Khảo sát giá trị một số hàm nhiệt động lực học đặc trưng của hệ boson ít hạt theo nhiệt độ trong bẫy điều hòa một chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  HỒNG TUẤN ĐỨC ĐỀ TÀI KHẢO SÁT GIÁ TRỊ MỘT SỐ HÀM NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC ĐẶC TRƯNG CỦA HỆ BOSON ÍT HẠT THEO NHIỆT ĐỘ TRONG BẪY ĐIỀU HÒA MỘT CHIỀU KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC TP Hồ Chí Minh, 04/2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  HOÀNG TUẤN ĐỨC ĐỀ TÀI KHẢO SÁT GIÁ TRỊ MỘT SỐ HÀM NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC ĐẶC TRƯNG CỦA HỆ BOSON ÍT HẠT THEO NHIỆT ĐỘ TRONG BẪY ĐIỀU HỊA MỘT CHIỀU Thuộc tổ mơn: Vật lý đại cương KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH TP Hồ Chí Minh, 04/2022 Tp Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 04 năm 2022 Xác nhận Giảng viên hướng dẫn PGS TS Phạm Nguyễn Thành Vinh Tp Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 04 năm 2022 Xác nhận Chủ tịch Hội đồng TS Nguyễn Lâm Duy LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tơi nhận nhiều quan tâm học q báu từ Thầy Cơ, gia đình bạn bè Do đó, tơi xin gửi đến người lời cảm ơn chân thành thơng qua khóa luận Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô khoa truyền đạt học bổ ích suốt năm qua để tơi hồn thành tốt khóa luận Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy PGS TS Phạm Nguyễn Thành Vinh tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Tôi xin gửi lời cảm ơn đến anh Trần Dương Anh Tài thành viên nhóm nghiên cứu AMO trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh khuyến khích hỗ trợ tơi suốt q trình làm khóa luận q trình học tập trường Tơi vơ biết ơn gia đình ln tin tưởng, động viên tạo điều kiện để tập trung học tập hồn thành khóa luận tốt nghiệp trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Trân trọng TP.HCM, tháng 04 năm 2022 Hoàng Tuấn Đức MỤC LỤC Trang Mục lục i DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ii Danh sách hình vẽ .iii MỞ ĐẦU Chương I TỔNG QUAN 1.1 Lí thuyết thống kê lượng tử hàm nhiệt động lực học 1.2 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein việc nghiên cứu hệ hạt lượng tử Chương PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỐN 10 2.1 Lượng tử hóa lần hai (Second Quantization) 10 2.2 Phương pháp chéo hóa ma trận xác (Exact Diagonalization) 15 2.3 Phương pháp giải tích hàm tổng thống kê hệ hạt boson 18 Chương KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 20 3.1 Mô tả Hamiltonian toán 20 3.2 Giải tích giải số cho trường hợp hai hạt boson bẫy điều hòa chiều 21 3.3 Giải tích giải số cho trường hợp ba hạt boson bẫy điều hòa chiều 26 3.4 Giải tích giải số cho trường hợp bốn hạt boson bẫy điều hòa chiều 29 3.5 Giải số cho trường hợp năm hạt boson bẫy điều hòa chiều 33 3.6 Phân tích giá trị hàm nhiệt động lực học 34 Chương KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 i DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt BEC Bose-Einstein Condensation ED Exact Diagonalization HO Harmonic Oscillator ii Hiện tượng ngưng tụ BoseEinstein Phương pháp chéo hóa ma trận xác Dao động tử điều hịa DANH SÁCH HÌNH VẼ Hình Mô tả hạt Hình Năng lượng tự Helmholtz trường hợp N = 23 Hình Entropy nhiệt động lực học trường hợp N = 24 Hình Năng lượng trung bình trường hợp N = 25 Hình Nhiệt dung trường hợp N = 25 Hình Năng lượng tự Helmholtz trường hợp N = 28 Hình Entropy nhiệt động lực học trường hợp N = 28 Hình Năng lượng trung bình trường hợp N = 29 Hình Nhiệt dung trường hợp N = 29 Hình 10 Năng lượng tự Helmholtz trường hợp N = 32 Hình 11 Entropy nhiệt động lực học trường hợp N = 32 Hình 12 Năng lượng trung bình trường hợp N = 33 Hình 13 Nhiệt dung trường hợp N = 33 Hình 14 Kết giải số hàm nhiệt động lực học trường hợp N = 34 iii MỞ ĐẦU Trong vật lý học, nhiệt động lực học vật lý thống kê đóng vai trị quan trọng việc khảo sát giải thích tính chất đại lượng vĩ mô hệ vật lý dựa tính chất động lực học vi mơ chúng [1, 2] Vào năm 1859, Clausius cộng đưa nghiên cứu đại lượng quãng đường tự trung bình hạt từ hình thành nên ý tưởng vật lý thống kê [3] Sự đời vật lý thống kê giúp nhà khoa học mở rộng nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác hóa học khoa học địa chất [2] Bên cạnh đó, vật lý thống kê nhà vật lý sử dụng để nghiên cứu trạng thái rắn, lỏng, khí, chuyển pha trạng thái đa pha vật chất [4] Sau phép thống kê cổ điển Maxwell Boltzmann xây dựng vào năm 1872 [5], vật lý thống kê ngày phát triển mạnh với hàng loạt hệ vật lý tính giải tích hệ thuận từ hai trạng thái, mơ hình chất rắn Einstein nhằm giải thích nhiệt dung riêng chất rắn nhiệt độ cao mơ hình khí lí tưởng cổ điển [6] Tuy nhiên, nhiệt độ hệ đủ thấp, lí thuyết thống kê Boltzmann-Maxwell khơng cịn cho kết xác với kết thực nghiệm hiệu ứng lượng tử chiếm ưu [4] Trong vật lý thống kê lượng tử, hạt có spin nguyên bất khả phân biệt gọi boson cịn hạt có spin bán ngun gọi fermion, hạt tuân theo phân bố Bose-Einstein Fermi-Dirac [4, 6, 7] Điều dẫn đến tượng vật lý khác họ hạt hệ vật lý lượng tử Sự khác biệt rõ rệt hạt boson chiếm đóng trạng thái lượng tử, hạt fermion khơng thể chiếm đóng trạng thái lượng tử nguyên lí loại trừ Pauli Sự khác biệt dẫn đến tượng vật lý vô quan trọng dự đốn lí thuyết Bose Einstein vào năm 1925 Khi hệ khí tạo hạt boson làm lạnh đến nhiệt độ tới hạn, lượng lớn hạt boson chiếm đóng trạng thái - trạng thái lượng tử có lượng thấp Lúc này, hiệu ứng lượng tử trở nên rõ ràng, quan sát cấp độ vĩ mô Nhờ vào phát triển kĩ thuật làm lạnh laser [8], nhóm nghiên cứu Anderson đại học Colorado Boulder lần quan sát thực nghiệm tượng ngưng tụ Bose-Einstein (Bose-Einstein condensation BEC) nguyên tử 87Rb vào năm 1995 [9] Sau đó, tượng BEC quan sát với nguyên tử 23 Na [10], 7Li [11], 1H [12], 85 Rb [13], Cs [14] Bên cạnh thí nghiệm boson, thí nghiệm hệ fermion siêu lạnh đạt kết quan trọng Các kết kể đến quan sát áp suất Fermi (Fermi pressure) [15], khí Fermi suy biến tương tác mạnh [16], cấu trúc pseudogap khí Fermi tương tác mạnh 0.2TF, với TF nhiệt độ Fermi [17] Các quan sát thực nghiệm khẳng định tính xác dự đốn lí thuyết trước chứng tỏ tính khả thi việc nghiên cứu hiệu ứng lượng tử thang đo vĩ mô Bên cạnh đó, nhà khoa học cịn nghiên cứu hệ hỗn hợp BEC khác nhau, nghiên cứu tượng vật lý đặc biệt xảy cho hệ BEC tương tác lẫn [18, 19] Từ đó, hướng nghiên cứu mới, sôi động, phát triển nhanh có nhiều ứng dụng tiềm nhiều lĩnh vực khác vật lý học đại mở thu hút nhiều quan tâm nhà vật lý [20] Việc nghiên cứu tượng BEC giúp giải thích hàng loạt hiệu ứng vật lý tượng siêu chảy heli lỏng [21] tượng siêu dẫn [22] Ngoài ra, hệ hạt boson tiến đến trạng thái BEC, hạt đồng thời chuyển mức lượng thấp Do đó, tính chất lượng tử hệ hạt nhiều thông tin cấu trúc, nhiệt động lực học tính chất đặc biệt vật chất thể rõ Những tính chất có ứng dụng lớn vật lý chất rắn, vật lý chất lưu vật lý hạt nhân [20, 23] Chính thế, nhà vật lý năm gần quan tâm đến lĩnh vực nghiên cứu tính chất tương tác nguyên tử xảy tượng BEC trường khác bẫy quang học [20] Bên cạnh việc nghiên cứu tính chất vĩ mơ hệ khí lượng tử nhiều nguyên tử (103-105 hạt), hướng nghiên cứu quan trọng khác hệ khí với số lượng nguyên tử xác định xác Một nghiên cứu lí thuyết quan trọng hướng nghiên cứu lời giải tích xác hệ hai boson có tương tác bẫy điều hồ Busch cộng vào năm 1998 [24] Kết này, với mơ hình hệ boson hạt có tương tác đề xuất Olshanii [25] tính khả thi việc tạo hệ thực nghiệm [26-29] thúc đẩy nghiên cứu sâu hệ khí lượng tử hạt [30-32] bẫy điều hoà chiều Những hiểu biết hệ khí lượng tử hạt giúp lấp đầy khoảng trống hệ vật lý hạt, hai hạt nhiều hạt Mặc dù nghiên cứu lí thuyết hàm nhiệt động lực học hệ khí boson lí tưởng bẫy điều hồ giới hạn nhiệt động lực học (thermodynamics limit) nghiên cứu kĩ lưỡng cơng trình [33-42], hàm nhiệt động lực học hệ khí lượng tử hạt lí tưởng chưa giải cách triệt để Những luận cho thấy việc nghiên cứu lí thuyết hệ nguyên tử siêu lạnh hạt bẫy có nhiều ý nghĩa vật lý Đối với hệ hạt lí tưởng, Zhou cộng đề xuất biểu thức tính hàm tổng thống kê cho khí lượng tử lí tưởng, khí lượng tử khí cổ điển có tương tác với vào năm 2018 [43] Zhou cộng sử dụng tính chất hàm đối xứng để xây dụng biểu thức tính hàm tổng thống kê cho hệ N hạt boson fermion lí tưởng dựa hàm tổng thống kê hạt Chính nhờ đó, ta tìm lời giải tích xác hàm tổng thống kê hệ hạt boson bẫy điều hịa chiều Tuy nhiên, ta tính tốn giải tích cho trường hợp hệ hai, ba bốn hạt boson bẫy điều hòa chiều, với hệ từ năm hạt boson trở lên phép tính giải tích phức tạp bậc định thức lớn Ngồi ra, nghiên cứu giải số hàm tổng thống kê tính hàm nhiệt động lực học cho hệ hạt Do ta cần chương trình giải số xác để khảo sát hàm nhiệt động lực học hệ khí lí tưởng bẫy điều hịa chiều, phần để kiểm chứng công thức giải tích đồng thời để khảo sát hệ từ năm hạt trở lên Với đánh giá nêu trên, thực đề tài “Khảo sát giá trị số hàm nhiệt động lực học đặc trưng hệ boson hạt theo nhiệt độ bẫy điều hịa chiều” với mục đích khơng nghiên cứu hàm nhiệt động lực học hệ khí boson lí tưởng mà cịn hồn thiện tranh vật lý hệ nhiều hạt hạt Ngồi ra, chúng tơi chọn nghiên cứu boson khóa luận với mục đích khảo sát tính chất ngưng tự BEC hệ hạt boson, đồng thời làm tiền đề cho nghiên cứu fermion Những kết thu chương trình tính tốn số phát triển đề tài sở quan trọng cho nghiên cứu      e4,5   − 2e5,5   + e6,5   S = k − ln     ( −1 + e   )3 ( −1 + e2   )( −1 + e3        )   (3.22) Đạo hàm riêng phần theo  ta thu S = k ln Z (  ,3) + k  A ( −1 + e )( −1 + e )( −1 + e )( e   2  3  4,5   − 2e5,5   + e6,5   ) , (3.23) đó, biểu thức A định nghĩa A = 4,5e4,5  +3e10,5    − 12,5e5,5  − 3,5e11,5    + 9e6,5   + 1,5e7,5   − 2e8,5   − 1,5e9,5   (3.24) + 1,5e12,5   Năng lượng trung bình hệ hạt boson xác định sau E = F + TS =  A ( −1 + e )( −1 + e )( −1 + e )( e   2  3  4,5   − 2e5,5   + e6,5   ) (3.25) Đạo hàm riêng phần lượng trung bình theo  ta thu C = k 2  (e 10   ( −1 + e ) ( −1 + e − 11e12  −273e18      + 8e13 + 32e19    + 27e14  + 27e 20   ) ( −1 + e 2   + 32e15  +8e 21  ) (e 3   4,5   − 273e16  − 11e 22   + e 24    − 2e 5,5   + 432e17  +e ) 6,5     ) (3.26) 3.3.2 So sánh giải số giải tích Đối với N = 3, M = 100 số chiều khơng gian Hilbert D = 171700 Tương tự trường hợp hai hạt boson, ta so sánh kết giải số lượng tự Helmholtz với biểu thức giải tích (3.21) sau 27 Hình Năng lượng tự Helmholtz trường hợp N = Kết giải số giải tích trường hợp ba hạt trùng khớp với nhau, ta nhận thấy nhiệt độ hạ xuống thấp lượng tự Helmholtz tiến lượng trung bình hệ Tiếp theo ta so sánh kết giải số entropy nhiệt động lực học với biểu thức giải tích (3.23) (3.24); kết giải số lượng trung bình với biểu thức (3.25) kết giải số nhiệt dung hệ với biểu thức (3.26) Hình Entropy nhiệt động lực học trường hợp N = 28 Hình Năng lượng trung bình trường hợp N = Hình Nhiệt dung trường hợp N = 3.4 GIẢI TÍCH VÀ GIẢI SỐ CHO TRƯỜNG HỢP BỐN HẠT BOSON TRONG BẪY ĐIỀU HỊA MỘT CHIỀU 3.4.1 Kết giải tích Xét hệ bốn hạt boson không tương tác bẫy điều hịa chiều, ta tiếp tục tính hàm tổng thống kê biểu thức (2.36) sau Z ( ) Z (  , 4) = −1 0 −2 Z ( 2 ) Z (  ) −3 4! Z ( 3 ) Z (  ) Z (  ) Z (  ) Z ( 3 ) Z ( 2 ) Z (  ) (3.27) Ta giải định thức ma trận bậc cách tách thành hai định thức ma trận bậc sau 29 Z ( ) −2 Z ( 2 ) −2 1 Z (  , ) = Z (  ) Z ( 2 ) Z (  ) −3 + Z ( 3 ) Z (  ) −3 (3.28) 24 24 Z ( 3 ) Z ( 2 ) Z (  ) Z ( 4 ) Z ( 2 ) Z (  ) Xét định thức ma trận vuông 3x3 thứ Z ( ) −2 B1 = Z (  ) Z (  ) Z (  ) −3 24 Z ( 3 ) Z (  ) Z (  ) (3.29) Tách biểu thức (3.29) thành hai định thức ma trận 2x2 sau thu gọn, ta thu B1 =  Z (  ) + Z (  ) Z (  ) + Z (  ) Z ( 3 )   24  (3.30) Xét định thức ma trận vuông 3x3 thứ hai Z ( 2 ) −2 B2 = Z ( 3 ) Z (  ) −3 24 Z ( 4 ) Z ( 2 ) Z (  ) (3.31) Thu gọn tương tự ta thu B2 =  2 Z (  ) Z (  ) + 3Z (  ) + Z ( 3 ) Z (  ) + Z (  )   24  (3.32) Từ biểu thức (3.30) (3.32), ta thu hàm tổng thống kê cho trường hợp bốn hạt boson khơng tương tác bẫy điều hịa chiều Z (  , 4) =  2 Z (  ) + Z (  ) Z (  ) + Z (  ) Z (  ) + 3Z (  ) + Z (  )   24  (3.33) Thay biểu thức (3.5) vào biểu thức (3.33), sau ta thu gọn Z (  , 4) = e8   ( −1 + e ) (1 + e ) (1 + e     2  )(1 + e Năng lượng tự Helmholtz hệ xác định sau 30   +e 2  ) (3.34) F = −kT ln Z (  , )  = − ln    ( −1 + e   e8   ) (1 + e ) (1 + e )(1 + e    2    + e2      ) (3.35) Hàm entropy nhiệt động lực học xác định tương tự trường hợp ba hạt S = k F       = k − ln     ( −1 + e    e8   ) (1 + e ) (1 + e    2  )(1 + e   + e2      )   (3.36) Sau ta đạo hàm riêng phần F theo  biểu thức (3.36), ta thu S = k ln Z (  ,4 ) − k  + 9e  + 12e2   + 8e3  + 6e4   + 3e5  + 2e6  (1 + e  + e2  − e4  − e5  − e6  )  (3.37) Năng lượng trung bình hệ trường hợp bốn hạt boson E = F + TS = −  + 9e   + 12e2   + 8e3  + 6e4   + 3e5  + 2e6  (1 + e  + e2  − e4  − e5  − e6  )  (3.38) Nhiệt dung hệ bốn hạt boson không tương tác bẫy điều hòa chiều xác định tương tự trường hợp ba hạt C = −k  = −k  E    + 9e   + 12e   + 8e3   + 6e   + 3e5   + 2e6   −    (1 + e  + e2   − e4   − e5  − e6   )      (3.39) Đạo hàm riêng phần lượng trung bình theo  biểu thức (3.39), rút gọn ta thu C=  k 2 ( −1 − e e   L   − e2   31 + e4   + e5   + e6  )  , (3.40) đó, L định nghĩa L = + 8e  +72e7    + 27e2  + 27e8    + 72e3 + 8e9    + 108e   + 144e5   + 108e6   + e10   (3.41) 3.4.2 So sánh giải số giải tích Đối với trường hợp N = 4, M = 100 số chiều khơng gian Hilbert tăng mạnh đến D = 4421275 Tương tự trường hợp hai hạt ba hạt, ta so sánh kết giải số giải tích hàm nhiệt động lực học bốn hạt boson khơng tương tác bẫy điều hịa chiều sau Hình 10 Năng lượng tự Helmholtz trường hợp N = Hình 11 Entropy nhiệt động lực học trường hợp N = 32 Hình 12 Năng lượng trung bình trường hợp N = Hình 13 Nhiệt dung trường hợp N = Từ kết thu trên, ta nhận thấy kết giải tích giải số trùng khớp với nhau, điều khẳng định tính xác chương trình giải số Chính trường hợp nhiều hạt đặt phức tạp hơn, việc tính định thức ma trận lớn khó, phức tạp tốn nhiều thời gian nên ta sử dụng chương trình giải số để khảo sát hàm nhiệt động lực học cho hệ hạt 3.5 GIẢI SỐ CHO TRƯỜNG HỢP NĂM HẠT BOSON TRONG BẪY ĐIỀU HÒA MỘT CHIỀU Trong trường hợp năm hạt boson khơng tương tác bẫy điều hịa chiều, việc tính giải tích định thức ma trận vng 5x5 phức tạp Chính thế, trường hợp năm hạt, khảo sát kết giải số phương pháp ED 33 Tuy nhiên, khác với trường hợp hệ năm hạt, chúng tơi tính tốn với số trạng thái lượng M = 65 , số chiều không gian Hilbert D = 11238513 , địi hỏi máy tính phải có nhớ truy xuất ngẫu nhiên (RAM) đủ lớn để lưu trữ ma trận có kích thước D  D Chính số trạng thái lượng không đủ lớn nên khảo sát hàm nhiệt động lực học vùng nhiệt độ thấp so với trường hợp Hình 14 Kết giải số hàm nhiệt động lực học trường hợp N = 3.6 PHÂN TÍCH GIÁ TRỊ CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC Về tính chất nhiệt động lực học hệ boson không tương tác bẫy điều hòa chiều, Cheng cộng khảo sát nội năng, entropy S, lượng tự Helmholtz F nhiệt dung hệ hạt boson nghiên cứu vào năm 2015 [54] Trong báo này, Cheng sử dụng thống kê tắc lớn, để sử dụng thống kê tắc lớn địi hỏi hệ phải nhiều hạt (lớn 40 hạt) để hệ có trao đổi số hạt trao đổi lượng với môi trường, xét hệ nhiều hạt nên xét tính chất hệ hạt tiến tới giới hạn nhiệt động lực học Tuy nhiên, ta xét số hạt không đổi ta xét hệ hạt nên ta sử dụng thống kê tắc Chính 34 ta so sánh vài tính chất đặc trưng đại lượng nhiệt động lực học với báo Cheng, cụ thể sau: Trong nhiệt động lực học, lượng tự Helmholtz hệ cơng để đưa N hạt vào bình chứa cân nhiệt với hệ điều nhiệt khác (không cần tốn lượng nâng nhiệt độ bình chứa) Tại nhiệt độ nhỏ tiến K, lượng tự Helmholtz tiến lượng trung bình hệ hạt, trạng thái BEC (các hạt chiếm đóng mức lượng bản) Ngồi ra, hàm F hệ N hạt xác định hàm giảm nhanh theo nhiệt độ T Entropy nhiệt động lực học đặc trưng cho tính chất hỗn loạn hệ Entropy hệ đại lượng không âm, nhiệt độ tiến K, entropy giảm tức hệ hỗn loạn bền vững Ngược lại nhiệt độ tăng cao, hạt chuyển động hỗn loạn Khi số hạt tăng lên, hàm S tăng nhanh Đối với nhiệt độ thấp (bé 0.1) entropy khơng thay đổi theo số hạt, nhiên nhiệt độ tăng 0.1 entropy hàm tăng nhanh theo nhiệt độ Đối với hàm lượng trung bình, nhiệt độ giảm tiến lượng trung bình tiến NE0 , tức hạt boson có xu hướng chiếm đóng mức lượng thấp (ground state) - tượng ngưng tụ Bose-Einstein Khi nhiệt độ tăng lên, lượng trung bình hệ tăng, tức hạt chiếm đóng trạng thái kích thích cao Đối với hàm nhiệt dung, tồn nhiệt độ T * Ở nhiệt độ nhỏ T * nhiệt dung hệ hạt boson hàm tăng nhanh theo nhiệt độ, hàm tăng theo số hạt Còn miền nhiệt độ lớn T * nhiệt dung hệ tiến giá trị giới hạn cổ điển C = Nk , giá trị nhiệt độ T * tăng theo số hạt hệ Với hệ hạt boson khơng tương tác ta khơng thể khảo sát trạng thái chuyển pha vật chất hay tính chất hệ hạt hệ đạt tới giới hạn nhiệt động lực học (số hạt khoảng 103 đến 104 hạt) 35 CHƯƠNG KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN Trong nghiên cứu này, chúng tơi sử dụng lí thuyết thống kê lượng tử, kết hợp với lượng tử hóa lần hai phương pháp chéo hóa ma trận xác (ED) để xây dựng chương trình giải số MATLAB nhằm tính trị riêng Hamiltonian hàm nhiệt động lực học hệ hạt boson khơng tương tác bẫy điều hòa chiều; phương pháp sử dụng tính chất hàm đối xứng Zhou nhằm giải tích hàm tổng thống kê hàm nhiệt động lực học, sau so sánh với kết giải số từ chương trình Chúng tơi đạt kết cụ thể sau: • Giải tích xác hàm tổng thống kê cho trường hợp hai hạt, ba hạt bốn hạt Từ hàm tổng thống kê hệ, tính hàm nhiệt động lực học gồm lượng tự Helmholtz F, entropy S, lượng trung bình E nhiệt dung C • Giải số hàm nhiệt động lực học cho trường hợp hạt Kết giải số thu trùng khớp với kết giải tích Điều khẳng định tính xác độ đáng tin cậy chương trình giải số • Kết tính tốn hệ hạt boson khơng tương tác sở để tiếp cận tốn hệ hạt boson có tương tác dự đốn cho kết thực nghiệm • Ngồi ra, việc tính tốn hệ hạt boson khơng tương tác bẫy điều hồ cịn có ý nghĩa giảng dạy đồng thời hồn thiện tranh vật lý cho việc nghiên cứu tính chất lượng tử hệ hạt, tốn hệ hạt nguyên tử siêu lạnh Từ kết trên, nhận thấy cải thiện chương trình tính số, chúng tơi tính toán số cho trường hợp nhiều hạt boson bẫy điều hòa chiều (từ hạt trở lên) Bởi thời điểm tại, số chiều ma trận trạng thái D trường hợp hạt M = 65 D = 131115985 , số lớn nên việc xử lí máy tính cá nhân chưa thể thực Ngồi ra, chúng tơi phát triển đề tài cách nâng cấp chương trình giải số để tính tốn cho fermion bẫy điều hòa chiều, hệ hạt boson fermion bên số khác 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A M Guenault, Statistical Physics, second edition Springer Netherlands, 1995 [2] D V Schroeder, An introduction to thermal physics, Pearson, 1999 [3] R Clausius, “On the mean length of the paths described by the separate molecules of gaseous bodies on the occurrence of molecular motion: together with some other remarks upon the mechanical theory of heat,” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 17(112), 81-91, 1859 [4] R K Pathria and P D Beale, Statistical Mechanics, third edition Academic Press, 2011 [5] B H Lavenda, Statistical physics: A probabilistic approach Courier Dover Publications, 2016 [6] K Huang, Introduction to statistical physics Chapman and Hall/CRC, 2009 [7] M Kardar, Statistical physics of particles Cambridge University Press, 2007 [8] S Chu, “Laser manipulation of atoms and particles,” Science, 253(5022), 861-866, 1991 [9] M H Anderson, J R Ensher, M R Matthews, C E Wieman and E A Cornell, “Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor.”, Science, 269(5221), 198-201, 1995 [10] K B Davis, M O Mewes, M R Andrews, N J van Druten, D S Durfee, D M., Kurn and W Ketterle, “Bose-Einstein condensation in a gas of sodium atoms.”, Physical Review Letters, 75(22), 3969, 1995 [11] C C Bradley, C A Sackett, J J Tollett, R G Hulet, “Evidence of Bose-Einstein condensation in an atomic gas with attractive interactions.”, Physical Review Letters, 75(9), 1687, 1995 [12] D G Fried, T C Killian, L Willmann, , and T J Greytak, “Bose-Einstein condensation of atomic hydrogen.”, Physical Review Letters, 81(18), 3811, 1998 [13] S L Cornish, N R Claussen, J L Roberts, E A Cornell and C E Wieman, “Stable 85 Rb Bose-Einstein condensates with widely tunable interactions.” Physical Review Letters, 85(9), 1795, 2000 [14] T Weber, J Herbig, M Mark, C H Nägerl and R Grimm, “Bose-Einstein condensation of cesium.”, Science, 299(5604), 232-235, 2003 37 [15] A G Truscott, K E Strecker, W I McAlexander, G B Partridge and R G Hulet, “Observation of Fermi pressure in a gas of trapped atoms.”, Science, 291(5513), 25702572, 2001 [16] K M O'hara, S L Hemmer, M E Gehm, S R Granade and J E Thomas, “Observation of a strongly interacting degenerate Fermi gas of atoms.” Science, 298(5601), 2179-2182, 2002 [17] J P Gaebler, J T Stewart, T E Drake, D S Jin, A Perali, P Pieri and G C Strinati, “Observation of pseudogap behaviour in a strongly interacting Fermi gas.”, Nature Physics, 6(8), 569-573, 2010 [18] D Hall, M Matthews, J Ensher, C Wieman and E A Cornell, “Dynamics of component separation in a binary mixture of Bose-Einstein condensates.”, Physical Review Letters 81, 1539, 1998 [19] P Maddaloni, M Modugno, C Fort, F Minardi and M Inguscio, “Collective oscillations of two colliding Bose-Einstein condensates, Physical Review Letters 85, 2413, 2000 [20] C J Pethick and H Smith, Bose–Einstein condensation in dilute gases Cambridge University Press, 2008 [21] F London, “The λ-phenomenon of liquid helium and the Bose-Einstein degeneracy.”, Nature, 141(3571), 643-644, 1938 [22] R Haussmann, “Crossover from BCS superconductivity to Bose-Einstein condensation: A self-consistent theory.”, Zeitschrift für Physik B Condensed Matter, 91(3), 291-308, 1993 [23] I Bloch, J Dalibar and W Zwerger, “Many-body physics with ultracold gases.”, Reviews of Modern Physics, 80(3), 885, 2008 [24] T Busch, B G Englert, K Rzażewski and M Wilkens, “Two cold atoms in a harmonic trap.”, Foundations of Physics, 28(4), 549-559, 1998 [25] M Olshanii, “Atomic scattering in the presence of an external confinement and a gas of impenetrable bosons.”, Physical Review Letters, 81(5), 938, 1998 38 [26] A N Wenz, G Zürn, S Murmann, I Brouzos, T Lompe and S Jochim, “From few to many: Observing the formation of a Fermi sea one atom at a time.”, Science, 342(6157), 457-460, 2013 [27] J F Sherson, C Weitenberg, M Endres, M Cheneau, I Bloch and S Kuhr, “Single- atom-resolved fluorescence imaging of an atomic Mott insulator.”, Nature, 467(7311), 6872, 2010 [28] W S Bakr, J I Gillen, A Peng, S Fölling and M Greiner, “A quantum gas microscope for detecting single atoms in a Hubbard-regime optical lattice,”, Nature, 462(7269), 74-77, 2009 [29] D Blume, M W C Sze and J L Bohn, “Harmonically trapped four-boson system,”, Physical Review A, 97(3), 033621, 2018 [30] G Modugno, M Modugno, F Riboli, G Roati and M Inguscio, “Two atomic species superfluid.”, Physical Review Letters, 89(19), 190404, 2002 [31] G Thalhammer, G Barontini, L De Sarlo, J Catani, F Minardi and M Inguscio, “Double species Bose-Einstein condensate with tunable interspecies interactions.”, Physical Review Letters, 100(21), 210402, 2002 [32] S B Papp, J M Pino and C E Wieman, “Tunable miscibility in a dual-species Bose- Einstein condensate.”, Physical Review Letters, 101(4), 040402, 2008 [33] H H Huy, T D Anh-Tai, T Yamakoshi and V N Pham, “Derivation of thermodynamic quantities of ideal fermi gas in harmonic trap.”, Hue University Journal of Science: Natural Science, 126(1B), 109-118, 2017 [34] L Tri Dat and V N Pham, “On the derivation of the entropy of ideal quantum gases confined in a three-dimensional harmonic potential.”, Communications in Theoretical Physics, 72(4), 045701, 2020 [35] V N Pham, T D Anh-Tai, H H Huy, N H Tung, N D Vy and T Yamakoshi, “A procedure for high-accuracy numerical derivation of the thermodynamic properties of ideal Bose gases.”, European Journal of Physics, 39(5), 055103, 2018 [36] M Ligare, “Numerical analysis of Bose–Einstein condensation in a three-dimensional harmonic oscillator potential”, American Journal of Physics, 66(3), 185-190, 1998 39 [37] S Grossmann and M Holthaus, “On Bose-Einstein condensation in harmonic traps.” Physics Letters A, 208(3), 188-192, 1995 [38] S Giorgini, L P Pitaevskii and S Stringari, “Condensate fraction and critical temperature of a trapped interacting Bose gas.”, Physical Review A, 54(6), R4633, 1996 [39] D A Butts and D S Rokhsar, “Trapped fermi gases.”, Physical Review A, 55(6), 4346, 1997 [40] M Li, Z Yan, J Chen, L Chen and C Chen, “Thermodynamic properties of an ideal Fermi gas in an external potential with U= b r t in any dimensional space.” Physical Review A, 58(2), 1445, 1998 [41] V Bagnato, D E Pritchard and D Kleppner, “Bose-Einstein condensation in an external potential.”, Physical Review A, 35(10), 4354, 1987 [42] T Haugset, H Haugerud and J O Andersen, “Bose-Einstein condensation in anisotropic harmonic traps.”, Physical Review A, 55(4), 2922, 1997 [43] C C Zhou and W S Dai, “Canonical partition functions: ideal quantum gases, interacting classical gases, and interacting quantum gases.”, Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2018(2), 023105, 2018 [44] Franz Schwabl, Advanced Quantum Mechanics, third edition Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005 [45] J M Zhang and R X Dong, “Exact diagonalization: the Bose–Hubbard model as an example.”, European Journal of Physics, 31(3), 591, 2010 [46] D S Murphy, J F McCann, J Goold and T Busch, “Boson pairs in a one-dimensional split trap.”, Physical Review A, 76(5), 053616, 2007 [47] D J Wineland and W M Itano, “Laser cooling.”, Physics Today, 40(6), 34-47,1987 [48] I M Georgescu, S Ashhab and F Nori, “Quantum simulation.”, Reviews of Modern Physics, 86(1), 153, 2014 [49] K Sasaki, N Suzuki, D Akamatsu and H Saito, “Rayleigh-Taylor instability and mushroom-pattern formation in a two-component Bose-Einstein condensate.”, Physical Review A, 80(6), 063611, 2009 40 [50] J C Light, T Carrington, “Discrete-variable representations and their utilization.”, Advances in Chemical Physics, 114(263-310), 42, 2000 [51] D Baye, “Lagrange‐mesh method for quantum‐mechanical problems.”, physica status solidi (b), 243(5), 1095-1109, 2006 [52] W H Press, S A Teukolsky, W T Vetterling and B P Flannery, Numerical Recipes in Fortran 90: Numerical recipes in Fortran 77V Cambridge University Press, 1996 [53] H Q Lin, J E Gubernatis, H Gould, J Tobochnik “Exact diagonalization methods for quantum systems.”, Computers in Physics, 7(4), 400-407, 1993 [54] Z Cheng “Exact thermodynamic theory of an ideal boson gas in a one-dimensional harmonic trap.” Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, P11003, 2015 41