Chuyên đề 7 phương trình

Câu (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2018-2019) Giải phương trình: x  2x 0 Lời giải x  2x 0  x  x   0  x 0  x 0    x  0  x 2 Câu (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2018-2018) Giải phương trình sau: a) x  x  20 0 b) x  x  0 Lời giải a) x  x  20 0    1  4.1   20  81   9  Phương trình có nghiệm phân biệt     1  5  x1  2.1     1     x2  2.1  Vậy tập nghiệm phương trình b) S   4;5 x  x  0  1 Đặt t  x  t 0   t1   l  4t  5t  0    t 9  n  1   Phương trình trở thành  x   x2     x 3 t  ta Với  3 S  ;   2 Vậy tập nghiệm phương trình Câu (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2018-2018) x  2mx  4m   1 Cho phương trình: a) Giải phương trình (m tham số)  1 m  b) Chứng minh phương trình c) Gọi  1 ln có nghiệm với giá trị m x1 ; x2 hai nghiệm phương trình  1 Tìm m để: 33 x1   m  1 x1  x2  2m  762019 2 Lời giải  1 ta có: a) Thay m  vào phương trình  x  x  x  0  x  x  3   x   0   x  3  x  1 0    x  S   3;  1 Vậy với m  phương trình có tập nghiệm b) Ta có:  ' m    4m    m     0, m  1 ln có hai nghiệm với giá trị m  1 ln có hai nghiệm với giá trị m, gọi c) Do phương trình  1 trình Do phương trình x1 ; x2 hai nghiệm phương  x1  x2 2m   x1 x2  4m  Áp dụng định lí Vi-ét ta có: 33 x1   m  1 x1  x2  2m  762019 Ta có: 2  x1   m  1 x1  x2  4m  33 1524038  x12  2mx1  4m    x1  x2  1524000 x1 nghiệm  1 nên x12  2mx1  4m  0 )  2.2m 1524000  m 381000 Vậy m 381000 thỏa mãn yêu cầu toán   x1  x2  1524000 (do Câu (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2018-2019) Giải phương trình sau : a) 3x  2x   b) x  3x  0 Lời giải a) 3x   x 2x    3  3     3 x 3 3  3   b) x  3x  ta cã :    3  5   1  x   suy pt cã nghiÖm  VËy S   1  x    Câu  (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2018-2019) Cho phương trình bậc hai x  3x  m 0 với m tham số a) Tìm m để phương trình có nghiệm x= - Tính nghiệm cịn lại ứng với m vừa tìm b) Gọi x1 ;x hai nghiệm phương trình cho Tìm giá trị nhỏ A x12  x 22  3x1x Li gii a) phư ơng trình có nghiÖm x  ta cã : ( 2)2  3.( 2)  m  m  10  x 2  ptrinh :x  3x  10     b) x  3x  m 0 (1)      4m 9  4m 9  45 9 Cã m    5m    5m   A  4 4 9 VËy Min A   m  4 Để ptrinh có nghiệm  4m 0  m  Câu (Tuyển sinh tỉnh Vũng tàu năm 2018-2019) Giải phương trình x  x  0 Lời giải Ta có + – = 0, phương trình cho có hai nghiệm Vậy phường trình có tập nghiệm Câu x1 1; x2  S   5; 1 (Tuyển sinh tỉnh Vũng tàu năm 2018-2019) Cho phương trình: x  mx  0 (với m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình có x1; x2 thỏa x1  x2 x1  x2 6 hai nghiệm phân biệt Lời giải a = 1; b = – m; c = – x1; x2 khác dấu Vì a c khác dấu, phương trình ln có hai nghiệm Theo hệ thức Viete ta có: Vì x1  x2 m (1) x1; x2 khác dấu mà x1  x2  x1   x2  x1  x1; x2  x2 Ta có: x1  x2 6   x1  x2 6  x1  x2  (2) Từ (1) (2) suy m = – Câu (Tuyển sinh tỉnh Vũng tàu năm 2018-2019) Giải phương trình x  3x   x  Lời giải Điều kiện: x 0 Với x 0 ta có: x  3x   x   x    3x  x  3x   x  1 x  3x     x    x  1  x  x   0   x  1   x  x   0  x   x  1 x  x    x  0  1  x  Giải (*)  x 1  x  0  x  3x  1 (*) x  x  1 x 0    x  x  1 x    Với x 0 ta có: Dấu ‘=” xảy x = Vậy (*) có nghiệm x = Vậy phương trình cho có tập nghiệm {0; 1} Câu (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2018-2019) Cho phương trình x  (m  2) x  3m  0 (1), với x ẩn, m tham số a) Giải phương trình (1) m  x ,x x ,x b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cho độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền Lời giải  x 3   x  a) Với m  phương trình (1) trở thành x  x  0 Vậy m  phương trình có hai nghiệm x 3 x  b) u cầu tốn tương đương phương trình  1 có hai nghiệm dương phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12  x22 25 b) Yêu cầu tốn tương đương phương trình  1 có hai nghiệm dương phân biệt x12  x22 25  m       m     3m  3    m    x1  x2 m      x1.x2 3m   m   x  x 25  x  x  x x 25  2  2  Khi    m 4  m 4 m 4     m   m   m     m 5 2   m     3m  3 25  m  2m  15 0   m   m 5 Vậy m phải tìm m 5 x1 , x2 thỏa mãn Câu 10 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Cạn năm 2018-2019) a) Giải phương trinh 3x  0 b) Giải phương trình x  5x  0 Lời giải a)3x-2=0  x  b) x  5x  0  x  2x  3x  0  x  x     x   0   x    x   0  x 3   x 2 Vậy S  3;2 Câu 11 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Cạn năm 2018-2019) Cho phương trình x  2(m  1)x  6m  0 (1) (với m tham số) a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ;x thỏa mãn  2m   x1  x 22  4x 4 Lời giải a) Ta cã:x  2(m  1)x  6m  0 (1) 2  '    m  1   6m  m  4m   m     (m) x1  x2 2m  b)Ta cã  2m   x1  x 22  4x 4 (2); ­­¸p dơngViet   x1x 6m  Do x1 ,x lµ hai nghiƯm cđa phư ơngưtrình (1) nên taưcó: x 22 m  1 x  6m  0  x 22  2mx  2x  6m  0  x 22  4x  2x  2mx  6m  0  x 22  4x  2x  2mx  6m  4(3) Thay (3) vµo (2) ta cã : mx1  2x1  2x  2mx  6m  4  2m  x1  x   2.(x1  x )  6m 0  2m.2(m  1)  2.2(m  1)  6m 0  4m  2m  4m   6m 0  m 2  2m  3m  0    m   2   Vậy m 2; thỏa đề 2 Câu 12 (Tuyển sinh tỉnh Bạc Liêu năm 2018-2019) Cho phương trình x  4x  m  0(1) (với m tham số) a) Giải phương trình (1) với m = b) Tìm điều kiện m để phương trình (1) có nghiệm c) Tìm tất giá trị m cho phương trình (1) có hai nghiệm x1 ;x thỏa mãn điều kiện x1  x    2x 2x1 Lời giải x  4x  m  0 (1) a) m 2 (1) thµnh x  4x  0  x  3x  x  0  x   x(x  3)  (x  3)  x  1  x      x  b) Ta cã :  ' ( 2)2  m  3 m Để phư ơng trình (1) có nghiệm th '    m   m  x1  x  c) víi m  3, ¸p dơngVi et    x   x1 x1x m  Ta cã : x1  x    2x 2x1  x1    x1    2(  x1 ) 2x1  x1 (x1  1)  (  x1 )(  x1 )  2x1 (   x1 )  x12  x1  (5  x1 )(4  x1 )  3.2x1 (  x1 )  x12  x1  20  9x1  x12 24x1  6x12  x    6x  34x1  20 0   x   2 10 20 11  x   m    x  3 9 *) x   x 1  m    m  *) x1  11 VËy m  6; m thỏa đề Cõu 13 (Tuyn sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) 2 Tìm số nguyên dương a, b biết phương trình x  2ax  3b 0 x  2bx  3a 0 (với x ẩn) có nghiệm nguyên Lời giải Phương trình Phương trình x  2ax  3b 0  1 x  2bx  3a 0   có 1 a  3b có  2 b  3a Vì hai phương trình có nghiệm ngun nên 1 ,  2 số chình phương 2 a  a  3b   a    a  3b  a  1  3b 2a  Giả sử a b   Do b số lẻ Đặt b 2n    4n  13n  +) Nếu n   1; 2;3; 4   khơng số phương  +) Nếu n 0   4  a b 1 (thỏa mãn)  +) Nếu n 5  169  a 16, b 11 (thỏa mãn) 2 2n  3  4n  13n    2n     2  n  + Nếu khơng số phương  a; b  thỏa mãn là:  1;1 ,  16;11 ,  11;16  Vậy số Câu 14 (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2018-2019) Cho phương trình: x  x  m 0 (*) (m tham số) a) Giải phương trình (*) m  b) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 18 Lời giải a) Với m = -3 ta có phương trình: Ta có: x  x  0  37     37 x      37 x Phương trình có nghiệm phân biệt:  b) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm Ta có x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 18  25  4m Phương trình (*) có nghiệm   0  25  4m 0  m   x1  x2   x x m Theo hệ thức Viet, ta có :   x1  x2    9 x1  x2 18 Ta có hệ phương trình: nên m  x1.x2 4(  9)  36 (thỏa điều kiện) Vậy m = -36  x1 4   x2  25 Câu 15 (Tuyển sinh tỉnh Đà Nẵng năm 2018-2019) Giải phương trình: 4x  11 x Lời giải Điều kiện: x 1 11 x x  x  1 11 x  1    x x x 4x  Câu 16 (Tuyển sinh tỉnh Đà Nẵng năm 2018-2019) Cho phương trình x  2( m  1) x  4m  11 0, với m tham số Tìm tất giá trị m để x x phương trình có hai nghiệm phân biệt 1, thỏa mãn hệ thức: 2( x1  1)2  (6  x2 )( x1 x2  11) 72 Lời giải Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2      m  1  4m  11   m  2m   4m  11   m2  6m  12   m  6m      m  3    m  3 Vì 0 m   m  3   m    m Hay phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m  x1  x2   m  1   x x 4m  11 Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:  x   m  1 x  4m  11 0 Vì x1 , x2 nghiệm phương trình nên ta có: 2 x12   m  1 x1  8m  22 0    x2   m  1 x2  4m  11 0 2 x12   m  1 x1  8m  22   x2   m  1 x2  4m  11 2  x1  1    x2   x1 x2 11 72  x12  x1   x1 x2  66  x1 x22  11x2 72    m  1 x1  8m  22  x1  x1 x2  x1    m  1 x2  4m  11  11x2 4   4mx1  x1  8m  22  x1  x1 x2   m  1 x1 x2  4mx1  11x1  11x2 4   2m   x1 x2  11 x1  x2  8m  18   2m    4m  11  22  m  1 8m  18  8m  22m  16m  44  22m  22 8m  18  8m  8m  48 0  m  m  0  m  2m  3m  0  m  m     m   0   m  3  m   0  m    m 2 Vậy m  m 2 thỏa mãn yêu cầu toán Câu 17 (Tuyển sinh tỉnh Đắk Lắk năm 2018-2019) 2 Cho phương trình: x  2( m  1) x  m  0 (1), m tham số a) Tìm m để x 2 nghiệm phương trình (1) b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: x12  x22 10 Lời giải 22   m  1  m  0 a) Vì x 2 nghiệm phương trình nên:  m  4m  0  2   m1 2  2; m2 2  2 b)  ,  m  1   m   2m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt  x1  x2 2( m  1)  x1.x2 m   Theo định lý Viet, ta có: 2m    m  (1) (2) x12  x22  x1  x2   x1 x2 4  m  1   m   2m  8m Theo đề x12  x22 10  2m  8m 10  2m  8m  10 0  m  4m  0  m 1    m  2 Đối chiếu điều kiện suy với m 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1  x2 10 Câu 18 (Tuyển sinh tỉnh Đắk Nông năm 2018-2019) Tìm m để phương trình x  2mx  0 (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa: x14  x24  x34  x44 32 Lời giải 2 2 Giả sử x  x ; x x Phương trình x  2mx  0 có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa: x14  x24  x34  x44 32  x14  x34 32  x14  x34 16 2 Đặt x t ( t 0 ) (1)  t  2mt  0 (2) 2 Bài toán trở thành tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn t1  t2 16  '   m    m2    b t  t     m  2  m     a    m   m  t t  c  4   4m  16 12 a  t  t   2t t 16   2  t1  t2 16 Câu 19 (Tuyển sinh tỉnh Đồng Nai năm 2018-2019) m để phương trình x   2m  3 x  m  2m 0 Tìm giá trị tham số thực x  x 7 biệt x1 , x2 cho biểu thức có hai nghiệm phân Lời giải x   2m  3 x  m  2m 0 có   2m     m  2m  4m  12m   4m  8m  4m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt Áp dụng định lý Vi et ta có:     4m     4m    m   S  x1  x2 2m    P  x1 x2 m  2m 2 x1  x2 7   x1  x2  49  x12  x2  x1.x2 49   x1  x2   x1.x2 49  x1  x2 2m   x1 x2 m  2m  Thay  2m     m  2m  49   4m  49  m  10 Ta Câu 20 (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai năm 2018-2019) x    x 15 Giải phương trình: Lời giải x    x 15   x 15  x Điều kiện:  x 6 (với  x 6 15  x   )  49   x  225  30 x   x   30 x  224  50 x  294  x  5 x  5 x    9 x  25 x  70 x  49 (t/m đk)