GĨC CĨ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN, BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN A Lý thuyết Góc có đỉnh bên đường trịn D m A I Góc BIC nằm bên đường tròn O gọi góc có đỉnh bên O B đường trịn *) Định lí 1: Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng BIC sđ AmD sđ BnC số đo hai cung bị chắn, cụ thể ta có: n C Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Các góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn, cạnh có điểm chung với đường gọi góc có đỉnh bên ngồi đường trịn *) Định lí 2: Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị BID sđ BmD sđ AnC chắn, cụ thể ta có: B Lý thuyết Dạng 1: Chứng minh hai góc nhau, hai đoạn thẳng Cách giải: Sử dụng hai định lí số đo góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường tròn Bài 1: O Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn A D Các tia phân giác góc B C cắt M I cắt đường tròn D E E N 2 Dây CE cắt cạnh AB AC M N CMR: I a AMN cân B b EAI , DAI cân C F c AMNI hình thoi Lời giải a) Chứng minh AI phân giác A sđ AD sđ EN M AMN Xét , có: sđ E A sđ C D M N N 1 AMN cân A AI DI sđ C D sđ C F ADI D +) cân D DI DA Tương tự ta có EAI cân E EA EI b) Ta có: AE EI , DA DI DE đường trung trực đoạn AI NA NI ANI cân mà N1 N M N NI / / AM tương tự: N1 M MI / / AN hình bình hành có hai cạnh kề (đpcm) Bài 2: O Cho đường tròn dây AB Vẽ C đường kính CD vng góc với AB ( D thuộc cung nhỏ AB ) Trên cng nhỏ BC lấy N điểm N Các đường thẳng CN DN cắt đường thẳng AB E F Tiếp A tuyến đường tròn N cắt đường thẳng D AB I CMR: a INE , INF tam giác cân AI b F AE FA Lời giải a Ta có: CD AB AD DB; CA CB B I E N sđ CN (1) N INE Xét có: sđ CA sđ BN sđ CB sđ BN : 2(2) E : sđ CN Từ (1)(2) N1 E INE cân I Tương tự ta có INF cân I b Ta có: IE IN IF AI AE IE AE AF AI AE AF AI AI AF FI Bài 3: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có: A 460 , C 720 B a Tính A ABC N b Tia phân giác A cắt đường tròn M , O I tia phân giác B cắt đường tròn N Gọi I giao điểm AM BN Tính góc B BIM ; BMI C M c Chứng minh: MB MC MI Lời giải 0 a Xét ABC , có A B C 180 A 62 0 0 b B 46 sđ AC 92 ; A 62 sđ BC 124 0 B AN ) (124 92 ) 540 MIB sđ (M 2 +) I 540 MB MI B dpcm MC MB MC MB c MBI cân M Bài 4: O Cho AB dây cung đường tròn Lấy M I nằm A B cho IA IB Gọi D điểm cung AB nhỏ Vẽ dây CD C O qua I , tiếp tuyến C đường tròn O cắt AD K a Chứng minh rằng: IK CK A b Gọi E điểm đối xứng I qua K , EC I B K E D O giao với M , Chứng minh ba điểm M , O, D thẳng hàng c CA.CB CI CD Lời giải ( sdCB sd AD ) ( sd BC BD ) CIB 2 a) sdCD KIC sdCD CIK Mà cân K KE KI KE KI KC ICE KC KI b) vng K ICE nội tiếp đường trịn (K) đường kính 900 DCM 900 MD đường kính (O) nên M, O, D thẳng hàng IK ICM ) CAI CDB (chan.BC ACI DCB (chan.hai.cung bang ) CAI , CDB c) Xét , có: CAI CDB gg CA CI CA.CB CI CD CD CB (đpcm) Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song vuông góc Chứng minh đẳng thức cho trước Cách giải: Áp dụng hai định lí số đo góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn để có góc nhau, cạnh Từ suy điều cần chứng minh Bài 1: O Từ điểm P nằm ngồi đường trịn , A vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn cát tuyến PBC với P, B, C O a) Biết PC 25cm, PB 49cm Đường kính đường trịn 50cm Tính PO O P C I B b) Đường phân giác góc A cắt PB I O cắt D D Chứng minh DB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp AIB Lời giải a) Ta có PAC PBA gg PA2 PB.PC 2 2 2 Xét tam giác vuông PAO ( PAO 90 ) PA PO OA PO PA OA PO 1 DBC DAB CAB b) Chứng minh DB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp AIB Bài 2: O Cho đường tròn có hai đường kính AB C CD vng góc với Trên đường kính AB lấy điểm E cho AE R Vẽ dây CF qua E Tiếp tuyến đường tròn F E A B O cắt CD M , Vẽ dây AF cắt CD N N Chứng minh F a) Tia CF tia phân giác BCD D b) MF / / AC M c) MN , OD, OM độ dài ba cạnh của tam giác vuông Lời giải b) Chứng minh AFM CAF ACF MF / / AC c) Chứng minh MFN MNF MNF cân M MN MF Mặt khác: OD OF R Ta có MF tiếp tuyến nê OFM vng đpcm Bài 3: O Cho đường trịn S nằm bên A đường tròn Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA SA ' ( A A ' tiếp điểm ) cát tuyến ABC tới đường trịn Phân giác góc BAC cắt BC H S D , cắt đường tròn E Gọi H giao điểm D OS AA ' , G giao điểm OE C BS F giao điểm AA ' với BC G F A' E CMR: a SAD cân B b SF SG SO.SH c SA SF SG Lời giải a CE EB SAD cân S b OB OC R O nằm đường trung trực BC EC EB EC E EB nằm đường trung trực BC OE đường trung trực BC OE BC +) SO tia phân giác tam giác cân ASA ' SH AA ' +) OGS FHS ( gg ) SG OS SO.SH SF SG SH SF 2 c OAS vuông A , AH OS SA SH SO SA SF SG Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D điểm thuộc A cung AB, qua D kẻ dây DD’ // BC cắt AC F Đường thẳng AD’ cắt BC E F D D' O a So sánh ABD, AEC ABE , ADC b AD AE AB AC B c AFD#ADB Lời giải a DD '/ / BC BD CD ' A1 A3 Lại có: ' E D B1 E ABD AEC B D ' 1 sd ( AB CD ') sd ( AB BD ) E 2 +) C E 1 sd AD ACD ; ABE ADC sd AC ABE#ADC ( gg ) 2 b Ta có AEC ABD AB AD AD AE AB AC AE AC Hoặc ABE ADC AFD sd ( AD CD ') sd ( AD BD ) sd ADB AD 'B 2 c +) BAD ' DAF ADF #ABD '( gg ) Bài 5: Cho ABC , phân giác AD Vẽ đường tròn O qua A A, D tiếp xúc với BC D , 12 đường tròn cắt AB, AC E F O CMR: a EF / / BC E F b AD AE AC B D C c AE AC AB AF Lời giải CDF DAF sd FD DAF DAE ; D1 F1 FE / / BC DFE DAE sd ED a) A A ED FD ; ACD ) sd ( AED DF 2 b) ) sd AE ADE sd ( AED DE 2 AED ADC ( gg ) c AD AE AD AE AC DC AD AD AF ABD sd ( AFD ) sd FA ADF ED ADF ABD AD AF AB AE AC AF AB 2 AB AD Bài 6: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các tia phân giác góc I A B C D cắt cắt đường tròn theo thứ tự D E F E Chứng minh: O a) BDI tam giác cân I b) DE đường trung trực IC c) IF / / BC , F giao điểm A B DE AC Lời giải BID sd DE DBE BID a) Ta có cân D b) Chứng minh tương tự ta có IEC cân E , DIC cân D EI EC ; DI DC DE trung trực CI c) F DE FI FC FIC FCI ICB IF / / BC Bài 7: Trên đường tròn O lấy ba điểm A, B C A P Gọi M , N , P theo thứ tự điểm cung AB, BC , CA NM AN cắt AB BC E Gọi D BP cắt AN I , M giao điểm E Chứng minh: a) BNI tam giác cân B I O D b) AE.BN EB AN c) EI / / BC N AN AB d) BN BD Lời giải b) Ta có M điểm cung AB C BN EB BNA NE phân giác AN EA (tính chất đường phân giác) BN AE NA.BE d) Ta có ABN BDN AN AB BN BD đpcm 10