B®GIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯNGĐẠIHOCVINH PHANĐỨCTUAN VETPXÁCбNHDUYNHATCHOHÀ MPHÂNHÌNH VÀĐẠOHÀMCỦACHÚNG LUNÁNTIENSĨTOÁNHOC NGHAN 2017 PHANĐỨCTUAN VETPXÁCбNHDUYNHATCHOHÀ MPHÂNHÌNH VÀĐẠOHÀMCỦACHÚNG LUNÁNTIENS[.]
B®GIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯNGĐ Ạ I H O C V I N H PHANĐỨCTUAN VETP XÁCбNHDUYNHATCHOHÀ MPHÂNHÌNH VÀĐẠOHÀMCỦACHÚNG LUNÁNTIENSĨTỐNHOC NGHA N -2017 PHANĐỨCTUAN VETP XÁCбNHDUYNHATCHOHÀ MPHÂNHÌNH VÀĐẠOHÀMCỦACHÚNG LUNÁNTIENSĨTỐNHOC Chunngành:ĐạisovàLýthuyetsoMãs o:62460104 NGƯIHƯNGDANKHOAHOC: PGS.TS.NGUYENTHÀNHQUANG NGHA N -2017 LICAMĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cúu củariêngt i C c k e t q u t r ì n h b y t r o n g l u n n l h o n toànt r u n g t h ự c , đ c đ o n g t c g i c h o p h é p s ủ d n n g vàc h a t ù n g đ c a i c ô n g b o t r o n g b a t k ỳ c ô n g t r ì n h nàokhác Tácgiả PhanĐfícTuan LICẢMƠN Lu n án đưoc hồn thành dưói sụ hưóng dan PGS TS NguyenThànhQ u a n g T r ó c h e t t c g i ả x i n b y t ỏ s ụ k í n h t r o n g v l ò n g b i e t ơnsâusactóiThayhưóngdan,ngưịiđãđịnhhưóngnghiêncúu,đtbàitốnvàhưóngdantácgiảtn tình,chuđáotrongsuotqtrìnhtácgiảthụchi¾nlunán Tácg i ả c ũ n g x i n b y t ỏ s ụ k í n h t r o n g v l ò n g b i e t n s â u s a c t ó i GS.TSKH.HàHuyKhối,ngưịiđãquantâm,giúpđõtácgiảtrongqtrìnhhoctpvànghiêncúu Tácgiảxinđưocgủilịicảmơntói: - T pthe Thay Cụ giỏo ngnh Toỏn thuđc Viắn S phmTnhiờn,Phũng o toSau đại hoc, Trưòn g Đại hocVin h, ve nh ũng hotro tạo moi đieu ki¾n thunloi đe tác giả hon thnh nhiắm camđtnghiờncỳusinh - T pthe cỏc Thay Cơ giáo Khoa Tốn - Úng dnng, Trưịng Đại hocSàiG ò n , n i t c g i ả c ô n g t c , đ cb i ¾ t l P G S T S P h m H o n g Q u õ n , ógiỳpừ,đngviờnvtomoiieukiắnthunloitrongsuotquỏtrỡnhtỏcgi thchiắnlunỏn Tác giả xin bày tỏ lịng biet ơn tói nhũng thành viên gia đìnhcủa tác giả nhũng ngưịi bạn thân thiet ln giúp đõ đ®ng viêntrongsuotqtrìnhhoctp PhanfớcTuan MCLC Mđtsokýhiắuthũngdựngtronglunỏn Mau Chương1 Tpx c đ ị n h d u y n h a t c h o h m p h â n h ì n h p-adic 11 1.1 Mđtsokhỏiniắmcs 11 1.2 BođeBoreltrongtrưònghopp-adic 18 1.3 Tpxácđịnhduynhatchohàmphânhình p-adic 27 Chương2 GiátrịPicardvàsfi xác định nhat củahàmphânhìnhp-adiccùngviđạohàmcủachúng 33 2.1 GiátrịPicardchohàmphânhìnhp-adiccùngvóiđạohàm củachúng 33 2.2 Sụxácđịnhduynhatcủahàmphânhình p -adiccùngvói đạohàmcủachúng 37 Chương3 Đat h fí c v i p h â n v b i t o n c h i a s ẻ g i t r ị 58 3.1 Đathúcviphânchiasẻm®tgiátrị 58 3.2 Đathúcviphânchiasẻm®tgiátrịkhơngtính b®i 71 Ketlunvàkiennghị 79 Danhmnccáccơngtrìnhcủatácgiảliênquanđenlunán 81 Tàili¾uthamkhảo 82 MTSOKÝHIUTHƯNGDÙNGTRO NGLUNÁN Kýhiu Ýnghĩa Trang N Tphopsotụnhiên 13 C Trưòngsophúc Cp Trưịngsophúcp-adic 12 Pn(Cp) Khơnggianxạảnh p -adicn chieu 16 f′ Đạohàmbcnhatcủaf f(k) f−1(S) Đạohàmbckcủa f Tpảnhngưoccủa S q u a f Ef(S) Tpản h ngưoc củ a S q u a f ,tí n h b®i Ef(S) Tpảnhngưoccủa S q u a f ,kh ơng tính b®i gcd(a,b) Ưócchunglónnhatcủaavà b 29 Tf(r) Hàmđctrưngcủahàmphânhìnhf 14 Nf(0,r) Hàmđemkhơngđiemcủahàmphânhình f 14 Nf(∞,r) Hàmđemcụcđiemcủahàmphânhình f 14 mf(∞,r) Hàmxapxỉcủahàmphânhìnhf 14 δf(a) Sokhuyetcủahàmphânhìnhftạia 16 µaf Bccủahàmphânhìnhftạia 17 M[f1, ,fn] Đathúcviphâncủacáchàmphânhình 39 MĐAU Lýdochonđetài Lý thuyet phân bo giá trị đưoc xõy dng bi R Nevanlinna[72]vonm1925.Sraũicalýthuyetnyocỏnhgiỏlmđttr ongnhngskiắntoỏnhocvicathek20 Bang cỏch ỏp dnng lý thuyet phânbo giá trị, R Nevanlinna[73]đã chúngminh định lý noi tieng sau: Vóihai hàm phân hình phúc khác hang sofvàg, neu có năm giá trị phânbi¾ta i( i= ,2,3,4,5)t h ỏ a m ã n f −1(ai)= g −1(ai) ( k h n g tí n h b ® i ) v ó i i=1,2,3,4,5t h ì f = g H n n ũ a , n e u f −1(ai)= g −1( ai)( tí n h c ả b ® i ) vóii = ,2,3,4t h ì f = ad−bc a g +b vóia , b,c,dl c c h a n g s o p h ú c t h ỏ a m ã n cg+ d 0.Tùđây,lýthuyetvesụxácđịnhduynhathàmphânhình đưocpháttrienmạnhmẽtheonhieuhưóngmỏr®ngkhácnhau Vào năm 1976, F Gross[29]bat đau nghiên cúu van đe tương tụ chohai hàm phân hình có ảnh ngưoc t p hop điem trùng Ôngđãđưarac â u h ỏis au : T o n h ay kh ôn g m ®t S ⊂ C∪∞sao c h o vóimoihàmphânhìnhkháchangsofv gthỏa mãnf−1(S) =g−1(S)(tínhcả b ®i ) th ì f = g ? T p S c ó tí n h ch at nhưv y đ ưocg oilà t¾p x c đ nh nhat cho hàm phân hình Ví dn đautiên ve tpxác định duynhat đưoc đưa bỏi F Gross C.C Yang [30]vào năm 1982 Hai ôngđã chúng minh tpS={z:z+ez = }là tpxác định nhat chocáchàm nguyên.Chú ý rangt p h o p n y c ó v h n p h a n t ủ T p x c định nhat đau tiên cho hàm nguyên có hũu hạn phan tủ đưoc đưarabỏiH.Yi[66]vàonăm1995vói15phantủvàtpxácđịnhduynhatcho hàm phân hình có so phan tủ nhat vói 11phan tủ đưoc xây dụngbỏiG.FrankvàM.Reinders[24]vàonăm1998.Sauđó,vàonăm2000, H Fujimoto[27]đã đưa đieu ki¾n đủ cho m®t t p hũu hạn t pxácđịnhduynhat Lý thuyet ve sụ nhat cho hàm phân hình đưoc khảo sáttrên trưịng sop-adic Ket đau tiên thu®c ve W W Adam E G.Strauss[5].Vào năm 1971, tác giả chúng minh rang hai hàmphân hìnhp-adic khác hang so có ảnh ngưoc điem phân bi¾tthì trùng Ket đưoc mỏ r®ng cho đưịng cong chỉnhhìnhp-adic cơng trình P C Hu C C Yang[34],M Ru[59],V H An T D Duc[10]cùngm ® t s o t c g i ả k h c C c t p x c địnhduynhatchocáchàmphânhình p - adiccũngđưocxâydụngbỏiP C.HuvàC.C.Yang[34],A.EscassutvàA.Boutabaa[13].Năm1999,P C.HuvàP.C.Yang[36]đãđưaratpxácđịnh duynhatcho cáchàmphân hình p -adicvói10phantủvàvàonăm2003,H.H.KhoaivàT.T H.An[40]đãđưaracácđieu kiắn ch om đt tph u hn lt pxácđịnh duynhatchohàmphânhình p -adic M®thưóngpháttrienkháccủabàitốnxácđịnhduynhathàmphânhình tìm đ c trưng cho hàm phân hình có ảnh ngưoc m®thaynhieutphopđiemcùngvóiđạohàmcủachúng.Vàonăm1977,L A Rubel C C Yang[52]đã chúng minh ket sau: Neu hàm nguyênkhách a n g s o f v đ o h m b cn h a t c ủ a n ó f ′c ó c ù n g ả n h n g o c c ủ a hai giá trị phõn biắta1va2( tớ n h c b đ i ) , n g h ĩ a làf ′ −1 (ai) = (f′)−1(ai)(tínhcảb®i)vóii=1,2,thìf=f Vàonăm1997,C.C Y a n g v X A Hua[65]đã nghiên cúu toán xác định nhat cho hàm phânhình đơn thúc vi phân dạng f n f ′, chúng có ả n h n g o c m®t điem tính b®i ho thu đưoc ket sau: Giả sủfvàglàcáchàmphânhìnhkháchangso,n≥11làm®t songunvàa∈C\ {0} −1 −1 Neu(f n f ′) (a)=(gng′) (a)( tí n h cảb®i )thìho c f = dg v ó i d l c ăn vói bc ( n+1)n o đ ó c ủ a đ n v ị h o cg (z)= c 1ecz f (z)= c 2e−cz c, = c1vàc2làcáchangsot h ỏ a m ã n (c1c2)n+1c2 − a2.B i t o n t o n g quát theo hưóng nghiên cúu đưoc phát bieu dưói dạng: Giả sủfv glàcáchàmphânhìnhkháchangsovàPl m®tđathúcviphânsao choP[f]vàP[g]c ó c ù n g t p ả n h n g o c c ủ a m ® t h a y c ó t h e n h i e u đ i e m phân bi¾t Vói giả thiet Pho c ve so điem chung, ta có theketlunf=gh o cítnhat fv gc ú mđtquanhắmtthietnoú Theohúngnghiờncỳuny,cỏcketquvesduynhatcacỏchmphõnhỡnh phỳclanlotockhosỏtchocỏcathỳcviphõndng n (k) (f ) n ,(f (f− 1)) ,f (f− 1) f′, (k) n trongcáccơngtrìnhcủaM.L.Fang[23],W.C.LinvàH.X.Yi[50] Bài tốn nhat cho hàm phân hình đạo hàm chúngtrên trưịng sop-adic đưoc khảo sát bỏi tác giả H H Khoaivà V H An[42];J Ojeda[54]cho đơn thúc vi phân dạngf n f ′; K.Boussaf, A Escassut J Ojeda[12]cho đa thúc vi phân dạngf′P′ (f),vóiPlà m®t đa thúc nhat cho hàm phân hình; H H Khoai, V H.AnvàN.X.Lai[44]chođathúcviphândạng (fn)(k) M®t nhũng đ c điem đa thúc vi phân đưoc đe c p ỏtrên làchúng có the lay tích phân ve dạng P(f),v ó i Pl đ a thúc t r ê n trưòng so phúc ho cp-adic Tù đó, nhieu tác giả úng dnng ket quảtronglýthuyetphânbogiátrịvàlýthuyetđathúcduynhatchohàmphânhìnhđegiảiquyetcác van đe đ t Gan đây, dạng đa thúc viphânkhơngthu®cdạngtrêncũngbatđauđưockhảosát.Chȁnghạn,vàonăm 2011,J Grahl S Nevo[28]đã khảo sát toán nhat + chohàmp h â n h ì n h v đ a t h ú c v i p h â n d n g P [f]= f n af (k).V i ¾ c k h ả o sátcácdạngđathúcviphânnàyđịihỏicáctácgiảphảiđưaracáckỹthu t phươngphápchúngminhmói.Đieunàychothaybàitốnduynhat cho hàm phân hình đạo hàm chúng rat đa dạng vi¾ckhảosátchúnglàratđángquantâmvàcanthiet Vóinhũnglýdotrên,chúngtơichonđetàinghiêncúucholunánlà"V e t¾p xác đ nh nhat cho hàm phân hình đạo hàm củachúng"