Ngày soạn : 02/01/2012 Ngày dạy : 12/01/2011 Tiết : 50 - 57 Chuyên đề máy đơn giản C¸c toán điiều kiện cân vật rắn máy đơn giản A Lý thuyt I Mụmen lc: Mơ men lực ( nằm mặt phẳng vng góc với trục quay): M F.l(N.m) Trong đó: l khoảng cách từ trục quay đến giá lực ( gọi tay đòn lực) II Điều kiện cân vật có trục quay cố định: Muốn cho vật có trục quay cố định đứng cân ( quay đều) tổng mơmen lực làm vật quay theo chiều kim đồng hồ tổng mô men lực làm cho vật quay ngược chiều kim l1 đồng hồ Ví dụ: Với vật quay quanh trục cố định O (Hình bên) để đứng yên cân quanh O ( quay quanh O) mơmen lực F1 phải mômen lực F2 Tức là: M = M F1 l = F l Trong l1, l2 tay đòn lực F1, F2 (Tay đòn lực khoảng cách từ trục qua đến phương lực) III Quy tắc hợp lực Quy tắc tổng hợp hai lực đồng quy ( quy tắc hình bình hành) Hợp lực hai lực đồng quy ( điểm đặt) có phương trùng với đường chéo hình bình hành mà hai cạnh hai lực đó, độ lớn hợp lực độ dài đường chéo O l2 F1 F2 F1 O P F F2 F12 F2 2F1.F2 cos T Tổng hai lực song song chiều: Hợp lực hai lực song song chiều lực phương, độ lớn tổng hai lực thành phần, có giá chia khoảng cách hai giá hai lực thành phần thành đoạn thẳng tỉ F l2 h l1 P 1 l1 lệ nghịch với hai lực F F1 F2 ; F1 l2 F2 l1 Tổng hợp hai lực song song ngược chiều: Hợp lực hai lực song song ngược chiều lực có phương phương với lực lớn hơn, độ lớn hiệu hai lực thành phần, có giá chia ngời khoảng cách hai giá hai lực thành phần thành đoạn thẳng tỉ lệ nghịch với hai lực F l F F1 F2 ; F2 l1 IV Các máy đơn giản Ròng rọc cố định: Dùng rịng rọc cố định khơng lợi lực, đường khơng lợi cơng F P;s h l1 l1 l1 l2 F T Ròng rọc động P hai Với ròng rọc động: Dùng ròng rọc động lợi lần lực lại thiệt hai lần đường khơng lợi cơng P F ;s 2h Với hai ròng rọc động: Dùng ròng rọc động lợi lần lực lại thiệt lần đường khơng lợi cơng P F ;s 4h Tổng quát: Với hệ thống có n rịng rọc động ta có: P F n ;s 2n h Đòn bẩy: Dùng địn bẩy đượclợi lần lực thiệt nhiêu lần đường khơng lợi cơng F1.l1 F2 l ( Áp dụng điều kiện cân vật có trục quay cố định) Trong F1; F2 lực tác dụng lên đòn bẩy, l1; l2 tay đòn lực hay khoảng cách từ giá lực đến trục quay F2 F2 B l1 A O O l2 l1 A l2 B F1 F1 I Các toán điều kiện cân vật rắn mô men lực: Phương pháp: Cần xác định trục quay, xác định vét tơ lực tác dụng lên vật Xác định xác cánh tay địn lực Xác định mô men lực làm vật quay theo chiều kim đồng hồ ngược chiều kim đồng hồ sử dụng điều kiện cân vật rắn để lập phương trình Bài tốn 1: Một thẳng AB đồng chất, tiết diện có rãnh O m2 dọc, khối lượng m = 200g, dài l = 90cm Tại A, B có đặt m1 hịn bi rãnh mà khối lượng m1 = 200g m2 Đặt A B thước (cùng bi A, B) mặt bàn nằm ngang vuông góc với mép bàn cho phần OA nằm mặt bàncó chiều dài l1 = 30cm, phần OB mép ngồi bàn.Khi đóngười ta thấy thước cân nằm ngang (thanh tựa lên điểm O mép bàn) a Tính khối lượng m2 b Cùng lúc , đẩy nhẹ bi m cho chuyển động rãnh với vận tốc v = 10cm/s phía O đẩy nhẹ hịn bi m2 cho chuyển động với vận tốc v2 dọc rãnh phía O Tìm v2 thước cân nằm ngang Giải a Trọng tâm I Nên cách điểm O 0,15 m Mô men trọng lượng bi m1: m1.OA Mô men trọng lượng gây ra: m.OI Mô men bi m2 gây là: m2OB Để đứng cân bằng: m1OA = m.OI + m2.OB Thay giá trị ta tìm m2 = 50 g b Xét thời điểm t kể từ lúc hai viên bi bắt đầu chuyển động Cánh tay đòn bi 1: (OA – V1t) nên mô men tương ứng là: m1(OA – v1t) Cánh tay đòn viên bi 2: (OB – v2t) nên mô men là: m2(OB – V2t) Thước khơng thay đổi vị trí nên mơ men trọng lượng gây OI.m Để thước cân bằng: m1(OA – v1t) = m2(OB – V2t) + OI.m Thay giá trị cho vào ta tìm v2 = 4v1 = 40cm/s I Bài tốn 2: Một dài l = 1m có trọng lượng P = 15N, O đầu gắn vào trần nhà nhờ lề.Thanh giữ nằm nghiêng nhờ sợi dây thẳng đứng buộc dầu tự Hãy tìm lực căng F dây trọng tâm cách lề đoạn d = 0,4m A G B Giải Mô men gây trọng lượng trọng tâm nó: P.OI Mơ men lực căng sợi dây gây ra: F.OA Vì cân nên: P.OI = F.OA Hay: F P OI OA OG OB 0.4 F 0,4 P 0,4.15 6 N Bài toán 3: Một mảnh, đồng chất, phân bố khối lượng quay quanh trục O phía Phần nhúng nước, cân nằm nghiêng hình vẽ, nửa chiều dài nằm nước Hãy xác định khối lượng riêng chất làm Giải Mơ men lực ác si mét gây ra:FAd1 Mô men trọng lượng gây ra: Pd2 Ta có phương trình cân lực: l FA d 2 P d1 3 l FA O d1 P d2 (1) Gọi Dn D khối lượng riêng nước chất làm M khối lượng thanh, S tiết diện ngang Lực đẩy Acsimet: FA = S .Dn.10 Thay (2), (3) vào (1) suy ra: S.l.Dn.10 = 2.10.l.S.D Þ Khối lượng riêng chất làm thanh: (2) Trọng lượng thanh: P = 10.m = 10.l.S.D (3) D= Dn Khi cân bằng, lực tác dụng lên gồm: Trọng lực P tập trung điểm (trọng tâm thanh) lực đẩy Acsimet FA tập trung trọng tâm phần nằm nước (Hình bên) Gọi l chiều dài Bài tốn 4: Một hình trụ khối lượng M đặt đường ray, đường nghiêng góc α so với mặt phẳng nằm ngang Một trọng vật m buộc vào đầu sợi dây quấn quanh hình trụ phải có khối lượng nhỏ để hình trụ lăn lên ? Vật lăn không trượt, bỏ qua ma sát Giải Gọi R bán kính khối trụ PM trọng lượng khối trụ T sức căng sợi dây Ta có: PM = 10M Và T = 10m Khối trụ quay quanh điểm I điểm tiếp xúc khối trụ đường ray Từ hình vẽ HI cánh tay đòn lực PM IK cánh tay đòn lực T Ta có: HI = Rsinα IK = R - IH = R(1 - sinα) Điều kiện để khối trụ lăn lên T.IK ≥ PM.IH Hay 10m.IK ≥ 10M IH hay m ≥ M Thay biểu thức IH IK vào ta được: m ≥ M Khối lượng nhỏ vật m để khối trụ lăn lên là: m = M Bài toán 5: Một đồng chất tiết diện đều, đặt thành bình đựng nước, đầu có buộc cầu đồng chất bán kính R, cho cầu ngập hồn tồn nước Hệ thống cân hình vẽ Biết trọng lượng riêng cầu nước d do, Tỉ số l1:l2 = a: b Tính trọng lượng đồng chất nói Có thể sảy trường hợp l1>l2 khơng? Giải thích? Giải Gọi chiều dài L trọng tâm O Thanh quay điểm tiếp xúc N với thành cốc Vì thành đồng chất, tiết diện nên trọng tâm trung điểm Vì l1:l2 = a:b nên l2 = b l1 = a Gọi trọng lượng đồng chất P0 cánh tay địn P0 l2 - = L Mơ Men M1 = L P0 Trọng lượng cầu P = dV , Lực ác si mét tác dụng lên cầu FA = d0V Lực tác dụng lên đầu bên phải F = P - FA = (d - d0)V lực có cánh tay địn l1 mơ men M2 = a (d - d0)V Vì cân nên: M1 = M2 Þ L P0 = a (d - d0)V Từ tìm P0 = Thay V = pR3 ta trọng lượng đồng chất Trong trường hợp l1>l2 trọng tâm phía l1 trọng lượng tạo mô men quay theo chiều kim đồng hồ Để cân hợp lực cầu lực đẩy ác si mét phải tạo mô men quay ngược chiều kim đồng hồ FA> P Vậy trường hợp sảy độ lớn lực đẩy ác si mét lên cầu lớn trọng lượng II Các tốn máy đơn giản: Phương pháp: - Xác định lực tác dụng lên phần vật Sử dụng điều kiện cân vật để lập phương trình Chú ý: - Nếu vật vật rắn trọng lực tác dụng lên vật có điểm đặt khối tâm vật Vật dạng có tiết diện khối lượng phân bố vật, trọng tâm vật trung điểm Nếu vật có hình dạng tam giác có khối lượng phân bố vật khối tâm trọng tâm hình học vật Khi vật cân trục quay qua khối tâm vật Bài toán 1: Tấm ván OB có khối lượng khơng đáng kể, đầu O đặt dao cứng O, đầu B treo sợi dây vắt qua ròng rọc cố định R (ván quay quanh O).Một người có khối lượng 60kg đứng ván a Lúc đầu, người đứng điểm A cho OA = OB (Hình 1) b Tiếp theo thay rịng rọc cố định R palăng gồm ròng rọc cố định R ròng rọc động R’ đồng thời di chuyển vị trí đứng người điểm I cho OI = OB (Hình 2) c Sau palăng câu b mắc theo cách khác có OI = 1/2 OB (Hình 3) Hỏi trường hợp a), b), c) người phải tác dụng vào dây lực F để ván nằm ngang thăng bằng?Tính lực F ’ ván tác dụng vào điểm tựa O trường hợp ( Bỏ qua ma sát ròng rọc trọng lượng dây, ròng rọc ) R F F O F A B P Hình R R O R / B I P Hình F O I R B P Hình Giải: a Ta có : (P - F).OA = F.OB suy : F = 240N Lực kéo ván tác dụng vào O: F/ = P - F - F = 120N b Ta có FB = 2F (P - F).OI = FB.OB suy : F = 120N Lực kéo ván tác dụng vào O: F/ = P - F - 2F = 240N c Ta có FB = 3F (P + F).OI = FB.OB suy : F = 120N Lực kéo ván tác dụng vào O: F/ = P + F - 3F = 360N Bài toán 2: Một người có trọng lượng P1 đứng ván có trọng lượng P để kéo đầu sợi dây vắt qua hệ rịng rọc ( Hình vẽ ) Độ dài ván hai điểm treo dây l Bỏ qua trọng lượng ròng rọc, sợi dây ma sát a Người phải kéo dây với lực người đứng vị trí ván để trì ván trạng thái nằm ngang ? b Tính trọng lượng lớn ván để người đè lên ván Giải a Gọi T1 lực căng dây qua ròng rọc cố định T2 lực căng dây qua ròng rọc động, Q áp lực người lên ván Ta có: Q = P1 - T2 T1 = 2T2 (1) Để hệ cân trọng lượng người ván cân với lực căng sợi dây Vậy: T1 + 2T2 = P1 + P2 Từ (1) ta có: 2T2 + 2T2 = P1 + P2 hay T2 = Vậy để trì trạng thái cân người phải tác dụng lực lên dây có độ lớn F = T2 = Gọi B vị trí người hệ cân bằng, khoảng cách từ B đến đầu A ván l0 Chọn A làm điểm tựa để ván cân theo phương ngang T2l0 + T2l = P1l0 + Þ (T2 - 0,5P2)l = (P1 - T2)l0 Vậy: l0 = Thay giá trị T2 tính tốn được: l0 = Vậy vị trí người để trì ván trạng thái nằm ngang cách đầu A khoảng l0 = b Để người cịn đè lên ván Q ³ Þ P1 - T2 ³ Þ P1 - ³ 3P1 ³ P2 Vậy trọng lượng lớn ván để người đè lên ván là: P2max = 3P1 Bài tốn 3: Một miếng gỗ mỏng, đồng chất hình tam giác vng có chiều dài cạnh góc vng AB = 27cm, AC = 36cm khối lượng m = 0,81kg; đỉnh A miếng gỗ treo dây mảnh, nhẹ vào điểm cố định a Hỏi phải treo vật khối lượng m nhỏ điểm cạnh huyển BC để cân cạnh huyền BC nằm ngang ? b Bây lấy vật khỏi điểm treo(ở câu a)Tính góc hợp cạnh huyền BC với phương ngang miếng gỗ cân Giải: a Để hệ cân ta có: P.HB = P0.HK m.HB = m0.HK 2 Mà HB = AB BC = 27 45 = 16,2cm HK = HI = (BI - BH) = (45/2 - 16,2) = 4,2cm Þ m = 4,2/16,2 0,81 = 0,21kg Vậy để cạnh huyền BC nằm ngang vật m phải đặt B có độ lớn 0,21kg b Khi bỏ vật, miếng gỗ cân trung tuyến AI có phương thẳng đứng BIA AB / Ta có : Sin = BC / = 27 45 = 0,6 Þ BIA = 73,740 Do BD //AI Suy DBC = BIA = 73,740 Góc nghiêng cạnh huyền BC so với phương ngang = 900 - DBC = 900 - 73,740 = 16,260 III Các toán kết hợp máy đơn giản lực đẩy ác si mét: Bài toán 1: Hai cầu kim loại có khối lượng treo vào hai đĩa cân đòn Hai cầu có khối lượng riêng D1 = 7,8g/cm3; D2 = 2,6g/cm3 Nhúng cầu thứ vào chất lỏng có khối lượng riêng D3, cầu thứ hai vào chất lỏng có khối lượng riêng D4 cân thăng Để cân thăng trở lại ta phải bỏ vào đĩa có cầu thứ hai khối lượng m1 = 17g Đổi vị trí hai chất lỏng cho nhau, để cân thăng ta phải thêm m2 = 27g vào đĩa có cầu thứ hai Tìm tỉ số hai khối lượng riêng hai chất lỏng Giải Do hai cầu có khối lượng Gọi V1, V2 thể tích hai cầu, ta có: V2 D1 7,8 D1 V1 = D2 V2 hay V D 2,6 3 Gọi F1 F2 lực đẩy Acsimet tác dụng vào cầu Do cân ta có: (P1- F1).OA = (P2+P’ – F2).OB Với P1, P2, P’ trọng lượng cầu cân; OA = OB; P1 = P2 từ suy ra: P’ = F2 – F1 hay 10.m1 = (D4.V2- D3.V1).10 Thay V2 = V1 vào ta được: m1 = (3D4- D3).V1 (1) Tương tự cho lần thứ hai ta có; (P1- F’1).OA = (P2+P’’ – F’2).OB Þ P’’ = F’2 - F’1 hay 10.m2=(D3.V2- D4.V1).10 Þ m2= (3D3- D4).V1 (2) (1) m 3D - D Lập tỉ số (2) m 3D - D Þ m1.(3D3 – D4) = m2.(3D4 – D3) Þ ( 3.m1 + m2) D3 = ( 3.m2 + m1) D4 D 3m m Þ D 3m m = 1,256 Bài toán 2: Hai cầu giống nối với sợi dây nhẹ khơng dãn vắt qua rịng rọc cố định Một nhúng bình nước (hình vẽ) Tìm vận tốc chuyển động cầu Biết thả riêng cầu vào bình nước cầu chuyển động với vận tốc V0 Lực cản nước tỷ lệ với vận tốc cầu Cho khối lượng riêng nước chất làm cầu D0 D Giải Gọi trọng lượng cầu P, Lực đẩyÁc si mét lên cầu FA Khi nối hai cầu hình vẽ cầu chuyển động từ lên FC1 FC2 lực cản nước lên cầu hai trường hợp nói trên.T sức căng sợi dây Ta có: P + FC1 = T + FA Þ FC1 = FA ( P = T) suy FC1 = V.10D0 Khi thả riêng cầu nước, cầu chuyển động từ xuống nên: P = FA - Fc2 Þ Fc2 = P - FA = V.10(D - D0) Do lực cản nước tỷ lệ với vận tốc cầu nên ta có: Nên vận tốc cầu nước là: v = = Bài toán 3: Hệ gồm ba vật đặc ba rịng rọc bố trí hình vẽ Trọng vật bên trái có khối lượng m = 2kg trọng vật hai bên làm nhơm có khối lượng riêng D1 = 2700kg/m3 Trọng vât khối tạo có khối lượng riêng D2 = 1100kg/m2 Hệ trạng thái cân Nhúng ba vật vào nước, muốn hệ thể tích phải gắn thêm hay bớt từ vật bao nhiêu? Cho khối lượng riêng nước D0 = 1000kg/m3 Bỏ qua ma sát Giải Vì bỏ qua ma sát hệ vật cân nên khối lượng vật bên phải m khối lượng vật 2m Vậy thể tích vật là: V0 = = 3,63 dm3 Khi nhúng vật vào nước chúng chịu tác dụng lực đẩy Ác si mét Khi lực căng sợi dây treo hai bên là: T = 10( m - D0) Để cân lực lực sợi dây treo 2T Gọi thể tích vật lúc V thì: = 2T - 2.10m.( - ) Þ V = = 25,18 dm3 Thể tích vật tăng thêm là: ∆V = V - V0 = 21,5 dm3 10