Bai2 3~1

§2 ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa bất phương trình ẩn Cho hai hàm số y = f ( x ) y = g( x ) có tập xác định Df Dg Đặt D = Df Ç Dg Mệnh đề chứa biến có dạng f ( x ) < g( x ) , f ( x ) > g( x ) , f ( x ) £ g( x ) , f ( x ) ³ g( x ) gọi bất phương trình ẩn ; x gọi ẩn số (hay ẩn) D gọi tập xác định bất phương trình x0 Ỵ D gọi nghiệm bất phương trình f ( x ) < g( x ) f ( x0 ) < g( x0 ) mệnh đề Giải bất phương trình tìm tất nghiệm(hay tìm tập nghiệm) bất phương trình Chú ý : Trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác đinh D bất phương trình mà cần nêu điều kiện để x  D Điều kiện gọi điều kiện xác định bất phương trình, gọi tắt điều kiện bất phương trình Bất phương trình tương đương, biến đổi tương đương bất phương trình a) Định nghĩa: Hai bất phương trình (cùng ẩn) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Kí hiệu: Nếu f1 ( x ) < g1 ( x ) tương đương với f2 ( x ) < g2 ( x ) ta viết f1 ( x ) < g1 ( x ) Û f2 ( x ) < g2 ( x )  Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình gọi phép biến đổi tương đương b) Định lý hệ quả: Định lý 1: Cho bất phương trình f ( x ) < g( x ) có tập xác định D ; y = h ( x ) hàm số xác định D Khi D , Bất phương trình cho tương đương với bất phương trình sau 1) f ( x ) + h ( x ) < g( x ) + h ( x ) 2) f ( x ) h ( x ) < g( x ) h ( x ) h ( x ) > với x Ỵ D 3) f ( x ) h ( x ) > g( x ) h ( x ) h ( x ) < với x Ỵ D Hệ quả: Cho bất phương trình f ( x ) < g( x ) có tập xác định D Khi 1) f  x   g  x   f  x   g  x  2) f  x   g  x   f  x   g  x  với f  x  0, g  x  0 , x  D Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần ý  Đặt điều kiện xác định(đkxđ) phương trình tìm nghiệm phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định  Đối với việc giải bất phương trình ta thường thực phép biến đổi tương đương nên cần lưyu ý tới điều kiện để thực phép biến đổi tương đương B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải - Điều kiện xác định bất phương trình bao gồm điều kiện để giá trị f ( x ) , g( x ) xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) - Điều kiện để biểu thức  f ( x ) xác định f ( x ) ³   xác định f ( x ) ¹ f ( x) f ( x) xác định f ( x ) > Các ví dụ điển hình Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: 212 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 4x - - x- x- Lời giải ìï x - ³ ìï x ³ Û ïí Û x=3 a) Điều kiện xác định bất phương trình ïí ïï - x ³ ïï x £ ỵ î Thử vào bất phương trình thấy x = thỏa mãn Vậy tập nghiệp bất phương trình S = { 3} b) Điều kiện xác định bất phương trình - x2 + 4x - ³ Û - ( x - 2) ³ Û x = Thay x = vào thấy thỏa mãn bất phương trình Vậy tập nghiệp bất phương trình S = { 3} ìï x ³ ìï x ³ ï ïí Û Û x>2 c) Điều kiện xác định bất phương trình í ïï x - > ïï x > ỵ ỵ Với điều kiện bất phương trình tương đương với x < Û x < Đối chiếu với điều kiện ta thấy bất phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm bất phương trình S = Ỉ ìï x - - 4x ³ ( ) ( ) d) Điều kiện xác định bất phương trình ïí (*) ïï 4x - ³ ïỵ Dễ thấy x = thỏa mãn điều kiện (*) ìï ïï x £ ìï - 4x ³ 4Û x=3 Û íï Nếu x ¹ (*) Û ïí ïï 4x - ³ ïï ỵ ïï x ³ ỵ Vậy điều kiện xác định bất phương trình x = x = Thay x = x = vào bất phương trình thấy thỏa mãn ìï 3ü ï Vậy tập nghiệm bất phương trình l S = ùớ 1; ùý ùợù 4ùỵ ù Bài tập luyện tập 213 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài 4.55: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: x < a) b) x - > x - x - 6x + x +2 Bài 4.56: Tìm điều kiện xác định bất phương trình sau suy tập nghiệm nó: a) 2x + 2x - ³ - 2x + b) - x2 + x - £ c) x + 1- x < 1- x + d) ( x - 1) ( - x ) ( x - 2) >-  DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG Phương pháp giải Để giải bất phương trình ta thực phép biến đổi để đưa bất phương trình tương đương với phương trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thường sử dụng  Cộng (trừ) hai vế bất phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định bất phương trình ta thu bất phương trình tương đương bất phương trình cho  Nhân (chia) vào hai vế bất phương trình với biểu thức dương(hoặc âm) không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu bất phương trình chiều (hoặc ngược chiều) tương đương với bất phương trình cho  Bình phương hai vế bất phương trình (hai vế ln dương) ta thu bất phương trình tương đương với bất phương trình cho  Lập phương hai vế bất phương trình ta thu bất phương trình tương đương với bất phương trình cho Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong bất phương trình sau đây, bất phương trình tương đương với bất phương trình 3x   (*) : x x 1   a) 3x   b) 3x   x x 3x 1 3x 1 Lời giải Ta có 3x    x   1  a) 3x   (1) không tương đương 3x   x 3 nghiệm bất phương trình (*) x x khơng nghiệm bất phương trình (1) x x   3x    x   b) 3x   3x  3x  x x  Do 3x   tương đương 3x   3x 1 3x 1 Ví dụ 2: Khơng giải bất phương trình, giải thích bất phương trình sau vơ nghiệm x x 1  2 a) x  x  0 b) x 1 x Lời giải 2 a) Ta có x  x 0  x  x   bất phương trình vô nghiệm b) ĐKXĐ: x  x x 1 x x 1  2 2 x 1 x 1 x x Suy bất phương trình vơ nghiệm Áp dụng BĐT cơsi ta có 214 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Ví dụ 3: Khơng giải bất phương trình, giải thích bất phương trình sau nghiệm với x x   x 2 x  a) Lời giải a) BPT  Do 1   x  1  x 1 x 1 b) x   x  x  0  2 x    x  1 0 2 x  0,  x  1 0 với x nên x    x  1 0 với x Vậy bất phương trình nghiệm với x 2 b) BPT    x  1 0   x  1 0 (đúng với x ) Vậy bất phương trình nghiệm với x Ví dụ 4: Bạn Nam giải bất phương trình x   x  sau Bất phương trình tương đương với  x  1  x  1  x  x   x  x   x 0  x 0 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S [0; ) Theo em ban Nam giải hay sai? Nếu sai sửa lại cho Lời giải Bạn Nam mắc sai lầm phép biến đổi bình phương hai vế Lời giải là:  Với x  ta có x  0, x   suy nghiệm bất phương trình x  x 1   Với x 1 : Bất phương trình tương đương với  2  x  1  x  1 x 1   x 1    x 1  x  x   x  x  4 x 0 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  Bài tập luyện tập Bài 4.57: Trong bất phương trình sau đây, bất phương trình tương đương với bất phương trình 3x   : 1  a) 3x   b) 3x   x   x  x 3 x 3 Bài 4.58: Khơng giải bất phương trình, giải thích bất phương trình sau vơ nghiệm a) x    x  b) x   x  x  Bài 4.59: Khơng giải bất phương trình, giải thích bất phương trình sau nghiệm với x a) x   x  x   Bài 4.60: Bạn Bình giải bất phương trình x2  b) x 1 x2 1  2  x   0 sau Bất phương trình tương đương với x   0  x  1  x  1  x  ; ) Theo em ban Bình giải hay sai? Nếu sai sửa lại cho Vậy bất phương trình có tập nghiệm S [ 215 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word §3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Bất phương trình bậc hai ẩn a) Bất phương trình bậc hai ẩn miền nghiệm  Bất phương trình bậc hai ẩn x, y bất phương trình có dạng: ax  by  c  0, ax  by  c  0, ax  by  c 0, ax  by  c 0 a, b, c số thực cho, a b không đồng thời 0; x y ẩn số Mỗi cặp số (x0; y0) cho ax0 + by0 < c gọi nghiệm bất phương trình ax  by  c  , Nghiệm bất phương trình dạng ax  by  c, ax  by c, ax  by c định nghĩa tương tự  Trong mặt phẳng tọa độ nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn biểu diễn điểm tập nghiệm biểu diễn tập hợp điểm Ta gọi tập hợp điểm miền nghiệm bất phương trình b) Cách xác định miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng  d  : ax  by  c 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Một hai nửa mặt phẳng (khơng kể bờ (d)) gồm điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax  by  c  , nửa mặt phẳng cịn lại (khơng kể bờ (d)) gồm điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax  by  c  Vậy để xác định miền nghiệm bất phương trình ax  by  c  , ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) sau: Bước Vẽ đường thẳng (d): ax  by  c  Bước Xét điểm M  x0 ; y0  không nằm (d)  Nếu ax0  by0  c  nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M miền nghiệm bất phương trình ax  by  c   Nếu ax0  by0  c  nửa mặt phẳng (khơng kể bờ (d)) khơng chứa điểm M miền nghiệm bất phương trình ax  by  c  Chú ý: Đối với bất phương trình dạng ax  by  c 0 ax  by  c 0 miền nghiệm nửa mặt phẳng kể bờ Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Tương tự hệ bất phương trình ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc hai ẩn 216 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình hệ miền nghiệm hệ Vậy miền nghiệm hệ giao miền nghiệm bất phương trình hệ Để xác định miền nghiệm hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học sau:   Với bất phương trình hệ, ta xác định miền nghiệm gạch bỏ (tơ màu) miền lại Sau làm tất bất phương trình hệ mặt phẳng tọa độ, miền lại khơng bị gạch (tơ màu) miền nghiệm hệ bất phương trình cho B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm bất phương trình sau: a) x  y  b) x  y x  y 1  y Lời giải a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng  d  : 2x  y 0 Ta có  d  chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Chọn điểm khơng thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm M  1;0  Ta thấy (1; 0) nghiệm bất phương trình cho Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng chứa bờ (d) chứa điểm M  1;0  (Miền khơng tơ màu hình vẽ) x  y x  y 1    x  y    x  y  1  b) Ta có   x  4y    x  4y   Trong mặt phẳng tọa độ , vẽ đường thẳng  : x  y  0 Xét điểm O  0;0  , thấy  0;0  khơng phải nghiệm bất phương trình cho miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng bờ  (không kể đường thẳng  ) không chứa điểm O  0;0  (Miền không tô màu hình vẽ) O x x (d) y -2 Δ O -2 Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình sau:  x  y  0 a)   x  y  0 x  y   b)  x  y    x  y  0  y Lời giải (d') a) Vẽ đường thẳng  d  : x  y  0 ,  d '  : x  y  0 mặt phẳng tọa độ Oxy -3 -2 O x (d) 217 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Xét điểm O  0;0  , thấy  0;0  khơng phải nghiệm bất phương trình x  y  0 x  y  0 miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng tơ màu hình vẽ kể hai đường thẳng  d   d ' b) Vẽ đường thẳng  d  : x  y 0,  d ' : x  y  0  d " : x  y  0 mặt phẳng tọa độ Oxy Xét điểm O  0;0  , thấy  0;0  nghiệm bất phương trình x  y   x  y  0 Do O  0;0  thuộc miền nghiệm bất phương trình x  y   x  y  0 Xét điểm M  1;0  ta thấy  1;0  nghiệm bất phương trình x  y  điểm M  1;0  thuộc miền nghiệm bất phương trình x  y  Vậy miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng tơ màu hình vẽ kể đường thẳng  d " (d) (d') y -3 -2 -1 O x (d") Ví dụ 3: Xác định miền nghiệm bất phương trình  x  y   x3  y  0 Lời giải 3 2 Ta có  x  y   x  y  0   x  y   x  y   x  xy  y  0  x  y 0  x  y 0   x  y   x  y  0   (1)  (2)  x  y 0  x  y 0 Như miền nghiệm bất phương trình cho gồm hai miền nghiệm hệ bất phương trình (1) (2) Vẽ đường thẳng  d  : x  y 0 ,  d '  : x  y 0 mặt phẳng độ Oxy Xét điểm M  1;0  , ta có  1;0  nghiệm bất y (d) -2 -1 O x tọa (d') phương trình hệ (1) M  1;0  thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình (1) Xét điểm N   1;0  , ta có   1;0  nghiệm bất phương trình hệ (2) N   1;0  thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình (2) Vậy miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng tơ màu hình vẽ kể hai đường thẳng  d  ,  d ' Bài tập luyện tập Bài 4.61: Xác định miền nghiệm bất phương trình sau: a) x  y  b) x y  x  y 1 2 Bài 4.62: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình sau: 218 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word x  y    b)  x  y  0  x  y  0  x  y   a)   x  y  0  DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ Vấn đề tìm miền nghiệm hệ bất phương trình bậc có liên quan chặt chẽ đến quy hoạch tuyến tính Đó ngành tốn học có nhiều ứng dụng đời sống kinh tế Lưu ý: Ta thừa nhận kết sau "Giá trị nhỏ hay lớn biểu thức P  x; y  ax  by  b 0  miền đa giác lồi (kể biên) đạt đỉnh đa giác" Ví dụ 1: Một cơng ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm công ty hệ thống phát truyền hình Chi phí cho phút quảng cáo sóng phát 800.000 đồng, sóng truyền hình 4.000.000 đồng Đài phát nhận phát chương trình quảng cáo dài phút Do nhu cầu quảng cáo truyền hình lớn nên đài truyền hình nhận phát chương trình dài tối đa phút Theo phân tích, thời lượng phút quảng cáo, truyền hình có hiệu gấp lần sóng phát Cơng ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo sóng phát truyền để hiệu nhất? Lời giải Phân tích tốn: Gọi thời lượng cơng ty đặt quảng cáo sóng phát x (phút), truyền hình y (phút) Chi phí cho việc là: 800.000 x  4.000000 y (đồng) Mức chi không phép vượt qúa mức chi tối đa, tức: 800.000 x  4.000.000 y 16.000.000 hay x  5y  20 0 Do điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có: x 5, y 4 Đồng thời x, y thời lượng nên x 0, y 0 Hiệu chung quảng cáo là: x  y Bài toán trở thành: Xác định x, y cho: y M  x; y  x  y đạt giá trị lớn  x  5y  20 0  Với điều kiện  x 5 (*) 0  y 4  Trước tiên ta xác định miền nghiệm hệ bất phương (d) trình (*) Trong mặt phẳng tọa độ vẽ đường thẳng O 20  d  : x  y  20 0,  d '  : x 5,  d ''  : y 4 219 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word x Khi miền nghiệm hệ bất phương trình (*) phần mặt phẳng(tam giác) khơng tơ màu hình vẽ Giá trị lớn M  x; y  x  y đạt điểm  5;3 ,  5;0  ,  20;0  Ta có M  5;3 23, M  5;0  5, M  20;0  20 suy giá trị lớn M  x; y  23  5;3 tức đặt thời lượng quảng cáo sóng phát phút truyền hình phút đạt hiệu Ví dụ 2: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng Xưởng có 200kg nguyên liệu 120 làm việc Nên sản xuất loại sản phẩm để có mức lời cao nhất? Lời giải Phân tích tốn: Gọi x ( x 0 ) số kg loại I cần sản xuất, y ( y 0 ) số kg loại II cần sản xuất Suy số nguyên liệu cần dùng x  y , thời gian 30 x  15 y có mức lời 40000 x  30000 y Theo giả thiết tốn xưởng có 200kg ngun liệu 120 làm việc suy x  y 200 hay x  y  100 0 , 30x + 15y £ 1200 hay x  y  80 0 ìï x + 2y - 100 £ ïï ïï 2x +y - 80 £ x , y Bài tốn trở thành: Tìm thoả mãn hệ ïí (*) cho L  x; y  40000 x  30000 y đạt ïï x ³ ïï ïïỵ y ³ giá trị lớn Trong mặt phẳng tọa độ vẽ đường thẳng y  d  : x  y  100 0,  d ' : x  y  80 0 80 Khi miền nghiệm hệ bất phương trình (*) phần mặt 50 40 phẳng(tứ giác) không tô màu hình vẽ Giá trị lớn L  x; y  40000 x  30000 y đạt x O 20 40 100 điểm  0;0  ,  40;0  ,  0;50  ,  20; 40  Ta có L  0;0  0, L  40;  1600000, L  0; 50  1500000, L  20; 40  2000000 suy giá trị lớn L  x; y  2000000  x; y   20; 40  Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I 40 kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn 220 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài tập luyện tập Bài 4.63: Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người hàng hóa Nơi cho thuê xe có 10 xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD Một xe hiệu MITSUBISHI chở 20 người 0,6 hàng Một xe hiệu FORD chở 10 người 1,5 hàng Tiền thuê xe hiệu MITSUBISHI triệu đồng, xe hiệu FORD triệu đồng Hỏi phải thuê xe loại để chi phí thấp nhất? Bài 4.64: Nhân dịp tết Trung Thu, Xí nghiệp sản xuất bánh Trăng muốn sản xuất hai loại bánh: Đậu xanh, Bánh dẻo nhân đậu xanh Để sản xuất hai loại bánh này, Xí nghiệp cần: Đường, Đậu, Bột, Trứng, Mứt, Giả sử số đường chuẩn bị 300kg, đậu 200kg, nguyên liệu khác có Sản xuất bánh đậu xanh cần 0,06kg đường, 0,08kg đậu cho lãi ngàn đồng Sản xuất bánh dẻo cần 0,07kg đường, 0,04kg đậu cho lãi 1,8 ngàn đồng Cần lập kế hoạch để sản xuất loại bánh để không bị động đường, đậu tổng số lãi thu lớn (nếu sản xuất bán hết)? Bài 4.65: Cơng ty Bao bì Dược cần sản xuất loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng đựng "Quy sâm đại bổ hoàn" Để sản xuất loại hộp này, công ty dùng bìa có kích thước giống Mỗi bìa có hai cách cắt khác nhau: Cách thứ cắt hộp B1, hộp cao Sao vàng hộp Quy sâm Cách thứ hai cắt hộp B1, hộp cao Sao vàng hộp Quy sâm Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu 900 hộp, số hộp cao vàng tối thiểu 1000 hộp Cần phương án cho tổng số bìa phải dùng nhất? 221 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word