BO GIAO DUC VA DAO TAO
TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HCM KHOA TOAN — TIN HOC
Lily SP
LUAN VAN TOT NGHIEP
Chuyén nganh: HINH HOC
Dé tai:
Trang 2MUC LUC
Trang RE LÀ MS iG0020121012-2 2000010202221.02ggda8 sateen v0j\(6:12428 set day 6ốs i
LOIMO DAU | : SES i eC ata
CAC KY HIEU ket 4663 „xe Sö)xt001460444(44669256)563 SAE
TA lô nen ==>e—a !
I.Ánh xạ chuẩn täc | 2 Anh xa tuyen tinh ty lién hop, anh xa tuyén tinh ty lién hgp léch, ánh xạ
CO ðAu le ằ6Ằ6 << 7
3.Ma tran chuan tac, ma tran doi xtmg, ma tran ¡ phản đổi xứng, ma trận trực giao, ma tran Hermitian, ma tran Hermitian lệch và ma trận đơn vị 9 4.Sự khai triển giá trị đơn đạng cực .sosccceccrvceccre 13 CWưuơng 1: AHÃ:Xệ HH: : cị c0 00022c0222200222000010 1020024002210 G2012202662006 21
| LAN S6 THỂ son iscsdoccesvei00101160151460044010 53566G409320/xze) 21
2 Những nhóm Lie GL{n, 8 ) SL(n, l8 ), O(n) va SO(n), dai sd Lie gl(n, R ),
sl(n, 3 ), o(n), so(n) WE BE KO BE oe ciscsicvsnsecensvenasanasnasvessnaccanssascsinsrsasooenncvessn 28
3.Ma trận đối xứng ma trận đói xứng xác định dương và ảnh xạ mù 32
4.Nhom Lie GLin, C), SL(n,C ), U(n) va SU(n), dai so Lie gl(n, C ),
sl(n,C ), u(n), su(n) và ánh xạ mũ (HH S122 22111 se 36 5.Ma tran Hermitian, ma tran Hermitian xúc định đương và ánh xạ mũ 39
6.Nhóm Lie SE(n) và đại số Lie se(n) - 2 25-252S52cseExcreceecrece 40
Chương 3: Nhóm Lie via Gai số Lie 5-55-5222 2222122220 2eece 45
TU TIÊN a6 2c40144 114 c66cct420026G44020000)x06agsssœ 45
2.0 to Khê VÌ VU Các cáo 2a vŸccte22020004020caycase 46
3,Đường cong khú vi trên đa tạp và không gian tiếp xúc tại một điểm của
QOINN CON sis cseiisvsjiensiioyssvcadiscusaas qavecaussnensveesveshecieesinsockecsimevcaeucdaven eupveneet 50
Lo T— ˆ>—————— 52
SBI SO Lai na ÊĂ 54 GIS FI Gh ec ois secre deer ecaee reese Reoreens omer seddanceblicishemiibhl 58
T.Đồng cấu của nhóm Lie và đại số Lie ©25-©ccscccvseccccce 59 8.Biéu dién phy hyp của nhóm Lie va dai 80 Lie ccc.ccccseeeeeeeeeeeeeee 60
ROE RIN eso tha ais auens cerca an eee ea eae re aii iv TAI LIEU THAM KHAO (dấu s340540 00056062 K21 1406 00010562 04644ed av
Trang 3
Lời mở đâu
Trong khung cảnh tương tự sự phát triên mạnh mẽ của lý thuyết Galois cho phương trình đại số, nha toan hoc Norway Sophus Lie da dua ra tu tưởng nen
móng cho một lý thuyết đối xứng các phương trình ví phân Ngảy nay các lý thuyết này đã phát triển đến mức hoản hảo và mang tên lý thuyết Lie Những ứng
dụng của nỏ không chỉ hạn chẻ trong cơ học chuyên động mả còn rất hữu hiệu trong vặt lý lượng từ các trường và các hạt cơ bản Sự hiểu biết những kiến thức
cơ sở của lý thuyết Lie đã trớ thành như cầu thiết yếu của những nhà toán học, vật
lý, cơ học
Mục đích của những trang viết này là đưa ra một lời giới thiệu cụ thê vẻ
nhóm Lie và đại số Lie Tiếp theo là đưa ra những khái niệm toán học có thẻ được
dùng như công cụ cho việc giải quyết những vấn đẻ thực tiễn phát sinh trong khoa học máy tỉnh đặc biệt là trong tự động thị giác máy tỉnh, máy tính do hoa, Hau
hết những sách nói về nhóm Lie và đại số Lie đều bắt đầu với hình học vì phân mà
thường là vô cùng phức tạp trong lĩnh vực khoa học máy tính thông thường (hay
khoa học thông thường) Việc nghiên cửu nhóm Lie và đại số Lie đã làm cho
chúng tôi đau đầu trong một thời gian dài, chúng tôi cổ gắng hình dung nhóm Lie và đại số Lie nói về điều gi, nhưng gắn đây chúng tôi đã tìm ra phương pháp đẻ giải quyết vấn để này Chúng tôi tin rằng phương pháp này cùng với nhóm ma trận
hoàn hảo, ví đụ như nhóm ma trận xoay trong R* (hay trong IR }), kết hợp với ảnh
xạ mũ, có thê ứng dụng vào nhom Lic va dai sé Lie Sau khi tinh toan ham số mũ
A=e” của ma trận phản đổi xứng B cấp 2*2 và thấy rằng đó là ma trận xoay, và
tương tự cho ma trận phản đối xửng B cấp 3*3, ngoài ra còn có những vấn đè
phức tạp hơn Tương tự sau khi khảm phá được mỗi ma trận khả nghịch thực A
cấp nxn cỏ thê được viết là A=RP, trong đỏ R là ma trận trực giao va P là ma trận
đối xửng xác định dương và P có thê được viết là P=e` với mỗi ma trận đối xứng
Trang 4trực giao đặc biệt SO(n), và nhóm SE(n) và đại so Lie gl(n 8 ), sl(n, 5 ), o(n) và
so(n) Chúng tôi cũng đẻ cập đén những nhóm mà trận phức tương ứng và đại số Lie của chúng Khi có thẻ chúng tôi chứng mình những ảnh xạ mũ nảy là toản
ảnh, Với điều nảy thì những gi chúng tốt cần là một vài kết quả của đại số tuyến
tỉnh vẻ dạng chuẩn tắc khác nhau cho những ma trận đôi xứng và phản đối xứng
Do đó chúng tôi bắt đầu chứng mình có những dạng chuẩn tắc đẹp (khối ma trận
chéo có cấp lớn hơn 2) cho những ma trận chuẩn tắc, ma trận đối xứng ma trận
phan đổi xứng, ma trận trực giao Chúng tôi cũng chứng mình định lí phô cho
những ma trận chuẩn tắc phức Làm được điều nảy chúng tôi có công cụ đẻ hình thành sự khai triển giá trị đơn (SVD) và dạng cực của một ma trận Sau đó, chủng tôi tiếp tục nghiên cứu trên ánh xạ mũ, điều này đẫn đến khái niệm nhóm Lie va đại số Lie Chủng tôi cũng mô tả công thức “Rodrigues-like"” cô điển cho phép
xoay và phép chuyển động cửng trong 8Ý và 8Ì Chúng tôi đưa ra một cách
chứng mình cơ bản là ảnh xạ mù là toan anh cho ca SO(n) va SE(n), khong ding
đến công cụ topo, chỉ là những dạng ma trận chuẩn tắc Cuối cùng là đưa ra lời giới thiệu nhanh vé nhém Lie va dai số Lie Chúng tôi định nghĩa đa tạp như đa tạp con nhúng của #”, và chúng tôi chí định nghĩa nhóm Lie tuyến tính, sử dụng những kết quả nổi tiếng của Cartan ( trên thực tế là căn cứ vào Von Neumamn) là
một nhóm con đóng của GL(n, 8 ) là một đa tạp và do đó nó là nhóm Lie Theo
cách này thì đại số Lie có thể được tính toán nhờ sử đụng những vectơ tiếp xúc cua những đường cong có dạng t =*A(t) trong đó A(Đ) là một ma trận Chúng tôi
cũng hy vọng rằng những trang viết này sẽ hữu ích cho đọc giả và sẽ truyền cho họ niềm đam mê nghiên cứu sâu hơn Chúng tôi mong muốn được viết nhiêu vẻ
Trang 5Luan van nay được hoàn thành đưới sự hướng đẳn nhiệt tình, tân tụy và nghiêm
khäãc cua Thảy Lê Anh Vũ Mặc dù rất bận rộn với công việc nhưng Thầy cũng đã
giảnh nhiều thời gian và công sức để giúp tác giá hoàn thành đẻ tải này Tác giá
xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc dén Thay
Tác giả cũng xin cảm ơn quý thấy cô, Bạn Chú Nhiệm Khoa Toán-Tin và các
Thay trong to Hinh Hoe da tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này,
Cuỏi cùng, tác gia rất mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy cô và
các bạn đọc giả
TP.HCM, Tháng Š-2009
Trang 6Ký hiệu 3 fi dim) Kerf C ye A A A SDV Im f rank{ tr( A) Exp 0, y y(t) IM Af(n, 3) 0 LG fff TS L, R Ad Ad Giải thích ký hiệu Trường số thực Tịch trong trên không tian Euclidean Ảnh xạ liên hợp cua f Số chiều của không gian W Hạt nhân của ánh xạ f Trường số phức
Tich trong trén khong gian Hermitian Không gian trực giao cua W Ma trận chuyền vj cua A Ma trận đói hợp của A Ma trận liên hợp của Á Sự khai triên gia tri đơn Anh của ảnh xạ f Hang cua anh xa f Vết của ma trận A Moc Lie (hay hoan tu) Anh xa mi (0 ,0) ee Đường cong khả vi
Vectơ tiếp xúc cúa y
Không gian tiếp xúc của M tại p
Tập hợp những ma trận thực cấp n
Ma trận không cấp n
Không gian tiếp xúc tại đồng nhất thức
Ảnh xạ tiếp xúc của f tại p Phép tịnh tiễn trái
Phép tịnh tiền phải
Biêu điển phụ hợp của nhóm Lie
Biểu diễn phụ hợp cua đại số Lie
SVTH: Hira Thi Ha Phuong
Trang 7Nhóm Lie và Đại số Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Va
Chương Ì
KIEN THUC CHUAN BI
1 Anh xq tuyén tinh chuan tac
1.1 Khong gian Euclidean
1.1.1 Dinh nghia
Một không gian vectơ thực E là một không gian Euclidean nêu nó được trang bị
một đạng song tuyến tính @ : ExE=+ ÍR, được xác định dương có nghĩa là @( „ ) >0, với mọi ¿ z 0 Đặc biệt hơn, @ : ExE —+ÍR phải thỏa mãn các tiên đề sau: (0, + t;, V} = @(,, V) + @(M;, V) Pi, ¥, + ¥,)= OCH, ¥,) + OU, ý, ) Ail, 7) = À0(ứ, 0) (ua, AV) = Ag(u,v) (0, ) = g(v,)
# 0 kéo theo @(u.) > 0
- Số thực @(#,ÿ) được gọi là tích trong (hay tích vô hướng) của ứ và £ Dạng
Trang 81.1.3 Nhận xét
- Tích trong trên không gian Eueclidean thường được kí hiệu là < -,- > Nhắc lại:
mỗi ánh xạ tuyến tính f: E —+ E có một ánh xạ liên hợp f*: E —+ E, f* là ánh xạ
tuyến tính, sao cho < /(#),#)] >=< ứ,/(ÿ)> với mỗi đ,ÿ eE Vì <-,-> là đối
xứng nên rõ ràng là f** = {£
- Cho 2 không gian Euclidean E và F, trong đỏ tích trong xác định trên E được
kí hiệu là < —,- >,, và tích trong xúc định trên F được kí hiệu là <-,- >,, cho bất
kì ánh xạ tuyến tính f: E + F, có duy nhất một ánh xạ tuyến tỉnh f*: F —+ E sao
cho < ƒ(), >,=< ứ, / ()>,, với mọi ứ e E và ve F Ánh xạ tuyến tỉnh f* cũng
được gọi là ảnh xạ liền hợp cua f
1.2 Ánh xạ tuyến tính chuẩn tắc
1.2.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính chuẩn tắc
Cho không gian Euclidean E, một ánh xạ tuyến tính £ E —+ E là chuẩn tắc nêu
ƒsƒ=ƒ*ƒ
- Mot anh xạ tuyến tinh £: E—+E là tự liên hợp nêu f = f*, tự liên hợp lệch nếu
f =-f*, va truce chudn néu fof" = fof =id
- Những dạng chuẩn tắc f có thể được làm mịn hơn nếu f là ánh xạ tự liên hợp,
ánh xạ tự liên hợp lệch, hay ánh xạ trực giao
1.2.2 BO dé
Cho không gian Euclidean, nếu £: E—>E là một ánh xạ tuyến tính chuân tắc thi
Ker f = Ker f*
Tiếp theo ta sẽ phức hóa cả không gian vectơ E và tích trong < -,- > Đầu tiên
ta nhúng không gian vectơ thực E vào không gian vectơ phức
Trang 9
Nhám Lie và Đại số Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vũ
1.2.3 Dinh nghĩa cầu trúc £
Cho không gian vectơ thực E, đặt £_ có cấu trúc ExE dưới phép tốn cộng
(4,4, )+(¥,,9,)= (4, +00, +8)
và phép nhan boi dai lugng vo hudng phire z = x+iy xác định sao cho (x + fv) ) = (x — vv yt + xử}
Nhan xét
- Dé dang chimg minh £ là không gian vectơ phức, suy ra (0,7) = (7,0), va do
đó đồng nhất E với không gian con của F_, la khéng gian bao gồm tất cả những
vectơ có dạng (ứ,0), ta có thê viết (ứ,Y) = ứ +¡¿ÿ
- Cho một vectơ w= +, đối hợp của nỏ là #=#-¿ Khi đó, anh xa di tir E vào chính nó cũng là ánh xạ đối hợp Nếu (z,, ẽ,) là cơ sở bat kì của E, thì
((ẽ,,0), (e,,0)) là cơ sở của của Z£,., ta gọi là một cơ sở thực
- Cho ánh xạ tuyến tính f: E —+ E, ánh xạ f có thể được mở rộng đến một ánh
xạ tuyến tính ƒ.:E, —»E xác định sao cho ƒ„(ữ +77) = ƒ()+¡ƒ/(5)
Ta cần mở rộng từ tích trong trén E đến tích trong trên E
1.3 Không gian Hermitian
1.3.1 Định nghĩa
Một không gian vectơ phức E là một không gian Hermitian nếu nó được trang bị một ánh xạ : E x E —+>£ , mà ánh xạ này là tuyến tính ở phần đầu và nữa tuyến tính ở phần thứ hai của nó (đôi khí còn được gọi là ánh xạ tuyến tính gấp rưỡi),
anh xa nay cũng được gọi là ánh xạ Hermitian, và xác định dương, có nghĩa là
pit) > 0 voi moi vi +0
Đặt biệt, ọ: E x E —+ thỏa mãn các tiên để sau:
Trang 10
(0(1, +H,.V) = pls, V+ 9(0,,¥) ((1,v, +9, } = (ð(0,9,} + @(ữ,9,) q@(âñ, ý} = À@( #) pai, uv) = fap, ¥) pa.) = Vu) (@ la anh xa Hermitian) a #0 kéo theo @(ứ,) > 0
- Một ánh xạ thỏa mãn những tính chất trên được gọi là dang Hermitian xac dinh
dương Số phức @(ứ,v) cũng được gọi là tích trong của ứ và ý Ta cũng xác định
dạng toàn phương liên kết với @ là hàm ®: E — R_ sao cho ®{() = g@(ứ,ứ), với mỗi ứ e E - Chú ý rằng œ(0,ð) = 0, và vi ọ là xác định đương, ta có kết quả mạnh hơn (0,0) = 0 khi và chỉ khi ¿ = 0 do đó ®(#) = 0 khi vả chỉ khi 7 =0 1.3.2 Ví dụ
ŒCT là không gian Hermitian, đưởi tích trong @ xác định sao cho
PCY, 6-0, ae Vy secs MyDD = AY, + Ay + +H, Y,
1.3.3 Nhận xét
- Cho ảnh xạ tuyến tính f: E —+ E (trong đó E là không gian vecto phức) như
trường hợp thực, có đuy nhất một ánh xạ tuyến tính f* E =—+ E sao cho
< ƒ().ÿ >=< ñ, ƒ'(ÿ) >, với mỗi ứ,v e E Ánh xạ f* cũng gọi là liên hợp của £
- Tích trong <-,-> trên không gian Euclidean E được mở rộng đến dang
Hermitian xác định dương <-,- > trên £ nhu sau:
Trang 11
Nhóm Lie và Đại số Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vũ
Dễ dàng thử lại được <-.- > là một đạng Hermitian xác định dương và rõ
ràng <-,- > cũng là < -,- > đối với những vectơ thực Khi đó cho bắt kỉ ánh xạ
tuyến tính f: E — E, ta chi ra được ánh xạ f*¿ xác định sao cho
ƒ (+i#}= ƒ ()*+1ƒˆ.(9)
với mọi ,v e £, là liền hợp của f
Bỏ đẻ 1.2.2 cũng đúng cho trưởng hợp E là không gian Hermiteian
1.4 Vectơ riêng-Gía trị riêng
1.4.1 Bồ đề
Cho không gian Hermitian E, với bất kỳ ánh xạ tuyến tính chuẩn tắc £ E — E, vectơ #¿ là yectơ riêng cua f với giá trị riêng À (trong C) khi va chi khi ø là vectơ
riêng của f* với giá trị riêng 2
1.4.2 BO dé
Cho không gian Hermitian E, với bất kỳ ảnh xạ tuyến tính chuẳn tắc £: E — E,
nếu # và ý là những vectơ riêng của f mà liên kết với giá trị riêng 2 va p (trong C}),trong đó 2 # H thì < ứ,ÿ >= 0
1.4.3 Bỗ đề
Cho không gian Hermitian E, giá trị riêng của bất kỳ ánh xạ tự liên hợp f: E —> E nào cũng đều là thực
- Cho bất kỳ không gian con W của không gian Hermitian E nào, nhắc lại là
không gian trực giao I ˆ của W là không gian con xác định sao cho
W* ={ữ e E|<ủ,W>=(0,Vửe E}
Taco E=W@W* Không gian Euclidean cũng thu được kết quả giống vậy
1.4.4 Bồ đề
Cho không gian Hermitian E, với một ánh xạ tuyến tính bất kỳ f: E — E, nếu W là không gian con bất kỳ của E sao cho /(W)cW và /ƒ'0P)cW, khi đó
f(W')cW' và ƒˆ(W')c W`
Trang 12
- Bỏ đẻ trên cũng đúng đói với không gian Euclidean Cho E là không gian
Euclidean thyc, néu f E — E là một ánh xạ tuyến tính và w= # +¿v là một vectơ
riêng của /_:£ -» với giá trị riêng tương ứng là z= 4+2, trong đó ú,ve£E
và 4, elR thì /.(ứ—/ÿ)=(À-1zz)( (0) và w=—í là vectơ riêng của f ứng với
giả trị riêng # = À =i
1.4.5 Bo dé
Cho không gian Euclidean E, với một ảnh xạ tuyến tính bất kỳ Ê E — E, néu
w= + là mỘt vectơ riêng của /_ ứng với giá trị riêng z= À+¿/ (trong đó u,U€E và Â,ueR)
e Nếu z0 (tức là z không thực) thi <#.ý >=0 và <,ứ >=<#,Ý >, ứ,ý là
các vectơ độc lập tuyến tính, và nêu W là không gian sinh bới đ,, thì fW)=W vả
f*(W}EW Hơn nữa, với cơ sở (u,v) (trực giao), ánh xạ thu hẹp của f trên W có
minim (3,2 ® Nếu ¿=0 thì 4 là giá trị riêng thực của f và ứ hoặc ÿ là giá trị riêng của f
ứng với 4 Nếu W là không gian con sinh bởi ø nếu # #0, hoặc sinh bởi ï nếu p40 va =0, thì /(W)c W và /°(W)c W
1.5 Ma trận của ánh xạ tuyến tính chuẩn tắc
1.5.1 Định lý
Cho khéng gian Euclidean n chiều E, với mọi anh xạ tuyến tính chuẩn tắc
f: E— E sẽ có một cơ sở trực chuẩn (ể,, #„), sao cho ma trận của f trên cơ sở
nảy là một khối ma trận chẻo có dạng
Trang 13
Nhóm Lie và Đại số Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vũ sao cho mỗi khối 4 hoặc là ma trận cáp một hoặc là ma trận vuông cấp hai có À_ ~M d ! ! — b A, trong do A.w eR voi >0 1.5.2 Định lý
Cho không gian Hermitian n chiều E, với mỗi ánh xạ tuyến tính chuẩn tắc
f: E— E, có một cơ sở trực chuẩn (¿ é, } là vectơ riêng của f sao cho ma trận
của f được viết trên cơ sở nảy là một khối ma trận chéo có đạng
A,
trong đó A eC
A,
- Định lý 5.2 chứng tỏ răng ánh xạ tuyến tính chuẩn tắc có thể chéo hóa được với
một cơ sở trực chuẩn Do đó, trong thường hợp đặc biệt, các ánh xạ tự liên hợp, tự
liên hợp lệch, và trực giao có thê chéo hóa được với một cơ sở trực chuân là những
vectơ riêng Về sau, một ánh xạ trực giao được gọi là một ánh xạ đơn vị Bê đề 4.3
chứng minh rằng giá trị riêng của một ánh xạ tuyến tính tự liên hợp là số thực, ánh xạ tuyến tính tự liên hợp lệch có giá trị riêng là phần ảo thuần khiết hay là 0, và
ánh xạ đơn vị có giá trị riêng là giá trị tuyệt đối của 1
Chủ ý: có định lý đảo của định lý 5.2 nói rằng nếu có một cơ sở vectơ riêng trực
chuẩn (é,, ẻ,„) của f, thì f là chuẩn tắc
Trang 14f: E—+ E, có một cơ sở trực chuẩn (¢, é,) la nhitng vecto riéng cua f sao cho ma
tran cua f duge viet trén co so nay la mot khỏi ma trận chéo có dạng
A,
trong đó Ä e R
A,
- Dinh ly 2.1 kéo theo neu 4, ,A, la nhimg gia tr riéng thye phan biét cla f va E, là không gian riêng liên kết với giá trị riêng A, thi E= £,® @£, trong dé
E,,E, trực giao voi i /
2.2 Ánh xạ tuyến tính tự liên hợp lệch
Định lý 2.2
Cho không gian Euclidean n chiều E, với mọi ánh xạ tuyến tính tự liên hợp lệch f: E—+ E, có một cơ sở trực chuẩn (ẽ,, £,), sao cho ma trận của f trên cơ sở này
là một khói ma trận chéo có dạng
A,
A,
A,
sao cho mỗi khối 4 hoặc là 0 hoặc là một ma trận vuông cấp hai có đạng
A, -(° $} trong d6 w eR, voi sw >O0 Dat bist, gid tri méng cua fla
phan ao thuan tuy cé dang ip, hoặc là 0
- Chú ý: Nếu f là ánh xạ tự liên hợp lệch thì 7 là ánh xạ tự liên hợp (được kỷ
hiệu là <-,- >.) Theo bỏ dé 2.8 ta co anh xa if c6 gia tri riêng thực, điều này
kéo theo giá trị riêng của /_ là ảo thuần túy hay bằng 0
Trang 15
Nhém Lie va Dai sé Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vi
2.3 Ánh xạ tuyến tính trực giao Định lý 2.3
Cho không gian Euclidean n chiêu E, với mọi ánh xạ tuyến tỉnh trực giao
f: E—+ E, có một cơ sở trực chuẩn (¿, ¿, }, sao cho ma trận của f được viết trên cơ sở này là một khỏi ma trận chéo có dang +4 A, sao cho mỗi khối 4 hoặc là I,-l hoặc là một ma trận hai chiều có đạng d3 cos? -sinØ _|sin9 cosg j' Đặt biệt, giá trị riêng của / có dạng cosØở tisin@ , voi 0<@ <2, hoac la 1, hoac la -1
Nếu f la tryc giao va det(f) = +1, thi s6 lan cé mat cua -1 phai là chin, va ching
có thể được sắp cặp để tạo thành khối ma trận cắp hai
3 Äa trận chuẩn tắc, ma trận đối xứng, ma trận phan doi xứng, ma trận trực giao, ma trận Hermitian, ma trận Hermitian lệch, và ma trận đơn vị
3.1 Ma trận chuẩn tắc, ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng,
ma trận trực giao
3.1.1 Định nghĩa
Cho một ma trận thực A cấp mx», ma trận chuyên vị 4 của A là ma trận cấp nxm, A4” =(a”,,) xác định sao cho ø”,,=a,,, với mọi i, j, l<¡<m,l< /<n
Một ma trận thực A cấp nxn la:
Trang 16
e Chuan tic neu 447 = 4Á 4 © Déiximg néu 4! =A © Phan déi ximg néu 4! =-A © Trực giao néu 44 = 4 4=,
3.1.2 Nhân xét
- Khi E là một không gian Euclidean vả (ẻ, ẻ,) là cơ sở trực chuân trên E, nếu
một ảnh xạ tuyến tính f: E-> E có ma trận A được viết trên cơ sở (#, ể,) thì
ánh xạ liên hợp của f lá f* có ma trận là A”
- Một ánh xạ tuyến tính chuẩn tắc có một ma trận chuẩn tắc, một ánh xạ tuyến tinh tự liên hợp có một ma trận đối xứng, một ánh xạ tuyến tính tự liên hợp lệch có
một ma trận phản đối xứng, và một ánh xạ tuyến tính trực giao có một ma trận trực giao
- Nếu E và F là những khơng gian Euclidean, (đ, ú, ) là một cơ sở trực chuẩn của E, (7, w„) là một cơ sở trực chuẩn của F, nếu một ánh xạ tuyến tính f : E—›
F có ma trận A được viết trên cơ sở (ứ, ú ) và (5, ÿ„), thì ánh xạ tự liên hợp
của f là f* có ma trận A’ duoc viết trên cơ sở (H, ứ,) và (ð, 9,)
- Hơn nữa, nếu (ứ, ứ, ) là cơ sở trực chuẩn khác trên E vả P là ma trận cơ sở
thay đổi mà cột của ma trận nảy là thành phần của vectơ ø, được viết trên cơ sở (é,, ,é,), thì P là trực giao, và với ánh xạ tuyến tỉnh f bất kỳ f: E-> E, nếu A là
ma trận của f được viết trên cơ sở (ể, £,), và B là ma trận của f được viết trên cơ
Sở (ứ,, ú,), thì 8= P' AP
Định lý 1.5.1 và 2.1-2.3 có thê được trình bày như sau
3.1.3 Định lý
Với mỗi ma trận chuẩn tắc Á có một ma trận trực giao P và một khối ma trận
chéo D sao cho A= PDP’ trong dé D có đạng
Trang 17
Nhóm Lie và Dai sé Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vii dD, D= a D, sao cho mỗi khỏi Ø hoặc là ma trận cấp một hoặc là ma trận cấp hai dạng A =H, 7 ‘ D= A trong đó 4, <lR với / >0 M 3.1.4 Định lý
Với mỗi ma trận đổi xứng Á có một ma trận trực giao P và một ma trận trực
giao D sao cho 4= PDP' trong đó D có dạng 4, trong đó 4 <R A, 3.1.5 Dinh ly
Với mỗi ma trận phán đối xửng A, có một ma trận trực giao P và một khối ma
trận chéo D sao cho 4= PDP” trong đỏ D có dạng
D,
D= a
D,
sao cho mỗi khối ? hoặc là 0 hhoặc là ma trận cdp hai dang D -( ụ Hy
trong dé 4 ER voi „ >0 Đặc biệt, giá trị riêng của A là giá trị ảo thuần túy dạng
¡¿¡,, hoặc là 0
3.1.6 Định lý
Với mỗi ma trận trực giao A, có một ma trận trực giao P và một khôi ma trận
chéo D sao cho 4= ®DP”, trong đó D có dạng
Trang 18
sao cho mỗi khối Ø, hoặc là 1,~I hoặc là một ma trận cấp hai có đạng Dd cos@ -sin@ “la cos Ø Đặt biệt, giá trị riêng của À có dạng cosØ +¡sinØ, với 0 <9 < x, hoặc là 1, hoặc lả - 3.2 Ma trận Hermitian ma trận Hermitian lệch và ma trận đơn vị 3.2.1 Định nghĩa
Cho một ma trận phức A cấp +», ma trận chuyên vị 4” của A là ma trận cấp nxm, A” =(a”,.) xác định sao cho a',,=a,,, với mọi i,J, l<¿< m,l< j<n
Đối hợp 4 của A la ma tran cip mxn, A=(b,,), xác dinh sao cho 4, =@,,, voi
mọi !,J, l<¿<m,Ì< j<n
Cho một ma trận phức A cấp mxø, liên hợp A* của A là ma trận xác định sao
cho 4 =(4')=(4Ÿ
Một ma trận phức A cấp nxø là:
Ma trận chuẩn tắc nếu AA*=A*A
Ma trận Hermitian nếu A*=A
° Ma tran Hermitian léch néu A*=-A Ma trận đơn vị nếu AA*=A*A=/,
Khi E là một không gian Hermitian và (ẽ, ế,) là cơ sở trực chuẩn trên E, nếu
một ánh xạ tuyến tính f: E-> E có ma trận A được viết trên cơ sở (ẽ, ẽ,) thì
anh xạ liên hợp của f là f* có ma trận là A*
Trang 19
Nhóm Lie và Đại số Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vũ
3.2.2 Nhan xét
- Một ảnh xạ tuyến tính chuẩn tắc có một ma trận chuẩn tắc, một ánh xạ tuyến
tỉnh tự liên hợp có một ma trận Hermitian, một ảnh xa tuyến tính tự liền hợp lệch
có một ma trận Hermitian lệch, và một ảnh xạ tuyến tỉnh đơn vị có một ma trận đơn vị
- Nếu E và F là những không gian Hermitian, (ứ, ứ_) là một cơ sở trực chuẩn
cua E, (ý, v,} là một cơ sơ trực chuẩn của E, nêu một ánh xạ tuyến tính
f:E-+> F có ma trận A được viết trên cơ sở (ứ,, ư,) và (, v„), thì ánh xạ tự
liên hợp của f là f* cỏ ma trận 4` được viết trên cơ sở (E, ữ,) và (ð, , }
- Hơn nữa, nếu (ứ, ¿,_)là cơ sở trực chuân khác trên E và P là ma trận cơ sở thay đổi mà cột của ma trận này là thành phần của vectơ ø, được viết trên cơ sở (é, 8,), thi P la don vi, và với ánh xạ tuyến tính f bắt kỳ f: E-» E, nếu A là ma
trận của f được viết trên cơ sở (é,, €,), va B la ma trận của f được viết trên cơ sở
(ứ, ứ,), thì 8 = PAP
3.2.3 Định lý
Với mỗi ma trận chuẩn tắc phức A, có một ma trận đơn vị Ui và một ma trận
chéo D sao cho A=UDU* Hơn nữa, nếu A là Hermitian, thì D là một ma trận thực,
néu A la Hermitian lệch thì những phần tử trên D là ảo thuần túy hoặc không, và nếu A là đơn vị thì những phần tử trên D là trị tuyệt đối của 1
4 Sự khai triển giá trj don (SDV), Dạng cực
4.1 Giới thiệu
** Trong phần này, giả sử ta đang đẻ cập đến một không gian Euclidean thực E Cho ánh xạ f: E-> E là một ánh xạ tuyến tính bất kỳ Thông thường, khó có thể chéo hóa được f Tuy nhiên, chú ý rằng /” › ƒ là ánh xạ tự liên hợp, vì
Trang 20<(f ofa), ¥ >=< fC), [WH ) >=< a, fo f(¥) >
Tương tự £s /” cũng là tự liên hợp Đây là điều rất quan trọng vì điều này kéo
theo f'o f va £s /” có thê được chéo hóa và chúng có giá trị riêng thực, tất cả
những giá trị riêng này đều z0 Thật vậy nếu # là vectơ riêng của /`sƒ với giá
trị riêng 3, thi
<(f’ ef \ii)a >=< f(a), f(a) >
<(ƒ”s fMữ).ữ >=  <ứ.H >
và
Và do đó â < ứ,ứ >=< f(/}), (0) >, kéo theo 2 >0, bởi vì <—,— > xác định đương
Ta chứng minh tương tự cho £› /ˆ Do đó, những giá trị riêng của /”2 ƒ có đạng “` ” hoặc 0, trong đó ø >0 Tương tự cho fof’
Chú y': Cho hai ánh xạ tuyên tính bắt kỳ f: E-> F và g : F-> E, trong đó dim(E) = n, đim(F) = m, có thê chứng minh được rằng
(—Ã)” det(g s ƒ - Äl,) =(~4)” det(ƒ s g = Ä1„)
do d6 ge f va /ƒsg cũng luôn luôn có cùng những giá trị riêng khác không ** Căn bậc hai „ >0 của những giá trị riêng dương của ƒ” s ƒ(và ƒ£s /”) được
gọi là gid trị đơn của f Một ánh xạ tuyến tính tự liên hợp f: E-» E, ma gia tr
riêng của nó >0 được gọi là dương, và nếu f cũng là khả nghịch thì f được gọi là xác định dương Mọi giá trị riêng là hoàn toàn đương Ta vừa chứng mình / s ƒ
va /s /ˆ là những ánh xạ tuyến tính tự liên hợp đương
** Diều tuyệt vời vẻ sự khai triển giá trị đơn lả tồn tại hai cơ sở trực chuẩn (ử, ứ, ),(5, ,) sao cho trên cơ sở này ma trận của f là một ma trận chéo gồm
những giá trị riêng của Í, hoặc 0
Đầu tiên, ta để cặp đến mỗi quan hệ giữa hạt nhân và ánh của f, f*, /ˆs /, va £=#ˆ Nhắc lại nêu f: E—» F là một ánh xạ tuyến tinh, thi
Imf = f(E) va rankf = dim(Im f)
Trang 21
Nhóm Lie và Đại sé Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vũ
dim (Ker f) + dim (Im f) = dim (E),
dim (W) + dim (W° ) = dim (E), vor W la khéng gian con cua E
4.2 Bồ đề
Cho hai khéng gian Euclidean bat ky E va F, trong đó chiều của E là n, chiều của
F là m, với mỗi ánh xạ tuyến tính f bắt kỷ f: E—>› E, ta sẽ có Ker £ = Ker ( /ˆ°- /)
Ker f* = Ker( / - ƒ” },
Ker f= (Im /ˆ`1!', Ker f* = (Im /)ˆ ,
dim (Im f) = dim (Im f*),
dim ( Ker f) = dim ( Ker f*),
va f, f, fof, va /ƒ- /` có cùng hạng
4.3 Bồ đề
Cho một không gian Euclidean E n chiêu, với bất kỳ ánh xạ tuyến tính tự liên hợp duong f : E> E, thì có duy nhất một ánh xạ tuyến tính tự liên hợp đương h :
E-> Esao cho £ = =h+sh
Hơn nữa, Ker f= Ker h, va néu y,, ,4, là những giá trị riêng phân biệt của h va E, là các không gian riêng liên kết với ø„, thì ø”, z„` là những giá trị riêng phân biệt của f và £, là các không gian riêng liên kết với ,}
4.4 Định lý
Cho không gian Euclidean E n chiéu, voi mdi anh xa tuyén tinh f : E> E, cd
hai ánh xạ tuyến tính tự liên hợp đương A, : E> E va ñ, : E-> E và một ánh xạ
tuyến tính trực giao g : E-> E sao cho ƒ=gsh =h,sg
Hơn nữa, nếu hạng cúa f lả r, thi anh xa », và h, có cùng những giá trị riêng
dương „ /,., mà nó là giá trị riêng đơn của Í, tức là căn bậc hai dương của
Trang 22
những giả trị riéng khac khong cua ca f'e f, va feof", Cuối cùng g, 6, va A, là duy nhất nêu f là khá nghịch, và 4, = #, néu f là chuẩn tắc
Nhận xét: Về đạng ma trận thì định lý 4.4 có thẻ được trình bày như sau Với mỗi
ma trận thực Á cap nxw, CÓ một ma trận trực giao R và một ma trận doi ximg duong S sao cho A=RS
Hơn nữa, R vả S la duy nhat néu A 1a ma tran kha nghich dao Mot cap (R,S) sao cho A=RS thi duge goi la mot khai trién dạng cực của A
1
Vidu: A= |
1
vừa lả trực giao vừa là đối xứng và A=RS với R=A và S=l, suy ra những giá trị
riêng của của A la âm
Chú ý: Nếu E là không gian Hermitian, định lý 4.4 cũng đúng cho trường hợp
này, nhưng ánh xạ tuyến tỉnh trực giao g trở thành ánh xạ đơn vị Theo ngôn ngữ ma trận thi sự khai triển đạng cực trình bày là: với mỗi ma trận phức A cấp nxn,
thi có một ma trận đơn vị LÍ và một ma trân Hermitian duong H sao cho A=UH
4.5 Định lý
Cho không gian Euclidean E n chiều, với mỗi ánh xạ tuyến tính f : E-> E, thi
có hai cơ sở trực chuẩn (, ứ_) và (ý,, v, ) sao cho nếu r là hạng của f thi ma trận của f dưới hai cơ sở này là một ma trận chéo có dạng
H;
Mt,
trong đó w,, ,4, la những giả trị don cua cua f, tic 1a cin bac hai duong cua những giá trị riêng khác không cua fo f, fof’, va ,,= = „„ =0
Trang 23
Nhóm Lie và Đại số Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vũ
Hơn nữa, (ữ,, , } là những vectơ riêng của ƒ”`s £, (f, v,) là những vectơ riêng của /s /”,và /{)= øv khi l<¡<n
Định lý 4.5 có thể được trrình bảy theo ngôn ngữ ma trận (thực) như sau
4.6 Dinh ly
Với mỗi ma tran thuc A cap nxn, thi cé hai ma tran truc giao U và V và một
khéi ma tran chéo D sao cho 4=VDU' trong đó D có dạng
My
D=|, ^^
H,
trong do y,, ,4, la những giá trị đơn của Í, tức là căn bậc hai dương của những
giả trị riêng khác không của 4Í 4 và 44”, và ø,„= =, =0 Cột của U là
những vectơ riêng của f' 4, cột của V là những vectơ riêng cla AA’
Hơn nữa, nếu det(4) >0, ta có thẻ chọn U và V sao cho det(U)=det(V)=+1, tức
là U và V là những ma trận xoay
** Bộ ba (U,D,V) sao cho 4= VDUÍ được gọi là sự khai triển gid tri don cia A
** Sự khai triển SVD cũng áp dụng cho những ma trận phức Trong trường hợp
nảy, với mỗi ma trận phức A cấp rxø thì có hai ma trận đơn vị U và V và một ma
trận chéo D sao cho
A=VDU'
trong đó D là một ma trận chéo bao gồm những phân tử thực /, /„, trong đó “, ,/ là những giá trị đơn của f, tức là căn bậc hai dương của những giá trị
riêng khác không của 44 và 44”, và ø,,,= = =0
** Dễ dàng đi đến đạng cực từ sự khai triển SDV, và ngược lại
Thật vậy, cho một khai triển dạng cực 4= #&,$ trong đó ñ, là trực giao và S đối
xứng đương, có một ma trận trực giao #, và một ma trận đối xứng đương D sao
Trang 24
cho S=R,DR,', va do d6A=RR,DR! =VDU' -, rong db V=R,R, va U=R, la
những ma trận trực giao
Ngược lại cho một khai triên SDV A=VDU', dat R=VU' va S=UDU’ RS
ràng là R là ma trận trực giao va S la ma tran đổi xửng đương, vả
RS =VU'UDU' =VDU' =A
Chủ ý ta có thé yéu cau det (R) = +1 khi det A) 20
** Định lý 4.6 có thẻ được mở rộng cho những ma trận hình chữ nhật cấp men
Ta nói rằng một ánh xạ tuyến tỉnh f: E-> F là trực giao yếu nêu
s rank p = min (m,n) (trong do n=dimE, m=dimF) ° fof =id trén (Kerf)’
Tat nhién f*o f =0 trên Ker f Theo ngôn ngữ ma trận, một ma trận thực A cấp mxn là trực giao yêu nêu cột thứ p = min (m,n) của nó là trực giao, những nơi còn lại có cột không Tức là A A=I, neu m>n, 0) ome 0 am ae va +4*| I, vee | nu nm 4.7 Dinh ly
Cho hai không gian Euclidean bất kỳ E và E, trong đó E có n chiều và F cỏ m
chiều, với mỗi ánh xạ tuyến tính f: E -> F thì sẽ có hai ánh xạ tuyến tỉnh tự liên
hợp dương ⁄,: £ -» E và h, :£ —» £ và một ánh xạ tuyến tính trực giao yếu
g: E + Fsaocho f=geh =h,og
Hơn nữa, nếu f có hạng là r, thi ánh xạ A, va A, c6 cing gid tr riêng dương
A,, ,,, mà nó là giá trị riêng đơn của Í, tức là căn bậc hai dương của những giá
tri riéng khac khéng cilia ca fo f, va fof’ Cuối cùng g, ⁄ và ñ, là duy nhất nếu f là khả nghịch, vả 4, = fh, nếu f là chuẩn tắc
Trang 25Nhom Lie va Dai sé Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vii
** Vẻ dạng ma trận thì định lý 4 7 có thẻ được trình bảy như sau
Với mỗi ma trận thực A cấp ø»xø có một ma trận trực giao yếu R cấp mxn và
một ma trận đối xứng dương S cấp øxø sao cho A=RS Nếu n>m, cot thir n-m
cuỗi cùng của R là vectơ không Một cặp (R,S) sao cho A=RS thì được gọi là một
khai trién dang cuc cua A
Chu > Néu E là không gian Hermitian, định lý 4.7 cũng đúng cho trường hợp
nảy, nhưng ảnh xạ tuyến tỉnh trực giao yếu g sé trở thành ánh xạ đơn vị yêu Theo
ngôn ngữ ma trận thì khai triên đạng cực trinh bảy rằng với mỗi ma trận phức A
cấp mxn, cO mét ma tran don vi yeu U cấp mxn va mot ma tran dương Hermitian H cap nxn sao cho A=UH
4.8 Dinh ly
Cho hai không gian Euclidean bất kỳ E và F,trong đó E có n chiều và F có m chiều, với mỗi ánh xạ tuyến tính f: E-> E, thì có hai cơ sở trực chuẩn (#, ,ử,) và
(ý, 0, ) sao cho nếu r là hạng của f thì ma trận của f dưới hai cơ sở này là một ma trận D cấp mxø có dạng qn ae) Ma s 3 0 -‹-‹ 0 t 8 A, 0 0 Ss h Dô 5 bin + gđ ~ - M„ 0< 0 ee 0 ' ose 0 |
trong đó ¿,, ,„ là những giá trị đơn của của Í, và /,,„, = = „ =0, trong đỏ p = min (m,n) Hơn nữa, (ứ, ú,) là những vectơ riêng của /”s /, (ÿ, v, ) là những vectơ riêng của fof’, và /(8,)= ø# khi !<¡< p=min (m,n)
Lưu ý: ta vẫn sẽ gọi D là ma trận chéo Định lý 4.8 có thể được trình bảy theo
Trang 264.9 Định lý
Với mỗi ma trận thực A cap m*n, cé hai ma tran trye giao U (nxn) va V (mxm) va mét ma tran chéo D cap mxn sao cho A=VDU" , trong dé D c6 dang f “4 2 fy 0 , 0 5 OM Hà 0 0 D= hay 2= 0 ¡ 5 : e : uw, QO «+ O 0 : oe Of
trong đó /, /„ lả những giá trị riêng đơn, tức là căn bậc hai dương khác không
của những giá trị riêng của 4'4 và 44”, và „„= =/, =0, trong đó p =
min(m.n) Cột của U là những vectơ riêng của 4 4, cột của V là những vectơ riêng của AA’
Bộ ba (U,D,V) sao cho 4= VU” được gọi là sự khai trién gia tri don (SDV) cia
A
Hệ quả: Cho mét ma tran A cap mxn
Khi m2n thi ton tai mt ma tran tryc giao yéu V cdp mxn, mot ma tran tryc
giao U cấp nxn, va một ma trận chéo cấp nxn vGi cdc phan tir chéo khéng âm
sao cho A=VDU'
Khi n >m thì tổn tại một ma trận V cấp mxm, một ma trận tryuc giao yeu U’
cấp mxø (với U cũng là ma trận trực giao yếu), và một ma trận chéo D cấp mxm
với những phần tử không âm sao cho 4= VOU7
Trong ca hai trường hợp đều có Ví 4U = D
Trang 27
Nhóm Lie và Đại số Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vũ
Chuong 2
ANH XA MU
Trong phần này, chúng ta giới thiệu ánh xạ mũ trên ma trận và chứng minh một số các tỉnh chất của nó Ảnh xạ mũ là một công cụ rất có giá trị cho phép ta
tuyển tính hỏa những tính chất đại sỏ đã biết của ma trận Nó cũng giữ một vai trò
rat quan trọng trong định lý vẻ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hang
1 Anh xa ma
1.1 Dinh nghia
Cho một ma trận A cấp øx» (thực hoặc phức) , 4=(a, ,), hảm số mũ e“ của A là tông của chuỗi pet p! : pao P! dat 4° =/,, Bo dé sau sé chimg té 1a chudi trén thật sự hội tụ tuyệt đối 1.2 Bố đề 1.2.1 Bề đề Cho 4=(a,) là một ma trận cấp øxn (thực hoặc phức), va đặt „ = max || 4, |,1<í,/<n| Nếu 4? =(a,) thì |a,” << (nø)°, với mọi i, J, l<¡, /<n 1.2.2 Hệ quá , r Chuỗi 5ˆ“: hội tụ tuyệt đối, và ma trận e* = 5'^— là một ma trận xác định "1Á P20 P- tốt Chứng mình
Ta dùng phương pháp quy nạp đẻ chứng minh
- Với p=0, thì 4° =/„ và (x¿)" =1, bố để hiển nhiên đúng
Trang 28
- Gia su ja," (ng), Với mọi 1, J, 1<!,/<» Thì ta có
tư |E| 3 dụ "a, |s 3 la, lla, z3 la," < na(nu)P =(ng)°
heal dul del với mọi I, J, l<¡,/<n „ a, - Với mỗi cặp (i, j) sao cho 1 si, ) Sn vi (a„ |<(m¿)“ nên chuỗi >, peo P: bị chặn bởi chuỗi hội tụ e”” = oe và do đó , nó là một chuỗi hội tụ tuyệt peo =P: déi.Diéu nay chimg té ring e = = xác định tốt sro ° 1.3 Ví dụ 0 =
Trang 29Nhóm Lie và Đại số Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vi cosđở -sin# Suy ra e' = sin@ cost? Do d6, e* la mét ma tran xoay!
Téng quat: Néu A là một ma trận phản đối xứng, thì e“ là một ma trận trực
giao có định thức bing +1, tire 14 mot ma trận xoay Hơn nữa, mỗi một ma tran
xoay có đạng nảy, thì ánh xạ mũ đi từ tập hợp những ma trận phán đối xửng đến tập hợp những ma trận xoay là toan anh, Dé chimg minh diéu nay, ta cần thiết lập
một số những tính chất của ánh xạ mũ Nhưng trước hết, ta hãy làm ví dụ khác đẻ
chứng tỏ rằng ánh xạ mũ thì không luôn luôn toản ánh
VD2: Ta hãy tìm hàm mũ của một ma trận thực cấp 2x2 với vết không có dạng Ga
A=
6 =#đ
Ta cần tìm một công thức quy nạp biểu thị cho lũy thừa 4" Chú ý
A® =(a” + be)1, = - det(.4)1,
Nếu a” +bhe =0 thì tacó e“=!,+ 4
Nếu a” +be<0, đặt ø >0 sao cho œ' = -(a” +be) Khi đó 4? =—ø/, Ta được
ao wo w* ø` oo ø°
Hate wa? a pS Oo as, oa 4F?) st lot? 7!
Trang 30——— và sinhœ= ———“—, ta nhận thấy đây là chuỗi lũy thừa - đế cty € nhac lai coshw = sinh @ doi vai cosha va sinha, va do dé e* =coshwl, + A @ Ta thay trong tất cả các trudng hop thi det(e*) =1
Điều nảy chứng tỏ ánh xạ mũ này là một hàm đi từ tập hợp tắt cả những ma trận có cấp 2x2 với vết không đến tập hợp những ma trận cấp 2x2 với định thức bằng
1 Ham nay là khơng tồn ánh Thật vậy, w(e‘)=2cosm khi a’ +hce<0,
ir(e")=2coshw khi a” +bc >0, và r(e?)=2 khi a +hc =0
Nhận xét: Cho bất kì ma trận A với vét không thì ¿r(e*) > -2, và bất kỳ ma trận B nảo mà định thức bằng 1 và vết của nó nhỏ hơn -2 thì không là hàm mũ e“ của bất kỷ ma trận A nào với vét không 0 Vi du: cho n-[§ 4] trong đó a < 0 và a # I1, thì B không là hàm mũ của bắt kỳ a ma tran A nào với vết không 1.4 Bồ đề
Trang 31Nhom Lie va Dai sé Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vi fay, a, q,, a, I a,, Ủ @, By Gay đụ, j: Ú: 4 ¿ đc ay, 9 © O a Mae ey o O 0 0 ò2) tức là a =0 khi] <1 l<¡,7/<n 1.5 Bồ đề 1.5.1 BO dé
Cho một ma trận phức A cap nn bat ky, thì có một ma trận nghịch đảo P và một ma trận tam giac trén T sao cho
A= PTP" 1.5.2 Nhan xét
- Nếu E là không gian Hermitian, cho m6t ma tran phitc A cap nxn bat ky cé
một ma tran don vj U và một ma trận tam giác trên T sao cho A=U/TU” Ta còn
gọi đây là 8ổ để Sehur Sử dụng kết quả này ta có thể suy ra nếu A là ma trận
Hermitian thi có một ma trận đơn vị L và một ma trận chéo thực D sao cho
A=UDU'"
- Nếu 4= PTP"' trong đó T là ma trận tam giác trên, khi đó những phần tử chéo trên T là những giá trị riêng 2 2, của A Thật vậy, A và T có cùng đa thức đặt trưng Vi nêu A và B là hai ma tran bat ky sao cho A = PBP™, thi
det(A— Al) =det(PBP™' -APIP") = det(P(B-Al)P")
= det(P) det(B - AI) det(P™)
= det( P)det(B -—Al)det( Py"
= det(B-2/)
Trang 32
Hơn nữa, ta đã biết rằng định thức của một ma trận dưới đạng A, ^Ä tị; “yy a, i a, Ì 0 A, “À ay, đà ¡ le 0 0 AvnmA 2s đụ T 0 0 O me AyrA Bre | 0 0 Oo - OG A=A, là (2, - Ä) (4, =4) và do đó giá trị riêng của 4= 7P' là những phần tử chéo của T 1.6 Bồ đề 1.6.1 Bo dé
Cho bắt kỳ ma trận phức A cấp øðxø, nếu Ä, 4, là các giá trị riêng của A thì e*, e* là các giá trị riêng của e“ Hơn nữa, nếu ở là một vectơ riêng của A ứng
với giá trị riêng 4, thì ¿ cũng là vectơ riêng của e* ứng với giá trị riêng e*
Chứng minh
- Theo bé dé 1.5 thì có một ma trận nghịch đảo P và một ma trận chéo trên T
sao cho 4= PTP'"
- Theo bé dé 1.4 thì e””” = pe'p'
Tuy nhiên, chúng ta đã chứng minh rằng A và T có cùng giá trị riêng, những
giá trị riêng này là những phản tử chéo 2 2, củaT, et=e””” = pe'Pˆ*' và e' có
cùng giá trị riêng, những giá trị riêng này là phần tử chéo của e” Rõ ràng những
phần tử chéo của e” là e*, e* Bây giờ, nêu z là một vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng 4, thì một phép quy nạp đơn giản chứng tỏ rằng z là một vectơ riêng
của 4” ứng với giá trị riêng 4", tử đó kéo theo ¿ là một vectơ riêng của e' ứng với giả trị riêng e'
Trang 33
Nhóm Lie và Đại số Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vũ
1.6.2 Hé qua
det(e °) = e”''
Chứng mình
- tr(A) là vết của A, tức là tông a,, + +a, của các phần tử chéo của ma trận A cũng bảng tổng các vectơ riêng của A, nêu 2 4, lả các giá trị riêng của A thi
theo bỏ để 6.4, e*, e* là các giá trị riêng của e“, và do đó,
đet(e“) = c^ c“* =e** 9+ „ e.9
- Điều này chứng tỏ rằng e“ luôn luôn là một ma trận nghịch đảo, vì e' không bao giờ bằng không với mọi z e C
1.7 Bồ đề
Cho bất kỳ hai ma trận phức A, B cấp nxn, néu AB=BA thi e“* =e*“e? Chứng minh
- Vì AB=BA, nên ta có thê khai triển (4+ 8)“ bằng công thức nhị thức:
Trang 34le, len) (nu), (mr gy
ki gt =
Bey ive pe ea x ` A’ B oe vị
nên gia trị tuyệt đổi cua môi phân từ trong > — được giới hạn bởi mae nỤ
2 4
N(N rye , va tien tn Okhi N+ Suyra e*" =e'e"
iv
Nhận xét: vì A và -A giao hóan nên e'e ‘=e * =e" =] điều này chứng tỏ rằng nghịch đáo cua eˆ là e °
2 Những nhóm Lie GL(n,R), SL(n, R), O(n) va SO(n), đại số Lie
gl(n, R), sl(n, R), o(n) va so(n), va anh xạ mũ
Đầu tiên chúng ta nhắc lại một só định nghĩa cơ ban Tập hợp những ma trận
thực nghịch đảo cấp øxø tạo thành một nhóm dưới phép toán nhân được kí hiệu là GL(n.R) Tập con của GL(n,R ) bao gồm những ma trận mà định thức của nó bằng +1, là nhóm con của GL(n, R), kí hiệu là SLín, R ) Tập hợp những ma trận thực trực giao cấp mxø tạo thành một nhỏm đưới phép nhân được kỉ hiệu là O(n) Tap con cia O(n) bao gdm những ma trận mà định thức của nó bằng +1, là nhóm
con của O(n), kí hiệu là SO(n) Ta cũng gọi những ma trận trong SO(n) 1a ma tran xoay Tập hợp những ma trận thực cấp nxø với vết không tạo thành một khơng
gian vectơ dưới phép tốn cộng, vả tương tự cho tập hợp những ma trận phản đối
xứng
2.1 Định nghĩa
2.1.1 Định nghĩa
+ Nhóm GL(n, R ) được gọi là nhóm tuyến tổng quát, nhóm con của nó SLí(n, R ) được gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt
Trang 35
Nhóm Lie và Dai sé Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Va
+ Nhém O(n) của những ma trận trực giao được gọi là nhóm trực giao, nhóm con SO(n) của nó được gọi là nhóm nhóm trực giao đặc biệt (hay nhóm ma tran xoay), + Khong gian vecto cua nhitng ma tran thực cấp nxn vai vét khong duge ki hiéu lả sl(n R ), + Không gian vectơ của những ma trận phản đối xứng cấp nxn duge ki hiéu 1a so(n) 2.1.2 Nhận xét
- Nhóm GL(n.R ), SL(n 8 ), O(n) và SO(n) là những nhóm topo nghĩa là chúng
là không gian topo (xem như không gian con của R“ ), mà có phép nhân và phép
nghịch đảo liên tục (ở đây là kha vi) va là đa tạp thực khả vị, Những nhóm này
được gọi là nhóm Lie Không gian vectơ thực sÌ(n, R ), và so(n) được gọi là đại số Lie Tuy nhiên, ta chưa thể định nghĩa được cấu trúc đại số trên sÌ(n,R ) và so(n)
Cấu trúc đại số này được đưa ra bởi một khái niệm gọi là Móc Lie, được định
nghĩa là [A,B]= AB-BA
- Đại số Lie được liên kết với nhóm Lie Điều này nói lên đại số Lie của một nhóm
Lie là không gian tiếp xúc của nó tại đồng nhất thức, tức là không gian của tắt cả các vectơ tiếp xúc tại đồng nhất thức (trong trường hợp này là /, ) Dai s6 Lie đạt
được sự tuyến tính hóa của Nhóm Lie Ánh xạ mũ lả một ánh xạ đi từ đại sé Lie
đến nhóm Lie, ví dụ
exp: so(n) —» SO(n)
exp: si(n,R) —» SL(n,R)
- Ảnh xạ mũ thường cho phép tham số hóa những phần tử của nhóm Lie bởi
những đối tượng đơn giản,là những phần tứ cùa đại số Lie Ta sẽ xem gl((n, R ) là tập hợp tắt cả ma trận thực cấp nx», va o(n) = so(n)
- Những tính chất của ảnh xạ mũ đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên
cửu nhóm Lie, Vi du:
Trang 36
+ Anh xạ exp: g/(n,R) =» GL\n.R)\ là xác định tốt nhưng vỉ mỗi dang ma tran cua
dạng e” có định thức đương nén exp không 1a toan ánh
+ Tương tự vì det(e')=e"'" nén anh xa exp: si(n,R) — SL(n,R) được xúc định tốt Tuy nhiên ta đã chứng mình trong phản ví dụ I.3 là ánh xạ này cũng khơng là tồn ảnh
+ Anh xa exp:o(n)— O(n) duge xác định tốt nhưng không là toản ảnh vì cỏ
những ma trận trên O(n}) mả định thức của nó bằng - Ì 2.2 Định lí Anh xạ mũ exp: sø(n) SO(n) duge xac dinh tốt và là toàn ảnh Chứng minh - Trước hết ta cần chứng minh rằng nếu A là một ma trận phản đối xứng thì eÝ là một ma trận xoay
+ Đầu tiên ta kiểm tra (e*)” =e“
Khi đó, vì 4' =-A4,tacó (e*)’ =e* =e" vì vậy (c“)Ởe*=e “e“*=e ““ =e* =[,
tương tự, e“(e*)Ï =7, chứng tỏ rằng e“ là trực giao
+ Ta lại có det(e“) = e"“°, vì A là ma trận phản đối xứng thực, nên những
phần tử chéo của nó bằng không, tức là tr(A)=0, và vì vay det(e*) = +1
Suy ra e* là một ma trận xoay nên exp được xác định tốt
- Sử dụng định lý 3.1.5 vả định ly 3.1.6 ta ching minh exp 1a toan ánh
** Định lý 3.1.5 nói rằng với mỗi ma trận phản đối xứng A sẽ có một ma trận
trực giao P sao cho 4= PDP”, trong đó D là khối ma trận chéo có đạng
Trang 37
Nhóm Lie và Dai sé Lie GVHD: PGS-TS.Lê Anh Vũ sao cho mỗi khối Ø2 hoặc bang Ú hoặc là một ma trận vuông cấp hai có đạng 0 -ÐØ D = ' | rong đó 9 <Ñ với Ø9 >0 a 0
** Dinh ly 3.1.6 noi rang voi mỏi ma trận trực giao R sẽ có một ma trận trực
giao P sao cho # « PEP' trong đó E là khối ma trận chéo có đạng
sao cho mỗi khối £, hoặc la I.-! hoặc là một ma trận vuông cấp hai có đạng
g se |
sn@ cos@
Néu R [a ma tran xoay thi sé lan xuat hién cua -! 1a chin, va ching c6 thé duge nhóm lại thành khối ma trận cấp hai ửng với Ø = z Đặt D là một khối ma trận ửng với E theo đó một phần tử l trên E ứng với phần tử 0 trên D) Theo bỏ dé 1.4 et=c??"` = pe°P"', và vì D là một khối ma trận chéo, nên ta có thẻ tính e” bằng cách tính hàm mũ của khối ma trận của nó Nếu Ø =0, ta có £, =e° = +1, và nếu cosở_ —sinđở 0 ~Ø D= sin@ cos? ( * : Bo 9 ya 48 ching mình « ! } chính xác đây là khối E, Do đó, £ =e” Khi đó
et =e" = Pe’ P' = PEP' = PEP" =R
Điều này chứng tỏ sự toản ánh của anh xa mi
2.3 Công thức Rodrigues
Khi n=3 (và A là ma trận phản đối xứng) ta có thể tìm ra một công thức chỉ tiết
của e”“,còn gọi là công thức Rodrigues
Trang 38
Với bắt kỷ một ma trận phản đối xứng thực cấp 3x3 Ú -c h' 41z=| c 06 «al, -h* a Q a ab ac dit P=Va +h +c’ va B=|ab b` be ac he co chúng ta có kết quả sau
Bồ đè (công thức của Rodrigues (840))
Trang 39Nhóm Lie và Dai sé Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vii Công thức trên là công thức đẹp biếu thị một ma trận xoay của vectơ (a,b,c) va của góc @ 3 Ma trận đối xứng, ma trận đổi xứng xác định dương, và ánh xạ mũ
Nhäc lại một ma trận đổi xứng thực được gọi là dương (hoặc nữa xác định
dương) nêu những giá trị riêng của nó >0 và được gọi là xác định đương nếu
những giả trị riêng của nó là dương hoàn toàn Chúng ta ký hiệu không gian vectơ
của những ma trận đối xứng thực cấp nx» là S(n), tập hợp những ma trận đối
xứng dương là SP(n), và tập hợp những ma trận đối xứng xác định dương lả
SPD(n)
3.1 Bố đề
Với mỗi ma trận đối xứng B, thì ma trận e" là một ma trận đối xứng xác định
dương Với mỗi ma trận đối xứng xác định đương A, thì có đuy nhất một ma trận
đối xứng B sao cho 4= e"
Chứng minh
* Chứng minh tổn tại:
Ta đã chứng minh (e")’ =e"
Nếu B là một ma trận đối xứng, vì 8” = #, nên ta có (e") =e" =e"
và e" cũng là ma trận đối xứng Bởi vì những giá trị riéng A,, ,2, cla ma trận đối
xứng B là thực và những giá trị riêng của e" là e*, e*, và vì e° >0 nếu ZeER,
nên e” là ma trận xác định dương
Nếu A là một ma trận đối xứng xác định dương theo định lý 3.1.4 thi có một ma
trận trực giao P sao cho 4 = PDP’ trong đó D là một ma trận chéo có dạng
Trang 40
D= ` „k Ä4>0, bởi vì Á xác định dương Dat log 4, Ke log 4, log A,
hien nhién e' =D, voi log ER, boi vi A >0 Dat B= PLP’ Theo bo de 6.2, tacd e" =e" =e" = Pep = Pe’ P' = PDP’ =A
* Chimg minh duy nhat:
Nếu #, và 8, là đối xứng và 4=e`* =e”“, thì 8,= 8, Vì 8, là đối xứng nên có một cơ sở trực chuẩn (ú, ứ ) của những vectơ riêng của 8,, và đặt ø„ „ là
những giá trị riêng tương ứng Tương tự, có một cơ sở trực chuẩn (ÿ, ÿ,) của
những vectơ riêng của Ø, Đặt ¿ là một giá trị riêng của Ø8., và đặt # =š, là một
vectơ riêng của Ö, liên kết với ø, ta có thể viết
Ý=đi + +d Ú,
Vi ý là một vectơ riêng của #, với giá trị riếng „ và 4= `", theo bé dé 1.6 thi
A(V) =e°V =e" au, + +e° ai,
Mat khac A(¥) = A(œ,ứ, + +œ,ú,)= œ,A(ử,)+ +œ, A(ä }
vi A=e* va B(u,)= 4a, theo dinh li 1.6 ta A(¥) =e* afi, + +e% af, Cho nén, a, =0 néu wen Dit /= i1, = m,í e{\, m}
ta có ¥=) aii, va =/a khi ¡c7 nên
vel
B(v)=B() aii) =) a Bi =V aut =n) ai)= nv
te sel ver ial