(Luận văn) một số vấn đề về cực trị của hàm số và ứng dụng trong bài toán thực tế ở bậc phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỮU NGUYÊN lu an n va tn to p ie gh MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ Ở BẬC PHỔ THÔNG d oa nl w m ll fu an nv a lu oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z gm @ m co l an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỮU NGUYÊN lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TỐN THỰC TẾ Ở BẬC PHỔ THƠNG oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC d a lu fu an nv CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 46 01 13 oi m ll z at nh z gm @ Người hướng dẫn: TS NGUYỄN HỮU TRỌN m co l an Lu n va ac th si Lời cam đoan lu Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu thân Các kết nghiên cứu luận văn trung thực xác Các thơng tin tham khảo luận văn trích dẫn cách đầy đủ cẩn thận an n va to p ie gh tn Bình Định, ngày 30 tháng 07 năm 2020 Tác giả oa nl w Nguyễn Hữu Nguyên d oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Lời xin gửi đến TS Nguyễn Hữu Trọn lời cảm ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy tơi suốt khóa học, đặc biệt q trình làm luận văn Tôi xin cảm ơn tất thầy cô Khoa Toán Thống kê, Trường Đại Học Quy Nhơn nhiệt tình giảng dạy tơi suốt khóa học Xin bày tỏ cảm ơn đến vị lãnh đạo chuyên viên Phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Quy Nhơn tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học Tơi xin cảm ơn giáo viên trường THPT Võ Lai, bạn học viên Cao học khóa 21 hỗ trợ, động viên suốt thời gian học Cuối cùng, kiến thức cịn hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn nhiều thiếu sót Kính mong thầy bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh Quy Nhơn, ngày 30 tháng 07 năm 2020 Tác giả z gm @ l Nguyễn Hữu Nguyên m co an Lu n va ac th si Mục lục lu an n va 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm hàm số 1.2 Bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức Bunhiacopski 1.3 Các công thức thể tích, diện tích khối đa diện 3 gh tn to Lời nói đầu p ie Cực trị hàm số 2.1 Điều kiện cần cực trị 2.2 Điều kiện đủ cực trị 2.2.1 Điều kiện đủ cực 2.2.2 Điều kiện đủ cực 2.2.3 Một số ví dụ 2.3 Cực trị hàm lồi d oa nl w cấp cấp cao m ll fu an nv a lu trị trị 7 10 11 12 13 16 oi Mơ hình hóa tốn học tốn tối ưu thực tế chương trình tốn phổ thơng 3.1 Mơ hình hóa tốn học 3.2 Một số tốn tối ưu thực tế chương trình tốn phổ thơng 3.2.1 Các toán liên quan đến việc cắt - ghép hình, khối hình 3.2.2 Các toán lãi suất ngân hàng, giá cả, lợi nhuận 3.2.3 Các toán tối ưu chi phí sản xuất 3.2.4 Các toán di chuyển - quãng đường z at nh 18 19 z gm @ 26 m co l an Lu 26 46 50 59 n va ac th si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 3.2.5 Các toán tăng trưởng 70 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 74 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Một số kí hiệu viết tắt lu an n va p ie gh tn to N, Z, Q, R, C Các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, số thực, số phức (tương ứng) BĐT Bất đẳng thức V Thể tích S Diện tích BBT Bảng biến thiên d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời nói đầu lu an n va p ie gh tn to Trong thực tế đặt cho giải vấn đề nhằm đáp ứng nhu cầu sống người Mỗi vấn đề ln liên quan gắn chặt với nhiều toán ngành khoa học, đặc biệt toán tối ưu Các toán tối ưu có nguồn gốc từ xa xưa lịch sử toán học bắt nguồn từ hoạt động thực tiễn người, ngày toán tối ưu phát triển, nghiên cứu nhiều lĩnh vực tốn học có ứng dụng rộng rãi đời sống kỹ thuật Trong chương trình tốn bậc phổ thơng nay, tốn tối ưu (thực tế) xuất với tần suất ngày cao đề thi THPT QG đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó Học sinh phải đối mặt với nhiều dạng toán thực tế mà phương pháp giải chúng lại chưa hệ thống đầy đủ Sách giáo khoa Vì vậy, để giải dạng tốn này, cần tìm hiểu chất khai thác phương pháp tư giải toán đặc trưng cho loại toán Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy học sinh, giáo viên bậc phổ thông, chọn đề tài để tìm hiểu nghiên cứu luận văn thạc sĩ nhằm phân loại, tổng họp phân tích đưa lời giải hợp lý, phù hợp với trình độ học sinh góp phần vào việc giảng dạy giáo viên học sinh bậc phổ thông Như quan sát kinh nghiệm giảng dạy trường phổ thông, toán tối ưu thực tế chương trình tốn bậc phổ thơng chủ yếu xoay quanh số vấn đề việc cắt ghép khối hình, tốn liên quan đến chuyển động, tăng trưởng loài, vấn đề kinh tế lãi suất, tốn tối ưu chi phí sản xuất, chi phí vận d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an chuyển, Nội dung luận văn bao gồm 03 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày kiến thức cần thiết phục vụ cho phần sau Chương 2: Cực trị hàm số: Chương trình bày nguyên lý cực trị: điều kiện cần đủ cấp cấp cao cho hàm số biến số làm sở lý thuyết cho chương sau lu an n va p ie gh tn to Chương 3: Mơ hình hóa tốn học tốn tối ưu thực tế chương trình tốn bậc phổ thơng: Trình bày khái niệm q trình mơ hình hóa tốn học từ toán thực tế, làm cầu nối để giải tốn thực tế từ cơng cụ tốn học Đồng thời, tổng hợp phân loại toán thực tế thường gặp chương trình tốn bậc phổ thơng với mục đích giúp ích cho học sinh giáo viên bậc phổ thơng q trình học tập giảng dạy d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Kiến thức chuẩn bị lu an n va p ie gh tn to Chương trình bày số khái niệm hàm số, bất đẳng thức bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức Bunhiacopski, công thức liên quan đến thể tích, diện tích khối đa diện hay công thức lãi đơn, lãi kép sử dụng chương sau Nội dung chủ yếu biên soạn từ sách giáo khoa Giải tích 12, [6], [8] [7] oa nl w 1.1 Một số khái niệm hàm số d fu an nv a lu Định nghĩa 1.1 (a) Hàm số f : D → R gọi đồng biến (tăng) D, với x, y ∈ D cho x < y ta có f (x) < f (y) oi m ll (b) Tương tự, hàm số gọi nghịch biến (giảm) D, với x < y f (x) < f (y) z at nh (c) Hàm số f gọi đơn điệu D tăng giảm D z @ gm Định nghĩa 1.2 (a) Hàm số f : D → R gọi bị chặn tồn số thực M cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ D m co l an Lu (b) Hàm số f : D → R gọi bị chặn tồn số thực m cho f (x) ≥ m, ∀x ∈ D n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 62 Thời gian người chiến sĩ chạy √ 300 11 − x MB = (s) tc = vc v Tổng thời gian người chiến sĩ công mục tiêu: lu √ ä 300 11 1Ä √ T = t1 + t2 = 100 + x2 − x + v v √ √ Đặt f (t) = 1002 + x2 − x với x ∈ (0; 300 11) Để T nhỏ f (x) phải nhỏ Ta có: f (x) = √1002x2 +x2 − Khi đó, an va n 100 1002 + x2 = 2x ⇔ x = √ Từ ta suy p ie gh tn to f (x) = ⇔ √ Å oa nl w min√ f (x) x∈(0;300 11) =f ã 100 √ d Vậy người chiến sĩ phải bơi đoạn fu an nv a lu AM = √ 200 1002 + x2 = √ (m) m ll để đến mục tiêu nhanh oi z at nh z Bài toán 34 (Sách tập Giải tích 12 - Nâng cao) Lưu lượng xe ôtô vào đường hầm cho công thức f (v) = 0,36v2209,4v +13,2v+264 (xe/giây) v (km/h) vận tốc trung bình xe vào đường hầm Tính vận tốc trung bình xe vào đường hầm cho lưu lượng xe lớn tính giá trị lớn gm @ m co l Lời giải Theo giả thiết ta có: Lu an −0, 36v + 264 f (v) = 290, ; v > (0, 36v + 13, 2v + 264)2 n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 63 √ 264 0, f (v) = ⇔ v = √ 264 f đạt giá trị lớn v = ≈ 27, 08 (km/h) f 0, Ç√ 264 0, å ≈ 8, lu Bài toán 35 Một đường dây điện nối từ nhà máy điện A đến đảo C khoảng cách ngắn từ C đến B 1km Khoảng cách từ B đến A Mỗi km dây điện đặt nước 5000 USD, đặt đất 3000 USD Hỏi điểm S bờ cách A để mắc dây điện từ A qua S đến C tốn an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh Hình 3.19: z @ √ ( CS = + x2 gm Lời giải l Đặt BS = x, (0 < x < 4) Khi đó, Chi phí bỏ 4−x m co SA = an Lu √ f (x) = 5000 + x2 + 3000(4 − x) n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 64 lu an n va Hình 3.20: tn to Ta cần tìm x ∈ (0; 4) cho f (x) nhỏ p ie gh 5000x − 3000, Xét hàm số y = f (x) (0; 4) Ta có f (x) = √ + x2 d oa nl w f (x) = fu an nv a lu √ 1000(5x − + x2 ) √ ⇔ =0 + x √ ⇔ + x2 = 5x ⇔ 9(1 + x2 ) = 25x2 , x ≥ oi m ll z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 65 Suy x = 43 Ta có bảng biến thiên lu an n va gh tn to Hình 3.21: p ie Từ bảng biến thiên ta có f (x) đạt giá trị nhỏ 16000 13 Vậy điểm S bờ cần tìm cách A khoảng − = (km) Bài toán 36 Cho hai vị trí A, B cách 615m, nằm phía bờ sơng hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118m 487m Một người từ A đến bờ sơng để lấy nước mang B Tính đoạn đường ngắn mà người d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu Hình 3.22: n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 66 Lời giải Gọi S điểm bờ sông DC Ta có khoảng cách DC = 492(m) Đặt SD = x (m) Khi đó, SC = 492 − x (m) với < x < 492 lu an n va Đoạn đường người cần để hồn thành cơng việc » √ 2 f (x) = 118 + x + 4872 + (492 − x)2 p ie gh tn to Hình 3.23: oa nl w Sử dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski 1.7, ta đạt ước lượng d a lu » (118 + 487)2 + (x + 492 − x)2 ≈ 779, fu an nv f (x) ≥ Dấu “=” xảy oi m ll 118 x = ⇔ x ≈ 95, 96 478 492 − x z at nh Vậy đoạn đường ngắn mà người 779, m z Bài toán 37 (Toán học tuổi trẻ lần 8) Một vùng đất hình chữ nhật ABCD có AB = 25km, BC = 20km M, n trung điểm AD, BC Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A đến C cách thẳng từ A đến điểm X thuộc đoạn M N lại thẳng từ X đến C Vận tốc ngựa phần ABM N 15km/h, vận tốc ngựa phần M N CD 30km/h Thời gian để ngựa di chuyển từ A đến C giờ? gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 67 Lời giải lu an n va to p ie gh tn Hình 3.24: d oa nl w Gọi M X = x(km) với ≤ x ≤ 25 √ Quãng đường AX = x2 + 10 √ x2 + 102 (h) Khi đó, thời gian tương ứng 15 p Quãng đường CX = (25 − x)2 + 102 Thời gian tương ứng fu an nv a lu √ oi m ll x2 − 50x + 725 (h) 30 √ x2 − 50x + 725 30 gm @ f (x) = x2 + 100 + 15 z √ z at nh Tổng thời gian l m co với x ∈ [0; 25] Bài toán ta quy việc tìm giá trị nhỏ hàm số f đoạn [0; 25] Ta có Lu x x − 25 √ + √ 15 x2 + 100 30 x2 − 50x + 725 an f (x) = n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 68 Khi f (x) = ⇔ x = Tính giá trị: 4+ √ 29 ≈ 1, 56, √ + 29 f (25) = ≈ 2, 13, √ f (5) = ≈ 1, 49 √ Vậy hàm số f đạt GTNN x = Bài tốn 38 (Sách tập Giải tích 12 - Cơ bản) Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t) = 6t2 − t3 Tính thời điểm t (giây) vận tốc v(m/s) chuyển động đạt giá trị lớn f (0) = lu an n va p ie gh tn to d oa nl w Lời giải Theo giả thiết, ta có s(t) = 6t2 − t3 , t ∈ (0; +∞) Vận tốc chuyển động v(t) = s0 (t) = 12t − 3t2 Ta có: v (t) = 12 − 6t = ⇔ t = Bảng biến thiên: + − oi z at nh v(t) +∞ m ll v (t) fu an nv a lu t 12 z gm @ l Dựa vào BBT, ta có max v(t) = v(2) = 12(m/s) Vậy vận tốc đạt giá trị lớn t = 2(s) m co (0;+∞) an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 69 Bài toán 39 (Đề minh họa lần năm 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s = − t3 + 9t2 với t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? Lời giải Vận tốc thời điểm t v(t) = s0 (t) = − t2 + 18t Do vận tốc lớn vật đạt lu v (t) = −3t + 18 = ⇔ t = an n va Theo phương pháp biến thiên hàm số, vận tốc lớn vật vmax = v(6) = 36(m/s) p ie gh tn to Bài toán 40 Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn sông để đẻ trứng sỏi đá chết Khi nghiên cứu cá hồi sinh sản người ta phát quy −t2 luật chuyển động nước yên lặng s(t) = + 4t với t (giờ) 10 khoảng thời gian từ lúc cá bắt đầu chuyển động s (km) quãng đường cá bơi khoảng thời gian Nếu thả cá hồi vào dịng sơng có vận tốc dịng nước chảy km/h Tính khoảng cách xa mà cá hồi bơi ngược dịng nước đến nơi đẻ trứng d oa nl w fu an nv a lu oi m ll Lời giải Vận tốc cá bơi lúc nước yên lặng z at nh t v(t) = s0 (t) = − + (km/h) z Gọi vận tốc quãng đường cá bơi ngược dòng V (t) S (t) Ta có t V (t) = v(t) − vnước = − + 2, gm @ m co l an S(t) = n va t2 V (t)dt = − + 2t + C 10 Lu Z ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 70 t + 2t Với t = S(0) = nên C = Suy S(t) = − 10 S (t) = V (t) = Bằng phương pháp biến thiên hàm số ta có maxt>0 S(t) = S(10) Vậy khoảng cách xa cá bơi S(10) = − 102 + 2.10 = 10 (km) 10 lu an n va p ie gh tn to Bài toán 41 (Sách giáo khoa 12 - Nâng cao) Một cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt khoảng cách 400km tới nơi sinh sản Vận tốc dòng nước 6km/h Giả sử vận tốc bơi cá nước đứng yên v km/h lượng tiêu hao cá t cho công thức E(v) = cv t, c số cho trước; E tính Jun Vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng cá tiêu hao bao nhiêu? d oa nl w Lời giải Vận tốc cá bơi ngược dòng v − 6, (v > 6) (km/h) 300 300 Suy thời gian để bơi t = (h), suy E = cv (J), v−6 v−6 Å ã 300 suy E đạt giá trị nhỏ v đạt giá trị nhỏ v−6 2v − 18v 300 Ta có f (v) = v , v > ⇒ f (v) = 300 v−6 (v − 6)2 v đạt giá trị lớn oi m ll fu an nv a lu z at nh 2v − 18v f (v) = ⇔ = ⇔ v = (km/h) (v − 6)2 z gm @ Các toán tăng trưởng m co l 3.2.5 an Lu Bài toán 42 (Sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao) Sau phát bệnh dịch, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t f (t) = 45t2 − t3 , t = n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 71 0, 1, 2, , 25 Nếu coi f hàm số xác định [0; 25] f (t) xem tốc độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm t (a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ (b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn tính tốc độ (c) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn 600 Lời giải Số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t f (t) = 45t2 − t3 , t ∈ [0; 25] Để xét tốc độ truyền bệnh, ta xem hàm số f xác định đoạn [0; 25] lu an (a) f (t) = 90t − 3t2 = 3t(30 − t) Tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ năm f (5) = 375 (người/ngày) n va gh tn to (b) f 00 (t) = 90 − 6t = ⇔ t = 15 Bảng biến thiên: p ie x + oa nl w f 00 (t) − 675 d f (t) +∞ 15 fu an nv a lu oi m ll Từ BBT, tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ 15 Tốc độ f (15) = 675 (người/ngày) z at nh z (c) f (t) > 600 ⇔ 90t − 3t2 > 600 ⇔ t2 − 30t + 200 < ⇔ 10 < t < 20 Từ ngày 11 đến ngày thứ 19, tốc độ truyền bệnh lớn 600 người ngày gm @ m co l Bài toán 43 (Sách giáo khoa 12 - Nâng cao) Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức G(x) = 0, 025x2 (30 − x), x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x tính miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều tính độ giảm an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 72 Lời giải Ta có: G(x) = 0, 75x2 − 0, 025x3 , với x > Đạo hàm G: G0 (x) = 1, 5x − 0, 075x2 = ⇔ x = ∨ x = 20 Bảng biến thiên: x +∞ 20 G0 (x) + − 100 lu G(x) an n va p ie gh tn to Từ BBT, suy maxx∈(0;+∞) G(x) = G(20) = 100 Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều 20 mg Khi đó, độ giảm huyết áp 100 d oa nl w Bài toán 44 Chuyện kể rằng: Ngày xưa, có ơng vua hứa thưởng cho vị quan quà mà vị quan chọn Vị quan tâu: “Hạ thần xin Bệ Hạ thưởng cho số hạt thóc thơi ạ! Cụ thể sau: Bàn cờ vua có 64 với ô thứ xin nhận hạt, ô thứ gấp đơi đầu, thứ lại gấp đôi ô thứ 2, ô sau nhận số hạt thóc gấp đơi phần thưởng dành cho ô liền trước” Giá trị nhỏ n để tổng số hạt thóc mà vị quan từ n (từ ô thứ đến ô thứ n) lớn triệu bao nhiêu? oi m ll fu an nv a lu z at nh Lời giải Tổng số hạt thóc từ đến thứ n z Sn = u1 + u2 + · · · + un = + + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − gm @ m co l Theo giả thiết ta có Sn > 106 Suy 2n − > 106 n > 19, 93 Vì n bé thỏa mãn yêu cầu toán n = 20 an Lu Bài toán 45 Trung tâm luyện thi Đại học Diệu Hiền muốn gửi số tiền M vào ngân hàng dùng số tiền thu (cả lãi tiền gốc) để trao 10 suất học bổng tháng cho học sinh nghèo TP Cần Thơ, suất n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 73 triệu đồng Biết lãi suất ngân hàng 1%/tháng, Trung tâm Diệu Hiền bắt đầu trao học bổng sau tháng gửi tiền Để đủ tiền trao học bổng cho học sinh 10 tháng, trung tâm cần gửi vào ngân hàng số tiền bao nhiêu? Lời giải Gọi M (triệu) số tiền gửi vào ngân hàng, a lãi suất Số tiền sau tháng thứ phát học bổng M (1 + a) − 10 Số tiền sau tháng thứ hai phát học bổng (M (1 + a) − 10)(1 + a) − 10 = M (1 + a)2 − 10(1 + a) − 10 lu Số tiền sau tháng thứ 10 phát học bổng an va n M (1 + a)10 − 10 (1 + a)9 + (1 + a)8 + · · · + (1 + a) + tn to (1 + a)10 − a p ie gh = M (1 + a)10 − 10
Theo đề ta có oa nl w (1 + a)10 − M (1 + a) − 10 = a 10 d   10 (1 + a)10 − M= a(1 + a)10 fu an nv a lu Suy oi m ll Thay a = 1%, ta tìm M = 94713045 z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 74 Kết luận lu an n va p ie gh tn to Tốn học có nguồn gốc thực tiễn chìa khóa hầu hết hoạt động người Trong thực tiễn đời sống có nhiều tốn tối ưu hóa nhằm đạt lợi ích cao Việc vận dạng tốn học vào thực tiễn sẽ làm cho người học cảm thấy hứng thú kích thích tìm tòi kiến thức người học Thực tế chương trình mơn tốn trường THPT tốn ứng dụng thực tế cịn ít, làm cho học sinh gặp khơng khó khăn q trình học tập, kì thi kiểm tra Với lý mạnh dạn đưa số toán tối ưu thực tế với hy vọng giúp tốn học có ý nghĩa sống giúp học sinh tìm hiểu, khám phá, mở mang thêm đặc biệt làm quen với dạng toán đỡ phải bỡ ngỡ gặp chúng Trong trình nghiên cứu đề tài, tác giả tham khảo nhiều tài liệu nhiều tác giả Nhân đây, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy tác giả nói Mặc dù cẩn thận, nghiêm túc tính tốn cách trình bày chắn tài liệu khơng tránh khỏi thiếu sót định Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đọc để tài liệu hoàn thiện hơn! d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 75 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Các đề thi Toán THPT QG năm gần lu an [2] (2018), Tạp chí Pi, số n va gh tn to [3] Đặng Việt Đông (2016), Bài tập trắc nghiệm Các dạng toán ứng dụng thực tế p ie [4] Nguyễn Minh Đức (2017), 40 toán tối ưu thực tế d oa nl w [5] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2007), Giải tích 12 (cơ bản), Nhà xuất giáo dục, Việt nam a lu oi m ll fu an nv [6] Trần Phương, Trần Tuấn Anh, Nguyễn Anh Cường, Bùi Việt Anh (2012), Những viên kim cương Bất đẳng thức Toán học, 4th edition, NXB Tri thức z at nh [7] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2007), Giải tích 12 (nâng cao), Nhà xuất giáo dục, Việt Nam z @ gm [8] Lê Đình Thúy (2015), Toán cao cấp cho nhà kinh tế, Phần 1, 2, Nhà xuất Đại học Kinh Tế quốc dân Tiếng Anh: m co l Lu an [9] J Brinkhuis and V Tikhomirov (2005), Optimization: Insights and Applications, Princeton University Press n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn