05 mat cau

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt MẶT TRÒN XOAY – MẶT CẦU Phương pháp: I Mặt nón – hình nón khối nón Mặt nón: Trong mặt phẳng ( P) cho hai đường thẳng  l cắt O tạo với góc  Khi cho mặt phẳng ( P) quay quanh đường thẳng  , hình tròn xoay sinh đường thẳng l gọi mặt nón tròn xoay hay gọi mặt nón  Đường thẳng  gọi trục mặt nón  Đường thẳng l gọi đường sinh mặt nón  Giao điểm O  l gọi đỉnh mặt nón  Gọi  góc đường thẳng  l 2 gọi góc đỉnh Hình nón: Hình nón hình tròn xoay sinh tam giác vuông OAB quay quanh trục cạnh góc vuông OA  OB  l đường sinh hình nón  AB  R gọi bán kính hình nón  OA  h chiều cao hình nón Khối nón : Hình nón với phần không gian bên gọi khối nón Thể tích diện tích xung quanh :  Diện tích xung quanh hình nón Sxq  Rl  Diện tích toàn phần hình nón Stp  Sxq  Sd  R(l  R)  Thể tích khối nón V   R2 h II Mặt trụ – hình trụ khối trụ Mặt trụ: Trong mặt phẳng ( P) cho hai đường thẳng l  song song với cách khoảng R Khi quay ( P) quanh  đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mà mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ  Đường thẳng  trục mặt trụ  Đường thẳng l gọi đường sinh mặt trụ  Khoảng cách hai đường sinh l trục  gọi bán kính mặt trụ 61 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Phần mặt trụ nằm hai mặt phẳng song song phân biệt vuông góc với trục mặt trụ với hai hình tròn thiết diện gọi hình trụ  Hai hình tròn (O; R), (O '; R) hai đáy hình trụ  Đoạn thẳng OO ' trục hình trụ , chiều cao hình trụ  Bán kính R mặt trụ bán kính hình trụ Hình trụ với phần không gian bên gọi khối trụ Công thức tính diện tích thể tích hình trụ Một hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h a Diện tích mặt xung quanh hình trụ Sxq  2 Rh b Diện tích toàn phần hình trụ: Stp  Ssq  2.Sd  2 R( R  h) c Thể tích khối trụ : V  R2 h III Mặt cầu – Khối cầu Khái niệm mặt cầu  Mặt cầu tâm O bán kính R ( ta kí hiệu S(O, R) ) tập hợp điểm M không gian thỏa mãn S(O, R) {M | OM  R}  Nếu AB đường kính mặt cầu S(O, R) với điểm M thuộc mặt cầu ( trừ A B ) AMB  900  Ngược lại với điểm M nằm không gian thỏa mãn AMB  900 điểm M thuộc mặt cầu đường kính AB Vị trí tương đối điểm với mặt cầu Cho mặt cầu S(O, R) điểm A không gian  Nếu OA  R A mặt cầu  Nếu OA  R A mặt cầu  Nếu OA  R A mặt cầu Vị trí tương đối hình phẳng với mặt cầu Cho mặt cầu S(O, R) mặt phẳng ( P) không gian Gọi H hình chiếu O lên ( P)  Nếu OH  R ( P) không cắt mặt cầu  Nếu OH  R ( P) (S) có điểm chúng H Khi ta nói: ( P) tiếp xúc với mặt cầu ( P) gọi mặt phẳng tiếp diện, H gọi tiếp điểm 62 http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  Nếu OH  R ( P) cắt mặt cầu theo đường tròn (C) có tâm H bán kính r  R  OH Nếu O nằm ( P) (C) gọi đường tròn lớn có bán kính R Vị trí tương đối đường thẳng với mặt cầu Cho mặt cầu S(O, R) đường d không gian Gọi H hình chiếu O lên d  Nếu OH  R d mặt cầu điểm chung  Nếu OH  R d mặt cầu (S) có điểm chung H Khi ta nói d tiếp xúc với mặt cầu d gọi tiếp tuyến cảu mặt cầu, H gọi tiếp điểm  Nếu OH  R d mặt cầu có hai điểm chung Khi ta nói d cắt mặt cầu hai điểm phân biệt Mặt cầu ngoại tiếp hình cầu nội tiếp hình đa diện  Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện mặt cầu qua tất đỉnh hình đa diện  Mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện Nhận xét  Một đa diện có mặt cầu ngoại tiếp tất mặt đa diện có đường tròn ngoại tiếp  Nếu tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện thuộc mặt đa diện đường tròn ngoại tiếp đa diện đường tròn lớn  Khoảng cách từ tâm mặt cầu nội tiếp đa diện đến mặt đa diện bán kính mặt cầu nội tiếp đa diện Diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Diện tích hình cầu bán kính R : S  4 R2 3 Theå tích khối cầu bán kính R : V   R B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 63 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Vấn đề CHỨNG MINH HỆ ĐIỂM THUỘC MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU Phương pháp:  Để chứng minh hệ điểm nằm mặt nón, ta chứng minh đường thẳng qua điểm đỉnh mặt nón tạo với trục mặt nón góc không đổi   Để chứng minh hệ điểm thuộc mặt trụ, ta chứng minh khoảng cách từ điểm đến trục mặt trụ bán kính mặt trụ  Để chứng minh hệ điểm nằm mặt cầu, ta sử dụng cách sau: Cách 1: Chứng minh hệ điểm cách điểm cố định cho trước Cách 2: Chứng minh hệ điểm nhìn đoạn thẳng cố định góc vuông Ví dụ 1.1.5 Cho tam giác ABC vuông B, BA BC a Cho S di động đường thẳng  d  vuông góc với mặt phẳng  ABC  A ( S không trùng A ) Một mặt phẳng  P  qua A vuông góc với SC,  P cắt SB,SC H K Gọi I giao điểm HK BC Chứng minh điểm A, B,C,H,K thuộc mặt cầu Tính diện tích mặt cầu đó; Khi thể tích khối chóp K.ABC đạt giá trị lớn , tính thể tích khối chóp S.ABC ; Chứng minh S di động  d  đường thẳng AI tiếp xúc với mặt cầu cố định Lời giải Chứng minh điểm A, B,C,H,K thuộc mặt cầu Tính diện tích mặt cầu 64 http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  BC  BA  BC   SAB   BC  AH   BC  SA S AH  BC  AH   SBC   AH   P   AH  SC  AH  SC  ·AHC 90 K AK   P   AK  SC  ·AKC 900 Ta coù : ·AHC ·AKC ·ABC 900  điểm A, B,C,H,K thuộc mặt cầu    đường kính AC Tam giác ABC vuông cân B có BA BC a  AC a Diện tích mặt cầu    : H C F A E d B I S mc a 2  AC  4   2a  4        2.Khi thể tích khối chóp K.ABC đạt giá trị lớn , tính thể tích khối chóp S.ABC Gọi E trung điểm AC  F hình chiếu vuông góc K lên a AC , ta coù : KF   ABC  (do KF P SA ) vaø KF KC  AC  2 Thể tích khối chóp K.ABC : V  S ABC KF S Vì ABC không đổi nên V lớn  KF lớn  KF KC  F E  K trung điểm SC 1 a a3 Khi : VSABC  S ABC KF  AB.AC  12 3.Chứng minh đường thẳng AI tiếp xúc với mặt cầu cố định AI   ABC   AI  SA  AI   SAC   AI  AC  AI   P   AI  SC Suy AI tiếp xúc với mặt cầu cố định    đường kính AC Ví dụ 2.1.5 Lời giải 65 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Trong mặt phẳng ( P) cho điểm O cố định Xét đường thẳng l thay đổi qua O cho góc l mặt phẳng ( P) luôn  không đổi (  900) Chứng minh l nằm mặt nón cố định Cho mặt phẳng ( ) Gọi A điểm nằm mặt phẳng ( ) B điểm nằm mặt phẳng ( ) cho hình chiếu H B mặt phẳng ( ) không trùng với A Một  điểm M chạy mặt phẳng ( ) cho cho ABM  BMH Chứng minh điểm M nằm mặt trụ tròn xoay có trục AB Cho điểm A nằm mặt cầu (S) Chứng minh đường thẳng qua A tiếp xúc với mặt cầu (S) nằm mặt nón cố định Trong không gian cho hai điểm A, B phân biệt cố định, điểm M không gian cho diện tích tam giác MAB có diện tích S không đổi Chứng minh điểm M thuộc mặt trụ cố định, xác định bán kính mặt trụ Bài Cho tứ diện ABCD có AB  CD; AC  BD Chứng minh trung điểm cạnh nằm mặt cầu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh bên SA vuông góc với đáy Mặt phẳng ( ) qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD M , N , P Biết SA  a, AB  b, AD  c Chứng minh điểm A, B, C, D, M , N , P thuộc mặt cầu Tính bán kính mặt cầu Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng ( P) cắt cạnh AB, BC, CD, DA K , L, M , N Gọi P điểm không gian không nằm mặt tứ diện Các đường thẳng PK , PL, PM , PN lần cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác PAB, PBC, PCD, PDA Q, R, S, T Chứng minh điểm P, Q , R, S T nằm mặt cầu 66 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài Trong hình phẳng ( P) cho hình vuông ABCD có cạnh a Trên đường thẳng Ax vuông góc với mp ( P) lấy điểm S Gọi (Q) hình phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD B ', C ', D ' Chứng minh bảy điểm A, B, C, D, B ', C ', D ' thuộc hình cầu cố định Xác định bán kính hình cầu Chứng minh hai đường tròn (O1 ), (O1 ) cắt hai điểm phân biệt A, B nằm hai mặt phẳng phân biệt điểm nằm hai đường tròn nằm mặt cầu Bài Cho tứ diện gần ABCD (tức AB  CD, BC  AD, AC  BD ) Chứng minh bốn chân đường cao hạ xuống mặt, bốn trung điểm đường cao bốn trực tâm bốn mặt 12 điểm nằm mặt cầu Vấn đề CÁC BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH, THỂ TÍCH VÀ THIẾT DIỆN CỦA KHỐI NÓN, KHỐI TRỤ Phương pháp: 1) Khối nón:  Phải xác định bán kính, đường cao đường sinh, góc đỉnh hình nón  Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân  Thiết diện vuông góc với trục hình nón hình tròn 2) Khối trụ  Phải xác định chiều cao h bán kính R hình trụ  Nếu thiết diện hình trụ song song chứa trục hình trụ thiết diện hình chữ nhật  Nếu thiết diện hình trụ vuông góc với trục hình trụ thiết diện hình tròn 67 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ví dụ 1.2.5 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO h ,·SAB 450 Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho Lời giải Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có SO   ABC  S Trong mặt phẳng  SOA  dựng E đường trung trực  d  SA cắt SO I I tâm mặt cầu  ABCD  Thật vậy: I  SO trục tam giác ABC  SA SB SC I   d   IA IS I A C O  IA IB IC IS B Hai tam giác vuông SOA SEI đồng dạng ( E trung điểm AB SO SA SA.SE SA   R SI   SE SI SO SO Tam giác cân SAB có ·SAB 450  Tam giác vuông cân S ) Suy Đặt SA x , AB x , OA  Trong tam giác vuông SOA :  x2 3h  R  AB x  3 SA  OA SO2  x  6x2 h 3h 3h  h Ví dụ 2.2.5 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC DBC chứa hai 0 mặt phẳng vuông góc với Biết BC a,·BAC 60 , ·BDC 30 Tính bán kính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Lời giải Gọi O1 ,O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ABC E trung điểm BC , ta có 68 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  O1E  BC  O1E   ABC   ABC    BCD   O2 E  BC  O E   BCD  Qua O1 dựng đường thẳng d1 vuông góc với  BCD  d1 trục tam giác  BCD  A d1 d1 P O2 E Qua O2 dựng đường thẳng d vuông góc với  ABC  I O2 d trục tam giác ABC d2 P O1E d2 D B Tâm I mặt cầu giao điểm d1 ,d2 Thaät vaäy : I  d1  IB IC ID O1 E I  d2  IA IB IC C  IA IB IC ID  I tâm mặt cầu ABCD Tứ giác EO1IO2 hình chữ nhật, suy ra: IE2 O1E2  O E Gọi R1 ,R bán kính đường tròn  BCD   ABC  , ta coù  BC  BC2 O1E2 O1C2  EC2 R12    R     ,O2 E2 O2 C2  EC2 R 22  BC BC BC  R IE  EC2 R 12  R 22  Áp dụng định lí hàm số sin tam giác BDC, BAC , ta coù BC a 2R1  R1  R a · sin 300 sin BDC BC a a 2R  R  R  · sin 60 sin BAC 2 Suy : IE R1  R  Suy R a  a a 13a 13 a 39    R a  12 12 4  a 39  Thể tích khối cầu  ABCD  : V  R    3   Ví dụ 3.2.5 Cho hình chóp S.ABCD  có SA SB SC SD , đáy ABCD hình thang có AB P CD,AB 2a, BC CD DA a , khoảng cách AB 69 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả a Xaùc định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho SC Lời giải Hình thang ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB chứa mặt phẳng  ABCD  , gọi O trung S E điểm AB , SA SB SC SD nên SO   ABCD  H I B A O Trong mặt phẳng  SAB  , đường trung trực SA cắt SO I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp D K C S.ABCD Hai tam giác vuông SOA SEI đồng dạng ( E trung điểm AB ) Suy SO SA SA.SE SA   R SI   SE SI SO SO     CD P AB   SCD  P AB  d  AB,SC  d AB,  SCD  d O,  SCD  Goïi K trung điểm CD,H hình chiếu vuông góc O lên SK , ta có CD  OK  CD   SOK   CD  OH  CD  SO OH  CD a  OH   SCD   OH d  AB,SC    OH  SK Trong tam giác vuông SOK , 1 1 1        2 2 2 OH SO OK SO OH OK a 2     a 3      3a 5a a 3a 5a  R   5a  SO  , SA SO  OA   a2  a 6 2 2 70 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Dễ thấy tứ giác SEIM hình chữ nhật , ñoù IE MS  SA Thay G'E G'I   vào (1) ta G' A G'S G'E  AE trung tuyến tam giác ABC,G’ thuộc đoạn AE G' A nên G’ trọng tâm tam giác ABC , tức G’ G Vậy ba điểm GI S,G,I thẳng hàng từ (1) ,ta có  GS 2 Tính V khối chóp S.ABC SB SC  SBC vuông cân S  BC  SE , lại có BC  SA  BC   SAE     SBC  ,  SAE    AE ,SE  ·SEA 600 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC IS , theo giả thiết, ta có : IS  a GI   SG  SI a , Theo kết câu 1) , GS SE  x x    Tam giác vuông ASE (vuông S ) có ·SEA 600 nên Đặt nửa tam giác đều, suy AS x , AE 2x 2x G trọng tâm tam giác ABC nên EG  AE  3 Áp dụng định lí hàm cosin tam giác SEG , ta có: SG SE2  EG2  2SE.EG.cos·SEA  a x  4x 2x  2x 7x2 9a 3a  x2   x  SB SE x 7 Theå tích khối chóp S.ABC :  a2  1 1  3a  V  SSBC SA  SB2 x  x 3    3 6  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 3 9a 3 14 Thiết diện qua trục hình nón tam giác vuông cân có cạnh góc vuông a a) Tính diện tích toàn phần thể tích hình nón 72 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt b) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , ABC  600 Biết có hình nón nội tiếp hình chóp cho với bán kính đáy r , góc đường sinh đáy hình nón  a) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO Gọi A, B hai điểm thuộc đường tròn đáy hình nón cho khoảng cách từ O   đến AB a SAO  300 , SAB  600 Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón Bài Mặt phẳng qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vuông cạnh 2R Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần khối trụ Tính thể tích khối trụ Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ Bài Cho hình trụ có đáy hai đường tròn tâm O O ' , bán kính chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A Trên đường tròn tâm O ' lấy điểm B cho AB  2a Tính thể tích khối tứ diện OO ' AB Bài Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R , góc đỉnh 2 với 450    900 Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón Tìm diện tích thiết diện mặt phẳng ( P) cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc với Xét hai điểm M , N thay đổi đáy cho góc mặt phẳng (SMN ) mặt đáy hình nón  Chứng minh đường thẳng SI với I trung điểm MN thuộc mặt nón cố định Bài 73 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Cho hình nón ( N ) có đỉnh S đường tròn đáy tâm O Tồn   300 hình chóp M ABC có tam giác ABC với AB  AC, BAC nội tiếp đường tròn (O), điểm M thuộc đường sinh hình chiếu H M mặt đáy tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tính tỉ số thể tích khối chóp thể tích khối nón Bài Một hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O, O ' có bán kính r có đường cao h  2r Gọi A điểm đường tròn tâm O B điểm đường tròn tâm O ' cho OA  O ' B Chứng minh mặt bên tứ diện OABO ' tam giác vuông Tính diện tích tứ diện Gọi ( ) mặt phẳng qua AB song song với trục OO ' Tính khoảng cách trục OO ' mặt phẳng ( ) Chứng minh mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt trụ trục 2r CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài Bên hình trụ có hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh A, B nằm đường đáy thứ nhất, hai đỉnh C, D nằm đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng OO ' có bán kính chứa hình vuông tạo với đáy góc 450 Tính diện tích xung quanh thể tích khối trụ Bài Cho hai điểm cố định A, B có AB  a Với điểm C không gian cho tam giác ABC đều, kí hiệu AD đường cao tam giác ABC Trong mặt phẳng chứa d AD , xét đường tròn đường kính AD Gọi S giao điểm đường tròn với đường thẳng d Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABC Chứng minh điểm C thay đổi điểm S thuộc đường tròn cố định đường thẳng SA, SB thuộc mặt nón cố định 74 http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài Một hình nón có hai đáy (O; R) , (O '; R) có thiết diện qua trục hình vuông Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình trụ, Tính thể tích khối trụ tương ứng, Tính thể tích khối lăng trụ đứng tứ giác ABCD A ' B ' C ' D ' nội tiếp khối trụ ( hình vuoâng ABCD, A ' B ' C ' D ' nội tiếp (O) (O ') ), Lấy M điểm đường tròn (O '; R) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn diện tích tam giác MAC M thay đổi (O '; R) , Gọi N điểm đối xứng với M qua O ' Xác định vị trí MN cho thể tích tứ diện ACMN đạt giá trị lớn tìm giá trị Bài 10 Cho hình trụ có hai đường tròn đáy (O; R) (O '; R), chiều cao hình trụ h , AB đường kính cố định đường tròn (O) M điểm thay đổi đường tròn (O ') Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MAB đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Tính thể tích khối lăng trụ n _ giác nội tiếp, ngoại tiếp hình trụ Bài 11 Cho hình trụ có hai đường tròn đáy (O; R) (O '; R) , chiều cao hình trụ h AB đường kính cố định đường tròn (O) M điểm thay đổi đường tròn (O ') Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MAB đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Gọi N điểm đối xứng với M qua O ' Tìm vị trí MN cho thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn Tính thể tích khối lăng trụ n  giác nội tiếp, ngoại tiếp hình trụ 75 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Vấn đề MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP VÀ LĂNG TRỤ Phương pháp: 1) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy đa giác nội tiếp Để xác định tậm mặt cầu tiếp hình chóp S A1 A2 An ta thường thực bước sau:  Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp đa giác A1 A2 A2  Kẻ Ix vuông góc với mặt phẳng ( A1 A2 A2 )  Xác định mặt phẳng ( P) trung trực cạnh bên SAi  Tâm O giao điểm Ix ( P) Bán kính R  SO  OAi Chú ý:  Trong hình chóp đường cao hình chóp trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  Trong trường hợp trục đường tròn ngoại tiếp đáy đồng phẳng với cạnh bên( hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, hay hình chóp đều, ) thay tìm xác định mặt phẳng trung trực ta xác định đường thẳng trung trực  Trong số toán yêu cầu xác định bán kính mặt cầu ngoại ta đưa tìm bán kính đường tròn lớn  Nếu hình chóp tứ diện có mặt tam giác đặc biệt tam giác vuông, cân nên chọn tam giác làm đáy  Nếu xác định đươc đoạn thẳng MN cố định đỉnh hình chóp nhìn đoạn MN góc vuông tâm hình cầu trung điểm đoạn MN R  MN  Nếu xác định điểm O thỏa mãn OS  OA1  OA2   OAn O tâm hình cầu ngoại tiếp hình chóp  Trong nhiều toán thay xác định bán kính mặt cầu ta xác định bán kính đường tròn lớn 76 http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2) Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ  Một lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng đáy đa giác nội tiếp  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ trung điểm đoạn nối hai tâm hai đáy 3) Vị trị tương đối mặt cầu đường thẳng  Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S( I , R)  d( I , )  R  Đường thẳng  cắt mặt cầu S( I , R) hai điểm A, B  d( I , )  R Khi gọi H hình chiếu I lên AB , ta có H trung điểm AB IH  AH  R2 4) Vị trị tương đối mặt cầu mặt phẳng  Mặt phẳng ( P) tiếp xúc với mặt cầu S( I , R)  d( I , ( P))  R , tiếp điểm H hình chiếu tâm I lên mặt phẳng ( P)  Mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu S( I , R)  d( I , ( P))  R , giao tuyến chúng đường tròn có tâm H hình chiếu I lên ( P) bán kính r  R2  IH 5) Mặt cầu nội tiếp hình chóp:  Là mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình chóp  Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp Khi I cách tất mặt hình chóp  Giả sử hình chóp S A1 A2 An (n  3) có mặt cầu nội tiếp tâm I bán kính r Gọi V thể tích khối chóp S diện tích toàn phần hình chóp Khi V   S.r Nhận xét: Từ công thức ta có công thức tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp r  3V  S Đối với số toán việc xác tâm mặt cầu ngoại tiếp khó nên ta vận dụng công thức để xác định bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp 77 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Đối với hình chóp tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp thuộc đường cao hình chóp Ví dụ 1.3.5 Cho tứ diện ABCD có AB CD, BC AD, AC BD Chứng minh tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện Lời giải Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD , ta có OA OB OC OD Gọi A O1 ,O2 ,O3 ,O4 hình chiếu vuông góc O lên mặt phẳng  BCD  , O3 O4  ACD  ,  ABD  ,  ABC    O1 ,O2 ,O3 ,O4 tâm B O2 O D đường tròn ngoại tiếp O1 tam giác Các tam giác C BCD,ACD,ABD, ABC (c.c.c) nên bán kính R1 ,R ,R ,R đường tròn ngoại tiếp tam giác Các tam giác vuông OO1 B,OO2 A,OO A,OO B cho OO12 OB2  R12 ,OO 22 OA  R 22 ,OO 23 OA  R 23 ,OO 42 OB2  R 24  OO1 OO2 OO OO  O tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Ví dụ 2.3.5 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , đường cao SO a ( O tâm hình vuông ABCD ) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD Lời giải 78 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Gọi E,F trung điểm BC, AB Trong tam giác vuông SOE , đường phân giác góc ·SEO cắt SO I , ta chứng minh I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD Gọi H1 ,H2 hình chiếu vuông góc I lên SE,SF S H2 H1 I C D E O A F  BC  SO  BC   SOE   BC  IH1   BC  OE IH1  SE  IH1   SBC   IH1 d I,  SBC   IH1  BC  B  Tương tự IH2 d  I,  SAB   Hai tam giác vuông SOE SOF có SO chung , OE OF nên chúng suy hai đoạn tương ứng IH1 ,IH2 Chứng minh tương tự ta có I cách mặt bên hình chóp cho Mặt khác I thuộc đường phân giác ·SEO  IO IH Vậy I cách tất mặt hình chóp SABCD mà I hình chóp I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD Áp dụng tính chất chân đường phân giác ta có IO OE IO OE IO OE      IS SE IO  IS OE  SE SO OE  SE a a2 a SO.OE a 2  IO     OE  SE a  a  a  a2  a Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD r  1 Ví dụ 3.3.5 Một hình chóp tứ giác có cạnh đáy a  ·ASB    Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp; Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp; 79 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Chứng minh hai tâm mặt cầu trùng  450 Lời giải 1.Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Gọi O tâm hình vuông ABCD , ta có SO vuông góc với  ABCD  S SO trục hình vuông ABCD J Trong mặt phẳng  SBO  ,đường trung trực  d  I2 cạnh SB cắt SO K , ta có K I1 I C B K  SO  KA KB KC KD K   d   KB KS E O D  KA KB KC KD KS A M Vậy K tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Hai tam giác vuông SOB SJK đồng dạng ( J trung điểm SB ) SK SJ SB.SJ SB2   SK    1 SB SO SO 2SO Gọi E trung điểm AB EB SB   Trong tam giác vuông SEB : cos·ESB suy ra: Trong tam giác vuông SOE , a  sin   a   sin   a cos  a a a cos  SO2 SB2  OB2       SO      sin sin sin 2 sin 2 2 Từ (1) suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 80