BO GIAO DUC VA DAO TAO
Trang 2Lai uti dau
G (áz dung ch dién cia “hinh hoe wt phn "ti ughten vii ding trở weal trong hheny ướt '— saa (2 Te a dé da whanh cheng te ver “đa mự bi chip ing che nhe vdu eda tein hee, dic tél de anh hing ewe
val Cy Ni thé di dan dén mec me KONG VE hinh thank mel ngauh hee mit đà "Ged lich tren các cấu đu tr flan ea diy ening hi med (rong
whiting phen hung nt bal eda lean hoe hien dat a „ư/ de “phan he £ hay đệ „ MMâu fren da lap} oa dink (yj Pircbonius” be wee dung quan lreng cua „và # nay 2] ;4« phd ưu si ching minh deh Aj Vrebontus
hii nod dung chinh ma ban Cain van dé cifr ⁄ (
Ne wee dung, Luan wan gom > Lor nde thâu, ⁄ G hung or “LG hed
£ ‹€ '
lan
Chuviny | mang tin KYEN THUC CHUAN BI, when itt Mata vd
da lape om phan vd mot vad keen (lúc đêm guan den phan chinh via Luan
van & cic chung Sete Trong chung nay mor link chét, dink Aj deu duvic
cong „tt khing ching monk,
€ hung Vl gee 4 PHAN BO VA DINH LY FROBENIUS
‘ha y hi frhan chink cia Luan van, nét dung chi yeu ti ching mink duce dieu kien cin va did dé phan bé kha lich ti que met hem cla
da “ướt + frha n déu lin tat da “⁄ lich phan ua frbd „ để
€ during WM of én CÁC DẠNG PHÁT BIỂU KHÁC CỦA ĐỊNH
Trang 3U, Mu dich cia ¢ hing nay đủ neu cic dang phil bien khic ca dink
hy SVrcbentts ve “ing minh wt tue wy du wg yida cu phat hiéu dé va
hư here cote che nh đ/ ÂẮẲŸÝ 7n
f hung IV gem CAC VI DU
thu you hit chu va cdc ul du trẻ “ha Ie (ÂU lich dvd 2 chvéu
f, hin ché ve tht qgean ve kien “đức, ue hae hey hia tin dan tien “tt (ru wer nyhien cdu khoa hee nen lyre tt qud lrink (đứt (24 sé hhéng
‘ ` TY, ` > 2 ‘ :
‘rink hủ nhing tt it ae han che Rat 4st “ef shine levee +.“ yf “f rgd
Du ay They 6 e
Din chin thank cim en They Le lah Nit da qunyg day che
ching le trong nhitng nam hee qua lar nen kien tiv yy đu va dd lan
hinh hiding din lan dieu kien dé Yuan van dave haan “(don
Ain chin thanh cim on “2ý Thay Có ot Ban Chea nhiem
“Khoa da yang day ching let lrong gud trinh hoe bén nam vn lac diéa kien dé chiing 66 06 thé thu điện duvic Luan nin nay
Trang 4Ký hiệ (Ùx +: ¿; x) (1M) AU) 4 Xu!) c, cít! T.(M) TiM) WU) T.(M) T*(M) ^*(M) ^*“(M) CÁC KÝ HIỆU Giải chai
Hệ tọa độ địa phương
Atlat, tap ban dé
Tap hop cac ham kha vi trén M
Tap hop cac ham kha vi trén U c M Tập hợp các hàm kha vi trong x, Đường cong
Đạo hàm của theo hướng “vecto” X Không gian tiếp xúc tại x của M
Phân thớ tiêp xúc trên M Véctơ tiếp xúc của M đặt tại x
Tập các trường véctơ khả vi trên LI
Không gian đối ngẫu của T,(M!) Không gian đối ngắu của T(M)
Không gian các p - dạng ngoài tại x của M Phân thớ các p - dạng ngoài trên M
Phân bố m - chiếu trên M Hệ vi phân m - chiếu trên M
Trang 5eek wah Ma aise iva ER 03
CHUGNG le DA TAP Vi PHAN ss aii ea 06
S1 Dinh: nehta Ga tap vì DHÂN.: s24 0422622 2Ý 06 §2 Anh xa khả vi trên các đa tạp vi phản 10 $3 Đường cong khả vị trên đa tạp Véctơ tiệp xúc
- Không gian tiệp xúc - Trường véctơ c8 2uixs giix62 12
$4 Dang vi phân trên đa tạp — Đa tạp con 19
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ VÀ ĐỊNH LÝ FROBENIUS 22
BL PA NER asset LRA ARR Kae 22
82: ĐịnH 17 YODBD eemcs isooctane Lae i8 24
CHUGNG HI: CAC DANG PHAT BIEU KHAC
CUA ĐỊNH LÝ FROBENIUS 31
—-<ĐEBŠằ-ằ <.ằẶằẶĂẶĂẶẶĂẶ_Ă-Ă-——ĂĂẶ—ĂẰẰĂ_—— 31
§2 Phát biểu dưới thuật ngữ phân bố 33 §3 Phát biếu dưới thuật ngữ hệ vi phân 35
$4 Phát biểu đưới thuật ngữ hệ Pfaffr 36
CHƯỜỚNG TỔI GÁO Y DÙ ca aetieeeescoeeraoosaoeoooseiosaoa 37
§1 Ví dụ về phân bố khả tích 1 - chiếu 37 $2 Ví dụ về phân bố khả tích 2 - chiểu 40
Thay lời ROG a a sss sae aaa ea aaa a Reema ORO 43
Trang 6LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé « dah Oni Chusug I: DA TAP VI PHAN §1 DINH NGHIA DA TAP VI PHAN 1.1 DA TAP TOPO:
Cho M là một không gian Tôpô Hausdorff và có cơ sơ đêm được M gọi là đa tạp Tôpô n chiều nếu với mọi x thuộc M đều tồn tại một lân
cận mở U cua x va mét đồng phôi
o: U > @ VU) (c R")
thở
e Cap (U,9) goi la ban dé dia phương trong lân cận của x (hay bản đô địa phương xung quanh x'
e Hệ eo = |(U,,o„)l„, gọi là một af/z của M nếu |U,I, là một phủ
mở của M
1.2 CHUYỂN BẢN ĐỒ - PHÉP ĐỔI TỌA ĐỘ:
1.2.1 Hệ tọa độ địa phương:
Giá sử M là một đa tạp Tôpô n_chiều và (U,@) là một bản dé dia phương quanh x;¿ (xạ thuộc M) với: 7 U-+R* X (0(X) = Íx'(x),x”(x) ,x"(x)| Ta thu được n hàm x: U OR xh x(x) G= Ln)
Ta goi (U, x', x*, , x") la hé toa dé dia phuong xac dinh bởi bản
đỏ (U,@) Đôi khi ta cũng đồng nhất (U,@) voi (U, x’, x”, , x")
Trang 7LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS £¢ c#uh Oa
Với mọi x thudc U, bé (x' (x), x*(x), ,x"(x)) (e R®) goi 1A toa dé cia x trong hệ tọa độ địa phương đang xét
1.2.9 Đổi bản đồ - phép đổi tọa độ:
Gia su (U.,.@.), (Up,epp) la hai ban dé dia phương trên M với U, ry Us
+ 0
DAt Opa = Pp Oo Pa: Pa (Uy O Up) > el Ua Ủạ)
0,„ #oi là phép đổi bản đồ (hay đổi tọa độ) từ (U,,,o„) sang (D;,œg)
L3 CẤU TRÚC VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP TÔPÔ - ĐỊNH NGHĨA
ĐA TẠP VI PHÂN:
Cho M là một da tap Tépé n_chiéu
(1.3.1) Ta nói Atlat of 1a một afiat kha vi lép C* (k = 1, 2, ) nếu
mọi phép chuyển bản đổ của of déu kha vi Iép C*
(1.3.2) Cho of, af 1a hai atlat kha vi Ta bao <f tuong duong tới of’, ky hiéu: cf ~ ‹sf, nếu với mọi bản đồ (U,o) của atlat <4, mọi bản đồ (V,u) của atlat of sao cho LI = V z Ø ta đều có:
We y °® eas “* q(L AV) wi ¬ V)
là ánh xạ khả vị Quan hệ “~” vừa định nghĩa là một quan hệ tương đương và nó định ra một sự chia lớp trên tập mọi
atlat khả vi lớp C* của M Mỗi một lớp tương đương như vậy
Trang 8LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS LÂ ô dh Oni
_ =~_ Tễ 7
gọi là một cấu trúc vi phân (hay cấu trúc khá vi! lớp C° trên
M
(1.3.3) Một cặp gồm đa tạp Tôpô n_chiều cùng với một câu trúc vi
phân da cho trén M, goi la da tap 0ì phản n chiêu
Để đơn giản trong các phát biếu, từ đây về sau nêu không nói gì
khác đi, ta quy ước rằng thuật ngữ “khả vi” được hiểu là “khá vi lớp CẺ"
với k thích hợp nào đó, thuật ngữ “đa tạp vi phân” cùng được hiệu là “đa tạp vi phân lớp C*”, với k thích hợp Và ta luôn dùng ký hiệu M để chi một đa tạp vi phân n - chiều lớp C”
1.4 DA TAP CON MỞ:
Cho M la mét da tap vi phan n — chiéu va N là một tập hợp con
mo cua M,
Khi dé N tré thanh mét da tap vi phan n — chiều với câu trúc vi phân cảm sinh một cách tự nhiên từ M và ta gọi N là đa tạp con mở của M
1.5 CÁC VÍ DỤ KINH ĐIỂN VỀ ĐA TẠP VI PHÂN:
Ví dụ 1:
R" la mét da tap vi phan n - chiều với cấu trúc vi phân sinh bởi
atlat (R" id) goi la cau tric vi phan ty nhién hay còn gọi là câu trúc vi phân chính tắc trên R} Ví dụ 3: Xét mặt cầu n — chiều S* = |x = (x”,x', ,x")eR°*'/Ix| = 1| Các tập hợp con mở: S,* = l(x”, xÌ, , x!), x")c S"/x'> 0| Sự = l(x”,xÌ, x!\ ,x")ceS"/x'<0l, i=0,n và các ánh xạ: 1; \ ' §;*' ma R" (x”, X!, , X") (x”, , Xx', , x”)
Hiến nhiên x,`' là đồng phôi S¿°' lên B"°, ở đó B" là hình cầu mở n_chiểu
Khi đó, atlat -+ý = |(S/”, x;/ˆ)l,„ là atlat khả vi lớp C“ trên S” TT
Trang 9LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS LÂ ô bith Oni Do đó S* trở thành một đa tạp vi phân n - chiều Ví dụ 3: Các đường “chính quy”, các mặt “chính quy” đều là các đa tạp vi phan 1, 3 — chiều, Vi du 4: Cho U la tap hợp con mở của R*" Xét hàm khả vi n biên thực: f:U-›R đô thị của f: G¿ = l(x!,x”, ,x",f(x' ,x”, x")/(x!x?, x”) 6 UỊ = R"t Xét atlat chí gồm một bản đồ (G;, @) với: :Gyc ->» R'" (Ly Xe x")) ca» X8")
Hiến nhiên ọ là đồng phôi
Khi đó atlat chí gồm một bản đồ (G;, @ ) là atlat kha vi Do đó G¿ trở thành đa tạp vi phân n _ chiếu
Trang 10LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS L¢ « 4h Oni
§2 ANH XA KHA VI TREN CAC DA TAP VI PHAN
2.1 ANH XA TREN CAC DA TAP VI PHAN:
Cho M là một đa tạp vi phan n — chiéu va M’ là một đa tạp vi
phan m — chiêu
Xét ánh xạ f: M ->» M' liên tục và các bản đồ: (U,o) trên M ứng với hệ tọa độ địa phương (U,x`, ,x”), bản để (V„„) trên M' ứng với hệ tọa độ địa phương (V,„yÌ`, y”) sao cho f{U) c V Xét f|, cùng với ánh xa wofl,o@ ': p(U) > wl V) x" .,„x") >(y`, „V po) với y! = (x`, ,x"), VỊ = l.m Tức là wo fl, o@ ” = (, , f") với m thành phần : f', Ế, , f":e(U) > R
ụ (6 fl,,o @ Ì gọi là biểu diễn địa phương của ánh xạ f trong cặp bản
đô (tương thích với f (U,@), (Vu)
Ta thường đồng nhất fl,: U -> V với chính biểu diễn địa phương của nó: w of, o @`Ì
2.2 ANH XA KHA VI TREN CAC DA TAP VI PHAN:
Giữ nguyên tất cá các ký hiệu ở 2.1
(2.2.1) Ánh xạ f: M -› M' được gọi là khá u¿ nếu với mọi cặp bản
đồ ((U,@), (V/ụ)) tương thích, biểu điển địa phương của f
trong chung: y o f|,,o @ ' là ánh xạ khá vi từ @(U) vào CV)
(9.2.2) Xét ánh xạ tùy ý f M -+ M, x¿ là một điểm bất kỳ trên M Ta bảo f là ánh xạ khả vi trong lân cận của xạ nếu tồn tại
lân cận mo U (du bé) cua x» sao cho:
f\,,: U — M' la anh xa kha vi
Trang 11LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé «dah Oni
SE
(2.2.3) Néu M’ = R (vdi cau tric vi phan tu nhién) thi dat:
AM) = |f: M > R/f— kha vil Với mối xạ thuộc M, ta lại đặt:
#Xạ) = (f/ fla ham kha vi trong lan can x,
Khi d6 ta goi: ~A(M) la dai sé cac ham kha vi trén M
#lx,) la dai sé cac ham kha vi trong lân cận
Xụ,
Trang 12LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Êộ ôAnh Oni
Đ3 DUGNG CONG KHA VI TREN DA TAP
VECTO TIEP xUc
KHONG GIAN TIEP XUC - TRUGNG VECTO
3.1 DUGNG CONG KHA VI TREN DA TAP VI PHAN:
Cho M 1a da tap vi phan n — chiéu, | là một khoảng mở trên R Xét anh xa lién tuc:
C: [->M tr c(t)
Ta bao c la duéng cong kha vi trén M néu c 1a anh xa kha vi
Trường hợp I là một khoảng không mở trên R, sự khả vi của ánh
Trang 13LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS £é Anh Uti
3.2 VEC TO TIEP XUC - KHONG GIAN TIEP xUc:
(3.2.1) Cho c: 1 > M là đường cong kha vi trén M và xạ = cít;) là
mot diém trén c Vécto tiếp xúc uới e tại xạ (ứng với tọ) là một ánh xạ: X: ~xo) > R d FreX, dn (fe(Ì,, =(f 0 cy (te)
ữ đó ~⁄ix¿) = | f/ f là ham kha vi trong lan can Xo}
Khi đó X; gọi là đạo ham cua f theo hướng cua “vécto” X hay dao ham của f theo hướng của c tại xạ = c(to), tạ € Ì
Ta thường ký hiệu véctơ tiếp xúc này là e (te)
(3.3.3)Vóctơ tiếp xúc của M tại xo là một véctơ tiếp xúc X của một
dudng cong kha vi c: |» M nao do trén M tai c(te) = x,t, € 1D) Gia su (U, x’, x”, x") IA mét hé toa dé dia phuong quanh xo Khi
( €
¬¬ oe - là các
đó các phép lấy đạo hàm riêng tại x, : at
véctơ tiếp xúc của M tại Xp
(3.2.3) Không gian tiếp xúc của M tại xạ là tập hợp tất cả các véctơ tiếp xúc của M tại xạ, ký hiệu T, (M)
w
Trang 14
LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS £é Anh Vii
Định lý sau đây cho ta một mô tả trực quan về không gian tiếp xúc:
(3.2.4) Định lý:
Giả sử (U, xÌ, xỶ, x") là một hệ tọa độ địa phương quanh xạ và —, aia — là các phép lấy đạo hàm riêng Khi đó không gian tiếp xúc x cx" T.(M) là một không gian vécto n-chiu với cơ sở là: ' ` Ả =r = 2a Hơn nữa đường cong khả vi c(t)= (x(t), , x™t)), t (Y ‘x j
Ï mà xo = c(t;) ( tọ nào đó thuộc l), tọa độ của véctơ tiếp xúc X = c(t,,)
trong cơ sở này chính là (xÌ (te), x”(to) , x?(te))
Với cơ sở ai ` C- x nay ta thường đồng nhất mỗi
(
Mt a 1 (Xe 9**9* %8, ( 2 t ox"
véctơ tiếp xúc với tọa độ của nó: X @ (x' (to), x7 (to) , x" (to))
Vi T, (M) là không gian n - chiều nên ta có thể đồng nhất né véi R® về tất cả mọi cấu trúc cơ bản trên R*° (Tôpô tự nhiên, cấu trúc aflne, Euclids ) 3.3 PHAN THG TIEP XÚC - TRƯỜNG VÉCTƠ: 3.3.1 Phân thớ tiếp xúc: Hợp T(M) = (JT,(M) cùng với phép chiếu p: T(M) — M xeM X e T/(M) › p(X) = x
Trang 15LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé « tual On
3.3.2 Trường véctơ - Trường véctơ khả vi:
(3.3.2.1) Cho tập hợp con mở trong đa tạp M Moi anh xa: X: U-›T(M)
XX,c T,(M)
gọi là một frường uéctơ trên U,
(3.3.2.2) Giá sử U chọn đủ nhỏ và (U, x', x”, x") la một hệ
tọa độ địa phương trên Ul, Khi đó hiên nhiên các
phép lây đạo hàm riêng: = —† U — T(M) (i= 1,n) f Cc Xr — | ox' ** là các trường véctơ trên U Hơn nữa với mỗi xeU, ¬ n A o4 ; “| la eo sé cla T,(M) nén có duy nhất bộ n sé thue ENx), , Ex) dé: X, = E'(x)—— ¬ E"(x) |, Ox ox" ũ a = Ls '(x)—| ri ta nhận được n hàm thực: xhK E(x) (i= In) Do đótac: ó ta cú X=YƠe 2Đ >
Dang thc ny gọi là biểu diễn địa phương cua X trong hệ tọa độ
địa phương đang xét
Ta bảo trường uéctơ X khả uỉ nếu &', &*, , &" la cae ham kha vi
trên U Tập các trường véctơ khả vi trên LÍ được ký hiệu là Z7(U) hay Vect( U )
Khi U là tập hợp con mở không nhỏ đến mức có thể xác định hệ toa độ địa phương thì cần xét phủ mở cua U bởi một tập các bán đồ Lúc
Trang 16LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé « dah On
đo định nghĩa biếu điễn địa phương của trường véctơ, trường véctơ khá
vị trên U và Z(U) được thiết lập một cách hiện nhiên Đặc biệt có thế xét trường véctơ trên M và 7(M)
3.3.3 Xét lại 7(U) với (U, xÌ, x”, x") là một hệ tọa độ địa
phương Ký hiệu -7{U) = |f: U -> R /f là hàm khả vị trên U)
Với môi X < 7(U) mà X = ie —- và mỗi f < -U) ta định nghĩa: int x A X; = Xs = Như vậy méi X © 7Z(U) có thê xem là một anh xa x AU) — -AU) f tr» Xp Thực ra |X;], = X,f= Sex) a (x) tel ( Ngoài ra có thể xét ánh xa: AU) x #({U) -+ Z(U) (fX) wh fX Xác định bởi: [fX4Ì, = fx)X,,x < U
Lúc đó ?({U) trở thành một -#{U) - modul
Tương tự có thể định nghĩa X/ với moi X e #(M), f © 2M) và xác định cấu trúc -M) ~ modul của #(M)
3.3.4 Cấu trúc đại số Lie của 7(U):
Với mọi X, Y thuộc :?(U) (U là tập hợp con mở bất ky trong M) ta định nghĩa:
[X,Y] = XY -— YX tức là:
[X.Yly= X(Yg - Y(X;, vf e 4U)
Khi đó Z7(U) trở thành đại số Lie trên R tức là có đóng nhất thức
Jacdbi:
([X,Y],Z} + ([Y,Z],X] + [ZX], Y] = 0, VX.Y/Ze 7(U)
Trang 17LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS LÂ ô Âah On
Dac biét cé thé xét U = M 3.3.5 Dinh nghia:
Gia su N là đa tạp con cua da tap kha vi M Truéng vecto X trên
M tiép xúc với đa tạp con N nếu X, e T,N,vyeN
3.3.6 Định lý:
Giả sử N là đa tap con cua da tap kha vi M Néu X, Y la hai trường véctơ trên M tiép xuic vai N thi ngoac Lie [X,Y] cing tiép xtc véi
N,
3.4 TICH PHAN CAC TRUONG VECTO:
3.4.1 Dinh nghia:
Cho X - trường véctơ khả vi trên da tap M Moi đường cong tích phản của X là đường cong khả vị c: Ì => M sao cho e(t) = X(e(t)), #t € I
Giả sử (x', x”, x") là hệ tọa độ địa phương trên tập hợp con mở
° TẾ A er ca
U cua M Néu >= — là biểu điển địa phương của X trên U thì các
ix! C
đường cong tích phân của X trong U là các đường cong tích phân của hệ phương trình vi phân x' = Ê(x); ¡ = 1, 2, ,n Do đó trường X còn được goi là phương trình vi phân trên M Các đường cong tích phân của X còn
được gọi là quỹ đạo của trường X
3.4.2 Dinh ly:
Giả sử X - trường vécto kha vi trên đa tạp M; ec¡, c¿ là hai đường
cong tích phân của trường X xác định lần lượt trong các khoảng lạ, lạ
của R và sao cho c¡(tạ) = c¿(t¿) tại một điểm tạ thuộc I; l¿ thì c¡ và c¿
trùng nhau trong khoang I, lạ
3.4.3 Nhóm một tham số (toàn cục): Cho M là một đa tạp vi phân n - chiều
Nhóm một tham số các phép biên đối trên M là ánh xạ liên tục:
(0: RxM.>M
(t,x) + 0(t,x) k.h (x)
sao cho hai tính chất sau đây được thỏa mãn:
(lho, =o(t,.: MoM
Trang 18LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé «tah Oni x +> «,(x) là vi phơi của M, vt < R (3)@,(x)ì =ø(,, x):R + M t +> (x) (0, (X) = @((0.(X)) = (0, o @;(X), VxeM
Nói riêng » = idy
Xét trường véctơ X khả vi trên M sao cho: X, = ’,, (x), , Khi đó X gọi là trường véctơ sinh bởi (g,), p con (m) np cảm sinh ra X
3.4.4 Nhóm địa phương một tham số:
Nhóm địa phương một tham sô các phép biến đổi là ánh xạ liên tục: @: L xU ›>M,]l =<(-z,£)U c M (đủ bé) me (t,x) Fs (t,x) kh ox) sao cho hai tính chât sau đây được thỏa mãn: (1)œ, = @(t,.): U -> @(U) là vi phơi (vt « L) (2) = 0, Vt,s el mat+se I,
Tương tu như trường hợp nhóm một tham số toàn cục, mỗi nhóm
địa phương một tham số (ọ,) cũng cảm sinh ra một trường véctơ khả vi X
c #(U), với #{U): tập các trường véctơ khả vi trên U, 3.4.5 Định lý:
Với mọi X thuộc ?(M) và mọi xạ thuộc M đều ton tai lan can U cua
xạ và nhóm địa phương một tham số các phép biến đổi (¿,) trên sao cho
(ọ,) cảm sinh ra X|¿,
Trang 19LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS LÂ ô tah Oni
§4 DANG VI PHAN TREN DA TAP - DA TAP CON
4.1 DANG VI PHAN TREN DA TAP:
Cho M là đa tạp vi phân n — chiều (4.1.1) Với mỗi x thuộc M, ta đặt:
e T.M = Homa(T.M, R) — không gian đối ngẫu của T,M
Mỗi X* < TM được gọi là một uécfơ đối tiếp xúc thay đổi véctơ tiêp xúc) của x tại M
e A"(M)= Ki: x* TM -+» R/o: p- tuyển tính phản xứng `
ụ thửa aô
Mỗi œ c ^?(M) được gọi là một p - dạng ngoài tai x của M
Nếu p = 1 thì ^)(M) z TÌM, mỗi 1 - dạng ngoài tại x chính là một vectơ đôi tiếp xúc tại x
(4.1.2) Hợp ^" (M) = | J^? (M) cùng với phép chiêu
x«M
R: a*(M) —+ M
œ € a®(M)h x
gọi là phán thở các p — dạng ngoài trên M
(4.1.3) Ta gọi một p - dạng vi phân trên M là một ánh xạ: o: M-— a’ (M) xh o, € a?(M) Cho U la tap hop con mo cua M thi ta cũng xảy dựng được định nghia p — dang vi phan trén U
(4.1.4) Vi phân toàn phần của hàm khả vi:
Cho f là một hàm khả vỉ trên M (để đơn giản ta làm trên MỊ,
nhưng thực chất có thể làm trên U là tập hợp con mở của MÔ
; ; "t4 > ru > 3H: ry \
SVTH: Óquuên “hị Xiêu “Tuuết “án trưởng hoi lng 53+ Pha “Trang (F
Trang 20LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS LÂ ô duh Od
EE
Vi phản (toàn phần) của f là một 1 — dang vi phan df trén M được định nghia như sau: df: M — «‘(M) = T*(M) x dí, < T,(M) ở đó dí: T,M -› R Xb (d,X)=X Giá sử (U, x', xÝ, x") là một hệ tọa độ địa phương trên U Lúc đó : ¬ i e | > 5 ` - T,M có cơ sở | —- Ho VỀ, ca “|, với mọi X thuộc U, \ OX cx" a) Nếu x’, x*, , x" lA cdc hàm khả vi trên U thi vi phan của x', x”, x° là dx’, dx”, , dx” Khi đó dx', ,dx°, là một cơ sở của TM đối ngau với ( ồ, pos |, trong T,M, Ox! x ox" ` £ x Vi vay: Vf e “AU) df, = 3 (áf, |, en = Y rls’, tì ot : , = Darel, 4.2 DA TAP CON: 4.2.1 Phép nhung va da tap con: 4.3.1.1 Phép nhúng:
Anh xa kha vi f: N -> M từ đa tạp vi phân N vào đa tạp vi phân M
goi là một phép nhúng nêu f là một đơn ánh và £: T,(N) -› T;,(M) là
một đơn cấu tuyến tính với mọi x của M 4.2.1.2 Da tap con:
Khi cé mét phép nhung f: N — M thi ta bao N la da tap con nhúng
trong M hay đa tạp con của M.Ta thường đồng nhất N với ảnh f(N) c M,
eee ee eee eee eee ee
Trang 21LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé « dth On
ee OOOO
tức là xem N như tập hợp con trong M và f là phép bao long N vao trong M
4.2.2 Cac vi du kinh điển về đa tạp con:
(4.2.2.1) Một khoang trong R là một đa tạp con của R,
(4.2.2.2) Một tập hợp con mod U cua da tap kha vi M" la một da tap con cua M”",
(4.2.3.3) Mặt cầu 2 ~ chiều S” là một đa tạp con của RẺ
———————
Trang 22LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: 1S Lé « tah On Chusng II: PHAN BO VA DINH LY FROBENIUS §1 DINH NGHIA 1.1 DINH NGHIA:
Cho m là một số nguyên, 1 < m < n, ta bao rang trén da tap n -
chiéu M da xac dinh mét phan bé m — chiéu “⁄ nêu moi diém x cua M
đều được đặt tương ứng với một không gian con m - chiéu ‘/, cua khong
gian tiếp xúc T,(M!)
1.2 NHẬN XÉT:
Nêu phân bố được cho dưới dạng hệ các trường véctơ độc lập là
không gian con m ~ chiếu thì ta sẽ có định nghĩa hệ vi phản
Còn nếu phân bố được cho dưới dang n — m dang vi phan độc lập trong không gian đối ngấu T*(M!) thì ta có định nghia hé Pfaff
Các thuật ngữ “phân bổ”, “hệ vi phân”, “hệ Pfaff” thực chất là tương đương, theo nghĩa nếu cho “phân bổ” thì sẽ suy ra được “hệ vi
phán” hoặc “hệ Pfaff” và ngược lại Do đó trong chương này ta sẽ dùng
thuật ngữ “phân bố”
I3 ĐỊNH NGHĨA:
1.3.1 Phân bố được gọi là đrơn nếu mọi x cla M déu ton tại một
lân cận U của x và m trường véctơ X', X', X" trên lân cận U đó sao cho ‘’, là bao đóng tuyến tính của X',, X', X”, với mọi y của U,
1.3.2 Ta bảo rằng trường véctơ X trên M thuộc phân bỏ ⁄ hay nằm trên , ký hiệu: X « ⁄⁄, nêu X, e ,, Ơx â M
1.3.3 Phân bô trơn !⁄ được gọi là đổi hợp (hay hoàn toàn khả tích)
nếu moi cặp trường véctơ X, Y thuộc ⁄⁄ thì [X,Y|] cùng thuộc
t7
Trang 23
LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS £2 <4uh Oni eel Vi du: Cho U 1a tap hop con mé cia R?, xét ham khả vi hai biến f;U > R Khi đó đỗ thị của f : G; = [| (x,y, x,y)) /(x,y)e Ủ| là đa tạp vi phân 2 chiều ( T, 4 Vy ) Tại (x,, y„) e U, không gian tiếp xúc của đa tạp G;làT,., G„, có cơ sở là Í Ê : e ox Ấy 2 a
Khi đó tại mỗi điểm M(xo,yo) truéng vécts —sé sinh ra phan bé 1 - chiều trên không gian tiếp xúc 2- chiều 7 G (e.*)! “/ t 1.4 DINHNGHIA: |
Đa tạp con N của M được gọi là đa tạp tích phân của phân bé &
trên M nếu T,N = @,, Vx eN
1.5 NHAN XET:
Mục đích của chương này là chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để qua mỗi điểm x của đa tạp M luôn có một đa tạp tích phân của phân
bố Z là 2 khả tích Chúng ta định nghĩa đa tạp tích phân là đa tạp con của M mà không gian tiếp xúc của nó trùng với không gian con tương
ứng của phân bố Tuy nhiên có thể đưa ra một khái niệm yếu hơn về “đa
tạp tích phân” bằng cách chỉ đòi hỏi không gian tiếp xúc của đa tạp con được chứa trong chứ không nhất thiết trùng với không gian con tương
ứng của phân bố tại mọi điểm của đa tạp tích phân Phân bố # có thể khả tích trong trường hợp nó có “đa tạp tích phân” số chiều nhỏ, nhưng khơng thể hồn toàn khả tích theo nghĩa là nó có đa tạp tích phân số chiều tối đại Tuy nhiên nếu không nói gì khác khi thì thuật ngữ “đa tạp tích phân” của phân bố được hiểu là đa tạp tích phân số chiều tối đại
(giống định nghĩa 1.4) và # khả tích được hiểu là #2 hoàn toàn khả tích
Trang 24
LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé «dah Oa
8z ĐỊNH LÝ FROBENIUS
2.1 ĐỊNH LÝ FROBENIUS:
2.1.1 Diéu kién can va du dé phân bố trơn ⁄⁄ khả tích là qua mỗi điểm x của đa tạp M luôn tồn tại một đa tạp tích phân của phan bố ⁄⁄ Cụ thế là tốn tại một hệ toa độ địa phương (Ù,
@) trong lân cận của x, với các hàm tọa độ x', x”, x” sao
cho họ các đa tạp con cho bởi các phương trình dang:
(1)x' = const,Vi < (m + 1, ,n) là các đa tạp tích phân của phản bơ ‘/
2.1.3.Cịn nếu NĐ là một đa tạp tích phân liên thông của phản bố
⁄ sao cho N là tập hợp con của thì N là một trong các đa tạp thuộc họ trên
Chứng mình: Chứng mình 3.1.1
Điều biện cắn:
Gia sử ⁄ là phân bố trơn trên đa tạp M sao cho qua mỗi điểm x của M đều tồn tại đa tạp tích phân của phân bố ⁄⁄, chứng minh ⁄⁄ là phân bố khả tích
Giả sử X, Y là cặp trường véctơ bất kỳ trong 1⁄ Ta chứng minh
(X, Y| cùng thuộc ⁄, tức là chứng minh: Vx e M,ÍX, ], € ‘7x
Theo giá thiết qua mỗi điểm x của M, đếu tốn tại đa tạp tích phân N của phân bố % Gọi X,Y lần lượt là hạn chế của X, Y trên N thì hiển nhiên X,Y đều trơn Hơn nữa: |X, Y], =[X.Y], ¢ T,N= %, (theo dinh ly 3.3.6) Do đó ⁄⁄ là phân bố khả tích Điều hiện đủ:
(“) Giá sứ là phân bố khả tích m - chiêu trên đa tạp n - chiều M, lấy x thuộc M, chứng minh luôn tổn tại một đa tạp tích phân cúa phân bô ⁄ đi qua x
Trước tiên ta chứng minh bổ để sau đây:
—————
Trang 25LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé « dah Oni
2.1.3 Bố đề:
Giả sử x là một điểm cúa M” và X là trưởng véctơ trên đa tạp M"
sao cho X, z 0 Khi đó tốn tại hệ tọa độ địa phương (U, x', x*, , x”)
trong một lân cận mở U nào đó của x sao cho biêu điện địa phương của
X trong hệ tọa độ này là =F Chứng mình bố đề:
Vì bồ đề mang tính chất địa phương nên có thê coi rằng X là
trưởng véctơ trên R" sao cho X(0) = —y với (y`, v”, , y") là hệ tọa độ
cy
địa phương trong lân cận mở nào đó của gốc tọa độ O
Giả sử (U, ®) là nhóm địa phương một tham số các vi phôi cúa R"
sinh bởi X
at, vì, yvỶ, “ y") = (th! (t, y', y"), : h" ít, y', 2 y")
Ký hiệu: k = (kÌ, kỶ, k") là ánh xạ khả ví xác định trong lân cận của © bởi các đẳng thức: 4 k'(y!,y°, y")=h'(0,y`,yŸ,.,y°9)=y,i= Ln Vì X(0) = i £
đó ánh xạ k có ánh xạ ngược xác định trong lân cận nào đó của 0:
I= (1! , , l*) mà cho trong lân cận này các tọa độ địa phương
x' = ly}, VỶ, , y")
nên ma trận Jacôbi & (0.0) la ma tran don vi Do
Trong hệ tọa độ địa phương này, các quỹ đạo của trường X là các ( duéng cong t +> (t+ x', x*, , x") do dé là biểu diễn địa phương của Xe | £
Chứng minh điều kiện đủ:
Quy nạp theo số chiều m của phân bô ⁄⁄,
Với m=l, chọn trường véctơ X thuộc “⁄ xác định trong một lân cận
mở của x và X, z 0, theo bổ để (2.1.3), tồn tại một hệ tọa độ địa phương
(U, xÌ,xỶ , x") với gốc là x sao cho XI, = a
ex!
Nhu vay (*) đúng với m = 1
Trang 26LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS £¢ <4nh Oa
Giả sử (®) đúng với m — 1, m > 1, ta chứng minh nó đúng với phan
bố #' số chiều m
Vì & tron nén tén tai các trường véctơ XÌ, X, X” sinh ra Ø trong một lân cận V của x
Theo bổ đề (2.1.3) tổn tại hệ tọa độ địa phương (V, w) với các ham
tọa độ vì, v”, y? xung quanh gốc x sao cho V c V và: JW ey! Trén V, ta dat: (2):X" | yi xa Y' =x’ (3) | Y' = X'- Xy")x’ i= 2, ,m
Khi đó các trường véctơ Y`, YỶ, Y" déc lap tuyén tinh va trơn mà #' được sinh bởi chúng trong lân cận V,
Trang 27GVHD: TS Lé « dah On LUAN VAN TOT NGHIEP
._———————————————————————————Ï]ÏïễT.P-_—FƑ—ễ}Èễï
Do đó Z' đúng là trường véctơ trên 8 tức là Z' < TạS, 7q £ 8
Goi “™ la phan bé sinh bdi Z*, , Z" có số chiểu m—1 và “⁄* trơn
trên S Ta sẽ chứng mình “” la phan bỏ khá tích
Thật vậy: Vì Z' = Y'/, nên [Y, Y'] (i, j > 2) sẽ triệt tiêu trên hướng
của YỶ tức là đạo hàm lên YỶ bằng 0
Do đó tồn tại các ham tron c! sao cho: (6){Y', Y'] = 5 cxY" trên V
k«2
Nên:
(7)(Z, Z1= 3 c§|sZ"
ke?
Như vậy ching to rang [Z', Z’]} © ⁄” ij = 2, ,m
Do đó & kha tich
Theo giá thiết quy nạp phải tốn tại hệ tọa do dia phuong wo’,
trong lân cân điểm x thuộc 8 với gốc tọa độ tại điểm sao cho các đa tạp
xác định bởi phương trình œ'` = const, Vi = m + 1, , n la cac da tap con
tích phân của phân bố ” Trong lân cận này xét các hàm: 6 w" xì „vì x = won, j=2,.,n Ở đó x: V > S la phép chiếu tự nhiên trong hệ tọa độ (8) (V.y'vˆ y)
Trang 28LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé Anh On —————————————————————— ————— Vì vậy (9) đúng với ¡ = 1 Ciiảá sử ¡ e (2 mj, re {1, n— ml) Theo (11) ta có: (12) ˆ- (YW(x®*?)) = YE CVRD) = EY, YD (x®**) x Vì 2 khả tích nên tốn tại các hàm tron c} sao cho: (13) (Y!,Y!= Šc‡Y! ki
Thay (13) vào (12) ta được:
(14) -—- [YWx®*°Đ9]= Š c\Y*(x”*) ¡i=2,,m;r=l, ,n-m x kì 1 Cpese: x =cans!, +ˆ“zcanst 7/77 / / y 7 LLY
Ro anda tap con U ee dang : x’ = const, , x" = const Trén U, Yix"*") la hàm chỉ của một biến xÌ và (14) trở thành hệ gồm m - 1
phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất của một biến xÌ Hệ này có
nghiệm duy nhất với các điều kiện đầu đã cho (theo định lý đã biết về hệ
phương trình vị phân) Vì hệ này là thuần nhất nên nghiệm sẽ là các
ham 0 Từ đó trên 5 = Ù ta có:
Trang 29
LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé « tah On
Tu (4) & (8) suy ra:
(15) Y{x”*')=z Z\(œ”"*") (i = 2, , m; r = 1, ,n—m)}
Và do các đa tạp tích phân của phân bố r⁄' trên S8 xác định bởi các
trường véctơ Z' chính là các đa tạp dạng œ = const, j = m + 1, ,n nên: (16) Z'(œ*"”) = 0; i=2, m;rz=l, ,n—m
Từ (14), (15), (16) ta được:
Y(x"*")zs 0 trên U (=9, ,m;r=z=1l, ,n— mì
Từ những đẳng thức này ta sẽ nhận được các trường véctơ
— ,—— lap thanh mét cơ sở cúa phân bố “⁄ tại mỗi điểm trong
Ox’ Ox" ox™
lan cận U Do đó các đa tạp con xác định bới hệ thức (1) trong định lý là đa tạp tích phán Vậy điều kiện đủ đã được chứng minh theo quy nạp toán học = Chứng mình 9.1.2.: Giá sử N là một đa tạp tích phân liên thông của phân bố !⁄ sao cho NcU Goi x là phép chiếu của không gian R" lén (n — m) toa độ cuối cung
Lic dé d(xo @)|, =0; Vy EN
Vì N liên thông nên x ø @ là ánh xạ hằng
Do đó N phải là một trong các đa tạp dạng (1) m
2.1.4 Nhận xét:
Có nhiều tác giả phát biểu định lý Frobenius khéng giéng nhu định lý 2.1 mà chỉ phát biểu điều kiện đú Do đó ở chương sau ta chỉ
chứng minh sự tương đương giữa các dạng phát biếu khác cúa định lý
Erobenius với diéu kién du (DKD) cua dinh ly Frobenius
Trang 30LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS L¢ Anh Oni
eS
2.1 ĐỊNH LÝ:
Cho w: N —> M là một ánh xạ trơn và P” là một đa tạp tích phân
của phân bố 2 trên M sao cho (N) c P
Giả sử ạ: N —> P là ánh xạ (duy nhất) sao cho: lo Wo = W xảy ra trong sơ đồ sau: N_ V ` —>^ ` Ne \ \ XP Khi d6 wo là ánh xạ liên tục và do đó là ánh xạ trơn Chứng mình: Việc chứng mình định lý này đơn giản, do đó ta thừa nhận mà không chứng mình 2.2 ĐỊNH NGHĨA:
Đa tạp tích phân tối đại N của phân bố # trên M là đa tạp tích phân liên thông của #2 và không tốn tại một đa tạp tích phân liên thông N; nào của # để N là tập hợp con thực sự của N¡
Trang 31LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé « dah Oni
Chusng IIT:
CAC DANG PHAT BIEU KHAC
CUA DINH LY FROBENIUS
§1 PHAT BIEU CO DIEN
Phát biểu của định lý Frobenius 6 Chuong II không phai là dang phát biêu cô điện, mà dạng cô điên của nó được phát biêu như sau:
1.1 PHÁT BIEU CỔ ĐIỂN:
Gia su U, V là các tập hợp con mở trong R”, R`" tương ứng ký hiệu:
r`,rˆ, r"” là tọa độ trong R”: s', s”, s” là tọa độ trong R° Goi:
(1) b: U x V — Min, m)
là một ánh xạ trơn từ UxV vào tập tất cá các ma trận thuc cAp nxm
Lay (rp, So) U x V; nếu mee thức ob, Ob X= P a, \ in | (2) _ x’ ốp dai” a," |
Thoa man trén U x V; vị = 1, ,n; Vy, B = 1l, m thì tồn tại một
lân cận Up, cua rp trong U, Vạ của s¿ trong V và một ánh xạ trơn duy nhất:
(3`) aw: U,, “ Vo — V
sao cho nêu:
Trang 32LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS £6 « dials Oni 1.2 NHAN XET:
Phương trình (4') là phương trình vi phân toản phan, (4’) cho ta su liên hê giữa vi phân ơ, với giá trị của ánh xạ b trên đó thị của
œ„: (r, ơ(r,s)) Còn (9') biếu thị điều kiện cần và đủ để tốn tại ánh xạ như thê với các điều kiện đầu đã cho m
Có thê chứng minh được phát biểu này hoàn toàn tương đương với
phát biểu điều kiện đủ của dinh ly Frobenius: Chang han nêu đã cho một phân bố khả tích m - chiều ⁄⁄ trên đa tạp M”, lấy x thuộc M, thì xuất phát từ dạng phát biêu cố điên như trên có thê nhận được phát biêu như trong định lý bằng cách sau đây:
Trước tiên ta chọn một hệ tọa độ (W, £ ) trong lân cận điểm x với
các hàm tọa độ (xÌ, x”, xì) và C(W)=UxVec<R"xR' " để đối với hệ tọa độ này tổn tại một họ các hàm trơn f' trên U x V,¡ = 1m, j= 1n-m sao cho các trường véc tơ () X'=~— + Trot j~) -~ C— (¡ = 1,2, m) Ox’ ax™"? sinh ra phân bố ⁄⁄ trên W, Bây giờ ta sẽ định nghĩa ánh xạ b bằng cách đặt: (6') b(r,s) = Íf/(r,s)] Rõ ràng do tính đúng đắn của đẳng thức (3`) ta rút ra được la phân bố khả tích và theo a ta xây dựng được một hệ toa độ như (1) trong phát biêu của định lý Frobenius Như vậy là từ dạng phát biểu cổ điển đã suy ra điều kiện đủ của định lý Erobenius
Hoàn toàn tương tự từ dạng phát biểu của định lý có thê suy ra
được dạng phát biểu cổ điển m
Trang 33LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS £é <4ah Oa
§2 PHAT BIEU DUGI THUAT NGU PHAN BO
2.1 DINH LY:
Giả sử ? là một phân bố khả tích m - chiều trên MP và x thuộc M, Khi đó qua x luôn tồn tại một đa tạp tích phân liên thông tối đại của Z Hơn nữa bất kỳ một đa tạp tích phân liên thông nào khác đi qua x đều
được chứa trong đa tạp liên thông tối đại nói trên
2.2 CHUNG MINH SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG GIỮA ĐỊNH LÝ 3.1 VÀ DIEU KIEN DU CỦA ĐỊNH LÝ FROBENIUS
Từ điều biện đủ của định lý Frobenius suy ra định lý 2.1
£ Sự tồn tại:
1iả sử K là tập hợp tất cả các điểm p thuộc M sao cho tồn tại một
đường cong trơn từng khúc nối x đến p và mỗi một phần trơn của đường
này là một đường cong tích phân 1 - chiều của phân bố # tức là véctơ tiếp xúc của nó phải thuộc Ø,
`
Vì M có cơ sở đếm được nên theo định lý Erobenius luôn tốn tại
một phủ đếm được của M bởi các hệ tọa độ địa phương (U,, xử, Xổ, xổ)
Trang 34LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé « dah Oni
a
Ta giả sử rằng x thuộc Ú,, đối với một điểm p bất kỳ thuộc K luôn
ton tai chi sé i, sao cho p thudc U,,, va cac da tap S,, co dang (1) cua lân can Uj, là chứa p, 5, c K
5, Ki,
Ta thấy Is ce 4 7 | (pc K) là một atlat khả vi trên K
và biến K trở thành một đa tạp con m — chiêu của M Hiên nhiên K liên thông, và do đó K là một đa tạp tích phân liên thông đi qua x của phân
bỏ //
Để chứng minh K tối đại, ta xét N là một đa tạp tích phân liên thông tùy ý của ⁄ đi qua x Xét p < N bất kỳ, rõ ràng tồn tại một đường
cong tích phân trơn từng khúc e nổi x và p (do N liên thông) Vì e nằm
trên N nên nó là đường cong tích phản của phân bỏ ⁄⁄ trơn từng khúc nôi x và p Do đó p thuộc K, tức là N = K Suy ra K là đa tạp tích phần tôi đại của ‘/ di qua x Sự duy nhất: Giá sử N là một đa tạp tích phân liên thông tôi đại của phân bố ⁄⁄ va N cũng di qua x Theo định nghĩa của tính tôi đại ta có: NcKvwàKcN Do đó N = Km
Như vậy từ định lý Frobenius ta đã suy ra được định lý 3.2
Chiểu ngược lại tức là từ định lý 3.2 suy ra điều kiện đủ của định ly Frobenius la hiển nhiên và đa tạp tích phân của phân bố ⁄ đi qua x
là đa tạp tích phân liên thông tôi đại của phân bô ⁄⁄ m
Trang 35LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé « dah Oni
§3 PHAT BIEU DUGI THUAT NGU HE VI PHAN
3.1 DINH LY:
Gia su 7 - hệ vi phan m — chiéu trén đa tap M", néu hệ Z ổn định đối với tích Lie thì mọi x của M đều tốn tại hệ tọa độ địa phương (U, x', x*, x") trong lan can U cua x sao cho modul 7%; sinh bởi các
A C C
trương s —” piece
é&x' ex ox™
3.2 NHAN XET:
Sự phát biểu của định lý 3.1 và điều kiện đủ của định lý Frobenius
là tương đương bởi vì theo nhận xét 1.2 (Chương II, Mục 1.3) thì “phan
bô” và “hệ vi phân” tương đương, do hệ Z ổn định đối với tích Lie nên 7 - khả tích Khi đó với mọi x của M đều tồn tại hệ tọa độ địa phương (U,
x`, X”, „ x") trong lân cận U của x sao cho modul ;Z¡; sinh bởi các trường
ec Ồ ầ
~ ] * 2 *®
cx Ox
(1) x' = const; i = m + 1, , n là các đa tạp tích phân của hệ 7
và bởi vậy các đa tạp con xác định bởi hệ thức:
Như vậy từ phát biểu của định lý 3.1 ta suy ra được phát biêu của
điều kiện du trong dinh ly Frobenius
Một cách tương tự từ phát biểu của điều kiện đủ ta cũng suy ra được phát biểu của định lý 3.1 m
—————
Trang 36LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé ô deh On
Đ4 PHAT BIEU DUGI THUAT NGU HE PFAFF
4.1 DINH LY:
Gia su.” — hệ Pfaff hang m trén da tap M" Hé «kha tích khi và chí khi với mọi x thuộc M, tổn tại hệ tọa độ địa phương (x”, x, , x") trong lân cận L - mở nào đó của x sao cho hệ 74; được sinh bơi các dang dx!,dx?, ,dx"
42 NHẬN XÉT:
Từ định nghĩa hệ vi phân va hé Pfaff ta có kết qua sau đây:
Giả sử Z là hệ vi phân m - chiều trên đa tạp M” khi đó modul
con Z' trực giao với modul 2 là một hệ Pfaff hạng n —- m trên M” sao cho:
z =[Xece-Z(M)/ơœ(X)=0,voœc 7°)
Do đó hệ vị phân trên đa tạp M" kha tích khi và chí khi hệ Pfaff “ khả tích m
Từ đây ta nhận thấy rằng định lý 4.1 là hệ quả trực tiép rút ra từ
nhân xét 1.3 (chương II, mục 1.3) và nhận xét 4.3 vì vậy, phát biểu của
định lý 4.1 tương đương với phát biểu 3.1.1 trong định lý Frobenius
Trang 37LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS Lé « duh Oni
Chung IV:
CÁC VÍ DỤ
§1 Vi DU VE PHAN BO KHA TiCH 1 - CHIEU
1 Trén da tap vi phan R* \ (0(0,0)) Xét anh xa kha vi: X: R* \ (0(0,0)) > R*
(x,y) tH» Xixy) =| 122)
\ x
Tại mỗi M,(xạ, yạ) cố định, đường thắng qua Mạ và nhận X(xo, yo) làm véctơ chỉ phương có phương trình:
y = 22° (x — xo) + Yo c> 2 °x=y—yo =0
là không gian con của không gian tiệp xúc tại Mạ nên cho ta phân
bố ⁄ 1 — chiều sinh bởi trường véctơ X
Trang 38LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS £é cAnh Oa
Ta được họ đường cong tích phân y = cx” của phân bố Họ này sé
lấp kín mặt phẳng khi cho c thay đổi
Như vậy qua mỗi điểm (œ, B) của đa tạp RỶ \ (O(0,0)1 đều tồn tại đa
tạp tích phân # là đường cong tích phân có phương trình y=-Êr của a phan bé % 1 — chiéu Do dé #2 khả tích Ị C»œ 2 Trên đa tạp khả vi RỶ, xét ánh xạ khả vi: X: ẻ R RE
(x,y) › X(x,y) = (\.3y? ')
Khi đó tại mỗi điểm M,(x,, y;) cố định, đường thẳng qua Mạ nhận
X(xs,yo) làm véctơ chỉ phương có phương trình:
 3y ‘(x-x,)+y, © 3y, rf ~y~ Ixy, '9 1›„=0
là không gian con của không gian tiếp xúc tại M,, do đó cho ta phân bố
Trang 39LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS £é <4ah Va SSS Giai phương trình vì phân © y` =x-c ©y=(x-c}
Ta được nghiệm là họ các đường cong tích phân y = (x — c)” Ho nay sé lap kin mat phang khi cho e thay đổi và được đánh số theo trục Ôx
ie
Vậy qua mỗi điểm (a, B) cba đa tạp RỶ đều tổn tai đa tạp tích phân
1 - chiếu là đường cong tích phân có phương trình y = (x -a+ py cua
Trang 40LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS LÂ ôAnh Oni Đ2 Vi DU VE PHAN BO KHA TiCH 2 - CHIEU Trén da tap R* \ Ot, xét hé: X, (x,y,z, t) = (~ x, y,0,0) ‘X.(x, y,z,t) = (0, z,0, x) | X y (x, y, 4, t) 7 (- z,0,0,—y)
Tại mỗi điểm cụ thể thì hệ này chỉ gồm hai véctơ độc lập
Do đó tại Ma(xo, yọ, Zo, tọ) cố định, mặt phẳng qua Mp nhận hai véctơ độc lập trong hệ lX:, X;, Xa) làm cặp véctơ chỉ phương là không
gian con của không gian tiếp xúc tại Mẹ nên cho ta một phân bố Ø P2
_ chiếu
Phân bố & là khả tích vì tại mỗi điểm cố định M (œ, B, y, 5) ca da