O; R đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm E EM với O ( M tiếp điểm) EM cắt tiếp tuyến O Bài 92 Cho đường tròn Từ E vẽ tiếp tuyến A, B C , D a) Chứng minh: AC BD CD COD 90 b) Chứng minh: AC.DB R O O c) Vẽ MH vng góc với AB Vẽ đường kính MON EN cắt F ( F khác N ) Chứng minh tứ giác MHFE nội tiếp d) AN cắt BF K Tính AK AN BK BF theo R Giải: D M C E A H F B O K N a) O Ta có: CA, CM tiếp tuyến (gt) AOC COM AOM CA CM (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) O Ta có: DB, DM tiếp tuyến (gt) 1 MOD DOB MOB DB DM (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Vì CM MD CD , CA CM , DB DM (cmt) AC BD CD Ta có: AOM MOB 180 (hai góc kề bù) 2OCM 2MOD 1800 OCM MOD 900 COD 900 b) O Do EM tiếp tuyến (gt) EM OM (t/c) EMO OMD 900 Xét COD vuông O , đường cao OM , ta có: CM MD OM (HTL tam giác vuông) Mà CA CM , DB DM (cmt), OM R (1) (2) Từ (1), (2) AC.DB R (đpcm) c) d) O Xét có MN đường kính MFN 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) MFE 900 (kề bù với MFN ) Vì MH AB (gt) MHE 90 Xét tứ giác MHFE có MHE MFE 90 Mà hai đỉnh H , F kề nhìn cạnh EM góc 90 Nên tứ giác MHFE nội tiếp (dhnb) O có MBN 900 , ANB 900 , AFB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ) MBF EMF (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn MF Xét KNB vuông N có: KBN BKN 90 (t/c) Ta có: MBF EMF (cmt ) KBN BKN 90 (cmt ) EMF AKF AKF BKN (dd) MBK KBN MBN 900 (3) Lại có tứ giác MHFE nội tiếp (cmt) EMF EHF (4) Từ (3), (4) AKF EHF hay AKF AHF Xét tứ giác AHKF có: AKF AHF (cmt) Mà hai đỉnh H , K kề nhìn cạnh AF góc 90 Nên tứ giác AHKF nội tiếp (dhnb) AHK AFK 180 AHK 900 1800 AHK 900 Xét AHK ANB có: A chung AHK ANB 900 AHK ∽ANB (g.g) AK AH t/c AK AN AH AB AB AN (t/c TLT) (5) Xét BHK BFA có: chung B BHK BFA 90 BHK ∽BFA (g.g) BK BH t/c BK BF BH AB BA BF (t/c TLT) (6) Từ (5), (6) AK AN BK BF AH AB BH AB AH BH AB AB AB 2 R.2 R 4 R Bài 93: Cho tam giác nhọn ABC Gọi O trung điểm BC , dựng đường trịn O , đường kính BC Vẽ đường cao AK tam giác ABC tiếp tuyến AM , AN với đường tròn O , ( M , N tiếp điểm) Gọi H giao điểm MN với AK Chứng minh rằng: AH AK AM Giải: A N H M B K O C O Do AM tiếp tuyến đường tròn nên AMO 90 O Do AN tiếp tuyến đường tròn nên ANO 90 Do AK đường cao ABC nên AKO 90 Suy ra: M , N , K thuộc đường trịn đường kính AO năm điểm A, M , K , O, N thuộc đường tròn đường kính AO AM AN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) AMKON Xét đường tròn có AM AN AM AN Suy AMN AKM (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Xét AMH AKM có: AMN AKM MAK chung Suy ra: AMH ∽AKM (g.g) AM AH AM AH AK Suy ra: AK AM Bài 94: Tam giác ABC nhọn O trung điểm BC Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC Vẽ đường cao AK tam giác ABC , vẽ tiếp tuyến AM , AN với O M , N MN cắt AH K Chứng minh H trực tâm tam giác ABC Giải: A J M B N H K O C Gọi H1 trực tâm tam giác ABC Chứng minh điểm A, M , K , O, N thuộc đường trịn AKN ANM ( góc nội tiếp chắn cung AN ) Lại có AM , AN tiếp tuyến đường tròn tâm O nên AM AN ANM cân AMN ANM AKN ANM (1) Ta có: OA đường trung trực MN Gọi OA MN I Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ANO , đường cao NI ta có: AN AI AO AH1I ∽AOK (g.g) AI AO AH1 AK AN AH1 AK ANH1 AKN (c.g.c) ANH1 AKN (2) Từ (1) (2) ta có ANH1 ANM Ta có: M , H , N thẳng hàng ANH ANM ANH1 ANH H H1 Vậy H trực tâm tam giác ABC