(SKKN CHẤT 2020) một số bất ĐẲNG THỨC NÂNG CAO

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG TỔ HÀNH CHÁNH ĐỀ TÀI: Người thực : NGUYỄN VŨ THANH Năm học 2009-2010 download by : skknchat@gmail.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh MỤC LỤC I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Một số kết đạt II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG Chương VI: BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) Chương VII: MỘT MỞ RỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI Chương VIII: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT ĐĂNG THỨC download by : skknchat@gmail.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Từ tham dự hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay,được học tập chuyên đề giảng viên , chuyên gia Toán Bộ trình bày động viên thầy Trương Thành Phú chun viên mơn Tốn Sở Giáo dục đào tạo Tiền Giang chúng tơi có tâm huyết cố gắng thực hoàn chỉnh , cụ thể hoá chuyên đề phù hợp với trình độ học sinh tỉnh nhà để đóng góp vào thành tích chung Tỉnh kỳ thi HSG cấp khu vực cấp quốc gia Trong năm gần mơn Tốn tỉnh Tiền Giang có tiến đạt số thành tích đáng kể kỳ thi HSG khu vực Nhưng gần Bộ thay đổi mạnh quy chế thi HSG cấp Quốc gia khơng phân chia hai bảng A,B trước mà có bảng thống chung tồn quốc Đề thi khó số lượng giải gây khó khăn cho Giáo viên học sinh mơn Tốn tỉnh nhà Trong điều kiện khó khăn việc tìm tài liệu viết chuyên đề việc cần thiết tình hình nay.Được ủng hộ thầy tổ Tốn trường THPT Chun Tiền Giang thực viết chuyên đề :” Một số Bất đẳng thức nâng cao” Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống phân loại kiến thức tập có sử dụng số bất đẳng thức nâng cao mà học sinh chuyên Toán học như: Bất đẳng thức Côsi mở rộng , Bất đẳng thức Bunhiacopxki mở rộng , Bất đẳng thức Jensen , Bất đẳng thức Tsêbưsep , Bất đẳng thức Schwarz ,… Giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức biết vận dụng vào việc giải toán đại số đồng thời định hướng suy nghĩ tư toán học khả vận dụng sáng tạo toán download by : skknchat@gmail.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh Nhiệm vụ nghiên cứu: Trình bày nội dung bất đẳng thức nâng cao sau chứng minh hướng dẫn giải tập áp dụng Tùy theo nội dung Bất đẳng thức có liên hệ với bất đẳng thức cịn lại có sử dụng nhiều đến phương pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức mà kỳ thi học sinh giỏi tốn thường hay gặp Vì chun đề nâng cao bất đẳng thức nên không trình bày phương pháp chứng minh bất đẳng thức , coi học sinh chuyên Toán phải nắm để làm sở cho việc học chuyên đề Rèn luyện tư tốn thơng qua giải tập chứng minh bất đẳng thức áp dụng tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ đồng thời trao đổi học tập kinh nghiệm với thầy mơn Tốn tỉnh Tiền Giang Phương pháp nghiên cứu -Dựa vào chuyên đề học Hà Nội tài liệu tất đợt bồi dưỡng để trình bày hệ thống Bất đẳng thức nâng cao thường gặp kỳ thi học sinh giỏi Toán -Hướng dẫn học sinh Đội tuyển tìm tài liệu có liên quan,phân loại tập,nhận xét cách giải, tạo tình có vấn đề để HS trao đổi nghiên cứu -Hệ thống xếp dạng tập từ dễ đến khó có lời giải cụ thể -Phương pháp phân tích:giúp học sinh nắm rõ chất vấn đề , lựa chọn phương pháp giải phù hợp đồng thời mở rộng tương tự hoá toán 5.Một số kết đạt download by : skknchat@gmail.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh Giúp cho học sinh độ i tuyển có thêm phương pháp tài liệu cần thiết để giải tập Bất đẳng thức áp dụng tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ Qua chuyên đề giúp học sinh khắc sâu thêm kiến thức Bất đẳng thức đạo hàm Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để viết chuyên đề nâng cao khác II.NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1.Các tập Bất đẳng thức áp dụng tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ thường gặp đề thi học sinh giỏi cấp Quốc Gia gần đây.Với mong muốn có chuyên đề bất đẳng thức phong phú nên viết chuyên đề : ” Một số Bất đẳng thức nâng cao” để phục vụ giảng dạy cho học sinh Đội tuyển tỉnh nhà Đề tài chia làm chương: Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG Chương VI: BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) Chương VII: MỘT MỞ RỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI Chương VIII: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT ĐĂNG THỨC Trong chương sau phần trình bày Bất đẳng thức phần chứng minh tập áp dụng Dù cố gắng nhiều đề tài không tránh khỏi sai sót , mong nhận đóng góp từ đồng nghiệp mơn Tốn tỉnh nhà Sau trình bày phần nội dung đề tài download by : skknchat@gmail.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN I.1.Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) có f // (x) > với ∀x ∈(a; b) ( hàm số có đồ thị lõm (a;b)) Với c ∈(a;b) y = f / (c)(x − c) + f (c) phương trình tiếp tuyến (C) M(c,f(c) (x ) ≥ f / (c)(x − c) + f (c) , ∀x ∈(a;b) (1) f (Đường cong ( C) ln phía tiếp tuyến M với c ∈(a;b) ) Chứng minh: Với c ∈(a;b) i/ Với x = c (1) xảy dấu ii/ Với x < c : Áp dụng định lí Lagrange : f (x) − f (c) = f / (d ) , d ∈ (x;c) x − c f / tăng (a;b) nên f / (d ) < f / (c) ⇒ f (x) − f (c) > (x − c) f / (c) (do x < c) iii/Tương tự với x > c ta có f (x) − f (c) > (x − c) f / (c) Vậy f (x) ≥ f / (c)(x − c) + f (c) , ∀x ∈(a;b) Chú ý : Nếu f / / (x) < ∀x ∈ (a;b) (1) đổi chiều ( đồ thị ( C) lồi (a;b)) I.2.Định lý 2:(BĐT Jensen) Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp (a ;b) a/ Nếu f // (x) > với ∀x ∈ (a;b) ∀xi ∈ ( a ;b) ,i = 1,2, ,n ∀ αi ∈ (0;1) thỏa n ∑ αi = ta có : f (α1 x1 + α x2 + + αn xn ) ≤ α1 f (x1) + α2 f (x2 ) + + αn f (xn ) (2) i =1 Dấu xảy x1 = x2 = = xn b/ Nếu f // (x) < với ∀x ∈(a;b) (2) đổi chiều Chứng minh: download by : skknchat@gmail.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang n a/ Đặt c = ∑αi xi i=1 Thay x= xi : f (x ) ≥ f / ( c)(x − c) + f ( c) , ∀x ∈ (a;b) ⇒ α i Lấy tổng ta được: ∑ α f (x ) ≥ f / ( c) α x i ∑ i i i n Vì c = ∑ α x i i i=1 n ∑ α i f (xi ) ≥ cf / ( c) − cf / ( c) + f ( c) ⇒ ∑αi f (xi ) ≥ f (∑αi xi ) i =1 Dấu xảy xi = c hay b/ Chứng minh tương tự Đặc biệt : Nếu α = α2 = = αn = n BĐT (2) thành : f( Chú ý : Bằng quy nạp ta CM (3) với n=2 (3) với n tự nhiên lớn I.3.BĐT Jensen dạng tổng quát ; Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp (a ;b) a/ Nếu f // (x) > với ∀x ∈ (a; b) ∀x ∈ ( a ;b)0, ta có : f( ) (4) download by : skknchat@gmail.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang b/ Nếu f // (x) < với ∀x ∈(a; b) (4) đổi chiều Chứng minh: Áp dụng BĐT Jensen với βi = I.4 Chứng minh BĐT cổ điển cách áp dụng BĐT Jensen: a/BĐT CôSi : Cho n số dương a ,a xảy a1 = a2 = = an Chứng minh: Xét hàm số f(x)=lnx với x > Ta có f / (x) = f (a1) + f (a2 ) + + f (an ) n ⇒ ln n a a a ≤ ln n a1 + a2 + + an Vậy n b/BĐT Bunhiacopxki: Xét hàm số f (x) = x2 có αx+αx 1122 ⇔ (αx+α x 1 download by : skknchat@gmail.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang ⇒ GA(GA − a ⇒ b2 + 3GA 3GB Giả sử a ≥ b ≥ c ⇒ GA ≤ GB ≤ GC Xét hai dãy: a2 b2 ≥ GA ≥ GB a2 ⇒ c2 b2 + 3GA 3GB a2 Áp dụng hai dãy chiều b c + + ≥ 3(GA + GB + GC) GA GB GC Cách (Áp dụng BĐT Trêbưsep)Ta CM: a GA a2 + b2 + c2 GA a2 ⇒ + GA Mà b2 GB 1 2 2 2 (a + b + c ) = GA + GB + GC ≥ (GA + GB + GC) Bài 5:Cho ≤ x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ; ≤ y1 ≤ y2 ≤ ≤ yn ; ;0 ≤ z1 ≤ z2 ≤ ≤ zn CMR: ( n ∑ xk )( n ∑ yk ) ( n ∑zk ) ≤ Bài : Cho tam giác ABC CMR: n (∑ xk yk zk ) + download by : skknchat@gmail.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh a≤b≤c HD: Áp dụng BĐT Trêbưsep cho hai dãy a + h+h bc h c Áp dung a.h = b.h a Bài 7:Cho x1 , x2 , , xn > thỏa ∑ xi ≥ S = ∑ xi CMR: ∑ x3 HD:Viết S−x i i Chương VIII: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT VIII.1.Tính chất thứ tự hai dãy bất đẳng thức: VIII.1.1.Cho hai dãy chiều a1 ≤ a2 ≤ ≤ an b1 ≤ b2 ≤ ≤ bn Ta có BĐT : n ∑ ak bk k =1 Chứng minh :Dùng quy nạp ta CM Với n=2 ta có : a1b1 + a2b2 − a1b2 − a2b1 = a1 ( b1 − b2 ) − a2 ( b1 − b2 ) = (a1 − a1 )(b1 − b1 ) ≥ ⇒ a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1 Giả sử (1) với n-1 ta CM (1) với n.Giả sử ≠ i1 ik = Ta có : n a b ∑ k k =1 ik = (a b i1 + a b ) + (a b k i2 + + a b ) n in 44 download by : skknchat@gmail.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh Mà a1 n ∑ a b ≤ a b + (a b k ik 1 k + ab i1 + + a b ) ≤ a b i2 n in ∑k k k =1 Áp dụng (1) cho hai dãy a1 ≤ a2 ≤ ≤ an -bn − n a b ∑ k n+1−k ≥− a b ∑ k ik ⇒ a b ∑ k ik k =1 Tổng quát :Hai dãy (an) (bn) có thứ tự giống có ∑ ak bk Ta có BĐT : n ≥ ∑ ak bk ≤ ∑ak bi k ≤ ∑ak bn+1−k n i1 ,i2 , ,in hoán vị 1,2,…,n k =1 Tổng quát :Hai dãy (an) (bn) có thứ tự ngược có: ∑ ak bk ≤ ∑ak bi k k =1 VIII.2.Bài tập áp dụng Bài 1: Cho a, b, c tùy ý CMR : a/ a4 + b4 ≥ a3b + a b3 b/ a4 + b4 + c4 ≥ ab3 + bc3 + ca3 HD:Xét hai dãy thứ tự giống (a,b,c) (a3 ,b3 ,c3 ) Bài 2:Cho a,b,c >0 CMR: a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab 1 HD: Xét hai dãy thứ tự ngược (a2 ,b2 ,c2 ) ( a , b , Bài 3: Cho a,b,c >0 CMR: a + b + c ≤ a + b2 ( + c b + c2 a + c) c2 + a2 b )≤ a 3 +b + c bc ca ab 45 download by : skknchat@gmail.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang HD: Giả sử < a ≤ b ≤ c Xét hai dãy chiều a2 ≤ b2 ≤ c2 a2 a+b+c≤ c Cộng (1) (2) chia cho ta a + b + c ≤ Xét hai dãy chiều a3 ≤ b3 ≤ c3 a3 bc a3 bc Từ (4) (5) suy a3 bc Từ (3) (6) suy đpcm Bài 4:Cho a,b,c > CMR: HD:BĐT cần CM tương đương với : a5 + b5 c 1 + ≥ + + b c3 a3c3 a 3b3 a b c Xét hai dãy a Lại áp dụng BĐT dãy thứ tự với hai dãy a2 ≤ b2 ≤ c2 ≤b a2 b3 download by : skknchat@gmail.com + b2 c3 + Trường THPT Chuyên Tiền Giang Bài :Cho a,b,c > 0.CMR: HD: Xét a2 c b2 + a3 Bài : Cho tam giác ABC có , hb , hc ,r độ dài đường cao bán kính đường trịn nội tiếp tam giác CMR: HD:Áp dụng = 2S ; a = r + + hc BĐT cần CM tương đương với hb a + b + c3 ≥ a + 2 b + cb c a Áp dụng hai dãy thứ tự ngược (a ,b ,c3 ) ( a , b , c ) ta có đpcm Bài 7: Cho tam giác ABC có đường trịn ngoại tiếp tam giác.CMR: HD:Áp dụng Bài :Cho ba số dương a,b,c CMR: HD : Áp dụng hai dãy thứ tự giống (a ,b ,c2 ) (b + c, c + Bài 9:Cho tam giác ABC có cạnh a,b,c p nửa chu vi.CMR: ab p−c a, a + b) HD:Đặt x=a+b-c , y=b+c-a , z=c+a-b (x,y,z > ) 47 download by : skknchat@gmail.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh BĐT cần CM tương đương với : ( x + y)(x + z) x yz ⇔ x+ zx y+ xy 1 z ≥ x + y + z Giả sử x ≥ y ≥ z > Xét hai dãy x ≤ y ≤ z yz ≤ zx ≤ xy Bài 10:Cho n số dương a1 ,a2 , ,an tùy ý CMR: a a a 1 a .a a n ≥ a a 2a a3 n HD: Áp dụng hai dãy thứ tự giống (ak ) Bài 11: Giả sử x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn số y1 , y2 , , yn ∑(xi HD:Áp dụng BĐT dãy thứ tự ta có n ∑( x ∑ x i yi ≥ ∑ x i z i i i =1 Bài 12: Cho (ak) dãy số nguyên dương phân biệt (k=1,2,…,n).CMR vói n nguyên dương ta có: n a ∑ k HD:Giả sử (i1 ,i2 , ,in ) hoán vị (1,2,…,n) cho k =1 ngược ai1 < ai2 < < ain Bằng quy nạp ta CM aik Dấu xảy ak = k với k 48 download by : skknchat@gmail.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh Bài 13:Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác CMR: a b(a − b) + b 2c (b − c) + c2a(c − a) ≥ (Thi QT lần 24 ) HD:Xét hai dãy có thứ tự ngược (bc,ac,ab) (a2+bc,b2+ac,c2+ab) ta được: bc(a2 + bc) + ac(b2 + ac) + ab(c2 + ab) ≤ bc(b2 + ac) + ac(c2 + ab) + ab(a2 + bc) ⇔ a bc + b2c2 + ab 2c + a2c2 + abc2 + a2b2 ≤ b3c + abc2 + ac3 + a 2bc + a3b + ab2c ⇔ a b2 + b 2c2 + c2a2 ≤ a3b + b3c + c3a ⇔ a b(a − b) + b 2c (b − c) + c2a(c − a) ≥ Bài 14: Tồn hay khơng hốn vị ( );(bi );(ci );(di ) {1,2, ,50} cho ∑ ∑cidi5050 bi = k =1 k =1 50 HD:Đối với hai hốn vị ( );(bi ) {1,2, ,50} tổng ∑ai bi có giá trị lớn k =1 50 50 ∑k = 42925 giá trị nhỏ ∑k (50 − k) = 22100 , mà 2x22100 > 42925.Vậy k =1 k =1 không tồn Bài 15:Cho a,b,c > m,n hai số nguyên dương.CMR: a mbn + b mcn + cman ≤ am + n + bm +n + cm+n HD: Xét hai dãy có thứ tự giống (a m ,b m ,cm ) (a n ,b n ,cn ) Bài 16:Cho n số dương a1 ,a2 , , ak hai số nguyên dương m,n tùy ý CMR: a1ma2n + a2ma3n + + ak ma1n ≤ a1m+n + a2m + n + + ak m+n HD: Xét hai dãy có thứ tự giống (a1m ,a2m , ,ak m ) (a1n ,a2n , ,ak n ) Bài 17: p,q hai số dương tùy ý , a1 ,a2 , ,an n số dương tùy ý CMR với số tự nhiên k ≥ ta ln có : ak + pa + qa 49 download by : skknchat@gmail.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang k −1 HD: Gọi S vế trái BĐT trên.Ta có a Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai số ta : k −1 k −1 + a2 ( a1 Áp dụng kết 16 ta a1k a1k − a3 + a2k −2 a4 + + a4k − −2 a2 + a2k a2 ≤ a1k −1 −2 a3 + ank + a2k −1 −2 a1 ≤ a1k + + ank −1 + a2k −1 + + ank −1 Từ (1) suy (a k −1 + ak −1 Bài 18: a,b,c,d bốn số dương tùy ý CMR với số nguyên dương n ta có: an b+c+d HD:Giải tương tự 17 Bài 19:Cho n số dương a1 ,a2 , ,an dương k ta có : HD: Giải tương tự 17 −1 50 download by : skknchat@gmail.com ... :” Một số Bất đẳng thức nâng cao? ?? Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống phân loại kiến thức tập có sử dụng số bất đẳng thức nâng cao mà học sinh chuyên Toán học như: Bất đẳng thức Côsi mở rộng , Bất. .. nghiên cứu Một số kết đạt II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI... Bất đẳng thức Bunhiacopxki mở rộng , Bất đẳng thức Jensen , Bất đẳng thức Tsêbưsep , Bất đẳng thức Schwarz ,… Giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức biết vận dụng vào việc giải toán đại số đồng