(Luận văn) bậc tôpô và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ DUNG lu an n va to p ie gh tn BẬC TÔPÔ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG d oa nl w fu an nv a lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m ll z at nh z gm @ m co l an Lu n va Bình Định - 2021 ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ DUNG lu an va n BẬC TÔPÔ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG gh tn to p ie Chun ngành: Tốn giải tích d oa nl w Mã số: 8.46.01.02 a lu m ll fu an nv LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi Người hướng dẫn: PGS.TSKH HUỲNH VĂN NGÃI z at nh z gm @ m co l an Lu n va Bình Định - 2021 ac th si Mục lục Kiến thức chuẩn bị lu an 1.1 Các đạo hàm thường dùng 1.2 Không gian hàm 11 1.3 Toán tử Compact 14 va n Bậc tôpô không gian hữu hạn chiều p ie gh tn to 2.1 Cách xây dựng định nghĩa bậc tôpô 17 2.1.1 Định nghĩa bậc tôpô ánh xạ khả vi liên tục 18 2.1.2 Định nghĩa bậc tôpô hàm liên tục 23 Tính chất bậc tơpơ 27 oa nl w 2.2 17 Tính cộng tính theo miền 27 2.2.2 Tính bất biến qua ánh xạ đồng luân 28 2.2.3 Biểu diễn bậc tôpô qua định thức Jacobi d fu an nv a lu 2.3 2.2.1 32 37 2.3.1 Ứng dụng bậc tôpô chứng minh định lý điểm bất động 37 2.3.2 Định lý Borsuk m ll Ứng dụng bậc tôpô 38 oi z at nh Bậc tôpô không gian Banach 44 Cách xây dựng khái niệm bậc tôpô không gian Banach 3.2 Tính chất bậc tôpô không gian Banach 45 3.3 Ứng dụng bậc tôpô không gian Banach 46 z 3.1 gm @ l Ứng dụng bậc tôpô chứng minh điểm bất động 3.3.2 Ứng dụng bậc tôpô không gian Banach vô hạn chiều Ứng dụng bậc tơpơ giải phương trình vi phân an Lu 3.3.3 m co 3.3.1 46 49 51 55 n va Kết luận 44 ac th si 56 Danh mục tài liệu tham khảo lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Một số kí hiệu ˆ R: Tập số thực ˆ Rn : Không gian véc tơ n chiều ˆ Ω ⊆ Rn : miền mở Rn ˆ Ω: Bao đóng Ω ˆ Ω \ Ω = ∂Ω: Biên Ω ˆ C(Ω): Không gian tất ánh xạ liên tục lu ˆ C (Ω): Không gian tất ánh xạ khả vi liên tục Ω an n va ˆ C k (Ω): Không gian tất ánh xạ khả vi liên tục đến cấp k Ω gh tn to ˆ suppφ = {x ∈ Rn : φ(x) ̸= 0}: Giá hàm φ p ie ˆ Jf (x) =  ∂f j ∂xi  (x) : Ma trận Jacobi d oa nl w ˆ detJf (x) = If (x): Định thức Jacobi oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời nói đầu Bậc tơpơ khái niệm cơng cụ quan trọng lĩnh vực giải tích hàm phi tuyến; có nhiều ứng dụng khác nghiên cứu toán phi tuyến như: Hệ động lực, Phương trình đạo hàm riêng,Lý thuyết tốn tử lu Trong khuôn khổ luận văn đặt mục tiêu khiêm tốn bước đầu tìm an hiểu cách xây dựng bậc tôpô không gian hữu hạn chiều đến không gian vô hạn va n chiều; xem xét hệ thống tính chất cốt lõi bậc tơpơ số ứng dụng tn to tính chất điểm bất động phương trình vi phân Nội dung luận văn chủ yếu p ie gh hệ thống hoá chắt lọc từ tài liệu tham khảo [1] [2] Những chứng minh hay tập ví dụ trình bày vắn tắt khơng trình bày chúng tơi cố gắng trình oa nl w bày lại cách chi tiết luận văn Ngoài mục lục, danh mục ký hiệu, phần mở đầu phần kết luận, nội dung luận văn chúng tơi trình bày ba d chương a lu Chuơng Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở để chuẩn fu an nv bị cho chương sau luận văn Chương Nội dung chương tìm hiểu cách xây dựng bậc tôpô m ll không gian hữu hạn chiều; số tính chất bậc tôpô ứng dụng oi bậc tôpô chứng minh định lí điểm bất động Brouwer, định lý Borsuk z at nh Chương Nội dung chương cách xây dựng Bậc tôpô không z gian Banach, số tính chất, ứng dụng bậc tôpô chứng minh điểm bấtt động @ ứng dụng bậc tơpơ để giải phương trình vi phân có nghiệm tuần hoàn phản tuần gm hoàn l m co Dưới hướng dẫn thầy Huỳnh Văn Ngãi, chọn đề tài luận văn:"Bậc tôpô số ứng dụng" Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Lu tận tình PGS.TSKH Huỳnh Văn Ngãi Tôi xin chân thành cảm ơn thầy nhận an n va lời hướng dẫn làm luận văn ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mặc dù thân cố gắng, chắn luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thẳng thắn q thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn thiện Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Sau đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn giải tích khóa 22 tận tình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho thời gian học tập nghiên cứu thực đề tài Quy Nhơn, tháng 07 năm 2021 Học viên lu an Nguyễn Thị Dung n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Kiến thức chuẩn bị lu Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị như: đạo hàm an thường dùng; không gian hàm; định lý giá trị trung bình; bổ đề Sard; mệnh đề thác va n triển liên tục, bổ đề liên quan đến toán tử compact làm cở sở tiền đề để người tn to đọc dễ dàng nắm bắt nội dung chương sau Tuy nhiên p ie gh trình bày chứng minh kết thường sử dụng chương sau, kết chưa chứng minh độc giả dễ dàng tìm thấy mục tài Các đạo hàm thường dùng d 1.1 oa nl w liệu tham khảo [1] [2] a lu fu an nv Đầu tiên ta tìm hiểu khái niệm đạo hàm Fréchet hàm hàm tuyến tính liên tục xác định sau m ll Định nghĩa 1.1.1 Cho X, Y hai không gian Banach Ω ⊆ X tập mở, x ∈ Ω oi tính liên tục A : X −→ Y cho z at nh Một ánh xạ f : Ω −→ X gọi khả vi Fréchet x ∈ Ω, tồn ánh xạ tuyến z f (x + h) − f (x) = A(h) + ◦(∥h∥), h ∈ X h −→ 0(∗) @ gm Khi A đạo hàm Fréchet f x kí hiệu Df (x), f ′ (x) l tính liên tục với không gian ma trận cỡ m × n sau m co Với Ω ⊆ Rn tập mở bị chặn ta đồng không gian ánh xạ tuyến an Lu L(Rn , Rm ) = {A : ma trận cỡ m × n} va ma trận đạo hàm theo biến hàm f định nghĩa sau n ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định nghĩa 1.1.2 Cho ánh xạ f : Ω −→ Rn thoả mãn f (x) = (f1 (x), , fn (x)) ∈ Rn với x ∈ Ω.Khi f khả vi x ∈ Ω ma trận đạo hàm f x định nghĩa sau  ∂f1 ∂f2 ∂fn  ∂x1 (x) ∂x1 (x) ∂x1 (x)   ∂f ∂f2 ∂fn    (x) (x) (x)     ∂x ∂x ∂x 2 Df (x) ≡ Jf (x) =        ∂f1 ∂f2 ∂fn  (x) (x) (x) ∂xn ∂xn ∂xn  Khi Df đồng với ma trận Jacobi hàm f định thức detJf (x) = If (x) gọi định thức Jacobi f x lu an Với Ω ⊆ Rn miền mở bị chặn xét f ∈ C (Ω)∩C(Ω) với f (x) = (f1 (x), , fn (x)), ∀x ∈ n va Ω Với (ij) thoả i = 1, , n; j = 1, 2, , n ta định nghĩa Aij (x) định thức tn to If (x) bỏ dòng thứ i cột thứ j ta có bổ đề sau p ie gh Bổ đề 1.1.1 Cho Ω ⊂ Rn miền mở f ∈ C (Ω) n X ∂Aij (x) oa nl w i=1 ∂xi = 0; ∀j = 1, 2, , n; ∀x ∈ Ω Chứng minh Cố định j, với k ∈ {1, 2, , n}, kí hiệu fxk cột d ∂fj−1 ∂fj+1 ∂fn ∂f1 ∂f2 , , , , , , ) ∂xk ∂xk ∂xk ∂xk ∂xk fu an nv a lu ( Khi ta có m ll Aij = (−1)i+j det(fx1 , fx2 , , fxi−1 , fxi+1 , , fxn ) oi Vì định thức ma trận tuyến tính theo cột nên ta có z at nh n X ∂Aij ∂fxk = (−1)i+j det(fx1 , fx2 , , fxi−1 , fxi+1 , , , fxn ).(∗) ∂xi ∂x i k=1,k̸=j z @ Đặt ∂fxk , fx1 , fx2 , , fxi−1 , fxi+1 , fxn ), với k, i = 1, n, k ̸= j ∂xi l ∂ fm ∂ fm = , ≤ i, k, m ≤ n nên dik = dki , Công thức (*) ∂xi ∂xk ∂xk ∂xi m co Khi f ∈ C (Ω) ta có gm dik = det( i+j ∂Aij ∂xi n X X X k−1 k−2 (x) = (−1) dki + (−1) dki = (−1)k−1 σki dki , k>i ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn k=1 n k cho |f (x)| > ε với x ∈ ∂Ω Xét R∞ hàm φ : R −→ R hàm số liên tục với suppφ ⊂ (0, ε) tn−1 φ(t)dt = Z φ(∥f (x)∥)|If (x)|dx = 0.(1) Ω cho oa nl w Chứng minh Theo định lý xấp xỉ Weierstrass tồn dãy hàm {fk } ∈ C (Ω) ∩ C(Ω) d fk ⇒ f ∥Dfk (x) − Df (x)∥ ⇒ Z fu an nv a lu Khi Z m ll φ(∥fk (x)∥)Ifk (x)dx ⇒ Rn φ(∥f (x)∥)If (x)dx Rn oi z at nh |fk (x)| > ε, ∀x ∈ ∂Ω k đủ lớn Do ta cần chứng minh (1) cho z f ∈ C (Ω) ∩ C(Ω) Xét ψ : R −→ R cho  R  t−n t sn−1 φ(s)ds ψ(t) =  0 @ t > gm t ̸= l m co Ta chứng minh suppψ ⊆ (0, ε) ψ khả vi liên tục R Thật vậy, ta có suppφ ⊆ [α, β] ⊆ (0, ε), Rβ sn−1 φ(s)ds = 0 sn−1 φ(s)ds = Do suppψ ⊆ (0, ε) Tiếp theo ta n va Rα an (+) Nếu t ≤ α ψ(t) = t−n Lu (+) Nếu t ≥ β ψ(t) = t−n ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si = ∂p1 ∂p2 − ∂p1 ∂p2 = ( ∂p1 )2 + ( ∂p2 )2 (2) ∂p2 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y điều phải chứng minh d 2, Với g(z) = z n , ta tính deg(g, Ω, 0) Với ∈ Ω, lấy φ : Rn −→ Rn cho Z suppφ ⊆ (0, ε) thoả φ(∥x∥)dx = fu an nv a lu Khi ta có deg(p, Ω, 0) = m ll Z Z ′ φ(∥g(z)∥)g (z)dz = oi Ω φ(∥z∥)dz = Rn z at nh 3, Xét Rn z g(z) = z n f (z) := an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 , với z ∈ C, thoả @ gm |an−1 | + · · · + |a1 | + |a0 | < ∥f (z)∥ = ∥an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 ∥ m co l Khi f, g ∈ C(Ω) ∩ C (Ω) với z ∈ ∂Ω ta có n va ≤ |an−1 | + · · · + |a1 | + |a0 | < = ∥g(z)∥ an Lu ≤ ∥z n−1 ∥|an−1 | + · · · + ∥z∥|a1 | + |a0 | ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 32 Đặt H(t, z) = t(f + g)(z) + (1 − t)g(z) với (t, z) ∈ [0, 1] × Ω Khi ta có H(t, z) ∈ C([0, 1] × Ω) H(1, z) = (f + g)(z) H(0, z) = g(z) Ta có ∈ / H([0, 1] × ∂Ω), áp dụng tính bất biến ánh xạ đồng luân nên ta có deg(H(t, z), Ω, 0) = deg(H(0, z), Ω, 0) Tương đương với deg(f + g, Ω, 0) = deg(g, Ω, 0) Theo kết luận câu ta có deg(g, Ω, 0) = nên deg(f + g, Ω, 0) = Hơn ta lại có p(z) = (f + g)(z) ta suy deg(p, Ω, 0) = Từ theo ý 2.1.1 suy lu an phương trình p(z) = có nghiệm Ω n va q(z) ≡ p(rz) = rn z n + an−1 rn−1 z n−1 + · · · + a1 rz + a0 p ie gh tn to 4, Mở rộng cho hàm q(z) ∈ C sau = rn (z n + oa nl w an−1 rn−1 z n−1 + · · · + a1 rz + a0 ), với z ∈ C, r ̸= rn Khi r > đủ lớn ta có d | fu an nv a lu a1 r a0 an−1 rn−1 | + · · · + | n | + | n | < 1, rn r r theo (3) ta có phương trình p(rz) = có nghiệm Ω kéo theo phương trình q(z) = có nghiệm Ω phương trình q(z) = có nghiệm C oi m ll z at nh 2.2.3 Biểu diễn bậc tôpô qua định thức Jacobi z Định lý 2.2.3 Cho Ω ⊂ Rn mở bị chặn, f ∈ C(Ω) ∩ C (Ω; Rn ), xét tập gm @ Sf = {x ∈ Ω; If (x) ̸= 0} l m co Nếu y ∈ / f (∂Ω ∪ Sf ) , nghịch ảnh f −1 (y) hữu hạn deg(f, Ω, y) số nguyên X signIf (x) n va x∈f −1 (y) an deg(f, Ω, y) = Lu cho ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 33 Chứng minh i, Với f ∈ C(Ω) ∩ C (Ω), y ∈ / f (∂Ω ∩ Sf ) cho f −1 (y) ̸= ∅ Ta chứng minh f −1 (y) ⊂ Ω tập hữu hạn Ω Lưu ý theo định lí nghịch đảo địa phương, ta có với điểm x ∈ f −1 (y) có lân cận mở Vx ⊂ Ω cho hạn chế f |Vx : Vx −→ Rn phép vi phôi cấp đến lân cận Wx y Khi với điểm x ∈ f −1 (y) có lân cận Vx cho Vx {x} ∩ f −1 (b) = ∅ x0 ∈ Vx \{x}, x0 ∈ / f −1 (y) f −1 (y) tập rời rạc Vì f hàm liên tục Ω tập đóng bị chặn nên f −1 (y) tập compact Từ hai điều suy f −1 (y) hữu hạn lu ii, Tiếp theo ta chứng minh với f ∈ C(Ω) ∩ C (Ω),và y ∈ / f (∂Ω ∩ Sf ) cho P f −1 (y) ̸= ∅ bậc topo deg(f, Ω, y) = x∈f −1 (y) signIf (x) an Vì f −1 (y) tập hữu hạn nên ta giả sử va n f −1 (y) = [ {xj } to j∈J tn p ie gh Ở dây J = J(y) tập số hữu hạn, điểm xj ∈ Ω, j ∈ J tồn lân cận Wj ˜ j ⊂ Ω xj cho f | e : Vej −→ Wj y tập mở rời liên thông với lận cận V Vj oa nl w phép vi phôi cấp Điều chứng tỏ với j ∈ J, If (x) ̸= với x ∈ Vej , kéo theo dấu If (x) số với lân cận Vej Ngoài ra, d fu an nv a lu d(y, f (Sf )) > 0, ∂Ω ∪ Sf compact thìf (∂Ω ∪ Sf ) tập compact Khi với y ∈ / f (Ω) kéo theo d(y, f (Sf )) ≥ d(y, f (∂Ω ∪ Sf )) > Khi j∈J oi [ z at nh m ll inf {|f (x) − y|; x ∈ (Ω\ tồn ε0 = ε0 (y) > cho Vj )} > z @ < ε0 < d(y, f (∂Ω ∪ Sf )) gm \ m co B(y; ε0 ) ⊂ l lân cận mở rời Vj ⊂ Vej xj , j ∈ J, cho Wj , Vj = (f \Ve )−1 (B(y; ε0 )) với j ∈ J [ [ Vj ⊂ Ω j∈J ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn n j∈J Vj , va f −1 (B(y; ε0 )) = an Lu j∈J si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 34 Lấy φ ∈ C[0, 1] cho suppφ ⋐ [0, ε0 ] R φ(|y|)dy = Khi ta có, [ φ(|f (x) − y|) = x ∈ (Ω\ Vj ), Rn j∈J S Khi f (x) ∈ / B(y; ε0 ) x ∈ (Ω − j∈J Vj ) Do ta có Z Z deg(f, Ω, b) = φ(|f (x) − y|)If (x)dx = S φ(|f (x) − y|)If (x)dx Ω = j∈J XZ j∈J Vj φ(|f (x) − y|)If (x)dx Vj Z X = {signIf (x); x ∈ Vj } φ(|f (x) − y|)If (x)dx Vj j∈J Chú ý R Vj φ(|f (x) − y|)If (x)dx tích phân xác định Vj ⊂ Ω f ∈ C (Ω) ∩ lu C(Ω) Thì với j ∈ J theo công thức biến đổi tich phân Lebesgue ta có Z Z Z φ(|f (x) − y|)If (x)dx = φ(|y0 − y|)dz = φ(|y0 − y|)dz = an va Vj f (Vj ) B(y;ε0 ) n tn to Khi ta có gh deg(f, Ω, y) = X {signIf (x); x ∈ Vj } = X {signIf (x)} x∈f −1 p ie j∈J oa nl w Bởi cơng thức nên ta có deg(f, Ω, y) ∈ Z y ∈ / f (∂Ω ∪ Sf )) Chú ý 2.2.2 Cho Ω ⊂ Rn tập mở bị chặn, Id ánh xạ đồng Khi ta có deg(Id , Ω, y) = y ∈ Ω deg(−Id , Ω, y) = (−1)n y ∈ Ω d a lu Sau ví dụ đơn giản tính bậc tơpơ cách ứng dụng định lý fu an nv Ví dụ 2.2.2 Cho f : R2 → R2 xác định m ll oi f (x, y) = (x3 − 3xy , −y + 3x2 y) với (x, y) ∈ R2 z at nh z Cho B(O, 2) hình trịn tâm O bán kính 2,và điểm a = (1, 0)     x=−  √2       x3 − 3xy = y=   Ta có f −1 (a) = ⇔    −y + 3x2 y =   x=−  √    y=− √ √ 3 Suy điểm (0, 1) ∈ B(0, 2); (− , ) ∈ B(0, 2); (− , − ) ∈ B(0, 2) 2 2 Ta có ma trận Jacobi f sau gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 35   3x2 − 3y −6xy  Jf (x, y) =  6xy −3y + 3x2 Khi ta có If (1, 0) = √ If (− , )=9 √2 If (− , )=9 2 Suy deg(f, B(0, 2), a) = P (x,y)∈f −1 (a) signIf (x; y) = + + = Cho Ω ⊂ Rn tập mở bị chặn cho f ∈ C(Ω) Bởi tính bất biến qua ánh lu an xạ đồng luân ta có deg(f, Ω, y) số nguyên, y xem thành phần n va liên thông U Rn \f (∂Ω) Vì vậy, số thực kí hiệu deg(f, Ω, U ) Thành tn to phần liên thông không xác định biểu diễn U∞ Bây ta có số cơng thức sau p ie gh Định lý 2.2.4 Cho Ω ⊂ Rn tập mở bị chặn, f ∈ C(Ω), g ∈ C(Rn ) Ui oa nl w thành phần liên thông Rn \f (∂Ω) Nếu y ∈ / (g ◦ f )(∂Ω), deg(g ◦ f, Ω, y) = X deg(f, Ω, Ui )deg(g, Ui , y)(∗∗), d i a lu vế phải biểu thức có hữu hạn số hạng khơng đồng thời không fu an nv Chứng minh i) Trước tiên ta chứng minh (**) có hữu hạn số hạng khơng đồng m ll thời oi Lấy r > cho f (Ω) ⊂ Br (0) Theo M = Br (0) ∩ g −1 (y) tập compact S S M ⊂ Rn \f (∂Ω) = i≥1 Ui Do tồn hữu hạn i, với i = 1, 2, , t cho t+1 i=1 Ui ⊇ z at nh M thoả mãn Ut+1 = U∞ ∩ Br+1 Khi ta có z @ gm deg(f, Ω, Ut+1 ) = deg(g, Ui , y) = với i ≥ t + l hạn số hạng khác m co Khi Uj ⊂ Br (0) g −1 (y) ∩ Uj = ∅ với j ≥ t + Do ,vế phải (**) có hữu Lu ii)Tiếp theo ta chứng minh công thức (**) với f ∈ C(Ω) ∩ C (Ω), g ∈ an n va C (Rn , Rn ), y ∈ / (g ◦ f )(∂Ω) det▽(g ◦ f )(y) ̸= ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 36 Thật ta có X deg(f ◦ g, Ω, y) = x∈(g◦f )−1 (y) signIg (f (x))signIf (x) x∈(g◦f )−1 (y) X = X signIg◦f (x) = signIg (z)signIf (x) x∈f −1 (z),z∈g −1 (y) X = signIg (z)[ z∈g −1 (y),z∈f (Ω) X = X signIf (x)] x∈f −1 (z) signIg (z)deg(f, Ω, z) = X signIg (z)deg(f, Ω, z) i=1 z∈Ui x∈f (Ω),g(z)=y = t X X deg(f, Ω, Ui )deg(g, Ui , y) i lu iii) Cuối ta chứng minh công thức (**) cho trường hợp tổng quát tức an / (g ◦ f )(∂Ω) f ∈ C(Ω), g ∈ C(Rn ), y ∈ va n Đặt to gh tn Vm = {z ∈ Br+1 (0)\f (∂Ω) : deg(f, Ω, z) = m} p ie Nm = {i ∈ N : deg(f, Ω, Ui ) = m} S X i i∈Nm Ui ta có oa nl w Hiển nhiên Vm = deg(f, Ω, Ui )deg(g, Ui , y) = X X X deg(g, Um , y) deg(g, Ui , y)] = [ m m i∈Nm d fu an nv a lu Do ta cần chứng tỏ deg(g ◦ f, Ω, y) = X deg(g, Vm , y) m z at nh lấy g0 ∈ C (Rn ) cho oi m ll Khi ∂Vm ⊂ f (∂Ω) deg(g0 ◦ f, Ω, y) = deg(g ◦ f, Ω, y) deg(g0 , Vm , y) = deg(g, Vm , y) z m co l ta có gm @ Khơng tính tổng qt ta giả sử M0 = Br+1 (0) ∩ g0−1 (y) khác rỗng d(M0 , f (∂Ω)) = inf {|x − z| : x ∈ M0 , z ∈ f (∂Ω)} > Lu an Lấy f0 ∈ C(Ω) cho maxx∈Ω |f (x) − f0 (x)| < d(M0 , f (∂Ω)), f0 (Ω) ⊂ Br+1 (0) đặt n ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn va Vmt = {z ∈ Br+1 (0)\f0 (∂Ω) : deg(f0 , Ω, y) = m} si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 37 Thì ta có Vm ∩ M0 = Vmt ∩ M0 deg(g0 , Vm , y) = deg(g0 , Vm ∩ Vmt , y) = deg(g0 , Vmt , y) Suy deg(g0 ◦ f0 , Ω, y) = X mdeg(g0 , Vm , y) = m X mdeg(g, Vm , y) m Bằng ánh xạ đông luân đơn giản ta deg(g0 ◦ f0 , Ω, y) = deg(g0 ◦ f, Ω, y) Vậy công thức (**) cho trường hợp tổng quát ta có điều phải chứng minh Tiếp theo ta tìm hiểu vài ứng dụng bậc topo 2.3 Ứng dụng bậc tôpô lu an Ứng dụng bậc tôpô chứng minh định lý điểm bất n va 2.3.1 tn to động p ie gh Một ứng dụng quan trọng bậc tôpô dùng để chứng minh định định lý điểm bất động Brouwer oa nl w Trước tiên ta tìm hiểu định lý điểm bất động Brouwer hình cầu đơn vị d Rn a lu fu an nv Định lý 2.3.1 Với số thực n ≥ 1, cho B := {x ∈ Rn ; ∥x∥ < 1} cho f : B(0, 1) → B(0, 1) ánh xạ liên tục Thì f có điểm bất động B(0; 1), tức là, tồn oi m ll x ∈ B(0; 1) cho f (x) = x z at nh Chứng minh Giả sử trái lại, nghĩa f (x) ̸= x với x ∈ B(0, 1) Xét ánh xạ đồng luân H(t, x) : [0, 1] × B(0, 1) −→ Rn định nghĩa H(t, x) = x − tf (x), với t ∈ z [0, 1], x ∈ B(0, 1) Ta áp dụng định lý bất biến ánh xạ đồng luân cho H y(t) ≡ @ với t ∈ [0, 1] Trước tiên ta chứng minh ∈ / H(t, ∂B(0, 1)) vơi t ∈ [0, 1] gm m co l Thật ˆ t = với x ∈ ∂B(0, 1) ta có ∥H(1, x)∥ = ∥x − f (x)∥ > Lu an ˆ ≤ t < với x ∈ ∂B(0, 1) ta có ∥H(t, x)∥ ≥ ∥x∥ − t∥f (x)∥ ≥ − t > n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 38 Do ∈ / H(t, ∂B(0, 1)), theo định lý bất biến ánh xạ đồng luân ta có deg(H(1, · ), B(0, 1), 0) = deg(H(0, · ), B(0, 1), 0) ⇔ deg(Id − f, B(0, 1), 0) = deg(Id , B(0, 1), 0) = nghĩa tồn x ∈ B(0, 1) cho f (x) = x điều mẫu thuẫn với giả thiết ta có điều phải chứng minh Định lý 2.3.2 Cho ∅ = ̸ Ω ⊆ Rn tập lồi compact ,f : Ω → Ω ánh xạ liên tục f có điểm bất động Ω lu n e n Chứng minh Với f ∈ C(K) theo định  lý thác triển liên tục tồn f : R −→ R  f (x) x ∈ Ω e e cho fΩ = f Khi ta có f (x) =  (2−i ψi (x))−1 (2−i ψi (x)f (ai )) x ∈ / Ω fe(Rn ) ⊆ Ω với Ω tập lồi compact Lấy hình cầu B(0; r) ⊇ Ω, với r > Xét an n va tn to fe : B(0; r) −→ Ω ánh xạ liên tục, áp dụng định lý 2.3.1 cho fe|B(0;r) liên tục tồn p ie gh x ∈ Ω cho f (x) = x Định lý chứng minh xong oa nl w Hệ 2.3.1 Cho f : Rn → Rn ánh xạ liên tục (f (x), x) = +∞ f (Rn ) = Rn Nếu lim|x|→+∞ |x| (f (x), x) = +∞ nên với y ∈ Rn tồn R > |x| cho (f (x) − y, x) > với x ∈ ∂B(O, R), B(O, R)là hình cầu mở tâm O bán d Chứng minh Vì lim|x|→+∞ Theo định lý 2.2.2 ta có m ll fu an nv a lu kính R oi deg(f − y, B(O, R), 0) = z at nh tồn điểm x ∈ B(O, R) ⊆ Rn cho f (x) − y = hay nói cách khác phương trình f (x) = y có nghiệm B(O, R) ⊆ Rn Do ta z gm @ có f (Rn ) = Rn Định lý Borsuk Định lý sau cho ta tính chất bậc tơpơ cho hàm lẻ m co l 2.3.2 Lu an Định lý 2.3.3 Cho ∈ Ω ⊂ Rn mở bị chặn, đối xứng qua Nếu f ∈ C(Ω) hàm n va lẻ ∈ / f (∂Ω) deg(f, Ω, 0) lẻ ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh tồn hàm ge : Ω −→ Rn có tính chất sau ge ∈ C(Ω) ∩ C (Ω; Rn ), ge hàm lẻ , Ige(0) ̸= 0∈ / ge(∂Ω), deg(e g , Ω, 0) = deg(f, Ω, 0) Bởi Bổ đề 2.1.1, tồn r = r(f ) > cho ge ∈ C(Ω) ∥e g − f ∥ < r suy 0∈ / ge(∂Ω), deg(e g , Ω, 0) = deg(f, Ω, 0) r Bởi hệ 2.1.1, tồn hàm g1 ∈ C(Ω) ∩ C (Ω; Rn ) cho ∥g1 − f ∥ < Định nghĩa hàm g2 sau g2 := (g1 (x) − g1 (−x), x ∈ Ω, lu an Khi hàm g2 ∈ C(Ω) ∩ C (Ω) định nghĩa hàm lẻ Ma trận Jg (0) có n va thể khơng khả nghịch, tồn < α < (2supx∈Ω )−1 r cho ma trận (Jg (0)−αI) tn to khả nghịch.Với α cho ta định nghĩa hàm ge sau p ie gh ge := g2 (x) − αx, x ∈ Ω oa nl w Khi hàm ge ∈ C(Ω) ∩ C (Ω) định nghĩa hàm lẻ Vì 1 supx∈Ω | (g1 (x) − f (x)) − (g1 (−x) − f (−x)) − αx| < r 2 d a lu nên ta có fu an nv Ige(0) ̸= 0, ∈ / ge(∂Ω), deg(e g , Ω, 0) = deg(f, Ω, 0), Tiếp theo ta chứng minh tồn hàm g : Ω −→ R với tính chất sau m ll oi g ∈ C(Ω) ∩ C (Ω; Rn ), g hàm lẻ , Ig (0) ̸= 0, z at nh 0∈ / g(∂Ω), ∈ / g(Sg ), deg(g, Ω, 0) = deg(e g , Ω, 0) z @ Bởi bổ đề 2.1.1, tồn re = re(e g ) = re(f ) > cho gm g ∈ C(Ω) ∥g − ge∥ < re kéo theo ∈ / g(∂Ω) deg(g, Ω, 0) = deg(e g , Ω, 0) ′ φ (0) = φ(t) ̸= t ̸= 0, m co l Cho a > cho Ω ⊂ B(0; a), φ : R −→ R hàm lẻ thuộc lớp C cho an Lu đặt n ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn va δ := (nsup|t|≤a |φ(t)|)−1 re si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40 Ta định nghĩa hàm theo phương pháp truy hồi sau Với j = 1, 2, , n, đặt Ωj = {x = (xi )ni=1 ∈ Ω; xj ̸= 0} hj : Ωj −→ Rn gj : Ω −→ Rn , j = 1, 2, , n ge(x) , x ∈ Ω1 , g1 (x) := ge(x) − φ(x1 )y1 , x ∈ Ω, φ(x1 ) ta chọn hàm ge ∈ C(Ω; Rn ) xây nhựng y1 ∈ Rn vec tơ thoả Đầu tiên, giả sử h1 (x) := mãn |y1 | < δ y1 ∈ / h1 (S1 ), với S1 := {x ∈ Ω1 ; Ih1 (x) = 0} Chú ý vec tơ y1 tồn tập Rn − h1 (S1 ) trù mật Rn ( theo hệ bổ đề Sard) lu Thứ hai, giả sử hj (x) := an gj−1 (x) , x ∈ Ωj , gj := gj−1 (x) − φ(xj )yj , x ∈ Ω, j = φ(xj ) 2, 3, n, va n với yj ∈ Rn vec tơ thoả mãn tn to p ie gh |yj | < δ yj ∈ / hj (Sj ), Sj := {x ∈ Ωj ; Ihj (x) = 0}, j = 2, 3, , n ( xem vec tơ yj tồn trên) oa nl w Khi tồn hàm g : Ω −→ Rn định nghĩa g(x) := gn (x) = ge(x) − n X φ(xj )yj , x ∈ Ω, d j=1 a lu (+) Thứ fu an nv Theo cách định nghĩa hàm g có tính chất sau oi m ll g ∈ Cg ∈ C(Ω) ∩ C (Ω; Rn ), g hàm lẻ , Ig (0) ̸= 0, z at nh Khi ge ∈ C(Ω) ∩ C (Ω), ge φ hàm lẻ , Jg (0) = Jge(0) , (+) Thứ hai, z 0∈ / g(∂Ω) deg(g, Ω, 0) = deg(e g , Ω, 0), n X ∥g − ge∥ = supx∈Ω | φ(xj )yj | < nδsup|t|≤a |φ(t)| = re gm @ l j=1 m co Bây ta chứng minh ∈ / g(Sg ), tức là, x∗ ∈ Ω cho x∗ ̸= g(x∗ ) = Nếu ̸= x ∈ Ω, cách truy hồi ta định nghĩa hàm sau n ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn va hj : Ωj −→ Rn gj : Ω −→ Rn , ≤ j ≤ n, an Lu 0, Ig (x∗ ) ̸= ( biết Ig (0) = Ige(0) ̸= 0) si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 cho vec tơ g(x) ∈ Rn cho công thức sau g(x) = φ(xn )(hn (x) − yn ) với x ∈ Ωn , g(x) = φ(xj )(hj (x) − yj ) − n X φ(xk )yk với x ∈ Ωj , ≤ j ≤ n − 1, k=j+1 cho ma trận Jg (x) cấp n × n cho Jg (x) = φ(xn )Jhn (x) + φ′ (xn )(Hn (x) − Yn ) với x ∈ Ωn , ′ Jg (x) = φ(xj )Jhj (x)+φ (xj )(Hj (x)−Yj ) = n X φ′ (xk )Yk với x ∈ Ωj , ≤ j ≤ n−1 k=j+1 Ở với ≤ j ≤ n, ma trận Hj (x), xác định qua Yj sau cột lu kí hiệu l thoả mãn yj , l = j l ̸= j an Cho x∗ = (x∗j )nj=1 ∈ Ω cho x∗ ̸= g(x∗ ) = 0, giả sử ≤ j = j(x∗ ) ≤ n cho va n x∗j ̸= j = ≤ k ≤ n x∗k = j = n Khi x∗ ∈ Ωj , ta có to p ie gh tn = g(x∗ ) = φ(x∗n )(hn (x∗ ) − yn ), j = n, = g(x∗ ) = φ(x∗j )(hj (x∗ ) − yj ) − n X φ(x∗k )yk = φ(x∗j )(hj (x∗ ) − yj ) j < n k=j+1 oa nl w ( j + ≤ k ≤ n, x∗k = kéo theo φ(x∗k ) = 0) d hj (x∗ ) = yj , a lu fu an nv Khi x∗ ̸= kéo theo φ(x∗k ) ̸= , điều chứng tỏ Ihj (x∗ ) ̸= 0, m ll oi Khi yj ∈ / hj (Sj ) cách dựng Ngoài ra, hj (x∗ ) = yj kéo theo z at nh Hj (x∗ ) = Yj z Từ ta có, gm @ Jg (x∗ ) = φ(x∗n )Jhn (x∗ ) + φ′ (x∗n )(Hn (x∗ ) − Yn ) = φ(x∗n )Jhn (x∗ ) j = n n X m co Jg (x ) = φ(x∗j )Jhj (x∗ )+φ′ (x∗j )(Hj (x∗ )−Yj )− l ∗ φ′ (x∗k )Yk = φ(x∗j )Jhj (x∗ ) j < n k=j+1 n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn an Ig (x∗ ) = (φ(x∗j ))n Ihj (x∗ ) ̸= 0, Lu (x∗k = 0, j + ≤ k ≤ n kéo theo φ′ (x∗k ) = φ′ (0) = 0) Do si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 42 Khi x∗j ̸= kéo theo φ(x∗j ) ̸= (iii) Bởi cách dựng ta có deg(f, Ω, 0) = deg(e g , Ω, 0) = deg(g, Ω, 0) Nhưng g ∈ C(Ω) ∩ C (Ω), ∈ / g(∂Ω), ∈ / g(Sg ), deg(g, Ω, 0) tính cơng thức sau X deg(g, Ω, 0) = sign(Ig (0)) + sign(Ig (x)) x∈g −1 (0) x̸=0 Khi P x∈g −1 (0) sign(Ig (x)) số chẵn, sign(Ig (0)) = sign(Ig (0)) = −1 Do deg(g, Ω, 0) số lẻ lu Như hệ định lý Borsuk’s ta có định lý sau an n va Định lý 2.3.4 ( Borsuk- Ulam) Cho Ω ⊆ Rn miền mở bị chặn ∈ Ω, điểm x ∈ ∂Ω cho f (x) = f (−x) gh tn to đối xứng qua 0, cho f ∈ C(∂Ω; Rm ) với số thực m < n Thì tồn p ie Chứng minh Theo định lý mở rộng hàm với hàm f : (Ω −→ Rm liên tục oa nl w tồn hàm fe ∈ C(Ω; Rn ) Rm ⊂ Rn Giả sử kết luận sai, tức là, f (x) ̸= f (−x), ∀x ∈ ∂Ω, đặt d g(x) := fe(x) − fe(−x), x ∈ Ω a lu fu an nv Thì hàm g : Ω −→ Rn định nghĩa có tính chất sau m ll g ∈ C(Ω, Rn ), g hàm lẻ , ∈ / g(∂Ω) oi Theo định lý Borsuk δ := deg(g, Ω, 0) số lẻ Tuy nhiên, theo bổ đề 2.1.1 , tồn z at nh s > cho deg(g, Ω, y) = δ ̸= 0, ∀y ∈ B(0, s) ⊂ Rn z gm @ Khi với y ∈ B(0, s), tồn x ∈ Ω cho g(x) = y Do B(0, s) ⊂ g(Ω) ⊂ Rm , l điều cho ta mẫu thuẫn độ đo B(0, s) ⊂ Rn lớn m co độ đo cua Rn lại Do ta có điều cần phải chứng minh Lu an Định lý 2.3.5 Cho Ω ⊂ Rn tập mở f ∈ C(Ω; Rn ) ánh xạ đơn ánh địa phương, va n tức là, với x ∈ Ω có lân cận V (x) cho f |V (x) : V (x) −→ Rn đơn ánh ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si