Dàn và hệ mã ntru

fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf dsds 55 6676 fgfgfgsd dd d fgf gfgf565 an khoa luan rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu kết nêu Luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tơi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc phép công bố Học viên thực gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Hồ Ngọc Trâm fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, bên cạnh cố gắng thân em cần phải trang bị kiến thức cần thiết giúp đỡ Thầy Cô suốt trình học tập nghiên cứu Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Đình Lân thầy Dương Hồng Dũng tận tình hướng dẫn, cung cấp tài liệu giúp đỡ em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến q Thầy Cơ khoa Tốn - Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình dạy dỗ, trang bị cho em kiến thức bổ ích suốt năm cao học Cảm ơn tất người thân bạn bè động viên giúp đỡ em mặt kiến thức lẫn tinh thần Tuy cố gắng kiến thức hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót, mong Quý Thầy Cô bạn đọc thông cảm đóng góp ý kiến để luận văn hồn thiện gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2017 Học viên thực Hồ Ngọc Trâm fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf MỤC LỤC gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa ký hiệu Zm×n Vành ma trận nguyên m × n L(B) Dàn sinh sở B det (L) Định thức dàn L, thể tích n-chiều dàn L(B) λi (L) Cực tiểu thứ i dàn L kyk Chuẩn l2 véctơ y vol (B(0, r)) Thể tích n chiều hình cầu tâm bán kính r R Vành đa thức chập (hạng N ) Rp Vành đa thức chập (modulo p) Kq Vành tất đa thức hệ số nguyên (modulo q ) Kết thúc chứng minh gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf  fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mật mã học ngành khoa học nghiên cứu việc bảo mật thông tin Cụ thể hơn, mật mã học ngành học nghiên cứu cách chuyển đổi thông tin từ dạng "có thể hiểu được" thành dạng "khơng thể hiểu được" (được gọi q trình mã hóa) ngược lại (được gọi trình giải mã) Mật mã giúp đảm bảo tính bí mật, tính tồn vẹn, tính xác thực tính khơng chối bỏ thơng tin Mật mã có nhiều ứng dụng thực tế bảo vệ giao dịch tài (rút tiền ngân hàng, mua bán qua mạng), bảo vệ bí mật cá nhân, Nếu kẻ công vượt qua tường lửa hệ thông bảo vệ khác mật mã hàng phịng thủ cuối cho liệu Ngày nay, việc trao đổi thông tin ngày phổ biến, kỹ thuật công liệu ngày phát triển kéo theo địi hỏi cơng cụ tối ưu để bảo mật thông tin phải nâng cấp gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Các hệ mật mã khóa cơng khai sử dụng rộng rãi toàn giới RSA, DSA ECC Tính an tồn hệ mã dựa toán khó tốn học phân tích số nguyên lớn thành tích thừa số nguyên tố hay tìm logarit rời rạc số nhóm Năm 1994, Shor đưa thuật tốn lượng tử giải toán cách hữu hiệu thời gian đa thức Như vậy, máy tính lượng tử cỡ lớn xây dựng tất hệ mật mã hành hoàn toàn bị phá vỡ Do việc tìm kiếm hệ mã khác thay hệ mã tương tự mà độ khó dựa tốn mà máy tính lượng tử khơng thể giải cách hữu hiệu vấn đề cấp thiết Đó lĩnh vực nghiên cứu mẻ nóng hổi tồn giới, gọi mật mã hậu lượng tử Các fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf hướng mật mã hậu lượng tử bao gồm mật mã dựa hàm băm, mã hóa, đa thức dàn Vào năm 1996, ba nhà toán học Hoffstein, Pipher Silverman phát triển nên hệ mã NTRU Đây hệ mã khóa cơng khai mã nguồn mở sử dụng lý thuyết mật mã dàn để mã hóa giải mã liệu Cùng năm đó, ba nhà tốn học với Lieman phát triển nên hệ mã NTRU trao sáng chế Cho đến chưa có chứng minh cho thấy hệ mã NTRU bị cơng phá vỡ máy tính lượng tử Ngồi hệ NTRU nhanh nhiều so với hệ mã khóa cơng khai khác Bên cạnh đó, dàn iđêan loại lớp dàn đặc biệt tổng quát hóa dàn cyclic Dàn iđêan xuất nhiều lý thuyết số lĩnh vực khác Trong đó, dàn iđêan đóng vai trị quan trọng mật mã nói chung, đặc biệt hệ mã NTRU Hệ mã xây dựng dàn iđêan tiết kiệm nhớ lưu trữ nhanh so với dàn thơng thường Vì thế, tơi chọn đề tài "Dàn hệ mã NTRU" để nghiên cứu, tạo tiền đề cho việc nghiên cứu sâu lý thuyết mật mã sau Tình hình nghiên cứu gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Hiện nay, vấn đề mật mã nói chung, dàn hệ mã NTRU nói riêng nhiều nhà khoa học nước nghiên cứu Ở Việt Nam, đề tài mẻ Tuy nhiên, nhà khoa học Việt Nam đầu tư nghiên cứu bước cố gắng bắt kịp xu hướng phát triển tính ứng dụng cao đại Mục tiêu đề tài Mục tiêu đề tài tìm hiểu cấu trúc dàn, hệ mã NTRU ứng dụng dàn công hệ NTRU để từ cải tiến hệ NTRU đưa tham số an toàn cho hệ mã NTRU Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận: Trước hết đọc tài liệu liên quan để tìm hiểu sở lý luận làm tiền đề cho việc nghiên cứu đối tượng Tiếp theo vận dụng kiến thức sở để tìm hiểu cấu trúc dàn iđêan, fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf hệ mã NTRU ứng dụng dàn iđêan công hệ NTRU thông qua tài liệu liên quan Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp hệ thống hoá kiến thức liên quan đến vấn đề nghiên cứu cách đầy đủ khoa học, kết hợp với việc đưa vào ví dụ minh hoạ cụ thể Phương pháp lấy ý kiến: Xin ý kiến trực tiếp giảng viên hướng dẫn giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức đề tài gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Chương GIỚI THIỆU VỀ DÀN 1.1 Giới thiệu Định nghĩa 1.1 Cho n véctơ độc lập tuyến tính b1 , b2 , , bn ∈ Rm , dàn sinh chúng định nghĩa sau L (b1 , b2 , , bn ) = { P xi bi |xi ∈ Z} gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Khi b1 , b2 , , bn gọi sở dàn Một cách tương đương, cho ma trận B ∈ Zm×n với cột b1 , b2 , , bn dàn sinh B L(B) = L (b1 , b2 , , bn ) = {Bx|x ∈ Zm } Khi n hạng, m số chiều Nếu n = m dàn gọi dàn có hạng đầy đủ Định nghĩa 1.1 Bao tuyến tính dàn L(B) khơng gian tuyến tính cho span(L(B)) =span(B) = {By|y ∈ Rn } Định nghĩa 1.1 Hai sở dàn B C gọi hai sở tương đương chúng sinh dàn, nghĩa L(B) = L(C) Định nghĩa 1.1 Với sở dàn B ta định nghĩa hình hộp sở dàn sau fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf P(B) = {Bx|x ∈ Rn , ∀i : ≤ xi < 1} Bổ đề 1.1 Cho L dàn hạng n, lấy b1 , b2 , , bn ∈ L n véctơ dàn độc lập tuyến tính Khi b1 , b2 , , bn tạo thành sở L P (b1 , b2 , , bn ) ∩ L = {0} Chứng minh Giả sử b1 , b2 , , bn tạo thành cở sở L P Theo định nghĩa, ta có L = { xi bi |xi ∈ Z} Trong đó, P (b1 , b2 , , bn ) = P { xi bi |xi ∈ [0, 1)} Suy P (b1 , b2 , , bn ) ∩ L = {0} Chiều ngược lại, giả sử P (b1 , b2 , , bn ) ∩ L = {0} Do L dàn hạng n P véctơ b1 , b2 , , bn độc lập tuyến tính nên với b ∈ L ta viết b = yi bi với P yi ∈ R Theo định nghĩa dàn đóng phép cộng, véctơ b0 = (yi − byi c) bi thuộc vào L Mặt khác, b0 ∈ P (b1 , b2 , , bn ) nên b0 ∈ P (b1 , b2 , , bn ) ∩ L Theo giả thiết ta có b0 = Điều suy yi số nguyên (do bi độc lập tuyến tính) b tổ hợp nguyên véctơ b1 , b2 , , bn Định nghĩa 1.1 Một ma trận U ∈ Zn×n gọi ma trận unimodular det U = ±1 Bổ đề 1.1 Bất kì ma trận unimodular U ∈ Zn×n biến đổi thành ma trận đơn vị ba phép biến đổi sơ cấp cột sau: gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf bi ↔ bj , bi ← −bj , bi ← bi + kbj với k ∈ Z Chứng minh Xét ma trận Unimodular cấp n tùy ý  b11 b12   b21 b22  U =   bn1 bn2 · · · b1n   · · · b2n      · · · bnn Trước chứng minh ta có nhận xét sau: Qua phép biến đổi sơ cấp cột ma trận thu ma trận Unimodular ˜ X ˜ bm · bi bi · bi = gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf m=1 với i Nghĩa là,   bi = bi · ˜bi ˜bi với n, điều tương đương với véctơ bi đôi trực giao 1.3 Cực tiểu liên tiếp Định nghĩa 1.3 Cho L dàn m chiều khơng gian Euclide n chiều Rn Khi đó: • Cực tiểu thứ dàn, kí hiệu λ1 (L), độ dài véctơ khác không ngắn b1 ∈ L fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf 18 • Cực tiểu thứ hai dàn, kí hiệu λ2 (L), số thực r bé cho tồn véctơ độc lập tuyến tính b1 , b2 ∈ L cho |b1 |, |b2 | ≤ r • Tổng quát, với i = 1, 2, , m, cực tiểu thứ i dàn, kí hiệu λi (L), số thực r bé cho tồn i véctơ độc lập tuyến tính b1 , b2 , , bi ∈ L cho |b1 |, |b2 |, , |bi | ≤ r Ta biểu diễn cách xác phương trình sau λi ( L ) = b1 ,b2 , ,bi ∈L max (|b1 |, |b2 |, , |bi |), cực tiểu tập i véctơ độc lập tuyến tính L Dễ thấy cực tiểu liên tiếp dãy giảm yếu λ1 (L) ≤ λ2 (L) ≤ · · · ≤ λm (L) Ví dụ 1.3 Xét dàn L = L (b1 , b2 , b3 ), b1 = (2, 0, 0)T , b2 = (0, 2, 0)T , b3 = (1, 1, 1)T Ta tìm cực tiểu liên tiếp L chuẩn l1 , l2 l∞ véctơ đạt cực tiểu Lấy u ∈ L (b1 , b2 , b3 ), với u 6= Khi u = xb1 + yb2 + zb3 , (x, y, z) ∈ Z3 \ (0, 0, 0) gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf 1) Xét chuẩn l1 Ta có kuk1 = n P |ui | = |2x + z| + |2y + z| + |z| i=1 (a) Trường hợp z = Nếu x 6= |2x| ≥ |2y| ≥ 0, suy ku1 k ≥ Nếu y 6= |2y| ≥ |2x| ≥ 0, suy ku1 k ≥ (b) Trường hợp z 6= Nếu |z| = z = ±1, |2x + z| ≥ 1| |2y + z| ≥ 1, suy kuk ≥ Nếu |z| ≥ • x = 0, y = ⇒ kuk1 ≥ • x 6= 0, y = ⇒ |2x + z| ≥ 0, |2y + z| ≥ ⇒ kuk1 ≥ • x = 0, y 6= ⇒ kuk1 ≥ • x 6= 0, y 6= ⇒ |2x + z| ≥ 0, |2y + z| ≥ ⇒ kuk1 ≥ fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf 19 Vậy kuk1 = ⇒ λ1 (L) = Khi véctơ có độ dài dấu ” = ” xảy (1),(2),(3), véctơ (2, 0, 0), (−2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, −2, 0), (0, 0, 2), (0, 0, −2) Trong có véctơ độc lập tuyến tính (2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2) nên λ1 (L) = λ2 (L) = λ3 (L) = 2) Xét chuẩn l∞ Khi kuk∞ = max |ui | = max {|2x + z|, |2y + z|, |z|} (a) Trường hợp 1: z = Nếu x 6= |2x| ≥ 2, |2y| ≥ 0, kuk∞ ≥ (1) Nếu y 6= |2y| ≥ 2, |2x| ≥ 0, kuk∞ ≥ (2) (b) Trường hợp 2: z 6= Nếu |z| = kuk∞ ≥ Nếu |z| ≥ kuk∞ ≥ (3) Vậy kuk∞ = ⇔ λ1 (L) = |z| = ⇔ z = ±1 gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf • Nếu z = x = y = x = −1, y = • Nếu z = −1 x = y = x = 0, y = −1 Khi đó, tất véctơ có độ dài (1, 1, 1), (−1, −1, −1), (−1, 1, 1), (1, −1, 1) Nhận xét: có véctơ độc lập tuyến tính (1, 1, 1), (−1, 1, 1) có độ dài lớn 1, nên λ2 (L) ≤ Lại có, = λ1 (L) ≤ λ2 (L) ≤ nên λ2 (L) = véctơ phụ thuộc tuyến tính nên λ2 (L) 6= nên λ3 (L) ≥ Ta lại có b1 , b2 , (0, 0, 2) véctơ độc lập tuyến tính thuộc dàn có độ dài lớn nên λ3 (L) ≤ Vậy λ3 (L) = Tất véctơ dàn có độ dài dấu ” = ” xảy (1)(2)(3) Bổ đề 1.3 Cho L = L (b1 , , bn ) dàn hạng n ˜b1 , , ˜bn trực giao GramSchmidt b1 , , bn Khi (a) λn (L) ≥ max k˜bi k không trường hợp tổng quát i=1,n (b) Với j = 1, , n, ta có λj (L) ≥ mini=j, ,n k˜bi k fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf 20 Chứng minh (a) Ta xét phản ví dụ, với dàn L = L (b1 , b2 ), đó, b1 = (5, 2), b2 = (6, 2) véctơ độc lập tuyến tính Xét chuẩn l∞ , ta có λ1 (L) = λ2 (L) = b ·b Ta có ˜b1 = b1 , ˜b2 = b2 − ˜b1 = b1 · b 10 k˜b2 k = 29 n o ˜ ˜ Suy max kb1 k, kb2 k = > λ2 (L)   −10 , Từ kb˜1 k = kb1 k = 29 29 n o (b) Ta chứng minh với 6= y ∈ L kyk ≥ k˜b1 k, · · · , k˜bn k Thật vậy, 6= y ∈ Λ nên y = n P ri bi , ri ∈ Z với i = 1, n Vì y 6= nên tồn i=1 ri 6= với i đó; lấy k số lớn để rk 6= Ta có y= n P i=1 ri bi = k P i P ri i=1 ! µij ˜bj = j=1 bi · ˜bj ri µij ˜bj với µij = ˜bj · ˜bj i=1 j=1 k P i P Đảo ngược thứ tự tổng, sử dụng tính chất µkk = 1, ta có y= k X  k X  gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf  j=1 ri µij  · ˜bj = rk˜bk + i=j k−1 X vj ˜bj j=1 với v1 , , vk−1 ∈ R Vì ˜b1 , , ˜bn hệ trực giao nên ta kyk = rk2 k˜bk k2 + k−1 X vj2 k˜bj k2 j=1 Vì rk số nguyên khác nên ta có rk2 ≥ 1, kyk ≥ k˜bk k2 + k−1 X vj2 k˜bj k2 j=1 Tất số hạng tổng không âm nên kyk2 ≥ k˜bk k2 + k−1 X j=1 n o vj2 k˜bj k2 ≥ k˜bk k2 ≥ k˜b1 k2 , , k˜bn k2 fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf 21 Ta lại có, với i ≤ j ≤ n, tồn véctơ bj ∈ Λ cho kbj k = λj (L) Vậy với ≤ j ≤ n, ta có λj (L) = k˜bi k i=j, ,n Mệnh đề 1.3 Cho b1 , b2 , , bn sở Rn ˜b1 , ˜b2 , , ˜bn trực giao Gram-Schmidt Gọi L dàn sinh b1 , b2 , , bn Với 6= y ∈ L ta có kyk ≥ min{k˜b1 k, k˜b2 k, , k˜bn k} Chứng minh Lấy y phần tử khác không L, y= n X ri bi , ri ∈ Z, ∀i = 1, n i=1 Vì y 6= nên tồn ri 6= Gọi k số lớn để rk 6= Sử dụng Định nghĩa ?? ta có y= k X ri i=1 = k X i X gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf µij ˜bj j=1  k X  j=1  ri µij ˜bj i=j = rk˜bk + k−1 X νj ˜bj (do µkk = 1) j=1 với ν1 , ν2 , , νk−1 ∈ R Vì ˜b1 , ˜b2 , , ˜bn trực giao, ta có kyk = rk2 k˜bk k2 + k−1 X νj2 k˜bj k2 j=1 Vì rk số nguyên khác không nên rk2 ≥ kyk2 ≥ k˜bk k2 + k−1 X j=1 νj2 k˜bj k2 fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf 22 Tất số hạng tổng không âm, ta có kyk2 ≥ k˜bk k2 ≥ min{k˜b1 k2 , k˜b2 k2 , , k˜bn k2 } Từ suy kyk ≥ min{k˜b1 k, k˜b2 k, , k˜bn k} Định nghĩa 1.3 Cho S tập tùy ý khơng gian Euclide n chiều Rn Ta nói • S đối xứng tâm x ∈ S suy −x ∈ S • S tập lồi x, y ∈ S suy αx + (1 − α)y ∈ S với ≤ α ≤ 1; nghĩa là, S chứa đường thẳng liên kết x y Định lý 1.3 (Blichfeld) Cho dàn L ⊆ Rn hạng đầy đủ tập đếm S ⊆ Rn với vol(S) > det L, tồn hai điểm z1 , z2 ∈ S cho z1 − z2 ∈ L gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Chứng minh L = L(B), B sở L Xét tập x + P(B) := {x + y|y ∈ P(B)} tạo thành phân hoạch Rn S P Đặt Sx = S ∩ (x + P(B)) Suy S = Sx Từ vol(S) = vol(Sx ) x∈L   b b Đặt Sx = Sx − x Khi Sx ⊆ P(B) vol Sbx = vol (Sx ) x∈L Ta P x∈L vol(Sbx ) = P x∈L vol(Sx ) = vol(S) > vol (P(B)) Do tồn x, y ∈ L, x 6= y cho Sbx ∩ Sby 6= ∅ Giả sử z ∈ Sbx ∩ Sby Khi ( z1 = z + x ∈ Sx ⊆ S z2 = z + y ∈ Sy ⊆ S ⇒ z1 − z2 = (z + x) − (z + y) = x − y ∈ L