(Luận văn) một số vấn đề về đường tròn mixtilinear

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HẰNG lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRÒN MIXTILINEAR d oa nl w fu an nv a lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m ll z at nh z gm @ m co l an Lu n va Thái Nguyên, 10/2017 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HẰNG lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRÒN MIXTILINEAR d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC a lu Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp fu an nv Mã số: 60 46 01 13 oi m ll z at nh z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC @ gm PGS TS TRẦN VIỆT CƯỜNG m co l an Lu n va Thái Nguyên, 10/2017 ac th si i Mục lục Danh mục ký hiệu ii Danh sách hình vẽ iii lu an Mở đầu n va p ie gh tn to Chương Đường tròn Mixtilinear 1.1 Một số kiến thức liên quan 1.2 Đường tròn Mixtilinear 1.2.1 Định nghĩa cách dựng 1.2.2 Một số tính chất đường trịn Mixtilinear 1.2.3 Ứng dụng đường tròn Mixtilinear oa nl w 4 10 10 12 23 d Chương Đường tròn Thebault 33 2.1 Định nghĩa cách dựng 33 2.2 Một số tính chất đường trịn Thebault 35 2.3 Ứng dụng đường tròn Thebault 41 m ll fu an nv a lu Kết luận 56 oi z at nh Tài liệu tham khảo 57 z gm @ m co l an Lu n va ac th si ii Danh mục ký hiệu lu an Đường tròn tâm O (O, a) Đường trịn tâm (O) bán kính a (O, AB) Đường trịn tâm (O) bán kính AB (ABC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (ABCD) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD wa , wb , wc Đường trịn Mixtilinear ứng với góc A, B, C (ABCD) = −1 Tỉ số kép −1 I(ABCD) = −1 Chùm điều hòa V(O,k) Phép vị tự tâm O, tỉ số k n va (O) rABC Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC SABC Diện tích tam giác ABC p(ABC) Nửa chu vi tam giác ABC d oa nl w Phương tích điểm A với đường trịn (O) p ie gh tn to PA/(O) oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an iii Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 lu an n va p ie gh tn to 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 d oa nl w AP BQ tứ giác điều hòa Hai đường trịn (I, R) (I , R0 ) có O1 tâm vị tự ngoài, O2 tâm vị tự Các tâm vị tự A1 , A2 , A3 thẳng hàng Phương tích điểm P với đường tròn (O) P A · P B Tâm đẳng phương P đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) Định lý Menelaus Định lý Pascal Ba đường tròn Mixtilinear (OA ), (OB ), (OC ) tam giác ABC Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ hai Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ ba Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ tư I trung điểm Ab Ac XI qua điểm cung BAC Ab Ac , BC, XD, Ob Oc , Y Z đồng quy điểm AL song song với BC AEKF hình bình hành AF XE tứ giác điều hòa, (I1 ) (I2 ) tiếp xúc M N k AI (XIN ) tiếp xúc với (O) AX, AP hai đường đẳng giác góc BAC XOb , XOc hai đường đẳng giác góc BXC Ba Ab Cb Bc Ac Ca lục giác ngoại tiếp đường tròn (I) RS tiếp tuyến wa U V tiếp tuyến chung (I) (Ia ) A4 D trục đẳng phương wb wc Z, Y, K, J thuộc đường tròn oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu 6 8 10 11 11 12 12 13 13 14 15 15 16 18 19 19 20 21 21 22 24 n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an iv lu an n va (QM N ) qua điểm J T E phân giác góc AT B E, I, F thẳng hàng K, T, I thẳng hàng, K, Q, R thẳng hàng, Ma Q vng góc BC IQ qua điểm X cố định P, I, D thẳng hàng M N P Q cắt (O) M, T, X thẳng hàng 25 25 26 27 28 29 30 31 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 Đường tròn Thebault Cách dựng đường tròn Thebault I, E, F thẳng hàng I, O1 , O2 thẳng hàng (O1 ) tiếp xúc với (O2 ) Hai đường tròn (O1 ) (O2 ) Đường tròn nội tiếp hai tam giác EDB EDC G, E, L, X thuộc đường tròn A0 J trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) (XY Z) tiếp xúc với (O) (XY Z) tiếp xúc với (O) ABCD hình vng M tâm ngoại tiếp tam giác BCN I trung điểm HE LK đường trung trực AI M N qua tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B tam giác ABC d = DAB d + DCB d 2EGF Đường trịn đường kính M N ln qua điểm J cố định R nằm đường tròn cố định Trục đẳng phương (K) (L) chia đôi cung AB CD (O) SM T N cắt E thuộc (O) dC P I phân giác góc DP O1 O2 , I1 I2 , BC đồng quy d M P k BC R nằm phân giác BAC 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 44 45 46 47 48 49 50 p ie gh tn to 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l 2.21 2.22 2.23 2.24 51 52 53 54 55 an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mở đầu lu Các tốn hình học phẳng nghiên cứu từ lâu đến ln có sức hấp dẫn, niềm đam mê nhiều nhà toán học giới, thu hút u thích thầy dạy tốn học sinh Chúng thường xuyên xuất tạp chí tốn học, blog tốn học, đề thi học sinh giỏi hay kì thi Olympic an n va p ie gh tn to Trong kỳ thi học sinh giỏi, thường xuất tốn hình học có ứng dụng tính chất đường trịn Mixtilinear đường tròn Thebault (đường tròn Mixtilinear mở rộng) để giải Đường tròn Mixtilinear nội tiếp đường tròn tiếp xúc với hai cạnh tam giác tiếp xúc với đường trịn ngoại tiếp tam giác Đường trịn Mixtilinear vấn đề hình học phẳng, bắt đầu nghiên cứu người Nhật Bản từ kỷ XVII, toán khắc đền cổ Từ định nghĩa đường tròn tạo nhiều điều thú vị ẩn chứa bên d oa nl w a lu oi m ll fu an nv Đến năm 1983, Bankoff [7] người giới thiệu thuật ngữ đường tròn Mixtilinear thiết lập công thức để biểu diễn bán kính đường trịn Mixtilinear theo bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Từ đến có nhiều cơng trình nghiên cứu đường trịn Mixtilinear phát triển thêm thành đường tròn Mixtilinear ngoại tiếp, đường trịn Thebault Các tốn đường trịn đa dạng ln tốn nâng cao địi hỏi tư logic, sáng tạo, kỹ chứng minh khéo léo kết hợp với kiến thức rộng khắp để áp dụng với kết khác hình học phẳng z at nh z gm @ m co l Nhắc đến đường tròn Mixtilinear đường trịn Thebault khơng thể khơng nhắc đến định lý Thebault Đây định lý đẹp hình học phẳng Nguyên liệu chủ yếu chứng minh định lý Bổ đề Sawayama Vì vậy, chúng gộp chung thành tên gọi định lý Sawayama Thebault Định lý Sawayama Thebault coi bổ đề thơng dụng tốn Olympic khó, đơi việc dùng thông dụng hiển an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an nhiên tới mức khó nhận vai trị [3] Ở Việt Nam, tốn đường trịn Mixtilinear ứng dụng nhiều quan tâm, ý thầy cơ, bạn học sinh u tốn Chúng xuất rải rác tạp chí tốn học tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, tạp chí Epsilon, tạp chí Mathley Một số blog tốn học tiếng blog thầy Trần Quang Hùng, Nguyễn Văn Linh dành nhiều chuyên đề đề tài Trong tài liệu ôn tập đề thi tuyển chọn học sinh giỏi tỉnh, trường chun ln có tập liên quan đến đường tròn Mixtilinear đường tròn Thebault lu an n va p ie gh tn to Với tầm quan trọng đường tròn Mixtilinear, đường trịn Thebault ứng dụng, mục đích tìm hiểu đường trịn Mixtilinear, chúng tơi chọn đề tài Một số vấn đề đường tròn Mixtilinear để nghiên cứu, trình bày làm luận văn cao học Luận văn tài liệu tổng hợp kiến thức liên quan đến đường tròn Mixtilinear định nghĩa, cách dựng, tính chất Luận văn tổng hợp toán ứng dụng liên quan nhằm cung cấp tài liệu tham khảo đầy đủ, trọn vẹn cho học thầy cô, em học sinh người u tốn oa nl w Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương d Chương 1: Đường tròn Mixtilinear Chương trình bày số khái niệm, số định lý, kiến thức sở hình học phẳng mà chúng xuất chứng minh tính chất hay giải tốn liên đường trịn Mixtilinear Sau chúng tơi trình bày khái niệm, cách dựng, tính chất đường trịn Mixtilinear số ứng dụng oi m ll fu an nv a lu z at nh z Chương 2: Đường tròn Thebault Chương trình bày khái niệm đường trịn Thebault, cách dựng, tính chất đường Thebault Dựa vào đó, chúng tơi trình bày số tốn khó mà thường xuất hình kì thi học sinh giỏi liên quan đến đường tròn Thebault gm @ m co l an Lu Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới PGS TS Trần Việt Cường, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô, người tận tâm giảng dạy bảo tác giả suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết chân thành tới phịng Sau Đại học, khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt trình học tập nghiên cứu khoa học Cuối xin gửi làm cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Người viết luận văn lu an n va p ie gh tn to Nguyễn Thị Hằng d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Đường tròn Mixtilinear lu an n va p ie gh tn to Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, số định lý, kết hình học phẳng mà chúng xuất chứng minh tính chất hay giải tốn liên đường trịn Mixtilinear Sau chúng tơi trình bày khái niệm, cách dựng, tính chất đường trịn Mixtilinear số ứng dụng Các tài liệu tham khảo [4, 6, 10, 11] Một số kiến thức liên quan oa nl w 1.1 d Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Bốn điểm A, B, C, D gọi hàng điểm điều hòa CA DA =− Ký hiệu (ABCD) = −1 CB DE fu an nv a lu Tính chất 1.1.2 ([1]) Bốn điểm gọi hàng điểm điều hòa hệ thức sau thỏa mãn: m ll 1 = + (hệ thức Descarter) AB CA DA oi z at nh 2 IA = IC · ID (với I trung điểm AB) (hệ thức Newton) z gm @ Gọi J trung điểm CD, ta có AC · AD = AB · AJ (hệ thức Maclaurin) AB CB = AD CD m co gọi tứ giác điều hòa l Định nghĩa 1.1.3 ([1]) Tứ giác ABCD nội tiếp thỏa mãn an Lu Ví dụ, cho đường trịn (O) điểm M nằm ngồi đường trịn M A M B tiếp tuyến vẽ từ M đến (O) Một cát tuyến qua M cắt (O) P Q Khi đó, AP BQ tứ giác điều hịa (Hình 1.1) n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 lu Hình 2.12: ABCD hình vng an n va p ie gh tn to tiếp xúc với (ABCD) Áp dụng định lý Sawayama - Thebault suy Ia ∈ Ob Oc Do R(Oa ) = R(Ob ) = R(Oc ) = R(Od ) nên R(Ia ) = R(Ib ) = R(Ic ) = R(Id ) Từ hai tứ giác Ia Ib Ic Id ABCD có cạnh tương ứng song song Ta biết Ia Ib Ic Id hình chữ nhật, ABCD hình chữ nhật d oa nl w Mặt khác, áp dụng Tính chất 2.2.5 cho tam giác ABC hai đường tròn Thebault (Oa ) (Ob ) suy I tiếp điểm đường trịn bàng tiếp góc B với AC Mà I trung điểm AC nên tam giác ABC cân B Suy ABCD hình vng a lu oi m ll fu an nv Bài toán 2.3.5 (CGMO 2013) Cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) tiếp xúc T Tức giác ABCD nội tiếp (O1 ) cho AD, BC tiếp xúc với [ giao EF N, F T giao (O1 ) lần thứ (O2 ) E, F Phân giác ABF hai M Chứng minh M tâm ngoại tiếp tam giác BCN z at nh z gm @ m co l an Lu n va Hình 2.13: M tâm ngoại tiếp tam giác BCN ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 45 Chứng minh Gọi B , C giao BT, CT với (O2 ) Do T tâm vị tự (O1 ) (O2 ) suy BC k B C Từ F điểm cung B C Phép vị tự tâm T biến B → B, C → C, F → M nên M điểm cung BC Do (O2 ) đường tròn Thebault bàng tiếp tam giác ABC ứng [ với EF nên theo Bổ đề với đường thẳng AD N giao phân giác ABC Sawayama - Thebault, N tâm bàng tiếp góc B tam giác ABC Ta biết điểm cung BAC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy điều phải chứng minh lu Bài toán 2.3.6 ([3]) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O), trực tâm H Đường trịn ω có tâm E tiếp xúc với đoạn thẳng HB, HC tiếp xúc với (O) Chứng minh trung điểm HE tâm đường tròn nội tiếp tam giác BHC an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh Hình 2.14: I trung điểm HE z Chứng minh Gọi D giao CH với (O) Suy D đối xứng với H qua AB Gọi F, G tiếp điểm ω với HB, HC; I, J tâm đường tròn nội tiếp tam giác BHC, BDC Theo Bổ đề Sawayama - Thebault suy d = 180o − BIC \ = HF \ [ [ = 90o − BHC J, F, G thẳng hàng Ta có BIJ G = JF B [I = 180o − BF [I = 180o − BJC [ = Suy tứ giác BJF I nội tiếp Ta có HF 1 \ = 90o − BHD \ = F[ 90o − BDC HI Suy I trung điểm HE Ta có điều 2 phải chứng minh gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 46 Bài toán 2.3.7 ([3]) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Một đường tròn ω tiếp xúc với cạnh AB, AC L, K tiếp xúc với (BOC) Chứng minh LK chia đôi AI với I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC lu an n va gh tn to p ie Hình 2.15: LK đường trung trực AI d oa nl w [ = Chứng minh Gọi E giao điểm thứ hai AC với (BOC) Ta có BEA \ = 180o − BOC \ = 180o − BAC [ Do tam giác AEB cân E 180o − BEC Suy OE trung trục đoạn thẳng AB OE giao CI điểm M cung AB Do ω đường tròn Thebault tam giác BEC ứng với đường thẳng BA M tâm đường trịn bàng tiếp góc C tam giác BEC nên M, L, K thẳng hàng Tương tự, gọi N điểm cung AC N.L, K thẳng hàng Do M N trung trực đoạn thẳng AI nên LK chia đôi AI oi m ll fu an nv a lu z at nh Bài toán 2.3.8 (Định lý Sawayama - Thebault mở rộng, [7]) Cho tam giác nội tiếp đường tròn (O) D điểm thuộc tia đối tia CB Đường tròn (K) tiếp xúc DA, DC M, N tiếp xúc (O) Chứng minh M N qua tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B tam giác ABC z gm @ m co l Chứng minh Gọi phân giác đỉnh A cắt (O) E khác A AE cắt M N J (K) tiếp xúc (O) F Dễ thấy E, N, F thẳng hàng EB = EC = EN · EF 1\ \ [ KN = F[ OE = F BE = F AJ suy tứ giác AF M J Ta lại có F\ MN = F 2 [J = 180o − N [ \ \ \ nội tiếp Suy EF F J = 180o − EF M = 180o − JM A−M AJ = an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 47 lu an n va p ie gh tn to oa nl w Hình 2.16: M N qua tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B tam giác ABC d \ M JA Từ 4EF J ∼ 4EJN suy EJ = EN · EF = EC = EB Suy J tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B tam giác ABC Ta có điều phải chứng minh fu an nv a lu oi m ll Bài toán 2.3.9 ([3]) Cho tứ giác ABCD Giả sử tia BA giao tia CD F , \ [ cắt G Chứng minh tia DA giao CB E Phân giác góc DF A, AEB [ = DAB \ + DCB \ 2EGF z at nh z \ + CDE \ + ECD \ = 180o Xét tam Chứng minh Xét tam giác ECD, ta có DEC \ \ \ = 180o Từ giác F BC, ta có CF B+F BC + BCF @ gm \ + CF \ \ \ + 2BCD \ = 360o = DAB \ + BCD \ + ABC [ + CDA \ DEC B +F BC + CDE l m co Hay [ + DF \ \ = DAB \ AEB A + BCD (2.4) d + yCx d + CxG [ + GyC [ = 360o xGy an Lu Mặt khác, ta có n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 48 lu an n va to gh tn [ = DAB \ + DCB \ Hình 2.17: 2EGF p ie Mà nên oa nl w d − AEB, d − DF [ = 180o − yCx [ GyC [ = 180o − yCx \ CxG A, 2 d [ \ \ + CxG [ + GyC [ = BCD \ + 360o − 2BCD \ − AEB + DF A BCD [ \ \ − AEB + DF A = 360o − BCD fu an nv a lu oi m ll Suy = 360o − z at nh d = 360o − (BCD \ + CxG [ + GyC) [ xGy ! \+ = BCD z [ \ \ − AEB + DF A 360o − BCD [ + DF \ AEB A @ gm Hay d = 2BCD \ + AEB [ + DF \ 2xGy A m co l (2.5) Thế (2.4) vào (2.5) ta an Lu d = DAB \ + BCD \ 2xGy n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 49 Bài toán 2.3.10 ([3]) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung BC không chứa A (O) điểm D Giả sử CD cắt AB E BD cắt AC F Gọi (K) đường tròn nằm tam giác EBD, tiếp xúc với EB, ED tiếp xúc với đường tròn (O) Gọi (L) tâm đường tròn nằm tam giác F CD, tiếp xúc với F C, F D tiếp xúc với đường tròn (O) a) Gọi M tiếp điểm (K) với BE N tiếp điểm (L) với CF Chứng minh đường trịn đường kính M N ln qua điểm cố định D di chuyển lu b) Đường thẳng qua M song song với CE cắt AC P , đường thẳng qua N song song với BF cắt AB Q Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AM P, AN Q tiếp xúc với đường tròn cố định D di chuyển an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z @ gm Hình 2.18: Đường trịn đường kính M N ln qua điểm J cố định m co l an Lu Chứng minh a) Gọi (K) tiếp xúc ED G (L) tiếp xúc F D H Theo Bài toán 2.3.8, M G, N H qua tâm bàng tiếp J ứng với đỉnh A Theo Bài b b + D) = 90o EK ⊥ LF Dễ thấy tốn 2.3.9 góc tạo (EK, LF ) = (A n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 50 M G ⊥ EK ⊥ LF ⊥ N H Suy ra, M G vuông góc N H J nên đường trịn đường kính M N qua J cố định b) Dễ thấy tam giác EM G cân nên M J phân giác tam giác AM P nên J tâm bàng tiếp góc A tam giác AM P Giả sử đường tròn (R) tiếp xúc với CA, AB Y, Z tiếp xúc (O) tâm bàng tiếp J tam giác ABC trung điểm Y Z Do J tâm bàng tiếp AM P nên đường tròn (R) tiếp xúc AP, AM Y, Z tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác AM P Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AM P tiếp xúc (R) cố định Ta có điều phải chứng minh lu an n va p ie gh tn to Bài toán 2.3.11 ([3]) Cho tam giác ABC đường tròn (O) cố định qua B, C D điểm di chuyển (O) cho A, D khác phía BC Giả sử CD cắt AB E BD cắt AC F Gọi (K) đường tròn tiếp xúc EB, ED M, N tiếp xúc (O) Gọi (L) đường tròn tiếp xúc F C, F D P, Q tiếp xúc (O) Chứng minh giao điểm M N, P Q ln nằm đường trịn cố định D di chuyển d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l Hình 2.19: R ln nằm đường trịn cố định Lu an Chứng minh Gọi AB, AC cắt (O) G, H khác B, C Áp dụng Bài tốn 2.3.8 vào tam giác GBC, HBC, ta có M N qua tâm bàng tiếp S ứng với n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 51 đỉnh G tam giác BGC cố định P Q qua tâm bàng tiếp T ứng với đỉnh H tam giác HBC cố định Gọi M N cắt P Q R ý EK ⊥ M N, F L ⊥ [ \ \ [ = (EK, P Q Theo Bài tốn 2.3.9, ta có SRT F L) = (BAC + CDB) (O) b khơng đổi S, T cố định nên R thuộc \ khơng đổi Từ R cố định nên CDB đường trịn cố định qua S, T Bài tốn 2.3.12 ([3]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có AC cắt BD E Đường trịn (K) tiếp xúc đoạn EA; ED tiếp xúc (O) Đường tròn (L) tiếp xúc đoạn EB; EC tiếp xúc (O) Chứng minh trục đẳng phương (K) (L) chia đôi cung AB CD (O) lu an n va p ie gh tn to d oa nl w fu an nv a lu oi m ll Hình 2.20: Trục đẳng phương (K) (L) chia đôi cung AB CD (O) z at nh Chứng minh Gọi (K) tiếp xúc AC, BD M, N (L) tiếp xúc AC, BD P, Q Theo Tính chất 2.2.1, M N qua tâm nội tiếp I tam giác DAB P Q qua tâm nội tiếp J tam giác CAB Gọi S, T trung điểm [ cung AB CD (O) Ta dễ chứng minh ST song song với phân giác AEB \ Dễ thấy tứ giác AIJB nội tiếp nên IJ cắt vng góc với phân giác BEC EA, EB tạo thành tam giác cân, suy IJ ⊥ ST Hơn DI, CJ qua S SI = SA = SB = SJ Từ tam giác SIJ cân ST ⊥ IJ nên ST chia đôi IJ Trong hình thang M N P Q có ST k M N k P Q ST chia đôi IJ nên ST đường trung bình nên ST qua trung điểm M P, N Q, ST trục đẳng phương (K) (L) Đó điều phải chứng minh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 52 Bài toán 2.3.13 ([3]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi I, J tâm nội tiếp tam giác BAD, CAD Gọi DI, AJ cắt (O) S, T khác D, A Đường thẳng IJ cắt AB, CD M, N a) Chứng minh SM T N cắt đường tròn (O) b) Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN cắt CD P khác N Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt AB Q khác M Chứng minh P Q qua tâm nội tiếp hai tam giác ABC DBC lu an n va p ie gh tn to oa nl w d Hình 2.21: SM T N cắt E thuộc (O) fu an nv a lu oi m ll d = DT [J nên hai Chứng minh a) Dễ thấy tam giác SAI T DJ cân có ASI [ [ = tam giác đồng dạng Dễ thấy tứ giác AIJD nội tiếp nên M AI = IAD \ N \ [ = AIM [ Từ hai tam giác M AI N JD đồng dạng DJN DJ = JDA \=N [ Từ suy SM A T N J đồng dạng Vậy, ta có ASM T J Do SM T N cắt E đường tròn (O) z at nh z b) Gọi AB cắt CD G GE cắt (O) F khác E Ta thấy GC · GD = [ \ GE · GF = GM · GQ Từ tứ giác M QEF nội tiếp nên QF E = AM E = \ \ \ [ [ [ = EF [S Từ S, Q, F thẳng M AS + M SA = M BS + AF E = SF A + ASE hàng Tương tự, T, P, F thẳng hàng Từ chứng minh SM A T N J đồng dạng nên tam giác GM N cân suy GM = GN Lại có GM · GQ = GN · GP nên GP = GQ suy P Q k M N k ST Từ đó, đường trịn ngoại tiếp tam giác F P Q tiếp xúc (O) Vậy theo định lý Poncelet, P Q cắt DB, AC U, V đường trịn ngoại tiếp tam giác F U V tiếp xúc (O) tiếp xúc gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 53 DB, AC Từ theo Bổ đề Sawayama P Q qua tâm nội tiếp hai tam giác ABC DBC Bài toán 2.3.14 ([3]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Hai đường chéo AC BD cắt E Đường tròn (K) tiếp xúc với đoạn EC, ED \ tiếp xúc (O) P Chứng minh phân giác CP D qua tâm nội [ tiếp tam giác ECD phân giác AP B qua tâm nội tiếp tam giác EAB lu an n va p ie gh tn to d oa nl w a lu fu an nv \ Hình 2.22: P I phân giác góc DP C oi m ll Chứng minh Gọi (K) tiếp xúc đoạn EC, ED M, N Gọi J, L tâm nội tiếp tam giác ACD BCD Theo Bổ đề Sawayama M N qua J, L Hơn tứ giác P CM L P DN J nội tiếp Gọi đường tròn ngoại tiếp hai tứ [ = DN \ \ [ Từ giác cắt I khác P Ta có DIP P =N M P = LCP D, I, L thẳng hàng Tương tự, C, I, J thẳng hàng nên I tâm nội tiếp tam [I = IN [ \ [I nên P I phân giác giác ECD Từ dễ có DP E = IM E = CP \ CP D Xét tam giác EAB có đường trịn (O) qua A, B (K) tiếp xúc EA, EB [ tiếp xúc (O) P Theo phần vừa chứng minh phân giác AP B qua tâm nội tiếp tam giác EAB z at nh z gm @ m co l an Lu Bài toán 2.3.15 ([3]) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P điểm cạnh BC, AP cắt (O) Q khác A Gọi (O1 ) đường tròn tiếp xúc với (O) tiếp xúc với hai cạnh P A, P B (O2 ) đường tròn tiếp xúc n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 54 với (O) tiếp xúc P C, P A Gọi I1 , I2 tâm đường tròn nội tiếp tam giác P BQ, P CQ Chứng minh O1 O2 , I1 I2 , BC đồng quy lu an n va p ie gh tn to Hình 2.23: O1 O2 , I1 I2 , BC đồng quy oa nl w d Chứng minh Gọi (O1 ), (O2 ) tiếp xúc (O) T1 , T2 Theo chứng minh trước \ phân giác CT Q qua tâm I2 tâm nội tiếp tam giác P QC qua \ X2 điểm cung QC Tương tự, phân giác BT Q qua tâm I1 tâm nội tiếp tam giác P QB qua X1 điểm cung QB Từ áp dụng Pascal cho sáu điểm T1 , B, X1 ; C, T2 , X2 thu BC cắt T1 T2 S thuộc I1 I2 Mặt khác dễ thấy S thuộc I1 I2 , nên ta có điều phải chứng minh oi m ll fu an nv a lu z at nh z Bài toán 2.3.16 ([3]) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (I) tiếp xúc với cung nhỏ AB tiếp xúc với đoạn AB Q Đường tròn (J) tiếp xúc với cung nhỏ AC tiếp xúc với đoạn AC N Tiếp tuyến chung không cắt đoạn AQ, AN (I) (J) tiếp xúc (I), (J) lần [ lượt M, P Chứng minh M N, P Q cắt phân giác BAC M P k BC gm @ m co l Lu an Chứng minh Gọi M P cắt (O) G, H AK đường cao tam giác AGH Gọi M N cắt P Q R Theo bổ đề Sawayama M N, P Q qua n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 55 lu an n va to gh tn [ M P k BC Hình 2.24: R nằm phân giác BAC p ie tâm nội tiếp tam giác AGH nên R tâm nội tiếp tam giác AGH Từ \ phân giác OAK \ AO, AK đẳng giác AR phân giác GAH \ Từ AR phân giác BAC [ AO, AK đẳng giác GAH [ hay AK đường cao tam giác AB Từ R nằm phân BAC [ M P k BC giác BAC d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 56 Kết luận Trong luận văn trình bày vấn đề sau: lu • Trình bày lại khái niệm định lý sở hình học phẳng tứ giác điều hịa, phép vị tự, trục đẳng phương, định lý Poncelet, định lý Menelaus, định lý Pascal, định lý Thales an n va gh tn to • Trình bày khái niệm, cách dựng, tính chất đường trịn Mixtilinear số tập ứng dụng liên quan thường xuất kì thi học sinh giỏi Các tính chất, tập làm chi tiết, vẽ hình đầy đủ p ie • Trình bày khái niệm đường trịn Thebault, cách dựng, tính chất đường Thebault Ngồi ra, chúng tơi trình bày số tốn thường xuất kì thi học sinh giỏi liên quan đến đường trịn Thebault Các tính chất, tập làm chi tiết, vẽ hình đầy đủ d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 57 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Văn Hạo (chủ biên) (2010), Hình học 10, NXB Giáo dục lu an [2] Trần Văn Hạo (chủ biên) (2016), Sách giáo khoa hình học 11 (Cơ bản) sách giáo viên hình học 11 (Cơ bản), NXB Giáo dục Việt Nam n va p ie gh tn to [3] Trần Quang Hùng, Dương Ánh Ngọc (2016), "Định lý Sawayama Thebault tốn hình học thi Olympic", Tạp chí Epsilon, Vol 9, pp 93–116 oa nl w [4] Nguyễn Văn Linh, Đường tròn Mixtilinear, Euclidean Geometry Blog, URL http://nguyenvanlinh.wordpress.com d [5] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2010), Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục fu an nv a lu [6] https://toanhocsocap.blogspot.com/2017/01/mot-so-bai-toan-ve -uong-tron-mixtilinear.html oi m ll z at nh Tiếng Anh z [7] L Bankoff (1983), "A Mixtilinear Adventure", Crux Mathematicorum with Mathematical, Vol 9, No 1, pp 2–7 gm @ m co l [8] Fukagawa, Hidetoshi, and DanPedoe (1989), Japanese temple geometry problems, Winnipeg: CharlesBab-bage Research Centre an Lu [9] Jean Louis Ayme, A new Mixtilinear incircle adventure I, URL http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Mixtilinear1.pdf n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn