Biến dạng đàn hồi và sóng cơ

Biến dạng đàn hồi sóng 1.57 Đàn violon (Estonia) Nếu giữ dây đàn violon có chiều dài L khoảng cách 3L/7 từ đầu dây gây phần dây ngắn phát âm Nếu đơn giản chạm tay vào dây khoảng cách 3L/7 (ghì xuống), âm phát âm khác Tìm tỷ số hai tần số âm phát ra? 1.58 Tổng lượng mặt sóng (Trung Quốc) Xét sóng truyền biển (hình 1.58) Tại thịi điểm đó, mặt sóng biểu diễn gần  2 x  phương trình z  A sin   , A biên độ sóng  bước sóng    1) Hãy tìm tính đơn vị chiều dài đơn vị chiều rộng Biểu diễn qua  (khối lượng riêng nước biển), g (gia tốc trọng trường), A x   sin  4 x /    2 x  Gợi ý: sin   dx   8    2) Giả thiết lượng phân bố đều, tức trung bình sóng bề mặt động trung bình Hãy tìm tổng lượng sóng tồn bước sóng  gT   , tìm cơng suất chu kỳ sóng tính cho 2T 2 đơn vị chiều rộng Kết biểu diễn theo  , g, A, T (chu kỳ sóng), H (chiều cao sóng) 3) Cho biết quan hệ vận tốc sóng vs  1.59 Máy bay siêu (Romania) Một máy bay siêu chuyển động theo đường thẳng nằm ngang độ cao h so với mặt đất Vận tốc v máy bay lớn vận tốc âm c Âm máy bay phát điểm M vào thời điểm t tới điểm O thời điểm T Chọn gốc thời gian thời điểm máy bay điểm O , đỉnh đầu điểm O 1) Hãy xác định góc  tạo mặt sóng phương chuyển động máy bay 2) Tìm biểu thức cho thời gian TOb kể từ máy bay bay qua đỉnh O quan sát viên nhận tín hiệu âm từ máy bay 3) Tìm hàm số T T  t  chứng minh có giá trị cực tiểu  t0 , T0  Tìm giá trị cực tiểu 4) Xét âm máy bay khoảng thời gian t quanh giá trị t0 giải thích trường hợp âm truyền tới điểm O lại sóng xung kích - tạo nên tiêng nổ siêu (sonic boom) Trang 1.60 Biến dạng dàn hồi (Belarus) Để mơ tả tính chất đàn hồi vật chất người ta dùng đại lượng khác nhau, số mơ đun Young E Xét khối hộp Đặt vào hai mặt đối diện   hộp có diện tích S hai lực F , F  có độ lớn ngược chiều nhau, theo phương vng góc với mặt (hình 1.60a) Dưới tác dụng lực chiều dài hộp tăng lên đoạn nhỏ x (chiều dài hộp chưa bị biến dạng l) Để đặc trưng cho lực đàn hồi người ta sử dụng ứng suất học  , định nghĩa tỷ số lực đàn hồi pháp tuyến chia cho tiết diện S:   F Còn để đặc trưng cho độ biến S x dạng người ta sử dụng độ biến dạng tỷ đối   Mối liên hệ hai đại lượng l định luật Hook:  1   E , Mô đun Young phụ thuộc vào chất liệu khơng phụ thuộc vào kích thước khối hộp Mô đun Young đặc trưng vật lý quan trọng vật liệu, ví dụ, vận tốc sóng âm vật rắn phụ thuộc vào mô đun Young cho công thức sau: c E   2  khối lượng riêng vật chất Trong toán ta xét hình trụ mỏng có chiều dài l, diện tích đáy S, làm từ vật chất có mô đun Young E khối lượng riêng  Mơ đun Young độ cứng Hình trụ bị kéo dãn tác dụng lực hướng dọc theo trục Định luật Hook thơng thường viết dạng Fel kx , x– độ dãn hình trụ, k – độ cứng (hệ số đàn hồi) 1a) Hãy biểu diễn độ cứng hình trụ qua thơng số hình học mơ đun Young 1b) Giả sử lực đàn hồi F0 Hãy biểu diễn đàn hồi hình trụ qua mô đun Young độ dãn tỷ đối  Tìm mật độ lượng đàn hồi Biến dạng chuyển động Trang Đặt vào hai đáy hình trụ hai lực dọc theo trục Hai lực phân bố theo tiết diện đáy, lực đặt vào đáy phải có độ lớn F0 , đáy trái  F1 Đặt trục tọa độ Ox trùng với trục hình trụ, gốc trùng với đáy trái (hình 1.60b) Hãy vẽ đổ thị biểu diễn phụ thuộc độ dãn tỷ đối vào tọa độ x cho ba trường hợp: a) F1 F0 ; b) F1  F0 ; c) F1 0 Trong trường hợp độ dãn tổng cộng biến dạng có giá trị lớn nhất? Truyền biến dạng Biến dạng cân tìm câu trước khơng thể thiết lập tức thì, cần phải có thời gian để sóng biến dạng lan truyền theo Giả sử vào thời điểm t 0 đặt vào mặt phải lực khơng đổi F0 , đầu trái thả tự Đánh giá thời gian cần thiết để cân thiết lập Gợi ý tốn học: diện tích hình chắn đồ thị hàm số y  x đoạn thẳng trục Ox từ tọa độ đến l tính cơng thức S  l3 (Archimed tính diện tích này) 1.61 Cột cát (Nga) Nhà Vật lý lý thuyết Bag dạo bên bờ biển nhìn thấy khách du lịch đắp lâu đài (hình 1.61) Ơng thử tìm độ cao cực đại mà cột cát ướt đạt tới Trong cơng trình Leonard Euler, ơng đọc được, chiều cao cực đại cột hình trụ làm từ vật liệu đồng chất đẳng hướng tính theo cơng thức sau H 1.25 E  R    g   ,  ,   số không thứ nguyên, R – bán kính cột cát,   khối lượng riêng vật liệu làm cột, g – gia tốc trọng trường, E – mơ đun Young Bag tính tốn thấy cột làm từ cát ướt bán kính R1 5 cm , độ cao cột cát đạt 1.0 m Bạn Bag, ông Glyuk, nhà Vật lý thực nghiệrn, định làm cột cát lớn hơn, có bán kính đáy R2 15 cm Chiều cao cột cát mà ông Glyuk nhận bao nhiêu? Số liệu: Khối lượng riêng cát ướt  1.5 103 kg / m3 , môđun Young E 3.0 106 Pa , gia tốc trọng trường g 9.8 m / s Chú thích: Mơđun Young hệ số tỷ lệ áp suất (hoặc lực kéo) tác dụng lên mặt mẫu độ nén (giãn) tỷ đối 1.62 Chiếc vịng uốn lượn (Trung Quốc) Trang Vòng uốn lượn bán lần vào năm 1940, nhanh chóng trở thành đồ chơi u thích Trên hình 1.62a, vịng uốn lượn sản xuất từ ống trụ rỗng bán kính R cách cắt lị xo xoắn ốc mỏng từ Vịng lị xo có N vịng tiết diện A Ký hiệu  khối lượng riêng kim loại Trong ta giả sử biến dạng giãn lò xo chủ yếu biến dạng trượt Gọi G mô đun trượt kim loại Sức căng vòng dây T kéo giãn đến chiều dài L lớn nhiều so với chiều dài tự nhiên? Mô đun trượt G vật rắn định nghĩa F  F/A , đó, u/ y hình 1.62b, F lực kéo vng góc với tiết diện A, y bề rộng vật, u biến dạng trượt Trang ĐÁP ÁN 1.57 Đàn violon (Estonia) Sóng dừng tạo thành hai đoạn dây, hai đầu dây phải nút Trong trường hợp chặn tay, độ dài 3L 6L nửa bước sóng, tương ứng với bước sóng   7 Khi chạm tay vào dây, điều kiện có sóng dùng hai đầu nút, cộng thêm nút thứ ba vị trí chạm vào Như hai bên sợi dây, chiều dài dây số nguyên lần nửa bước sóng Tỷ số độ dài hai đoạn dây Vì hai số nguyên tố nhau, nên số nửa bước sóng bên sợi dây tương ứng Xét đoạn dây dài v 0 3L 2L  3 ,  hay v0  7 1.58 Tổng lượng mặt sóng (Trung Quốc) 1) Thế tăng δV từ −z đến z phần tử khối lượng δm = pδxδz: V (m)(g)(2z) 2gz(x)(z) Tổng năng: x  / z Asin( 2x /  ) V 2g  x 0  z 0 x  / g  x 0 x  / zdzdx 2g  x 0  z2  dx  2   z Asin ( 2x/  ) A 2sin 2(2x /  )dx Sử dụng tích phân sin ( 2x x  sin(4x / ) )dx   , ta  8 /2  x V gA    gA 2  2 Thế tính cho đơn vị chiều dài: V  gA  2) Với giả thiết động trung bình trung bình, tổng lượng đơn vị chiều dài E  gA 2 3) Cơng suất sóng trung bình chu kỳ: Trang 2 g TH 1  1     g TA Ptb  gA  vg  gA      8 32 2  2   2T  1.59 Máy bay siêu (Romania) 1) Quãng đường máy bay O ' M vt Bán kính mà sóng âm đạt tới R ct Từ sin   v c 2) Khoảng cách mà máy bay bay thời điểm Tob xung sóng tới O O ' M v.Tob Từ hình vẽ ta có O 'M h.tan  h Vậy Tob  tan  v 3) Sóng phát thời điểm t cần quãng đường h  v 2t để tới O Do sóng đến O h  v 2t c thời điểm T t  Để tìm cực trị ta xét dT 0 dt dT v 2t 1 0 dt c h  v 2t Giải t0  h h v2 T0  1 v2 v 21 v c2 c 4) Các âm phát khoảng thời gian ∆t đến O khoảng thời gian ∆T Tỷ số ∆T / ∆t gần không, tức ∆T ≪ ∆t Điều có nghĩa thời gian ngắn, O nhận nhiều sóng đến, cường độ sóng nhận quan sát viên lớn nhiều cường độ sóng phát 1.60 Biến dạng đàn hồi (Belarus) 1) Mô đun Young độ cứng 1a) Biểu diễn lực đàn hồi qua ứng suất Fel S thay vào biểu thức định luật Hook ta được:  S Fel S ES=ES  E  x kx  l (1) Từ (1) suy mối liên hệ độ cứng với kích thước hình học: k E S l (2) 1b) Năng lượng đàn hồi có biểu thức: U el Fel  kx 2 (3) Thay (2) vào (3) ta được: kx S x2 E  x  E U el  E    (Sl)  V l 2 l  (4) Trang V = Sl thể tích khối trụ Lấy lượng đàn hồi (4) chia cho thể tích V ta lượng đàn hồi có đơn vị thể tích, hay mật độ lượng đàn hồi el  U el E  2    V 2 2E (5) Biểu thức (5) cho thấy, ứng suất đàn hồi độ biến dạng tỷ đối khơng phải số mật độ lượng đàn hồi số mà phụ thụộc vào ứng suất vị trí xét 2) Biến dạng chuyển động Đầu tiên ta làm rõ độ biến dạng tỷ đối địa phương ε(x), phụ thuộc vào tọa độ Gắn trục Ox với trục cho gốc O trùng với mặt trái hình trụ (hình 1.60Sa) Ta tưởng tượng chia chưa biến dạng thành lớp mỏng có chiều dày ∆x Ta đánh số lớp số k Xét lớp tọa độ xk Bây cho biến dạng không đều, ví dụ treo cho tự dãn trọng lực Khi mặt phân cách lớp dịch chuyển với khoảng cách khác Ta đưa thêm trục Oz, trục Ox gắn với trước biến dạng Gọi tọa độ mặt trái lớp ta xét zk, bề dày lớp ∆zk Độ biến dạng tuyệt đối lớp x k z k  x k , tương ứng với độ biến dạng tỷ đối: k  x k z k  x k  x k x k (6) Nếu ta chia lớp mỏng thay số k ta sử dụng tọa độ x để biểu diễn vị trí lớp, độ biến dạng tỷ đối hàm tọa độ x Nếu biết độ biến dạng tỷ đối hàm tọa độ, ta dễ dàng tìm độ biến dạng tuyệt đối Độ biến dạng tuyệt đối lớp x k  k x k , từ lấy tổng theo tất lớp ta tổng độ biến dạng thanh: l   k x k (7) k Khi lớp mỏng, độ biến dạng tỷ đối hàm tọa độ, độ biến dạng tuyệt đối diện tích hình chắn đồ thị hàm số ε(x) Từ công thức tìm tọa độ lớp thơng qua độ dãn tỷ đối: z k x k   k x k k k k i 0 i 0 i 0  z k  x i   i x i x k    i x i (8) Trang tổng lấy theo lớp trước lớp k Khi lớp mỏng, cơng thức (8) biểu diễn diện tích đoạn đồ thị ε(x) khoảng từ đến x Bây ta tiếp tục giải tốn cách tổng qt (độc giả giải cho trường hợp a, b, c) Lực đặt vào mặt phải F0, vào mặt trái F1 Trong khoảng thời gian ngắn, ban đầu lớp chuyển động với vận tốc khác dẫn tới biến dạng bên Sau thời gian biến dạng ổn định, lớp chuyển động với vận tốc suy gia tốc Sử dụng điều kiện kết hợp với định luật II Newton ta tìm phân bố lực đàn hồi bên lịng Ngồi định luật Hook cho phép tìm phân bố biến dạng tỷ đối, từ cho phép tính tất đại lượng mong muốn Xét phần dài từ đầu trái đến chỗ có tọa độ x, định luật II Newton: m(x)a T(x)  F1 (9) x khối lượng phần xét, m khối lượng tồn thanh, cịn T(x) l lực đàn hồi nửa bên phải tác dụng lên nửa phía trái, a - gia tốc Gia tốc tìm biết định luật II Newton cho toàn thanh: m(x) m ma F0  F1  a  F0  F1 m (10) Từ (9) tìm phụ thuộc lực đàn hồi vào tọa độ: T(x) ma x x x  x  F1 (F0  F1)  F1 F0  F1  1  (11) l l l l  Độ biến dạng tỷ đối tìm từ đây: (x) (x) F0 x F1  x      1  E SE SE l SE  l x  x   1  1  l l  (x)  (12) F0 F , 1  độ biến dạng tỷ đối gây SE SE lực F0, F1 có hai lực tác dụng Ở ta ký hiệu   Đồ thị ε(x) đường thẳng Điểm đáng ý biến dạng tỷ đối thỏa mãn định luật chồng chập biến dạng hệ tuyến tính định luật Hook): lực F0 gây biến dạng cực đại  vị trí tác động đầu phải biến dạng giảm dần đến không đầu trái Tương tự với lực F1: gây biến dạng cực đại 1 , đầu trái giảm dần đến không đầu phải Đồ thị hàm số (x) thành phần biểu diễn hình 1.60Sb Diện tích hình chắn đồ thị tổng độ dãn tuyệt đối Trang l    1 F F l  1l 2ES (13) Để tính lượng biến dạng ta cần sử dụng biểu thức mật độ lượng biến dạng (5) Tổng lượng biến dạng tính theo biểu thức: U el  k E 2k Sx k (14) Thay biểu thức (x) vào ta được: E ES  x  U el  k Sx k     k  1  x k 2 k  l  k x2 ES ES  x k  ES x   02  20 x k  0   1  01  k  x k  2 l  l k l k  k  xk  1 x k l   (15) Ta xem xét ý nghĩa số hạng (15) Số hạng - tổng lượng biến dạng F gây ra; số hạng thứ hai - tổng lượng biến dạng F gây ra, số hạng thứ - lượng biến dạng xuất thêm chồng chập biến dạng Đó mật độ lượng khơng tỷ lệ thuận với độ biến dạng tỷ đối nên định luật chồng chập không hoạt động Sử dụng gợi ý tốn học đề tính tổng x 20 k l2 x k  Tổng thứ hai có giá trị y tổng khơng phụ thuộc vào việc lấy từ đầu trái qua phải (tổng thứ nhất) hay phải qua trái (tổng thứ hai) Tổng thứ ba tính dễ dàng: x k lk xk  xk   1 x k  x k  l  l  k 1 x  k  lk  x k  2l  3l  6l Như tổng lượng biến dạng là:  01  E 20  1  1   ES   20 12  1     Sl U el  Sl      3   0  0     (16) Thay biểu thức  , 1 ta biểu diễn lượng biến dạng qua lực: Fo2l  F1  F1    1     U el  ES  F0  F0     (17) Áp dụng với ba trường hợp đề cho: F1 (x) l i) ii) iii) F1 F0 F1  F0 F1 0 (x)  F0 const SE l  F0l SE (x)  F0  x   1  2SE  l l  F0l SE (x)  l  F0 x SE l F0l SE Trang U el U el  Fo2l SE U el  Fo2l 24 SE U el  Fo2l SE Các đồ thị 3) Truyền biến dạng Thời gian để thiết lập biến dạng cân đánh giá tương đương với thời gian để biến dạng truyền đến đầu trái Biến dạng truyền với vận tốc sóng âm c   nên thời gian cần tìm E l  0  l c E 1.61 Cột cát (Nga) Tính thứ nguyên vế phải (1) thứ nguyên vế trái độ dài  E  R g   M  L  T  2 L M L 3L T  2 M T  2(  ) L  3 L    0  Từ   2(  ) 0     3 1  M T L (2) Giải hệ ta         1 Ta viết (1) dạng   E H 12 5  R 1   g  (3) Đưa vào tham số r E 30 106  m 204m g 15 103 98 Bây (1) có dạng H 12 5r  R 1  Theo tính tốn Bag  1m 12 5(204m) ( 00 5m)  1   204m  12 5 5m)  ( 00 5m   00 Biểu thức chuyển dạng 16 (4080) Từ tìm  ln 16 27 73   ln 4080 83 14 Sử dụng (3) để tính tốn hai trường hợp ơng Bag ông Glyuk: Trang 10 H1  R    H2  R  2/ 2/ 5  01 Từ H  8m  1m 20 5  00 1.62 Chiếc vòng uốn lượn (Trung Quốc) Nếu coi vòng dải dài bị biến dạng trượt, ta có y 2RN u L Do vậy: F GA u GAL  y 2RN Sức căng bên vịng T sin  F , α góc xác định từ phương trình sin   L 2RN Cuối T  F  GAL   2RN     GA , số sin   2RN   L  Trang 11