Trang 1 BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM TP.HCM KHOA TOAN - TIN xì LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP Chuyên ngành: HÌNH HỌC _ WAVELETVA _ CO SO WAVELET TRUC CHUAN : ThS.. Trang 9 Wa
Trang 1
BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM TP.HCM
KHOA TOAN - TIN xì) LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP Chuyên ngành: HÌNH HỌC _ WAVELETVA _
CO SO WAVELET TRUC CHUAN
: ThS NGUYEN QUANG HUNG
Trang 2MUC LUC
0 1 1n a Annaa TM
LẦN C AM ỐNG vácccct A035 VGSEAGGVEGGUAIGIGBNIONGIGGS2DAE set 64236 < 6c — K1 ng xöc06500005009001000002910500000002/0200202090029000900180209259%23Y0 NHAN XET CUA GIÁO VIEN HƯỚNG DẢN à Hee NHÁN XÉT CUA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN 2 ecccccee CHƯNG G BIEN.ĐEN EOURIERLGcbocccscE:cc6cc0 cuc 222cc |
Ị Chuỗi Fourier - 222522222 |
Ị BS ABE Fantton (bn Beso siciciccciccaccceier teers oa coerce ee 4 CHUONG [T: BIEN ĐỒI WAVELET LIÊN TỤC re 13 Ị Dịnh:'HgNh VÀ:VÍ đỤG 2102 001000104 06061462403124ẦÁcssexevceseesmeveeeeses 13 IỊ Re IDR CRIES we pccannnnosncaencnna deatsiniés:af ts Fg RISE Las PONS Sai te MARIANNE 17
H CỔ UUUDBUƯĐSGivieccccecvditeiiiCbicodaavicavldurdasass 20
(Vị Ra Ra a aan aici ssscccoce cteceeeeacnenapeceerneceeassaseeseces 22
V Dah gid bien AGI Wavelet ccccccccccssesessssessessueosessuecsessecesersovessvessevevn 25
CHƯƠNG I1: MỘT SÓ HỌ WAVELET SH HS HH 28
Ị NV I i te a 8 at te ote 28
H V1 — -d., , — 2000021007190 00000077707 2000- 07059270 000091700 S07 220000- T0 TDOOR DA 3]
HẸ Wavelet Daubechies Ặ ST nhe 32
CHUONG IIL: CO SO WAVELET TRUC CHUAN -cccccccccosccseccscecsesvecceeeeceeeeeẹ 33 Ị Fhẩn Œch đà DRềN ĐÃ cpkiio cái cktoicii20605-i0cl0sas 33 ; 7 DễằHmtÍ<šcxt601/640011Ă(0IGU0A020ASAGX20S/0.— 35
IH, Cor s& Wavelet trực chuẩn - 2 2S SEE S25 E52 5 ng c 42
Trang 3LOIMO DAU
Wavelet là một lĩnh vực Toán học mới trên thể giớị được nghiên cứu
khoang 20 năm tro lai daỵ Day là một lĩnh vực có nhiều ứng dụng trong cuộc
sông: như nén ảnh; nhận dạng khuôn mặt, dau vân tay:
Mue dich, yêu cầu của luận van nảy la xay dung him Wavelet va co sở Wavelet trực chuẩn trong không gian LÝ,
Luận văn bao gòm 4 chương:
% Chương 0; Giới thiểu sơ lược vẻ "Biên đôi Fourier” dé lim cơ sơ cho
những phản saụ
s% Chuong |: Dua ra co so ly thuyet vẻ “Bién dé wavelet liên tục”
+ Chương II; Giới thiệu một số họ Wavelet như Wavelet Haar, Wavelet
Meyer, Wavelet Daubechies
Chương lII: Thiết lập “Co so Wavelet trực chuẩn”, Đây cũng là yêu cảu cua
bai luận vẫn naỵ
Luận văn chắc chăn không tránh khỏi những sai sot va nhằm lẫn, tôi rất mong
Trang 4LOLCAM ON
Lẻ hoàn thành tỏi luận văn và đúng tiên đỏ, tôi đã nhận được rất nhiều sự
giúp đỡ cua qui thấy có, bạn bè cúng lớp Trước hết tôi xin chân thành cảm ơn
thảv hướng dẫn: thấy NGUYÊN QUANG HƯNG đã tận tỉnh chỉ dẫn đẻ tơi có
thẻ hồn thành tốt luân văn này, Thông qua đây tôi cũng gửi lời cám ơn chan thành nhất đến tắt ca các thấy cô bộ môn đã truyền đạt những kiện thức cơ bản dé lam nén tang cho tôi thực hiện luận văn nảy, Đây chính là bước đầu tiên cho tỏi tập lam quen với việc nghiên cứu toan học sau naỵ
Cam ơn tất ca các bạn lớp Toán khóa 31 đã có những đóng góp chia sẻ,
dong vien va giup dé tan tinh dé tor co thẻ hồn thành khố học cũng như thực
Trang 5GHI CHU Các định lí được đánh số theo chương: ví dụ L.7 là định lí ? chương l1 HỊ2 là định lí 3 chương TIL Các công thức được đẻ trong đâu ngoặc đơn ( ): ví dụ 1.{2) là công thức {2) phản I, IỊ(Š) là công thức (5) phản H, Ki hiệu 8 là bät đâu và kết thúc chứng mình Một số kí hiệu: lạ biều thị hảm đặc trưng của tập A và 1y là ảnh xạ đông nhật của không gian vector X,
R* := R\{O} la nhom nhân các số thực
Trang 6NHAN XET CUA GIAO VIEN HUONG DAN te eee ee V ~ - ^ "“=— - _Ắ esta .- Z2 2ˆ ˆˆ _ À Ố Ặ ÁẶ Ặ ' 6449 tẹ ssss tk th s* hy 9h99 Ss9s 9S Alhnh9t* 99 *S 299099099909 09690999 .* PPT TEE EEE EEE EEE RRR RRR Ee OEE EERE EE HEE EEE EOE EEE HER OEE ETE EE ETE REE TEETER ERROR R RRR eee 604V POSES SEE EERE HOE HOES SHEE OHHH EEE E SOTTO HO HOHE TEETH TERETE RTE EERE RRR EERE EEE e em eee eee Re wee EEE EEE EEE HEHE OEE eee eee .ẹ*ˆ * ẹ “s4 *®e4ss.aẹ4 -
eT Cee eee ree eee
CERRO HOR OH EEE EEE THREE HOT RTT OTP eee settee sheets Peewee wens * *“&e
r.g.srnstsdsts1.14919999 999999090999 9999904409999404449099604« 0490460 4vV 904490 ẹ.e9 4699 9 4494449440994 w#e#**+ £ etree eee ee eeeee
PEER EE ERE EEE HEE EHS HEHE EET EERO EEE EET HEE TTT PEEP Pee eee s eô.eđ t.t kh thst.t.ss.s.*tevevdte+d*ve4d46 9990919949494 99649949 9699990094494 949444644t464t4 64444444 e«., SPEER CC RHO e rere ere ree
SEER OEE ER RRO HERERO EO Hee * ẹ«
Trang 7NHAN XET CUA GIAO VIEN PHAN BIEN
SAE ER ERE ESOP OH TEETH EEE EEE EEE EERE TEE EEE EERO OOO ORES ERE mR REO mm eres Ee Ee sees eewe * *.**.**.°s‡ứ POORER ROOT EH EE TEETH EHH OEP EOE eee eee “sẹ
PEPPER EER eR eRe Ree CeO ROOTS ERE OHS EEE HEHE TEE HEHE THERETO THEE HEE ERROR EERE HERRERO EER EEE EEE Come re eeeereeEeHeeeereeHe EH HHEE
eee etm emer eee 't #40940 w#494seÉ6 Se eee ORE EEE EEE EEE EEE TERT OEE TERT TEE ORE E ER ER EER ARERR Reet ee ee FETT ETTORE EEE TEER EE REE EEE RRR ORE RR Me tee eee meee weer eee eee eEee
PERE Re RE ER ERT HEHE HOHE EEE EEE RRR 094906494 4v
Seeeetwee erste eee .h.* vr “#t #940 ®409464 Shee etm ewan
COCO RRR mee eee eee ene “eer ee eee eee eee ernment ne Oe eee mee REET TEETH OTE EEE OEE DOERR eee Trt heer eee “*
SEER EERE HEHEHE HHT EEE 64646460964 vtdexeeeesseseese steer ete eee eee eee * 4.44644944909094 4964 9644444449449 4ve 99446944099 94t s*e t9 *s*s*ẻ th EET ee r rg.st.ss.s1994199994 999910949 999999 9964494464640 4444 4044094964060 4v vtVV 90v 909 1vV0(V90 9699999990911 SORE RTO Tee ee eee w « TEPER eee RR eee REE RHE HEE HE ee SPEER ER CR eR OHO HEHEHE HHET OH EH EEO HEHE HOHE REE STOTT ERE EEE EER RRR eee RRR eRe ROR eee eee
Trang 8Wavelet va Co so Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS, Nguyén Quang Hung
a mee ee eee
CHUONG 0: BIEN DOI FOURIER | Chudi Fourier:
Cho không gian hàm Lậ := 1?(R/2n)
Những điểm của không gian này là những hàm đo được ƒ : R —> C cé chu ki èm tức là: ƒ(t + 2m) = ƒ(t) vteR Và cho tích phân sau là hữu hạn: : ial 2x | cera 2d 0 Tích vô hướng trên L2 được định nghĩa ¿m 1 Sa (f.9) = 5 Í f(t)gat Chuẩn: an 1/2 Wl = Vf) = (3) voz) 0 Hàm khoảng cách đ(ƒ, g) := |\ƒ — gl\
Với hàm khoảng cách nảy thì không gian Lậ trở thành một không gian metric
đẩy đủ, nghĩa là day Cauchy cua ham f,, € !ậ hội tụ đến điểm ƒ € Lậ
Trang 9Wavelet va Co sé Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung 2n C, i= ƒ@) := (ƒ,@y)= =| ƒ(t)ẽ'*tdt (k € Z) (1) 0 c„ là tọa độ của f đỗi với cơ sở trực chuẩn (e„|k € Z.) Định lí 1.1: (Bồ để Riemann - Lebesgue) lim c„ = 0 k=++
Định lí Ị2: (Công thức Parseval) Cho tùy ý ƒ, g € Lậ Khi đó: +* >, FUOTW = (f.9) k=-« Nói riêng ta co: +# > Weel? = IAI k=—r
* Chuỗi Ї7 ,cyey (2) được gọi là chuỗi Fourier của ƒ Đôi khi ta viết f(t) ~~ Ey c,e"** (3) dé biểu thị chuỗi (2) phụ thuộc vào hàm ƒ cho trước Chuỗi (2) có tổng riêng
s„ là phép chiếu trực giao của ƒ lên không gian (2N+1) chiều
Ủy := span(e_, ,1, , ey) C Lễ
Vectơ s„ trực giao với ƒ — Sỵ Do (1.2) vả định lí Pytago: N If — sll? = If? — llsyllP = If? = > beg k=-N Ta kết luan limy_.,.l|f — swf]? = 0 Dinh Ii 1.3:
Chuỗi Fourier của một hàm ƒ € 1$ hội tụ đến ƒ của không gian metric L? Dinh li 1.4: (Dinh li Carleson)
Tong riéng sy(t) cua hàm f € L2, hoi tu dén f(t) với mọi t
Trang 10
Wavelet va Co so Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung — = —————n—-—-— -—-——-=-=——~——-~ —-—- — —-—=—=———————— * Xét một phân hoạch bất kì của đoạn [0,2m] T Ũ=to<ty<tạ<›' <t„p=2n Có tông tăng dân: V;():= Mi ~ f (te-a)I kel
Su bién đôi tong V(f) cia ham f chu ki 27 là cận trên của những tong nay trén
tat ca các sự phân hoạch T Nếu V(ƒ) là hữu han thi f duge goi là hàm có biến phân bị chặn Ta xét hàm £ + ƒ(£) như một biểu điển tham số của một đường cong đóng y trong mặt phẳng phức V(ƒ) là độ đài 1(y) của đường cong nảỵ
Nếu f kha vi lién tục thi:
2n
VỢ) = Lữ) = | \/'(t)|dt < œ 0
Dinh li 1.5:
Cho ham f : R/2m — € liên tục va bj chan Khi do tong riéng sy(t) cua chudi Fourier của ƒ hội tụ đều đến ƒ(t) trên R/2m (N + =)
Dinh li 1.6:
Trang 11Wavelet va Co sé Wavelet truc chuẩn GVHD: ThS Nguyễn Quang Hưng
c„(ik)P = 0| Em) (Ik| +)
chỉ ra răng chuỗi kết quả là hội tụ đều (đối với một hàm liên tục) khi p < r Nói chung ta có: ƒ € C”
Định lí 1.8:
Cho ƒ : R — C là một hảm chu kỉ 1 > 0 và giả thiết ƒ |ƒ(x)|2dx < œ Khi đó
chuỗi Fourier của ƒ được cho bởi: œ ƒ(x) > Ce kes 2krix/L ; C, ‘= L |7(œ)«- ta (4) 0 ole Và cơng thức Parseval: L 1 > lel? =; [ifcorax 0 k=-« a
pat ham g(t) := f (—t) c6 chu ki 2m, vi thé bing vige đổi biến đơn giản ta
nhan dure (4) Tir (1.2) dan dén dang thire sau cho nhitng ham cé chu ki L:
7)
3 lal? =c J WG Pads
k=-«
Hàm đặc biệt ƒ(£) := 1 có hệ số Fourier cy = Spx, dan dén C = =
Il — Biên đôi Fourier trên R; Cho ƒ/: R —>C€ (I)
- Khơng gian LÌ gồm những hàm đo được (1) thỏa: ƒ|ƒ(£)|ldt =: ||fl|, hữu
hạn
- _ Không gian LỶ gồm những hàm (1) thỏa: ƒ|ƒ(t)|?dt =: ||ƒl|? hữu hạn - _ Không gian thứ 3 được gọi là không gian Schwartz S gồm những hàm (I)
với các tính chất sau:
+ £ có đạo hàm đến mọi bậc (ƒ €”())
Trang 12
Wavelet và Cơ sở Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung a + Cho |t| — © thi tat cá những đạo hàm tiên vé 0 nhanh hơn bắt kỳ hàm lũy thừa âm —- |tỊ” “ Bien doi Fourier f cia ham f € LÌ được định nghĩa bởi tích phân: - t=—— 1 the“adt ER) (2 FO==| r© (ER) (2)
MOT SO DINH Li VA QUY TAC:
Định lí Ị9: Biến đổi Fourier f cua ham f € L} là liên tục Hơn nữa, ta có lim Ff (§) = 0 * Cho ham bat ki f vah € RB tủy ý, hàm T„ƒ được định nghĩa bởi: Taf (t) = f(t — h) f g:=TƯ | | + Hinh |
Nếu h đương thì T„ dịch đồ thị của ƒ một khoảng A vé bén phai (xem hinh 1)
Cho £ € L* và g(£) := T„ƒ(t) Khi đó biến đối Fourier của g được tính như sau:
` — hy\e-iftae = —— ( reere-ik(t"*M ae! = omit
ae) = | re h)ẽtật =| rere t“th)át' = ẽl#®ƒ (£)
Từ đó ta có quy tắc sau:
Quy tắc 1: (Tƒ)(£) = ẽ**ƒ (£)
* Xét hảm bắt kì ƒ € L* vả điều chỉnh f voi dao d6ng thuan e,,,w € R Ta xét hàm g(£) := e““t£(t) Khi đó biến đổi Fourier của g 1a:
wists tat “kt -_ ~i(f-w)t dt = ƒ (£ —
Trang 13Wavelet va Co so Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung
a a re Oe ee
p,ƒ():= ƒ (
Tác động của Ø„ lên đồ thị của hàm ƒ như hình 2 cho trường hợp a := 3 Nếu la] > 1 thì đồ thị của ƒ được trải ra trên trục hoảnh bởi hệ số |a|, và |a| < 1 thi
đồ thị bị nén trên trục hoành bởi hệ số |a| Nếu có thêm điều kiện a < 0 thi đỗ
thị của £ được lấy đối xứng qua trục tung f 2 Of e=%) t/a Hinh 2 Quy tắc 3: (D„ƒ)(£) = la|D:ƒ (€) (@€ R*) a Dat g(t) := Daf (t) t=at'(t'ER), dt =|aldt’ Ta nhận được:
=—L_ [ ¢ (2) e-ittae = IAL [ rgrys-#anaé =
0() =—C | f() tát = | pene erat’ = half (ak)
Trang 14Wavelet va Co so Wavelet true chuan GVHD: ThS Nguyén Quang Hung eee SSS gt (ƒ + g)() = — | (| ƒ(x ~ t) g(t)dt) e"'Ê*dx =||_./Œ~9g6)é%4(.Ð 1 | = =| 90 (| ƒ(x~ t)e"*dx) dt Do quy tắc 1: [ re —t)e"**dx = V2m e"'*tƒ (£) Nên; SG 1 ù = * = —— itt = q (ƒ + g)(£) = V2n Ff (£) Tz | g(tje"*de = V2n f (€)G(€) Suy ra diéu phai chimg minh
Trang 15Wavelet va Co sé Wavelet tryc chuan GVHD: ThS Nguyén Quang Hung Dinh li 1.12: Neu f, f € L? thi: 1 ot oe iét fo) = =| F we để hầu khắp nơi, đặc biệt tại mọi £ khi ƒ liên tục Ta có thê viết ngắn gọn : 1 faz | dtf (Sex
* Cho ƒ €C!; ƒ,ƒ' 6 L1 Khi đỏ: lim,.,+„ f(t) = 0 Và tích phân từng phân của tích phân Fourier (2) :
Trang 16Wavelet va Co sé Wavelet truce chuan GVHD: Th§ Nguyễn Quang Hưng cô ==—————-———- ——————-—————————-——n————~—— —*————~————————————— Từ đó ta có quy tắc sau ; Quy tác 5 : (7)(€) = ((f ) (©) Do định lí Ị9 nên hàm (ƒ) liên tục Dinh li 1.13:
Trang 17Wavelet va Co so Wavelet truc chuan GVHD: ThS Nguyén Quang Hung
TT
— 2
(1¡_aa¡)() = Ệ asinc(aé) (8)
Ta tính biến đổi Fourier của wavelet Haar Duge xét nhu mét thanh phan của LÌ,
wavelet Haar được viết như sau : r,=1 -1 =T\ 1 — Tạ 1 Pacer = Nos a) a eal ái Dùng quy tắc 1 và từ (§) ta có : - ~ |“(g-i/4 _ @-3(/4N.,^ 2 1 Ệ > W naar(§) ze e ) z sine (>) i „-/2825 e5 sin(/4) ¡ „-£/z Sin? (§/4) v2m ki &/4 V2m (/4 Ham g(t) := 1j-aa)(t) « ee Dùng quy tắc 2 ta có : 2() = E sin(ăé — wo)) § — Wo Ham @ cé diém cy dai tai tan s6 € := wy (xem hinh 4) ©» Hinh 4 2) Biến đổi Fourier của hàm l
Go(t) == M,o(t) =ẻ V2n
Được tính để dàng qua các phương pháp của lý thuyết hàm phức Vì gạ là hàm thực vả chẵn nên biến đổi Fourier đạ của nó cũng là một hàm thực và chẵn Xét £ > 0 và hàm ƒ(2) := ẽ”⁄? là hảm chỉnh hình trong mặt phẳng phức z.Ta vẽ hình chữ nhật # như hỉnh 5 Giá sử a > £ > 0 (£ có định)
Trang 20
Wavelet va Cơ sở Wavelet trực chuân GVHD: Ths, Nguyễn Quang Hưng
CHUONG I: BIEN DOI WAVELET LIEN TUC L Định nghĩa và ví dụ : Một hàm tý: R —> C thỏa mãn 2 điều kiện : € 1, llý|| = 1 (1) > 2 an | vo da=:Cy<@ m° (2) được gọi là hàm wavelet mẹ Định lí H.1 : Cho hảm t € LẺ thỏa tự € ` nghĩa là ƒ|t| lự(t)|dt < œ, điều kiện (2) tương đương với | J(t)dt=0©ÿ(0)=0 (3)
Theo định lí này, hàm wavelet có giá trị trung bình là 0
Tử đó suy ra rằng đỏ thị của có dạng sóng, một phần năm trên và một phân năm đưới trục £
"
Hàm t được mô tả là trong (3
* Chiều suy ra:
Ta có ;
c 1
ÿ(0)=~= | w(e)dt
Theo định lí Ị9, biến đổi Fourier ý là liên tục
Khi đó tích phân (2) chỉ có thể hội tụ nếu ý (0) = 0
* Chiều ngược lại:
Trang 21Wavelet va Co so Wavelet truc chuan GVHD: Ths Nguyễn Quang Hung
dé < | M°|‡ld£ + | l0 G4 < M2 + liụl? < œ
0<|£|s1 l£lz1
* Chọn một hàm wavelet bất kì, cô định Khi đó hàm:
1 —b
W f(a, b) = Tir | /@w(——) dt (a# 0) (4) được gọi là biến đổi wavelet của hàm ƒ € L? img với w
Miễn xác định của Wƒ là:
R/:=({((a,b)|acIR',beR)
Chú ý: Trong lý thuyết wavelet, trục a ứng với trục tung, trục b ứng với trục
hoảnh
* Chon mét ham wavelet w
Cho a # 0 bat ki, dat:
vale) = 0 (=) =o
| lJăt)lZdt = mT | lv (-) “t= “i | l(t')I@laldt’ = 1
Nêu sau quá trình làm dăn này, hảm t⁄„ bị địch dọc trục thời gian bởi lượng b
(sang phải nếu b > 0) ta nhận được hàm (xem hình 7): 1 t—b Uaă© :=Qẵ—b)=rzW( TQ) © a ạb: a<-l Hinh 7
Hiển nhiên: |lU„;||=1 v(a,b) e R
Ta có thẻ viết định nghĩa (4) của biến đôi wavelet về đạng tích vô hướng:
Trang 22
Wavelet va Cơ sở Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung ẹg RY Wƒ(a,b) = (ƒ.a,) (6) Từ đó dẫn đền: - - Tại mỗi(a, b) € IR' x IR, biến đổi wavelet Wƒ có một giá trị xác định Wf(a, b) Do BĐT Schwarz, Wf bi chin trén R?: IWf(ab)lsifil v(ab)eR? (7)
Ta sẽ tính biển đổi Fourier cua ham Wa»
Theo quy tắc 3 ta có: „(£) = la|1/2j (a‡)
Sử đụng quy tắc 1 và áp dụng công thức 5, ta có:
Ù a»($) = |a|!⁄2e*'*'ÿ (a‡) (8)
Đo định li L.!I (công thức Parseval) và công thức 6 nên:
Wf (a,b) = (Fay) = lal”? | Fe Pade (9)
Tích phân cuối cùng có thể được xem như một tích phân Fourier; chính xác nó đưa ra biến đối Fourier của hàm trên L},
F„(() := V2m |a|*2ƒ (@)ÿ (a£) (10)
được viết như một hàm của biến b
Nói chung ta đã chứng mình được định lí sau:
Cho a # 0 cố định, hàm Wƒ(a, b) : b + Wƒ(a, b) có thể được xem như biến
Trang 23Wavelet va Cơ sở Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung
as SS eee
Va 2 b+a/2 2 bea
= FG ƒ(t)dt — cI, feat
+a/2
Ta cũng có thẻ xem lượng Wƒ(a, b) theo cách khác:
Wƒ(a,b) = = J mere (rw —f (e+ 3) dt b+a/2 t+a/2 = _= (Í (ađr) a =: b f 1 f°? va a alee Irl)/'Íb + 2+ r) dr 2) Xét ham 2 2 t):=—rˆ1⁄4(1 — t?)ẽt°⁄2 11 y( a ( (11)
Thỏa ||l|| = 1 Đồ thị của nó có hình dạng một cái mũ của người Mexico nên
hàm nảy được gọi là hàm mũ (nón) Mexico (xem hình 8) + +1 ì Hinh 8
Trang 24Wavelet va Cơ sở Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung
a ee en —-———¬—————
Il Cơng thire Plancherel:
Trang 25Wavelet va Co so Wavelet truc chuan GVHD: ThS Nguyễn Quang Hưng có cm —————~—-.—~- — ———— —~—~ ~—-~ —-~—=~T—=——~—¬——-———~———~~—— —- -——- ry £=0Q-=0 >z{#z\0: Đặt a’ da’ *F (á ER"), da= Tl Khi đó a : ae == = | ee 5Ì T7 = lai Lá mY (Wf,Wa)y = 2m { ƒ tÐ 8 z 2 để = Cụ(ƒ.g)
> Trong một số trường hợp ta xét hệ số tỉ lệ œ > 0 nghĩa là biến đổi wavelet
W/ƒ bị giới hạn bởi nửa mặt phẳng phía trên:
RS := {(a,b)| a € Ryo, b € R}
Đặt H" := I2(R3, du) = 12 (Ryo x x RS) là không gian Hilbert Khi đó
wavelet ' thỏa điều kiện đối xứng: acta ere Ww Cay (a)| a= 2n [ VOL da=:Cy (4) a la| Nếu t đối xứng (hàm chăn) hoặc có giá trị thực thì điều kiện trên hiển nhiên vì: > đối xứng thì cũng đối xứng > tÚ có giá trị thực thì (—£) = Ú (£) Định lí H.4:
Cho là một wavelet thỏa điều kiện đối xứng (4) và đặt W kí hiệu biến đổi
wavelet tương ứng Khi đó Vƒ, g € LẺ ta có:
(Wƒ,Wqgì„, = Cụ(ƒ 8)
o
Tuong tu chudi (3):
Trang 27Wavelet va Cơ sở Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyễn Quang Hưng — _— ————-—————-—-—— -——— -——-—-——————-————-—————Ễ—_—— 2n TH a =:Cy, (5) Néu Wy, W, biéu thj biến đổi wavelet ứng với 2 và ỵ khi đó Vƒ, g € L? : (Wuf Wyg)u = Cy (fg) BZ Lặp lại chứng mình định lí H.3 với: F,(&) := V2m|a|/?ƒ (£}W (a£) G„(£) := V2m|a|1⁄2@(£)£ (a£) Ill Công thức ngược: Định lí 11.6: 1
Đặt go(t) = exp (~ <—) là hàm phân phổi chuẩn với biến ø và giả thiết
Trang 28Wavelet va Co so Wavelet true chuan GVHD: ThS Nguyén Quang Hung
Tích phân đâu tiên của về phái có giá trị bé hon | va g,(h) cũng như tích phân
cuỗi tiên tới 0 với ø —= 0† (xem hình 9) Do đó ta có thé tim dy dé Va < ap ta co: ICf * go)(x) — ƒ(x)| < 2£ Vị £ > Ö tùy ý nên định lí được chứng minh q- 541 2x o> Hinh 9 >» Cho bat ki f € L?: (ƒ * ga)(x) = (ƒ,Tyg„) (1) Về trái của (1) bằng ƒ ƒ(t)g„(x — t)dt
Về phải của (1) cũng tương tự vi g„ là một hàm đối xứng thực
Trang 29Wavelet va Co so Wavelet trực chuẩn GVHD: Ths Nguyén Quang Hung
Cho a — 0 và dùng định lí IỊ6 đẳn đến công thức sau cho hàm f: Định lí H.7; Cho f liên tục tại x Khi đó: dadb jal?
ƒ():=e " W f(a, b)Wa p(x) (4)
Trang 30Wavelet va Co so Wavelet tric chuan GVHD: ThS Nguyén Quang Hung ess n xER":ix= > Gerdes kel Nói cách khác: Anh xạ: xe À (x,e,)e, k=1 la dong nhit > Dật H := Lˆ(R?, du) Từ định lí H.3 dẫn đến: IWfIls Jfvllƒfll (ƒ e 12) chỉ ra rằng biến đổi wavelet W : 12 —¬› H là ánh xạ liên tục Đặt U := (Wƒ € HỊ ƒ € L?} là không gian ảnh Ảnh xạ ngược W~ : (J — 12 ure Waly = | du u(a,b)Par(-) rR? > Xétư € U,ư cễ định, tồn tại ƒ € LÊ : u = Wƒ Từ định lí H.3 ta viết: 1
u(a,b) = (ƒ,Ua») = —(WƑ,WW¿s)u = —(u,WWs)y ((a,b) € R2) (2) C GC,
Nếu ta muốn biểu diễn về phải của (2) dưới dạng một tích phân, ta phải biểu diễn ham Wy, , nhu mét ham véi biển mới là a", b* Từ [.(6) suy ra sự biểu diễn cho WU,„(á, b'): WU„,(á, b’) = (Wap, Wap’) Cuối cùng từ (2) ta nhận được: dádb’ Ja’? Ham K (a,b, a’, b') = (bq, Wa») được xác định tại mọi điểm
Trang 31Wavelet va Co sé Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung a eee Nói chung ta đã chứng mình định lí sau: Định lí IỊ9: Voi Cy, ỤK noi trén, cho bat ki u € U va (a,b) € R?, taco: t f u(a, b) 77 | K(a, b,á,b')u(á,bp') (3) 8: |á|?
Ví dụ; Ta tính hàm nhân thuộc vẻ ham wavelet sau (xem hình 10):
J(t) := V2 m~1⁄/*tẽt?/2 = —V2 ree ent Hinh 10 Hé sé duge chon sao cho ||y|| = 1 Do quy tắc (4) va vi dy 2 phan II chuong I nén ta co: ÿ (£) = V2 nV 4ige 8”? Néu ta xét a > 0 thi céng thire (3) thanh: 1 dádb' u(a,b) = = I K(a,b,á,b’)u(a’, ð)¬— Cy Jaz lai Trong đó Cụ, được cho bởi lỊ(4) và được tính như sau: pe OE ge eS cece see Pes Cy = an | : đệ = dýn | ge đệ = 2ý |_« du = 2Ý
Theo Ị(8) ta được:
P an(€) = a2e- if (ak) = —V2 r1 q3/3jẽtbfgg~4?£?/2
Và tương tự cho 1ÿ á'.- Ta có thê viết:
K(a,b,á,b') = (hays Pay) = ả | el(b~b")£ g2¿~(a*+á2)£3/2 q
Trang 32
Wavelet va Cơ sở Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyễn Quang Hưng
= 2V a*/24'3/2ÿ (b' — b) — (4)
[rong đó hàm G(-) duge cho bởi:
G(£) := £?ẽ(a°+á")*/2
bat Vả + a’? =: Ạ Viham £ >2 e2 có thể lấy lại được bởi biến đổi
Fourier, theo quy tắc 3 biển đôi Fourier của g(£) := e*(4Đ?⁄? có thể được viết
1
G(x) = qe alarn Theo 1.13 ta duge:
Ê (&) = ~(8)”(x) = (Ả — x3)ẽ/21/2
Thay vào (4) ta nhận được:
a3⁄2qg!3⁄2 A*
Trong đó x := b' — b và A:= Vả + á*2, V — Đánh giá biến đổi Wavelet: Định lí IỊ10:
Trang 33Wavelet va Co sé Wavelet true chuan GVHD: ThS Nguyén Quang Hung ee em "+ C IWf(a,b)| < {le — bị” Đặt t := b + ay (—œ < y < œ®) ta được:
IWƒ(a,b)| < c|a|**3 | IyI“l(y)ldy
Từ # < 1 ta suy ra |y|“ < 1 + |y|, do đó bởi giá thiết về tJ, tích phân cuối cùng
có giá trị hữu hạn, và (2) được chứng mình Định lí H.11:
Giả sử chọn hàm wavelet t với tự € 1Ì, Nếu hàm ƒ € LẺ là liên tuc Lipschitz, thi tôn tại € không phụ thuộc b sao cho
3
|Wƒf(a,b)| < Clalš Định lí H.12:
Chon ham wavelet tJ có giá compact Nếu hàm ƒ € LẺ liên tục mả biến đổi
wavelet của nó thỏa mãn:
|W/ƒ(a,b)|<C|al“*3 ((ab)eR2) œe[04]
thi ƒ là liên tục Hoelder với số mũ z Dinh ti 11.13:
Gia sir chon ham wavelet w có bậc N: Néu ham f € L* thuéc lop C’,r < N va
Trang 34Wavelet va Co so Wavelet truc chuan GVHD: ThS Nguyén Quang Hung
i
Vi r nằm giữa b và t := b + at”, bởi giả thiết vẻ ƒ ta chắc rằng:
|ƒ)() — ƒ'(b)| < €uya|t'| với Giạ phù hợp
Trang 35Wavelet va Co sở Wavelet trực chuẩn GVHD: Ths Nguyễn Quang Hưng
CHUONG Il: MOT SO HO WAVELET
L Wavelet Haar:
Năm 1910, nha toán hoc Alfred Haar là người đầu tiên mô tả một hệ trực chuẩn
đây đủ cho không không gian Hilbert LẺ := 1?(R) và ông đã chứng minh rằng
không gian này đăng cầu với không gian:
(? = le ke N)| > leel? <œ
k=0
của những chuỗi khả tổng bình phương
Wavelet Haar la ham bac thang don giản sau: 1 <_x<=+ 1 (o<x 5) WX) =) _ 4 (5<x<1) 0 (nơi khác) Hàm tự =: y„„„ này có giá compact; hơn nữa hiển nhiên ta có: ƒ _9G)dx =0, | _lWG)llđx =1
Wavelet Haar được xác định vị trí tốt trong miền thời gian nhưng không liên tục Biến đổi Fourier ÿ của t„„„r được tính như sau: = 1 1/2 <~x 1 tice b@=F-([ ee doe ax) | am ` ~(axI1⁄2 - HÀ 2n ==_ TS SG a = ‹‹‹ i sin?(a/4) a/4 : Xét ham phat sinh tl Pyaar! -i#/2 (1) 3] —k-2
Veal) = 2° Yyaar(—s-—) (rkEZ) — (2)
Ham w,, c6 gid trén J, „ := [k - 2F, (k + 1) - 27] (độ dài 2")
Nếu r có giá trị lớn hơn (tức là đoạn !„ „ dai hon) thi ham wavelet tương ửng
y¿ có bước sóng đải hơn Biên độ của 1y „ được chọn sao cho:
Trang 36Wavelet va Co so Wavelet truce chudn GVHD: Ths Nguyễn Quang Hưng
Hs ——==e==—==—=——.=—=a———— —————————————————
lụ Í = | lứ„„(t)| đt = 1 Vr,k (3)
Ham w,, (r € Z,k € Z) tao thành một cơ sở trực chuẩn của không gian /*(R) @
> Nếu k #/ thi ham w,, va w,, c6 giá phân biệt, và hệ qua: (Yre Wri d=O (kK #0)
> Mật khác nêu s < r thi t„„ là hang sé (bang -1, 0 hoặc 1) trên giả của ý, ¿
Đo đó ta cỏ:
(;„.;¡)=0 (s #r,Vk,Ù)
Kết hợp với (3) thi „ „ thật sự là một hệ trực chuẩn
> Ta phải chỉ ra rằng bat ki f € L2 có thể được xắp xỉ tùy ý tốt bởi những tổ hợp tuyến tính hữu hạn của tý, „ Những tổ hợp tuyến tính như vậy ta gọi là
những đa thức wavelet
Ta xét hàm f : R — C cé dang sau: 3m > 0,n > O sao cho:
(a) ƒ(x) = 0 (lx| > 2”) và
(b) f là một hàm bậc thang, hằng trên đoạn Í_„„ (chiều dài 2~")
Ta sẽ xây đựng một chuỗi (W„| r > —n) của những đa thức wavelet
Y= y (Xs.»)
j=-n*+1 k
Như sau: bắt đầu với chỉ tiết tốt nhất trong tín hiệu ƒ, ta sẽ trích ra phần dư ƒ- := ƒ — \W, chỉ tiết tốt nhất vẫn còn có mặt ở đó Nói riêng điều này có nghĩa
Trang 37Wavelet va Co so Wavelet trực chuẩn GVHD: Th§ Nguyễn Quang Hưng
Da thức wavelet ‘Y, va phan du f, duge xac dinh f =, + f, (4) vasao
cho f, là hãng trên mỗi khoảng /, , Gia tri cia f, trén J, , kí hiệu: ƒ„ „ là giá trị
trung binh của hàm ƒ trên khoảng Ï„ ,
Ta định nghĩa lượng sau: 1 1 Oy x = 2 2» = fr2n+i)s firs es 2 (fr.2% + fr2n+1) Va dat: Crt = 27 28„„ (5) Ys = Y, + > Ce gi! k f(x) = fer (x € lạ: v)
Thi (4) đúng với r“ thay cho r, hàm ƒ„+ là hãng trên khoáng !„+ „, và „+ „ là giá
trị trung bình của ƒ trên Í„+ „
Bắt đầu với r := —n, sau n + m bước ta có:
ƒ = Vm + Íín = ` (> cbs] + fn k
j=-n+1
Phân dư /„„ là hãng trên /„ „ chiều dai 2” Hai gid trj
Trang 38Wavelet va Co so Wavelet truc chuan GVHD; ThS, Nguyén Quang Hung ae ——— - ————————— ————————————— Tương đương |/ ,|| = 2"⁄2vIA|? + ||? - 2~"⁄2 Cho p — œ ta được: IIf ae Ym+pll = Il fm+pl <C-‹2-P/? — 0 Biến đổi Wavelet Haar là biển đôi đơn giản nhất trong các phép biến đổi Wavelet, Hàm 1(£) của biến đổi Haar H Wav
Trang 39Wavelet va Cơ sở Wavelet true chuan GVHD: ThS Nguyén Quang Hun
Ill Wavelet Daubechies:
Trang 40Wavelet va Co sé Wavelet trực chuẩn GVHD: ThS Nguyén Quang Hung
a
CHUONG III: CO SO WAVELET TRUC CHUAN Ị — Phân tích đa phân giải:
Một phân tích đa phân giải (MRA) được thiết lập bởi những thành phân sau:
(a) Một chuỗi (| j € Z) của không gian con đóng của LẺ được sắp xếp bởi bao hàm sau: ÖÒ Ca CVWyCVạCVIC CUCVỨ ạC CIL* (1) vả ta có: n, W„ = {0} (tiên đẻ tách) (2) U,V, = L? (tiên đẻ đây đủ) (3) (b) V,„¡ = D;(V,) vj€Z (4) Dẫn đến hàm ƒ£ có thể được biểu diễn như sau: ƒ€W©ƒ(!-)eW, ()
(c) đó € 12 n 1} : (@(- —k)| k € Z) hình thành một cơ sở trực chuẩn của lạ
Hàm ở được gọi là ham tỉ lệ của MRẠ
Theo (c), không gian Vạ có thể được mô tả như một tập những hàm ƒ như sau:
Vo = i € 1| ƒŒ) = Ð cuộ(t — k), > leel? < -| (6) Ta định nghĩa hàm:
®;x(t) := 2*!⁄2¿ mi =2"!⁄2¿ (= ~ k) (j €Z,k EZ)
Từ (b): họ (@,„|k € Z) là mot co sé true chuan cia Vj