hệ phương trình và mũ lôgarit

www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit www.mathvn.com 1 Hệ phơng trình mũ và lôgarit A. Phơng pháp biến đổi tơng đơng. Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. Bớc 2: Dùng các phép biến đổi để nhận đợc một phơng trình một ẩn. Bớc 3: Giải phơng trình một ẩn nhận đợc từ hệ. Bớc 4: Kết luận. Bài tập : Giải các hệ sau: 1. Bài 1. )1( 1)1( 2 2 2 =+ = + ++xx y yx Giải. Điều kiện y > 1. = = = =+ =++ >+ =+ =+ 0 2 0 2 02 01 11 2 )1( 2 y x y yx xx y y yx 2. Bài 2. = = > = = + + )2( )0,:( 1 2 )1()(2 2 22 xy xx yx yx yx xxxx yxyx KĐ = = =+ = =+ = )(1 1 033 1 )(2 1 )1( 322 loạix x x x xxxx x Thay x = 1 vào (2) ta có cặp nghiệm (1,1). 3. Bài 3. = =+ = =+ =+ =+ xyxyyx xxxxyx 1 022.32 1 322 1 322 21 www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit www.mathvn.com 2 = = = xy x x 1 22 12 = = = = 0 1 1 0 y x y x 4. Bài 4. =+ =+ 1 1)44(2 22 yx yx 5. Bài 5. )1( 1 2 99 = = + yx yx yxyx Điều kiện: x, y > 0. = = = = + + )3( )2( )1( 2 )9(29 2 99 22 xy xx xy yx xxxx yxyx = = =+ = 3/1 1 )9(29 1 )2( 22 x x xxxx x . Thay vào (3) ta đợc các cặp nghiệm: (1,1); (1/3,9). 6. Bài 6. +=+ +=+ = = = = 3log213log. 3log23log 18log)2.3(log 12log)3.2(log 182.3 123.2 22 22 22 22 yx yx yx yx yx yx Giải hệ trên bằng phơng pháp định thức ta có cặp nghiêm: (2,1). 7. Bài 7 (HVNH 99). += += = = = = = =+ + 312 312 222 2)22(2 222 22 222 1 y x xy xx yx yx yx yx += += )31(log )31(log 2 2 y x www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit www.mathvn.com 3 8. Bài 8 (ĐHSP II 98). +=++ =+ ++ )2(113 )1(2.322 2 3213 xxyx xyyx = = =+ +=++ + xy x x yxx x xxyx x 31 1 0 0)13( 1 113 01 )2( 2 Với x = 0 thay vào (1) ta có cặp nghiệm: ) 11 8 log,0( 2 Với = xy x 31 1 , thay vào (1) ta có: 31)31(3113 2 . 3 2 2 + + = + xxx Giải ra ta đợc cặp nghiệm: ))83(log2,1)83([log 3 1 ( 22 ++ 9. Bài 9 (ĐHKTQD 99). = = + )2( )1( 13 ) 3 (5 4 yx yx x y xy Điều kiện: x, y > 0. Từ (2) ta có: y = x 3 , thế vào (1) ta đợc: = = =+ = = + 2 1 ) 3 (154 1 33 ) 3 (15 4 3 3 x x x xxx x xx x x xx Thay vào (2) ta đợc các cặp nghiệm: (1, 1) và (2, 1/8). 10. Bài 10 (ĐHQG 95). =+ += )2(2 )1()2)((22 22 yx xyyx yx Tháy (2) vào (1) ta đợc: 333322 2222))((22 yxyxxyyxyx yxyxyx ==++= Nhân xét: x = y thoả mãn phơng trình trên. Nếu x > y có: 33 22 yx yx +>+ www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit www.mathvn.com 4 Nếu x < y có: 33 22 yx yx +<+ Nh vậy, từ phơng trình trên ta có x = y. Thay vào (2) ta có == = = 1 1 yx yx 11. Bài 11. = =+ = =+ =+ =+ 4 17 2).(log 17 2loglog 17 22 2 22 22 22 xy yx yx yx yx yx Giải ra ta đợc các cặp nghiệm (1, 4); (4, 1). 12. Bài 12. )1( loglog 2 42 = = x y x yx y Điều kiện: x > 0, 0 < y 1. = = = = y y yy yx y x yx yx 2 2 22 22 2 2 22 4 2 2 2 log log2 loglog2 log2log log log loglog loglog )1( = = = = = = = = = 4 16 1 1 4 1 log2log 0log2log log2log 22 2 2 2 22 y x y x y y yx yy yx 13. Bài 13. )1( 1)2(log)2(log 24 22 22 =+ = yxyx yx Điều kiện: 2x+y > 0, 2x y > 0. =+ =++ 1)2(log)2(log 1)2(log)2(log )1( 22 22 yxyx yxyx = = = =+ = =+ 2/1 4/3 12 22 0)2(log.2 2)2(log.2 2 2 y x yx yx yx yx www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 5 14. Bµi 14 (§HM§C 99). )1( 1log)4224(log)1(log )3(log1)2(log)(log 4 2 44 44 22 4      −=+−+−+ +=+−+ y x xyyxy yxxyx §iÒu kiÖn: (*) 0 04224 01 03 0 2          > >+−+ >+ >+ > y xyy xy yx x        = +−+ + += + ⇔        = +−+ + += + ⇔ y x xyy xy yx x yx y x xyy xy yx x yx 4 4224 1 3 2 )(4 4 log 4224 1 log )3(log 2 )(4 log )1( 2 22 4 2 4 4 22 4         = = = ⇔         = = = ⇔    =−− =−− ⇔      =−+− =+− ⇔ 1 2 2 2 0)2)(( 0)2)(( 0442 023 2 22 y x yx x yx yx xyx yxyx xyxyx yxyx KiÓm tra l¹i ®iÒu kiÖn (*) ta cã nghiÖm:         = = ∈= 1 2 y x Ryx 15. Bµi 15 (§HQG Khèi − −− −D 95). )1( )(log1)(log 324 33      +−=− = + yxyx x y y x §iÒu kiÖn:      ≠ >+ >− 0 0 0 xy yx yx www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 6      =− =−− ⇔      =− =+ ⇔      =− =+ ⇔ 3 0)2)(2( 3 5)(2 1)(log 5)(2 )1( 22 22 22 3 yx xyyx yx x y y x yx x y y x (*))( 1 2 33 2 33 2 2 2 do y x y xy y yx    = = ⇔             =− =      = = ⇔ nghiÖm)(V« 16. Bµi 16 (§HBK 94). )1( 813).122( 3log 2 3      =+− =+ yyy yx x §iÒu kiÖn: y > 0.      =−+ +−= ⇔      =+− +−= ⇔ − 012 3log 81.27).122( 3log )1( 2 3 12 3 yy yx yyyy yx    = = ⇔         <−= = +−= ⇔ 3 2 )(04 3 3log 3 y x y y yx lo¹i 17. Bµi 17 (§HTL 2000). )1( 3 2 loglog2log. 2 3 loglog3log. 333 222        +=+ +=+ y yxx x yyx §iÒu kiÖn: x, y > 0.      = = ⇔      = = ⇔        = = ⇔ −− xyyx yx xy yx yx yx xy xy xy y x x y 23 2.33.2 2.33.2 2.33.2 3. 3 2 2. 2. 2 3 3. )1( www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit www.mathvn.com 7    = = ⇔      = =       ⇔      = = ⇔ − 1 1 2 3 2 3 16 2.33.2 y x yx xy x yx yx 18. Bµi 18 (§HTCKT 2000). )1( 1loglog 4 44 loglog 88      =− =+ yx yx xy §iÒu kiÖn: x, y > 0.      = =+ ⇔      = =+ ⇔ yx yx y x yx xy xy 4 4 1log 4 )1( 88 88 loglog 4 loglog      = = ⇔      = = ⇔      = = ⇔ −23 3 2 log 2 2 4 2loglog 3 1 4 2 8 y x yx x yx x x x ( do x = 1 kh«ng lµ nghiÖm) 19. Bµi 19.        − − = − − = ⇔        −= = − ⇔        −= = ⇔        −= + = − 5 )1(2 1 3 1 5 2 3 1 5 2 3 33 4 2 3 9 3 9 2 1 1 2 x x x x x x y y x x y y x x x y x x y y x x yx y x x y x x 20. Bµi 20 (§HXD 94). Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:    =+ − = ⇔    =+ − = ⇔    =+ − = ⇔    =+ = + −− )2(1222 )1(2 122 2 122 2 142 2 2 xaxxaxyxyx xayxayxayayx §Æt x t 2 = , t > 0 thay vµo (2) ta cã: 0 2 2 = + − a t t (3) a 2 . 4 1 ∆ − = . NÕu 2 0 2 . 4 1 0 ∆ − > ⇔ < − ⇔ < a a : Ph−¬ng tr×nh(3) v« nghiªm ⇔ hÖ v« nghiÖm. www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit www.mathvn.com 8 Nếu 2 0 2 . 4 1 0 = = = a a : Phơng trình (3) có nghiệm t = 1/2, suy ra x = 1, y= 1/2. Nếu 2 0 2 . 4 1 0 > > > a a : Phơng trình (3) có 2 nghiệm: + = = + = = + = = 2 2.411 log 2 2.411 log 2 2.411 2 2 2.411 2 2 2.411 2 2.411 2 2 a a a x a x a a x x t t Thay vào (1) ta tính đợc y. 21. Bài 21 (ĐHMĐC 2000). Giải và biện luận hệ phơng trình: = = = =++ ++ 22 1))1(1(2 22 1 24.2 1 axaxxaxxyyxa xayayx =+ = )2( 2 1))1(1(2 )1(1 axaxxax xay 22. Bài 22 (Đề 135). Cho hệ phơng trình: )1( 0 0loglog 2 1 2 3 3 2 3 =+ = myyx yx a) Giải hệ với m = 2. b) Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm. Điều kiện: (*) 0 0 > y x =+= = =+ = )3((*))(0)( )2( 0 loglog )1( 2 2 3 33 domyyyf yx myyx yx a) Với m = 2, giải ra ta có các cặp nghiệm (1, 1); (1, 1). b) (1) có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm y > 0. Do (3) có b/a= 1 nên (3) có nghiệm dơng khi và chỉ khi f(0) < 0 m < 0 m > 0. www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit www.mathvn.com 9 23. Bài 23. )1( 2)3(log 2)3(log =+ =+ kxy kyx y x Điều kiện:0 <x, y 1, 3x + ky > 0, 3y + kx > 0 (*). = =+ =+ =+ 0)3)(( )1( yxkyx 2 2 2 x ky 3x y kx 3y x ky 3x = =+ = =+ = = =+ )3( 3 )2( 3 xky yx xky yx 2 2 2 x ky 3x x ky 3x x ky 3x a) Với k = 2. = = = = 5 5 05 )2( 2 y x yx xx = = = = = xy x x yy xx 1 2 1 1 02 )3( 2 (loại) b) Biện luận: = += = = = yx kx x yx kxx 3 )(0 0)3( )2( loại = + = yx kx 3 là nghiệm của hệ khi và chỉ khi thoả mãn (*), hay 0 < 3+k 1 3 < k 2. = =++ )5(3 )4(0)3()3( )3( 2 xky kkxkx Xét phơng trình (4) 0)3()3()( 2 =++= kkxkxxf có: = 3(k 3)(k + 1). + Nếu < 0 k > 3 hoăc k < 1: (4) vô nghiệm (3) vô nghiệm. + Nếu = 0 k = 3 hoăc k = 1: + k = 3: (4) có nghiệm x = 0 không thoả mãn (*) (3) vô nghiệm. + k = 1: (4) có nghiệm x = 2, thay vào (5) có y = 2 (2,2) là nghiệm của (3). www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit www.mathvn.com 10 + Nếu > 0 1 < k < 3 (**): (4) có 2: + == ++ == 2 )1)(3(33 2 )1)(3(33 2 1 kkk xx kkk xx Với x = x 1 , thay vào (5) ta có y 1 = x 2 . Với x = x 2 , thay vào (5) ta có y 1 = x 1 . Do đó, (3) có nghiệm thoả mãn 0 < x, y 1 khi và chỉ khi: < ++ > > >+ > 31 0 0)3(31 03 0)3( 0)1( 0 0 21 21 k k kkk k kk f xx xx Kết hợp (**) ta có << 31 01 k k Kết luận: + Với k 3 hoặc k = 2 hệ vô nghiệm. + Với }2{\),0[}31{]1,3( +k hệ có nghiệm x=y=3+k. + Với }31{\)0,1( k hệ có 3 nghiệm: = = = = += += 1 2 2 1 ; 3 3 xy xx xy xx ky kx và [...]... hàm lồi, nên phơng trình: 2 x 2 x = 0 có đúng hai nghiệm D Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp điều kiện cần và đủ Phơng pháp: áp dụng co các bài toán: 1 Tìm điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất 2 Tìm điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm với mọi giá trị của một tham số Các bớc: Bớc 1 Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa Bớc 2 Tìm điều kiện cần cho hệ dừa vào tính đối xứng hoặc... n = 1: Mọi x, y R là nghiệm của hệ + Với m = 1, n 1: Mọi (x, y) thoả mãn x y = 6 là nghiệm của hệ + Với m 1, n = 1: Mọi (x, y) thoả mãn x y = 4 là nghiệm của hệ + Với 0 < m, n 1: Hệ có nghiêm duy nhất (5,1) 40.Bài 40 Cho hệ phơng trình: 2 x +1 = y y 1 = 2 2 y 1 + m +1 x+2 2 x +1 +m (1) a) Giải hệ phơng trình với m = 0 b) Tìm m để hệ có nghiêm c) Tìm m để hệ coa nghiêm duy nhất Giải u =... I Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điệu kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa Bớc 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về hệ đại số đã biết (hệ đối xứng, hệ đẳng cấp, ) Bớc 3: Giải hệ Bớc 4: Kết luận II Bài tập Giải các hệ phơng trình sau: 24.Bài 24 3 2 x + 2 + 2 2 y + 2 = 17 2.3 x +1 + 3.2 y = 8 (1) u = 3 x Đặt: , u , v > 0 ( 2 ) ,thay vào (1) ta có: v = 2 y 9 u 2 + 4 v 2 = 17 , giải ra ta đợc:... mãn (*) Kết luận: + Với a + b = 1 hệ vô nghiệm + Với a + b 1, hệ có nghiệm duy nhất x = y = a + b 36.Bài 36 Giải và biện luận hệ phơng trình: 2 x + m 3 y = 3 m (1) x y m 2 + 3 = 2 m + 1 x u = 2 u + mv = 3 m Đặt: , u , v > 0 (*) Thay vào (1) ta có: ( 2) y mu + v = 2 m + 1 v =3 2 2 2 D = 1 m , D u = 2 m + 2 m , D v = 3 m + 2 m + 1 + Nếu D 0 m 1 và m 1: Hệ (2) có nghiệm duy nhất: 2 2m... v 2 v + m = 0 (3) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm v 2 f (2)0 ' 0 m0 f ( 2 ) > 0 ( VN ) b =1 > 2 2a Vậy với m 0 thì hệ có nghiệm u = v u = v c) ( 2 ) 2 2 v v + m =v f (v) =v 2v + m = 0 ( 4) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) chỉ có 1 nghiệm v 2 f (2)=0 b =1 2 m 0 2a f (2) 5, hệ phơng trình có 3 nghiệm: y = m +1 3 m 1+ m 2 6 m + 5 m 1 m 2 6 m + 5 x = log 2 x = log 2 2 2 và 2 2 m 1 m 6 m + 5 m 1+ m 6 m + 5 y= y= 2 2 39.Bài 39 Giải và biên luận hệ phơng trình: x y x y m 2 m 4 =m 2 m (1) x+... x =y x = y =0 2 x + y =0 Vậy với m = 0 hệ có nghiệm duy nhất 49.Bài 49 Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2 x + x = y + x 2 + m (1) 2 2 x + y =1 Nhận xét: Nếu x0 là nghiệm của hệ thì x0 cũng à nghiệm của hệ Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = x0 x0 = 0 Với x = 0, thay vào hệ ta có: m=0 1 = y + m y = 1 2 m=2 y =1 y = 1 Với m = 0 thay vào (1) ta có: 27 www.mathvn.com www.MATHVN.com... m (1) có nghiêm khi và chỉ khi (3) có nghiệm ( x + y ) 2 2 xy m 4 m 2 m 3 m 4 m 0 16 m> 9 m>0 m >0 m >0 C Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp hàm số Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa Bớc 2: Rút ra từ hệ một phơng trình dạng f(x) = f(y) Bớc 3: Sử dụng phơng pháp hàm số: Nếu f(x) là hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến thì từ phơng trình f(x) = f(y) ta... nên từ phơng trình (1) ta có: f(x) = f(y) x = y Khi đó hệ (1) và (2) trở thành: x= y x= y x= y 2 2 2 x + xy + y = 12 3 x = 12 x = 2 Vậy nghiêm của hệ phơng trình là (2, 2) và 2, 2) 47.Bài 47 2 x = 2 y 2 x = 2 y (1) y 2 = 2 x 2 x + 2 x = 2 y + 2 y (2) x Xét hàm số f ( x ) = 2 + 2 x là hàm số đồng biến trên R, nên từ (2) ta có: f ( x ) = f ( y ) x = y Kết hợp với (1) ta có hệ: x= y x= y... thoả mãn (*)) hệ (3) vô nghiệm + Nếu < 0 ( m 1 )( m 5 ) < 0 1 < m < 5 , phơng trình (4) vô nghiệm hệ (3) vô nghiệm Kết luận: m 1+ m 2 6 m + 5 x = log 2 2 Nếu m 1, hệ có nghiệm duy nhất: 2 m 1 m 6 m + 5 y= 2 Nếu 1 < m < 1 hệ có 2 nghiệm: 2 m +1 m 1 + m 6 m + 5 x = log 2 x = log 2 3 2 và y = m +1 m 1 m 2 6 m + 5 y= 3 2 m +1 x = log 2 3 Nếu 1 < m < 5, hệ có nghiệm duy . trong hệ có nghĩa. Bớc 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về hệ đại số đã biết (hệ đối xứng, hệ đẳng cấp, ). Bớc 3: Giải hệ. Bớc 4: Kết luận. II. Bài tập. Giải các hệ phơng trình. Hệ phơng trình mũ và lôgarit A. Phơng pháp biến đổi tơng đơng. Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. Bớc 2: Dùng các phép biến đổi để nhận đợc một phơng trình. thay vào (2) ta có: = = 4lg3lg3lg.4lg. 04lg.3lg. 22 vu vu . Giải ra bằng phơng pháp định thức ta đợc: = = = = 3/1 4/1 3lg 4lg y x v u www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit