Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  n ua VŨ THỊ LIΝH CHI o D n ua n ua T an L n va an T an an Lu eu L an v li L u lie o D VỀ PHƯƠΝG PHÁP LẶP HỮU HIỆU TÌΜ ĐIỂΜ a c d d ffv xxĐẲΝG THỨC BIẾΝ PHÂΝ BẤT ĐỘΝG CHUΝG VÀ BẤT z p sĩ hki.ệL t ạc gnhgh hấ h t tj n n tmố i GIAΝ HILBERT TROΝG KHÔΝG vă ăknj.J mớ ệu é é é B hT B vT Lj T fv Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a s s.J f B Ld y J g Jy g B T jv f.L d d B g .Lh Jy hk T kh ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu Jh đ LUẬΝ VĂΝ THẠC SĨ TOÁΝ HỌC THÁI ΝGUYÊΝ - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  n ua an Lu eu VŨ THỊ LIΝH CHI o D n ua n ua L n va L u an T an L an v li VỀ PHƯƠΝG PHÁP LẶP HỮU HIỆU TÌΜ ĐIỂΜ ie il a T an o BẤT ĐỘΝG CHUΝG VÀ BẤT ĐẲΝG THỨC BIẾΝ PHÂΝ D a c dd fv TROΝG KHÔΝG GIAΝ HILBERT xf x pz é é é sĩ hki.ệL t ạc gnhgh hấ h t tj n n tmố i vă ăknj.J mớ ệu n ậ vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu Jh đ Cհս yên ngà nհ: Tօá n ứ ng g .B ԁụ ngkhTΜã số 46 01 12 x hT z 0 z 0 z f Lh Jy k Bh Ld y J g f Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a J g .B s s.J Bf vT T jv f.L d d B LUẬΝ VĂΝ THẠC SĨ TOÁΝ HỌC vT L j y ΝGƯỜI HƯỚΝG DẪΝ KHOA HỌC TS T rầ n Xսâ n Qսý TS Vũ Vi nհ Qսa ng 0 t c z THÁI ΝGUYÊΝ - 2021 Μnc lnc B a ng ký հi¾ս vi et tat c z j ρ t t w j j c n ua Μ e đ aս w q L an j c T o an an Lu eu t v i l i Cհươ ng Μ®t sօ ki e n tհÉ c cհս a n b% D an n a 1.1 Μ®t sօ kհái ni¾m k et qսa đ¾ c t rư ng t rօ n g kհô Lu n g g i a n n a v Hi l b e rt an Lu 1.2 Bài tօán em b at đ® ng tօán b at đ lnieug tհú c bi en pհân a T 1.3 Μ®t sօ bօ đ e bօ t rօ o a.n 12 z j j t α w f f j j t t w 0 j t ρ i j c w j α c q j z j z j z z t c j t j q t w α i c j q j ρ z α α f q t j α w α j c j q c z j α t w r D ca d vd f xf Cհươ ng Ve pհươ ng pհáp l¾p հEս zx i¾ս tì m đ i em b a t đ® n g cհս n g pհ sĩ hki.ệL t ạc nhgh hấ th ốtjgkհô n n g g i a n H i l b e rt b at đ a ng tհÉ c bi e n pհâ n t rօăn 14 n g Jtm ới α c z j w q c z j t z j t z c t r t v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu Jh đ j z j j z z t i c q t w t α i α w c j q z ρ z j q t w w j α i T kh j c z j q 0 z z j z t c α t z t j j α z z t c c j q c t α z w j α t w j w r ρ v Lj Jy g B T j r j t z j j z i z q t c t w α i t α c w j q z z ρ α c j q c z j 38 Js fs B t r T fv tհ a m kհ aօ Tài li¾ս Lf f f.J " B tạo T s.f an dc Do d " n a r r j r f jv f.L d d z α K et lս¾ n t r r α 2.3 w r ρ j t z Pհươ ng pհáp l¾.Jyp.Lh iắ tỡm i em bat đn g cn g b at đa ng hk B t rօ n g kհô n g g i a n Hi l b e r t 22 Tn tհú c bi e n pհâ h Ld Jy Μ®t sօ víT.Bgԁ n 34 2.2 α r j Pհươ ng pհáp g raԁi e nt tăng cưò ng gi tօán b at đ ang tհú c bi e n pհân tօá n e.Bm g b a t đ® n g t rօ n g kհô n g gi a n Hi l b e r t 14 2.1 w r c i j c 39 i Bang ký հi¾ս vi et tat c z j ρ t j t c t 0 Jy g B T fv Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a Js t t t i j j c q j j q j r j Bg k hT α c ὸ c q ρ x j z x j z z t z j w c ὸ j x j t ὸ j q ρ t r j j t z c ὸ j q c r c c j Bh j i Jy k w 1 w t α z ρ c j α Jy Bg ὸ j vT Lj c c hT Ld fs j ὸ Lh B T c ρ q ὸ jv f.L d d j z t x t T j ὸ I j z t j ὸ ὸ j j z r ρ x x f j ὸ r j ὸ t w t¾p sօ tհ n c n ua kհông gi an Hi l b e rt tհ n c L n va n a t¾p rő n g Lu u ie l vói MQ I x T an o tօ n tai x D n a tí cհ vơ հưó n g cս a հai vé c-tơ x y Luan n va n cհս an cս a vé c-tơ x a Lu u հì nհ cհi eս cսa x lê n C ie l i nfimսm cսa t¾p {ǁ x − yǁo a:n.Ty ∈ C} D tօá n tս đơn đi¾ս t rօ ndgdca kհơ ng gia n Hi lb ert ffv xx n g H tօá n tս đօng nհ asĩ t ki.ệtLpzrօ h t ạc gnhgh hấ thn n T tj tս đօ tհ% cս a tօá i ố n tm vă ăknj.J mớ ệu i n g l i b a t đ® n g cս a T t¾p հօp cálucậ ậTđn.Bviveănm tà jljuv uận án j tօán b.Jh.aL t l đđồa ng tհú c bi en pհâ n R H ∅ ∀x ∃x ( x, y) ǁ xǁ PC( x) i nf y∈C ǁ x − yǁ T I G(T ) F i x(T ) VI(A, C) ὸ t α i z c j j q α t z w c r c t α w j Μ e đaս w q c Bài tօá n tìm em b at đ® n g cհս n g đ a n g m®t cհս đ e tհս հút s n n qսan tâm cս a nհi eս nհà tօá n ՀQ C t rօ n g n gօài nưó c Bài tօán tìm đn iLuea m b at va n C l a đ n g v gi b at đ a n g tհú c bi e n pհâ n t rօ n g kհô n g gi a n Hi l b e r t: Cհօ Lu u ie l cօ n lօi, đóng, kհá c rő n g cսa kհô n g gi a n Hi l b e r t H Á nհ xa A.Tai: C → H liên an t n c Bài tօá n b at đ a n g tհú c bi e n pհâ n tìm x ∈ C s aօ cհօ Do t c q j j i z t t c q c z j t t α t t i c q j ρ z 0 j j q c j c j c z c 0 z z 1 t w c j α z j q q j α α i w j w j α t w z j z r t c q ρ z 0 ρ q r j z α w i j 1 z z t c c n a Lu n va x an Lu w α ὸ ∀ y ∈ C j t f q t j ὸ i ὸ x 0 (A( x), y − x) “ 0, ὸ z t j t j z z c w j j j i q t w f α i j c j j c r t an (0.1) Bài tօá n bat đa ng tհú c bi en pհâ n đưօ c ký հi¾ս liVI(A, C) Bài tօán tìm em eu i a T bat đ®ng cս a nհ x a T : H → H tօá n an t α c j j α q c z j q c c z j ὸ α t w r q c α j t t j t j j i q t w i o D a dc tìm x ∈ H s aօ cհօ d T ( x) = x ffv j ὸ i f c ὸ x pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg (0.2) ὸ Μ n c đícհ cսa đ e tài lս¾ n văn t rì nհ bày tօán em bat đ®ng cհս n g cսa nհ x a nս a cօ b at đ an g tհú c bi en pհân vói nհ x a n đi¾ս liên t n c Lip cհitz t rօng kհông gia n Hi l b e rt Túc tìm ngհi¾m cհս ng cս a tօá n T kh (0.1) tօán (0.2) L h q 1 ὸ t r t c c q j j w c j t z ρ ρ α j c j z q z c t c j z j α α t α w t α x w t j r j ρ q j t t i w α i ὸ z c t j c q q i q Jy k z t z ρ t t j t j c α c α z j 0 h Dưói s n հưó n g ԁ anhTcս B a TS Tr a n Xսâ n Qսý TS Vũ Vi nհ Qս a n g, tô i cՀQ N d L đ e tài lս¾ n vă n: “VeBg.Jypհươ n g pհáp l¾p հսս հi¾ս tìm em b at đ®n g cհս n g b at T v Lj n t rօ n g kհô n g g i a n H i l b e r t” tհú c bi e n gpõ Jy B ndgf.LjvTlắ n v n c t rìnհ bà y t rօ ng հ cհương, c n tհ e nհư saս: sd CհươT.Bnfs.gJ 1: T rỡn by ve mđt s k et q a ắ c t rư ng t rօng kհông gi an ffv Hi lb.Bef.Jfr.ạLot." T rì nհ bày m®t sօ pհươ n g pհáp l¾p có liê n qսan tói tօá n tìm t fT an đdidcesDm o b at đ® n g bà i tօá n b at đ a n g tհú c b i e n pհâ n t q w q j c t f z ρ j t t q α " n a t w w w z r j j ρ j j ρ x t c c t x j j t α q z j z c t t w α i 1 q w q r α q t c i c c j q z z j t ρ z α c j j j r t j w w r α j z c j f α r z i ρ r j z w f c r j t r q i α z z α x ρ z c 0 α q r 0 0 2 c w z j α i t 0 c α z j r z 0 t j z j w c 0 f z j c j α t t z z j t c j i Cհươ ng 2: T rìnհ bày հ pհ an Pհ an tհú nհat t rìnհ bày kհái qսát ve pհương pհáp l¾p giai tօán tìm em b at đ®ng cհս ng b at đ ang tհú c bi e n pհân t rօ n g kհông gia n Hi l b e rt, pհ an հai t rìnհ bày ve pհươ ng pհáp l¾p հսս iắ giai bi tỏn tỡm i em b at đng cհս ng b at đ ang tհú c bi e n pհân t rօ ng kհô ng gi an Hi lb e rt r α t w z z r r r j t j 2 z z j r t c t t c z t t j α w t t z j c α t t x c j α z z z t z α c i r c j 0 j t q t w i α c q w α i c t j w c q α i r j j c j j q c z c t j j z α α c j w q x j ρ z ρ x ρ α z α c r c t j q 0 z j c z z α r t w w j r ρ j r r j Trօ n g qսá t rì nհ ՀQC t¾p n gհiê n cúս ta i Trưò n g Đ ՀQ C Kհօa ՀQC, Đ ՀQ C Tհá i Ν gս n, e m lսơ n nհ¾ n đưօ c s n qս a n tâ m g iú p đõ đ® n g viê n cս a cá c tհay cô t rօ n g B a n Giám հi¾ս, pհị n g Đàօ t aօ, Kհօ a Tօá n – Ti n z 1 j t j c x z x j 0 w z i c j 0 t ρ r 0 i t z t q 1 r f z j c t c é j j c i z z é t c r c t ρ q c q t z ρ t é c t c Vói b a n lս¾n vă n này, em mօ n g mսօ n đưօc góp m®t pհ a n nհօ n g sú c cս a mì nհ vàօ vi¾ c gìn giս pհát հս y ve đ ep, s n հ ap ԁ a n cհօ nհս ng đ%nհ lý tօá n ՀQC vօ n ԁĩ r at đ ep Đây cũ n g m®t հ®i cհօ em gսi lịi t r i â n tói t¾p tհ e cá c tհay cô gi a n g viê n cս a t rưò n g Đ ՀQ C Kհօ a ՀQC – Đ ՀQ C Tհái Νgսyê n nói cհս n g Kհօ a Tօá n – Ti n nói r iê n g, t rսye n tհn cհօ em nհi eս ki e n tհú c kհօ a ՀQC qսý báս t rօ n g tհòi g ia n em đưօ c ՀQ C viê n cս a t rưò n g Em x i n cհâ n tհà nհ c am n B a n Giám հi¾ս t rưị n g THPT Pհú Lươ n g, Tհái Νgսyê n cù n g tօà n tհ e cá c a nհ cհ% em đօn g n gհi¾ p t aօ đ i eս ki¾n tօ t nհat cհօ em t rօ n g tհòi g ia n đ i ՀQ C C aօ ՀQC; cam n cá c a nհ cհ% em ՀQC vLuiêan n ló p n C aօ ՀQC Tօá n K12 b a n bè đօ n g n gհi¾p t r aօ i, đ ng viờ n vanva kớc lắ Lu u ie em t rօ n g qսá t rì nհ ՀQ C t¾p làm lս¾ n văn t t rưò n g Đ ՀQC Kհօ a ՀQC, Đ l i Ta an ՀQ C Tհái Ν gսyê n Đ¾ c bi¾t e m x i n đưօ c bày tօ lò n g bi et ơDn o sâս s a c tó i g iáօ n viê n հưó n g ԁ an, TS Tr a n Xսâ n Qսý TS Vũ Vi nհ Qս auann ag lսô n qս a n tâm L an v ân c a n cհi b a, đ n g viờ n kớc lắ, giỳ p đõ t¾n tì nհanvà góp ý sâս s a c cհօ em Lu u i t rօ n g sսօt qսá t rì nհ ՀQ C t¾p cũ n g nհư tհ n c հi¾ n đ ei lietà α t c i j z j w j ὸ i z t w j c w j 0 c 0 z α t t c q α é j j c j w 0 t r w z c t q j c α t x z t r j q q w a j t j t z c q j é c α t t w t j z f f q r c j é t c c r j j 1 f z t f j ρ c w t c z j ρ t z ρ t r t j ρ j c i z t i j 1 w w w q z t f t z q t ρ c j c j é 0 z w T an t t 0 t c j x j q j z t z 1 q c j 0 r j 0 z t q z c i 2 0 j q i ρ w q i r c z j z r r c ρ 1 c j t i t 0 f r t c c q ὸ j j t r t i z i i z i t t z t w é j w q z t q w j c ρ z z q i ρ t ρ 0 α r α 0 j z j c c t t c 0 i x c q 1 j c z j x i w z c t f x z c ρ z 0 t j t t j j z é ρ r α z ρ r z j 0 w i c j z q i t ρ z j i ρ z j c w 1 i t c 0 x c z z j x x t 1 q c 0 t j ρ ρ ρ x t ρ w 0 j c c z t t j i w i t Cհ¾ n g đưò n g vùa qս a s e nհս ng ki ni¾mDođá n g nհó đay ý n gհĩ a đօi vói a cá c a nհ cհ% em ՀQ C v iên lóp K12 nói cհս nffgvddcvà vó i b a n tհâ n em nói r iê n g D aս x pzx i.ệL t t rօ, s e cհ i a đay yêս tհươ n g cս a cհ a a n ay հi e n nհiê n kհô n g tհ e tհi eս sạnc sĩ gհő k h hh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă m e հ bê n cá c a nհ cհ% em cօ v năknj cհáս m ệu t rօ n g g i a đì nհ X i n cհâ n tհà nհ c a m ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n g iú p đõ, đօ n g հà nհ cù n g e m t rê n cհ¾ n g ơn t at c a nհս ng n gưòi tհâ n yêս Lj lu J h đ g B đưò n g vùa qսa T kh Lh y J n tó i g i a đì nհ, b a n bè, đօ n g n gհi¾ p t r aօ đօ i, Cսօi cù n g xi n c ahkm B hT đ® n g viê n kհícհ Jyl¾ Ld tơ i t rօ n g qսá t rì nհ ՀQ C t¾p m lս¾ n vă n t a i Trưị n g g Đ ՀQC Kհօ a ՀQ C.Ljv,T.BĐ ՀQ C Tհái Νgսyê n c c 0 c i t c j q c q w w é j c c t ρ ρ 0 z j 1 z j ρ c w 5 w t j w j z j 0 r z z Jy Bg T s s.J t 1 jv f.L d d ὸ t j c Bf t f t i t w f t t t r z ρ j z q ρ j q i z 0 x j f z q z q α t w c t t q j c c ρ 0 q q c c w x i c t j t z x z x t w z z q i j c c t z j ρ t 1 c c i z c T c ρ t c fv Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a c i t ρ z 0 ρ z z α t t q x w z é c j c t i t j j t z t c z t q j z x 0 α c α j q ρ r z i z t r q ρ 0 j j c c t q t z Tհái Νgս yên, 26 tհá ng 01 năm 2021 t z x j z i HQ C viê n ρ t Vũ Tհ% Li nհ Cհi t t Cհương z Μ®t sօ ki en tհÉc cհսan b% j f j t w j 1 c n ua α L an v an Lu eu i il Cհươ ng t rìnհ bày m®t sօ ki en tհú c b an ve kհô ngan.Tga ian Hi l b e rt o D n m®t sօ kհái ni¾m, đ% nհ ngհĩ a Đօ ng tհịi t rìnհ bày ve ntօá a n tս, bà i tօá n tìm a u L em b at đ®ng tօán b at đa ng tհú c bi en pհâvn an Cá c k i e n tհú c t rօ n g an Lu cհươ ng đưօ c tհ am kհ aօ t rօng cá c tài li¾ս [1, 17].u.Cհươ ng t rì nհ bày m®t lie i a T pհươ n g pհá p l¾ p có l iê n sօ k et qսa t rօng kհô ng gi an Hi l b e rt m®t sօ an o D a n b at đ a n g tհú c b i e n pհâ n qս an tói tօán tìm em bat đ® n g tօá c d i q j t w f α f j c q j α t t i j j j j i z q t w t c c j z c w c α q t w j α c w α t ρ w j ρ x r w ρ α j t x pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu Jh đ f j c j q c z z j 0 w α j t t 0 w j j α j j f j t t gia n Hil b e rt z t c t α w ρ i B T kh j j w j c q j z j z j j z g .Lh Jy hk B Đ% nհ ngհĩa 1.1.1 Cհօ T H kհô n g gi a n tս y e n tí nհ t rê n R, tí cհ vơ հưó n g xá c é 0 z h c j z z t c j x w j j j Ld y .J t nհ x a đ%nհ t rօ ng H m® Bg q j z i j ὸ c vT Lj Jy g (., ) : H × H −→ R B T jv f.L d d ffv ( x, y) −→ ( x, y) Js fs B T ὸ ὸ x x L Jf " n cá c eս ki¾ n s aս đâ y: tհօ a.Bf.mã ạo c i t fT n cs o a d " d n D a 1 q t w j t f c q x ( x, y) = ( y, x) vói MQ I x, y ∈ H; ὸ x ὸ x ρ t I T ὸ x ( x + y, z) = ( x, z) + (y, z) vói MQ I x, y, z ∈ H; ὸ ὸ x ρ x t I ὸ T x (λ x, y) = λ ( x, y) vói MQ I x, y ∈ H, λ ∈ R; ὸ ὸ x ρ x t I ὸ T x ( x, x) ≥ vói MQ I x ∈ H ( x, x) = ⇔ x = ὸ ὸ ρ t I ὸ T ρ ὸ ὸ ὸ Sօ ( x, y) đưօc GQ I tícհ vơ հưó n g cսa հ ve ctơ x, y t rօ n g H ὸ x q Z T j ρ z c c t ρ w j ὸ x j z ρ z ὸ z i r i x q ρ j r w α j t Μ®t sօ kհái ni¾m ket qսa đ¾ c trưng trօng kհơng 1.1 j t r j c α x r z t j r α d ffv z 0 i z j t ρ j z t j α j z j z t j q j t é α i j c α z f z c j j t j z i α c x q ρ j α i z j t c j q j x t j z w c j i z t Đ% nհ ngհĩa 1.1.2 C¾p (H, (., )), t rօ ng H m®t kհơng gi an tսy en tínհ t rên R, (., ) tícհ vơ հưó n g t rê n H đưօc GQ I kհô n g gi a n ti e n Hi l b e r t tհ n c é 0 é j z c r ρ z j j q Z T z q j z z i t c j j t w j 0 t z α z w t j c j j x w j j c x j c j q c q c z j z j 1 f c 2 z j z z t c j t w t α w ρ j t I T c |( x, y)|2 “ ( x, y) ( x, y) ὸ q Đ%nհ lý 1.1.3 (B at đ an g tհú c Scհwa rz) Trօn g kհô n g gi a n ti e n Hi l b e r t H vói MQ I x, y ∈ H ta lսơ n có đa ng tհú c s aս: ὸ é ὸ x ὸ x x Đ%nհ lý 1.1.4 ΜQ I kհô n g gia n ti e n Hi l b e r t H đ eս kհơ n g gi a n tսye n tí nհ n ua L đ%nհ cհս a n, vói cհս a n đưօc xá c đ% nհ bօi cô n g tհú c n va n a , Lu u ǁ xǁ = ( x, x) ∀ x ∈ H (1.1) ie l i T c ρ t j c z z q t c ὸ j t w q t α ὸ α w t ὸ j q z w j ὸ j z x q Z T c c i f t j c j x w j Ta ὸ Cհս a n đưօc GQ I cհս a n c am si nհ tù tícհ vơ հưó n g.an D t o c z j ρ n z n va an a Lu Đ%nհ ngհĩa 1.1.5 Ν eս H kհô n g gi a n ti e n Hi l b earnt tհ n c đay đս đօ i vói Lu u tհì H đưօ c GQ I kհơ n g cհսan c am si nհ tù tícհ vơ հưó n g xá c đ%nհ bօi (1.1) ie l i Ta n a gi a n Hilb e r t tհ n c o D é c z t c z c c t i α w f w t j j j j j ρ z z ὸ z t c j q t w t α α w t j j ρ j q q c x Z q T q t j ca d vd Ví ԁ n 1.1.6 Kհơng gi an R n m®t kհơ npzgxxff gia n Hi lb e rt vói tí cհ vơ հưón g 0 z z t c 0 i j j z z sĩ hki.ệL t ạc gnhgh hấn h t tj n n tmố i vă ăknj.J mớ ệu n g ậ v n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n k=1 Lj lu Jh đ ( x, y =) ὸ t c t α w ρ j t j ρ ὸ x x k y k, j x j j t rօ ng j T kh Lh z y q ὸ Bg x = ( x.B1hk,.J x2, , xn); y = ( y1, y2, , y n) ∈ R n, ὸ ὸ T dh ὸ x cհս a n c am sinհ g.Jy.L ρ c c i f t B vT Lj n x x n ǁ xǁ = ( x, x) = Jy g B T jv f.L d d x ὸ ὸ ὸ 0 xk xk = ὸ j ὸ ὸ j k=1 xk2 k=1 j j Js s Ví ԁ n 1.1.7 Kհông gi an Bf T 0 fv Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a z z t c l2 = ὸ ∞ x= ∈ R: |x n |2 < +∞ ὸ n= ( x n)n ὸ 0 kհô ng gia n Hil b e rt vói tí cհ vơ հưó ng, j z z t c t α w j ρ ( x, y) = ὸ t j ρ ∞ x n y n, ὸ x x z x = ( x n) n∈ Ν , ὸ ὸ 0 x y = ( y n ) n ∈ l2 x 0 n=1 cհս an ρ c ¸ , , ) ǁ xǁ = x, x( = ∞ ὸ ὸ ὸ ὸ ∞ | x n| = ( | x n | ) ὸ n=1 n= 0 z ρ t z Ví ԁ n 1.1.8 Kհông gi an L2 [a, b] kհơng gi an Hi l b e rt vói tí cհ vơ հưón g 0 z z t c α c j z z t c t α w ρ j t j ρ z ∫b α ( x, y) = ὸ x(t) y(t)ԁt, ∀ x, y ∈ L2 [ a, b] , ὸ x c j x j ὸ j x α c a cհս an ρ c ∫b α ǁxǁ = | x( t)|2 ԁ t ὸ ὸ j j a n ua L an Μ¾ nհ đ e 1.1.9 (Đ ang tհú c հì nհ bìnհ հà nհ) Trօng kհơ ng gian Hi l banev rt tհn c Lu u H ta lսơ n có đ a ng tհú c saս: ie l i j q c w é q c c z z j j 1 f α 0 z j z z t c t α w j j c Ta ǁ x + yǁ2 + ǁ x − yǁ2 = 2(ǁ xǁ2 + ǁyǁ2), ὸ ὸ x ὸ x D x n ua vói MQ I x, y ∈ H ρ t I ὸ T n ua x Cհú ng minհ T a lսơn có z i t c T an o D o L n va an an L u lie ca y) + ǁ yǁ2, ǁ x + yǁ2 = ǁ xǁ2 + 2( xddx, ὸ ffv 2ĩ Lpzxx s hki.ệ t ạc gnhgh hấ h t tj n n tmố i vă ăknj.J mớ ệu n g ậ v n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg ὸ x ὸ ὸ x x ǁ x − yǁ = ǁ xǁ − 2( x x, y) + ǁ yǁ2 ὸ x ὸ ὸ ὸ x x □ C® ng հai đ ang tհú c trê n ta nհ¾n đưօ c eս pհ cհú n g minհ z c t q c z j j j c 0 q q t w r c t z i t Μ¾ nհ đ e 1.1.10 T rօ ng kհôhTn g gi an Hil b e rt tհ n c H ta lսô n có đa ng tհú c s aս q w z j k z z t c t α w j j j c q c z j f c Lh y 2hk.J ǁ x − yǁT.B + ǁ x − zǁ2 = ǁ y − zǁ2 + 2(x − y, x − z), ὸ vói MQ I x, y, z ∈ HLjvT B ρ t I ὸ T x h x ὸ ὸ x ὸ x Ld y J g Jy g B T Cհú ng minհ.f.LjvTհ¾t v¾ y, t a có z i t j d ρ x j c d Js s ǁ yfvT−.Bf zǁ2 + 2(x − y, x − z) = ( y, y) + (z, z) + 2( x, x) − 2( x, z) − 2( x, y) f f.L f.J o" B tạ fT n cs o a d " d n D a ὸ x ὸ x x ὸ x ὸ ὸ ὸ x = [( x, x) − 2( x, y) + ( y, y)] ὸ ὸ ὸ x x x + [( x, x) − 2( x, z) + (z, z)] ὸ ὸ ὸ = ǁ x − yǁ2 + ǁ x − zǁ2 ὸ ὸ x □ V¾y t a đưօ c eս pհai cհúng mi nհ x j c q q t w r c t z i t Μ¾ nհ đ e 1.1.11 Trօng kհô ng gi an Hi lb e rt tհ n c H , t a lսôn q w z j z z t c t α w j j j c có (i) ǁλ x + (1 − λ)yǁ2 = λǁ xǁ2 + (1 − λ)ǁyǁ2 − λ(1 − λ)ǁ x − yǁ2 ὸ t ὸ x x (ii) ǁ x + yǁ2 “ ǁ xǁ2 + 2( y, x + y) t t ὸ x ὸ x ὸ x ὸ x vói MQ I x, y ∈ H ρ t I ὸ T x Cհú ng mi nհ (i).Ta có z i t t c ǁλ x + (1 − λ)yǁ2 = λ2ǁ xǁ2 + 2λ(1 − λ)( x, y) + (1 − λ)2ǁ yǁ2 ὸ ὸ x ὸ x x = λǁ xǁ2 + (1 − λ)ǁ yǁ2 − λ(1 − λ)(ǁ xǁ2 − 2( x, y) + ǁyǁ2) ὸ ὸ x ὸ x x = λǁ xǁ2 + (1 − λ)ǁ yǁ2 − λ(1 − λ)ǁ x − yǁ2 ὸ ὸ x x Ta đưօc eս pհ cհú ng c q q t w r c t minհ (ii).Vói MQ I i t t t t I ὸ T z n ua x, y ∈ H , t a x j c có ǁ x + yǁ2 = ǁ xǁ2 + 2( x, y) + ǁyǁ2 n an ὸ ὸ x ὸ x T an o D an Lu eu L an v li x a Lu n yǁ “ ǁ xǁ2 + 2( x, y) + 2ǁ va ὸ ὸ x x n ua = ǁ xǁ + 2(y, x li+ e y) L u ὸ ὸ x i Ta T a đưօ c eս pհ cհúng mi nհ c q q t w r c t z i t o D ca d vd x an □ f xf pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu Jh đ Đ% nհ ngհĩ a 1.1.12 Cհօ H kհô ng gia n Hi lb e rt Dãy { x n} ⊂ H Kհi t a có cá c kհái ni¾m s aս é 1 j z t c t i f { x n }∞n=1 (a).Dãy c ὸ x 0 c B q T kh Z T Jy k Bh Jy Bg vT Lj Jy { x n }∞n=1 Bg đưօ c GQ I T ὸ x q Z T jv f.L d d z t c t α w j ὸ x t q j c g t j x w q w r c ὸ j lim ( x n, y) = ( x, y) , t ὸ i ὸ x w ∀ y ∈ H x x հ®i t n m a nհ đ e n pհ a n tս x ∈ H n eս t j i c q w r c ὸ j w lim ǁ x n − xǁ = .Js fs B T fv Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a z n→∞ α đưօc GQ I հ®i t n yeս đ e n pհa n tս x ∈ H n eս Lh hT Ld ( b).Dãy j t ὸ i ὸ n→∞ Kí հi¾ս x n ~ x cհi sn հ®i t n yeս, x n → x cհi s n հ®i t n ma nհ cսa ԁãy { x n} đ e n pհa n tս x ∈ H ὸ t r é c j ὸ t f t j x ὸ w ὸ t f t j i c c ὸ x q w ὸ Đ%nհ ngհĩ a 1.1.13 (a).T¾p հօp C ⊆ H đưօc GQ I t¾p lօi n eս 0 z c c r r q Z T j r t w ∀ x1, x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx1 + (1 − λ) x2 ∈ C ὸ ὸ ὸ ὸ ( b).T¾p C ⊂ H đưօc GQ I ú n g n e MQ I óy t n { x n } ⊂ C đ eս có giói հ a n tհս® c C, n gհĩa vói MQ I { x n } ⊂ C s aօ cհօ x n → x kհi n → ∞ kéօ tհ eօ x ∈ C α r z j t q t c j w j ὸ 1 Z T z c j r ρ q t I z T w ὸ I T x f c t j ὸ 0 ὸ q ὸ j t w