(Luận văn) một số vấn đề về môđun vi phân kahler

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ NGỌC VẤN lu an n va p ie gh tn to MT S VN ă V MÔĐUN VI PHÂN KAHLER d oa nl w a lu oi lm ul f an nv LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z om l.c gm @ n a Lu Bình Định - Năm 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ NGỌC VẤN lu an n va p ie gh tn to MỘT S VN ă V MễUN VI PHN KAHLER d oa nl w a lu Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 46 01 04 oi lm ul f an nv z at nh Người hướng dẫn: TS PHẠM THÙY HƯƠNG z om l.c gm @ n a Lu n va ac th si i Mục lục Mục lục i Mở đầu lu MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ an n va Môđun 1.2 Dãy khớp 1.3 Tích tenxơ 1.4 Đại số p ie gh tn to 1.1 d oa nl w 1.5 Địa phương hóa ă MễUN VI PHN KAHLER 10 10 2.2 Mụun vi phõn Kăahler 15 2.3 Hai dãy khớp 22 2.4 a phng húa ca mụun vi phõn Kăahler 34 2.5 Một áp dụng dãy khớp thứ hai 40 oi lm ul f an nv Đạo hàm z at a lu 2.1 nh z Kết luận gm @ 45 Tài liệu tham khảo 46 om l.c n a Lu n va ac th si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an M u Lý thuyt vi phõn Kăahler l lĩnh vực đại số hình học nhận quan tâm nghiên cứu nhà toán học Nó có nhiều áp dụng đại số giao hốn, hình học đại số số lĩnh vực khỏc lu an ca toỏn hc Mụun vi phõn Kăahler tác động quan trọng đến tính n va chất vành, chẳng hạn qua kết nối với tính quy Do đó, việc p ie gh tn to tìm hiểu số vấn đề mơđun vi phân Kăahler l cn thit v l tin cho vic nghiên cứu toán liên quan d oa nl w Luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo bao gồm hai chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị đại số giao hoán a lu dùng luận văn Các kết chương trích dẫn oi lm ul f an nv từ [1], [3] Chương tìm hiểu trình bày số vấn đề c bn v mụun vi nh phõn Kăahler, bao gm khái niệm đạo hàm, xây dựng môđun vi phân z at Kăahler, hai dóy khp c bn ca cỏc mụun vi phõn Kăahler, a phng z húa ca mụun vi phõn Kăahler, v mt minh cho s kt ni ca gm @ mụun vi phõn Kăahler vi tính quy vành Các kết om l.c chương tham khảo từ tài liệu [2], [4], [5], [6], [7], [8], [9] n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn TS Phạm Thùy Hương Qua xin gởi lời cảm ơn sâu sắc kính trọng đến Cơ, người tận tình giúp đỡ suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Đồng thời, chân thành cảm ơn đến quý thầy, cô dày công giảng dạy suốt hai năm qua tạo điều kiện thuận lợi cho hồn thành luận văn Chúng tơi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người ln động viên giúp đỡ q trình làm luận văn lu an Mặc dù cố gắng q trình hồn thành luận n va văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn p ie gh tn to khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện d oa nl w a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn, vành giả thiết vành giao hốn có lu an đơn vị n va Chương trình bày số kiến thức đại số giao hoán p ie gh tn to sử dụng luận văn Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1], [3] d oa nl w 1.1 Môđun a lu Cho R vành f an nv Định nghĩa 1.1.1 Một R-mơđun nhóm cộng abel M với oi lm ul ánh xạ R × M → M , (a, x) 7→ ax với a ∈ R x ∈ M , thỏa mãn điều kiện sau với a, b ∈ R x, y ∈ M : z at nh a(x + y) = ax + ay, z (ab)x = a(bx), om 1x = x l.c gm @ (a + b)x = ax + bx, n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định nghĩa 1.1.2 Cho M N R-môđun Một ánh xạ f : M → N gọi đồng cấu R-môđun hay R-đồng cấu với x, y ∈ M a ∈ R, ta có f (x + y) = f (x) + f (y), f (ax) = af (x) Cho M N R-môđun Tập hợp tất đồng cấu R-môđun từ M đến N ký hiệu HomR (M, N ) Tập hợp HomR (M, N ) R-môđun với phép cộng phép nhân cho bởi: với lu f, g ∈ HomR (M, N ) a ∈ R, an n va (f + g)(x) = f (x) + g(x), to p ie gh tn (af )(x) = af (x) với x ∈ M d oa nl w Một đồng cấu R-môđun f gọi đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) f đơn ánh (tương ứng, toàn ánh, song ánh) a lu Cho f : M → N đồng cấu R-môđun Các tập hợp oi lm ul f an nv Imf := f (M ) Kerf := {x ∈ M |f (x) = 0} = f −1 (0) nh z at tương ứng môđun N M z @ Dãy khớp ϕ2 ϕn−1 n a Lu ϕ1 M1 → M2 → · · · → Mn om Định nghĩa 1.2.1 Cho n ∈ N, n ≥ Một dãy l.c gm 1.2 n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an R-môđun M1 , , Mn đồng cấu R-môđun ϕi : Mi → Mi+1 với i = 1, , n − gọi khớp Imϕi−1 = Kerϕi với i ∈ {1, 2, , n − 1} Mệnh đề 1.2.2 Một dãy R-môđun ϕ1 ϕ2 M1 → M2 → M3 → khớp với R-môđun M , dãy R-môđun ϕ∗ ϕ∗ → HomR (M3 , M ) →2 HomR (M2 , M ) →1 HomR (M1 , M ) khớp, ϕ∗i (ϕ) = ϕ ◦ ϕi với i ∈ {1, 2} lu an n va 1.3 Tích tenxơ p ie gh tn to Định nghĩa 1.3.1 Cho M, N P R-mơđun Một ánh xạ ϕ : M × N → P gọi R-song tuyến tính ánh xạ d oa nl w ϕ(x, ) : N → P, y 7→ ϕ(x, y), ϕ(., y) : M → P, x 7→ ϕ(x, y) a lu R-đồng cấu với x ∈ M y ∈ N f an nv Định lý 1.3.2 Cho M N R-mơđun Khi tồn R- oi lm ul môđun T ánh xạ R-song tuyến tính τ : M × N → T cho tính chất phổ dụng sau thỏa mãn nh z at Với R-môđun P ánh xạ R-song tuyến tính ϕ : M ×N → P , z tồn R-đồng cấu h : T → P cho h ◦ τ = ϕ, tức τ ∃! h P n a Lu $  om ϕ /T l.c M ×N gm @ cho biểu đồ sau giao hoán n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Hơn nữa, (T1 , τ1 ) (T2 , τ2 ) thỏa mãn tính chất phổ dụng, T1 T2 R-mơđun, τ1 : M × N → T1 τ2 : M × N → T2 ánh xạ R-song tuyến tính, tồn đẳng cấu f : T1 → T2 cho f ◦ τ1 = τ2 Định nghĩa 1.3.3 R-môđun T xác định Định lý 1.3.2 gọi tích tenxơ M N R, ký hiệu M ⊗ N = M ⊗ N = T R Với x ∈ M y ∈ N , ta viết x ⊗ y = τ (x, y) lu an Mệnh đề 1.3.4 Cho R vành I iđêan R Khi n va với R-mơđun M , ta có tn to p ie gh (R/I) ⊗ M ∼ = M/IM R 1.4 d oa nl w R/I-môđun Đại số a lu f an nv Cho R0 R vành, ϕ : R0 → R đồng cấu vành Với oi lm ul r0 ∈ R0 a ∈ R, ta định nghĩa r0 a = ϕ(r0 )a z at nh Khi vành R trở thành R0 -môđun Cấu trúc R0 -môđun tương z gm @ thích với cấu trúc vành R, tức (r0 a)b = r0 (ab) với r0 ∈ R0 a, b ∈ R l.c om Định nghĩa 1.4.1 Vành R với cấu trúc R0 -môđun gọi n a Lu R0 -đại số n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định nghĩa 1.4.2 Cho ϕ : R0 → R ψ : R0 → S hai đồng cấu vành Một đồng cấu R0 -đại số f : R → S đồng cấu vành mà đồng cấu R0 -môđun Chú ý 1.4.3 Với ký hiệu trên, f : R → S đồng cấu R0 -đại số biểu đồ sau giao hoán ϕ / R0 R !  ψ f , S tức ψ = f ◦ ϕ lu an n va Cho R R0 R0 -đại số tương ứng định nghĩa đồng R0 tn to cấu vành ϕ : R0 → R ψ : R0 → R0 Khi R0 -mơđun R ⊗ R0 p ie gh vành với phép nhân định nghĩa X  X  X (ai ⊗ a0i ) (bj ⊗ b0j ) = (ai bj ⊗ a0i b0j ) d oa nl w i j i,j với , bj ∈ R a0i , b0j ∈ R0 Hơn nữa, R ⊗ R0 R0 -đại số, R0 a lu định nghĩa đồng cấu vành f an nv R0 → R ⊗ R0 , r0 7→ ϕ(r0 ) ⊗ ψ(r0 ) oi lm ul R0 Mệnh đề 1.4.4 Cho R0 vành R R0 -đại số Cho M z at nh R0 -môđun N R-môđun Khi ánh xạ gm @ R0 z ψ : HomR (R ⊗ M, N ) → HomR0 (M, N ) f 7→ f ◦ γ, l.c om đẳng cấu R-mơđun, γ : M → R ⊗ M cho quy R0 n a Lu tắc γ(x) = ⊗ x với x ∈ M n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 30 Chứng minh Xét tương ứng d : R/I → M a 7→ d(a) với a ∈ R Trước hết ta chứng minh d ánh xạ Lấy a, b ∈ R/I cho a = b, a, b ∈ R Vì a−b ∈ I nên d(a)−d(b) = d(a−b) = Suy d(a) = d(a) = d(b) = d(b) Bây ta chứng minh d R0 -đạo hàm Thật vậy, lấy a, b ∈ R/I lu an r0 ∈ R0 , a, b ∈ R Khi ta có n va d(a + b) = d(a + b) = d(a + b) = d(a) + d(b) = d(a) + d(b), p ie gh tn to d(r0 a) = d(r0 a) = d(r0 a) = r0 d(a) = r0 d(a), d(ab) = d(ab) = d(ab) = ad(b) + bd(a) = ad(b) + bd(a) d oa nl w = ad(b) + bd(a) Hơn nữa, với a ∈ R, ta có a lu f an nv  oi lm ul Do d = d ◦ π (d ◦ π)(a) = d(a) = d(a) nh Định lý 2.3.8 (Dãy khớp thứ hai) Cho R0 vành z at R R0 -đại số Cho I iđêan R T = R/I Khi tồn z dãy khớp T-môđun gm @ β α I/I → T ⊗ ΩR/R0 → ΩT /R0 → 0, R l.c om α(a) = 1⊗dR/R0 a β(t⊗dR/R0 b) = tdT /R0 b với a ∈ I, b ∈ R a Lu t ∈ T n n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 31 Chứng minh Trước hết ta chứng minh α ánh xạ Thật vậy, giả sử a1 , a2 ∈ I cho a1 = a2 ∈ I/I , tức a1 − a2 ∈ I Suy tồn P n ∈ N\{0}, ui , vi ∈ I, i = 1, 2, , n cho a1 − a2 = ni=1 ui vi Khi ta có ⊗ dR/R0 (a1 − a2 ) = ⊗ dR/R0 n X ui vi  i=1 = = n X i=1 n X
⊗ (ui dR/R0 vi + vi dR/R0 ui )
(ui ⊗ dR/R0 vi ) + (vi ⊗ dR/R0 ui ) = lu i=1 an Từ suy α(a1 ) = ⊗ dR/R0 a1 = ⊗ dR/R0 a2 = α(a2 ) Do α n va ánh xạ Rõ ràng α đồng cấu T -môđun p ie gh tn to Tính phổ dụng tích tenxơ suy tồn đồng cấu T -môđun P β Ta chứng minh β toàn ánh Lấy x = ni=1 a0i dT /R0 ∈ ΩT /R0 , d oa nl w n ∈ N\{0}, , a0i ∈ R với i = 1, , n, ta có n n X  X β ⊗ dR/R0 = β(a0i ⊗ dR/R0 ) = x i=1 i=1 a lu Vậy β toàn ánh f an nv Theo Mệnh đề 1.2.2, ta cần chứng minh với M T -môđun, dãy oi lm ul T -môđun sau khớp β∗ α∗ nh HomT (ΩT /R0 , M ) → HomT (T ⊗ ΩR/R0 , M ) → HomT (I/I , M ) z at R Theo Mệnh đề 2.3.3, ta có đẳng cấu T -mơđun z @ om l.c Hơn nữa, ta có đẳng cấu T -môđun gm ϕ1 : HomT (ΩT /R0 , M ) → DerR0 (T, M ) R n a Lu ϕ2 : HomT (T ⊗ ΩR/R0 , M ) → DerR0 (R, M ), n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 32 ϕ2 = ϕ ◦ ψ, với ψ : HomT (T ⊗ ΩR/R0 , M ) → HomR (ΩR/R0 , M ) R ϕ : HomR (ΩR/R0 , M ) → DerR0 (R, M ) tương ứng xác định Mệnh đề 1.4.4 Hệ 2.3.5 Do ta cần chứng minh dãy T -môđun sau khớp φ χ DerR0 (T, M ) → DerR0 (R, M ) → HomT (I/I , M ), −1 ∗ φ = ϕ2 ◦ β ∗ ◦ ϕ−1 χ = α ◦ ϕ2 Trước hết, lấy δ ∈ DerR0 (T, M ) bất kỳ, ta chứng minh φ(δ) = δ ◦ π, π : R → R/I ánh xạ tắc Vì dT /R0 : T → ΩT /R0 lu R0 -đạo hàm phổ dụng nên tồn h ∈ HomT (ΩT /R0 , M ) an n va cho δ = h ◦ dT /R0 Khi theo Chú ý 2.3.4, ϕ−1 (δ) = h Do to p ie gh tn
φ(δ) = ϕ2 ◦ β ∗ (h) = ϕ2 (h ◦ β) = (ϕ ◦ ψ)(h ◦ β) = ϕ(h ◦ β ◦ γ) = h ◦ β ◦ γ ◦ dR/R0 , d oa nl w γ : ΩR/R0 → T ⊗ ΩR/R0 , x 7→ ¯1 ⊗ x với x ∈ ΩR/R0 Từ R suy với a ∈ R, ta có a lu f an nv (φ(δ))(a) = (h ◦ β ◦ γ ◦ dR/R0 )(a) = (h ◦ β)(¯1 ⊗ dR/R0 a) = h(dT /R0 a ¯) = (h ◦ dT /R0 )(¯ a) = δ(¯ a) = δ(π(a)) oi lm ul Vậy f (δ) = δ ◦ π nh z at Mặt khác, với d ∈ DerR0 (R, M ) bất kỳ, dR/R0 : R → ΩR/R0 z R0 -đạo hàm phổ dụng nên tồn l ∈ HomR (ΩR/R0 , M ) gm @ cho d = l ◦ dR/R0 Ta có = α∗ (ψ −1 (l)) = α∗ (˜ γ ) = γ˜ ◦ α, om l.c

∗ −1 −1 χ(d) = α∗ ◦ ϕ−1 (d) = α ◦ ψ ◦ ϕ (d) n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 33 γ˜ ∈ HomT (T ⊗ ΩR/R0 , M ), γ˜ (t ⊗ x) = tl(x) với x ∈ ΩR/R0 R t ∈ T Bây ta chứng minh Imφ ⊆ Kerχ Với δ ∈ DerR0 (T, M ), theo chứng minh trên, ta có (χ ◦ φ)(δ) = χ(φ(δ)) = χ(δ ◦ π) Ta chứng minh χ(δ ◦ π) = Vì δ ◦ π ∈ DerR0 (R, M ) nên theo chứng minh trên, tồn l ∈ HomR (ΩR/R0 , M ) cho δ ◦ π = l ◦ dR/R0 Do với a ¯ ∈ I/I , a ∈ I, ta có lu an χ(δ ◦ π)(¯ a) = (˜ γ ◦ α)(¯ a) = γ˜ (1 ⊗ dR/R0 a) = (l ◦ dR/R0 )(a) n va = (δ ◦ π)(a) = δ(¯ a) = p ie gh tn to Ngược lại, ta chứng minh Kerχ ⊆ Imφ Ta có Kerχ = {d ∈ DerR0 (R, M ) | χ(d) = 0} d oa nl w Lấy d ∈ Kerχ, theo chứng minh tồn l ∈ HomR (ΩR/R0 , M ) cho d = l ◦ dR/R0 Khi γ˜ ◦ α = χ(d) = Từ suy với a ∈ I, a lu f an nv d(a) = (l ◦ dR/R0 )(a) = γ˜ (¯1 ⊗ dR/R0 a) = γ˜ (α(¯ a)) = Vậy d ∈ Imφ oi lm ul Theo Bổ đề 2.3.7, tồn d ∈ DerR0 (T, M ) cho d = d ◦ π = φ(d)  nh @ o dbi n ∈ N\{0}, ∈ R, bi ∈ I, i = 1, , n ⊆ ΩR/R0 l.c i=1 gm RdI = n nX z R Đặt d = dR/R0 ký hiệu z at Cho R0 vành R R0 -đại số Cho I iđêan om Khi RdI R-mơđun ΩR/R0 chứa IΩR/R0 Hơn nữa, n a Lu ΩR/R0 /RdI R/I-môđun n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 34 Hệ 2.3.9 Với ký hiệu trên, ta có ΩT /R0 ∼ = ΩR/R0 /RdI T -mơđun, T = R/I Chứng minh Theo Mệnh đề 1.3.4, ta có đẳng cấu T -mơđun γ : T ⊗ ΩR/R0 → ΩR/R0 /IΩR/R0 R cho γ(a ⊗ x) = ax với a ∈ R x ∈ ΩR/R0 Do đó, từ Định lý 2.3.8, ta có dãy khớp T -mơđun β˜ α ˜ lu I/I → ΩR/R0 /IΩR/R0 → ΩT /R0 → 0, an n va α ˜ = γ ◦ α β˜ = β ◦ γ −1 với α β đồng cấu T -môđun p ie gh tn to dãy khớp thứ hai Ta có Im˜ α = RdI/IΩR/R0 d oa nl w Do  ΩT /R0 ∼ = (ΩR/R0 /IΩR/R0 ) (RdI/IΩR/R0 ) a lu  oi lm ul a phng húa ca mụun vi phõn Kă ahler z at nh 2.4 f an nv T -môđun ∼ = ΩR/R0 /RdI z Trong mục ta chứng minh việc hình thành mơđun vi phân @ tham khảo từ [7], [9] l.c gm Kăahler l "giao hoỏn" vi a phng húa Cỏc kt mục om Trong mục ký hiệu d dùng thay cho dR/R0 , đạo hàm phổ n a Lu dụng R R0 n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 35 Mệnh đề 2.4.1 Cho R0 vành R R0 -đại số Cho S ⊆ R tập nhân đóng Khi tồn R0 -đạo hàm δ˜ : S −1 R → S −1 ΩR/R0 a sda − ads 7→ s s2 cho biểu đồ sau giao hoán R d π1  ΩR/R0 π2 / / S −1 R  δ˜ , S −1 ΩR/R0 lu an tức δ˜ ◦ π1 = π2 ◦ d n va Chứng minh p ie gh tn to Trước hết ta chứng minh δ˜ ánh xạ Giả sử mãn a s1 = b s2 , a b s1 , s2 ∈ S −1 R thỏa a, b ∈ R s1 , s2 ∈ S Khi tồn t ∈ S cho d oa nl w t(s2 a−s1 b) = Do = d(t(s2 a−s1 b)) = (s2 a−s1 b)dt+td(s2 a−s1 b) Suy a lu = t2 d(s2 a − s1 b) = t2 (s2 da + ads2 − s1 db − bds1 ) f an nv oi lm ul Vì ts2 a = ts1 b nên   t2 s22 (s1 da − ads1 ) − s21 (s2 db − bds2 ) nh z at = t2 s22 s1 da − t2 s22 ads1 − t2 s21 s2 db + t2 s21 bds2 z = t2 s22 s1 da − t2 s1 bs2 ds1 − t2 s21 s2 db + t2 s2 as1 ds2 @ l.c gm = t2 s1 s2 (s2 da + ads2 − s1 db − bds1 ) = om Do n a Lu  a  s da − ads s2 db − bds2 ˜ b  1 δ˜ = = =δ s1 s21 s22 s2 n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 36 Bây ta chứng minh δ˜ R0 -đạo hàm Lấy a b s1 , s2 ∈ S −1 R r0 ∈ R0 , ta có a b  ˜ s2 a + s1 b  s1 s2 d(s2 a + s1 b) − (s2 a + s1 b)d(s1 s2 ) ˜ δ + =δ = s1 s2 s1 s2 (s1 s2 )2 da ads1 db bds2 ˜ a  ˜ b  = +δ , − + − =δ s1 s1 s2 s2 s1 s2  a  s d(r a) − r ads  s da − ads  a 0 1 ˜ ˜ δ r0 = = r0 = r0 δ , s1 s21 s21 s1 lu an n va p ie gh tn to a b  ab  d(ab) abd(s s ) ˜ ˜ δ =δ = − s1 s2 s1 s2 s1 s2 (s1 s2 )2 adb + bda abs1 ds2 abs2 ds1 = − − s1 s2 (s1 s2 )2 (s1 s2 )2  a db a bds2   b da b ads1  + − − = s1 s2 s1 s22 s2 s1 s2 s21     a b b a = δ˜ + δ˜ s1 s2 s2 s1 Cuối ta chứng minh δ˜ ◦ π1 = π2 ◦ d Thật vậy, với a ∈ R, ta d oa nl w có  a  1da − ad1 da = = = π2 (da) (δ˜ ◦ π1 )(a) = δ˜ 12 a lu f an nv = (π2 ◦ d)(a) oi lm ul  Mệnh đề 2.4.2 Cho R0 vành, R R0 -đại số Cho S ⊆ R nh tập nhân đóng Khi ta có z at z ΩS −1 R/R0 ∼ = S −1 ΩR/R0 l.c gm @ S −1 R-môđun om Chứng minh Theo Mệnh đề 2.4.1, ta có R0 -đạo hàm n a Lu sda − ads a δ˜ : S −1 R → S −1 ΩR/R0 , → s s2 n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 37 với a ∈ R s ∈ S Đặt δ = dS −1 R/R0 Vì δ : S −1 R → ΩS −1 R/R0 R0 -đạo hàm phổ dụng nên tồn đồng cấu S −1 R-môđun h : ΩS −1 R/R0 → S −1 ΩR/R0 cho δ˜ = h ◦ δ Đặt d˜ = δ ◦ π1 , π1 : R → S −1 R, a 7→ a với a ∈ R Ta chứng minh d˜ : R → ΩS −1 R/R0 R0 -đạo hàm Thậy vậy, lấy a1 , a2 ∈ R r0 ∈ R0 , ta có lu an n va p ie gh tn to a + a  a  a  2 ˜ d(a1 + a2 ) = (δ ◦ π1 )(a1 + a2 ) = δ =δ +δ 1 ˜ ) + d(a ˜ ), = (δ ◦ π1 )(a1 ) + (δ ◦ π1 )(a2 ) = d(a     ˜ a1 ) = (δ ◦ π1 )(r0 a1 ) = δ r0 a1 = r0 δ a1 = r0 (δ ◦ π1 )(a1 ) d(r 1 ˜ ), = r0 d(a       ˜ a2 ) = (δ ◦ π1 )(a1 a2 ) = δ a1 a2 = a1 δ a2 + a2 δ a1 d(a 1 1 ˜ ) + a2 d(a ˜ ) = a1 (δ ◦ π1 )(a2 ) + a2 (δ ◦ π1 )(a1 ) = a1 d(a d oa nl w Hơn nữa, d : R → ΩR/R0 R0 -đạo hàm phổ dụng nên tồn a lu đồng cấu R-môđun g : ΩR/R0 → ΩS −1 R/R0 cho biểu đồ sau f an nv giao hoán d / oi lm ul R g , nh d˜ ΩR/R0 #  tức d˜ = g ◦ d z at ΩS −1 R/R0 z gm @ Xét tương ứng om l.c l : S −1 ΩR/R0 → ΩS −1 R/R0 Pn n X  bi  i=1 dbi δ 7→ s s i=1 n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 38 với x = Pn dbi s i=1 ∈ S −1 ΩR/R0 , n ∈ N\{0}, , bi ∈ R với i = 1, , n s ∈ S Ta chứng minh l đồng cấu S −1 R-môđun l ánh xạ ngược h Trước hết, ta chứng minh l ánh xạ Giả −1 sử x, y ∈ S ΩR/R0 thỏa mãn x = y Ta có x = Pn i=1 dbi s1 Pm j=1 cj ddj ,y = s2 , n, m ∈ N\{0}, , bi , cj , dj ∈ R s1 , s2 ∈ S, i = 1, , n, j = 1, , m Khi tồn t ∈ S cho n m  X  X t s2 dbi − s1 cj ddj = i=1 j=1 Từ suy lu n m an X  bi  X  dj  l(x) − l(y) = δ − cj δ s1 i=1 s2 j=1 n va n m p ie gh tn to X X = (δ ◦ π1 )(bi ) − cj (δ ◦ π1 )(dj ) s1 i=1 s2 j=1 n m d oa nl w X ˜ X ˜ d(bi ) − cj d(dj ) = s1 i=1 s2 j=1 n m  X  X ˜ ˜ = ts2 d(bi ) − ts1 cj d(dj ) ts1 s2 i=1 j=1 a lu n m oi lm ul f an nv n m  X  X = ts2 (g ◦ d)(bi ) − ts1 cj (g ◦ d)(dj ) ts1 s2 i=1 j=1  X   X g ts2 dbi − ts1 cj ddj = = ts1 s2 i=1 j=1 nh z at Bây ta chứng minh l đồng cấu S −1 R-môđun Thật vậy, với z x, y ∈ S −1 ΩR/R0 , x, y as ∈ S −1 R, ta có ! Pn Pm s a db + s c dd i i j j i=1 j=1 l(x + y) = l s1 s2 ! n m     X X bi dj = s δ + s1 cj δ s1 s2 i=1 1 j=1 om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 n m X  bi  X  dj  δ + cj δ = l(x) + l(y), = s1 i=1 s2 j=1 n a   Pn aa db  b  X i i i i=1 l x =l = aai δ s ss1 ss1 i=1 n a X  bi  a δ = l(x) = s s1 i=1 s Cuối cùng, ta chứng minh h ◦ l = IdS −1 ΩR/R0 l ◦ h = IdΩS−1 R/R Với −1 x ∈ S ΩR/R0 , x trên, ta có lu an n va p ie gh tn to n n h1 X  b i b  X i i (h ◦ l)(x) = h δ = (h ◦ δ) s1 i=1 s1 i=1 n n X dbi X ˜ bi  = = x δ = s1 i=1 s1 i=1 Pn  bi  Hơn nữa, với ω = i=1 ti δ si ∈ ΩS −1 R/R0 , n ∈ N\{0}, , bi ∈ nên d oa nl w R ti , si ∈ S với i = 1, , n, 1 s   si  si   i = δ + δ 0=δ si si 1 si a lu oi lm ul f an nv n n hX hX ˜ bi i  si dbi − bi dsi i (l ◦ h)(ω) = l δ =l t si t s2i i=1 i i=1 i n n X  dbi bi dsi  X h  bi  bi  si i = l − = δ − 2δ t s s s t s si i i i i i i i=1 i=1 n  i X h  b i  b i  = δ − − s2i δ t si si si i=1 i n X h  bi  bi  i = δ = ω + δ t si 1 si i=1 i z at nh z l.c gm @  om Vậy ta có điều cần chứng minh n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40 2.5 Một áp dụng dãy khớp thứ hai Trong mục này, ta tìm hiểu áp dụng dãy khớp thứ hai trường hợp R vành afin m iđêan cực đại để đưa điều kiện cần đủ cho vành địa phương Rm quy Các kết mục tham khảo từ tài liệu [2], [5] Trong mục này, K giả thiết trường đóng đại số K[x1 , x2 , xn ] vành đa thức n biến K Mệnh đề 2.5.1 Cho R = K[x1 , x2 , , xn ]/I, I iđêan lu an thực K[x1 , x2 , , xn ] Cho m iđêan cực đại R Khi n va tồn đẳng cấu K-không gian vectơ to tn m/m2 → R/m ⊗ ΩR/K p ie gh R Chứng minh Vì K trường đóng đại số nên tồn c = (c1 , , cn ) ∈ d oa nl w K n cho m = mc = hx1 − c1 , , xn − cn i/I a lu Áp dụng dãy khớp thứ hai ta có dãy khớp R/m-không gian f an nv vectơ β oi lm ul α m/m2 → R/m ⊗ ΩR/K → ΩR/m/K → R α z at nh Do R/m ∼ = K Ví dụ 2.2.7 (i), ta có R/m-tồn cấu m/m2 → R/m ⊗ ΩR/K , z R @ gm α(x) = ⊗ dR/K x với x ∈ m Ta cần chứng minh tồn om l.c đồng cấu R n a Lu γ ∈ HomR/m (R/m ⊗ ΩR/K , m/m2 ) n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 cho γ ◦ α = Idm/m2 Trước hết, ta định nghĩa K-đạo hàm δ : R → m/m2 Với a ∈ R, a = f , f ∈ K[x1 , x2 , , xn ], ta viết f = f (c) + f˜, f˜ ∈ hx1 − c1 , , xn − cn i Từ suy a = a0 + x, lu an a0 = f (c) ∈ K x = f˜ ∈ m Ta định nghĩa n va tn to δ(a) = x ∈ m/m2 p ie gh Khi δ ánh xạ δ K-tuyến tính Hơn nữa, với a, b ∈ R, ta có d oa nl w a = a0 + x, a lu b = b0 + y, f an nv a0 , b0 ∈ K x, y ∈ m Khi oi lm ul δ(ab) = a0 y + b0 x = (a − x)y + (b − y)x z Do δ ∈ DerK (R, m/m2 ) Đặt z at nh = ay + bx = aδ(b) + bδ(a) @ l.c gm γ = (ψ −1 ◦ ϕ−1 )(δ), om ϕ ψ tương ứng xác định Hệ 2.3.5 Mệnh R n a Lu đề 1.4.4 Khi γ ∈ HomR/m (R/m ⊗ ΩR/K , m/m2 ) γ = ψ −1 (h) = γ˜ , n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 42 h ∈ HomR (ΩR/K , m/m2 ), h ◦ dR/K = δ γ˜ ∈ HomR/m (R/m ⊗ R ΩR/K , m/m ), γ˜ (a ⊗ ω) = ah(ω) với a ∈ R/m, a ∈ R ω ∈ ΩR/K Ta cần chứng minh γ ◦ α = Idm/m2 Thật vậy, với x ∈ m, ta có (γ ◦ α)(x) = (˜ γ ◦ α)(x) = γ˜ (1 ⊗ dR/K x) = (h ◦ dR/K )(x) = δ(x) = x  Bổ đề 2.5.2 Cho R = K[x1 , x2 , , xn ]/I, I iđêan thực K[x1 , x2 , , xn ] Cho m iđêan cực đại R Khi lu an n va m/m2 ∼ = mRm /(mRm )2 p ie gh tn to  không gian vectơ R/m ∼ = Rm mRm Chứng minh Ta có đẳng cấu trường d oa nl w a  α : R/m → Rm mRm , a 7→ với a ∈ R a lu Xét tương ứng f an nv oi lm ul ϕ : m/m2 → mRm /(mRm )2 x x 7→ nh z x − y ∈ m2 Suy z at với x ∈ m Ta chứng minh ϕ ánh xạ Giả sử x, y ∈ m cho @ l.c gm x y x−y − = ∈ (mRm )2 1 om Do n a Lu ϕ(x) = ϕ(y) n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si