022 Trang 1 2 2 2 3 3 9 10 11 12 Trang 13 Hướng dẫn HS đưa toán toán chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 Phương pháp dạy học Toán – Trần Bá Kim Sách giáo khoa Toán 9, NXB Giáo dục năm 2011 Sách giáo viên Toán NXB Giáo dục năm 2011 Sách giáo khoa Toán NXB Giáo dục năm 2011 Sách giáo viên Toán NXB Giáo dục năm 2011 Tuyển tập nâng cao Toán Tuyển tập nâng cao Toán Một số vấn đề phát triển hình học – Tác giả Vũ Hữu Bình Luyện thi vào lớp 10 mơn Tốn - Tác giả Lương Xn Tiến 100 tốn quỹ tích dựng hình - Tác giả Bùi Văn Thông Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 2021-2022 Trang 14