Skkn một số bất đẳng thức nâng cao

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG TỔ HÀNH CHÁNH ĐỀ TÀI: Người thực : NGUYỄN VŨ THANH Năm học 2009-2010 skkn Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh MỤC LỤC I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Một số kết đạt II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG Chương VI: BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) Chương VII: MỘT MỞ RỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI Chương VIII: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT ĐĂNG THỨC skkn Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Từ tham dự hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay,được học tập chuyên đề giảng viên , chun gia Tốn Bộ trình bày động viên thầy Trương Thành Phú chuyên viên mơn Tốn Sở Giáo dục đào tạo Tiền Giang chúng tơi có tâm huyết cố gắng thực hồn chỉnh , cụ thể hố chuyên đề phù hợp với trình độ học sinh tỉnh nhà để đóng góp vào thành tích chung Tỉnh kỳ thi HSG cấp khu vực cấp quốc gia Trong năm gần mơn Tốn tỉnh Tiền Giang có tiến đạt số thành tích đáng kể kỳ thi HSG khu vực Nhưng gần Bộ thay đổi mạnh quy chế thi HSG cấp Quốc gia khơng cịn phân chia hai bảng A,B trước mà có bảng thống chung tồn quốc Đề thi khó số lượng giải gây khó khăn cho Giáo viên học sinh mơn Tốn tỉnh nhà Trong điều kiện khó khăn việc tìm tài liệu viết chun đề việc cần thiết tình hình nay.Được ủng hộ thầy cô tổ Tốn trường THPT Chun Tiền Giang chúng tơi thực viết chuyên đề :” Một số Bất đẳng thức nâng cao” Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống phân loại kiến thức tập có sử dụng số bất đẳng thức nâng cao mà học sinh chuyên Toán học như: Bất đẳng thức Côsi mở rộng , Bất đẳng thức Bunhiacopxki mở rộng , Bất đẳng thức Jensen , Bất đẳng thức Tsêbưsep , Bất đẳng thức Schwarz ,… Giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức biết vận dụng vào việc giải toán đại số đồng thời định hướng suy nghĩ tư toán học khả vận dụng sáng tạo toán skkn Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh Nhiệm vụ nghiên cứu: Trình bày nội dung bất đẳng thức nâng cao sau chứng minh hướng dẫn giải tập áp dụng Tùy theo nội dung Bất đẳng thức có liên hệ với bất đẳng thức cịn lại có sử dụng nhiều đến phương pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức mà kỳ thi học sinh giỏi tốn thường hay gặp Vì chun đề nâng cao bất đẳng thức nên khơng trình bày phương pháp chứng minh bất đẳng thức , coi học sinh chuyên Toán phải nắm để làm sở cho việc học chuyên đề Rèn luyện tư tốn thơng qua giải tập chứng minh bất đẳng thức áp dụng tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ đồng thời trao đổi học tập kinh nghiệm với thầy mơn Tốn tỉnh Tiền Giang Phương pháp nghiên cứu -Dựa vào chuyên đề học Hà Nội tài liệu tất đợt bồi dưỡng để trình bày hệ thống Bất đẳng thức nâng cao thường gặp kỳ thi học sinh giỏi Toán -Hướng dẫn học sinh Đội tuyển tìm tài liệu có liên quan,phân loại tập,nhận xét cách giải, tạo tình có vấn đề để HS trao đổi nghiên cứu -Hệ thống xếp dạng tập từ dễ đến khó có lời giải cụ thể -Phương pháp phân tích:giúp học sinh nắm rõ chất vấn đề , lựa chọn phương pháp giải phù hợp đồng thời mở rộng tương tự hoá toán 5.Một số kết đạt skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh Giúp cho học sinh đội tuyển có thêm phương pháp tài liệu cần thiết để giải tập Bất đẳng thức áp dụng tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ Qua chuyên đề giúp học sinh khắc sâu thêm kiến thức Bất đẳng thức đạo hàm Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để viết chuyên đề nâng cao khác II.NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1.Các tập Bất đẳng thức áp dụng tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ thường gặp đề thi học sinh giỏi cấp Quốc Gia gần đây.Với mong muốn có chuyên đề bất đẳng thức phong phú nên viết chuyên đề : ” Một số Bất đẳng thức nâng cao” để phục vụ giảng dạy cho học sinh Đội tuyển tỉnh nhà Đề tài chia làm chương: Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG Chương VI: BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) Chương VII: MỘT MỞ RỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI Chương VIII: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT ĐĂNG THỨC Trong chương sau phần trình bày Bất đẳng thức phần chứng minh tập áp dụng Dù cố gắng nhiều đề tài không tránh khỏi sai sót , mong nhận đóng góp từ đồng nghiệp mơn Tốn tỉnh nhà Sau trình bày phần nội dung đề tài skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN I.1.Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) có f // ( x) > với ∀x ∈ (a; b) ( hàm số có đồ thị lõm (a;b)) Với c ∈ (a; b) y = f / (c)( x − c) + f (c) phương trình tiếp tuyến (C) M(c,f(c) f ( x) ≥ f / (c)( x − c) + f (c) , ∀x ∈ (a; b) (1) (Đường cong ( C) ln phía tiếp tuyến M với c ∈ (a; b) ) Chứng minh: Với c ∈ (a; b) i/ Với x = c (1) xảy dấu ii/ Với x < c : Áp dụng định lí Lagrange : f ( x ) − f (c ) = f / (d ) , d ∈ ( x; c) x−c f / tăng (a;b) nên f / (d ) < f / (c) ⇒ f ( x) − f (c) > ( x − c) f / (c) (do x < c) iii/Tương tự với x > c ta có f ( x) − f (c) > ( x − c) f / (c) Vậy f ( x) ≥ f / (c)( x − c) + f (c) , ∀x ∈ (a; b) Chú ý : Nếu f / / ( x) < ∀x ∈ (a; b) (1) đổi chiều ( đồ thị ( C) lồi (a;b)) I.2.Định lý 2:(BĐT Jensen) Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp (a ;b) a/ Nếu f // ( x) > với ∀x ∈ (a; b) ∀xi ∈ ( a; b) , i = 1, 2, , n ∀α i ∈ (0;1) thỏa n ∑α i =1 i = ta có : f (α1 x1 + α x2 + + α n xn ) ≤ α1 f ( x1 ) + α f ( x2 ) + + α n f ( xn ) (2) Dấu xảy x1 = x2 = = xn b/ Nếu f // ( x) < với ∀x ∈ (a; b) (2) đổi chiều Chứng minh: skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh n a/ Đặt c = ∑ α i xi ∈ (a; b) Theo định lí ta có f ( x) ≥ f / (c)( x − c) + f (c) , ∀x ∈ (a; b) i =1 Thay x= xi : f ( xi ) ≥ f / (c)( xi − c) + f (c) , ∀x ∈ (a; b) ⇒ α i f ( xi ) ≥ f / (c)α i xi − cf / (c)α i + α i f (c) n Lấy tổng ta được: ∑α f ( x ) ≥ f i =1 n c = ∑α i xi Vì i =1 ∑α i =1 ∑α f ( x ) ≥ cf i =1 i n n i i i / i / n n n i =1 i =1 (c)∑α i xi − cf (c)∑α i + f (c)∑α i / i =1 = nên n n i =1 i =1 (c) − cf (c) + f (c) ⇒ ∑α i f ( xi ) ≥ f (∑α i xi ) / Dấu xảy xi = c hay x1 = x2 = = xn b/ Chứng minh tương tự Đặc biệt : Nếu α1 = α = = α n = f( α1 + α + + α n n )≤ BĐT (2) thành : n f (α1 ) + f (α ) + + f (α n ) (3) n Chú ý : Bằng quy nạp ta CM (3) với n=2 (3) với n tự nhiên lớn I.3.BĐT Jensen dạng tổng quát ; Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp (a ;b) a/ Nếu f // ( x) > với ∀x ∈ (a; b) ∀xi ∈ ( a; b) , i = 1, 2, , n ∀α i > ta có : f( α1 x1 + α x2 + + α n xn α1 f ( x1 ) + α f ( x2 ) + + α n f ( xn ) )≤ α1 + α + + α n α1 + α + + α n skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn (4) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh b/ Nếu f // ( x) < với ∀x ∈ (a; b) (4) đổi chiều Chứng minh: Áp dụng BĐT Jensen với β i = αi , ∀i ∑α k I.4 Chứng minh BĐT cổ điển cách áp dụng BĐT Jensen: a/BĐT CôSi : Cho n số dương a1 , a2 , , an ta có a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an , dấu n xảy a1 = a2 = = an Chứng minh: Xét hàm số f(x)=lnx với x > Ta có f / ( x) = // , f ( x) = − < ∀x > Áp dụng BĐT Jensen ta có : x x f (a1 ) + f (a2 ) + + f (an ) a + a + + an ln a1 + ln a2 + + ln an a + a + + an )⇒ ≤ f( ≤ ln n n n n a + a + + an ⇒ ln n a1a2 an ≤ ln n a + a + + an n ≥ a1a2 an , dấu xảy a1 = a2 = = an Vậy n b/BĐT Bunhiacopxki: Xét hàm số f ( x) = x có f // ( x) = > Áp dụng BĐT Jensen dạng tổng quát (4) ta có: 2 2 ⎛ α1 x1 + α x2 + + α n xn ⎞ α1 x1 + α x + + α n x n ⎜ ⎟ ≤ + + + α α α α1 + α + + α n n ⎝ ⎠ ⇔ (α1 x1 + α x2 + + α n xn ) ≤ (α1 + α + + α n )(α1 x12 + α x 22 + + α n x n2 ) skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Trường THPT Chuyên Tiền Giang Đặt xi = bi α i = bi2 Nguyễn Vũ Thanh ta có : ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) Dấu xảy ≤ ( a12 + a22 + + an2 )( b12 + b22 + + bn2 ) x1 = x2 = = xn ⇔ a1 a2 a = = = n b1 b2 bn c/BĐT Holder Cho > 0; bi > (i = 1,2, , n) ; p > , q > p ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ bi ≤ ⎜ ∑ aip ⎟ ⎜ ∑ biq ⎟ ∑ i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ n n n q 1 + = Ta có : p q anp a1p Dấu xảy : q = = q b1 bn Chứng minh: Ta có p > Xét hàm số f ( x) = x p , x > Ta có f // ( x) = p ( p − 1) x p −2 , ∀x > Áp dụng BĐT Jensen dạng tổng quát (4) ta có: p p p p ⎛ α1 x1 + α x2 + + α n xn ⎞ α1 x1 + α x + + α n x n ⎜ ⎟ ≤ α1 + α + + α n ⎝ α1 + α + + α n ⎠ 1− ⇔ α1 x1 + α x2 + + α n xn ≤ (α1 + α + + α n ) ⇔ ∑ α i xi ≤ ( ∑ α i ) q ( ∑α x ) p i i p (α1 x1 + α x + + α n x n ) p skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn p p p p C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh Chọn α i = b ; xi = a b 1− q i i q i Ta có p ⎛ p⎞ ⎛ q⎞ ≤ a b a b ∑ i i ⎜∑ i ⎟ ⎜∑ i ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ n n n q I.5.Bài tập áp dụng : r n ⎛ n ⎞ r ⎜ ∑ xi ⎟ ∑ xi ⎜ i =1 ⎟ ≤ i =1 Bài 1:Cho xi > 0, r > CMR: ⎜ n ⎟ n ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Hướng dẫn :Xét hàm số f ( x) = x r , x > f / / ( x ) = r ( r − 1) x r − , ∀x > Ta có ⎛ ∑ xi ⎞ ∑ f ( xi ) ⎛ ∑ xi ⎞ ∑ xir ⇒⎜ Áp dụng BĐT Jensen ta có : f ⎜ ⎟≤ ⎟ ≤ n n n n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r Chú ý : Nếu < r < BĐT đổi chiều n q ∑x Bài 2: Cho xi > , p ≥ q > ; p, q ∈ N CMR: Hướng dẫn : Áp dụng với r = ⎛ ⎜ ∑ yi ⎜ i =1 ⎜ n ⎜ ⎝ n p q ⎞ ⎟ ⎟ ≤ ⎟ ⎟ ⎠ p q i ⎛ q y ∑ ⎜ ∑ xi i =1 ⇒ ⎜ i =1 n ⎜ n ⎜ ⎝ n n p q n q i i =1 ≤ n p ∑x p i i =1 n p ; yi = xiq ta có : q ⎞ ⎟ ⎟ ≤ ⎟ ⎟ ⎠ n ∑x i =1 p i n n ⇒ q ∑x i =1 n q i n ≤ p ∑x 10 skkn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn i =1 n p i