Hu31 fa~1

Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả HƯỚNG DẪN GIẢI Vấn đề TỈ SỐ THỂ TÍCH Bài 1 a Ta coù VS ABC  SA.SABC  SA AB AC  p dụng công thức tỉ số thể tích S VS AMN SA AM SN SM SN x    VS ABC SA.SB.SC SB SC 2x xa3 VS ABC  b Mặt phẳng ( AMN ) chia khối chóp Do đó: VS AMN  a3 3 2a M thành hai phần tích  VS AMN VS ABC  2x    x N b C A a B Vì (AHK)  SC  AH  SC, nhöng BC  (SAB)  AH  BC ta có S AH  (SBC)  AH  SB Tam giác vuông SAB với đường cao K SH SH.SB SA   AH neân SB SB2 SB SH SA   hay H SB SA  AB A SK SA 2   Tương tự ta coù SC SA  AB2  CB2 a3 B S.ABC V  Thể tích khối chóp laø VS.AHK SH SK 8    VS.AHK  a3 Vì V SB SC 15 45 Bài 330 C Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vì G trọng tâm tam giác SAC nên AG  SC M trung điểm S SC Mặt khác ta có AB // CD nên N trung điểm SD Do N VS.ABM SM   VS.ABC SC M G A VS.ANM SM SN   VS.ADC SC SD D O VS.ABMN V V  S.ABM  S.ANM  VS.ABCD 2VS.ABC 2VS.ADC B  Góc hợp AN mặt phẳng đáy NAD 300 , vaäy AD SA.cot 300 a  VS.ABCD  VS.ABMN  C 3 a 3 3 a  VMNABCD VS.ABCD  VS.ABMN  a 24 Bài Thể tích khối chóp S ABCD laø: 1 a3 VS ABCD  SA.SABCD  SA AB AD  3 a3 VS ABC  VS ACD  VS ABCD   BC  AB Ta coù   BC  SA S M  BC  (SAB)  BC  AH Mặt khác AH  SB nên suy AH  (SBC)  AH  SC Hoàn toàn tương tự ta chứng minh K H D A B C AK  SC Từ đó, suy SC  ( AHK ) neân SC  AM p dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta coù: SH SA2 SA2 3a SK SA2     ;   ; SB SB2 SA2  AB2 4a SD SA2  AD2 331 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả SM SA2   2 SC SA  AC Sử dụng công thức tỉ số thể tích ta có được: VS AHM  SH SM 9 3a3   VS AHM  VS ABC  SB SC 32 32 32 VS AKM  SK SM 9 3a3   VS AKM  VS ABC  SD SC 56 56 56 VS ABC VS ADC 33a3 224 Chú ý Ta tính thể tích khối chóp S AHMK theo cách sau: VS AHMK  SM SAHMK Gọi O giao hai đường chéo hình thoi I SO  AC Vậy VS AHMK  VS AHM  VS AKM  Khi BD qua I song song BD với Ta có S SB SD SI    (vì I trọng SB SD SO tâm tam giác SAC ) VS.ABC SB SC   Suy VS.ABC SB SC vaø VS.ADC SD SC   VS.ADC SD SC Vaäy C' B' I B O A VS.ABCD VS.ADC VS.ADC    VS.ABCD 2VS.ADC 2VS.ADC 3 a Maø VS.ABCD  SA.SABCD  SA.S ABD  a.a.a.sin 60  3 3 a neân VS.ABCD  VS.ABCD  18 Bài NP  BB E,EM  AB Q EB EQ EP BP     EB EM EN BN 332 C D' D Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa điểm B tích V1 , phần lại tích V2 Gọi thể tích khối lăng trụ V E Ta coù d(E,(A BC)) 2.d(B,(A BC)), B SBMN BM BN Q P   SA BC BA  BC C A 1 neân VE.MBN  2.d(B,(A BC)) S A BC  V B' 3 M VE.QBP  EB  N    VE.MBN  EB  C' A' 7  V1  VE.MBN  VE.QBP  V  V 36 V1 29  V2 V  V1  V   36 V2 29 Bài AM  DC N,NI caét CC,DD H,K Mặt phẳng (AMI) chia khối lập phương thành hai khối đa diện Khối đa diện chứa điểm D tích V1 , khối đa diện lại tích V2 Thể tích khối lập phương V a3 D' HC NC NM NH MC A'      Ta coù KD ND NA NK AD K C' B' Neân VN.ADK  ND.SADK 3 I  VN.ADK  a A VN.MCH  NC     VN.ADK  ND  Do B H M D C 7 29 V1 VN.ADK  VN.MCH  VN.ADK  a3 , V2  a3 N 36 36 Bài 333 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả r.SBCD r VO.CAD r   ,  , V h V h ABCD A ABCD B h S A BCD VO ABD r VO ABC r  ,  VABCD hC VABCD hD VO BCD r r r r S Suy ra: h  h  h  h A B C D V  VO ABD  VO ACD  VO.BCD  O ABC 1 VABCD hA O 1 1 Do đó: r  h  h  h  h A B C D r D C B Ta coù VS.KMN  VS.KML  VS NLM  VS.NLK (1) Vì ABCD hình bình hành S S  S  S neân ACD ACB ABD  SCBD  SABCD V Do S ACD  VS ACB  VS ABD  VS.CBD  VS ABCD Vậy từ (1) ta suy ra: N K I L M A B D O C VS.KMN V V V  S.KML  S NLM  S NLK VS ACD VS ABC VS.DBC VS.DBA SK SM SN SK SM SL SN SL.SM SN SL.SK     SA.SC.SD SA.SB.SC SD.SB.SC SD.SB.SA SK SL.SM SN  SB SD  SK SL.SM SN  SA SC         SA.SB.SC.SD  SL SN  SA.SB.SC.SD  SK SM  SA SC SB SD    (đpcm) SK SM SL SN Gọi E giao điểm MN CD Điểm Q giao điểm  334 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt AD PE Ta có QA PA EC ED MB ND   ,   neân QD PC ED EC MC NB AQ  AD Goïi V, V1 , V2 thể tích khối tứ diện ABCD, khối đa diện chứa điểm A khối đa diện chứa điểm D chia khối tứ diện mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện A Ta có V1 VABMN  VAMPN  VAPQN SBMN BM.BN   SBCD BC.BD P SMNC SDNC  ,  vaø SBCD SBCD 1 neân VABMN  V, VAMPN  V B M VAPQN  VADNC  V 10 V1 13 7  V1  V  V1  V, V2  V  20 20 V2 13 20 Vì Q E D N C Bài Đường thẳng MN cắt BC CD K L; EL cắt SD P; EK cắt SB Q Mặt phẳng (MNE) cắt hình chóp theo mặt cắt ngũ giác NMPEQ S E Q P C D N O B H L A K a Đặt AB  a, SO  h Ta coù KB  DL  335 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả h Hạ EH / / SO  EH đường trung bình SOC nên EH  1 3a 3a 9a2 ; SCKL  CK CL   2 2 1 h 9a2 3a2 h VECKL  EH SCKL   3 16 Q EK Ta có trung điểm nên VKBQM VKCEL  KB.KQ.KM 1 1 a2h    VKBQM  VKCEL  KC.KE.KL 3 18 18 96 Tương tự VLNDP  a2 h 96 3a2 h a2 h a2 h V1  VBCDNMQEP  VECKL  [VKBMQ  VLDNP ]    16 48 Gọi V2 phần thể tích SEQMANP ta có: V1 a h a2 h a h 1 Vaäy   V2 6 MN cắt CB,CD H,P Nối E với H,P ta có thiết diện ngũ giác EKMNQ Gọi V, V1 , V2 S thể tích khối chóp S.ABCD, khối đa diện chứa điểm C khối đa diện chứa E A điểm chia Q khối chóp C (MNE) K O Dễ dàng tính N HM HB B   , A M HP HC PN PD H   , PH PC HK PQ  1 HE PE Suy V2  VSABCD  V1  336 D P Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt VC.EHP CE CH CP 9    VC.EHP  V VC.SBD CS CB CD 16 VH.KBM HK HB HM VP.DNQ PD PN PQ   ,   VH.ECP HE HC HP 18 VP.CHE PC PH PE 18  V1  VH.ECP  VH.KBM  VP.DNQ  VC.EHP  V V1 1 Vậy tỉ số thể tích hai phần V2 Bài ( Bạn đọc tự vẽ hình ) a) Ta coù VSAMN SA SM SN SM SN   VSABC SA SB SC SB SC Tam giác SAB vuông A có đường cao SM SM.SB SA   AM neân SB SB2 SB SM SA a2 SB2 SA  AB2 ,   SB SA  AB2 a2  b2 VSAMN SN SA a2 a2 a2 a4      SC SA  AC2 a2  c2 VSABC a2  b2 a2  c2 (a2  b2 )(a  c2 ) Vaäy tỉ số thể tích hai khối chóp S.AMN S.ABC không phụ thuộc vào độ lớn góc  b) Mặt phẳng (AMN) chia khối chóp thành hai phần tích VSAMN a4  ,  Hay nhau, tức 2 2 VSABC (a  b )(a  c ) 2a4 (a  b2 )(a2  c2 )  a  (b2  c2 )a  b2c2 0  a2  b2  c2  (b2  c2 )2  4b2 c2 2 2 2 2 Vì a  0,a  neân a  b  c  (b  c )  4b c 1   bc.sin  c) Diện tích ABC S ABC  AB.AC.sin BAC 2 1 Thể tích khối chóp S.ABC VS.ABC  SA.SABC  abc.sin  337 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Thể tích khối chóp S.AMN a4 a5 bc.sin  VSAMN  V  SABC (a  b2 )(a2  c2 ) 6(a  b2 )(a  c2 ) Bài P Gọi M trung điểm A B Mặt phẳng (ACM) chia khối hộp chữ nhật thành hai phần (hình vẽ) , phần chứa điểm B tích V1 phần lại tích V2 D' PB PN PM MB     Ta coù PB PC PA AB 1 VP.ACB  PB.SABC  abc 3 VP.MNB PB PN PM D   VP.ACB PB PC PA A' M B' C' N B A C 1 7  V1 VP.ACB  VP.MNB    VP.ACB  abc  abc 8 24  7 17 abc  abc Vaäy V1  abc, V2 abc  24 24 24 Đường thẳng MN cắt AD E A E  BB F, A' P, cắt AB D' A P  DD Q B' F C' A Q D P N Thieát diện A FMNQ chia khối lập phương thành hai phần, phần B chứa điểm A tíchM V1 C phần lại tích V2 2a Vì M trung điểm BC NC 2ND neân EB CN  neân E EB DP ND a PD  ;    PD    EA MC NC PA 1 5a 5a 25  a Ta coù VA .AEP  AA .SAEP  AA .AE.AP  a 6 72 3 V VP.QDN  PD   EB   ,   Nhưng E.FBM  nên suy    VE.A AP  EA  125 VP.A AE  PA  125 338 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt   V1 VE.A AP  VE.FBM  VP.QDN    VP.A AE 125 125   116 25 29 61  V1  a  a , V2 V  V1  a3 125 72 90 90 Thiết diện dựng hình vẽ Gọi V thể tích khối hộp Khối hộp chai thành hai A' D' phần, phần chứa điểm A tích V1 , phần lại B' C' Q V2 D Ta có V2 V  V1 A Dễ thấy F N EB EM EF B    , EA EP EA  M C PD PN PQ E     PA PE PA 3 1 Neân suy VA AEP  V, VEBMF  VA AEP , VPQDN  VA AEP 27 27 25 25 Do V1 VA AEP  VEBMF  VPQDN  VA AEP  V 27 72 V 25 47 25  Vaäy V1  V  V2  V  72 72 V1 47 P Bài 10 3V A.SBC Ta coù VA.SBC  d( A, (SBC)).SBCS neân d( A, (SBC))  S BCS Vì (SAC)  ( ABC) nên gọi H hình chiếu S cạnh AC S SH  ( ABC), hình chiếu SA mặt phẳng ( ABCD) AH nên K  ( SA, ( ABCD))  SAH   Ta có ASC  90 nên SA  AC cos   2.a cos  , A D H B O C Do SH  SA.sin   2.a cos  sin  339 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 3 a cos  sin  Gọi K trung điểm SC OK đường trung bình tam giác SAC nên OK / / SA  OK  SC Maø BD  (SAC)  BD  SC neân BK  SC Nên VS ABC  SH SABC  Ta có SC  AC.sin   2.a.sin  neân BK  BC  CK  a  sin2   SBCS  a2 sin   sin  Vậy khoảng cách cần tìm là: a cos  sin  2.a cos  d( A, (SBC))   2 2  sin  a sin   sin   Vì CB  BA,CB  AS nên CB  (SAB)   CSB Trong tam giác vuông SBC ta có SB BC.cot  a.cot  SA SB2  AB2 a (cot2   1)  a2 cos 2 a cos 2  SA  sin  sin  a3 cos 2 Do VS.ABCD  SA.SABCD  3 sin  Vì mặt phẳng (SAC) mặt phẳng đối xứng khối chóp, VS.AMNP 2VS.AMN SM SN   neân VS.ABCD 2VS.ABC SB SC S Tam giác SAC vuông A với đường cao AN nên SN SN.SC SA SA    cos 2 SC SC2 SC2 SA  AC2 Vì SC  MA,CB  MA nên AM N đường cao tam giác vuông SAB neân 2 SM SM.SB SA SA cos 2   2  I 2 SB SB SB SA  AB cos2  M a3 cos5 2 VS.AMNP cos2 2   V  S.AMNP VS.ABCD cos2  3sin .cos2  B 340 P D A O C Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài 11 Đường thẳng AM cắt A1 B1 O1 , AN cắt A1 D1 O2 Đường thẳng O1O2 cắt B1C1 , C1 D1 tai I K Mặt phẳng (AMN) cắt hình lập phương theo giao thiết diện ngũ giác AMIKN A D C B N D1 M A1 K B1 I O1 Do MB1  ND1  O2 C1 a a neân ta tính O1 B1  B1 I  KD1  D1O2  Do VAA1O1O2  1  3a3 AA1  A1O1 A1O2   , 2  a  a a  a3 VMB O I  VND KO     1 3  2  72 Đặt V1  VA1B1 AMIKN 3a3 a3 25a3  V1  VAA O O   VMB O I  VND KO     1  1 2 72 72 V1 25 47a3  vaø k  V2  VC BCDAMIKN  a3  V1  V2 47 72       Đặt AA  x, AB  y, AD  z 341 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ta có tam giác ABD tam giác ñeàu D'      a x y  x.z  0, y.z  y z cos 600         DB  DD  DC  DA  x  y  z M , N laø trung điểm BC, CD     nên MN  MC  CC  CN     1 1  1 MN  AD  CC   CD  z  x  y 2 2  MN  BD neân MN DB     1    N C' A' B' D H C M K A B  Do ( x  y  z)  z  x  y      x2  a2 2 a 2  a  a  0  x  a 2 2 2 Ta coù: d( D, ( AMN ))  3VD AMN SAMN Dễ thấy SAMD  SABCD  SABD  a Gọi H trung điểm DC NH  ( ABCD), NH  a nên VD AMN  VN AMD  NH SAMD  a 24 Keû HK  AM ta có NK  AM Theo định lí hàm số cosin 7 AM  BA2  BC  2BA.BC cos1200  a2  AM  a Ta coù SAHM  SABCD  (SADH  SCHM  SABM )  SABCD  Neân HK  2SAHM AM  21 231 a  NK  NH  HK  a 28 14 Suy SAMN  NK AM  33 22 a , d( D, ( AMN ))  a 11 Vậy khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( AMN ) 3 Ta có VABC A ' B ' C '  a 342 3 a 16 22 a 11 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt a) Do VC ' ABC  VABC A ' B ' C ' , 2a3 VC ' ABB ' A '  VABC A ' B ' C '  3 Mặt khác SABNM  SA ' B ' NM Suy VC ' CABNM  2a B' M a3  VC ' A ' B ' NM  VC ' ABB ' A '  3 C' A' C N A E B VC ' A ' B ' NM  Vaäy VC ' CABNM  CE.CF sin ECF SCEF CE.CF   b) Ta coù: SCAB CA.CB CA.CB.sin ACB EA MA CE BF BN CF    3 ,     Maø EC CC ' CA BC CC ' CB SCEF  Do SCAB F 3a3 2 Đường thẳng NP cắt BB E, cắt BC taïi K, ME  AB F, MK  A C H Thiết diện ngũ giác MHPNF chia khối lăng trụ thành hai phần Gọi V, V1 , V2 thể tích khối lăng trụ, khối đa diện chứa đỉnh A, khối đa diện chứa đỉnh B (chia mặt phẳng 1 (MNP) ) Vì NP // BC, NP  BC neân EB CP  BB suy 2 FB EB EF 1 KP KC    vaø CK CN  BC    MB EB EM KE KBE KH  Trong tam giaùc A BC ta dễ dàng tính KM 2B F N d(E,(A BC)).SBMK EB SBMK Ta coù: VE.BMK   A C V d(B,(A BC)).S ABC BB S ABC VE.BMK 1.3   hay B' V 2.2 P Suy CC ' CEF  VC ' CAB  M A' H 343 C' K Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả  VE.BMK  V VE.BFN EB EF EN   , Maø VE.BMK EB EM EK 27 VK.CPH KC KP KH   VK.BEM KB KE KM 18   V1  VE.BMK  VE.BFN  VK.CPH    49 49 49  V1  VE.BMK  V  V 54 54 144 1  49  VE.BMK  VE.BMK  27 18  54 V1 49  V2 95 Vaäy tỉ số thể tích hai phần chia mặt phẳng (MNP) 49 95 Bài 12 a) Xét hình thang ABCD có BD phân giác góc ADC nên tam giác ABD cân A Do AB  AD  BC  3cm Mặt  khác BD  BC nên đặt BDC  thì: BCD  ADC  2 , suy 2    900    300 Vì DC  BC  6cm Chiều cao hình thang y S thì: y  BC.sin 600  3 N Diện tích hình thang: I 27 SABCD  ( AB  CD) y  Thể tích khối chóp S ABCD M P B A V  SA.SABCD  x O D Ta coù 344 OA AB AO     , SACD  2SACB  SABCD , OC CD AC 3 C Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt V  VS ABCD  3VS ACB  VS ACD VS AMNP VS ANM VS ANP V 2V    S ANM  S ANP VS ABCD V V 3VS ACB 3VS ACD  SN SM SN SP  SN  SM SP    2 2      SC SB SC SD  SC  SB SD  Goïi O AC  BD I SO  AN Mặt phẳng (  ) song song với BD nên M, P giao đường thẳng qua I, song song với BD cạnh SB,SD SM SP SI NS SN b   Đặt b   SB SD SO NC SC b  AO NC IS 1, Xét tam giác SOC đường thẳng AN ta có AC NS IO IS SI 3b SM SP 3b  3b      IO SO 3b  SB SD 3b  VS AMNP b  3b 3b  3b2   Vaäy   VS ABCD b   3b  3b   (b  1)(3b  1) Do ñoù : V NS 1 x   b  neân S AMNP   VS AMNP  VS ABCD 32 NC 3 b) Mặt phẳng (  ) chia khối chóp thành hai phần tích Với VS AMNP 3b2  , hay   3b2  4b   Giải VS ABCD (b  1)(3b  1) kết hợp với điều kiện ta có b  2 NS  điểm , hay  NC N nằm cạnh SC Gọi M,N,H trung điểm AB,CD,BD Mặt phẳng (SMN) vuông góc với AB  (SMN)  (SAB) Hạ NJ  SM NJ  (SAB), nên (  ) chứa AC song song với NJ Kẻ HK  SM AK  SB E thiết diện tam giác ACE Gọi V VS.ABCD 2VS.ABC , S I K F B H V1 VABCE , V2 V  V1 D M A E N C 345 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả a   nên chiều cao khối chóp SH HM tan   tan  Ta có SMH 1 Thể tích khối chóp S.ABCD V  SH.S ABCD  a tan  V V1 BE V1   Ta có Để tính V1 , V2 ta tính tỉ số V 2V 2BS V S.ABC Kẻ MF // AE, ta có EB EB EF AB KM HK.cot  cos2    2  ES EF ES AM KS HK tan  sin   BE cos2  cos2  cos2     V  V BS cos2   sin   cos2   cos2  Vì V1  a3 sin 2 a sin  , V  V  V  3(1  cos2 ) cos (1  cos2 ) Bài 13 V SM SN SM SN , y  x, y 1 Ta coù:   xy  SB SC V SA.SB SSMN S  SSNG S S SM SG SN SG  SMG  SMG  SNG   SSBC SSBC 2SSBE 2SSCE 2SB.SE 2SC.SE Đặt x    x  y (1) SSMN Lại có: SSBC S  SM SN  xy (2) SA.SB N Từ (1) (2) suy ra:  x  y x  y 3x  xy    x  1 y  x M  1 x   3  x2  f  x V 3x  0  x; y 1 1  x2   x  f x  , x   ;1 Từ  Xét   3x   x  y  3xy 2  Vaäy 346 V1  xy  G A B C Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ta tìm f  x   [ ;1] Vaäy max f  x   [ ;1] 1 x   x 1 ; 2 x  V1 V  ; max  V V 347