Cơ học chất lỏng

Cơ học chất lỏng 1.73 Kim tự tháp (Czech) Ở đáy phẳng, nằm ngang bể nước sâu H, có hình chóp đều, đáy hình vng cạnh a chiều cao h, nằm úp mặt bên xuống đáy (hình 1.73) Hình chóp đồng chất làm từ vật liệu có khối lượng riêng  lớn khối lượng riêng nước  w Độ sâu bể nước lớn chiều cao hình chóp Thể tích bể nước lớn nhiều thể tích hình chóp Người ta buộc sợi dây vào móc gắn đỉnh hình chóp 1) Tìm khoảng cách từ khối tâm hình chóp đến đáy 2) Tìm cơng tối thiểu W1 để đưa hình chóp đứng đáy 3) Tìm cơng nhỏ W2 cần thiết để kéo hình chóp đứng khỏi mặt nước Áp dụng số: H 1.20 m , a 10.0 cm , h 16.0 cm ,  2700 kg/m ,  w 1000 kg/m 1.74 Thùng thợ lặn (Nga) Một thùng thợ lặn có dạng hình trụ đáy hở, phần phía chứa khơng khí, mặt nước Để thùng khơng lên, người ta dùng dây cột vào đáy bể Một vật nặng buộc vào đáy thùng sợi dây, vật chìm nước (hình 1.74), Tiết diện hình trụ S 4 m , thể tích khí thùng V 8 m áp suất p 1.5 105 Pa Khi vật nặng kéo khỏi nước, áp suất tăng lên lượng p 250 Pa , dây căng Hãy tìm độ thay đổi sức căng dây Khối lượng riêng nước  103 kg/m3 , gia tốc trọng trường g 10m/s Khơng khí thùng tuân theo định luật BoyleMariot pV const , với p áp suất V thể tích khí thùng 1.75 Phao báo hiệu (Romania) Một phao báo hiệu cấu tạo từ xy lanh hình trụ đóng đầu kín, với chiều cao h 1 m , đầu xy lanh piston có khối lượng độ dày khơng đáng kể tiết diện S 0.50 m Xy lanh ln ln ngập hồn tồn nước Một cờ khối lượng m 5 kg gắn với xy lanh, khối lượng xy lanh M 45 kg Piston di chuyển xi lanh theo suốt chiều dài nó, với ma sát, khơng thể tuột khỏi xi lanh Piston nối vào tời cố định vào bờ sợi cáp Sợi cáp không dãn, khối lượng không đáng kể mềm, qua hai rịng rọc cố định Sợi cáp ln căng Trước ngâm vào nước, khơng khí phao áp suất p0 10 N/m chiếm toàn thể tích xi lanh Giả thiết áp suất khí p0 , nhiệt độ nước không khí khơng thay đổi, thể tích cán cờ không đáng kể, khối lượng riêng nước  1000 kg/m , gia tốc trọng trường g 10m/s Ký hiệu p áp suất khơng khí xi lanh, y khoảng cách từ đỉnh xy lanh tới mặt nước, x chiều cao cột khơng khí xi lanh Trang 1) Câu hỏi yêu cầu viết biểu thức biểu diễn đại lượng hệ qua lực căng dây T đại lượng khác cho đề 1a) Biểu thức chiều cao x cột khơng khí xi lanh phao 1b) Biểu thức áp suất khí p xy lanh 1c) Biểu thức cho khoảng cách y từ đỉnh xy lanh mặt nước 2) Trong câu hỏi ta tìm vùng giá trị lực căng dây cáp nối piston với tời bờ chiều cao cột khơng khí xy lanh 2a) Xác định vùng giá trị lực căng dây cáp nối piston với tời bờ Khi tính số sử dụng bốn chữ số có nghĩa 2b) Xác định vùng giá trị chiều cao cột khơng khí xy lanh Kết sử dụng bốn chữ số có nghĩa 1.76 Bình hình trụ (Estonia) Bình hình trụ có bán kính R 30 mm đổ đẩy nước Một bình hình trụ thứ hai, rỗng, có bán kính r 25 mm , khối lượng không đáng kể, đặt đồng trục với bình lớn cho phần ngập nước có chiều cao L 300 mm (hình 1.76) Tìm gia tốc hình trụ bên sau thả Sức căng mặt ngồi độ nhớt nước bỏ qua 1.77 Nước thủy ngân (Nga) Ống hình chữ U tiết diện khơng đổi có chứa nước thủy ngân với thể tích Chiều dài phần ống nằm ngang l 40 cm Ống quay trịn quanh nhánh chứa nước (hình 1.77), mực chất lỏng hai nhánh h 25 cm Bỏ qua dính ướt, xác định chu kỳ quay ống Cho thông số: gia tốc trọng trường g 9.8 m/s , khối lượng riêng 3 nước thủy ngân  w 1.0 g/cm  m 13.5 g/cm 1.78 Xy lanh bị rò (Thụy Sĩ) Một xy lanh hình trụ có chiều cao H đường kính đáy 2R, đặt nơi có áp suất khí Patm gia tốc trọng trường g Ban đầu xy lanh lấp đầy chất lỏng lý tưởng khơng chịu nén có khối lượng riêng  1) Tính áp suất PB đáy xy lanh (điểm B) Tại thời điểm t0 đáy xy lanh xuất lỗ thủng đường kính 2r Giả sử r R Trang 2) Ở thời điểm t  t0 , xác định vận tốc chất lỏng bề mặt  va  hàm vận tốc chất lỏng chảy qua lỗ B  vb  3) Tìm biểu thức vận tốc vb chất lỏng chảy khỏi lỗ B hàm độ cao mực chất lỏng xy lanh, sử dụng giả thiết toán 1.79 Bong bóng xà phịng (Nhật) Xét mặt bên vật chật Các phần tử hai phía mặt tác dụng lực lên Lực tác dụng tính đơn vị diện tích gọi ứng suất Một ví dụ ứng suất áp suất Đó loại lực đẩy Nếu ta biết lực tác dụng phân tử lên bề mặt tính lực mà chúng tác dụng lên đơn vị diện tích bề mặt Đó áp suất Mặt vật khác với mặt nằm bên số hạt phân tử nằm sát mặt (hình 1.79a) Nếu ta xét đoạn nhỏ bề mặt (hình 1.79b.), từ hai phía bề mặt có ứng suất với độ lớn khác Hiệu hai ứng suất sức căng mặt ngồi Sức căng có phương vng góc với phần tử xét lực hút Gọi s chiều dài phần tử, f sức căng mặt ngồi ta có quan hệ: f s , số  gọi hệ số sức căng mặt Giá trị hệ số sức căng mặt phụ thuộc vào loại bề mặt Trong bảng tra cứu, nhiều người ta ghi sức căng mặt ngồi thực tế hệ số sức căng mặt Trang Do sức căng mặt ngồi lực hút nên vật thay đổi hình dạng điều kiện cho phép cho bề mặt có diện tích nhỏ Dạng hình cầu giọt chất lỏng, di chuyển bọ mặt nước, hay bọt bóng mặt nước, đo tác dụng sức căng mặt ngồi 1) Trên hình 1.79c, màng chất lỏng có hệ số sức căng bề mặt  căng lên khung dây có đầu di chuyển Hãy tìm cơng để di chuyển cạnh khung đoạn y , biết chiều rộng khung x ý màng có hai mặt trước sau giống 2) Một vùng bề mặt chất lỏng R có hệ số sức căng mặt ngồi  (hình 1.79d) Diện tích vùng R bị biến dạng lượng nhỏ S , chứng minh cơng mà lực ngồi tác dụng lên chu vi vùng cho biểu thức W S Gợi ý: xét phần tử nhỏ AB biên vùng bề mặt Sau biến dạng phần tử AB tiến AB Có thể coi AB đoạn thẳng độ dịch chuyển coi chuyển động tịnh tiến Ở hình 1.79e, sức căng mặt ngoài, chất lỏng với hệ số căng mặt ngồi  tạo thành hình cầu bán kính R Khi áp suất bên chất lỏng khác với áp suất khơng khí bên ngồi p0 Trên hình 1.79f ta tưởng tượng giọt chất lỏng bị cắt làm đôi thành hai bán cầu mặt phẳng thẳng đứng qua đường kính Nếu xét bán cầu bên phải, chịu lực tác dụng bán cầu lại lực áp suất khí Để tính lực khí tác dụng lên nửa bán cầu ta tưởng tượng thay nửa bán cầu khơng khí (hình 1.79g) Khi áp suất phía p0 Lực khơng khí phía ngồi tác dụng lên nửa bán cầu khí từ phía trái  R p0 Để bán cầu khí nằm cân lực khơng khí bên ngồi tác dụng lên bán cầu từ phải phải  R p0 Bây quay trở lại giọt chất lỏng, áp suất bên lòng chất lỏng p, lực mà bán cầu chất lỏng bên trái tác dụng lên bán cầu bên phải có giá trị  R p Như khơng có sức căng mặt ngồi điều kiện cân p  p0 , tức khơng có chênh lệch áp suất Tuy nhiên bề mặt bán cầu chất lỏng giới hạn đường trịn đường kính 2R Trên hình 1.79h, lực căng mà bán cầu bên trái tác dụng lên đường tròn chu vi 2 R 2 R Như kể đến sức căng mặt ngồi điều kiện cân  R p0  2 R  R p Trang Từ tính hiệu áp suất bên bên chất lỏng p  p0  2 Dễ thấy áp suất bên R chất lỏng lớn áp suất khí 3) Một bong bóng xà phịng có dạng hình cầu bán kính R, hệ số sức căng mặt ngồi  Hãy tính hiệu áp suất bên bên ngồi bong bóng Lưu ý bong bóng xà phịng khơng phải giọt chất lỏng, có lớp vỏ cấu tạo từ dung dịch xà phịng 4) Người ta thổi khơng khí vào bên bong bóng xà phịng ý cho bán kính R tăng thêm lượng R Công cần thiết để làm việc bao nhiêu? Trong đó, phần cơng trở thành màng xà phịng bao nhiêu? Nếu tính đến trọng trường áp suất bên giọt chất lỏng khơng cịn số hình dạng giọt chất lỏng khác hình cầu chút Trong câu hỏi ta bỏ qua ảnh hưởng trọng trường coi áp suất bên chất lỏng Trong câu hỏi dưới, gia tốc trọng trường g 5) Trên hình 1.79i, ống hình trụ có đường kính 2r nhúng thẳng đứng vào chất lỏng có khối lượng riêng  hệ số sức căng bề mặt   góc tạo mặt chất lỏng thành ống, H độ chênh lệnh mức chất lỏng ống so với mức chất lỏng xa ống trụ Trên hình vẽ thể trường hợp Trang LỜI GIẢI 1.73 Kim tự tháp (Czech) 1) Để xác định vị trí khối tâm ta chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Xét mặt cắt vng góc với trục đối xứng hình chóp cách đỉnh khoảng x x S1 S0   h S0 diện tích đáy Tọa độ x G khối tâm xác định biểu thức: h xdm xG m m h S0 x dx h2  h4  0h   43  h h h S0 S1dx x dx   h 0 xS1dx 5h 02 5h Như khoảng cách từ khối tâm đến đáy h  07 2) Để lật đứng hình chóp, cần phải kéo khối tâm rọi trúng cạnh đáy hình thoi (hình 1.73Sb) Để làm ta cần ln giữ cho dây thẳng đứng để tránh hình thoi trượt theo đáy Sau vượt qua vị trí này, ta khơng cần thực cơng nữa, để hình chóp tự đổ xuống tác dụng trọng lực Khối tâm hình chóp đứng phần tư chiều cao Độ cao khối tâm hình chóp nằm xác định từ tam giác đồng dạng VSO VPG: s 0.5a 0.375ah   s 0.75h 0.25a  h 0.25a  h Độ cao mà khối tâm cần nâng lên z  0.25a  (0.25h) Công cần thiết để đưa hình chóp đến vị trí tự đổ độ biến thiên hệ bể nước cộng hình chóp Thế hình chóp tăng lên lượng Vg(z  s) Đồng thời, nước ban đầu chiếm khơng gian mà hình chóp đứng chuyển xuống chiếm lấp khơng gian mà hình chóp nằm ban đầu, nước bể giảm lượng V w g(z  s) Như vậy:  W1 V(  w )g(z  s)  a h(   w )g  0.25a  (0.25h)   0.375ah   0.25a  h  2 Thay số vào ta W1 0.251J Trang 3) Lập luận tương tự trên, hình chóp kéo khỏi mặt nước Độ tăng hình chóp VgH độ giảm nước bể V w g(H  0.25h) , lớp nước mặt bể xuống lấp đầy vị trí hình chóp đứng đáy bể Cuối W2 VgH  V w g(H  0.25h) V(   w )gH  0.25V w gh  a hg  (   w )H  0.25 w h  Thay số vào ta W2 10.9J Nhận xét: Ở câu 3) tính cơng phưong pháp tích phân lực: lực kéo hình chóp đoạn (H −h) đỉnh chạm mặt nước lực khơng đổi có độ lớn V(  w ) g , công W21 V(   w ) g(H  h) Khi đỉnh hình chóp khỏi mặt nước (hình 1.73Sc) lực nâng cần thực giảm dần Tại thời điểm đỉnh chóp có độ cao y từ mặt nước, sử dụng đồng dạng ta tính phần thể tích mặt nước 3 V1  y   y   lực cần kéo Vg  (V  V1 )w g V(   w ) g  V w   g V h h Công kéo lên khỏi mặt nước   y   W22 V(   w ) g  V w   g dy  h    0 h h P P h    Vg  (  w )  w3 y  Vg  (   w ) h  w  4h   0  Tổng công để kéo hình chóp từ đáy khỏi mặt nước W2 W21  W22 V(  w )gH  0.25Vw gh  a hg  (   w )H  0.25V w h  1.74 Thùng thợ lặn (Nga) Để tính độ thay đổi thể tích khơng khí thùng, ta sử dụng định luật Boyle - Mariott: pV (p  p)(V  V) Từ tìm độ thay đổi thể tích: V V p  0.0133m3 p  p Xét điều kiện cân hệ “thùng + hàng + cột nước bên thùng” Các lực tác dụng lên hệ bao gồm: trọng lực, lực căng dây buộc F1 áp lực thuỷ tĩnh từ mặt mặt hệ (trên hình Trang 1.74S chưa thể hết lực) Sau hàng kéo lên khỏi mặt nước, thể tích khí giảm V bị lượng nước pV chảy vào chiếm Trong có lực căng dây giữ thay đổi trọng lực phần nước bên thùng Như độ giảm lực căng dây F pgV 133N Các lực tác dụng lên thùng bao gồm trọng lực, lực thuỷ tĩnh, áp lực khơng khí hai lực căng dây Trong số chúng, hàng kéo lên khỏi mặt nước, có lực căng dây áp lực khơng khí thay đổi Lực căng hướng xuống, áp lực hướng lên Áp lực tăng lên, lực căng dây giữ giảm, lực căng dây treo tăng: T T2  T1 pS  F 1000N  133N 1133N 1.75 Phao báo hiệu (Romania) 1a) Điều kiện cân hình trụ: (p  pgy)S  Mg  pS 0 Phương trình đẳng nhiệt cho khí phao: p Sh pSx Điều kiện cân piston: p S  mg  T   p  (x  y)pg  S 0 Độ cao cột khí phao: x (m  M)g  T pgS 1b) Áp suất khí phao: p p pgSh (m  M)g  T 1c) Khoảng cách từ đỉnh hình trụ tới mặt nước: y  P0 M hp0S   pg pS (m  M)g  T 2a) Điều kiện y 0 , suy ra: pgSh T  (m  M)g  Mg / p 0S pgSh  (m  M)g 4455N Lực căng tối đa Tlim   Mg / p 0S Như vùng giá trị T T   0N, 4455N  Trong trình đẳng nhiệt, áp suất đạt giá trị nhỏ piston vị trí xi lanh, tức thể tích khơng khí xy lớn nhất, x = h ' (m  M)g  Tlim h pgS ' Suy Tlim 4500N ' Khi lực căng dây lớn Tlim , áp suất phao p piston vị trí xylanh 2b) Từ biểu thức x tìm 1a, với biểu thức giới hạn lực căng dây T, ta tìm được: Trang mM h x  pS  Mg / p 0S Thay số vào được: 0.100m x 0.991m 1.76 Bình hình trụ (Estonia) Khi hình trụ rỗng lên cao đoạn x, giải phóng tích r x nó, thể tích bị nước chiếm chỗ Cột nước tụt xuống đoạn y; từ đẳng thức thể tích r x (R  r )y , suy ra: r2 y x 2 R r Nếu x ≪ L, hệ giảm dịch chuyển khối nước từ mặt xuống E p gpr xL Ta bỏ qua động nước đáy hình trụ rỗng, khối lượng tham gia nhỏ nhiều so với lượng nước tụt xuống Như động E k  p(R  r )Ly 2 y’ đạo hàm theo thời gian y Từ định luật bảo toàn lượng gr x  (R  r )Ly 2 Lấy đạo hàm theo thời gian được:  gr x  (R  r )Lyy 2 2 Sử dụng quan hệ x y ta r x  (R  r )y , suy y g  x g R  r2 4.3m / s 2 r 1.77 Nước thủy ngân (Nga) Trước hết ta tìm phụ thuộc áp suất đoạn ống nằm ngang vào khoảng cách đến trục quay Xét chuyển động phần ống dài r , nằm cách trục quay khoảng r, phương trình chuyển động có dạng: a c pSr 2 rpSr Sp ω vận tốc góc ống, p - độ chênh lệch áp suất hai bên phần từ ống dài r Biểu diễn p theo r đồ thị Khi hiệu chênh lệch áp suất hai ống nằm ngang có giá trị diện tích hình thang nằm đồ thị (hình 1.77S): p  p1 2 p(r2  r1 ) r1  r2 r2  r2 2 p 2 Chênh lệch áp suất hai đầu đoạn ống nằm ngang, có chứa nước thủy ngân: Trang (l / 2)  02 l2  (l / 2) l2  2 p m (3p m  p w )2 2 p  p1 2 p w Độ chênh lệch áp suất giữ nhờ vào chênh lệch áp suất nhánh đứng chứa thủy ngân nhánh đựng chứa nước l2 (3p m  p w ) pm gh  p w gh Từ suy   T 8gh p m  p w Và chu kỳ quay: l 3p m  p w 2 l   2gh pm  pw 1.0s pm  pw 1.78 Xy lanh bị rò (Thụy Sĩ) 1) Áp suất thủy tĩnh đáy xi lanh cho phương trình sau: Pb pgh  Patm 2) Sử dụng phương trình liên tục, lưu lượng chất lỏng bình số: v R v b r f  Biến đổi ta v a v b   R 3) Có hai cách giải, cách sử dụng phương trình Bernouilli, cách hai sử dụng định luật bảo toàn lượng Với cách thứ nhất, đầu tiên, ta giả thiết sau: r ≪ R, vận tốc va nhỏ nhiều so với v b Do ta giả thiết dịng chảy khơng thay đổi tính vb Sử dụng giả thiết trên, ta áp dụng phương trình Bernoulli cho dòng chảy từ bề mặt chất lỏng qua lỗ Vậy ta có: pv a  pgh  Patm  pv b2  Patm 2 Từ đây: v b  2gh  v a2 Vì v a v b nên phương trình Torricelli bỏ qua đại lượng v b : v b  2gh Với cách thứ hai, ký hiệu E pot (h) E pot (h  dh) hệ chiều cao nước xy lanh h, tương ứng h – dh: R pgh ; E pot (h)  R pg(h  dh) E pot (h  dh)  Giữa hai thời điểm này, độ thay đổi thể tích nước xy lanh V R dh Thể tích chảy khỏi xy lanh qua lỗ đáy Độ biến thiên chuyển thành động Ta có v a v b , r ≪ R, động nước lại xy lanh bỏ qua Như tính đến động nước chảy khỏi xy lanh: E pot (h)  E pot (h  dh) E kin Trang 10 gR p(dh  dh )  pR 2dhv 2b 2 Giải phương trình tìm v b Nếu bỏ qua số hạng nhỏ dh , ta tìm lại phương trình Torricelli v b  2gh 1.79 Bong bóng xà phịng (Nhật) 1) Vì màng chất lỏng có hai mặt trước sau nên lực tác dụng lên trượt 2xỵ, lực ngược chiều với y Công dịch chuyển 2xyy (cịn có cơng áp suất từ bên lịng chất lỏng tác dụng lên trượt, màng mỏng nên công gây thay đổi thể tích chất lỏng bỏ qua đây) 2) Xét biến dạng nhỏ đường cong khép kín giới hạn bề mặt Đường cong khép kín chia thành vơ số đoạn nhỏ, xét đoạn có chiều dài dsi , lực căng mặt ngồi hướng từ mép vào mặt chất lỏng có độ lớn yds i Lực ngồi tương ứng có độ lớn yds i hướng Nếu dịch chuyển đoạn nhỏ ( i hướng ngồi) cơng thực W tính cách nhân nói với ydsi Mặt khác, i dsi độ tăng diện tích S mặt chất lỏng Như W S 3) Khác với giọt chất lỏng, bong bóng có hai mặt, mặt mặt ngồi Như áp suất bên lớn lượng 4) Áp suất khí p0  4 R 4 , độ thay đổi thể tích V 4R R , suy công: R (p   / R) V 4p0 R R  16RR Thành phần p V cơng để làm tăng thể tích bên bong bóng, lượng 16RR lưu trữ màng xà phịng (do γ gọi lượng mặt ngồi) Có thể nhìn cách khác, diện tích mặt xà phịng tăng lên lượng 2(4R ) 16 R R , tương ứng W S , lượng màng xà phòng tăng thêm:  (8R ) 16RR 2 5) Cân lực cho phần nước lên cao thành ống r p0  2r cos   (r p  pgr H) 0 p0 áp suất khí (khi áp suất khí cân bằng, thành phần p0 biến mất) Từ đây: H  2cos  pgr      mực nước ống tụt xuống lượng H > 0, điều kiện cân cho phần chất lỏng ống: Trong trường hợp r (p0  pgH)  r p  2rcos(  ) 0 Suy H  2cos  pgr Trang 11 (Nếu quy định H < biểu thức cho hai trường hợp          trùng hợp hoàn 2 toàn) 6) z h , xét cân theo phương x phần nước có chiều dày đơn vị theo hướng vng góc với mặt tờ giấy Nếu áp suất khí 0 , áp suất lên tường 0  gz , phần nước tác dụng lên tường lực theo phương x bằng: h  (0  gz)dz  0 h  gh 2 Phản lực tường lên nước 0 h  gh hướng theo phương x Mặt khác, khơng khí gây nên lực  0 h , thành phần lực căng mặt ngồi phía tiếp xúc tường  sin  , lực căng mặt ngồi phía mặt nước phẳng vơ hạn γ Hợp lực không nên: 0 h  Từ h gh  0 h  sin    0 2 (1  sin ) g Chú ý: Có thể trơng đợi từ câu ta xét cân theo phương thẳng đứng Nhưng việc xét cân theo phương ngang câu hỏi tự nhiên, câu hỏi khơng có đối xứng theo phương ngang, có nhiều học sinh khơng ý đến phương ngang Cân theo phương thẳng đứng khai thác việc tính áp suất độ cao z 0  gz Cân theo phương thẳng đứng cần dùng đến cần tìm dạng cụ thể đường cong mặt thống, nằm ngồi khn khổ bậc Trung học phổ thơng Để tìm phương trình z = z(x) ta xét cân theo phương thẳng đứng cột nước có bề ngang dx:  d cos  gz(x), cos    (dx / dz) dx Trang 12