Chương 1 số hữu tỉ số thực

CHƯƠNG I SỐ HỮU TỈ - SỐ THỰC §1 TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ I Số hữu tỉ: Các phân số cách viết khác số, số gọi số hữu tỉ a  Số hữu tỉ số viết dạng phân số b với a, b  Z b 0 Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu Q (x số hữu tỉ ghi x  Q) II Biểu diễn số hữu tỉ trục số: a Để biểu diễn số hữu tỉ b (a, b  Z, b>0) trục số, ta làm sau: - Chia đoạn đơn vị [0; 1] trục số thành b phần nhau, phần b gọi đơn vị a Nếu a > số b biểu diễn điểm nằm bên phải điểm O cách điểm O - đoạn a lần đơn vị mới: a Nếu a < số b biểu diễn điểm nằm bên trái điểm O cách điểm O - đoạn a lần đơn vị 4 , , Ví dụ: Biểu diễn số 5 trục số: -2 -1 -4 5 - Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x gọi điểm x III So sánh hai số hữu tỉ: Để so sánh hai số hữu tỉ x, y ta thường làm sau: + Viết x, y dạng hai phân số có mẫu dương: a b x ; y   a, b, m  Z ; m   m m + So sánh hai số nguyên a b:  Nếu a < b x < y  Nếu a = b x = y  Nếu a > b x > y 5 Ví dụ: So sánh  1 5 3 6   ;   10  5 10 Ta có :  5   6 5 6    10 10 2 5 Vì - Trên trục số, x < y điểm x bên trái điểm y - Số hữu tỉ lớn gọi số hữu tỉ dương - Số hữu tỉ nhỏ gọi số hữu tỉ âm - Số không số hữu tỉ dương không số hữu tỉ âm Nhận xét :  a  a   0  a, b dấu - Số hữu tỉ b số hữu tỉ dương  b  a  a   0  a, b trái dấu - Số hữu tỉ b số hữu tỉ âm  b a c   b, d    ad  bc  b, d   Ta có : b d BÀI TẬP Bài Điền kí hiệu N, Z, Q vào dấu … (viết đầy đủ trường hợp): 7   a) 2000  … b) c) 100  671  d) -671  … e) Bài Biểu diễn số hữu tỉ sau trục số:  15 12 ; ;  18 Bài Viết số hữu tỉ sau dạng phân số có mẫu dương: 8 1 27 18  151515 7777 ; ;  180  1111 a)  70  28 b)  45 252525 Bài Cho số hữu tỉ: 19019  1919  19 x1  ; x2  ; x3  76076  7676  76 So sánh viết tập hợp A số hữu tỉ số a Bài Cho số hữu tỉ b khác Chứng minh: a a) Nếu a, b dấu b số dương a b) Nếu a, b trái dấu b số dương Bài So sánh số hữu tỉ sau:  13 12  40 a) 40  15 c) 21  16 d) 30 5  91 104 b)  36 44  35 84 5  501 9191 e) 91  11  78 7 3 f) Bài Sắp xếp số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần: 6 7  40 27 18  14 17  14 ; ;0; ; ; ; ; ; ;0  50 33 a)  b) 19 37 20 33 Bài a b a b ; y   a , b, m  Z , m   z b m 2m a) Giả sử x < y Hãy chứng tỏ chọn ta có: x < z < y a a c c a c     b ; d  0 b b  d d b d b) Chứng minh x  c) Tìm số hữu tỉ x cho: -1 < x < 4 1 x 10  Bài So sánh phân số sau (không quy đồng mẫu tử): 1234 4319  1234  4321 và 4320 4331 a) 1235 b) 1244  31 31317 32327 c)  32 1234.1235  1235.1236  1235.1236 d) 1234.1235 x y   xz y  z  Bài 10 Dựa vào tính chất Hãy so sánh:  37 1  1987  1984 và 8  1985 a) 946 b)  1986 3246  45984  24  23 và 45983 27 c)  3247 d) 25  23 5  33 53 và  217 e) 12 f) 131 22 51  18  23 và  152 114 g)  67 h) 91 Bài 11 Tìm x  Q, biết x số âm lớn viết bốn chữ số Bài 12 3 3 a) Tìm phân số có mẫu 10, biết giá trị lớn nhỏ x x2   b) Tìm x  Z biết c) Tìm hai phân số có mẫu 9, tử hai số tự nhiên liên tiếp cho trục số điểm biểu diễn phân số nằm điểm biểu diễn hai phân số phải tìm 11 11   d) Tìm phân số có tử 9, biết giá trị lớn 13 nhỏ 15 Bài 13 a n a b a) Cho a, b, n  N* So sánh b  n a c m x  ; y  ; z   b , d , n  0 b d n b) Cho số hữu tỉ: Biết ad – bc = cn – dm =  ) So sánh cấc số x, y, z am b  n (với b + n  0)  ) So sánh y với t, biết Bài 14 Với giá trị a  Z số hữu tỉ x: * số dương * số âm * số không âm * số không dương * không số dương không số âm t a a2  a x x  x a  11 a 7 a) b) c) d) Bài 15 Tìm tất số nguyên x để phân số sau có giá trị số nguyên: x 1 2x  10x  A B C  x 2   x   x x 5 2x  a) b) c) x D d) 2a  5 x 2x  E e) 3x  2x  F  f) x  4x  x  x 7 §2 CỘNG TRỪ SỐ HỮU TỈ I Cộng trừ hai số hữu tỉ Để cộng, trừ hai số hữu tỉ x y ta làm sau: 1) Viết x; y dạng hai phân số có mẫu dương (qui đồng mẫu số dương) x 2) xy  a b ; y m m  m  0 Thực phép cộng, trừ: (cộng, trừ tử giữ nguyên mẫu chung) a b a b   m m m x y a b a b   m m m 2 3 9 1       Ví dụ:   12 12 12    16 25          24 24 24 \ Chú ý: 1) Rút gọn phân số trước tính 2) Trong tập hợp  , phép cộng có tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với số tập hợp   2 3  3             5 2 Ví dụ:   x    x  0 Mỗi số hữu tỉ x, có số đối; ký hiệu  x; cho: 3) a a  x  b b Số đối a a a    Vậy b b  b nên người ta thường viết số hữu tỉ âm với dấu trừ trước phân số x 3 3   Ví dụ:  II Cộng trừ số thập phân Trong thực hành cộng, trừ hai số hữu tỉ viết dạng số thập phân, ta thường cộng theo qui tắc cộng hai số nguyên Ví dụ:  3, 42  1, 35  2, 07 III Tổng đại số Một dãy phép tính cộng, trừ số hữu tỉ gọi tổng đại số Trong tổng đại số số hữu tỉ, ta có thể: Đổi chỗ cách tùy ý số hạng kèm theo dấu chúng Đặt dấu ngoặc để nhóm số hạng cách tùy ý ý trước dấu ngoặc dấu " " phải đổi dấu số hạng ngoặc  1 3    Ví dụ:   IV  5          6 Quy tắc chuyển vế Khi chuyển vế số hạng từ vế sang vế đẳng thức, ta phải đổi dấu số Khi hạng Với x, y, z, t   ta có: x  y z  t  x  t z  y Ví dụ: Tìm x, biết: 5x  4x  3 5x  4x   Ta có:  21 21 16 x 21 x BÀI TẬP Bài 16 Tính:  10  3   25 12 a)  c) 5   2, 25 12 18 4  b) d)  0,   16  15 e) 1    2 f) g)  1  1          12      16 27   14         h)  21 13   13 21  i)         3      12   12  11  10     25 13 17 13 17 j) 1 1  1    27 81 Bài 17 Tính: 1 1     1.2 2.3 3.4 1999.2000 a) 1 1     100.103 b) 1.4 4.7 7.10 c)  1 1      2000.1999 1999.1998 1998.1997 3.2 2.1 1 1 1 1 1      9999 d) 15 35 63 1 1       e) 72 56 42 1 1 1      2.5 5.8 8.11 89.92 92.95 f) Bài 18 Tìm x, biết: 17  a) c) e)   1, 25  x  2, 25 b) 7  x   6  2x  x  2x  d) 4x   2x  1 3  1 1     7  x 12 49.50 50 Bài 19 Tìm tập hợp số nguyên x biết: 1 1  1    x     48  16  a)   x 3 5   1    8 6 b) 36 Bài 20 a) Tính tổng phân số lớn nhỏ b) Tính tổng phân số lớn nhỏ 10 có mẫu 30 có tử Bài 21 Tìm số nguyên x, y biết rằng: a) x  2 y b) y   x 3 Bài 22 Cho phân số A 2n  n a) Tìm số ngun n để A có giá trị ngun b) Tìm số ngun n để A có giá trị lớn Bài 23 Cho phân số B 6n  2n  a) Tìm số nguyên n để B có giá trị ngun b) Tìm số ngun n để B có giá trị nhỏ Bài 24 1 1 C      11 12 13 19 a) Cho Chứng minh C số nguyên 1 1  D 2       15 35 n  n  2   b) Cho với n   * Chứng minh D số nguyên 1 2 E      11 c) Cho Chứng minh E số nguyên y   c) 3x x Bài 25 Cho 100 số hữu tỷ bất kỳ, số có tổng số âm a) Chứng minh tổng 100 số số âm b) Có thể khẳng định tất 100 số số âm khơng? §3 NHÂN CHIA SỐ HỮU TỈ I.Nhân hai số hữu tỉ: x a c y b; d xác định sau: Tích hai số hữu tỉ a c ac x y   b d bd với b, d # Chú ý: 1) Thu gọn kết trình tính nhân 2) Khi nhân nhiều số hữu tỉ kết quả: - Có dấu “ + ” số thừa số âm chẵn - Có dấu “ – ” số thừa số âm lẻ 3) Khi nhân hai số thập phân, thực hành ta áp dụng theo quy tắc nhân hai số nguyên     3.1    21      4.2.10 80 Ví dụ:  10   0,12.( 1, 25).( 6)  0,9      5.2.( 4).( 3)  1  1, 25.2    ( 1,5)         5  3  2 4.3.2  3 II Tính chất phép nhân Q Trong tập hợp Q, phép nhân có tính chất giao hoán, kết hợp , nhân với tập hợp Z Chú ý: 1) x.0 0.x 0, x  Q 2) Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: x, y , z  Q , ta có: x.( y  z ) xy  xz yx  zx ( y  z ) x x.( y  z ) xy  xz yx - zx ( y  z ) x Áp dụng: Đặt thừa số chung: xa  xb  xc  x( a  b  c) Ví dụ: Tính 1 1 1 1 1             1 3 2 3 2 3  III.Chia hai số hữu tỉ a c x y b; d ( y # 0) ta có Với a c a d ad x: y  :   b d b c bc 3    3.( 1)  : ( 9)        9 4.9 12 Ví dụ: Chú ý:    y 1  1) Mỗi số hữu tỉ y # có số nghịch đảo y  y a b Số nghịch đảo b a ( với a, b # 0) 2) Thương phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y # gọi tỉ số hai số x y; Kí x hiệu y hay x : y  0, Ví dụ: Tỉ số hai số -0,2 1,25 viết 1, 25 hay -0,2 : 1,25 3) Chia hai số thập phân: x: y x : y x, y dấu x : y   x : y  x, y khác dấu IV.Chia tổng hiệu cho số x y x y   x, y  Q; z 0; z z z x y x y   z z z BÀI TẬP Bài 26 Tính  2     0, 25  3 a)  b) 15            15    1  1   9          c)    11   14      1            d)           8  3          e)    15  5    8 (  0,125).( 16)    ( 0, 25)  9 f) 5   4 g) h) 4,1.3,5  4,1.7,5  4,1   i) 1998 1998 1998 j)  2 3  1 4   :    :   7  7 5    2 :    :   11 22    15  k) 38   49   38  13 :  :  :   l)  11 49 11 49   38 11  11 18  35 49 28       m) 30 35  54 18 48   23  13 70 125 : n) 39 56 23 75   193 33    11  2001    193  386  17  34  :   2001  4002  25        o)   Bài 27 Tính    : ( 14)    :        a) 13 4 3       :   25  24  21 21    b)  5 3 c)  d)   1      :1       5   5  :   8           4 §5 LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ I Lũy thừa với số mũ tự nhiên Với x  ; n   n  ta có: n x x … x ⏟ * x =x nl ầ n n  a an n a x   x  b bn   b * Nếu  b 0  * x 1 (với x 0 ) * x x (với x 0 ) n Chú ý: x gọi lũy thừa, x gọi số, n gọi số mũ lũy thừa n 0  n 0  1n 1 * Lũy thừa bậc chẵn số âm số dương * Lũy thừa bậc lẻ số âm số âm n  a an n a x    n x   a , b  ; b 0  b  b b * Nếu ta có:  1 13     2  Ví dụ Tính:   1  2 14 1        1  2  7 16 16     2  1  7 49        12       0,   0,03125 II Các tính chất lũy thừa 1) Tích hai lũy thừa số n m nm * x x x (Cùng số Số mũ tổng hai số mũ)  1  1  1          Ví dụ       2) Thương hai lũy thừa số khác m n m n * x : x x xm x m  n n Hoặc * x  x 0; m n  (Cùng số Số mũ tích số mũ)  3  3  3  3  3    :       :       Ví dụ           3) Lũy thừa lũy thừa x  * m n x m n (Cùng số Số mũ tích số mũ)   2   3              2 Ví dụ  Viết số 16 thành lũy thừa : 4) Lũy thừa tích  x.y  * n x n y n  2.10  Ví dụ a)   16  2 4.3 212 (bằng tích lũy thừa) 2 4.10 16.10000 160000 3.1253  8.125  1000 b) 5) Lũy thừa thương n  x xn    y yn *   y 0  (bằng thương lũy thừa) 4    16  2      81  Ví dụ a)    21 3 3  21        27    b) III Lũy thừa với số mũ âm * * Với x   ; n     n  ta có: 1 2   32 ; Ví dụ 2 x n  xn 10   1  0,0001 10000 10  2  3            3.4 3.16 48 4 Các tính chất lũy thừa mở rộng với số mũ m , n   BÀI TẬP Bài 46 Tính: a)   0,     0,      2  3  2               c)      2,7       2,7      e)   3  3         1,031 b)     3   0,  :   0,    172  :  172      d) 10 12 15              :         2   2 :   2         f) 8 g) 14  : 412 : 16 :    :  27 h) 5 : 81    90    15 k)   m)  790 l)  : 79   0,125  512   1 10 a c = Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số b d 32  0, 375  4 o) 1   0, 25  1024   1  1 11  1  6  1         :     n)        :      1.4 : a  thức số sau dạng lũy thừa n Bài 47 Viết biểu a c = Þ ad = bc b d a   ; n   2  1   9.33 a) 81    3    2 c) ad = bc Þ e) 99  1; a c a b d c d b = ; = ; = ; = b d c d b a c a 2 3  d) 2 2 3 5.27 m chữ số 210.331  40.36 11 31 41 c)  2.211 b) 16 d) a c a c a +c a - c = Þ = = = b d b d b +d b - d e) a   b    a  a c e a +c +e a - c +e = = = = b d f b +d + f b- d + f a c e ma nc ke ma + nc + ke = = = = = = b d f mb nd kf mb + nd + kf  3     a    a2    b       b         Bài 49 Tính nhanh:   2n b) n A   1   1   1  n 1  n       B  10000  12 10000  2 10000  3 10000  1000  1  1  1  1  C          3  125   125   125   125 25  c)  1000   1000  1000    1000  10  d) D 1999 Bài 50 999 … 9+ ⏟ 9999  1; Bài 48 Tính giá trị biểu thức: 317 8111 10 15 a) 27 a)   :  161  b) với 3  3   b   a   b a) Chứng minh rằng: b) Áp dụng để tính: a  b2  a  b   a  b  với a; b   2 2 2 2 * 100  99  98  97  96  95     30 *    28  26    2  29  27  252    12  Bài 51 Tính số a , b, c biết: b  a  b   40 1 a.b  ; b.c  ; c.a  b) Bài 52 Chứng minh rằng: a) a  a  b  24 x a) 5  y2  1999  53   125 b)  93 3 c)  33  1999  x  y   x  y  1999 64 125 Bài 53 Tìm x, biết: 10  5  5   : x     a)   8  5  9 x :     b)      x  5 d) c) x   2x  3 e)  3x   g)  3x   i)  27  64  2x   f) 36  2x  5 h) 4   x  1  2x  1 j) 1 25 4096 Tìm x  , biết: x 1 k) 64 27 3 x m) n) x 1 l) 625  32 4 x   2 x    0,     64 p)  x2 x q)  2.7 345 x 1 x 3 r)  810 Bài 54 Tìm x , y , z biết: x  2x s) 16 4  x  1   x  y     y  z  a)  2x  3 b) 1998   3y  5 2000 0  x  y     x  y  24  c) Bài 55 So sánh: 2 0 0 8