Chuyên đề điểm – đường thẳng – đoạn thẳng – tam giác (106 trang)

1 CHUYÊN ĐỀ ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG – ĐOẠN THẲNG – TAM GIÁC PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 1.Vị trí điểm đường thẳng - Điểm A thuộc đường thẳng a , kí hiệu A Ỵ a - Điểm B không thuộc đường thẳng a , kí hiệu B Ï a Ba điểm thẳng hàng chúng thuộc đường thẳng, ba điểm không thẳng hàng chúng khơng thuộc đường thẳng Trong ba điểm thẳng hàng có điểm điểm nằm hai điểm lại Nếu có điểm nằm hai điểm khác ba điểm thẳng hàng Quan hệ ba điểm thẳng hàng mở rộng thành nhiều (4,5, 6, ) điểm thẳng hàng II ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM 1.Có đường thẳng có đường thẳng qua hai điểm A B Có ba cách đặt tên đường thẳng: - Dùng chữ in thường: ví dụ a - Dùng hai chữ in thường: ví dụ xy - Dùng hai chữ in hoa: ví dụ AB 3.Ba vị trí có hai đường thẳng phân biệt: - Hoặc khơng có điểm chung (gọi hai đường thẳng song song) - Hoặc có điểm chung (gọi đường thẳng cắt nhau) 4.Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng ta cần chứng tỏ chúng có hai điểm chung Ba (hay nhiều) đường thẳng qua điểm gọi ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta xác định giao điểm đường thẳng chứng minh đường thẳng lại qua giao điểm III TIA Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị chia điểm O gọi tia gốc O Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối Quan hệ điểm nằm hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau: Xét điểm A, O, B thẳng hàng - Nếu OA OB đối gốc O nằm A B - Ngược lại O nằm A B thì: + Hai tia OA, OB đối + Hai tia AO, AB trùng nhau; hai tia BO, BA trùng IV ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, CỘNG ĐỘ DÀI HAI ĐOẠN THẲNG Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A , điểm B tất điểm nằm A B Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số dương AB = CD Û AB CD có độ dài AB < CD Û AB ngắn CD AB > CD Û AB dài CD 4.Điểm nằm hai điểm: Nếu điểm M nằm điểm A điểm B AM + MB = AB Ngược lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B Nếu AM + MB ¹ AB điểm M khơng nằm A B Nếu điểm M nằm hai điểm A B ; điểm N nằm hai điểm M B AM + MN + NB = AB V VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI Trên tia Ox vẽ điểm M cho OM = a (đơn vị dài) Trên tia Ox , OM = a, ON = b , < a < b hay OM < ON điểm M nằm hai điểm O N Trên tia Ox có điểm M , N , P ; OM = a; ON = b; OP = c ; < a < b < c hay OM< ON < OP điểm N nằm hai điểm M P VI TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG Trung điểm đoạn thẳng điểm nằm hai đầu đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA = MB = Nếu M nằm hai đầu đoạn thẳng AB MA = AB AB M trung điểm AB Mỗi đoạn thẳng có trung điểm VII TAM GIÁC Định nghĩa A Tam giác ABC hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC , AC ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng Kí hiệu ABC Các yếu tố tam giác Tam giác ABC có: + Ba đỉnh là: A, B, C B C + Ba cạnh là: AB, BC , AC  + Ba góc ABC , BAC , ACB Để vẽ tam giác ABC có độ dài cạnh cho trước, ta làm sau: Bước Vẽ đoạn thẳng AB có độ dài cạnh cho trước; Bước Vẽ đỉnh C (thứ ba) giao điểm hai cung trịn có tâm hai đỉnh A B vẽ bán kính độ dài hai cạnh cịn lại B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Bài toán trồng thẳng hàng - Các thẳng hàng nằm đường thẳng - Giao điểm hai hay nhiều đường thẳng vị trí thỏa mãn toán Bài tập Có 10 cây, trồng thành hàng cho hàng có Hướng dẫn Theo hình 11 ( điểm hình vẽ ) Hình trồng thành hàng cho hàng có Bài tập Có cây, Hướng dẫn Theo hình 12 ( điểm hình vẽ ) Hình Bài tập Hãy vẽ sơ2 đồ trồng 10 thành hàng, hàng (Giải cách) Hướng dẫn Cách Cách Cách Cách Dạng 2: Đếm số đoạn thẳng (đường thẳng) tạo thành từ điểm cho trước Cho biết có n điểm (n ∈ N n ≥ 2) Kẻ từ điểm với n  điểm lại n  đoạn thẳng (đường thẳng) Làm với n điểm nên có n  n  1 đoạn thẳng (đường thẳng) Nhưng đoạn thẳng (đường thẳng) tính lần Do số đoạn thẳng (đường thẳng) vẽ n  n  1 : đoạn thẳng (đường thẳng) Bài tập Lấy năm điểm M, N, P, Q, R, khơng có ba điểm thẳng hàng Kẻ đường thẳng qua cặp điểm Có đường thẳng tất ? Đó đường thẳng nào? Hướng dẫn Cách 1: Vẽ hình liệt kê đường thẳng (Chỉ dùng có điểm) Cách 2: Bằng cách tính: Lấy điểm ( chẳng hạn điểm M), lại điểm phân biệt ta nối điểm M với điểm cịn lại đường thẳng Với điểm cho ta có : đường × điểm Nhưng với cách làm trên, đường ta tính hai lần chẳng hạn, chọn điểm M ta nối M với N, ta có đường thẳng MN Nhưng chọn điểm N, ta nối N với M, ta có đường thẳng NM Hai đường thẳng trùng nên ta tính đường Vậy số đường thẳng vẽ : 5 10 ( đường thẳng) Bài tập Vẽ bốn đường thẳng đôi cắt Số giao điểm ( hai đường thẳng hay nhiều đường thẳng) ? Hướng dẫn Khi vẽ bốn đường thẳng xảy trường hợp sau : a) Bốn đường thẳng đồng quy : có điểm chung ( H.a) b) Có ba đường thẳng đồng quy, đường thẳng thứ tư cắt ba đường thẳng : có điểm ( H.b) c) Khơng có ba đường thẳng đồng quy (đơi cắt nhau) : có điểm ( H.c) a) b) c) Hình Bài tập 3: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng Số giao điểm đường thẳng bao nhiêu? Hướng dẫn Bài tốn địi hỏi phải xét đủ trường hợp: Hình a) Bốn đường thẳng đồng quy: có giao điểm (H4a) b) Có ba đường thẳng đồng quy: - Có hai đường thẳng song song: giao điểm (H4b) - Khơng có hai đường thẳng song song: giao điểm (H4c) b) Khơng có ba đường thẳng đồng quy Hình - Bốn đường thẳng song song: giao điểm (H5a) - Có ba đường thẳng song song: giao điểm (H5b) - Có hai cặp đường thẳng song song: giao điểm (H5c) - Có cặp đường thẳng song song: giao điểm (H5d,e) - Khơng có hai đường thẳng song song: giao điểm (H5g) Bài tập 4: Cho n điểm (n ³ 2) Nối cặp hai điểm n điểm thành đoạn thẳng a) Hỏi có đoạn thẳng n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng? b) Hỏi có đoạn thẳng n điểm có ba điểm thẳng hàng? c) Tính n biết có tất 1770 đoạn thẳng Hướng dẫn a) Chọn điểm Nối điểm với điểm n - điểm lại, ta vẽ n - đoạn thẳng Nhưng đoạn thẳng tính hai lần, tất có n(n - 1) đoạn thẳng b) Tuy hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, số phận đoạn thẳng phải đếm khơng thay đổi, có c) Ta có n(n - 1) đoạn thẳng n(n - 1) = 1770 Do đó: n(n - 1) = 1770.2 = 22.3.5.59 = 59.60 Suy n = 60 Bài tập 5: Cho n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tính n ? Hướng dẫn Ta có n(n - 1) = 105 nên n(n - 1) = 210 = 2.3.5.7 = 15.14 Vậy n = 15 Bài tập 6: Cho 20 điểm, có a điểm thẳng hàng Cứ điểm, ta vẽ đường thẳng Tìm a , biết vẽ tất 170 đường thẳng Hướng dẫn Giả sử 20 điểm, khơng có điểm thẳng hàng Khi đó, số đường thẳng vẽ là: 19.20 : = 190 Trong a điểm, giả sử điểm thẳng hàng Số đường thẳng vẽ là: ( a - 1) a : Thực tế, a điểm ta vẽ đường thẳng Vậy ta có: 190 - (a - 1)a : +1 = 170 Þ a =7 Bài tập 7 a) Cho bốn điểm A1,A2,A3,A khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta kẻ đường thẳng Có đường thẳng? b) Cũng hỏi với điểm,10 điểm? Hướng dẫn a) Qua A1 kẻ đường thẳng A1A2 , A1A3 , A1A4 Qua A2 kẻ đường thẳng A2 A3, A2A4 Qua A3 kẻ đường thẳng A3 A4 Qua A4 khơng cịn kẻ thêm đường thẳng Vậy có tất 3+2+1=6 đường thẳng b) Nếu cho điểm A1, A2 , A3 ,A4 , A5 khơng có điểm thẳng hàng (0,25) Qua A1 kẻ đường thẳng A1A2 , A1A3 , A1A4, A 1A5 Qua A2 kẻ đường thẳng A3A2 , A2A5 , A2A4 Qua A3 kẻ đường thẳng A4 A3, A3A5 Qua A4 kẻ đường thẳng A4A5 Qua A5 khơng cịn kẻ thêm đường thẳng Vậy có tất 4+ 3+2+1=10 đường thẳng Lập luận số đường thẳng kẻ cho 10 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng : 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 đường thẳng Bài tập a) Có 25 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi vẽ tất đường thẳng? Nếu thay 25 điểm n điểm ( n  N n 2 ) số đường thẳng bao nhiêu? b) Cho 25 điểm có điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ tất đường thẳng? c) Cho m điểm ( m  N ) khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết tất có 120 đường thẳng Tìm m Hướng dẫn a) Kể từ điểm với điểm lại vẽ 24 đường thẳng Làm với 25 điểm nên có 24.25 600 đường thẳng Nhưng đường thẳng tính lần Do số đường thẳng thực có là: 600 : 300 đường thẳng Lập luận tương tự có n điểm có: n. n  1 : (đường thẳng) b) Nếu 25 điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng số đường thẳng vẽ 300 đường thẳng (câu a) Với điểm, khơng có điểm thẳng hàng vẽ được: 8.7 : 28 đường thẳng Còn điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng Do số đường thẳng bị giảm là: 28  27 (đường thẳng) Số đường thẳng cần tìm là: 300  27 273 đường thẳng c) Ta có: m  m  1 : 120  m  m  1 120.2  m  m  1 240  m  m  1 16.15  m 15 Bài tập a) Cho 31 đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng qua điểm Tính số giao điểm có b) Cho m đường thẳng ( m  N ) hai đường thẳng cắt nhau, ba đường thẳng qua điểm Biết số giao điểm đường thẳng 190 Tính m Hướng dẫn a) Mỗi đường thẳng cắt 30 đường thẳng lại tạo thành 30 giao điểm Có 31 đường thẳng nên có 30.31 930 giao điểm, giao điểm tính hai lần nên có: 930 : 465 (giao điểm) Nếu thay 31 n ( n  N n 2 ) số giao điểm có là: n  n  1 : (giao điểm) b) m  m  1 : 190  m(m  1) 380  m(m  1) 20.19 Vậy m 20 Bài tập 10 Cho năm điểm A, B, C, D, E phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đoạn thẳng Hỏi tất có đoạn thẳng? Hướng dẫn Chọn điểm Nối điểm với điểm điểm lại, ta vẽ đoạn thẳng Làm lần (vì có điểm) nên ta có 5.4 =20 đoạn thẳng Nhưng đoạn thẳng tính hai lần, tất có 20 : = 10 đoạn thẳng Bài tập 11 Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đoạn thẳng Hỏi có tất đoạn thẳng? Hướng Bài tập 12 Cho năm điểm phân biệt, có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đoạn thẳng Hỏi có tất đoạn thẳng? Bài tập 13 Cho bốn điểm phân biệt, có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đoạn thẳng Hỏi có tất đoạn thẳng? Bài tập 14: Cho 20 điểm phân biệt có điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi từ 20 điểm vẽ tất đường thẳng? Hướng dẫn Nếu 20 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ Trong điểm khơng có ba điểm thẳng hàng tạo thành 20.(20  1) 190 (Đường thẳng) 7.(7  1) 21 (Đường thẳng) Vì điểm thẳng hàng tạo thành đường thẳng nên số đường thẳng giảm 21 - = 20 (Đường thẳng) Vậy có 190 – 20 = 170 (Đường thẳng) Bài tập 15: a) Cho 15 điểm Nối cặp hai điểm 15 điểm thành đoạn thẳng Tính số đoạn thẳng mà mút thuộc 15 điểm cho b) Với cách nối trên, có 60 điểm có đoạn thẳng.( Mỗi đoạn thẳng có mút thuộc 60 điểm cho) Hướng dẫn a) Số đoạn thẳng: 15 14 : = 105 b) Tổng quát số đoạn thẳng là: n = 60 nên số đoạn thẳng là: n(n  1) ( n số điểm) 60(60  1) = 1770 ( đoạn) Bài tập 16: Cho 1000 điểm phân biệt, có điểm thẳng hàng Hỏi có đường thẳng tạo hai 1000 điểm đó? Hướng dẫn Số đường thẳng tạo 1000 điểm phân biệt là: 1000.999 đường thẳng Số đường thẳn tạo điểm không thẳng hàng là: 3.2 3 đường thẳng Theo có điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm là: – = đường thẳng Vậy số đường thẳng tạo thành là: 1000.999  499498 ( đường thẳng) Bài tập 17: Cho 2013 điểm có 13 điểm thẳng hàng Hỏi: a) Có đường thẳng qua hai điểm trên? b) Có đoạn thẳng qua hai điểm trên? Hướng dẫn 10 a) Qua 2013 điểm khụng có điểm thẳng hàng ta vẽ 2013.2012:2=2025078 ( đường thẳng) Do 13 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bớt là: 13.12:2-1=77 ( đường thẳng) => Qua 2013 điểm đú có 13 điểm thẳng hàng ta vẽ 2025078-77=2025001( đường thẳng) b) Vì số đoạn thẳng tạo thành khụng phụ thuộc vào số điểm thẳng hàng nên Qua 2013 điểm có 13 điểm thẳng hàng ta vẽ 2013.2012:2=2025078 ( đoạn thẳng) Bài tập 18: Trên tia Ox vẽ điểm M1;M2;M3 Nếu mặt phẳng chứa tia Ox vẽ thêm điểm M4; M5; M6; ; M101; M102 Trong điểm M1; M2; M3; M4; ; M101; M102 có điểm thẳng hàng qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Có tất đường thẳng thế? Tại sao? Hướng dẫn Giả sử điểm M1; M2; M3; M4; ; M101; M102 (1) khơng có ba điểm thẳng hàng Từ điểm (1) ta vẽ 101 đường thẳng qua điểm lại (1) Làm với 102 điểm ta 101.102 = 10302 đường thẳng Nhưng đường thẳng tính lần nên tất có 10302 : = 5151 (đường thẳng) Vì (1) có ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm – = Vậy số đường thẳng cần tìm là: 5151 – = 5149 (đường thẳng) Dạng 3: Tính số giao điểm đường thẳng * Hai đường thẳng cắt điểm (1 giao điểm) * Nếu có n đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng đồng quy => Số giao điểm là: n(n - 1) * Chú ý: Nếu biết số giao điểm tìm số đường thẳng Bài tập 1: Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt khơng có ba đường thẳng qua điểm Tính số giao điểm chúng Hướng dẫn - Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng lại nên tạo 100 giao điểm - Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao điểm - Do giao điểm tính hai lần nên số giao điểm :