Bài tập Giải Tich Kinh Tế - GTVT

bài tập giải tích khối kinh tế

Bài tập môn Giải tích - Khoa VT-KT Nguyễn Văn Kiên 1 Chương 1: Phép tính vi phân hàm một biến 1.1 Tính các giới hạn sau 1. lim x→0 3  1 + x 3 − 4  1 − x 4 1 −  1 − x 2 2. lim x→π sin mx sin nx 3. lim x→π ln cos x x sin 2x 4. lim x→0 x 2 5 √ 1 + 5x − x − 1 5. lim x→0 √ 1 + tg x − √ 1 + sin x x 2 6. lim x→0 m √ 1 + ax − n √ 1 + bx x 7. lim x→0 sin(πx α ) sin(πx β ) 8. lim x→0 1 − cos x. cos 2x. cos 3x x 2 9. lim x→0 √ 1 − cos x 2 1 − cos x 10. lim x→0 e x 2 − cos x x 2 11. lim x→0 e x − √ 1 + 2x x 2 12. lim x→0 3 √ 8 + 3x − 2 4 √ 16 + 5x − 2 13. lim x→0 5  (1 + x) 3 − 1 (1 + x) 3  (1 + x) 2 − 1 14. lim x→0 tg πx 2 ln(1 − x) 15. lim x→0 ln(1 + 3x sin x) tg x 2 16. lim x→0 8 x − 7 x 6 x − 5 x 17. lim x→0 3 √ 1 − x 2 − 1 xarctg5x 18. lim x→0 5  (1 + x) 3 − 1 x 19. lim x→0 ln tg (π/4 + 3x) sin 2x 20. lim x→+∞ ln(4 + e 3x ) ln(3 + e 2x ) 21. lim x→7 √ x + 2 − 3 √ x + 20 4 √ x + 9 − 2 22. lim x→1 (x − 1) tg πx 2 1.2 Xét tính liên tục của các hàm số 1. f(x) =  ax + 2 x < 0 a cos x + sin x x ≥ 0 2. f(x) =  5.2 x x < 0 2a − x x ≥ 0 3. f(x) =    x 2 + b x ≤ 0 √ 1 + x − 3 √ 1 + x x x > 0 1 4. f(x) =  2.e x x ≤ 0 a + 2x x > 0 5. f(x) =    x sin 1 x x = 0 a x = 0 6. f(x) =  x ln x 2 x = 0 0 x = 0 7. f(x) =    ln(1 + 4x) 3x x > 0 x 2 + a x ≤ 0 8. f(x) =  3x + 2a x ≥ 1 ax 2 + x + 1 x < 1 9. f(x) =    1 − cos √ x x x > 0 a x ≤ 0 10. f(x) =    1 1 + e 1/(x−1) x = 1 a x = 1 11. f(x) =    ln(1 + x) − x 2x 2 x > 0 a x ≤ 0 12. f(x) =  x ln x x > 0 a x ≤ 0 13. f(x) =    xarctg 1 x x = 0 a x = 0 2 Chương 2: Tích phân hàm một biến 2.1 Tích phân bất định 1.  x + x 3 1 + x 2 − x 4 dx 2.  x 6 x 2 + x − 2 dx 3.  x 2 + 1 (x + 1) 2 (x − 1) dx 4.  x 11 x 8 + 3x 4 + 2 .dx 5.  x 3 + 1 x 3 − 5x 2 + 6x .dx 6.  2x x 4 + 3x 2 + 2 dx 7.  x x 8 − 1 dx 8.  x x 3 − 1 .dx 9.  x.dx x 3 − 3x + 2 10.  x 4 x 4 + 5x 2 + 4 .dx 11.  (x + 1)dx √ x 2 + x + 1 12.  (2x − 1)dx √ x 2 + 3x + 3 13.  xdx √ x 2 + 2x − 5 14.  x.arctgx √ 1 + x 2 . dx 15.  x ln(1 + √ 1 + x 2 ) √ 1 + x 2 . dx 16.  dx x √ 1 − x 3 17.   x 2a − x dx; (0 ≤ x < 2a) 18.  dx e 2x + e x − 2 19.  arctge x e x dx 20.  dx (1 + e x ) 2 21.  xe arctgx (1 + x 2 ) 3/2 dx 22.  sin 4 x cos 5 xdx 23.  sin x cos x  a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x dx 2 24.  sin 4 x cos 6 x dx 25.  sin 2 x cos 4 xdx 26.  sin x sin 3 x + cos 3 x dx 27.  dx 5 − 4 sin x + 3 cos x 28.  sin x cos x sin 4 x + cos 4 x dx 29.  sin x − sin 3 x cos 2x dx 30.  dx (sin 2 x + 2 cos 2 x) 2 31.  sin 2 x − cos 2 x sin 4 x + cos 4 x dx 32.  sin 2 x 1 + sin 2 x dx 33.  dx sin 4 x + cos 4 x 34.  dx sin 2 x. cos x 35.  dx sin x. cos 3 x 2.2 Tích phân xác định 1.  ln 2 0 1 √ 1 + e x dx 2.  1 0  (1 − x 2 ) 3 dx 3.  a 0 dx x + √ a 2 − x 2 4.  1 0 arcsin √ x  x(1 − x) dx 5.  3 0 dx (3 + x 2 ) 5 2 6.  3 0 x √ 1 + x + √ 5x + 1 . dx 7.  2 √ 2 dx x 5 √ x 2 − 1 8.  1 0 √ e x √ e x + e −x dx 9.  π 2 0 sin x cos x a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x dx 10.  16 1 arctg  √ x − 1dx 11.  3 0 arcsin  x 1 + x . dx 12.  5π/4 π sin 2x sin 4 x + cos 4 x . dx 13.  π/2 0 sin x. sin 2x. sin 3x. dx 14.  π/2 0 cos xdx 2 + cos x 3 Chương 3: Hàm nhiều biến 3.1 Tìm vi phân cấp 1, 2 1. z = arctg y x 2. z = arctg x − y x + y 3. z =  x 2 + y 2 4. z = arcsin x  x 2 + y 2 5. z = x sin xy + y cos xy 6. z = arctg x + y 1 − xy 7. z = 2x − y  x 2 + y 2 8. z = (1 + xy) y 9. z = ln 1  x 2 + y 2 10. z = ln tg y x 3 3.2 Đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 1. u = x yz 2. u = ln 1 x 2 + y 2 + z 2 3. u =  x y  z 4. u = 1  x 2 + y 2 + z 2 3.3 Tính y  (x), y  (x) của hàm ẩn 1. ln  x 2 + y 2 = arctg x y 2. x y = y x 3. x 2 + y 2 = 1 4. e xy = x 2 + y 2 5. 1 + xy = ln(e xy + e −xy ) 3.4 Tính dz, d 2 z của hàm ẩn 1. x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 2. cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z = 1 3. x + y + z = e z 4. x 2 + y 2 + z 2 = e (x+y+z) 5. x 2 + y 2 + z 2 = 4xyz 3.5 Tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm hợp 1. z = ϕ(x 2 + y 2 ) 2. z = y 2 3x + ϕ(xy) 3. z = yϕ(x 2 − y 2 ) 4. z = xϕ(x + y) + yψ(x + y) 5. z = ϕ(x − at) + ψ(x + at) ϕ, ψ là hàm khả vi đến cấp 2 3.6 Tính dz của hàm cho dưới dạng 1. Φ(x, x + y, x + y + z) = 0 2. Φ(x − y, y − z, z −x) = 0 3. Φ(xyz, x + y + z,x 2 + y 2 + z 2 ) = 0 4. Φ  x z , y z  = 0 3.7 Một số bài toán khác 1. Cho z = arctg x y , x = u sin v, y = u cos v. Tính z  u , z  v . 2. Cho z = (1 + xy) y , x = u + v, y = u 2 − v 2 . Tính z  u , z  v . 3. Cho z = e x 2 +y 2 , x = u + v, y = uv. Tính z  u , z  v . 4. Cho y = y(x), z = z(x)  x + y + z = 0 x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Tính y  (x), z  (x). 3.8 Tính gần đúng 1. A = ln(0.99 3 + 0.09 3 ) 2. B = √ 5e 0.02 + 2.03 2 3. C =  (1, 02) 3 + (1, 97) 3 4. D = (1, 03) 2 3  0, 98 4  (1, 05) 3 5. E = 1  3, 02 2 + 3, 98 2 3.9 Tìm cực trị của hàm số 1. z = 4x − x 3 − xy 2 2. z = x 2 + y 2 − 6x + 8y 3. z = x 4 − 4x 2 − 4y 2 + y 4 + 8xy 4. z = x 3 + y 3 − 3xy 5. z = 2x 4 + y 4 − 4x 2 − 4y 6. z = xy + 50 x + 20 y , (x > 0, y > 0) 7. z = x 2 + xy + y 2 − 4 ln x − 10 ln y 4 8. z = x + y −xe y 9. z = e 2x (x + y 2 + 2y) 10. z = xy − 1 3 (x 3 + y 3 ) 3.10 Tìm cực trị có điều kiện 1. z = x 2 + 12xy + 2y 2 nếu 4x 2 + y 2 = 25 2. z = x a + y b nếu x 2 + y 2 = 1 3. z = x 2 + y 2 nếu x a + y b = 1 4. z = xy nếu x 2 8 + y 2 2 = 1 3.11 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 1. z = x 2 −xy+y 2 trên miền D = {|x|+|y| ≤ 1} 2. z = 2(x 2 +y 2 )+ (x −1) 2 +(y −1) 2 trên miền OAB, O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1) 3. z = x 2 + y 2 − 6x + 8y trên miền D = {x 2 + y 2 ≤ 1} 4. z = x 2 − y 2 trên miền D = {x 2 + y 2 ≤ 2} 5. z = x 2 + y 2 − 2x − y trên miền D = {x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2} 4 Chương 4: Phương trình vi phân 4.1 Phương trình vi phân cấp 1 4.1.1 Phương trình tách biến và đưa về tách biến 1. y  = (4x + y − 3) 2 2. y  = 3 √ 2x − y + 2 3. xy  + x cos y x − y + x = 0 4. y  = x + y x − y 4.1.2 Phương trình tuyến tính + Becnuli 1. 3y 2 y  + y 3 + x = 0 2. xy  − 2x 2 √ y = 4y 3. y  = y 4 cos x + y tg x 4. (x + 1)(y  + y 2 ) = −y 5. xy 2 y  = x 2 + y 3 6. xy  − y 2 ln x + y = 0 7. y  + x 3 √ y − 3y = 0 8. yy  + xy 2 − 4x = 0 9. yy  + y 2 cotg x = cos x 10. y  = y 4 cos x + y tg x 4.1.3 Phương trình vi phân toàn phần 1. (1 − x 2 y)dx + x 2 (y − x)dy = 0 2. (x − y 2 )dx + 2xydy = 0 3. dx y − x y 2 dy = 0 4. 2xydx + (x 2 − y 2 )dy = 0 5. (2 − 9xy 2 )xdx + (4y 2 − 6x 3 )ydy = 0 6. e −y dx − (2y + xe −y )dy = 0 7. y x dx + (y 3 + ln x)dy = 0 8. 3x 2 + y 2 y 2 dx − 2x 3 + 5y y 3 dy = 0 9. 2x(1 +  x 2 − y)dx −  x 2 − ydy = 0 10. (1 + y 2 sin 2x)dx − 2y cos 2 xdy = 0 4.1.4 Thừa số tích phân 1. (x 2 + y)dx = xdy 2. (2xy 2 − y)dx + (y 2 + x + y)dy = 0 3. (xy + 1)dx + (xy −1)dy = 0 4. (xy 2 + y)dx − xdy = 0 5. (x 2 + y 2 + x)dx + ydy = 0 6. (x cos y−y sin y)dy+(x sin y+y cos y)dx = 0 7. (y + x 2 )dy + (x − xy)dx = 0 8. xydx = (y 2 + x 2 y + x 2 )dy 9. (x 2 − sin 2 y)dx + x sin 2ydy = 0 10. (x 2 − y)dx + x(y + 1)dy = 0 5 4.2 Phương trình vi phân cấp 2 1. y  − 5y = −5x 2 + 2x 2. y  − 4y  + 4y = 2e 2x 3. y  − y = x 2 − x + 1 4. y  − 4y  = −12x 2 + 6x − 4 5. y  + y  = 3 6. y  − 2y  + y = 4e x 7. y  − y = 4e x 8. y  − 2y  − 3y = e 4x 9. y  + y = 4xe x 10. y  + y  − 2y = 3xe x 11. y  − 3y  + 2y = x cos x 12. y  + y = x sin x 13. y  + y = 2 sin x 14. y  − y = 2 sin x − 4 cos x 15. y  + y = 6 sin 2x 16. y  + y = 4e x , y(0) = 1, y  (0) = −3 17. y  − 2y  = 2e x , y(1) = −1, y  (1) = 0 18. y  + 2y  + 2y = xe −x , y(0) = y  (0) = 0 19. y  + 4y = sin 2x, y(0) = y  (0) = 0 20. y  + 4y  + 4y = 3e −2x , y(2) = y  (2) = 0 5 Chương 5: Phương trình sai phân 5.1 Giải các phương trình sai phân sau 1. 5y n+2 + 6y n+1 − 11y n = 2n − 1 2. 5y n+2 − 6y n+1 + 5y n = 3 n 3. 5y n+2 − 6y n+1 + 5y n = n 2 + 1 4. y n+2 + y n = 2 n 5. y n+2 + 5y n = 5n 2 − 2n − 1 6. y n+2 − 3y n+1 + 2y n = 2 −2n 7. y n+2 − 3y n+1 + 2y n = n + 5 8. y n+2 = 5y n+1 − 6y n + n 2 9. y n+2 = 4y n+1 − 5y n + 3n 2 10. y n+2 = 3y n+1 − 4y n + 3n 2 + 2 11. y n+2 + y n = n + 1 12. y n+2 + y n = 3, y 0 = 0, y 1 = 1 13. y n+2 −4y n+1 + 4y n = 2n +1, y 0 = 0, y 1 = 1 14. y n+2 − y n = 0, y 0 = 0, y 1 = 1 15. y n+2 + y n = 2 n , y 0 = 0, y 1 = 1 5.2 Giải các phương trình sau 1.  x n+1 = 3x n + y n y n+1 = 5x n − y n , x 0 = 0, y 0 = 6 2.  x n+1 = 2x n − 8y n y n+1 = 2x n − 6y n , x 0 = −1, y 0 = 2 3.  x n+1 = x n − y n y n+1 = x n + y n , x 0 = 1, y 0 = 1 − 1 √ 2 4. x n+1 = 1 − 4x n 1 − 6x n , x 0 = 1 5. x n+1 = 2x n − 3 3x n − 4 , x 0 = −1 6. x n+1 = x n + 1 −x n + 4 , x 0 = 0 6