(Luận văn) một số vấn đề về đa giác lưỡng tâm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THANH TÙNG lu an n va MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA GIÁC LƯỠNG TÂM p ie gh tn to d oa nl w a lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m ll fu an nv z at nh z gm @ m co l an Lu n va Thái Nguyên - 2016 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THANH TÙNG lu MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA GIÁC LƯỠNG TÂM an n va p ie gh tn to oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC d Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 m ll fu an nv a lu oi NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh TS TRẦN VIỆT CƯỜNG z gm @ m co l an Lu n va Thái Nguyên - 2016 ac th si i Mục lục Lời nói đầu 1 Tam giác lưỡng tâm tứ giác lưỡng tâm lu 1.1 an n va 1.1.1 Tính chất tam giác lưỡng tâm 1.1.2 Khoảng cách tâm đường tròn nội tiếp gh tn to Tam giác lưỡng tâm Tứ giác lưỡng tâm 16 p ie 1.2 đường tròn ngoại tiếp 1.2.1 Tính chất tứ giác lưỡng tâm 16 oa nl w 1.2.2 Diện tích tứ giác lưỡng tâm 36 d a lu Đa giác lưỡng tâm ứng dụng Đa giác lưỡng tâm 39 2.1.1 Tính chất đa giác lưỡng tâm 39 2.1.2 Mối quan hệ n-giác lưỡng tâm 2n-giác oi m ll z at nh 2.2 fu an nv 2.1 39 lưỡng tâm với đường tròn bàng tiếp 41 Một số ứng dụng 45 z @ Bài toán Fuss tứ giác lưỡng tâm 2.2.2 Định lý Poncelet đa giác lưỡng tâm 2.2.3 Một số tập ứng dụng chương trình phổ 45 gm 2.2.1 m co l 50 57 an Lu thông n va ac th si ii Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si iii Danh sách hình vẽ lu Đa giác lưỡng tâm a Tam giác lưỡng tâm b Tứ giác lưỡng tâm 1 1.1 Tam giác có đường trịn ngoại tiếp (O, R), cạnh có độ dài a, b, c thỏa mãn c ≥ b ≥ a Tam giác ABC với cạnh có độ dài c ≥ b ≥ a Đường cao có độ dài h kẻ từ C xuống cạnh AB 11 12 13 15 16 17 18 20 21 22 24 24 25 25 26 26 27 28 29 an n va p ie gh tn to 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an iv 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 lu an n va 30 31 32 33 34 35 Các tứ giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé Các lục giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé Các bát giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé Các thập giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé Bàn bi-a trịn với chướng ngại vật hình trịn Bàn bi-a tròn với lỗ tròn Tiếp tuyến điểm tiếp xúc bi-a với đường tròn lớn 46 47 48 49 50 51 51 52 53 p ie gh tn to 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 oa nl w 2.11 53 d 54 54 55 55 55 55 oi m ll fu an nv z at nh 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 a lu 2.12 z 56 56 57 58 59 61 gm @ m co l an Lu 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời nói đầu lu an n va p ie gh tn to Trong lĩnh vực hình học sơ cấp, vấn đề đa giác lưỡng tâm chủ đề hấp dẫn nhắc đến thường xuyên Một số toán đa giác lưỡng tâm xếp lớp toán kinh điển hình học, chẳng hạn tốn Fuss hay định lý Poncelet đa giác lưỡng tâm Khái niệm đa giác lưỡng tâm P không gian R2 phát biểu sau: Đa giác P gọi đa giác lưỡng tâm tồn đồng thời đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp ứng với P (xem Hình 1) d oa nl w fu an nv a lu (a) Tam giác lưỡng tâm (b) Tứ giác lưỡng tâm m ll oi Hình 1: Đa giác lưỡng tâm z at nh z Trong luận văn này, mục tiêu chúng tơi trình bày lại cách có hệ thống kết quả, số tính chất thú vị đa giác lưỡng tâm Nội dung luận văn gồm hai chương Trong chương thứ nhất, chúng tơi trình bày khái niệm, tính chất tam giác lưỡng tâm tứ giác lưỡng tâm Nội dung chương chủ yếu xoay quanh việc tìm hiểu tính chất lên mối quan hệ bán kính đường trịn nội tiếp, bán kính đường trịn ngoại tiếp khoảng cách hai tâm Bên cạnh đó, số cơng thức thú vị để tính diện tích gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an tứ giác lưỡng tâm trình bày cụ thể Tiếp theo, chương thứ hai, chúng tơi trình bày tính chất đa giác lưỡng tâm với mối quan hệ bán kính đường trịn nội tiếp, bán kính đường trịn ngoại tiếp khoảng cách hai tâm Ngồi ra, chúng tơi có trình bày lại mối quan hệ giữa n− giác lưỡng tâm 2n− giác lưỡng tâm với đường tròn bàng tiếp chúng Cuối cùng, đề cập đến số tốn tiếng đa giác lưỡng tâm, toán Fuss Poncelet Yên Bái, tháng năm 2016 Tác giả lu an va n Bùi Thanh Tùng p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Tam giác lưỡng tâm tứ giác lưỡng tâm lu an n va 1.1 Tam giác lưỡng tâm p ie gh tn to Trong Chương 1, chúng tơi trình bày khái niệm, số tính chất, công thức tam giác lưỡng tâm tứ giác lưỡng tâm d oa nl w Từ kiến thức hình học sơ cấp, biết tam giác T có đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp tương ứng với Do đó, đa giác tam giác tam giác lưỡng tâm Trong mục này, chúng tơi xin đưa tính chất đẹp tam giác lưỡng tâm m ll fu an nv a lu 1.1.1 Tính chất tam giác lưỡng tâm oi z at nh z Các tính chất thú vị tam giác lưỡng tâm chủ yếu xoay quanh hai đại lượng, bán kính ngoại tiếp R bán kính nội tiếp r, phần đưa mối liên hệ, cách tính R r Với trường hợp đường trịn ngoại tiếp tam giác T , có độ dài cạnh a, b, c, công thức sin cho phép ta tính tốn độ dài bán kính R cách thuận lợi Ta biểu diễn R hàm với độ dài a, b, c gm @ m co l Lu an Mệnh đề 1.1.1 ([4, tr 2-3]) Gọi T tam giác có độ dài cạnh a, b, c (c ≥ b ≥ a) Khi đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp R n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an tính cơng thức sau R=p abc 4a2 b2 − (a2 + b2 − c2 )2 (1.1) Chứng minh Gọi A, B, C đỉnh tam giác T thỏa mãn AB = a, AC = b, BC = c, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác T , w góc hợp cạnh BC OC , e góc hợp BC OB , d góc hợp AC OA, f góc hợp AB OA (Hình 1.1) Ta có cơng thức sau c , 2R b = eb, (tính chất tam giác cân) w b b+w b = d, C b= cos w (1.2) lu (1.3) an (1.4) va n b db + fb = A, b = fb eb + B (1.5) gh tn to (1.6) p ie Kết hợp (1.4) với (1.5) biến đổi, ta thu đẳng thức sau oa nl w b+w b − fb b=A C (1.7) Kết hợp (1.3) với (1.6), ta có d a lu b = fb b+B w (1.8) fu an nv m ll C A b f oi z at nh ω R d c a e B O z gm @ m co l Hình 1.1: Tam giác có đường trịn ngoại tiếp (O, R), cạnh có độ dài a, b, c thỏa an Lu mãn c ≥ b ≥ a n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 51 Hình 2.6 lu an n va p ie gh tn to Ví dụ 2.2.4 Minh họa cho Định lí Poncelet với hai đường conic hai elip, + Hình 2.7 đa giác khép kín tứ giác A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 + Hình 2.8 đa giác khép kín lục giác A1 A2 A3 A4 A5 A6 B1 B2 B3 B4 B5 B6 d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ Hình 2.7 m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 52 Hình 2.8 lu an n va p ie gh tn to Định lí phát biểu tổng quát cho hai đường conic chứa Nếu hai đường conic hai đường trịn đa giác khép kín đa giác lưỡng tâm Trong hình học Euclide nội dung phát biểu sau (tuy nhiên tính chất hình học phát định lý tính chất xạ ảnh.) oa nl w d Định lý 2.2.5 Cho hai đường tròn C0 C Từ điểm A C , ta dựng dãy điểm Ai , i 6= C sau: A1 = A, Ai 6= Ai+1 đường thẳng Ai Ai+1 tiếp xúc với C0 với i; đường thẳng Ai Ai+1 khác với đường thẳng Ai Ai−1 với i 6= Khi tồn số nguyên dương n 6= cho An = A với điểm A C Ai 6= A với số nguyên dương i 6= với điểm A C oi m ll fu an nv a lu z at nh Dưới đưa số hình ảnh minh họa cho Định lý 2.2.5 z gm @ Ví dụ 2.2.6 Minh họa cho Hệ Định lí Poncelet, + Hình 2.9 đa giác khép kín tứ giác lưỡng tâm + Hình 2.10 đa giác khép kín lục giác lưỡng tâm + Hình 2.11 đa giác khép kín bát giác lưỡng tâm + Hình 2.12 đa giác khép kín thập giác lưỡng tâm m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 53 Hình 2.9: Các tứ giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé lu an n va p ie gh tn to d oa nl w fu an nv a lu oi m ll Hình 2.10: Các lục giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 54 Hình 2.11: Các bát giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé lu an n va p ie gh tn to d oa nl w m ll fu an nv a lu Hình 2.12: Các thập giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn oi bé z at nh z gm @ Ứng dụng học định lý Poncelet Định lý Poncelet có tính chất để giải thích số tượng học cách tự nhiên tinh tế, ta lấy C0 C đường trịn, C chứa C0 Khi đó, quỹ đạo chuyển động bi-a C đa giác lưỡng tâm nội tiếp đường tròn C ngoại tiếp đường trịn C0 Hay nói cách khác, ta quan tâm đến quỹ đạo bi-a hình m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 55 Hình 2.13: Bàn bi-a trịn với Hình 2.14: Bàn bi-a trịn với lỗ chướng ngại vật hình trịn trịn lu an n va tròn C Giả sử ta bắn bi-a chạm đường tròn C điểm P , góc đến, kí hiệu góc a, góc đi, kí hiệu góc b, (xem hình 2.15) Hơn nữa, tất đoạn thẳng thuộc quỹ đạo bi-a tiếp tuyến với C0 (xem Hình 2.17) p ie gh tn to d oa nl w fu an nv a lu Hình 2.16 oi m ll Hình 2.15 z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 56 P Hình 2.17: Tiếp tuyến điểm tiếp xúc bi-a với đường tròn lớn lu an n va Nếu quỹ đạo bi-a khơng có chu kỳ, đường bi-a lấp đầy phần hình trịn C mà trừ phần bao C0 (xem Hình 2.18) p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh Hình 2.18 z gm @ Trong mơ tả tốn học hệ động lực bi-a, người ta cải thiện số giả định chẳng hạn coi bi-a chất điểm, lực ma sát coi không biên phản xạ xem hoàn toàn đàn hồi m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 57 2.2.3 Một số tập ứng dụng chương trình phổ thơng Trong mục chúng tơi nêu tốn liên quan đến đa giác lưỡng tâm chương trình tốn phổ thơng Bài tốn 2.2.7 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I), nội tiếp đường tròn (O) AI cắt (O) lần thứ hai E Chứng minh E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Lời giải lu an n va p ie gh tn to d oa nl w a lu Hình 2.19 fu an nv oi m ll \ = EAC \ (hai góc nội tiếp chắn cung EC ) Trước tiên ta có CBE [ = IBA [ + IAB [ (tính chất góc ngồi tam giác) Do đó, ta có BIE z at nh [ = IBC [ + CBE \ = IBA [ + ECA \ = IBA [ + BAI [ = BIE [ IBE [ = BIE [ nên cân đỉnh E Suy EI = EB Tam giác EBI có IBE z @ gm Tương tự EI = EC Vậy E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC  m co l an Lu Bài toán 2.2.8 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tâm (O) ngoại tiếp đường tròn tâm (I) Gọi X, Y, Z, T tiếp điểm đường tròn (I) với AB, BC, CD, DA Gọi H, K hình chiếu I BD, AC Chứng minh SXKT = SXHY n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 58 lu an n va Hình 2.20 to p ie gh tn Lời giải Ta có tứ giác T KXA XBY H nội tiếp đường tròn \ = CAD \ = CBD \ = HXY \ Từ đường kính IA IB suy KXT d oa nl w \ SXKT XT · XK · sin T XK = SXY H \ XY · XH · sin HXY XT · XK = XY · XH \ · sin CAB \ IA2 · sin DAB = \ · sin DAB \ IB · sin ABC IA · BD · BC = IB · AC · A Như vậy, ta cần chứng minh oi m ll fu an nv a lu z at nh z m co l AD BC = IA.ID IB.IC AC BD = IA.IC IB.ID gm @ Thật vậy, ta có IA2 AC · AD = IB BD · BC n ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn va AC · AD IA · IC IA · ID IA2 = · = BD · BC IB · ID IB · IC IB an Lu Do đó, si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 59 Vì vậy, SXKT =1 SXY H hay SXKT = SXY H  Bài toán 2.2.9 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tâm (O) ngoại tiếp đường tròn tâm (I) Kéo dài AI, BI, CI, DI cắt (O) A’, B’, C’, D’ Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB, BIC, CID, DIA nằm cạnh tứ giác A’B’C’ D’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’IB’, B’IC’, C’ID’, D’IA’ R2 − d2 nằm đường trịn tâm I bán kính 2r lu Lời giải an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l Hình 2.21 an Lu Gọi O1 , O2 , O3 , O4 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB, BIC, CID, DIA; O10 , O20 , O30 , O40 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A0 IB , B IC , C ID0 , D0 IA0 n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 60 0 \ [ \ [ Ta có IO C = 2IBC = ABC = IA C , suy tứ giác IO2 A C nội 0 \ [0 tiếp Suy IO A = ICA = 90 Tương tự ta có O2 hình chiếu I A0 D0 Như O1 , O2 , O3 , O4 hình chiếu I cạnh tứ giác A0 B C D0 Mặt khác, đặt k = PI /(O) Ta có IO20 = Mặt khác, B C = IO20 B 0C B 0C = IC \ [ sin B sin BIC k.BC , suy IB.IC lu k R − d2 = = 2r 2r [ 2.IB.IC sin BIC k.BC an n va gh tn to Chứng minh tương tự suy O10 , O20 , O30 , O40 nằm đường tròn tâm I R2 − d2 bán kính 2r  p ie Bài toán 2.2.10 Cho ngũ giác lưỡng tâm ABCDE Gọi A1 , B1 , C1 , D1 , E1 giao điểm cặp đường thẳng BD CE, CE DA, DA EB, EB AC, AC BD Chứng minh ngũ giác A1 B1 C1 D1 E1 ngoại tiếp d oa nl w oi m ll fu an nv a lu Lời giải Gọi A2 , B2 , C2 , D2 , E2 tiếp điểm CD, DE, EA, AB, BC với (I) Gọi A3 , B3 , C3 , D3 , E3 giao điểm B2 D2 C2 E2 , D2 A2 C2 E2 , E2 B2 D2 A2 , A2 C2 E2 B2 , B2 D2 A2 C2 Áp dụng định lý Pascal cho điểm A2 , B2 , C2 , D2 , C2 , D2 suy A nằm đường thẳng nối giao điểm B2 D2 A2 C2 , B2 C2 A2 D2 Tương tự D nằm đường thẳng nối giao điểm B2 D2 A2 C2 , B2 C2 A2 D2 Từ E3 ∈ AD z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 61 lu an n va Hình 2.22 to p ie gh tn Chứng minh tương tự ta có A3 ∈ BE , B3 ∈ AC , C3 ∈ BD D3 ∈ EC Ta có oa nl w \ \ \ \ \ C\ E3 A3 = EB2 D2 − EDA = EB2 D2 − EBA = C1 A3 E3 d Từ đó, ta có C1 A3 = C1 E3 Tương tự D1 A3 = D1 B3 , suy AE3 +AB3 = PAC1 D1 Mặt khác, a lu AD2 sin E\ AC2 sin B\ D2 A C2 A , AB3 = \ \ sin AE sin AB D2 C2 fu an nv AE3 = oi m ll Ta chứng minh AE3 = AB3 z Thật vậy, z at nh AD2 sin E\ AC2 sin B\ D2 A C2 A = \ \ sin AE sin AB D2 C2 @ gm AD2 sin E\ AC2 sin B\ D2 A C2 A = \ \ sin AE sin AB D2 C2 sin E\ sin B\ D2 A C2 A ⇔ = \ \ sin AE sin AB D2 C2 \ sin E\ sin AE sin D\ D2 A D2 A3 B ⇔ = = \ \ \ sin AB C sin AB C sin E A B 3 2 m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 62 Hơn nữa, ta có BA3 BD2 BA3 BE2 = , = sin E\ sin A\ sin D\ sin A\ A3 B E2 B A3 B D2 B Suy ra, ta có sin D\ sin E\ sin A\ A3 B D2 A D2 B = = \ \ \ sin AB C sin A E B sin E A B 3 2 lu Vậy AE3 = AB3 , hay A3 , B3 , E3 tiếp điểm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác AC1 D1 với ba cạnh Chứng minh tương tự suy tam giác AC1 D1 , BD1 E1 , CE1 A1 , DA1 B1 , EB1 C1 có chung đường trịn bàng tiếp, hay ngũ giác A1 B1 C1 D1 E1 ngoại tiếp  an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 63 Kết luận Luận văn trình bày số kết sau: - Trình bày định nghĩa đa giác lưỡng tâm tính chất đa giác lưỡng tâm - Trình bày chứng minh mối quan hệ đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp khoảng cách hai tâm hai đường tròn vừa nêu lu an - Trình bày chứng minh số cơng thức tính diện tích tứ giác lưỡng tâm n va p ie gh tn to - Trình bày số toán đa giác lưỡng tâm ứng dụng d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 64 Tài liệu tham khảo lu Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Linh, Một số vấn đề đa giác lưỡng tâm, Euclidean Geometry Blog URL hhttp : //nguyenvanlinh.wordpress.comi an n va Tiếng Anh p ie gh tn to [2] Dorrie H (1965), 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover Publications Inc., New York oa nl w [3] Dragovi´c V and Radnovic M (2011), Poncelet porism and beyond, Springer, Berlin d [4] Heinlein D J (1998), Properties of bicentric circles for three-sided polygons, Master thesis, University of North Texas a lu m ll fu an nv [5] Josefsson M (2010), "Characterizations of bicentric quadrilaterals", Forum Geometricorum, pp 165-173 oi [6] Josefsson M (2011), "The Area of a Bicentric Quadrilateral", Forum Geometricorum, pp 155-164 z at nh z [7] Josefsson M (2012), "Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral", Forum Geometricorum, pp 237 - 241 @ gm [8] Josefsson M (2014), Angle and circle characterizations of tangential quadrilaterals, Forum Geometricorum, pp 1-13 m co l an Lu [9] Radi´c M (2004), "Some relations concerning triangles and bicentric quadrilaterals in connection with Poncelet’s closure theorem when conics are circles not one inside of the other", Elem Math., 59, pp 96-116 n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn