Chuyên đề biện luận số nghiệm của phương trình

CHỦ ĐỀ 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Dạng 1: Dựa vào bảng biến thiên đồ thị để biện luận số nghiệm phương trình Bài tốn: Biện luận số nghiệm phương trình: F ( x; m ) = theo tham số m dựa vào đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Phương pháp giải:  Bước 1: Biến đổi phương trình F ( x; m ) = dạng f ( x ) = g ( m )  Bước 2: Vẽ đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f ( x )( C ) đường thẳng d : y = g ( m ) Đường thẳng d có đặc điểm vng góc với trục tung cắt trục tung điểm có tung độ g ( m )  Bước 3: Dựa vào đồ thị bảng biến thiên hàm số để biện luận số nghiệm phương trình cho Ví dụ 1: Cho hàm số y = − x + x có đồ thị hình bên Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình − x + x = m có bốn nghiệm thực phân biệt? A m > B ≤ m ≤ C < m < D m < Lời giải Số nghiệm phương trình phụ thuộc vào số giao điểm đồ thị hàm số y = − x + x đường thẳng y = m Dựa vào hình vẽ suy phương trình cho có nghiệm < m < Chọn C Ví dụ 2: [Đề thi tham khảo THPT QG năm 2019] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau x f ′( x) f ( x) −2 −∞ − + − +∞ −2 +∞ + +∞ −2 Số nghiệm thực phương trình f ( x ) + = A B C Lời giải D Số nghiệm thực phương trình f ( x ) + = ⇔ f ( x ) = −3 số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = − Đường thẳng y = − cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt Vậy phương trình f ( x ) + = có nghiệm thực phân biệt Chọn A Ví dụ 3: Cho hàm số y = ax3 + bx + cx + d có đồ thị hình bên Hỏi phương trình ax3 + bx + cx + d + = có nghiệm? A Phương trình khơng có nghiệm B Phương trình có nghiệm C Phương trình có nghiệm D Phương trình có nghiệm Lời giải Số nghiệm phương trình cho phụ thuộc vào số giao điểm đồ thị hàm số y = ax3 + bx + cx + d ( C ) đường thẳng y = −1 Dựa vào đồ thị ta thấy ( C ) cắt đường thẳng y = −1 điểm phân biệt nên phương trình cho có nghiệm Chọn D Ví dụ 4: Tìm tất giá trị m để phương trình x3 − x = 2m có nghiệm phân biệt A −2 < m < B −1 < m < C −2 ≤ m ≤ Lời giải Phương trình x3 − x = 2m phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số = y x − x đường thẳng y = 2m Phương trình có nghiệm phân biệt hai đồ thị có ba giao điểm Khi −2 < 2m < ⇔ −1 < m < Chọn B D −1 ≤ m ≤ Ví dụ 5: [Đề thi THPT QG năm 2018] Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈  ) Đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f ( x ) + = là: A B C D Lời giải Ta có: f ( x ) + = ⇔ f ( x ) = −4 Số nghiệm phương trình f ( x ) = − số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y= − Dựa vào đồ thị hàm số suy phương trình f ( x ) = − có nghiệm phân biệt Chọn A Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) = x3 − x + có bảng biến thiên sau x y′ y −∞ + −1 −∞ + − +∞ + +∞ −2 −∞ Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) xác định  \ {−1} , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình sau x −1 −∞ +∞ y′ y +∞ +∞ −4 −∞ Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m cho phương trình f ( x ) = m có ba nghiệm thực phân biệt A ( −4; ) B [ −4; ) C ( −4; 2] D ( −∞; 2] Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục  \ {1} có bảng biến thiên sau x −∞ y′ + + − +∞ y +∞ + +∞ +∞ 27 −∞ Tìm điều kiện m để phương trình f ( x ) = m có nghiệm phân biệt A m < B m > C < m < 27 D m > 27 Câu 25: Giá trị tham số m để phương trình x3 − x = 2m + có ba nghiệm phân biệt A − Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f ( x ) + m − 2018 = có nghiệm phân biệt A 2021 ≤ m ≤ 2022 B 2021 < m < 2022  m ≥ 2022 C   m ≤ 2021  m > 2022 D   m < 2021 Câu 34: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f ( x ) + m − 2018 = có nghiệm phân biệt A 2021 ≤ m ≤ 2022 B 2021 < m < 2022  m ≥ 2022 C   m ≤ 2021  m > 2022 D   m < 2021 Câu 35: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên Phương trình f ( x ) = có nghiệm thực phân biệt lớn A B C D −2 Câu 36: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ sau Số nghiệm phương trình f ( x − 1) − = là: A B C D Câu 37: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình vẽ sau Tìm giá trị tham số m để phương trình f ( x ) + =m có nghiệm phân biệt? A −4 < m < −3 B < m < C m > D < m < Câu 38: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Tìm số nghiệm phương trình f ( x + 2018 ) = A B C D Câu 39: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x3 − x − m3 + 3m = có ba nghiệm phân biệt A m = B m ∈ ( −1;3) C m ∈ ( −1; +∞ ) D m ∈ ( −1;3) \ {0; 2} Câu 40: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y =x − x − điểm phân biệt A −1 < m < B m < −4 C −4 < m < −3 D m > −1 Câu 41: Đồ thị hàm số y =x3 − x + cắt đường thẳng y = m ba điểm phân biệt tất giá trị tham số m thỏa mãn A m > B −3 ≤ m ≤ C −3 < m < D m < −3 Câu 42: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − x + cắt đường thẳng y= m − ba điểm phân biệt A < m < B < m ≤ C < m < D ≤ m < Câu 43: Tìm m để đường thẳng = y mx + cắt đồ thị hàm số y = x +1 hai điểm thuộc hai nhánh đồ x −1 thị   A m ∈  − ; +∞  \ {0}   B m ∈ ( 0; +∞ ) C m ∈ ( −∞;0 ) D m = Câu 44: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Biết trục hồnh tiệm cận ngang đồ thị Tìm tất giá trị thực tham số f ( x ) = 4m + 2log4 m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt A m > B < m < C m < D < m < Câu 45: Cho hàm số f ( x ) =x3 − x + có đồ thị đường cong hình bên Hỏi phương trình (x ) ( ) − 3x + − x3 − 3x + + = có nghiệm thực phân biệt? A B C D Câu 46: Cho hàm số y = x3 − x + có đồ thị đường cong hình vẽ Phương trình ( x3 − x + 1) − ( x − x + 1) + = có nghiệm thực? A B C D Câu 47: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục  có bảng biến thiên sau x y′ y −∞ + − 0 +∞ + +∞ −1 −∞ Tìm giá trị thực tham số m để phương trình f ( x )= m + có bốn nghiệm phân biệt A −2 < m < −1 B −3 ≤ m ≤ −2 C −2 ≤ m ≤ −1 Câu 48: Hình vẽ bên đồ thị hàm số y = giá trị thực tham số m để phương trình D −3 < m < −1 3x − Tìm tất x −1 3x − x −1 = m có hai nghiệm thực dương A −2 < m < B m < −3 C < m < D m > Câu 49: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ −3;3] đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Biết f (1) = g= ( x) f ( x) − Kết luận sau đúng? A Phương trình g ( x ) = có hai nghiệm thuộc [ −3;3] B Phương trình g ( x ) = khơng có nghiệm thuộc [ −3;3] C Phương trình g ( x ) = có nghiệm thuộc [ −3;3] D Phương trình g ( x ) = có ba nghiệm thuộc [ −3;3] ( x + 1) 2 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN x = x2 − x −1 Chọn D Câu 1: = 2x −1 ⇔ x2 + 2x = ⇔  x +1  x = −2 x3 x 1 1 13 Câu 2: 0⇔ x= + − 2x = − x− ⇔ x+  = − ⇒ y = Chọn A 24 3 2 12 Câu 3: Ta có x + x = ⇔ x = Chọn C Câu 4: −1 0⇒ y = x = 2x −1 Chọn A = x −1 ⇔ x2 − 2x = ⇔  x +1  x = ⇒ y =1  x2 =  x = ±1 Câu 5: x − x + = ⇔  Chọn B ⇔  x =  x = ±2 Câu 6: x3 − x + x − = − x ⇔ x3 − x + x − =⇔ x= Chọn A Câu 7: x − x + =0 ⇔ x =1 ⇔ x =±1 Chọn B  x 2= − ( l ) Câu 8: x − x − =x ⇔ x − x − =0 ⇔  ⇔ x =± + Chọn C  x 2= + 2  x = −1( l ) Câu 9: x + x − =0 ⇔  ⇔ x =± Chọn B x =   −3  Câu 10: Ta dễ có M  ;0  Chọn A   x3 x 1 1 13 Câu 11: Ta có + − 2x = − x− ⇔ x+  = − ⇒ y = Chọn C 0⇔ x= 24 3 2 12 Câu 12: Ta có Câu 13:  x ≥ −1  x ≥ −1  x ≥ −1 x + = x +1 ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ x = Chọn D  2  x = 1, x = −2 x + x − =  x + = ( x + 1)  x1 + x2 = x+3 = x + ⇔ x − x − = Giả sử A ( x1 ; x1 + 1) , B ( x2 ; x2 + 1) ⇔  x −1  x1 x2 = −4 Ta có AB = ( x1 − x2 ) + ( x1 − x2 ) 2 = 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2  =   34 Chọn A  x = ⇒ y =1 2x −1 5 Câu 14: Chọn C = x − ⇔ x − 3x − = ⇔  ⇒ AB = x = x +1 − ⇒y= −4   x = ⇒ y =1 Câu 15: x3 − x + x + = ⇔  x = ⇒ y = ⇒ MP = Chọn A  x = ⇒ y =1 −1 0⇒ y = x = Câu 16: x3 − x + x − = x − ⇔ x − x = ⇔  Chọn D  x =1 ⇒ y =0 Câu 17: x +1 = x + ⇔ x − x − = ⇒ hoành độ I Chọn D x−2 Câu 18: Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = −1 điểm phân biệt nên PT có nghiệm phân biệt Chọn D Câu 19: Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = −2018 điểm phân biệt Chọn A Câu 20: Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt nên PT có nghiệm phân biệt Chọn A Câu 21: Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = điểm nên PT có nghiệm Chọn B Câu 22: Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = m điểm phân biệt ⇔ −2 < m < Chọn B Câu 23: Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = m điểm phân biệt ⇔ −4 < m ≤ Chọn C Câu 24: Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = m điểm phân biệt ⇔ m > 27 Chọn D Câu 25: f ( x )= x3 − x ⇒ f ′ ( x )= x − 3= ⇔ x= ±1  → f (1)= −2; f ( −1)= ⇒ −2 < m < Chọn B Câu 26: Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = −3 điểm phân biệt nên PT có nghiệm phân biệt Chọn C Câu 27: Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = −m điểm phân biệt ⇔ −1 ≤ m < Chọn B Câu 28: Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = log m điểm phân biệt ⇔ −1 < log m < ⇔ < m < ⇒ m ∈ {1; 2;3; 4;5;6;7} Chọn D Câu 29: Ta có f ( x − 1) − 10 =⇔ f ( x − 1) = ± Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = 10 10 10 điểm phân biệt nên f ( x − 1) = có 3 nghiệm phân biệt Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = − 10 10 điểm nên f ( x − 1) = có nghiệm − 3 Vậy tổng nghiệm Chọn C Câu 30: Ta có x − x + 12 = m ⇔ x − x + 12 = ±m Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = m điểm phân biệt ⇔ −1 < m < ⇒ m ∈ {0;1; 2} Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = −m điểm phân biệt ⇔ −1 < −m < ⇔ −3 < m < ⇒ m ∈ {−2; −1;0} Chọn B Câu 31: Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = m điểm phân biệt ⇔ −3 < m < Chọn D Câu 32: Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = 3m điểm phân biệt ⇔ 3m < −3 ⇔ m < −1 Chọn B Câu 33: f ( x ) + m − 2018 = ⇔ f ( x ) = 2018 − m ⇒ −4 < 2018 − m < −3 ⇔ 2021 < m < 2022 Chọn B Câu 34: f ( x ) + m − 2018 = ⇔ f ( x ) = 2018 − m ⇒ −4 < 2018 − m < −3 ⇔ 2021 < m < 2022 Chọn B Câu 35: Phương trình f ( x ) = có nghiệm lớn Chọn B  f ( x − 1) =  Câu 36: Ta có f ( x − 1) − = ⇔ f ( x − 1) = ⇔   f ( x − 1) = −  3 Ta f ( x − 1) = có nghiệm phân biệt, f ( x − 1) = − có nghiệm Chọn B 2 Câu 37: Ta có f ( x ) + = m ⇔ f ( x ) = m − ⇒ < m − < ⇔ < m < Chọn B Câu 38: Phương trình f ( x + 2018 ) = có nghiệm phân biệt Chọn C Câu 39: x3 − x − m3 + 3m =0 ⇔ ( x − m )  x + ( m − 3) x + m − 3m  =0 x = m ⇔ 2  g ( x ) = x + ( m − 3) x + m − 3m =  g ( m ) ≠ 3m − 6m ≠ m ≠ {0; 2} Ta có  Chọn D ⇔ ⇔  ∆ > −1 < m < −3m + 6m + > 0⇒ y = −3 x = Câu 40: y′ = x − x; y′ = ⇔  ⇒ −4 < m < −3 Chọn C  x =±1 ⇒ y =−4  x = ⇒ y =1 Câu 41: y′ = x − x; y′ = ⇔  ⇒ −3 < m < Chọn C 2⇒ y = −3 x =  x =1 ⇒ y =0 Câu 42: y′ = x − 3; y′ = ⇔  ⇒ < m − < ⇔ < m < Chọn C  x =−1 ⇒ y =4 Câu 43: Ta có x +1 = mx + ⇔ mx − mx − 2= Tiệm cận đứng x = ⇒ x1 < < x2 x −1  m ≠ m ≠ m ≠    Ta có ∆ > ⇔ m + 8m > ⇔ m > ∨ m < −8 ⇒ m > Chọn B  x −1 x −1 <  m >  ( )( ) − − + <  m Câu 44: Số nghiệm phương trình f ( x ) = 4m + 2log4 thẳng y = 4m + 2log4 số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường Yêu cầu toán ⇔ 4m + 2log4 < ⇔ m + log < ⇔ m < Chọn C  f ( x)= 1−  Câu 45: Phương trình trở thành: f ( x ) − f ( x ) + = ⇔  f ( x ) =   f ( x ) = + Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:  Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = − điểm phân biệt  Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt  Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = + điểm Vậy phương trình cho có + + = nghiệm phân biệt Chọn A  f ( x ) = x1 ∈ ( −1;0 )  Câu 46: Phương trình trở thành: f ( x ) − f ( x ) + = ⇔  f ( x ) = x2 ∈ ( 0;1)  ) x3 ∈ (1; +∞ )  f ( x= Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:  Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = x1 ∈ ( −1;0 ) điểm phân biệt  Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y= x2 ∈ ( 0;1) điểm phân biệt  Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng = y x3 > điểm Vậy phương trình cho có + + = nghiệm phân biệt Chọn C  f ( x= ) m+2 Câu 47: Ta có f ( x ) = m + ⇔   f ( x ) =−m − (1) ( 2) Yêu cầu toán tương đương với: TH1 (1) có nghiệm (2) có nghiệm phân biệt Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng: m + ≥  m ≥ −2  (1) có nghiệm  ⇔  m + < −1  m < −3  (2) có nghiệm phân biệt −1 < −m − < ⇔ −2 < m < −1  m ≥ −2   m ≥ −2   −2 < m < −1 Suy TH1 ⇔   m < −3 ⇔ ⇔ −2 < m < −1  −2 < m < −1  m < −3    −2 < m < −1 TH2 (1) có nghiệm phân biệt (2) có nghiệm Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:  (1) có nghiệm phân biệt −1 < m + < ⇔ −3 < m <  −m − ≥  m ≤ −2  (2) có nghiệm  ⇔  −m − < −1  m > −1  m ≤ −2   m ≤ −2   −3 < m < Suy TH2 ⇔   m > −1 ⇔  ⇔ −3 < m ≤ −2  m > −1 −3 < m <    −3 < m < Kết hợp hai trường hợp, ta −3 < m < −1 giá trị cần tìm Chọn D Câu 48: Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) = 3x − x −1 ⇒ f ( x ) = m có nghiệm dương −2 < m < Chọn A Câu 49: Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x − 1; g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = x + Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị f ′ ( x ) cắt y= x + điểm phân biệt có x = −3; x = 1; x = Do g ′ ( x ) =0 ⇔ x ={−3;1;3} g (= 1)  → Bảng biến thiên: x y′ −3 −∞ − + − +∞ + y Vậy đoạn [ −3;3] , phương trình g ( x ) = có hai nghiệm Chọn A