Làm đầy không gian không gian sobolev

Trang 1

lrường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Khoa Toán

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

tử đGb

Bộ môn : Toán giải tíc

Trang 2

LUẬN VĂN TET NGHIỆP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu

MỤC LỤC

Lời cảm dn :

Lời giới thiệu : wn

Chương l: Làm đẩy không gian ~ Không gian lebesque L? & không gian Hiibert L* 4

1.1 Định lý làm đầy không gian định chuẩn :

[.2 Một số không gian thường gặp : TỔ

1.3 Không gian Lebeque L? (G), p > l 1.4 Khong gian Hilbert L* (G)

Chương [I : Không gian Sobolev 2) œ œ + 14 II.1 Kết qủa cần thiết :

II.2 Không gian Sobolev WÌ? (G)

11.3 Khéng gian Hillbert H! [a,b]

[I.4 Không gian Sobolev H’ (G) va H’p (G) vi Gc R*

1.5, Không gian HỶ (G) và định lý nhúng tổng quat cia Sobolev lá l4 16 28

Chuong II] : Một vài ví dụ trong không gian Sobolev :

[I.1 Kết qủa cần thiết :

HI.2 Bài toán về “ Điều kiện Dinichlet thuần nhất” trong R' : III.3 Bài toán về “ Điều kiện Neumemn thuân nhất" trong RÌ

32

36

111.4 Bài toán về * Điều kiện Dinichlet thuần nhất” trong RẺ :

Tài liệu tham khảo :

Trang 3

LOI CAM ON

Em trân trọng cảm ơn thầy Lê Hoàn Hóa đã tận tình giảng dạy trong những năm học qua và đã hướng dẫn cho em thực hiện luận văn này

Em chân thành cảm om quý thầy cô và Ban chủ nhiệm khoa toản đã tận tình giúp đZ, hướng dẫn em học tập và tạo điều kiện cho em thực hiện luận văn

Trang 4

LUAN VAN TỐT NGHIÊ? Làm đầy không gian - Không gian Soboleu

——=——

LOI GIGI THIEU

Trong luận văn này , em trình bày về vấn để làm đẩy đủ một số không gian

Tuy không phải tất cả mọi không gian định chuẩn đều đẩy đủ , chẳng hạn không gian

các hàm liên tục mà chuẩn định bởi tách phân , nhưng người ta đã đưa vào một quan hệ

các lớp tương đương thích hợp để làm đây những không gian ấy

Nội dung của luận văn được chia làm ba phần :

- Trong phần 1 : Chúng ta sẽ đưa vào định lý làm đẩy không gian định chuẩn để làm đẩy không gian các hàm liên tục , với chuẩn định bởi tích phân , thành không gian Lebesgue L? hay không gian Hilhert LÌ

- Trong phần 2 : Chúng ta sẽ xét không gian các hàm có đạo hàm cấp l liên tục

, chuẩn được định bởi tích phân Làm đẩy của không gian này là không gian Sobolev W'° trường hợp riêng là không gian Hilbert HỈ

- Trong phan 3 : Đây là phần mà các vấn để bài toán biên trị được nêu rất tổng

quát trong tài liệu tham khảo , nhưng luận văn chỉ để cập đến một vài bài toán biên trị thuần nhất về những hàm trong không gian Sobolev một chiểu hay ba chiểu

Qua qúa trình thực hiện luận văn , em được học thêm cách làm việc và nghiên

cứu một vấn để mới Đặc biệt , khi phát hiện được một vấn để mà trước đây mình

chưa biết , điểu đó cho em một động lực mới để tìm tòi , học hỏi Tuy nhiên , với kiến thức còn hạn hẹp , chắc bản luận văn còn nhiễu thiếu sót , và có thể còn đôi điểu em

chưa hiểu được một cách sâu sắc , kính mong sự tận tình chỉ bảo của thầy cô , cũng như

những ý kiến đóng góp của bạn bè để giúp em có thể theo học mơn tốn nói chung , và ngành giải tích nói riêng

Sinh viên thực hiện

Trang 5

CHƯƠNG! LAM BAY KHÔNG GIAN

KHÔNG GIAN LEBESQUE L” & KHONG GIAN HILBERT L?

1.1 Định lý làm day không gian định chuẩn

1.1.1 Đa tạp tuyến tỉnh

Cho E là không gian vectơ Tập E, ECE „ được gọi là đa tạp tuyến tính nếu: với mọi

x ye E, 2, là các vô hướng, ta có Âx + we E

I1.2 Dinh ly lam đẩy không gian định chuẩn

Moi khôae gian định chuẩn E có thể được xem như một đa tạp tuyến tính trò mật trong không gian Banach £

Két tất cả đây Cauchy {x„} trong E Ta nói hai đẫy (x„}, (x, } là tương đương nhau

nếu lim lka—=n|| = 0, ky higu IA {x,}~1x, }

Quan hé “~" 14 quan hệ tương đương trong tập hợp các dãy Cauchy trong E Với x =

|x,], đặt x = =Ẳ„)x- y} là lớp tương đương của x

Đặt E là tập hợp tất cả các lớp tương đương, Nếu {x.} thuộc lớp x, viết (c„Ìex ta

gọi [x,} là phần tử đại diện cho lớp x

“a

Bước 2: Xây dưng £ là không gian vectơ

a Trên © ta xay dung phép toan cong

Goi day Cauchy [x,}, [y,} lần lượt là phin tir dai diện của x,ye£ Khi đó

r+ ye Ela lớp sao cho day Cauchy {x, +y,}e x+y,

Định nghĩa x+ y độc lập với việc chọn đại diện các lớp x và y Thật vậy, nếu [x,}

Trang 6

LUAN VAN TỐT NGHIEP Làm đầy không gian - Không gian Sobolev

Suy ra: |, +ÿ,—(X,+V, |, <|x, - ||, + I ~y.| —>Ơ,n->® Do đó k ty, }- te + y, } hay t + yÌ cũng là đại diện cho lớp xe y

b Trén # xảy dựng phép nhàn lớp x với v6 hudng A

Gọi (x,} là đại điện của x Khí đó lớp 4 x là lớp nhận dãy Cauchy ( Äx„| làm đại

diện Tương tự, định nghĩa 4 x độc lập với việc chọn đại diện của lớp x

Với hai phép toán trên, E cũng là không gian vecto Phan tit khong trén Z là lớp Ø có

phần tử đại diện là dãy dừng {0} Bước 3: Trang bị cho ¿ một chuẩn:

Cho day Cauchy [x„| trong E đại diện của lớp x e€E.Ta định nghĩa:

Is c° lim|x,|, (I.1,Ù

Giới hạn trên tốn tại vì ([x, là dãy Cauchy trong E, ta có

llx.|-||x„|| < [x„ - x„—>0,m.n =>, suy ra x | là dãy Cauchy trong ®, do dé day

{I< |} hội tụ theo tiều chuẩn Cauchy đối với dãy số

Ngoài ra „ giới hạn này độc lập với cách chọn đại diện của lớp x Thật vậy, nếu {x,] |x, | cùng thuộc x thì Íx, -x,[—>0,n=>œ

Suy ra: lz.|-Ìx.|| <|x - x.|—>0.n—>=œ kết quả là: tim x, | = tim] x,|

Hon nữa, (I.1.1) thoả ba tiên để của chuẩn:

Trang 7

id fey] =timf, +9, stim |, +p 9=timps,|, tiny), =f + E E Vay £ là không gian định chuẩn Xx+ÿ E

ức 4: ding minh £ là không gian đấy đủ

œ> E đóng nhất với mỏt đa tạp tuyến tính trong E

Dong nhat phan te xe E với lớp chứa dãy dừng {x}, tite la x, x, x, ., ky hiệu lớp d6 la x R6 rang lép 2x chita day dimg { Ax }, lép x+y chifa day dimg {x+y} Vay tap tất cả các lớp chứa những đây dừng là đa tạp tuyến tính trong E , do cách đồng nhất trên, đa tạp đó chính là E

B> E trù mắt trong ¿

a E, bao déng cita E, là tập con của Edo sự đóng nhất ở (œ)

b Nếu x là lớp trong E thì x cũng là phấn tử trong £ (hay nói cách khác: với mọi x thuộc E , cho trước số & duong, ton tai day Cauchy {x,}trong KE sao cho Ix, -x]<e) That vay, xét lép x e E, tén tai day Cauchy {x,}

trong E sao cho Íx,}e x Theo tiều chuẩn Cauchy ta có:

Vẽ > 0,3N :Vm,n > N:[x,=x„ <5 (1) trong đó (x,}, (x„) đếu thuộc lớp tương đương x

Theo (a), lop x„ có đại diện là dãy dừng (x„) trong E, ta có: [xj; = im‡x„|, =|x.|, (vì (x„} là dãy dừng) Vậy với n >N, ta có: £ fx, - x; = lim |x„ = x„ | *2 (do (1)) Suy ra ||x, -xỈ: <£

Kết luận: Đa tap tuyến tính E tri mat trong E

y> Elà khỏng gian Banach

Can chi ra rang: Moi day Cauchy x" } trong E ta có:

(i) im oid =0

Trang 8

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu

Neen —=—=-—_ _—

(ii) x là lớp tương đương trong E (hay chỉ ra tồn tại một dãy

Cauchy {x„) trong E là đại diện của x)

That vay, do x" la day Cauchy trong Enén lượng |: - “| tiến vé 0 khi m, & ndanra +, Ký hiệu l ~] —>Ô,/1,m —>» Xo (2) & Theo (B), vì E trù mật trong E nén tồn tai day (x„} trong E sao cho: & $= (3) Truc tién, (x,) la day Cauchy trong E vi: Ix, a x; < I - ‘| +- + + “| — 0,n,m —> œ (do (2),(3)) £ E E

Ma day Cauchy {x,} trong E là day dừng nẻn

Vay E la khong gian Banach

I1.3 Làm đấy không gian được trang bị bởi một tích vô hưởng

Xét không gian E được trang bị tích vô hướng (x,y) Làm đầy E như việc làm đầy

cho một không gian định chuẩn với chuẩn tương ứng: |x||= \Œx,x) (1.1,2)

ta nhân được không gian Banach £ chứa các lớp tương đương x của những dãy Cauchy {x,} trong E

E được trang bị tích vô hướng sau: giả sử x, y e £ lần lượt có các đại diện {x,},

(y,| là những dãy Cauchy trong E, khi dé: (x, y) = lim(x,,¥,) (L13)

và chuẩn tương ứng: I = tim||x, =lim(x,,x,) = (x, x) (1.1,4)

K ˆ "n—

Trang 9

I.4.4 Phép đẳng cấu - Đẳng cự - Nhúng các không gian định chuẩn và các không gian

Banach

i hia 1: Hai không gian định chuẩn X, X đẳng cấu nhau nếu tồn tại một song ánh J_ X —>» X tuyến tính sao cho: với mọi x trong X, tồn tại hằng số

a, Ø dương thoả a|x| < |J(x)| < Ø†x|

Nếu |J(x)||= |x{ ta nói Xvà X đẳng cự với nhau

Định nghĩa 2: Không gian định chuẩn X được nhúng trong khóng gian định chuẩn

X nếu tổn tại ánh xạ tuyển tỉnh J: X + X sao cho: với mọi x thuộc X tổn tại số dương thoả: |J(x)< Ø|r|

Nếu ||J(x)|| =|[|x| ta nói X và x đẳng cự với nhau

e Phép đẳng cấu là phép nhúng hai không gian định chuẩn, trong đó có một hoặc

cả hai là không gian Banach

1.2 Một số không gian thường gặp

1.2.4 Khéng gian C(G)

Xét G là một tập mở bị chặn, liên thông, Ở là bao đóng của G trong không gian

9” Không gian định chuẩn C(Ở) chứa tất cả các hàm u liên tục trên G , với chuẩn :

|u|,,¿, = max|x(x) (2,1)

là không gian Banach

12.2 Khénggian C'(G),k 21 Dinh nghia:

C'(G)là không gian định chuẩn chứa tất cả các hàm u có đạo hàm cấp k liên tục

trên Œ, với chuẩn: eels > 3, max D*u(x) => “| 3 (I.2,2)

oga|sa 04|ai<t tá

Trong đó X =(X,, X„) e R”

œ =(0,, Œ_), œ, >0, Ws = làm

Trang 10

LUAN VAN TOT NGHIEP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu

G ề

—— D"“=

Cx ox™

Và ký hiệu: Ð, = , D*“=0hÐD:.D"

C+(G) là không gian Banach

1.3 Không gian Lebesque L(G), p > 1 13.1 Không gian L' [a,b]

Không gian Ƒ[a,ư] là khơng gian định chuẩn chứa các hàm x liên tục trên [a,b], với chuẩn:

Ei.) ™ [Ixứ) di (13,1)

Không gian Banach £! (z,bJ là làm đấy của /{a,b]

Áp dụng định lý làm đẩy không gian, L' [a,b] gồm các lớp tương đương x có đại

diện là dãy Cauchy |x_] trong [a6]

Dãy các hàm liên tục trên (a,b} là dãy Cauchy trong /'[a,ở] nếu: Với mọi e >0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi n>N, với mọi số tự nhiên p ta có:

sion = L Ree) -* (lat <0

Hai day ham lién tuc trén [a,b]: {x,} va {x,"} gọi là tương đương trung bình hay thudc cùng một lớp x của L'fab] nếu và chỉ nếu có:

ir, - x; tes) = x, - x(o|de + 0 khi n~>® Nếu (x„| là đại diện của lớp x thì ta định nghĩa chuẩn trong #'Ía,¿Ì: fx] = lima) =i [da £[ø£| (132) ta có thể viết: Hf les]

Tương tự như các dãy số hữu tỷ dần đến các số vô tỷ, ở day các dãy hàm liên tục trên (a,b} dần đến các phần tử của L'{a,b} Ta có thể đặt:

ƒ s(t) =lim |x, (oat (1.3,4)

(tich phan Lebesgue) (tich phan Riemann)

Trang 11

Núi cụ thể về hơn về các lớp trong L!a,b]:

Goi x là hàm liên tục trên [a,b] Đồng nhất lớp có dãy dừng {x} làm đại diện

với hàm x, lớp này cũng chứa các hàm x* không hiển tục, chẳng hạn chúng chỉ khác

x tại một số hữu hạn điểm (hai dãy dừng (x}, (x*} thuộc cùng một lớp tương đương vì |x— x*{—› 0)

Khi dãy Cauchy (x„) có giới han là một hàm x gián đoạn, ta có thể xem hàm

này là một lớp x của L{a,bhJ

Từ những cơ sở trên cho phép ta xây dựng không gian Banach £!/a,bj, chuẩn

được định nghĩa theo tích phân Lebesgue, mọi phần tử của L'(a,bjđược đồng nhất với

một hàm liên tục, hay một hàm gián đoạn tại một số hữu hạn điểm 13.2 Khdng gian Lebesgue 1’(G), p21 1 Khong gian L(G), p 2 | Dinh nghia: Lv’ (G)la không gian dinh chudn chita cdc ham u(x) lién tuc trén G vei chuẩn: lu|,„ = ([lu(«}” &)'” (I.3,5) Go U (Œ) là không gian không đầy đủ Vi du: Trong /*{-1.+l], xét dãy hàm hàm (x„(0} liên tục trên [-1, 1): -l,f6eFˆL -V x, (O=4 mite ns 4 Lie

Ta sẽ chứng tỏ rắng [x„} là dãy Cauchy trong /*[—1,+l] hội tụ theo chuẩn trong £?

về một hàm x Nhưng x không liên tục trên (-1,1}, tức là x không thuộc Z{[—1 +1] Do đó

L?[-1,+1] khong day đủ

Thật vậy, do định nghĩa hàm x„ ta có |x„()|<1 với mọi n

Trang 12

LUAN VAN TOT NGHIEP Làm đầy không gian - Không gian Sobolev Vậy, cho trước số £ dương tuỳ ý, tổn tại `: với mọi số tự nhiên - Phan) Z J £ Aˆ 8 8 x„,()—x„(t| đt <4 |at=—=s—=£Ì nM, x„.,(0) ~x„(| dt m=n+ pn2n,, lacd: Xa — x, l vn in < € hay {x,] la day Cauchy trong L*[-1,+1]

Suy ra Ìx , Fall ety

Mat khác, tại mỗi diém te[-1,1], x,(0) tién vé x(0) khi 2 9 & voi: -lre[-I0)

x(t)=<¢ 0r=0

re (0+1]

(chứng minh sự hội tụ này tương tự như cách chứng minh (x„} là dãy Cauchy) Nhưng x gián đoan tại t = 0 nén x khOng phải là phần tử của - 1+1]

Vay, L’[-1,+1] khong day đủ

2 Khong gian /’(G), p21

a> Làm đầy không gian định chuẩn U (G) ta được khOng gian Banach L’(G) Theo dinh

lý làm đẩy không gian, /”(G) gồm các lớp tương duong u 6 dai dién Id day Cauchy

(u,) trong L(G)

Dãy các hàm liên tục trên Ở là day Cauchy trung bình lũy thừa p nếu:

lu, —z„|ˆ _ = Í|u„(x)—u„(x)|Ï de > 0, khi n,m —>œ,

wm) ý

Hai day { u,} và {u,*] tương đương nhau theo chuẩn trong /”(G) ký hiệu

(u.)~[u,*} hay thuộc cùng lớp w của /7(G) nếu:

lu, —u

Néu [u,} 1a dai diện của lớp M thì ta định nghĩa chuẩn trong /”(Ớ) như sau:

hs = limp, = lim (fu, (x}” de)? (1.3,7)

vie) re = 3

ae = flex) a u?(x)|"de —>0, khi n >đâ (13.6)

Trang 13

ta có thẻ viết:

Ẳ ` Vv

kì =( Ị lx) dx)? (L3,7')

cic) G

Tất cả các hàm liên tục trên Ở và những hàm gián đoạn nào đó tại một số hữu han

điểm trên Œ có thể đồng nhất với những lớp nào đố của /”(G)

Tích phân trong (I.3,7) là tích phân Riemann m-lớp Tích phân trong (1.2,7") 14 tích phản Lebeseue m-lớp

b> L*(G) la khong gian khả ly

That vay, theo dinh ly Weierstrass, tap hợp các đa thức là tập không quá đếm được trù mat trong C(G ), hay với mọi hàm u liên tục trên Œ , có dãy đa thức |P,] hệ số hữu tỷ sao cho ||P, ~ ull 5, ~— 0,120

Mà |P, — n|” - = [|P„(x)~w(x]” & < ||, tỆ^ 2, đx —> 0,n —>© nên tập các đa thức

tia) 3 G

trù mật trong L(G)

Mat khde, theo dinh ly lm ddy khong gian, L’(G) tra mat trong L’(G) Do dé, tap cdc

đa thức hệ số hữu tỷ không quá đếm được trù mật trong /”(Œ) Vậy L7(Œ) là khả ly

I4 Không gian Hilbert L’(G)

Không gian vectơ /2(Ø) trang bị một tích vô hướng Theo phần 1.1.3, làm đầy không „

gian trên là không gian Hilbert /2/G), tích vô hướng trên L2(G) được định nghĩa bởi:

(9) 2¿ø; = lim(w,,v,), = lim, J u, (x)v, (xa (1.4,1)

Trong đó các day Cauchy (u,}, {v„] trong L(G) là các đại diện tương ứng của các

lớp u, v trong ¿(G)

Ta xây dựng khái niệm tích phân Lebesgue cho u,v trong F?(G) như sau: (u,v) là tích phân Lebesgue m-lớp của tích wv trên G, tức là: (w,v) = [ w(x)v(x)4kx (L4.2)

9

Từ (1.4.1), (L4,2) suy ra: ƒ u(x)v(x) & = lim [+„(x)v,(x)4&

G G

Đặc biệt lấy v(x)=l là lớp có đại điện (1) là dãy dừng, ta sẽ nhận:

[uœ)& = lim J u,(x)de voi xeG,ue L(G) (14.3)

Trang 14

LUAN VAN TỐT NGHIỆP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu

xm= =smmmmm—————————————————-

Tích phan Lebesque của lớp u trong E?/G) là giới hạn của tích phân Riemann của các

Trang 15

CHƯƠNG II KHÔNG GIAN SOBOLEV

lI.1 Kết quả cẩn thiết

[I1 Hamcógiá bị chân:

Ta nói hàm x xác định trên [a, b] có giá bị chặn nếu tốn tại đoạn [a`, b'], a < ä',b< b`, sao cho x(L) = Ø ở ngoài (a', b’}

Hàm có giá bị chặn trên ]-, +œ[ nếu nó bằng 0 ở ngoài một khoảng bị chặn

II.1.2 Bất đảng thức Hỏlder:

Cho f, g lăn lượt là các phần tử trong không gian L”, L*, với l < p <+#, với Ì < q <+%

thỏa -_+-_=1, Khi đó: P 4q

fie s(firr) (ier) (IL.1,1)

1.1.3 Bat dang thc Minkowski:

Cho , g thuộc L, l< p<+œ Khi đó: li - z1” s |IzuÌ” +|[tzrÏ” (I.1.2) lI.2 Không gian Sobolev W'°(G) 11.2.1 Không gian # "€) Xét G là tập mở, bị chặn, liên thông trong 9”, Œ là bao đóng của G ae sàn mm

Không gian vectơ G) chứa các hàm u, u: G + cd dao hàm cấp £ liên tục trén G

(đạo hàm théo nghĩa thông thường) là lông gian định chuẩn, với chuẩn là:

Trang 16

LUAN VAN TOT NGHIEP Làm đầy không gian - Không gian Sobolev

11.2.2 Khong gian Sobolev #'”(G}

* Xét đãy Cauchy {wv} cdc ham có đạo hàm cấp £ liên tục trong không gian định chuẩn 4p W (G), với: Du, nde) [ ai `, Ham w_ kha vi nén liên tục Tuy nhiên, như trong £ (G) có thể dãy hàm uw, hdi tu theo -1g chuẩn trong W (Gì về một hàm u không liên tục, do đó không khả vi (u không có đạo ÄÝ a hàm theo nghĩa thông thường), hay u không nằm trong W_ (G} Vạy W_ (GÌ khơng đầy đủ -Í

* Làm đầy không gian W (G) thanh khong gian W'*(G) goi 1d khong gian Sobolev

w'*(G) gém céc Iép tuong đương u có phần tử đại điện là dãy Cauchy {u, }trong

tee:

W (G), ki hiệu {u,Jew, u 1a gidi hạn các dãy hàm {u, }c6 dao him(theo nghia thong thường) cấp ý liên tục trên, đạo hàm của u trong ƒ'?ÍGÌ là đạo hàm phân bố

Vậy các hàm có đạo hàm cấp / liên tục #„ (theo nghĩa thông thường) cố thể được đồng

nhất với một hàm u có đạo hàm phân bố cấp £ (trong không gian Sobolev), và chúng

thuộc một lớp tương đương u, khi đó ||w„ — | ø'”(g) —> 0,n > œ

Mặt khác: nếu limÏØ“u„ ~ wÌ|‹z = 0 thì w là đạo hàm riêng phân bố cấp ø của u

hàm u' trong L(G) như sau:

W'*(G)= ụ € L*(G), 3ø e L*(G) sao cho Í'= ~Íww,Vve c6) (1.22)

G G

Kí hiệu: u” = w là đạo hàm phán bố của u trong Jjÿ'”(G)

Trang 17

¢ Trường hợp p = 2, kí hidu W'*(G)=A'(G) 1a khong gian Hillbert, lam d4y cia

s03 5

không gian W (GÌ với chuẩn tương ứng xuất phát từ tích vô hướng:

(u,v)= `3 [Ð*u(x) D"v(x)& (11.2;3)

isje|s! 2

II.3 Không gian Hillbert 0! '[a.»]

I34 Khônggian Z'Ía, b]

Khơng gian H ‘fa, b] chứa tất cả các hàm u(x) khả vi liên tục trên [a,b], trang bị tích vô * 5 hudng (1, v= [u@)(x)& + ƒ u'(x)v' (x)de (11.331) chuẩn tương ứng: > 6 3 ee] = fu? (xy + jue) (11.3;2) \a “

11.3.2 Khong gian H' [a,5]

a> Làm đảy không gian định chuẩn H : [a,b] được trang bị tích vô hướng cho ta không

gian Hi(tbert H' [a,b]

Dãy các hàm Ấz„ }có đạo hàm liên tục trên [a,b] la day Cauchy trong #7'[a,b] nếu: ^ 2 > 2 a cog ° — or lu ~ ual = Ju„œ u(x) de + Je) u,, (x) dx + 0, n,m > @ 2 > Suy ra fu, -u, |) = flu (x) —u,,(x)} de +0, m,n —> x 2

lu, =ư„[ = fhes =) —us (2) dk => 0, m,n —> 2°

Hai dãy Cauchy {u, }, t;} trong H'|a, 6] gọi là tương đương nhau, kí hiệu fu} ~ t;}

Trang 18

Không gian Lr|a,b| là đẩy đủ nên tồn tại u, w trong LÌ[a,b] sao cho các dãy

Cauchy §u, Ì, us} tiến về u, w đặt w = u" là đạo hàm phản bố của u trong không gian

Sobolev H' a,b]

Ta có thể định nghĩa: /'Ía ð]gổm những lớp u trong L7{a,b] sao cho u 6 dao

hàm phản bố u` trong L[a,b]

b> Dao ham phân bố trong không gian H' [a,»]

Gọi u là lớp tương đương trong /J '&.»] đạo hàm phân bố u” không định nghĩa tại

những điểm cô lập mà xét trên toàn bộ tập [a.2] được định nghĩa đưới dau tích phân Lehesque

That vậy, giả sit {v,}, {v,} là các dãy Cauchy các hàm khả vi liên tục trên [a,b]

Chúng là đại diện cho các lớp u, v của #'Ía,b]

Ta có:

h *

(u,.¥, }s = fu, Cy, (ede + fu; (x)w, (x)dx

leelje = € [m‡()&+ [t¿)}& }? ;

Chuyển qua giới hạn của các tích phân Riemann trên, ta được tích phân Lebesgue, va dao

hàm dưới tích phân Lebesgue IA dao him phan bé trong H'[a,6]:

` 6

(u,v)„ = [u()w(x)& + Ju’ (xv (ade

lel = l + fu coe)

“ “đ

e_ Ta có thể định nghĩa /7'Ía,ư]dưới dang:

H' [a,b] = {u é LÍ[a,b] 3w e L2[a,ð] sao cho

fu(z)v (x) = -[xœw(),vv £ Ci (H.3, 3) w =u' li dao ham phan bố của u

Định nghĩa trên chấp nhận được Thật vậy, biết cha.» gốm tất cả các hàm v, có

giá bị chân liên tục trên (a,bị Xét dãy Cauchy {v,}kha vi lién tục đại diện cho lớp

Trang 19

we H' [a,b], day Cauchy {w,}céc ham liên tục đại diện cho lớpw € / 2Ía,b], với mọi

ve ch a, 6):

Ap dụng công thức tích phân từng phần, ta có:

» 6 4

fu, (ev (ede = 0, (xf? ~ [u,(x)v(x)ák = - fer, (xO) Ngoài ra, nếu có w„ thỏa:

PT (ede = fw, epocene

thi [ue (xv (yee + ƒ* (xw(x)& = fle cx) - w-(x)| v(x) dx 0, Vve cùk«.»] Giả sử fw -u | thuộc lớp z = w- u" trong L,[a,b], chuyển qua giới hạn ta có

b

[z(xw(x& =0,Vve Cha, 5]

Suy ra z w—1s 0hay w = u`, đây là chính là đạo hàm phân bố của u e Tinh chat cla dao ham phản bố:

Nếu u,, u„ là các lớp tuong duong trong H' [a,b], 2,,4, 1a cdc sé thuc thi: Au +Aue HÌ{a,b] và (iw, + Au.) = Aw: + Au: (11.3, 4) 11.3.3 Tinh chat: a Định lý (1.3.3.1): / 'Ía,b] được nhúng trong C[{a,b] Chimg minh:

Cần chỉ ra rằng tổn tại số k dương sao cho lel „IŠ 2 2] (I.3,5)

Trang 20

Ap dụng bất đắng thức Cauchy-Bouniakovski cho (I1.3;7):

u(x) s flu'(sas + —— Jus) (lb J bee : 2 i v3 <vh-a fw] + i4 < lel với # = ma võ “a | ˆ -a

Suy ra |i] 4) = Menl(x) < k|i (11.3; 8)

Nếu {w,} 1a diy Cauchy trong H' [a,6] thì cũng là diy Cauchy trong Cfa,b} do (I1.3;8):

lw, — Walesa} < k\u, - Wallis fos) —> ©, m,n —>

Mat khdc, C[a,b] Jd khong gian Banach nén u„ hội tụ về u, ø e CÍa,ð] và nó là hội tụ đều

Sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên (a,b} dẫn đến sự hội trung bình, tức là: Mu, — ull: op ~> ,n => œ Đồng nhất các phần tử của #7 ![a,b]với các hàm liên tục u có đại diện là { | Khi đó ta CÓ: || < #|*.|; la») Chuyển qua giới hạn khi ø => œ, u, hội tụ đều về u li : th, 7 b Định ly 1.3.3.2: Moi ham trong H'[a,4] déu lien tuc tuyét d6i Tức là ta cố: (x) = [ưG +u(a) (11.3,9) Chứng minh:

Trong #'Ía,ð], xét lớp u có đại diện là É,} dãy Cauchy các hàm có đạo hàm

liên tục trên [a,b], u' là đạo hàm phân bố của u

Khi đó tồn tại £ = a@sao cho: w„(x)= fu; (s)ds +u, (a)

Trang 21

Lay giới hạn hai vẽ khi —> œ: x

lim @ (x)= lim fur (s)ds+ fim wu (a)

n—»œ ? n¬mœa n—> co

Suy ra u(x) = fu (s)ds + u(a) @

lI.4 Không gian Sobolev HÌ(G) và HÌ (G) với G=%Ẻ 1.4.1 Không gian #'(Œ): Gọi ;LÍG} là khơng gian các hàm khả vi liên tục u(x,y,z) trên Ở được trang bị tích vô hướng: Gu Gv Gu dv | Gu av | chuẩn tương Ác : du) (au) (ouy br] = If} se l8] B dxdydz (H.4.2) Làm đầy của x LÍG} là khơng gian /7'(G) gồm các lớp u(x.y.z) có đạo hàm riêng phân bố kí hiệu om >> êx ` ây`&

Nếu u có phần tử đại diện là diy Cauchy {u,} trong py! (G),va néu {u,} cing nhu céc

Trang 22

H'(G)= {fuel (Œ) sao cho có các đạo hàm riêng phân bố TỐ e/(G) }

âx ` ` &

1.4.2 Không gian //)(G)

Gọi HàtG )là không gian làm đầy của không gian các hàm u có đạo hàm liên tục trên G

sao cho u triệt tiêu trên biên, ø| „; = Ô, được trang bị tích vô hướng: (u,v)= SS pe Luờg: (11.4,3) bin) {) «(SY ant mss H.4.3 Một số tính chất: Chuẩn tương ứng: a Định lý Friedrichs: Tồn tại một hằng số c>0 sao cho với mọi € Hì(G): l,: ta) oo (OF (H.4,5) Chứng minh:

Ta có ⁄)(Œ)gồm các hàm u œ LÍ(G) có đạo hàm riêng phân bố

cu GH 1G) Goi fu} day Cauchy trong 6) là đại diện của ex ay &

6 H} (G) tức là §,} hội tụ trong H}(G) vé we H}(G)

Xây dựng lập phương Q, chứa G:

0a =,y,z :|x|< a,|y| < a.|z|< a} sao cho yl ona =0

Đạo hàm riêng -_ tồn tại ở mọi điểm trên Q,, trừsểsố điểm là giao của cạnh lập

phương sơng song Ox với biên GG của G

Mọi hàm trong //}(G) liên tục tuyệt đối nên theo (I.3;9); Với mọi điểm (x, y,z)eG

ta có:

uw, (x,¥.2)= l mu (-a.y.z)

Trang 23

cu lE, y,z „ y ) 4s ê $ „do u | 6 =>n (x,y z)= j * lqua Suy ra fw, (x, yz}? <{ fr) :] Ap dụng bất đẳng thức Cauchy-Bouniakovski ta được: > reo af S) Tich phan hai vé theo Q,: j u(x, y„zŸ < Ỉ J>4 se | 44, Qe dens \ OG :r(ê,Ì (Se) a Vi Mu

_e( au.) Wee ,

come ert ef boa

: Cu Cu ° Cu ;

Mat khác do: l2“ j ae + or + % adxdydz

: = oe 2

tên le, hess ae = , D246) ae Plies

Chuyển qua giới hạn khi m—>ø ta được:

kÌ,:.„, s 4a | „.„,

Hay: kÌ.:„, s fel sec với c=2a >0 ø

b Hệ quả 1: Không gian /7‡(G) được nhúng trong L(G) Chứng minh: dựa vào định lí Friedrichs

c Hệ quả 2: Trong /ƒ}(Œ), các chuẩn (I.4;2) và (I.4;4) là tương đương

Chứng minh:

Trang 24

LUAN VAN TỐT NGHIỆP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu es : (=) (= BỊ W.=IIII—| *Ì=] += dz (11.4.4) wis =f) -() +(e) ann Ta có: ° fel: <ul; shién nhién 7 lel < k{; „, + |;

Theo định lí Friedrichs, tốn tại c>0: sao cho el tơy = c|u nen ef se +

Vậy Ílu||, < full, < kậu|| & >0 „

IS Không gian H(G) và định lí nhúng tổng quát của S.Sobolev:

IL.5.1 Không gian H(G):

Gọi không gian định chuẩn H f(G)là không gian các hầm u(x,y,z) có đạo hàm cấp ý liên tục trên G, duoc trang bi chudn:

ki-[_E filers) ae) as! G aus

Lam day cia H‘(G)ia khong gian HG) gém cfc lop u có đạo hàm riêng phân bố, kí

hiệu là Ð“w

ay

Với D”u = Gy as la| = ø, +a; +a;,ø #0

Trang 25

Do LÌ(G) là không gian làm đẩy của /` (G) , nên D*u hội tụ vẻ Ð# trong LÌ(G), với

0< ai <f

Noi cach khac:

H'(G) = {ve L(G) sao cho dao ham riéng phan b6 D*w /*(G),0 < la| < !}

H(G) là không gian Hillbert trang bị tích vô hướng

(u,v)„.„,= Yi (D%u, D*v) 6, (I1.5,2)

ae

1.5.2 Định lý nhúng tổng quát của S.Sobolev

Định lý: Cho Œ e9” là tâp mở, bị chặn, đơn liên sao cho các hàm có đạo hàm cấp l

([ >2) liên tục trên Œ Khi đó, không gian H(G) được nhúng trong

C!*(G)

Trước khi chứng minh định lý, ta xét hai bổ để sau:

Bồ đề 1; Nếu hàm u có đạo hàm cấp l (> 2) liên tục trên Ở và nếu Ø“ư =0 với “ mọi œ, 0<|ø|</ —1 thì: xˆ e > [I (o„} ~eÌÏ (5.3) hay: |M{, ig) Ấ€ el 4c) (I.5,3') Chứng minh bỏ đó; Ta có công thức Green:

MJ (udv—vAu) dx dy dz = I} (wey ldo

Nếu dats, =G\B,(x,y,z) thì AQ =2G\8B(yy,z) hay

aQ, = ãG \ $,Íx,y,z) Trong đó (x,y,z) là một điểm trong G; B,(x,y,z) là quả cầu tam (x,y,z) bán kính e>0 đủ nhỏ để B,(x,y,z) C G; S(x.y,z) là mặt cầu chứa những điểm (É,,£ ) sao cho:

Trang 26

Áp dụng công thức Green trên tập Q, , bién vi phan theo €,7,¢ :

[f) av - vâu) dệ dnd£ = Ge - ye ldo

Cv Gu ove Gu

= ff) w»— -v— ldo - fflw vat) a #5 ve ldo ye

Bước |: i ien cho ham (đv.v.z

(11.5,4)

Giá sử hàm u trong (II.5,4) thoả giả thuyết bổ đế 1, tức là u có đạo hàm cấp Ì liên

tục trên Œ sao cho Đƒ_ =0, với 0<|a|<?~ I Chọn vẽ re Vữ =8) *ữ~n) +~€) eu 3 e Vilren CG lus Ova Se = Yun = YS cosli.s x)= 0 Gv Gt

suy ra: ff yd =0 (a)

e Dé dang kiểm tra được:

suy ra: [[fa»—vau)dgdnag =< lJƒ 4n ®)

se Xét trên mặt Š Íx,y,z):

Qua toa độ cầu vÍx, y,z)= v{r,Ø,ø)= = chỉ phụ thuộc biến r nên:

Trang 27

BSS) aaah sa —dơ 5, , Cu | l =—— 4f£` 0 —— 4£) — 4z” 4£ ồn ten rh UES) "TH ~

= u(x, y,z}+Ø(£) khi £ => 0 (+)

Thay (a), (h}, (c) vào (H.5,4) ta được;

u(x.y,2)+6(e)=-— [[[ agdnag

Cho ¢ + 0, him u được biểu diễn bởi tích phản sau:

u(x, y,z)=- wil — dc dnd£ (1.5.5)

Chú ý: Tích phan trong (IL5 9) là tích phân suy rộng (/‘integrale impropre) vi ham Vv vô han tat (x, y 2), af đó ta cần hiểu rằng:

ii at dgdndé lim {IF ade dnd¢

đây cũng chính là định nghĩa của tích phân suy rộng

Bước 2: Chứng mỉnh bổ để 1 cho trường hợp l=2

Từ (II.5,5) ta có:

dye)=~ac [ | Ty + m9 t6 né:

Hay edie] (4 |: (-#] trong đó tích vô hướng xác định

trong L(G) Ap dung bất đẳng thức Cauchy-Bouniakovski (với chuẩn trong r@) ta

: cops

Chính xác hơn: HN < cul jie) (I1.5,6)

Trang 28

> ————————— eo"

Vay bồ đẻ đúng với Ì=2

Bước 3: Khái quát

Gia su we H2(G)va Dut =0,0<|a| <2

Đao hàm hai về (II.5,5) đối với biến x, ta được:

& 1/2(1) au -i(! oe)

& 4m\Ø\(rJ Jig, Sar Oe) p16)

Dao ham cia tich phan trong (IL5,5) dat dugc do tích phân hội tụ đều Mặt khác: trong

L(G):

l u 8 u đu ä a

“— HE: lên: 24 < cte =p" ul: ig) Š om SP he 6) Tương tự cho ĐÁ và oy,

Do vay DOL) sc 5` |D“u|: ig) DBOAi ra đã có bất đẳng thức (II.5,6) Cộng hai

'al=l (s)ai<3 4

bất đẳng thức trên cho ta: ble) < cul 45)

Quá trình này cứ tiếp tục và cuối cùng ta được: hÌ.-ø) *£lze) Bổ đề I đã được chứng minh ws

Bodé2; Cho GOR’ tp md, bi chan, don lién sao cho các hàm có đạo hàm cấp

I+l liên tục trén G Khi dé néu moi hàm uc H'(G} có thể khuếch đại

trên Œ'S, thì bằng cách đó u{x, y,z)< H '6), u có giá bị chặn trên Œ'

và tổn tại một hằng số c>0 c chỉ phụ thuộc duy nhất vào GŒ và l, sao cho

mọi khuếch đại của u thoả:

Deh icy SB a (11.5.7) Sie i haa

Trang 29

Gọi S,(0) là mật cầu đơn vị trong 9”

Giả sử 5` = CG duoc bidu diễn bởi phương trình tham số dưới dạng r =z (£,) hay cdc toa dd x= x (6.7), y= y,(E.), = ==, (Em), với x, y, z có đạo hàm cấp I+1 liên tục theo (£,??)< Š,(0} Nói cách khác Ð gồm tập những điểm (x, y, z) là ảnh của mặt cầu

don vi §,(0)

Giả sử n là phấp tuyến đơn vị hướng ra ngoài >

Giả sử >0 đủ nhỏ để với mọi (£,r)e S (0) thi ede vecto r= r(Ệ,n)+n£ không

cắt nhau và các đấu mút của chúng đều nằm trong G Nói cách khác, có một song ánh r

Trang 30

LUAN VAN TỐT NGHIỆP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu

‘Dinh thức của hệ gọi là định thức Vandermonde, khác O nén (I1.5,9) có nghiệm duy nhất

Đến đây, hàm rÍx, y,z} đã xác định trong x U>: ,w Và các đạo hàm riêng đến cấp | liên tục trên 3`, J3” Ta chỉ cần chứng minh rẳng và các đạo hàm riêng đến cấp Ì liên tục trên ?>, tức là với ==0 Jel Từ (I5, 9), ta có Ð`ø, =1, với s =0 và từ (IL5, 8), cho C—>#0, ta được: Ral u(é,n.+0) = ¥ a,u(g.n.-0) = u(E.n.~0) kel Tương tự: cu _ ou ae ont “3 (¢,7,-0) Cu E + „âu ~ ay 71,+0) oy er 0) Tel Từ (I5,9) ta có: Saj[- i| =l với s= Ì suy ra ee) Gu = 1 \ Gu Gu

ae e+) = >aj- r)&~9) = xé n.-0)

Với các dao ham riêng đến cấp l ta làm tương tự Vậy bước 3 đã làm xong

Bước 4: Khuyếch đại của ¿ là hàm có giá bị chặn

Nhân w với một hàm cụt (troncaturc) s (£) bằng cách đó ta có w = 0 khi

vú <s£ <ð,(£,n)e Š,(0) Hàm bị chặt cụt trên vẫn bảo toàn các khái niệm của ¡, nó có

giá bi chan trên GŒ'=ŒU`- Bước Š:

Trang 31

Từ(H.Š)›: ue > G 1 £] áp dụng bất đẳng thức Cauchy — Bouniakovski ta «zi củ: tr Sa Sw < n-£| eel tel Lấy tích phân hai vế trên 3` : Ui u°d£ dn để < (+): JJ u°đ£ dn dể Đạo hàm hai vế (I1.5,8), làm tương tự như trên cho đến cấp l, cuối cùng lấy tổng ta được: {i >0; Ì đệ dn dc <effl > (0% F ag dn dg (II.5,10)

Các ánh xạ trong (II.5,*) không suy biến nên (IL5,10) vẫn đúng khi ta chuyển sang ng bin x, y biến x, y, z Do đó: Mls 5 a ma ¥, CG nen: lel, ) $e Mặt khác, vì G' > nên: c 2 Vậy tồn tại một hằng số C > 0 sao cho: kÌ|¿,œ) <C‡“¿:) s

* Bay gid ta chimg mình đỉnh lý nhúng tổng quất:

Do bổ để 2, mọi hàm uef'(GÌ!>2 đều có thể khuếch đại trên một tập Œ' rộng

hơn và nó có giá bị chặn trên G’

Trang 32

Ie 4g) * ke Ne

Ta được: leh ste - Kel ic)

Vậy định ly đã được chứng minh

Trang 33

CHUONG Il MOT VAI THI DU TRONG KHONG GIAN SOBOLEV

lll.1 Két qua can thiét

1.1.1 Định nghĩa 1

Dang song song tuyển tính a(u,v) : H*H DR duoc goi la: ¡ ) liên tục Nếu tốn tại hẳng số c>0 sao cho:

|œ(+.v)| < clulÌv| - với mọi u, v e H (HI.1,1) ii) bite (coercive) Néu tén tại hằng số >0 sao cho:

\a(v, Sab" với mọi v œ H (IHL1,2)

1.1.2 Định nghĩa 2

Không gian đối ngắu của H là một tập H thỏa mãn: Nếu œ H* thì ọ là một

dang tuvén tinh lién tuc tit H vào 3\( hay C) Thi du: Xét khOng gian d6i ngdu cha W)"(/), ky hitu W,"” {D trong đó Ì< p<œ và L2 —+— =| P P

Néu I bi chan thì W}# c L cWˆ! véi moi 1 < p< với đơn ánh liên tục và trù

Nếu I khong bị chặn thì W}? C7? CWˆ!”, với mọi 1< p<2 với đơn ánh liên

tục và trù mật

III.1.3 Định lý biểu điển Riesz

Nếu 1< ø <œ và ø € (/? Ÿ thì tổn tại duy nhất phần tử / € /” sao cho :

<ø,v >= [ ƒ, với mọi v LỶ và ch ng (IL1,3) PP

hon nữa ta có | ƒ[,„ = lol 1.1.4 Định lý biểu diễn Riesz - Fréchet

Nếu ø là phản tử trong không gian đối ngẫu của H, øc HỈ, thì tổn tại duy nhất

Trang 34

LUAN VAN TOT NGHIEP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu lII.1.5 lII.1.6 lII.1.7 < ø,v >= ( ƒ,v) với mọi ve H ( IH.1,4) hơn nữa ta có ||/|| = |ø|, Định lý Lax - Milgram:

(i) Nếu a(u,v) là một dạng song tuyến tính, liên tục, bức thì với mọi gE A *, tốn tại duy nhất một phấn tử e #J sao cho:

a(1, V) =< Ø,V >, với mọi vcH (HIL1,5) () — Nếu a(u,v) là một dạng song song tuyến tính, liên tục, bức, và đối xứng thì

ta có kết quả của (1), hơn nữa phần tử øcH này được đặc trưng bởi tính

chất sau:

-4(u.u)- <Q,u >= Min} * a v)- <9." >} (III.1,6)

Dinh ly:

Trang 35

III.2 Bài toán về "Điều kién Dirichlet thudn nhất" trong 9% II.2.1 Mở đầu Cho trước một hàm f € LZ’, ham u thoả mãn: - = £ưên/ = b.Iƒ u(0) =u(1)=0 (IHI.2,1) = on Xét các đấy Cauchy (0,}, [v,) trong /fo(?], là hai đấy các hàm khả vì liên tục trên 7, thoả mãn: -u,+u,=f tiết [—5,+(săi=

Bằng công thức tích phân từng phần suy ra:

-u,v,| +f uv, +f uv, = [ fy,

hay:

(ove fer =[m,

Chuyển qua giới hạn ta có:

[uv+ [uv = [ ®, với mọi ve Hi(7) (22)

Vậy + là hàm thuộc không gian //)(7) [11.2.2 Dinh nghia - Ham wu 1a loi gidi cé dién cia (111.2,1) néu w € C’(1) va thoa mn (IIT.2,1) (theo nghĩa thông thường) - _ Lồi giải yếu của (IHL2,1) là một hàm œ #⁄}(ï) thoả mãn (HI.2,2) HI.3.3 Tính chất

Thật vậy , vì u là lời giải cổ điển của (HI.2,1), tức là „ có đạo hàm cấp 2 liên tục trên I

(theo nghĩa thông thường) thoả mãn (HH.2,1), ta suy ra: =#''y+w = _#, với mọi ve C)(T)

Trang 36

LUAN VAN TOT NGHIEP Làm đầy không gian - Khơng gian Soboleu

we H\(/) và thoả (HL.2,2)

Nói cách khác, w là lời giải yếu của (II.2,1) B Sư tồn tai và duy nhất của lời giải yếu:

a Ménh dé: (Nguyén ly Dirichlet):

hơn nữa u được đặc trưng bởi: bam fe + }- jr wee let J b Chứng minh: Bước ]: Hàm a(w, v) = fu V+ [uw là một đạng song tuyến tính, liên tục, bức ! ! Thật vậy

d(U, +, VỆ = flu, +u;)v'+ f(y, +ư,} ‘ i = fu + fui + [mw+ [u;v (do tính chất của đạo hàm phân bố) f i ! ! = afu,,v)+a(u,,Vv) Chứng minh tương tự, suy ra a(u,v, +v,)=a(u,v,)+a(u,v,) va

al{Au, pv) = Apa(u,v), Â, u e9

Do đó a(w,v) là song tuyến tính

e Kế đến, do định nghĩa của a nên a(r,v) = (w,v)„›/„¡ mà hiển nhiên tích vô hướng trong

H'(1) là liền tục, do đó a(u, v) liên tục

e_ Cuối cùng, a(w,v) bức bởi vì với mọi ve #7}, ta nhận được a(9,v)= (v,v)„, =|, ;

Tất cả diều đó cho ta điều cần chứng minh

Trang 37

Bước 3: Nhắc lại rằng H' là không gian các hàm we L’ sao cho dao ham phan b6 u'e L’ Ấp dụng định lý biểu diễn Riesz trong gian HJ¡ với dạng tuyến tính ọ, tổn tại duy nhất

fel? L* =L, saocho:

<9,v>= | fr, véi moi ve HH}

I

Theo định ly Lax-Milgram, ta cé: v6i moi ge H"', tén tai duy nhất we H} sao cho:

alu.v)=< y,v >, véi moi ve H}

Suy ra:

fu'v+fuv=[ fovei moive H’

‘ i ‡

Ngoài ra, a đổi xứng, nên tổn tại duy nhất lời giải yếu œ£ } thoả (HL2, 2) và:

>a(u,w}- <Q, >= Min| ale») <@.V >}

“Mintel *2H2] ¡

Mệnh đé đã chứng minh xong

C Lời giải yếu khỏng phải lú :

* Trước tiên chú ý rằng nếu ƒ/ f” và nếu H} thoả (II.2, 2) thì w e H}°

Thật vậy, c H} thoả fu'v+ [w= [f.vve H ‡ i I hay fuv=[(Uf=up, Wve HỊ nhưng wu, fel hay (f-w)eL? va VEL nen i I weH\cH' Do đó, w 6 /ƒ°

* Dac biét, néu fe C(/) thi we C?(/) thoả (IH.2,2), do dé cing c6 we C?(/) thoả

(IH.2,1) Vậy u là lời giải cổ điển

Trang 38

LUAN VAN TOT NGHIEP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu III3.2 Nghiệm của bài toán

A Nếu u là lời giải cổ điển của (IHI.3,L), thì w /7*(/)_ là lời giải yếu thoả mãn: fuv+fuv= [pf i i ! | yGi moi veH, (I) (IH.3,2) That vay, Néu weC*(/) thoa min (11.3.1) thi <u"+u =f Suy ra, ~fu'vs fav = ID với mỌI V =€c(n ñ Tích phân từng phấn, ta có: | | t =u"), + fu'v'+ [uv = ƒ 0 a ũ Vì ø'(0)=z'(1)=0 dẫn đến jev+jm=[ u 0 Mà C'(/) trù mật trong L7(/) nén ve H'(/) va u hién nhién 1& mot phan tử trong H(1) + Chú ý;

uc `(I)ueC'(ï) do đó điều kiện u{0) = (1) = 0 có nghĩa Nếu u chỉ thuộc H' thì nó không có nghĩa

B Sự tồn tai và duy nhất của nghiệm yếu: Mệnh đé:

Nếu ƒ€/*(7) thì tổn tại duy nhất một hàm ø e /7*(/) là nghiệm yếu của

(IIL3.1) (tức là + thoả (IIL3,2)) Hơn nữa u dat: Mink fv2+v)-f 2|

“ l !

Chứng minh:

Tương tự như phần (IH.2.3.B) ta suy ra kết quả

C Lời giải yếu không phải luôn là lời giải cổ điển

* Trước tiên chú ý rằng nếu /ƒ€/” và nếu u là nghiệm của (IL3,2) thì

Trang 39

~ [utv+ [im- j fe+u'(t)(1)-u' (00) = 0,¥ve A'(/) (111.3,3)

; i ;

Bing cach chon ve H}(/), ta nhan duoc u'(1}(1)-u'(0)(0) = 0 do:

[(-n? +a - £h=0.vve/)(1)

Vậy: ~w”+w = ƒ hầu khắp nơi trên Ï

Bay giờ, khi —w”+w= ƒ hấu khấp nơi, theo công thức (HH.3.3) ta có: '(UÙ(1)— ø'{0(0)= 0,vve M'(1) Vì vit), v(0) là bất kỳ, nên suy ra uˆ(1) = u”(0) = 0 ~U”"+kw = ƒ khắp noi tré v()=x0)=0° n

* Dac biet, néu fe C(/) thi weC?(/) thao min I Nói cách khác, u là lời giải cổ điển

lIl.4 Bài toán về "Điều kiện Dirichlet thuần nhất" trong 9t' lll.44 Mo dau: Cho O8” là tập mở bị chặn, ta tìm hàm ứ: Q —>9† thoả mãn: y trén Q (HI.4,1) u., =0

Và ƒ là một hàm cho trước trên Q Điều kiện giới hạn u=Ô trên 2O gọi là điều kiên Dirichlet thuần nhất

Lời giải cổ điển của (IIL4,1) là hàm e C*(O] và thoả mãn (HI.4, 1) - _ Lời giải yếu của (IIL.4,1) là hầm w e ##J(Ô) thoả mãn:

[ VuVv+ [m = Í &,vve H;(Q) (III.4,2)

a Q Q

Trong đó Vụ -(2 4 = grad(u), Au = oe oe = Laplacien(u)

11.4.2 Moi lời giải cổ điển đếu là lời giải yếu

Bước l: Sử dụng định lý I.1.6:

Trang 40

——ễ—————ễ—ễ-—-———————ễ— —————ễ-

Bước 2: Với œ là lời giải cổ điển, xét đẩy dừng {¿„}z {¿}< C(Q} và dãy Cauchy [v,|

trong C!(Q) thoa: - Au, +u, =f

Hay: - Au, +fav, = |, vv.,eŒ)(Q)

a @ Q

Áp dụng công thức Green thứ nhất suy ra:

[Vu vy, - [Svdo +fuy, = |2, Vv eC\(Q)

a “a Q a

Vì vw„= 0 trên 8Ô nên:

ƒvu,vv, + Juv, = [Pf vv, €C!(O) a q a Lấy giới hạn của tích phan Riemann, ta được tích phân Lebesgue: (dao hàm theo nghĩa đạo hàm phản bố) |Vuwv + [uv = |2 vveH(Q) Q Q a

* Chú ý thêm nữa rằng C}ÍQ) trù mật trong /*(Q), lớp ve #j)(Q) có đại diện là (v„)

Vay e /í, là lời giải yếu của (HI.4,1) thoả mãn (IH.4,2)

lll.4.3 Sự tốn tại và duy nhất của lời giải yếu:

Dinh Iv (Dirichlet, Riemann, Hilbert) — Với mọi ƒ e /*(Q), tồn tai we H(A) lời giải

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	2,1 MB