Bài toán hit đoi v i đại số đa thức năm bien và ứng dụng

B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HOC QUY NHƠN NGUYEN KHAC TÍN BÀI TỐN HIT ĐOI V I ĐẠI SO ĐA THỨC NĂM BIEN VÀ ỨNG DỤNG LU N ÁN TIEN SĨ TỐN HOC BÌNH бNH, NĂM 2017 B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HOC QUY NHƠN NGUYEN KHAC TÍN BÀI TỐN HIT ĐOI V I ĐẠI SO ĐA THỨC NĂM BIEN VÀ ỨNG DỤNG LU N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SO VÀ LÝ THUYET SO Mà SO: 62.46.01.04 Phan bi n 1: Phan bi n 2: Phan bi n 3: Ngư i hư ng dȁn khoa hoc: PGS.TS NGUYEN SUM BÌNH бNH, NĂM 2017 Mnc lnc L i cam đoan iv L i cảm ơn v M đau Chương Kien thfíc chuan bị 10 1.1 Đại so Steenrod 10 1.2 Cau trúc A-môđun đại so đa thác 11 1.3 Hàm µ véctơ đơn thác 11 1.4 Đơn thác chap nh n đơn thác hit 16 1.5 M®t so đong cau ký hi u 18 Chương M t so van đe ve toán hit đoi v i đại so đa thfíc 21 2.1 Tính đȁng cau đong cau Kameko l p 21 2.2 Bài toán hit đoi với đại so đa thác năm bien m®t so dạng b c .24 2.2.1 Trường hợp d = 25 2.2.2 Trường hợp d = 30 2.2.3 Trường hợp d = 40 Chương Ứng dnng toán hit cho đong cau chuyen đại so thfí năm Singer 43 3.1 Giả thuyet Singer ve đong cau chuyen đại so 43 3.2 Cháng minh Định lý 3.1.3 .45 3.2.1 Trường hợp d = 45 3.2.2 Trường hợp d = 50 i 3.2.3 Trường hợp d = 57 3.3 Cháng minh H 3.1.4 59 Ket lu n 61 Danh mnc cơng trình tác giả liên quan đen Lu n án 62 Tài li u tham khảo 63 Phn lnc 69 i L i cam đoan Lu n án hoàn thành trường Đại hoc Quy Nhơn, hướng dan PGS TS Nguyen Sum Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cáu Các ket Lu n án trung thực đong tác giả cho phép sả dụng chưa tàng công bo trước Tác giả, Nguyen Khac Tín i L i cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biet ơn sâu sac đen thay PGS.TS Nguyen Sum Thay t n tình hướng dan tơi tà nhǎng bước đau tiên nghiên cáu, làm lu n văn thạc sy lu n án tien sĩ, thay ln tạo cho tơi m®t mơi trường làm vi c cởi mở, chân tình đay am cúng Hơn the nǎa, m®t người cha, thay ln đ®ng viên, uon nan tơi đe tơi hồn thi n cu®c song nghiên cáu khoa hoc đ c bi t quan tâm giúp ve m t v t chat lan tinh than đe cho tơi an tâm suot q trình hoc t p nghiên cáu Tơi xin bày tỏ lòng biet ơn chân thành đen Ban Giám hi u; Phịng Đào tạo sau đại hoc; Khoa Tốn-Trường Đại hoc Quy Nhơn, Thay giáo, Cô giáo giảng dạy, giúp đơ, tạo đieu ki n thu n lợi cho thời gian hoc t p nghiên cáu trường Tôi xin cảm ơn Ban Giám hi u-Trường Đại hoc Sư phạm Ky thu t Thành Ho Chí Minh tạo đieu ki n cho hoc Tôi xin gải lời cảm ơn chân thành đen đong nghi p B® mơn Tốn, Khoa Khoa hoc Úng dụng gánh vác cơng vi c suot thời gian làm nghiên cáu sinh trường Đại hoc Quy Nhơn Tôi xin chân thành cảm ơn NCS Liên Vương Lâm bạn bè gan xa thăm hỏi, giúp rat nhieu ba năm qua Xin cảm ơn Cô Kim Phụng dành cho nhǎng lời khun chân tình, nhǎng lời đ®ng viên, khích l tinh than suot thời gian thực hi n lu n án Cuoi cùng, tơi xin dành tình cảm đ c bi t gải đen tat nhǎng người thân thương gia đình tơi, nhǎng người ln bên cạnh đ®ng viên, an ủi, chia sẻ moi khó nhoc tơi; đ c bi t vat vả, hy sinh to lớn vợ gái gánh vác moi công vi c gia đình, tạo moi đieu ki n tot nhat có the đe chuyên tâm hoc t p Tác giả Nguyen Khac Tín v M đau M®t nhǎng cơng cụ sả dụng đe nghiên cáu toán phân loại đong ln khơng gian tơpơ toán tả đoi đong đieu Steenrod xây dựng Các toán tả đoi đong đieu sinh phép bien đői tự nhiên b c i Sqi : Hn(X, F2) −→ Hn+i(X, F2), X không gian tôpô H ∗ (X, F2 ) đoi đong đieu kì dị X với h so trường F2 có phan tả n, i so ngun khơng âm tùy ý Các tốn tả Sqi Steenrod xây dựng [38] goi bình phương Steenrod b c i hay tốn tả Steenrod b c i Cau trúc t p hợp toán tả đoi đong đieu Serre [58] làm rõ vào năm 1952 Serre cháng minh rang, với phép c®ng thơng thường phép hợp thành ánh xạ, toán tả Steenrod sinh tat toán tả đoi đong đieu őn định Đại so toán tả đoi đong đieu őn định với h so trường F2 goi đại so Steenrod modulo kí hi u A Khi đó, với moi không gian tôpô X , H ∗ (X, F2 ) m®t A-mơđun Như v y, đại so Steenrod có the định nghĩa m®t cách thuan túy đại so đại so thương F2-đại so phân b c, ket hợp, tự sinh ký hi u Sqi b c i với i so ngun khơng âm, theo iđêan hai phía sinh quan h Sq0 = quan h Adem ! Σj [a/2] b − − j Sqa Sq b Sq a+b−j Sq j , < a < a− 2j Ký hi u Pk = H ∗ ((RP ∞ )k ) đại so đoi đong đieu modulo tích trực tiep k khơng gian xạ ảnh thực vơ hạn chieu RP ∞ Khi đó, Pk đȁng cau với m®t đại so đa thác phân b c F2[x1, x2, , xk] với k bien, moi bien xj có b c bang Cau trúc A-môđun Pk xác định tường minh công thác   x j , i = Sq i (xj ) = 0, x2, i = 1,  j 0, i > 1, công thác Cartan n Σ i Sq (xy) = Sq (x)Sqn−i(y), n i=0 với x, y ∈ Pk M®t nhǎng tốn mà chúng tơi quan tâm tốn tìm t p sinh cực tieu đại so đa thác Pk xét mơđun đại so Steenrod A Bài tốn goi toán hit đoi với đại so đa thác Neu xét F2 m®t A-mơđun tam thường tốn hit tương đương với tốn tìm m®t sở F2-khơng gian véctơ phân b c + F2 ⊗APk ∼= Pk/A Pk A+ iđêan A sinh tat toán tả Steenrod b c dương Bài toán nghiên cáu đau tiên Peterson [27, 28], Singer [36], Wood [54], Priddy [30] nhǎng người moi liên h tốn hit với m®t so toán cő đien lý thuyet đong luân lý thuyet đong biên đa tạp, lý thuyet bieu dien modular nhóm tuyen tính, dãy phő Adams đoi với đong luân őn định m t cau tốn phân tích őn định khơng gian phân loại nhóm hǎu hạn Trong [27], Peterson đưa giả thuyet rang, m®t mơđun đại so Steenrod, đại so đa thác Pk sinh đơn thác b c n thỏa mãn α(n + k) ≤ k, α(n) so h so khai trien nhị phân n cháng minh đieu với k ≤ Giả thuyet Wood [54] cháng minh m®t cách tőng quát vào năm 1989 Đây m®t cơng cụ đoi với toán xác định t p sinh cực tieu A-mơđun Pk Sau ket phát trien xa Singer [36] Silverman [33, 34] Đen nay, tích tenxơ F2⊗APk xác định tường minh với k = 1, Peterson, với k = Kameko [22, 23] Trường hợp k = xác định hoàn toàn N Sum [39, 42, 44] Trong trường hợp tőng quát m®t so dạng b c đó, tốn quan tâm nghiên cáu nhieu tác giả nước (chȁng hạn như: Boardman [2], Bruner-Hà-Hưng [3], CarlisleWood [4], Crabb-Hubbuck [5], Giambalvo-Peterson [11], Hưng-Nam [15, 16], HưngPeterson [17], Janfada-Wood [20, 21], Mothebe [25], T N Nam [56], Phúc-Sum [29], Repka-Selick [32], Silverman [33], Silverman-Singer [35], Singer [37], N Sum [40, 41, 44], Walker-Wood [51, 52, 53], Wood [54, 55] m®t so tác giả khác) Tuy nhiên, ket đạt van hạn che, trường hợp k = với ho trợ máy tính n tả Ký hi u GLk nhóm tuyen tính tőng qt cap k trường F2 Nhóm tác đ®ng tự nhiên lên đại so đa thác Pk bang phép the bien tuyen tính (xem Dickson [10]) Vì tác đ®ng A GLk Pk giao hốn với nên có m®t tác đ®ng cảm sinh GLk F2⊗APk M®t công0 cụ khác sả dụng đe nghiên cáu toán hit đong cau Kameko S˜q ∗ : F2 ⊗A Pk −→ F2 ⊗A Pk Đong cau m®t đong cau GLk mơđun cảm sinh m®t ánh xạ F2-tuyen tính φ : Pk −→ Pk xác định sau:  neu x = x1x2 xky2, y, φ(x) =  0, trường hợp khác , với moi đơn thác x ∈ Pk Tuy φ khơng phải m®t đong cau A-mơđun ta có h thác sau: φSq 2j = Sq j φ, φSq 2j+1 = với moi so ngun khơng âm j Với n m®t so nguyên dương, ta ký hi u µ(n) = min{u ∈ Z : α(n + u) ≤ u} Kameko cháng minh [22] ket sau (định lý đánh so Định lý 2.1.1) Định lý (Kameko [22]) Cho m m®t so nguyên dương Neu µ(2m+k) = k (Sq ˜ ∗ )(k,m) : (F2 ⊗A Pk )2m+k −→ (F2 ⊗A Pk )m m®t đȁng cau GLk-mơđun Ket hợp ket ket Wood, toán hit rút gon ve vi c tính tốn b c n thỏa mãn µ(n) = s < k Tuy v y, vi c tính tốn tường minh khơng gian véctơ (F2⊗APk)n rat khó, người ta thường quan tâm đen vi c đánh giá so chieu không gian véctơ Trong [4], Carlisle-Wood cháng minh rang so chieu không gian véctơ (F2⊗APk)n bị ch n đeu m®t so phụ thu®c vào k Vào năm 1990, lu n án tien sĩ trường Đại hoc Johns Hopkins, Kameko [22] đưa giả thuyet sau ve ch n so chieu (F2⊗APk)n, cháng minh giả thuyet với k ≤ Giả thuyet (Kameko [22]) Với moi so nguyên không âm n, dim(F2 Y APk)n ≤ (2i − 1) ⊗ 1≤i≤k Sau xác định tường minh F2⊗AP4 bang phương pháp Kameko, N Sum [41] rang giả thuyet Kameko với k = Hơn nǎa, N Sum [44] thiet l p m®t cơng thác quy nạp theo k ve so chieu không gian véctơ (F2⊗APk)n với n b c có dạng tőng quát Định lý (Sum [44]) Cho n = (k − 1)(2d − 1) + 2dm, d, m so nguyên dương cho ≤ k − ≤ µ(m) ≤ k − Neu d ≥ k − dim(F2⊗APk)n = (2k − 1) dim(F2⊗APk−1)m Với d ≥ k µ(m) = k − 2, định lý cháng minh T N Nam [56] Bang cách quy nạp theo k sả dụng tính chat tồn cau đong cau Kameko, có ket sau H (Sum [41]) Cho n = Σ (2di 1), di so nguyên di−dr−1 dương ký hi u dk−1 = 1, nr = Σ − 1) − với r = 5, , k 1≤i≤r−2(2 − i≤k−2 Neu d1 − d2 ≥ 4, di−2 − di−1 ≥ i với1≤ ≤ i ≤ k k ≥ 5, dim(F2 ⊗APk)n = Y (2i − 1) + Σ ( Y (2 − 1)) dim Keri (S˜q ) ∗ 1≤i≤k ta quy ước Q r+1≤i≤k(2 5≤r≤k r+1≤i≤k i − 1) = 1, với r = k (r,nr)