Chuyên đề 2 các hằng đẳng thức đáng nhớ

Chương I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC Chuyên đề CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A Kiến thức cần nhớ   A  B  A2  AB  B (1)   A  B  A2  AB  B (2)  A2  B  A  B   A  B  (3)   A  B  A3  A2 B  3B A  B  A3  B  AB  A  B  (4)   A  B  A3  A2 B  AB  B  A3  B  AB  A  B  (5)  A3  B  A  B   A2  AB  B  (6)  A3  B  A  B   A2  AB  B  (7) B Một số ví dụ Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức : a ) A  x     x    x     x   b) B  3x  x  1  x  x  1   x  1 2 c)C  x  x     x    x  x     x   Giải Tìm cách giải Rút gọn biểu thức biến đổi viết biểu thức dạng đơn giản Trong biểu thức ẩn chứa hẳng đẳng thức, dùng đẳng thức để khai triển thu gọn đơn thức đồng dạng Trình bày lời giải a) Ta có: A  x     x    x     x    x  x    x    x  x  16 6 x  x  b) Ta có : B  3x  x  1  3x  x  1   3x  1 2  x  1   x    3x  1 2   x   x c) Ta có : C  x  x     x    x  x     x     x  x     x    2  x   x Ví dụ 2: Cho x  y  x  y 11 Tính x  y ? Giải Tìm cách giải Sử dụng đẳng thức (1) giả thiết ta tính tích xy Mặt khác phân tích kết luận đẳng thức (4), ta cần biết thêm tích xy xong Từ ta có lời giải sau Trình bày lời giải Từ x  y   x  xy  y 49 Mà x  y 11  11  xy 49  xy 12 3 Ta có : x  y  x  y   xy  x  y      3.12     x3  y  91 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức : a ) A  x  10 x  26 x 95 b) B  x  x  x  x 21 Giải Tìm cách giải.Quan sát kỹ biểu thức, ta nhận thấy có bóng dáng đẳng thức Do nên vận dụng đưa đẳng thức Sau thay số vào để tính, tốn đơn giản Trình bày lời giải a) Ta có : A  x  10 x  26  x  10 x  25   x    b) Ta có : B  x3  3x  3x   x3  3x  3x    x  1  Với x 21  B  21  1  8000  8002 Ví dụ 4: Tính nhanh: 20203  a) A  20202  2019 20203  b) B  20202  2021 Giải Tìm cách giải Quan sat kỹ đề bài, ta nhận thấy phân số ẩn chứa đẳng thức Do vậy, việc dùng đẳng thức để phân tích thừa số suy luận tự nhiên Trình bày lời giải  2020  1  20202  2020  1 20203  a) A   2021 20202  2019 20202  2020   2020  1  20202  2020  1 20203  b) B   2019 20202  2021 20202  2020  3 Ví dụ 5: Cho x  y 2 Tính giá trị A 2  x  y   3. x  y  Giải Tìm cách giải Dựa vào giả thiết kết luận ta nghĩ tới hai hướng sau:  Biến đổi biểu thức A nhằm xuất x  y để thay số  Từ giả thiết, suy x  y  thay vào kết luận, ta biểu thức chứa biến y Sau rút gọn biểu thức Trình bày lời giải Cách Ta có : A 2  x  y    x  y  2  x  y   x  y  xy     x  y   xy    4  x  y  xy  xy    x  y   12 xy 2 4  x  y    x  y   12 xy  12 xy  x  y  4 Cách Từ giả thiết, suy x  y  thay vào biểu thức A ta có :   A 2  y    y   y   y  2  y  y  12 y   y    y   12 y  24 y  16  12 y  12 y  12 4 Ví dụ 6: Tìm số thực x, y thỏa mãn x  26 y  10 xy  14 x  76 y  58 0 Giải Tìm cách giải Để tìm số thực x, y thỏa mãn đa thức hai biến bậc hai 0, định hướng biến đổi đưa đa thức thành tổng bình phương hai biểu thức Sau áp dụng A2  B 0 A 0 B 0 Từ tìm x, y Trình bày lời giải Ta có : x  26 y  10 xy  14 x  76 y  58 0  x  10 xy  25 y  14  x  y   49  y  y  0  ( x  5y )2  14( x  5y )  49  ( y  3)2 0 2   x  y     y  3 0  x  y  0  x 22    y  0  y 3 Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  x  xy  y  x  y  2015 Giải Tìm cách giải Để tìm giá trị nhỏ đa thức bậc hai, dùng đẳng thức (1) (2) để biến đổi đa thức thành tổng bình phương cộng với số Giá trị nhỏ biểu thức đạt tổng bình phương Trình bày lời giải Ta có : y  3y2  P  x     x  y  2015 2  y y y2    x     x      y  2014 2 2   y  3 16    x   1   y  y    2012  4 9  2 y  3 4 2   x   1   y    2012 2012  4 3 3  y  x   0   2012     y  0    x    y 4  Vậy giá trị nhỏ P 2012 x  ; y  3 Ví dụ 8: Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời a  b  c 6 a  b  c 12 Tính giá trị biểu thức : P  a  3 2020   b  3 2020   c  3 2020 Giải Tìm cách giải Giả thiết cho hai đẳng thức mà lại có ba biến a, b, c có vai trị Do dự đoán dấu xảy a b c từ giả thiết suy a b c 2 Để tìm kết này, 2 vận dụng tổng bình phương Do nên  a     b     c   0 biến đổi tương đương để giả thiết Khi trình bày lại giả thiết Trình bày lời giải Ta có : a  b  c 12  a  b  c  12 0  a  b  c  24  12 0  a  b  c   a  b  c   12 0  a  4a   b  4b   c  4c  0 2   a     b     c   0 Dấu xảy a b c 2  P   1 2020    1 2020    1 2020 3 Ví dụ 9: Cho a  b 4c Chứng minh rằng:  5a  3b  8c   5a  3b  8c   3a  5b  Giải Tìm cách giải Quan sát đẳng thức cần chứng minh, nhận thấy vế trái có chứa c, vế phải khơng chứa c Do cần biến đổi vế trái đẳng thức, sau khử c cách thay 4c a  b từ giả thiết Để thực nhanh xác, nhận thấy vế trái có dạng đẳng thức (3) Trình bày lời giải Biến đổi vế trái :  5a  3b  8c   5a  3b  8c   5a  3b   64c  25a  30ab  9b   64c  25a  30ab  9b   16  a  b   4c a  b  9a  30ab  25b  3a  5b  Vế trái vế phải Suy điều phải chứng minh Ví dụ 10: Phân tích số 27000001 thừa số nguyên tố Tính tổng ước số ngun tố Giải Tìm cách giải Chúng ta vận dụng đẳng thức để phân tích số thừa số nguyên tố Trình bày lời giải Ta có: 27000001 3003   300  1  300  300  1 301   300  1  302  301 300   30   300   30    301.271.331 7.43.271.331 Tổng ước số nguyên tố :  43  271  331 652 Ví dụ 11: Cho số x, y thỏa mãn đẳng thức x  x y  y 4; x8  x y  y8 8 tính giá trị biểu thức A  x12  x y  y12 Giải Ta có : x  x y  y   x  x y  y   x  y   x y  x8  x y  y 8  x  x y  y 2 Kết hợp với giả thiết suy x  y 3 x y 1 3 Ta có : A  x12  x y  y12  x    y   x y 3   x  y   x8  x y  y8    x y 2 3   x  y   x y     3  32  3  19 C Bài tập vận dụng 2.1 Tìm hệ số x đa thức sau khai triển : 2 a ) A  x     x     x  3   3x  1 2 b) B  x  1   x     x     3x  1 Hướng dẫn giải – đáp số a) A  x  x   x  x   x  x  27 x  27  27 x  27 x  x  28 x  38 x  36 x  36 Vậy hệ số x 38 b) B 4 x  x   x  x   x3  x  27 x  27  27 x3  27 x  x  28 x  31x  28 x  23 Vậy hệ số x -31 2.2 Tính giá trị biểu thức a ) A  x  0, x  0, 01 x 0,9 b) B  x  3x  3x  x 19 c)C  x  x  x  x  x  x 8 Hướng dẫn giải – đáp số a ) Ta có : A  x  0, x  0, 01  x  0, x   0,1  x  0,1 2 Với x 0,9  A  0,9  0,1 1 b) Ta có: B  x3  3x  3x   x  3x  3x    x  1  Với x 19 B  19  1  8000  8001 c) Ta có : C  x  x  3x  x   x4  2x3  x  2x  2x  2  x  x    x  x     x  x  1  Với x  x 8  C   1  81  82 2.3 Tính hợp lý : a) A  3562  1442 2562  2442 c )C 1632  92.136  462 b) B 2532  94.253  47 d ) D  1002  982   2    992  97   12  Hướng dẫn giải – đáp số a) A   356  144   356  144  500.212 53 3562  1442    2 256  244  256  244   256  244  500.12 b) B 2532  94.253  47 2532  2.47.253  47  253  47  3002 90000 c)C 1362  92.136  462 136  2.46.136  462  136  46  902 8100 d ) D  1002  982   2    992  97   12   1002  99    982  97     22  12   100  99   100  99    98  97   98  97      1   1 1  100  99    98  97      1 100  99    100  1   99      51  50  101  101   101 101.50 5050 2.4 Tính giá trị biểu thức : 2 20212  2020  2019  2019  2020  2021 A 20203   2020  1  20203  1 Hướng dẫn giải – đáp số 20212  2020  2019  20192  2020  2021 A 20203   20202  1  20203  1   20212  2020  2020  1  2020  1  2020  1  2020  1  20202  2020  1 20192  20202  2020  1  2020  1  20202  2020  1 2019 1 2019 2.5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : a ) A 5 x  y  xy  y  x  2020 b) M 5 x  y  z  x  xy  z  Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có : A 4 x  xy  y  x  x   y  y   2018 2 4  x  y    x  1   y  1  2018 2018 Vậy giá trị nhỏ A 2018 x 1; y  b) Ta có : B 4 x  xy  y  x  x   y  y   2015 2  x  y    x  1   y    2015 2015 Vậy giá trị nhỏ B 2015 x 1; y  c )M  x  xy  y  x  x   z  z   x  y  1  4 1 1    x  1   z     2    x  y 0   Dấu xảy  x  0  x  y  z     z  0 Vậy giá trị nhỏ M  1 x  y  z  4 2.6 Tìm x, biết : 2 a )  x     x  3   x    x  3 19 b)  x    x  x    x  x   15 c )  x  1    x    x  x   3x  x   17 Hướng dẫn giải – đáp số 2 a)  x     x  3   x    x  3 19 2   x    x   x  3  12 x   x    x   19  20 x    x     x  3  19  20 x  19  20 x 18  x  10 b)  x    x  x    x  x   15  x   x  x 15  x  15  x 7  x  c )  x  1    x    x  x   3x  x   17   x  1   x3  x  x 17  x  3x  3x    x3  x 17  x  17 10  x 10  x  2.7 Biết xy 11 x y  xy  x  y 2016 Hãy tính giá trị : x  y Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: x y  xy  x  y 2016 xy  x  y   x  y 2016 11 x  y    x  y  2016 12  x  y  2016  x  y 168 Mà x  y  x  y   xy 1682  2.11  28202 2.8 Cho a  b 7 Tính giá trị biểu thức : A a  a  1  b  b  1  3ab  a  b  1  ab Hướng dẫn giải – đáp số 3 Ta có : A a  a  b  b  3ab  a  b   3ab  ab a  3ab  a  b   b3  a  b  2ab  a  b    a  b  73  392 2.9 Chứng minh với x ta có : a ) x  x    10  c) x  x   b)  x    x     Hướng dẫn giải – đáp số a ) x  x    10   x2  6x      x  3   (luôn ) b)  x    x      x  x  18   x  x  16     x     (luôn đúng) c) x  x    x2  x   0 4 1   x     (luôn ) 2  2.10 Tìm x, y biết : a ) x  x   y  y 0 b)4 x  y  20 x  y  26 0 c )9 x  y  y  12 x  0 Hướng dẫn giải – đáp số a ) x  x   y  y 0   x  x  1   y  y   0 2   x  1   y   0 2 2   x  1 0;  y   0 (vì  x  1 ,  y   0 )  x 1; y 2 b)4 x  y  20 x  y  26 0   x  20 x  25    y  y  1 0 2   x     y  1 0 2 2   x   0  y  1 0 (vì  x   ,  y  1 0 )  x  ; y 1 c)9 x  y  y  12 x  0   x  12 x     y  y  1 0 2   3x     y  1 0 2 2   3x   0  y  1 0 (vì  x   ,  y  1 0 )  x  ; y  2.11 Chứng minh không tồn x; y thỏa mãn: a ) x  y  x  y  10 0 b)3 x  y  10 x  xy  29 0 c)4 x  y  y  xy  0 Hướng dẫn giải – đáp số a ) x  y  x  y  10 0  x  x   y  y   0 2   x     y  1  0 2 Mà  x     y  1  5  Suy khơng có x, y thỏa mãn đề b)3x  y  10 x  xy  29 0  x  xy  y  x  10 x  29 0 2   x  y    x  2,5   16,5 0 2 Mà  x  y    x  2,5   16,5 16,5  Suy khơng có x, y thỏa mãn đề c)4 x  y  y  xy  0   x  xy  y    y  y  1  0 2   x  y    y  1  0 2 Mà  x  y    y  1  4  Suy khơng có x, y thỏa mãn đề 2.12 Tìm giá trị lớn biểu thức : a ) A 15  x  x b) B  x  x  c)C  x  y  x  y  Hướng dẫn giải – đáp số 2 a) Ta có : A 15  x  x 31   16  x  x  31    x  31 Vậy giá trị lớn A 31 x  2 b) Ta có B 6    x  x  6    x  6 Vậy giá trị lớn B x 2 2 2 c) Ta có : C 10   x  x     y  y   10   x     y   10 Vậy giá trị lớn C 10 x 2; y  2.13 Cho số thực x; y thỏa mãn điều kiện x  y 3; x  y 17 Tính giá trị biểu thức x  y Hướng dẫn giải – đáp số Ta có:  x  y  xy   x  y  xy 17  xy 9  17  x3  y  x  y   3xy  x  y  27     63 3 3 2.14 Cho x  y a  b  1 x  y a  b   Chứng minh : x  y a  b Hướng dẫn giải – đáp số Ta có đẳng thức :  x  y   x  y  3xy  x  y   a  b a  b3  3ab  a  b  Kết hợp với (1) (2) suy xy ab (1) (2) (3) 2 Mặt khác, từ (1) suy  x  y   a  b   x  y  xy a  b  2ab Kết hợp với (3) suy : x  y a  b2 2.15 Cho a  b  c 2 p Chứng minh rằng: a )2bc  b  c  a 4 p  p  a  2 b)  p  a    p  b    p  c   a  b  c  p Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: 2bc  b  c  a  b  c   a  b  c  a   b  c  a   p  p  a  4 p  p  a  Vế trái vế phải Điều phải chứng minh 2 b) Ta có :  p  a    p  b    p  c   p  2ap  a  p  pb  b  p  pc  c 3 p  p  a  b  c   a  b  c 3 p  p.2 p  a  b  c a  b  c  p Vế trái vế phải Điều phải chứng minh  2.16 Cho A  99 Hãy so sánh tổng chữ số A2 với tổng chữ số A 2020 ch÷ sè Hướng dẫn giải – đáp số Ta có : A  99 2020  nên A2  102020  1  10  2020 ch÷ sè 104040  2.102020  99 9800 01       2019 2019 Tổng chữ số A2 : 2019   18180 Tổng chữ số A : 2020 18180 Vậy tổng chữ số A2 tổng chữ số A 2.17 Chứng minh rằng: 2 2 Nếu  a  b    b  c    c  a   a  b  2c    b  c  2a    c  a  2b  a b c Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết ta có : a b  2 2 2 2c    a  b    b  c  2a    b  c    c  a  2b    c  a  0(*) 2 Áp dụng đẳng thức : x  y  x  y   x  y  ta có : a b  2 2c    a  b   2a  2c   2b  2c  4  a  c   b  c   b  c  2a  c a  2   b  c   2b  2a   2c  2a  4  b  a   c  a  2b    c  a   2c  2b   2a  2b  4  c  b   a  b  Kết hợp với (*) ta có :  a  c   b  c    b  a   c  a    c  b   a  b  0   a  c   b  c    b  a   c  a    c  b   a  b  0  ab  ac  bc  c  bc  ba  ac  a  ac  bc  ab  b 0  a  b  c  ab  bc  ac 0  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ac 0  a  2ab  b2  b  2bc  c  c  2ca  a 0 2   a  b    b  c    c  a  0  a  b 0  b  c 0  a b c  c  a 0  2.18 Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n  4n hợp số (Thi học sinh giỏi tốn 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số  - Với n số chẵn  n 2k  k  N  n  4n 16k  42 k 4 nên n  4n hợp số * - Với n số lẻ Đặt n 2k  1 k  N , k  1 ta có: n  4n n  2.n 2n  4n  n 2n 1  n  2n   n 22 k  n  2n  2k n   n  2n  2k n  Ta có: n  2n  2k n n  2k n  22 k   2n  22 k   n  2k    22 k   22 k  2  n  2k    22k   mà n  2n  2k n  n  2n  2k n suy n  4n hợp số Vậy n  4n hợp số với n số tự nhiên lớn 2.19 a) Cho a  b 2 Tìm giá trị nhỏ A a  b b) Cho x  y 8 Tìm giá trị lớn B  xy Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 a) Ta có:  a  b    a  b  2  a  b     a  b  2 A  2 A  A  Vậy giá trị nhỏ A a b 1 b) Từ x  y 8  x 8  y suy B   y  y 8 y  y 8   y  y 2 B 8    y  8 Vậy giá trị lớn B y 2; x 4 2 2.20 Tìm giá trị nhỏ A 3  x  y  biết x  y  xy  12 (Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Bình Dương, năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số 2 Từ giả thiết, ta có  x  y  3xy  12  xy 2  x  y   24 Ta có : 2 2 A 3  x  y  3  x  y   xy 3  x  y    x  y   24  x  y   24  x 2  x  ; Vậy giá trị nhỏ A 24 x  y 0    y   y 2 3 2.21 Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn:  a  b    b  c    c  a  2010 Tính giá trị biểu thức Aa b  b c  c a Hướng dẫn giải – đáp số Đặt a  b  x; b  c  y; c  a  z  x  y  z 0  z   x  y  Ta có : x3  y  z 210  x3  y   x  y  210   3xy  x  y  210  xyz 70 Do x, y, z số nguyên có tổng xyz 70       nên x, y, z    2;  5;7  A  a  b  b  c  c  a 14 2.22 Chứng minh không tồn hai số nguyên x, y thỏa mãn x  y 2020 Hướng dẫn giải – đáp số Từ x  y 2020 suy x; y chẵn lẻ TH1: Nếu x; y chẵn Đặt x 2m; y 2n 4m  4n 2018  2m  2n 1009 Vế trái chẵn, cịn vế phải lẻ Vơ lí TH2: Xét x; y lẻ Đặt x 2k  1; y 2q  2 Ta có :  2m  1   2n  1 2018  4m  4m  4n  4n 2018 Vế trái chia hết cho 4, vế phải khơng chia hết cho 4, vơ lí Vậy khơng tồn số nguyên x; y thỏa mãn x  y 2020