(Luận văn) vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (phần hình học)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ THANH NGÀ lu an n va p ie gh tn to VẬN DỤNG TÍNH CHẤT SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN (PHẦN HÌNH HỌC) d oa nl w a lu oi m ll fu an nv LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC at nh z z om l.c gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2016 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ THANH NGÀ lu an n va p ie gh tn to VẬN DỤNG TÍNH CHẤT SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN (PHẦN HÌNH HỌC) d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC an nv a lu PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP 60 46 01 13 oi m ll fu Chuyên ngành: Mã số: at nh z z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRỊNH THANH HẢI om l.c gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2016 ac th si i Mục lục Danh sách hình vẽ iii Mở đầu lu an Kiến thức chuẩn bị va 1.1 3 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Biểu diễn đại số số phức 1.1.3 Biểu diễn hình học số phức Dạng lượng giác số phức Sơ lược phép biến hình phức n Sơ lược số phức p ie gh tn to Phép tịnh tiến 1.2.2 Phép quay 1.2.3 Phép vị tự 10 1.2.4 Phép đối xứng trục 10 1.2.5 Phép nghịch đảo 11 1.2.6 Tích phép biến hình 12 oi m ll fu an nv a lu 1.2.1 d oa 1.2 nl w 1.1.4 at nh z z Biểu diễn dạng phức số yếu tố hình học 14 gm @ 1.3 Phương trình tổng qt đường trịn 14 1.3.2 Hai đoạn thẳng vng góc hai đoạn thẳng song song 16 1.3.3 Chân đường vuông góc dây cung 16 1.3.4 Tọa độ phức điểm đặc biệt tam giác 17 1.3.5 Điều kiện tam giác đồng dạng 18 om l.c 1.3.1 an Lu n va ac th si ii 1.3.6 Khoảng cách hai điểm 19 1.3.7 Cơng thức tính diện tích 19 Vận dụng tính chất số phức vào giải số tập hình học 21 lu 2.1 Dạng tốn liên quan đến quỹ tích 21 2.2 Dạng toán liên quan đến đường tròn 23 2.3 Dạng toán liên quan đến đa giác 27 2.4 Dạng tốn tính diện tích 39 2.5 Dạng toán xác định khoảng cách 43 an 47 Tài liệu tham khảo 47 n va Kết luận p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu at nh z z om l.c gm @ an Lu n va ac th si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an iii Danh sách hình vẽ lu an Điểm M(a; b) biểu diễn số phức z = a + bi 1.2 Điểm M biểu diễn số phức z = z1 + z2 = (a1 + a2 , b1 + b2 ) 1.3 Dạng lượng giác số phức z 1.4 Phép tịnh tiến 1.5 Phép quay 1.6 Phép vị tự 10 1.7 Phép đối xứng trục 11 n va 1.1 ie gh tn to p 1.8 Phép nghịch đảo 11 Tích hai phép tịnh tiến 12 nl w 1.9 d oa 1.10 Tích hai phép quay 13 an nv a lu 1.11 Phương trình tổng quát đường tròn 14 1.12 Chân đường vng góc dây cung 17 m ll fu 1.13 Tọa độ phức trực tâm tam giác ABC 18 Bài toán 2.1.1 21 2.2 Bài toán 2.1.2 22 2.3 Bài toán 2.2.1 23 2.4 Bài toán 2.2.2 24 2.5 Bài toán 2.2.3 25 2.6 Bài toán 2.2.4 26 2.7 Bài toán 2.2.5 27 2.8 Bài toán 2.3.1 28 oi 2.1 at nh z z om l.c gm @ an Lu n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an iv 2.9 Bài toán 2.3.2 29 2.10 Bài toán 2.3.4 30 2.11 Bài toán 2.3.5 31 2.12 Bài toán 2.3.6 32 2.13 Bài toán 2.3.7 33 2.14 Bài toán 2.3.8 34 2.15 Bài toán 2.3.9 35 2.16 Bài toán 2.3.10 36 2.17 Bài toán 2.3.11 38 lu an 2.18 Bài toán 2.3.12 39 va n 2.19 Bài toán 2.4.1 40 2.21 Bài toán 2.4.3 41 ie gh tn to 2.20 Bài toán 2.4.2 41 p 2.22 Bài toán 2.4.4 42 nl w 2.23 Bài toán 2.4.5 43 d oa 2.24 Bài toán 2.5.1 44 an nv a lu 2.25 Bài toán 2.5.2 44 2.26 Bài toán 2.5.3 45 oi m ll fu at nh z z om l.c gm @ an Lu n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mở đầu lu Từ kỷ trước nhu cầu phát triển toán học giải phương trình đại số mà số phức xuất Đã có nhiều nhà nghiên cứu số phức tìm cách biểu diễn hình học cho số phức, điển hình Gauss, Hamilton, Số phức ứng dụng rộng rãi hình học, vật lý nhiều ngành kĩ thuật khác an n va p ie gh tn to Nhiều vấn đề Hình học đơn giản hóa cách kì diệu nhìn góc độ số phức việc ứng dụng số phức vào nghiên cứu Tốn học nói chung Hình học nói riêng tiến hành từ lâu thu nhiều kết quan trọng Đối với học sinh bậc THPT số phức nội dung cịn mẻ, với thời lượng khơng nhiều, học sinh biết kiến thức số phức, việc khai thác ứng dụng số phức hạn chế, đặc biệt việc sử dụng số phức phương tiện để giải tốn Hình học phẳng vấn đề khó, xuất đề thi học sinh giỏi Tuy nhiên dạy cho học sinh giỏi biết ứng dụng số phức vào việc giải toán Hình học phẳng có tác dụng lớn việc bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh, đồng thời giúp học sinh khắc sâu, tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức bản, dạng toán quen thuộc, giải số tốn khó, phức tạp chưa có thuật tốn Để đáp ứng điều địi hỏi giáo viên phải có hiểu biết cần thiết, có cách nhìn sâu sắc ứng dụng Số phức d oa nl w oi m ll fu an nv a lu nh at Dưới hướng dẫn PGS TS Trịnh Thanh Hải với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc ứng dụng số phức hình học, tơi chọn đề tài “Vận dụng tính chất số phức vào giải số đề thi học sinh giỏi toán (phần hình học)” làm luận văn thạc sĩ z z gm @ Lu Nhiệm vụ nghiên cứu: om l.c Mục đích nghiên cứu: Vận dụng tính chất số phức vào giải số toán học sinh giỏi thường gặp đề thi học sinh giỏi phổ thơng an - Tìm hiểu tính chất số phức vận dụng vào tập hình học n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an - Sưu tầm đề thi học sinh giỏi, toán dành cho học sinh giỏi đưa lời giải theo hướng ứng dụng tính chất số phức lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu at nh z z om l.c gm @ an Lu n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Kiến thức chuẩn bị lu Trong chương này, tơi trình bày số kiến thức số phức, phép biến hình, Những kiến thức sử dụng để giải tập hình học phẳng Các nội dung ta tìm thấy [1-5] an n va Sơ lược số phức ie gh tn to 1.1 p Nhà toán học Italia R Bombelli (1526-1573) đưa định nghĩa số phức, lúc gọi số "khơng thể có" "số ảo" cơng trình Đại số (Bologne, 1572) cơng bố lâu trước ơng Ơng định nghĩa số (số phức) nghiên cứu phương trình bậc ba đưa bậc hai −1 d oa nl w a lu oi m ll fu an nv Nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm 1746 xác định dạng tổng quát "a + bi" chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn n nghiệm phương trình bậc n Nhà toán học Thụy Sĩ L Euler (1707-1783) đưa ký hiệu "i" để bậc hai −1 đến năm 1801 Gauss dùng lại ký hiệu Tên tuổi Gauss gắn liền với phép chứng minh xác Định lí Đại số khẳng định trường số phức C phương trình đa thức có nghiệm at nh z z Định nghĩa l.c gm @ 1.1.1 om Định nghĩa 1.1.1 (Xem [1], tr 19) Một cặp số thực có thứ tự (a, b) với a, b ∈ R gọi số phức tập hợp cặp số có quan hệ nhau, phép cộng phép nhân đưa vào theo định nghĩa (tiên đề) sau i) Quan hệ đồng tập số phức: (a; b) = (c; d) a = c an Lu n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an b = d ii) Phép cộng tập số phức: (a; b) + (c; d) := (a + c; b + d) cặp số (a + c; b + d) gọi tổng cặp số (a; b) (c; d) iii) Phép nhân tập số phức: (a; b)(c; d) := (ac − bd; ad + bc) cặp (ac − bd; ad + bc) gọi tích cặp (a; b) (c; d) iv) Số thực tập số phức: Cặp số (a; 0) đồng với số thực a, nghĩa (a; 0) := a (a; 0) ≡ a Tập hợp số phức kí hiệu C quy ước C∗ = C\(0, 0) lu Như vậy, phần định nghĩa số phức phát biểu ngôn ngữ số thực phép toán chúng an va 1.1.2 Biểu diễn đại số số phức n p ie gh tn to Một số phức viết dạng z = a + bi với a, b ∈ R gọi dạng đại số số phức Số thực a gọi phần thực z , kí hiệu Re(z), số thực b gọi phần ảo z , kí hiệu Im(z) thành phần i gọi đơn vị ảo với quy ước i2 = −1 nl w d oa Các phép cộng, trừ, nhân, chia số phức viết dạng biểu diễn đại số định nghĩa sau i) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, ii) (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d), iii) (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i, an nv a lu (a + bi) ac + bd ad − bc = + i (c + di) c + d2 c + d2 oi m ll fu iv) at nh Để thuận tiện thực phép tính biến đổi số phức người ta đưa vào kí hiệu z = a − ib gọi liên hợp z = a + ib Những tính chất sau thường dùng số phức liên hợp i) z + z = 2a, ii) z.z = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 ,   z1 z1 iii) z1 z2 = z1 z2 , z1 + z2 = z1 + z2 , = , z z an Lu v) Nếu z = −z z số ảo om l.c z2 iv) Một số phức số thực z = z , gm @ z2 n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si d oa nl w a lu P M oi m ll fu an nv C at nh z A z B Hình 2.6: Bài tốn 2.2.4 l.c gm @ Q an Lu n va p = (a + b + c − bc¯ a), m = (a + b + c) om Lời giải Chọn đường tròn đơn vị ngoại tiếp tam giác ABC Ta có ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 27 Do AQ song song với BC suy aq = bc hay q = bc¯a Khi (a + b + c) − bc¯ a m−q = = 1 p−m (a + b + c − bc¯ a) − (a + b + c) Tỷ số đơn số thực nghĩa góc hai đường thẳng ±π QM = Do P, M, Q nằm đường thẳng MP Bài toán 2.2.5 Cho B1 B2 chân đường cao hạ từ đỉnh A1 , A2 xuống cạnh đối diện tam giác A1 A2 A3 O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 A2 A3 Chứng minh B1 B2 vng góc với OA3 lu an Lời giải Chọn đường tròn ngoại tiếp tam giác đường tròn đơn vị n va A3 to gh tn B1 ie B2 p O nl w A2 A1 d oa a lu an nv Ta có Hình 2.7: Bài toán 2.2.5 oi m ll fu b1 = (a1 + a2 + a3 − a¯1 a2 a3 ), b2 = (a1 + a2 + a3 − a1 a¯2 a3 ), nh at b1 − b2 = (a¯1 a2 a3 − a1 a¯2 a3 ) = a3 (a¯1 a2 − a1 a¯2 ) z z gm @ 2.3 Dạng toán liên quan đến đa giác om l.c Nhưng số a¯1 a2 − a1 a¯2 hoàn toàn phức Nghĩa B1 B2 vng góc với OA3 an Lu n va Bài tốn 2.3.1 Về phía ngồi tứ giác lồi ABCD, dựng hình vng nhận AB, BC, CD, DA làm cạnh Các hình vng có tâm O1 , O2 , O3 , O4 ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 28 Chứng minh O1 O3 ⊥O2 O4 O1 O3 = O2 O4 Lời giải P Q0 P0 O3 D N C O4 O2 Q N0 B A lu O1 an y va n M0 M to gh tn Hình 2.8: Bài tốn 2.3.1 p ie Giả sử hình vng ABM M , BCN N , CDP P , DAQQ0 có tâm O1 , O2 , O3 , O4 π Ta thấy, điểm M nhận phép quay tâm B, góc quay θ = nl w d oa Từ suy m = b + (a − b)i Tương tự an nv a lu n = c + (b − c)i, p = d + (c − d)i, q = a + (d − a)i Do fu oi m ll a + b + (a − b)i b + c + (b − c)i a+m = , o2 = , 2 c + d + (c − d)i d + a + (d − a)i o3 = , o4 = 2 o1 = at nh z Suy z @ om an Lu số ảo Nên O1 O3 ⊥ O2 O4 o3 − o1