Thuật toán phân tích tính độc lập của hệ cơ sở của t ideal các đồng thức của đại số các ma trận trên một trường có đặc số không

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRẦN ĐỨC HUYÊN THUẬT TỐN PHÂN TÍCH TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HỆ CƠ SỞ CỦA T-IDEAL CÁC ĐỒNG NHẤT CỦA ĐẠI SỐ CÁC MA TRẬN TRÊN MỘT TRƯỜNG CĨ ĐẶC SỐ KHƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC TP HỒ CHÍ MINH – 1994 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRẦN ĐỨC HUYÊN THUẬT TỐN PHÂN TÍCH TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HỆ CƠ SỞ CỦA T-IDEAL CÁC ĐỒNG NHẤT CỦA ĐẠI SỐ CÁC MA TRẬN TRÊN MỘT TRƯỜNG CĨ ĐẶC SỐ KHƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: GS BÙI TƯỜNG TRÍ TP HỒ CHÍ MINH - 1994 LỜI NĨI ĐẦU Trong luận văn này, chúng tơi trình bày kết liên quan đến đa thức đồng đại số ma trận trường có đặc số không Đặc biệt định lý AMITSUR – LEVITZKI đa thức chuẩn tắc S 2n M k (K) đại số ma trận vuông cấp n trường K Đặc biệt cố gắng phát triển kết RAZMYLOV hệ sở T – Ideal cá đồng thức M (K) cách đưa thuật toán phân tích tính độc lập hệ sở Computer Chúng xin chân thành biết ơn Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm Đại học Tổng hợp tận tình hướng dẫn chúng tơi năm học Đặc biệt Thầy BÙI TƯỜNG TRÍ, người trực tiếp đề tài hướng dẫn chúng tơi hồn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh 12-1994 Trần Đức Huyên MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC PHẦN 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Đại số trường: Đại số tự trường PI Đại số T Ideal Đồng thức hệ quả: Tuyến tính hóa Các kết 11 PHẦN 2: CƠ SỞ CỦA T_IDEAL CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA ĐẠI SỐ M (K) 12 Kết RAZMYLOV 12 Tính độc lập hệ sở 13 PHẦN 3: THUẬT TỐN PHÂN TÍCH TÍNH ĐỘC LẬP CỦA HỆ SINH CỦA U(M (K) 14 Mệnh đề 14 Mệnh đề 15 Thuật tốn phân tích độc lập H T 15 Mệnh đề 4: 16 KẾT LUẬN CHÍNH CỦA LUẬN VĂN 20 PHỤ LỤC 21 PHẦN 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Đại số trường: Cho K trường, A đại số trường K nếu: 1/ (A, +, ) vành có đơn vị 2/ Phép nhân ngồi K×A→ (α, a) i) A  αa thỏa: (α+β)a = αa + βa ii) α(a+b) = αa + αb ii) α(βa) = (αβ)a 3/ a(αb) = α(ab) Nói cách khác A đại số trường K A vừa vành có đơn vị khơng gian vectơ trường K cho phép nhân vô hướng phép nhân vành giao hoán với Đại số tự trường K trường có đặc số X = {x ,…,x n ,…} : Tập vơ hạn đếm biến hình thức Từ : x i x ik : Khơng giao hốn Nửa nhóm tự sinh X K{X} : Tập đa thức nhiều biến không gian hoán hệ số K đại số tự sinh X K Tính chất đại số tự K{X} Cho A đại số K ánh xạ ϕ : X → A Luôn tồn đồng cấu φ : K{X} → A cho biểu đồ sau giao hoán: f ∈ K{X} ⇒ f ∈ {x ,…,x m } f = f(x , x ,…,x m ) ϕ:X→A xi → φ : K{X} → A f(x i ,…,x m ) → f(a i ,…,a m ) PI Đại số A đại số K f≠0 A PI đại số ∃f(x ,…,x m ) ∈ K{X} Sao cho f(a ,…,a m ) = ∀a ,…,a m ∈ A Khi f(x ,…,x m ) ∈ Ker φ ∀ϕ : X → A f gọi đa thức đồng A hay đồng thức A Gọi U(A) Ideal đồng thức A đại số tự K{X}, ta có: U(A) = ∩ Ker φ ∀ϕ : X → A U(A) ∆ K{X} T Ideal Một Ideal I K{X} gọi T_ideal nếu: ∀f ∈ End K{X}, ta có : f(I) ⊂ I Hiển nhiên ∀f ∈ End K{X} f(U(A)) ⊂ U(A) Vậy U(A) T_Ideal K{X} Đồng thức hệ quả: Đồng thức f gọi hệ đồng thức f i (i ∈ I) f thuộc T_ideal sinh f i với i ∈ I Kí hiệu : f ∈ < f i , i ∈ I > T Dễ thấy f i ∈ U(A) (∀i ∈ I) f ∈ U(A) f ∈ T Thì U(A) gọi T_Ideal hữu hạn sinh Định lý tuyến tính hóa: Gọi M tập hợp đồng thức đa tuyến tính PI đại số A ta ln có: U(A) = T Chứng minh: Bước 1: Mọi đồng thức f ∈ U(A) hệ đồng thức Xét f(x ,…,x n ) ∈ U(A) f = f +f +…+f i +…+f k f i : bậc i x Ta chứng minh f i ∈ U(A) Thật vậy: f(αx1 , ,x n=) k ∑ α f (x , ,x t t n ) t=0 Do f(α i a ,…,a n ) = i = 0,…,k Chọn α i cho đơi khác ta hệ phương trình tuyến tính: f +α f1 +α 02 f + +α 0k f k =0  k f +α1f1 +α1 f + +α1 f k =0   f +α f +α f + +α k f =0 k k 0 k1 k Có định thức định thức Vandermon α α 02 α 0k D=  =π(αi -α j ) ≠ 0 ≤ j1 Đặt: g(y1 ,y ,x , ,x n )= f(y1 +y ,x , ,x n )-f(y1 ,x , ,x n )-f(y ,x , ,x n ) Ta có : g ∈ U(A) g bậc x < k Mặt khác : g(x1 ,x1 ,x , ,x n )=2k1 f(x1 , ,x n )-2f(x1 , ,x n ) =(2k1 -2)f(x1 , ,x n ) ⇒ f(x1 , ,x n )= g(x1 ,x1 ,x , ,x n ) -2 k1 10 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42